tesisdoc

Universidad Autonoma de Puebla

Facultad de CienciasFsico-Matematicas

Ecuaciones acopladas de Ginzburg-Landau ySwift-Hohenberg: simulacion y modelacion de

membranas biologicas y de medio porosoTesis presentada al

Posgrado en Ciencias(Fsica Aplicada)

como requisito parcial para la obtencion del grado de

Doctor en Ciencias(Fsica Aplicada)

por

Marco Antonio Morales SanchezDirector de Tesis

Dr. Efran Rubio RosasDr. Jose Fernando Rojas Rodrguez

Puebla Pue.

Indice general

1. Formacion de patrones en sistemas fuera de equilibrio y e n equi-librio 11.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. El modelo de Ginzburg Landau para sistemas fuera de equilibrio . .. 31.3. Caractersticas de los patrones periodicos y modelo de Swift-Hohenberg 6

1.3.1. El modelo de Swift-Hohenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.2. Derivacion de la ecuacion de amplitud compleja a partir del

modelo de Swift-Hohenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Modelacion de patrones magneticos: descripcion contnua. . . . . . . 91.5. Aproximacion de campo medio para un gas de malla de tres compo-

nentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6. Modelo de gas de malla en mezclas con interacciones de largo alcance 161.7. Patrones Estacionarios de Turing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2. Modelacion de mezclas ternarias con parametros de orde n no con-servado y conservado 282.1. Analisis del sistema para fases uniformes . . . . . . . . . . . . . . . .322.2. Busqueda de los parametros para la formacion de estados inestables . 372.3. Analisis numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3. Resultados 433.1. Resultados del analisis de estabilidad lineal . . . . . . . . . . . . . . . 433.2. Solucion numerica de la dinamica de las ecuaciones correspondientes

a los modelos A y C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3. Caracterizacion morfologica de los patrones de interes . . .. . . . . . 643.4. Dinamica de ordenamiento (Coarsening) . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.4.1. Coarsening en sistemas binarios y ternarios . . . . . . . . . . . 733.4.2. Resultados para el modelo de las ecuaciones Ginzburg-Landau

y Swift-Hohenberg acopladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.5. Aplicaciones a sistemas en Fsica, Qumica y Biologa . . . . . . . . . 873.6. Reproduccion experimental de membranas de medio poroso y su es-

tudio mediante los resultados del patron espacial del tipo G . . . . .91

i

INDICE GENERAL

4. Conclusiones 99

A. Detalles Matematicos y Experimentales 102A.1. Clasicacion de estabilidad de las soluciones: valores propios y su

jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102A.2. Deduccion de las ecuaciones aproximadas en el espacio de Fourier

para el sistema GL-SH[32] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105A.3. Elaboracion de membranas con porosidad controlada . . . . . . .. . 109

ii

Resumen

En esta investigacion se propone la construccion de un modelo bidimensional,partiendo de aproximaciones de campo medio dentro de la teora de polielectroli-tos, para ser aplicado a diversos procesos fsicos, qumicos y biologicos. El modelose estudia desde la perspectiva de la formacion de patrones en sistemas ternarioscon parametros de orden no conservados (modelo A), as comocon un parametrode orden conservado y uno no conservado (modelo C). Dicho modelose elabora,considerando interacciones de largo alcance, as como interacciones de corto alcanceentre los elementos de la mezcla. Las ecuaciones dinamicas propias del modelo, re-sultan ser una generalizacion de las ecuaciones de Ginzburg-Landau dependientedel tiempo y Swift-Hohenberg, y estan acopladas mediante terminos no lineales. Seemplean metodos numericos para resolverlas, y se estudian los patrones emergentesde la dinamica variando los valores de sus parametros de control. Se muestran pa-trones que explican el comportamiento de sistemas biologicos comola pigmentacionde la piel de animales vertebrados (tres especies de peces y una especie de reptil),membranas biologicas (por ejemplo membranas fosfolpidas), sistemas fsico-qumi-cos como el proceso de elaboracion de membranas de medio porosoy algun sistemaqumico (como por ejemplo la reaccion CIMA). El modelo presenta transiciones defase contnuas y discontnuas respecto a la morfologa de los patrones resultantes,as como difentes longitudes de crecimiento en las estructuras propias de los patronesa estudiar. En la parte experimental, se compara la estructura morfologica de unamembrana de medio poroso obtenida en laboratorio con un patron producido pormedio de la simulacion del modelo C. Los resultados permiten asociar los parame-tros de control de este modelo con parametros propios del comportamiento de lamembrana como la temperatura, la concentracion local de iones y deformacion porelasticidad, doblez y curvatura de los polmeros. En esta forma, se obtiene un expli-cacion mas realista de los mecanismos subyacentes responsablesdel comportamientode este tipo de membrana.

iii

Captulo 1

Formacion de patrones en sistemasfuera de equilibrio y en equilibrio

1.1. Introduccion

Existen dos perspectivas para estudiar la morfogenesis: un enfoque con punto deapoyo en la fsica estadstica, y otro en base a la dinamica de sistemas no lineales.La primera rama trata de explicar patrones en equilibrio mediante analogas conproblemas de transiciones de fase en mecanica estadstica. La segunda rama estudiala formacion de un patron en un sistema mediante la elaboracion y el analisis deecuaciones diferenciales parciales no lineales, las cuales tienen soluciones triviales ocon rompimiento de simetras segun el valor de sus parametros de control. Mas aun,el concepto central en este ultimo enfoque para el entendimiento de la formacion depatrones es el de inestabilidad. Se sabe que las variaciones temporales y espacialesde patrones son relativamente sencillas de describir cerca del umbral de aparicion delos estados inestables. En estos casos, peque~nas perturbaciones crecen exponencial-mente con el tiempo. Asintoticamente, el sistema forma un patron, que se estabilizamediante algun mecanismo no lineal.

En una gran variedad de sistemas termodinamicos forzados fuerade equilibrio,o en sistemas en equilibrio termodinamico donde interacciones repulsivas de largoalcance compiten con interacciones atractivas de corto alcance, aparecen espontanea-mente estructuras espaciales con periodicidad bien denida (fasesmoduladas). Ca-sos de especial interes son algunas mezclas de uidos binarias con interaccioneselectrostaticas dipolares repulsivas donde existen dos tipos de interacciones quecompiten y que involucran escalas de longitudes muy diferentes [1]. Los patronesmas comunes que pueden aparecer son rayas (simetra lineal), patrones de simetracuadrada y hexagonal. Cabe mencionar que tales estructuras aparecen de maneramuy general en la naturaleza, incluyendo sistemas de reacciones qumicas con di-fusion, compuestos magneticos, o sistemas biologicos [2, 3, 4, 5].

Existen estudios recientes de modelos que se enfocan sobre mezclas de tres com-

1

CAPITULO 1. FORMACI ON DE PATRONES EN SISTEMAS FUERA DEEQUILIBRIO Y EN EQUILIBRIO

ponentes con interacciones dipolares. Estos modelos pueden describir una mono-capa de Langmuir compuesta de dos tipos de moleculas polares en una interfaseaire/agua. El diagrama de fases de estos sistemas presenta una riqueza de compor-tamientos que no se observa en sistemas binarios usuales, aparecen nuevos patrones,tales como hexagonales mixtos, rayas mixtas, o equilibrio de dos fases entre faseshexagonales y gotas de mayor tama~no que en sistemas binarios [6]. En particular,se observan fases parcialmente ordenadas (o vtreas) constituidas de dominios or-denados separados por interfases. A veces aparecen otros defectos inducidos por elmovimiento de las interfases entre dominios vecinos.

En el captulo 1 de la presente tesis se exponen dos ejemplos de sistemas binariosbien conocidos que forman fases con rompimiento de simetra, que son los modelosde Ginzburg-Landau y de Swift-Hohenberg. Tambien se mencionael ejemplo desistemas magneticos con interacciones de largo alcance y su relacion con la formacionde patrones. Los modelos de mezclas binarias tipo Ginzburg-Landauforman patronesque tienen dos fases uniformes, mientras que los modelos tipo Swift-Hohenberg,presentan patrones con fases ordenadas en forma de rayas. Ademas se presentauna seccion sobre algunos modelos sobre sistemas de Turing y su importancia enmorfogenesis.

En el captulo 2, se proponen dos modelos matematicos espacialmente contnuospara el estudio de una mezcla de tres componentes, como alternativa a un modelosimilar a los modelos funcional de Ginzburg-Landau [7, 8, 9, 10] y al modelo de gas demalla propuesto anteriormente [11]. El modelo se construye mediante acoplamientos(terminos no lineales) de una ecuacion de Ginzburg-Landau con una ecuacion deSwift-Hohenberg. Adicionalmente en este captulo se presenta unanalisis lineal deuno de los modelos (modelo A).

En el captulo 3, se muestra la gran riqueza de los patrones generados por losmodelos propuestos. Se resumen las fases formadas en un diagrama como funcion dedos parametros principales del modelo. Otra forma de caracterizar los patrones delmodelo, es mediante el estudio de la dinamica fuera de equilibrio del crecimiento dela longitud de correlacion L (t) de los patrones a partir de estados desordenados. Elcrecimiento de la longitud caractersticaL (t) para los patrones de tipo Ginzburg-Landau es dada por la ley de potenciasL (t) / t1=2 [12, 13, 14], y en el caso depatrones tipo Swift-Hohenberg, esta dada porL (t) / t1=3 [15, 16]. En el presentemodelo, se obtienen dinamicas mas lentas (a veces detenidas o \congeladas") quetienden hacia estados parcialmente ordenados, y su principal propiedad es la de noobedecer a alguna ley de escalamiento dinamico. En este captulo, tambien se expo-nen aplicaciones de la formacion de patrones como en la elaboracionde membranasporosoas [17, 18, 19, 20, 21], en la reaccion CIMA [22, 23, 24, 25] yen sistemas bi-ologicos como en la pigmentacion en la piel de algunas especies de peces [26, 27, 28]y algun tipo de reptil [29, 30, 31]. Para desarrollar este trabajo, se usan metodosnumericos y en particular se emplea el metodo de la transformadarapida de Fourier.

El captulo 4, se reere a las conclusiones de este trabajo. Los apendices de dichotrabajo se incluyen para detallar calculos teoricos de posible interes para el lector.

2


1.2. El modelo de Ginzburg Landau para sistemasfuera de equilibrio

Los procesos fsicos fuera del equilibrio se caracterizan por diferentes tipos depropiedades que varan espacial y temporalmente. Propiedades que sin importarsus caractersticas especcas se repiten en forma similar en varios ambitos de lanaturaleza; a tales conguraciones de la materia se les nombrara como patrones. Enuna rama de la ciencia como la mecanica estadstica, se estudian fenomenos comolas transiciones de fase que se vuelven interesantes en procesos fsicos fuera de suestado de equilibrio. Otro rama de la fsica, como los sistemas dinamicos no lineales,estudia sistemas fsicos como los uidos sometidos a intercambio de energa en formade calor por rotaciones, los cuales exhiben secuencias de incremento de complejidaden la formacion de patrones espacio-temporales. Al conocimientoen comun sobreeste tema, generado por las distintas ramas se le llamaramorfogenesis[2].

A continuacion se describen experimentos que son ejemplos de formacion depatrones en uidos como laconveccion de Rayleigh-Benardy los vortices del ujo deTaylor [3, 33]. El arreglo experimental de Rayleigh-Benard es el siguiente: se encierraun uido en un recipiente rectangular. Por debajo del recipiente secoloca una fuentede calor que mantiene el fondo a una temperatura constanteT2, la parte superiordel uido se mantiene a una temperatura constanteT1 < T 2. El grosor de la capade uido es d.

El sistema esta fuera de equilibrio, como consecuencia de someteral uido a estadiferencia de temperatura4 T = T2 T1. Cuando dicha diferencia de temperaturaes peque~na, el uido tiene un campo de velocidad nulo, campo que ademas no de-pende de las coordenadas horizontales (x; y), sino que solo depende de la coordenadavertical z (T = T (z)). Bajo estas condiciones, se dice que el uido se encuentra enestado uniformeo de conduccion. El sistema entra enestado de conveccioncuandodebido a la diferencia de temperatura T , aparece un ujo hidrodinamico. El uidoen su conjunto empezara a moverse hacia arriba y hacia abajo formando un patronespacial por ejemplo en forma de rollos paralelos.

Nuevamente se encierra un uido, para el experimento de los vortices de Taylor,pero ahora entre dos cascarones cilndricos concentricos los cuales pueden girar convelocidades angulares! 1 para el cilindro interior y ! 2 para el cilindro exterior. Sise considera que solo rota el cilindro interior (! 2 = 0), la velocidad angular ! 1 dedicho cilindro determina la distancia al equilibrio. Si! 1 supera cierto valor crtico! c, el ujo laminar de Couette entre los dos cilindros, se vuelve inestable y da lugara vortices de Taylor que rompen la simetra traslacional a lo largo del eje de loscilindros. As, la velocidad ~v(r; ; z ) es periodica en la direccion axialz.

Estos fenomenos con dinamica fuera de equilibrio, se pueden modelar medianteecuaciones diferenciales. Mas aun, en otro contexto ecuaciones similares describen elfenomeno de la superconductividad, la modelacion de sistemas de reaccion-difusiony de medios excitables, as como la evolucion de campos de resonadores opticosno lineales. Muchos de ellos estan expresados fenomenologicamente por la ecuacion

3


disipativa de Ginzburg-Landaucuya forma mas simple, es la siguiente [4]:

0dAdt

= 20r2A + A g j A j2 A (1.1)

donde g; o son numeros reales, o tambien es un numero real y el responsable dela escala del termino difusivo, es el parametro de control que determina el nivel deinestabilidad lineal del sistema,A representa la amplitud de los modos de oscilacionde alguna observable fsica y es una cantidad que es compleja. Inclusive, respecto ala amplitud A se puede decir que su origen tiene lugar cuando a modo de reexionM. I. Ravinovich se cuestiona:

>Cual es la forma de un modelo universal que describe la evolucion deun parametro de orden que en principio toma un estado homogeneo ypierde estabilidad a traves de una bifurcacion de Andronov-Hopf1? Laexperiencia ganada en sistemas de ecuaciones diferenciales ordinariasmuestra que debe ser una ecuacion con amplitud de onda compleja enforma de una ecuacion de Stuart-Landau.2

Ahora bien, para los propositos de esta seccion a esta ecuacionse le considera condependencia enx y t [3]. Entonces:

0 _A = 20@2x A + A g j A j

2 A

en donde para el caso de la conveccion de Rayleigh-BenardA = A(x; t ) es la amplitudde las modulaciones de la velocidad vertical en el plano medio desdez = d=2, y esla amplitud del ujo hidrodinamico cuya magnitud vz(x; z = d=2; t) esta dada poruna onda cuya propagacion espacial es ascendente y otra onda con propagaciondescendente (vz(x; d=2; t) = A(x; t ) exp(iqcx) + c:c: donde 2=qc es el periodo delas modulaciones yqc es el numero de onda). 0; 0 son constantes, = r 1 es elnumero de Rayleigh reducido conr = 4 T=4 Tc para el experimento de conveccionde Rayleigh-Benard con Tc la diferencia de temperaturas crtica, yr = !=! c parael experimento de los vortices del ujo de Taylor,g es una constante de acoplamientoreal que depende de la escala deA. Esta ecuacion, puede ser aplicada para explicaralgunos aspectos cuantitativos y cualitativos de los diagramas de bifurcaciones y laformacion de patrones de sistemas de uidos.

A continuacion, se presentan las soluciones de esta ecuacion y suestabilidad.Tambien se presenta el diagrama de bifurcacion.

1Esta bifurcacion es el origen de un ciclo lmite cuando el sistema seencuentra en estado deequilibrio. Por ejemplo en el oscilador de Van der Pol: x ( x2) _x + x = 0 ocurre que al cambiarde positivo a negativo el parametro de control , y cuando hay un foco estable en el origen delespacio fase, da lugar a un ciclo lmite cuya amplitud para un valor peque~no de es O( 1=2), esdecir el foco se vuelve inestable.

2La ecuacion de Stuart-Landau tiene la forma:dAdt

= A (1 + i )jA j2A donde es la respon-

sable de las oscilaciones isocronas.

4


Para estudiar la transicion de conduccion a conveccion en formade rollos connumero de onda del sistemaq = qc, consideramos patrones dados por la amplitudA = A0 expi dondeA0 y son dos constantes reales. Bajo estas condiciones y paraeste caso el termino 20@

2x A = 0. Entonces, se obtiene que la ecuacion de Landau se

transforma en: 0 _A0 = A 0 gA30

Para el caso en el queg > 0 tenemos terminos no lineales estabilizantes, cuando_A = 0, entonces A 0 gA30 = 0. De esto se sigue queA0 tiene tres soluciones:

A0 = 0 ; A0 = p

=g de las cuales la primera esta permitida para todo valor de ,pero para las ultimas dos solo estan denidas para > 0.

Gracando las soluciones de la ecuacion de Landau para la amplitud como unafuncion de , lo que se obtiene son dos curvas simetricas respecto al eje horizontalpara > 0, cuyo punto de union se encuentra exactamente en el origen (bifurcacion\tenedor", ver la gura 1.2). A dicha graca se le nombra comobifurcacion perfectasupercrtica . Bifurcacion supercrtica porque se separa en dos la solucion cuando < 0 y > 0, y lo de perfecta se debe a queA = 0 es la solucion para cualquier > 0. La solucion A = 0 es inestable para > 0.

Figura 1.1: Gracas de A( ) = p

=g y A = 0. Sin perdida de la generalidad y enforma de ejemplog = 1.

5


1.3. Caractersticas de los patrones periodicos ymodelo de Swift-Hohenberg

Algunos patrones periodicos bidimensionales con simetra de bandas se formanen reacciones qumicas, en sistemas opticos y en la conveccion termica de Rayleigh-Benard. Tambien se pueden formar en los mismos sistemas patrones de simetra tres,o hexagonal. La estructura espacial de un patron esta compuesta por propiedades quese repiten, las cuales corresponden a la modulacion espacial o temporal de una vari-able fsica local (digamos la concentracion, el ndice de refraccion o la temperatura).Ejemplos de estos dise~nos geometricos complicados se encuentran en la naturalezaen las pieles de los mamferos, reptiles, peces, conchas de caracoles marinos, coloniasde bacterias y en estructuras vegetales en zonas semiaridas [2, 4, 34, 35].

Otro modelo matematico para explicar procesos de formacion de patrones de for-ma mas general, es el modelo de Swift-Hohenberg. Pero para entender dicho modelo,primero es necesaria dar una descripcion cualitativa de lospatrones periodicos.

1. La formacion de patrones se maniesta mediante el rompimientode simetrasde rotacion y traslacion de un sistema inicialmente uniforme.

2. Al parejo de la formacion de un patron, es comun que aparezcan estructurasespaciales que conectan estados estables diferentes del sistema, a los que lesllamaremosdefectos topologicos.

Ejemplos de estos defectos topologicos son lasdislocacionesy las fronteras degrano. Los primeros se dan en patrones de bandas y aparecen en donde unabanda termina dejando indenida la fase de la amplitud del patron; el otro,es una region que aparece cuando se encuentran dos patrones de orientacionesdiferentes.

3. La disminucion de la densidad de defectos topologicos en un sistema, causa elcrecimiento de un determinado orden en el sistema.

1.3.1. El modelo de Swift-Hohenberg

En esta seccion, para una mejor descripcion del fenomeno de conveccion, se pre-senta una construccion inductiva de una ecuacion diferencial con derivadas parciales:la ecuacion de Swift-Hohenberg [36].

Debido a la inestabilidad linealdel sistema para > 0, se introduce una funcion , a la cual se le nombraparametro de orden local. El signicado fsico de (x; t )para la conveccion de Rayleigh-Benard, es representar la componente vertical de lavelocidad del uido medida en el plano medioz = d=2. En el estado conductivo, = 0. Se consideran perturbaciones de este estado en forma de modulaciones denumero de ondak:

(x; t ) = 0 exp (t + ikx ) + 0 exp (t ikx ) (1.2)

6


donde es un numero real a priori que denota latasa de crecimiento, k el vector deonda del modo, y es complejo conjugado de 3.

Entonces, al sustituir (1.2) en las ecuaciones constitutivas y linealizadas del prob-lema, se obtiene una relacion = (k) llamada relacion de dispersion. Es evidenteque para el estado conductivo (cuando < 0), tiene que tender a cero cuandot ! 1 , esto implica que < 0; 8k. Si existe un numero de ondak0 que maximizay si (k0) > 0, los valores dek cercanos ak0 seran los modos con crecimiento masrapido y por lo tanto caractersticos del sistema en su estado nal, que se espera seaun patron con numero de onda alrededor dek0. Por ende, un desarrollo en serie deTaylor a primer orden en alrededor del punto ( = 0 ; k = k0) da:

(; k ) =@@

?????

0

+@@k

?????

k0

(k k0) +12

@2@2k2

?????

k0

(k k0)2 + (1.3)

Notese de esta ecuacion que:

> 0; k k0 () > 0 ^@@

0

> 0

< 0; k k0 () < 0 ^@@

0

> 0

Tomando @=@0

= 1 se tiene que (; k 0) = . Adicionalmente, se requiere que@2=@k2 < 0 para que sea maximo enk = k0, y esto a su vez implica@=@kjk0 = 0.Cuando la capa de uido se extiende innitamente en dos dimensiones,el vector deonda del modo creciente no adopta una direccion particular. Por locual, se necesitaque la ecuacion (1.3) sea invariante por rotacion, es decir = (k2). A segundoorden se obtiene la relacion de dispersion:

(; k 2) = 20

4k20(k2 k20)

2 (1.4)

con 1=2@2=@2k2???

k0= 20=4k

20 elegida por conveniencia. La forma de es la de

una parabola invertida.Recordando que la ecuacion que satisface dada por (1.2) debe cumplir la

relacion (1.4), entonces dicha relacion debera obtenerse de la ecuacion en derivadasparciales:

@@t

= 20

4k20(r 2 + k20)

2 :

3Recordemos que la necesidad de representar observables fsicaspor numeros complejos, tienela nalidad de dar comportamientos complejos en las ecuaciones diferenciales ordinarias no linealesde sistemas fsicos, y cuyas soluciones son estados inestables delsistema (como por ejemplo el casode un sistema cuyo comportamiento es descrito por la ecuacion (1.1) donde la observableA dedicho sistema es un escalar complejo).

7


Ecuacion cuyo caracter es lineal. Los modos inestables corresponden a > 0, esdecir, > 0; k k0. La amplitud de estos modos diverge cuandot ! 1 . Entonces,si a la ultima ecuacion le agregamos un termino 3, compensamos el crecimientoy las soluciones estacionarias hacia formas lmite cuandot ! 1 . El termino cubicodeja la ecuacion invariante bajo una reexion ( ! ). Si a~nadimos un terminocuadratico se rompe esta simetra, pero aumenta la complejidad del comportamientode la dinamica. Por lo tanto, la construccion de la ecuacion diferencial parcial massimple queda como:

@@t

= 20

4k20(r 2 + k20)

2 + g 2 3: (1.5)

Esa ecuacion diferencial parcial no lineal es conocida comoel modelo de Swift-Hohenberg[37, 38]. Esta ecuacion se resuelve numericamente mediante el metodoseudo-espectral implicito que se emplea en las referencias [15, 16, 32] y el resultadoson los patrones semejante los de la gura 1.2, cuya dinamica tiene lapropiedadde tener estados vtreos. El comportamiento de la morfologa detales patrones, essimilar al comportamiento de pelculas ferromagneticas mostradas en [1, 39], as co-mo en pelculas constituidas por copolimeros diblock empleadas parala litografa(ver las referencias [40, 41]) y la morfologa de nano-estructurasque tiene algunsemiconductor como se reporta en la literatura [42].

Figura 1.2: Patrones obtenido empleando una malla de 2562, despues de 23000 it-eraciones. El patron de la Fig. a), se obtiene cuando = 0.5 y g = 0, y en patronde la Fig. b) el valor de = 0.1 y g = 1.

8


1.3.2. Derivacion de la ecuacion de amplitud compleja a pa r-tir del modelo de Swift-Hohenberg

En adelante se buscan soluciones de la ecuacion de Swift-Hohenberg (ecuacion(1.5)) con la forma de un patron de bandas:

(~r; t) = A(~r; t) exp (i~k ~r) + A (~r; t) exp ( i~k ~r) (1.6)

donde~r es un vector en dos dimensiones yj ~k j= k0. Este patron corresponde a rayasperpendiculares para~k0. Si A = constante, el patron es perfectamente regular. SiA = A(~r; t) el patron esta distorsionado. Se puede mostrar que la ecuacion para Aes de la forma (1.1), esto es:

@A@t

= A + 20

@

@x

i2k0

@2

@y2

2A 3 j A j2 A: (1.7)

Ecuacion muy parecida a (1.1) que se llama comoecuacion de Ginzburg-Landaucompleja dependiente del tiempo. Una derivacion se puede encontrar en la referencia[43].

No obstante, esta ecuacion diferencial parcial no lineal se puedeexpresar demanera mas compacta, acomodando el lado izquierdo de dicha ecuacion medianteun funcional de las funcionesA(~r; t) y A (~r; t)

F (t) =Z

d~r

2

j A j2 32

j A j2 +12

@@x

i

2k0

@2

@y2

A

2

As, se obtiene que la ecuacion (1.7) equivale a

@A@t

= FA

; (1.8)

donde representa la derivada funcional. Ademas, el funcionalF cumple con que:

dFdt

= 2Z

d~r

@A@t

2

< 0: (1.9)

1.4. Modelacion de patrones magneticos: descrip-cion contnua

La formacion de patrones en sistemas magneticos presentada en la seccion an-terior, se puede discutir con modelos de un parametro de orden local contnuo enlos que se introduce un funcional de energa el cual modela las interacciones fer-romagneticas de corto alcance y dipolares de largo alcance. Estosmodelos tienencaractersticas similares al modelo de Swift-Hohenberg [1, 7].

9


Consideremos un campo escalar (~r; t) denido en un espacio bidimensional. Estecampo representa un parametro de orden local, como por ejemplola magnetizacion.En una aproximacion de \grano grueso" (coarse graining), representa la variableSi promediada localmente. Se propone un HamiltonianoH l de este sistema con lasiguiente forma:

H l = 0

Zd~r

12

(~r; t)2 +14

(~r; t)4

h0

Zd~r (~r) (1.10)

en donde los factores 1=2 y 1=4 aseguran queH l es mnimo para 0(~r; t) = 1 enausencia de campo externo,h0 = 0.

Es necesario adicionar un termino de interaccion de corto alcanceque tome encuenta variaciones espaciales de . Los terminos de interaccion entre vecinos mascercanos en el modelo de Ising son constantes hasta segundo orden en las variacionesespaciales. Entonces, para sistemas continuos introducimos el siguiente termino quemodela las interacciones de corto alcance [44]

H rig = 02

Zd~rjr (~r)j2 (1.11)

en donde el factor 0 > 0. Este termino es de caracter \atractivo" dado que esmnimo para = constante, y H rig es positivo en presencia de inhomogeneidades(interfases). En el modelo de Ising este termino se mapea a una interaccion ferro-magnetica entre vecinos cercanos4.

Se dene la cantidadH tal que considere todas las interacciones anteriormenteplanteadas como:H = H l + H rig dondeH l y H rig estan denidos por las ecuaciones(1.10) y (1.11) respectivamente. La ecuacion que describe la relajacion en el tiempodel campo (~r; t) hacia estados de equilibrio (mnimos deH ) es [12]:

@@t

= H

; (1.12)

donde es la derivada funcional de Frechet. En esta ecuacion, el campoescalarno obedece una ecuacion de conservacion:

Rd~r (~r; t) depende del tiempo a priori.

Al sustituir H en la ecuacion anterior se obtiene:

@(~r)@t

= h0 + 0 (~r) 0 3(~r) + 0r 2 (~r) (1.13)

ecuacion conocida comoecuacion de Ginzburg-Landau real dependiente del tiempoy es una ecuacion importante en este trabajo. En el captulo siguiente se expone unanalisis lineal de peque~nas perturbaciones similar para las soluciones estacionariasuniformes de las ecuacion de Ginzburg-Landau.

4Como en la ecuacionH f Si g = JP

Si Sj BP

i Si con J > 0, Si (o Sj ) = +1 si elespn apunta hacia \arriba" y 1 si el espn apunta hacia \abajo". La primera suma denota sumasobre pares de vecinos mas cercanos.

10


Los sistemas que forman fases no uniformes (o modulaciones) pueden ser de-scritos por un termino adicional de interaccion dipolar repulsiva delargo alcance,de la forma [1]

Hdip = 0

Zd~rd~r0 (~r) (~r 0)G(~r; ~r ) (1.14)

donde > 0 y G(~r;~r 0) esta dada por r 2G(~r;~r 0) = (~r ~r 0) lo cual implica queG(~r;~r 0) 1= j ~r ~r 0 j3 para distancias grandes.

Entonces, adicionando las ecuaciones (1.11) y (1.14) a la ecuacion (1.10) se ob-tiene

H total =Z

d~rh 0

12

(~r)2 +14

(~r)4

h0 (~r)+

+ 02

jr (~r)j2 + 0

Zd~r 0 (~r) (~r 0)G(~r;~r 0)

i(1.15)

dondeH total = H l + H rig + Hdip . Para explicar por que los terminosH rig y Hdip puedenllevar a la formacion de patrones, se dene el termino de interaccion denotado porH int como H int = H rig + Hdip . Sustituyendo las ecuaciones (1.11) y (1.14) enH inttenemos:

H int =Z

d~r

02

j r 2 ~ (~r) j2 + 0

Zd~r0 (~r) (~r 0)G(~r;~r 0)

Denotando por ~ (~k) la transformada de Fourier de (~r), y sustituyendola en laultima ecuacion se obtieneH int en el espacio de Fourier:

~H int =1

(2 )2

Zd~k

02

k2j (~k)j2 + 0G(~k) ~ (~k) ~ ( ~k 0)

=1

(2 )2

Zd~k

02

k2 + 01k2

j ~ (~k) j2 (1.16)

en donde se ha empleado el hecho de que sir 2G(~r;~r 0) = (~r ~r 0) entoncesG(~k) = 1 =k2. Debido al prefactor dej (~k)j2 los modos~k que hacen ~H int mnimoson de numero de ondak0 = (2 0= 0)1=4, lo cual implica formacion de patrones o lapresencia de fases moduladas. El funcional (1.15) ha sido empleadopara describirpatrones en monocapas de Langmuir [1] y en la disolucion de copolmeros dibloque[45, 46].

En un estudio reciente [7], dado el funcional (1.15) se describe la simulaciontemporal del sistema para una dinamica sobreamortiguada (disipativa) que lleva elcampo (~r) hacia funciones que minimizanH total . De manera similar a la ecuacion(1.12), en este estudio, se considera un parametro de orden no conservado

@(~r)@t

= H total (~r)

;

11


donde es una mobilidad positiva y es la derivada funcional de Frechet. Al sustituirla ecuacion (1.15) en la ultima expresion, se obtiene [7]

@(~r)@t

=

h0+ 0 (~r)+ (~r)3

+ 0r 2 (~r)+ 0

Zd~r0 (~r 0)G(~r; ~r )

(1.17)

Note que esta ecuacion se reduce a la ecuacion de Ginzburg Landau real (ec. (1.13)),si = 1 ; 0 = 0, 0 = 1 siendo la solucion uniforme (estado de equilibrio). Pararesolver ecientemente esta ecuacion mediante el uso de la computadora y de talmanera que se pueda evaluar directamente el termino que contiene la integral, seemplea el metodo pseudo espectral. Entonces, se escribe esta ecuacion en el espaciode Fourier, la cual se transforma en

@~ (~k)@t

= h 0 (~k)+ 0( ~ (~k) e 3(~k)) ( 0k2 + 0g(~k)) ~ (~k) (1.18)

En esta forma, el termino proveniente de la interaccion dipolar delargo alcance esun termino algebraico que se aproxima comog(~k) a0 a1j~kj para k peque~na. Eltermino que involucra la transformada de Fourier dee 3 puede obtenerse facilmentemediante el empleo de la transformada rapida de Fourier de 3.

La ecuacion (1.18), se puede transformar en otra que solo dependa de cuatroparametros, mediante un escalamiento adecuado. Entonces, alelegir un nuevo campo~ = A 1 (~r=C; t=B) donde A es

A =

s

1 +a0 0(C 1)

0;

la nueva ecuacion de la dinamica del sistema en el espacio de Fourieres

@~ (~k)@t

= h (~k)+ ( ~ (~k) e 3(~k)) (k 2 + [a0 a1j~kj]) ~ (~k) (1.19)

donde

= 0A2

B =

0C2

B

h =h 0AB

= 0C

B

En la solucion numerica de la ec. (1.19) E. A. Jagla [7] considera los valores a0 9.05; a1 = 2 ; = 2.0; = 0.19. El resto de los parametros son variables del sistema.Al asignar una condicion inicial arbitraria en la ec. (1.19), dicha ecuacion describeuna evolucion en la cual la energa total del sistemaH total se reduce hasta alcanzar unmnimo local, en el cual@~=@tes cercano a cero. Se observa que el mnimo absolutode H total no se alcanza, mas bien, el sistema obtiene uno de muchos posibles estadosmetaestables que contiene muchos defectos. Dicha simulacion se hace utilizando

12


condiciones de frontera periodicas. Se discretiza el espacio en una malla cuadrada512 512 de longitud de malla unidad.

Los resultados de la simulacion numerica muestran la existencia de cuatro tiposde patrones (ver gura 1.3). Al mismo tiempo, estos patrones tienen principalmentetres comportamientos diferentes, a los cuales se les denomina como:

1. Patrones de burbujas y rayas.

2. Transicion de una fase de burbujas a fase de rayas, con coexistencia.

3. Colapso del patron de burbujas en un patron poligonal.

Figura 1.3: En las 6 imagenes de la izquierda se presentanpatrones de burbujas yrayas para el caso de la evolucion de la magnetizacion para un campoh que varacomo se indica para = 1 ;6. En las 6 imagenes del centro, se presenta la transicionde una fase de burbujas a fase de rayas. Finalmente, en las imagenes de la derechade esta gura se muestra elcolapso de burbujas en un patron poligonalpara valoresgrandes de = 1 ;8. Figuras tomadas de [7].

Otro modelo similar donde la dinamica del sistema esta dada por una ecuacionsimilar a (1.13) para estudiar los dominios de pelculas ferromagneticas, o bien ladescomposicion espinodal en una aleacion binaria, se estudia en la referencia [10]. Sinembargo, el sistema se describe desde la perspectiva de la formulacion del crecimientode grano grueso (coarse grained), y se emplea un parametro de orden (~r; t), el cualsatisface el funcional de energa libre tipo Ginzburg-Landau siguiente :

F [ ] =Z

d~r

12

jr j2 +14

4 12

2 h

; (1.20)

13


donde h(~r; t) es por ejemplo la magnitud del campo externo al que se somete elsistema. La dinamica del parametro de orden (~r; t) se estudia cuando es conservaday no conservada:

@@t

= @F@

+ @@t

= r 2

@F@

+ (1.21)

donde es el termino de ruido Markoviano, cuya forma es Gaussiana tal que satisface< (~r; t) > = 0 y < (~r; t) (~r0; t0) > = 2T (~r ~r0) (t t0), si el parametro (~r; t)es no conservado. Pero cuando (~r; t) es conservado, nuevamente cumple que< (~r; t) > = 0, pero ahora< (~r; t) (~r0; t0) > = 2T (t t0)r 2 (~r ~r0). Notese queal sustituir la ecuacion (1.20) en la primera de las ecuaciones (1.21),se obtiene otravez la ecuacion (1.13), si 0 = 1, 0 = 1 y h(~r; t) = h0. Los resultados numericosson obtenidos mediante el algorimo de Runge-Kutta y la discretizacion espacial sehace en el espacio de Fourier. Se toman para los parametros los valores anteriores yse haceT = 0.1. Estos resultados se muestran en la gura 1.4.

En el modelo que se estudia en esta tesis, se obtienen patrones similares, entreotros.

Figura 1.4: Conguracion del campo durante la separacion de fases en la simulacionpara tiempos 317, 1262, 5024 y 20100, con dimensiones de la malla 10242. Figurastomadas de [10].

14


1.5. Aproximacion de campo medio para un gasde malla de tres componentes

En esta seccion, mostraremos como una descripcion de campo medio para ungas de malla con tres componentes (propuesta por Furman, Dattagupta y Griths)[47], puede conducir a la formacion de patrones. Este modelo nos permite dar unejemplo de modelacion de patrones en mezclas de tres componentes.

Suponemos que el volumen ocupado por el gas esta dividido en celdas cuyoscentros forman una malla regular. Cada celda contiene una y solo una molecula,la cual puede ser del tipo 1; 2 o 3. Si la j esima celda contiene una moleculadel tipo , entonces la cantidadP ( )j es igual a 1 y cero para las otras especies. Elhamiltoniano del sistema es [47]:

H = 1q

X

X

E X

P ( )i P( )j

X

X

i

P ( )i (1.22)

dondeq es el numero de coordinacion de la malla,E = E > 0 es el opuesto dela energa de interaccion entre moleculas del tipo y ubicadas en celdas vecinas,< ij > denota pares de celdas mas cercanas, y es el potencial qumico de laespecie . En la aproximacion de campo medio la energa libreF para un sistemacon N celdas esta dada por

FN

= kTX

A ln A 12

X

X

E A A X

A (1.23)

dondek es la constante de Boltzmann,T es la temperatura del sistema,A =

es el promedio termico deP ( )j o la probabilidad de que laj esima celda esteocupada por una molecula del tipo (se supone que es independiente dej ).

Un comportamiento muy similar al diagrama de fases del modelo de VanderWaals se presenta en este modelo, aunque en partes del diagrama existen diferenciassignicativas, la similitud se encuentra en que ambos modelos presentan un puntotriple.

En el resto de esta seccion se presenta un renamiento del modelo con aproxi-macion de campo medio para una malla de gas de tres componentes [47], que permiteestablecer el diagrama de fases de un sistema de tres componentes. El compor-tamiento del modelo se ilustra mediante un diagrama de fases de cincodimensiones,mostrando su estructura general, as como informacion sobrela localizacion de pun-tos crticos y triples del sistema.

Al realizar analisis de los diagramas de fase de un modelo de mezclas ternarias enun punto triple [11], se encuentra que las fases uniformes, tienen una descomposicionespinodal. Esto ocurre, cuando al variar los parametros del sistema, se le hace pasarde una fase a otra de inmiscibilidad, haciendo con tales cambios que el sistemaadquiera un estado inestable. Inclusive se observa la descomposicion espinodal en

15


una region de tres fases, al considerar dos parametros de orden. Ademas, el modelopresenta una riqueza en el comportamiento de la separacion de fases, incluyendoseparacion de tres fases con propiedades de mojado en las interfases.

El modelo matematico propuesto por Furman, Dattagupta y Grit hs para mez-clas ternarias (dado por las ecs. (1.22) y (1.23)) y extendido por Varea [6] paraincluir estados inhomogeneos a traves de gradientes que modelaninteracciones decorto alcance, queda denido por la densidad del gran potencial! como:

! = kT [u ln u + v ln v + w ln w] + avw + bwu+ cuv

12

(ar v r w + br w r u + cr u r v) uu vv ww (1.24)

en donde (u; v; w) son las concentraciones de las componentes (U; V; W) tales que:u+ v+ w = 1. ( u; v; w) son los potenciales qumicos y los parametros de interaccion(a; b; c) tienen la condicion de normalizacion usuala + b+ c = 1 y por simplicidadse toma el casoa = b > 0.

La evolucion temporal para las concentracionesu(~r; t) y v(~r; t) (dado que wsiempre se puede expresar en terminos deu; v comow = 1 u v) esta determinadapor el par de ecuaciones [48, 49]:

@u(~r; t)@t

= r 2 [ u; v]

u;

@v(~r; t)@t

= r 2 [ u; v]

v

donde [ u; v] =R

! [u; v; (1 u v)]d~r es el gran potencial y~r es un vector endos dimensiones. Cuando los camposu y v estan denidos por estas ecuaciones, seles llamaparametros de orden conservados, o bien, a las ecuaciones que denen ladinamica de los camposu y v se les nombraecuaciones de Cahn-Hilliard.

A continuacion se expone una extension de este modelo que permite observarpatrones similares a los patrones de dominios magneticos discutidospreviamente.

1.6. Modelo de gas de malla en mezclas con in-teracciones de largo alcance

Se presenta un modelo introducido por C. Varea de evolucion temporal de unamezcla ternaria cuya energa libre contiene dos parametros de orden local acoplados eincluye un termino de interaccion a largo alcance para uno de los parametros locales[6] de manera similar al funcional (1.15). Esa energa libre modela en el caso detres especies, una competencia entre fases moduladas y fenomenos de separacion defases uniformes debido al exceso de energa libre en interfases. Este modelo en generalconduce a la formacion de estados metaestables policristalinos, loscuales le impidenal sistema alcanzar el equilibrio. La energa libreF incluye terminos de interaccion

16


dependientes de las distancias de separacion entre celdas. En la aproximacion decampo medio se escribe como

F =X

i;

kT ui ln ui +

12

X

i;j;;

V ; (r ij )ui uj (1.25)

dondeui es el numero de ocupacion de la especie en el sitio i , T es la temperatu-ra, V ; (r ij ) es el potencial de interaccion yr ij es la distancia de separacion entrei y j . Dado que todos los sitios de la malla estan ocupados, se implica la condicionP 3

=1 ui = 1. Por lo tanto, en cada posicion i hay dos concentraciones indepen-

dientes (u1; u2). El potencial de interaccion esatractivo para los primeros vecinoscercanos,se anulapara los segundos vecinos y esrepulsivo a distancias mayores:V ; (r ij ) =r3i;j lo cual corresponde a una interaccion dipolar con momento, para la especie .

Ahora, para el caso de una malla cuadrada, la parte atractiva del potencial deinteraccion en la energa libre F se obtiene considerando los primeros vecinos en(1.25), y se escribe en la siguiente forma

14

X

(au2i u3j + bu

3i u

1j + cu

1i u

2j ) (1.26)

donde la suma sobrej es para los cuatro primeros vecinos dei , a + b+ c = 1 loscuales determinan la escala de temperatura y momento dipolar. Adicionalmente, enla referencia [6],b = a; 1 = 2 = y 3 = 0 para que la mezcla sea simetrica,y se eligec = 0.285; kT = 0.08 y = 0.2. As, para resolver las ecuaciones quedeterminan el estado del sistema, hay que encontrar mnimos de laenerga libre yse hace empleando las ecuaciones de Euler-Lagrange,

Fu i

= ;

para los dos numeros de ocupacion independientesu1i y u2i en donde

es el poten-cial qumico. Dichas ecuaciones de Euler-Lagrange, se han resuelto por iteracionessucesivas con un error global menor a 10 8 y suponiendo que 1 = 2 [6].

Ademas, para estudiar la dinamica del sistema, se necesita minimizar el granpotencial el cual se dene como

= F X

i

( 1u1i 2u2i )

Finalmente, al diferenciar esta ultima ecuacion y tomando en cuenta la concentraciondel numero de partculas para cada especie, se obtiene:

@ui@t

+ r ~J i = 0

17


con ~J i = r

u i

, la fuerza termodinamica, o:

@ui@t

= r 2 u i

: Varea[6] encuen-

tra que a las tres fases de la mezcla se le pueden asociar tres tipos diferentes depatrones: patrones hexagonales de gotas, patrones laminares de rayasy patroneshexagonales de burbuja. Adicionalmente, en los patrones hexagonales de burbuja, seencuentran regiones de mojado (interfases) y los patrones de rayas muestran ademasdel mojado, la formacion de defectos topologicos (ver gura 1.5). En las guras 1.6,1.7 y 1.8 se presentan ampliaciones de los patrones de las regiones I, II y III, adiferentes tiempos.

Figura 1.5: Diagrama de fases de una mezcla de tres componentes. Las letrasa,c,dy e se~nalan las regiones de inmiscibilidad para transiciones de fase de primer orden.El punto b se~nala una transicion de fase de segundo orden donde hay una fase desegregacion de gotas. En la region I las fases estables son fasesde gotas hexagonalesde las distintas especies. En la region II hay una fase lamelar y en la region IIIse obtienen dos fases en equilibrio entre dos fases hexagonales coninterfases deburbujas. Los puntos representan (de arriba a bajo) concentracionesu1 = u2 = 0.18,u1 = u2 = 0.27, u1 = u2 = 0.33, u1 = u2 = 0.382 y u1 = u2 = 0.45 donde se estudiala dinamica (gura tomada de [6]).

18


Figura 1.6: Patrones correspondientes au1 = u2 = 0.382. (a) Despues de 30 000iteraciones, (b) despues de 60 000 pasos de tiempo y (c) despues de 1 500 000iteraciones (gura tomada de [6]).

19


Figura 1.7: Patrones que representan la evolucion de un patron de laberintos parau1 = u2 = 0.27; (a) despues de 40 000 iteraciones, (b) despues de 80 000iteraciones(hay segregacion) y (c) despues de 1.5 106 iteraciones en tiempo (gura tomada de[6]).

20


Figura 1.8: Evolucion del patron para u1 = u2 = 0.45. (a) Despues de 210 000iteraciones, (b) despues de 830 000 iteraciones y (c) solucion estacionaria de lasecuaciones de Euler-Lagrange (gura tomada de [6]).

21


1.7. Patrones Estacionarios de Turing

El trabajo pionero publicado por Allan Turing en 1952 [50] y titulado como LasBases Qumicas de la Morfogenesistrata por primera vez, desde la perspectiva dela matematica a los procesos biologicos responsables que llevan a unorganismo vivoa tomar una forma precisa, y utiliza el concepto deMorfogenesis para describir talestudio (el origen de la forma). El proceso fundamental a estudiar en esta teora, sepuede resumir en la pregunta >como es que un embrion en estado de blastula esferica(forma de huevo), se transforma en un organismo mas complejo (por ejemplo unagallina), bajo ciertas condiciones fsicas y qumicas? Turing en principio estudia eldesarrollo embrionario de los seres vivos, considerando el tejido biologico como uncontinuo compuesto de celulas puntuales con masa, posicion, velocidad y elasticidadentre las celulas, las cuales interactuan entre s. A tales interacciones del tejido, seles puede caracterizar por leyes mecanicas (por ejemplo mediantelas ecuaciones deNavier-Stokes) y qumicas, y el tejido celular tiene deformacion por estres, densi-dad, velocidad y elasticidad. Sin embargo, como primera aproximacion solamenteconsidera las interacciones qumicas del tejido. Escencialmente estas interaccionesse modelan por reacciones qumicas que tiene lugar en el tejido biologico y se difundeentre las celulas y atraves de ellas. A los componentes de la reaccion se les denom-ina: activadorese inhibidores, o bien, en terminos mas generalesmorfogenos. Estassustancias son las responsables de producir la forma del organismovivo. Ademassegun sea el sistema especco a estudiar, pueden respresentar por ejemplo genes,moleculas biologicas, cromosomas o la pigmetacion de la piel de los animales.

El modelo matematico en morfogenesis de una reaccion qumica bidimensionalcon concentracionesX y Y de los morfogenos es:

dXdt

= f (X; Y ) + r 2X;

dYdt

= g(X; Y ) + r 2Y;(1.27)

donde es la constante de difusion de celula a celula paraX y es la constante dedifusion para Y . La suposicion mas general que se hace es que las concentracionesde los reactivosX y Y tienden a incrementar,X en una cantidadf (X; Y ) y Y enuna cantidad g(X; Y ). Los terminos difusivos consideran el cambio espacial de lascooncentracionesX y Y .

La formacion de estructuras espaciales puede ser apreciable a simple vista cuan-do por ejemplo, se resuelve mediante algun metodo numerico las ecuaciones (1.27), yal comportamiento espacio-temporal que emerge de la dinamica deestas ecuacionesse le nombrarompimiento espontaneo de la simetra. Es decir, a partir de que unsistema se encuentra en un estado simetrico y uniforme se generan regiones distingi-bles del espacio (patrones espaciales), lo cual aparentemente viola los principios dela termodinamica. Sin embargo, esto no es as y es ampliamente estudiado teorica yexperimentalmente en sistemas qumicos disipativos, mediante el modelo del Brusel-

22


lador por Prigogine y Lefever [51, 52], en sistemas lejos del equilbrio termodinami-co. En este caso, el mecanismo que rompe la simetra del sistema esla difusion yse conoce comoinestabilidad inducida por difusion o inestabilidad de Turing. Talcomportamiento contradice la intuicion, pues generalmente cuando una sustancia sedifunde, los gradientes de concentracion de esta disminuyen en eltiempo, lo cualimplica la desaparicion de cualquier tipo de estructura espacial. No obstante, en lainestabilidad de Turing es precisamente la difusion, la causa por la quepartiendode un estado estacionario uniforme en el sistema, este adquiere unestado inestabley de el emergen estructuras espaciales diferentes al estado estacionario.

Las expresiones matematicas de la inestabilidad inducida por difusion, as comola dinamica no lineal de las ecuaciones (1.27) son ampliamente estudiada en otrotrabajo [53]. Las formas algebraicas mas comunes de dichas condiciones matematicasson:

i)@f@X

+@f@Y

< 0; ii)@f@X

@g@Y

@f@Y

@g@X

> 0;

iii) @g@Y

+ @f@X

< 0; iv) @g@Y

+ @f@X

> 2

s

@f@X

@g@Y

@f@Y

@g@X

:

El trabajo de Murray [53], muestra dos resultados importantes respecto a la ob-servacion de los patrones por la pigmentacion de la piel de los animales, primerono hay animales que tengan rayas en la piel de su cuerpo y puntos en su cola, se-gundo, s hay animales que tienen puntos en la piel del cuerpo y rayas en su colacomo por ejemplo los leopardos, tigres, cebras y jirafas, y segundo, cualquier vboratiene patrones de rayas en su piel y no tiene patrones de puntos (ver gura 1.10h)).Por su parte, Kondo y Asai [26], retoman el estudio de la inestabilidadinducidapor difusion y lo aplican a la pigmentacion de la piel del pez angel (PomacanthusImperator). Estos dos trabajos posteriores al trabajo seminal de Turing inspiran amuchos qumicos, biologos, matematicos y fsicos a investigar enesta direccion.

Aproximadamente 50 a~nos despues de la publicacion de Turing, eltrabajo ex-perimental de Kepper y su grupo [22], generan experimentalmente en un reactorqumico por primera vez la existencia de los patrones producto de la prediccion dela teora de Turing (ver guras 1.9a), b) y c)). Aunque lo hacen incluyendo unaconstriccion adicional a las escritas anteriormente, esto es, encuentran que: .Posteriormente en otros trabajos experimentales se propondra una tecnica univer-sal [23, 24, 25] para reproducir los patrones producidos por inestabilidad inducidapor difusion, y tambien descubre una transicion de morfologade patrones de rayasa puntos. La propuesta de un modelo matematico (modelo Lengyel-Epstein) expli-ca el mecanismo subyacente de como la reaccion qumica, empleando los reactivosClorito, Yoduro y Acido Malonico (CIMA), produce experimentalmente patronesestacionarios de puntos y rayas [25]. Un variante de esta reaccionse hace empleandodi-Yoduro (reaccion CDIMA) en vez de Yoduro [54]. En el mismo estudio, el mod-elo Lengyel-Epstein es corroborado y resuelto con metodos numericos encontrandoconcordancia en la morfologa entre los patrones de la simulacion y los patrones

23


experimentales. En otro experimento numerico reciente, los patrones producidosmediante simulacion computacional son de mayor complejidad, y el modelo emple-ando se construye mediante sistemas de Turing acoplados, los cuales son resueltosmediante metodos numericos [55].

La comprobacion experimental de la teora de Turing a su vez, motivo a cient-cos como Barrio y sus colaboradores a estudiar mas a fondo los sistemas de reacciondifusion. En trabajos como en la referencia [27], se acoplan dos sistemas de reac-cion difusion, los cuales son resueltos numericamente y los patrones que emergende la simulacion computacional tienen una diversidad enorme para reproducir lapigmentacion de la piel de una gran diversidad de peces. Tambien,en otros trabajosmodelan y simulan computacionamente los patrones de la pigmentacion de insec-tos como en las alas de las mariposas [56] y los patrones del exoesqueleto de lascatarinas [57], as como los patrones de los caparazones de los caracoles marinos sonreproducidos mediante computadora en otro trabajo reciente [58] y los patrones dela pigmentacion de la piel de otros animales como ardillas y peces como lapastinaca[28].

Una extension de la idea planteada por Turing, la desarrolla Murray ysus colab-oradores respecto a la creacion de modelos que consideran las interacciones fsicasy qumicas entre las celulas de la piel, constituida principalmente por tres capas:la dermis, epidermis y lamina basal. El modelo propuesto esta constituido por unsistema de reaccion difusion que modela la epidermis, acoplado a otro sistema de dosecuaciones diferenciales parciales no lineales, las cuales se derivan dela conservacionde la masa y fuerzas externas y que modelan la dermis [29]. Una simplicacion dedichas ecuaciones de conservacion es:

@@t

(r 2 )+ r 2 + r 2

1 1 + (1 )2

(1 r 2 )(1+ [X X 0])

=s (1.28)

donde representa la densidad de los elementos que constituyen el tejido de laepidermis, , , , , , s son los parametros de control del sistema yX es laconcentracion del activador. El sistema de reaccion difusion acoplado a esta ecuacion,se muestra mas adelante en la tabla de abajo. Este modelo resueltocon metodosnumericos produce patrones con morfologa similar a la pigmentacion de los reptiles.En otros trabajos, se presentan variantes de este modelo que solamente consideranlas interacciones fsicas entre las celulas [30, 59, 60, 61]. A este tipo de sistemas seles nombra generalmentemodelos mecanoqumicos.

Para nalizar esta seccion, en la siguiente tabla se resumen los detalles de losmodelos discutidos anteriormente. En la gura 1.9 se muestran los patrones exper-imentales que emergen de la reaccion qumica CIMA. Por otra parte, en la gura1.10 se muestran los patrones que corresponden a las simulaciones numericas de losmodelos presentados en la tabla, as como la similitud que presentanestos patronescon la pigmentacion de la piel de los animales vertebrado o insectos.

24


Terminos Caractersticas del modeloNo-lineales Autor Parametros Morfologaf (X; Y ) = a(b XY ) Turing [50] a = 0.06, b= 16, Fasesg(X; Y ) = c(XY Y d) c = 0.06, d = 12, Uniformes

= 0.25, = 0.06. Fig. 1.10a)

f (X; Y ) = a (b+ 1) X + X 2Y Bruselador a = 4 ;5, b= 7.5,6.75, Rayas yg(X; Y ) = bX X 2Y [51, 52] = = 8 Puntos

Fig. 1.9d),e)

f (X; Y ) = a X + 4XY

1 + X 2Lengyel & a = 10,12, b= 0 ;39, Rayas y

g(X; Y ) = b

X XY

1 + X 2

Epstein [25] = = 1 ;07 Puntos

Fig. 1.9d),e)f (X; Y ) = aX + bY c Kondo & a = 0.05, b= 0.08, Patrong(X; Y ) = dX eY + f Asai [26] c = 0.05, d = 0.1, de Rayas

e = 0.06, f = 0.15, Fig. 1.10b) = 0.007, = 0.1

f (X i ; Yi )= X i (q1+ q2Yi+ q3Y 2i )+K i(X i ;Yi) Barrio, a = 0.899, b= 0.91, Rayas yg(X i ; Yi )= X i (q2Yi+ q3Y 2i )+ Ji(X i ; Yi) Varea, c = 0.899,r1 = 3.5, PuntosK i (X i ; Yi )= h+aXi+Yi r1X iYi ar2X i Yi2 Aragon & r2 = 0, qi = 0.55, Fig. 1.10c)Ji (X i ; Yi ) = cXi+ bYi+r2X i Yi ar1X i Yi2 Maini i = 1 ; 2; 3, h= 0.005,

[27, 28] = 0.516, = 2.

f (X; Y ) = c

a bX +X 2

Y (1 + kX 2)

Sekimura a = 0.1, b= 1.0, Patrones

g(X; Y ) = c(X 2 Y ) et. all [56] c = 619.45, k = 0.5, de = 1.0, = 70.847, manchas

Fig. 1.10d)

f (X; Y ) = cX 2Y

1 + kX 2 aX Liaw, Yang a = 0.08, b= 0.1, Patron

g(X; Y ) = dX 2Y

1 + KX 2+ b Liu & c = 0.18, d = 0.36, de

Hong [57] k = 0, K = k Puntos = 0.0003, = 0.04, Fig. 1.10e)

f (X; Y ) = aX 2

Y (1 + SX X 2)+ aX Kelkel & a = 1.0, b= 0.0, Patron

g(X; Y ) = cX 2Y

1 + SY X 2+ b Surulescu c = 0.05, de

[58] SX = 0.0, SY = 0.0, Rayas = 0.1, = 0.8, Fig. 1.10f)

f (X; Y ) = a X + X 2Y Shaw& a = 0.25, b= 0.75, Patrong(X; Y ) = b X 2Y Murray = 0.125, dedonde satisface (1.28) [29] = 0.2, = 3.961 Puntos

Fig. 1.10g)

25


Figura 1.9: Fig. a) Reactor de qumico, b) patron experimental inicial y c) evoluciondel patron experimental de la reaccion CIMA, tomado de la referencia [22]. Patronesexperimentales de la reaccion CIMA, morfologa de puntos (g. d)) y rayas (g. e)),tomado de la referencia [23]. Los patrones espacialmente estacionarios f)-h) tamnienmuestran morfologas de puntos y rayas que produce la reaccionCDIMA (tomadode la referencia [54]).

26


Figura 1.10: Fig a) expone el resultado de la simulacion de una reaccion qumicasimilar a la piel de la vaca (tomado de [50]). Fig b) PezAngel y su simulacion(tomado de [26]), Fig c) otro tipo de pez y su simulacion (tomado de [27]), Fig d)catarna y su simulacion (tomado de [57]), g e) mariposa y su simulacion (tomadode [56]), g f) tipo de caracol y su simulacion (tomado de [58])y g g) una especiede reptil y su simulacion (tomado de [29]). Fig h) muestra el patronde una vbora.

27

Captulo 2

Modelacion de mezclas ternariascon parametros de orden noconservado y conservado

En este trabajo, se propone modelar un sistema ternario en formamas general[62] que en modelos cuyas ecuaciones son similares a (1.1) y (1.5) paracampos es-calares, los cuales son reportados en la literatura de revision [12, 63, 64] y dentrodel contexto de la morfogenesis. El modelo esta caracterizadopor un parametro deorden local (~r; t) que representa por ejemplo, la diferencia de concentraciones desoluciones polimericas. Este parametro de orden satisface una ecuacion diferencialparcial no lineal similar a la ecuacion de Ginzburg-Landau y esta acoplado a otroparametro de orden (~r; t) que tiende a formar fases moduladas y el cual satisfaceuna ecuacion similiar a la de Swift-Hohenberg. Como un primer paso, consideremosel caso donde la evolucion temporal para ambos campos escalaresesta dada porecuaciones deparametros de orden no conservados(ver [12]), a las cuales general-mente se les conoce comoecuaciones de Allen-Cahn[49, 65]:

@(~r; t)@t

= M F [; ]

; (2.1)

@ (~r; t)@t

= M F [; ]

;

donde M y M son las mobilidades del sistema,~r es bidimensional,F [; ] es elfuncional de energa libre de Helmholtz y se modela posteriormente.El segundo pasoes considerar queF [; ] tiene un parametro de orden conservado y otro parametrode orden es no conservado, es decir, cumple con las siguientes ecuaciones [66]:

@(~r; t)@t

= r 2F [; ]

; (2.2)

@ (~r; t)@t

= M F [; ]

:

28

CAPITULO 2. MODELACI ON DE MEZCLAS TERNARIAS CONPAR AMETROS DE ORDEN NO CONSERVADO Y CONSERVADO

donde M nuevamente es la movilidad del sistema. La forma de nombrar a lasecuaciones (2.2) dentro de la clasicacion que proponen Hohenberg y Halperin ensu estudio sobre dinamica de fenomenos crticos [66], es modelo C.

En principio, el modelo debe tener un termino referente a las concentracionespolimericas. Se propone que la energa del sistemaf [; ] contenga entonces comoprimer termino la energa libre de Edwards:[67]

FEdwards = kB TZ

d~r

a2

6jr (~r; t)j2 +

v2

4(~r; t) p 2(~r; t)

: (2.3)

dondea3 v y v es el volumen excluido del sistema. En la pasada expresion (~r; t)representa la diferencia de concentraciones de la solucion polimerica de la mezclaternaria (parametro de orden polimerico). El primer termino de la ec. (2.3), repre-senta interacciones a corto alcance entre elementos de las cadenas polimericas, elsegundo termino toma en consideracion el volumen excludo en unbuen solventey el ultimo termino es la interaccion de los monomeros con el potencial qumico(reservorio del sistema).

Ahora bien, la energa libre referente al solventeFSolvente , o bien, la tercera com-ponente, es el parametro de orden conservado (~r; t), el cual representa el potencialelectrostatico del solvente. Entonces, la energa libre que considera las contribucioneselectrostaticas de Coulomb se expresa como: [67]

FSolvente=Z

d~r

"8

jr (~r;t)j2+kB TX

C b (1 exp( e =k B T ))+ pe2(~r;t) (~r;t)

(2.4)

donde" es la permitividad del medio,kB es la constante de Boltzaman,T la temper-atura, pees la fraccion de carga de las cadenas polimericas de la mezcla. Nuevamente,el primer termino representa interacciones de corto alcance, solamente que en estecaso se trata de interacciones electrostaticas entre todas las cargas (iones peque~nosy monomeros cargados). El segundo termino determina la concentracion para ionespeque~nos, mediante la funcion de distribucion de peso de Boltzman en dondeC b sonlas concentracion para los iones positivos o negativos del solvente. El ultimo terminoes el termino de acoplamiento entre ambos campos escalares (~r; t) y (~r; t).

Por otro lado, si se considera que el potencial electrostatico promedio para ionespeque~nos es tal queje =k B T j


en serie. Al sustituir el resultado del desarrollo en serie en la ecuacion (2.4), seobtiene:

FSol =Z

d~r

"

8jr (~r; t)j2 + kB T

H (~r; t) +

C12

2(~r; t)

C23

3(~r; t) +C34

4(~r; t)

+ pe (~r; t) 2(~r; t)

: (2.5)

Finalmente, se propone introducir un tercer termino de energa libre Fdoblez el cualpermite la inmiscibilidad entre la diferencia de concentraciones (~r; t) y deforma-ciones superciales como por ejemplo doblez y curvatura [1]. Si consideramos quelas deformaciones son peque~nas se tiene que:

Fdoblez =Z

d~r

2

jr (~r; t)j2 +2

jr 2 (~r; t)j2 + (~r; t)r 2 (~r; t)

(2.6)

En esta expresion el signicado fsico de (~r; t) se reere a la diferencia del potencialelectrico de la supercie que pueda formarse a partir de la mezcla ternaria, es latension supercial, es el modulo de doblez, mide la elasticidad del termino deacoplamiento entre la curvatura localr 2 (~r; t) y el parametro de orden polimerico (~r; r ). Notese que si r 2 (~r; t) > 0 la curvatura de la supercie es convexa, y sir 2 (~r; t) < 0 la curvatura es concava.

Por lo tanto, el funcional de energa libre de Helmholtz que modela la mezclaternaria F a estudiar es tal que:f = FEdwards + FSol + Fdoblez.

Por conveniencia para el estudio numerico, en el resto de esta seccion se realizael analisis adimensional del modelo propuesto para mezclas ternarias. Al dividir laexpresion para la energa libref entre el termino kB T , posteriormente, sustituyendolas ecuaciones (2.3), (2.5) y (2.6) en el resultado de dicho cociente,y despues derealizar algunas manipulaciones algebraicas se concluye la siguiente expresion:

fkB T

=Z

d~r

a2

6jr j2 +

v2

4 p 2 +pe

kB T 2 +

kB T

r 2 H

+C12

2 C23

3 +C34

4 +4 "8k B T

jr j2 +

2kB Tjr 2 j2

(2.7)

Observando la pasada expresion para la energa libre, se concluyeque los terminosque involucra son adimensionales.

Ahora bien, por simplicidad, se introducen las siguientes deniciones:

F =f

kB T; D = a2=3; p =

2

; v =b2

;

= 4 p; " =2pekB T

=pe

"LJ T ; =

kB T

=

"LJ T ;

1 =4 "8k B T

=4 ""LJ T

; 2 =

kB T=

"LJ T

; C1 = + 3; C2 = g; C3 = 1

30


donde "LJ es el parametro de energa correspondiente al potencial de Lennard-Jones,T es la temperatura reducida (adimensional) tpica en sistemas que puedenser simulables mediante los metodos clasicos de la dinamica molecular. La anterioraclaracion tiene la nalidad de hacer notar que los parametros"; 1 y 2, estanrelacionados con las interacciones del tipo Van der Walls mediante la cantidad "LJ .La justicacion para la eleccion de los parametros de control D ; C1; C2; C3, sepuede considerar como una reduccion al modelo, as como tambien el suponer que 1 = 2 = 3 = ; a = 1 ; b = 1 :2 As que al sustituir en la ecuacion (2.7) lasdeniciones y suposiciones hechas anteriormente, se concluye:

F [; ] =Z

d~r

12

jr j2 +14

4 2

2 +"2

2 + r 2 H

+2

2 g3

3 +14

4 +2

2 + jr j2 +2

jr 2 j2

(2.8)

Hasta este punto del desarrollo, ya se esta en condiciones de obtener las ecuacionesdinamicas del sistema ternario. Entonces, sustituyendo la expresion (2.8) en las ecua-ciones (2.1) (modelo A), al resolver las derivadas funcionales de Fretche y despuesde realizar simplicaciones algebraicas se tiene para el caso no conservado

@@t

= 3 + r 2 " r 2 ;

@ @t

= H 2 r 2 r 4 "2

2 + g 2 3 + r 2:(2.9)

Una vez mas, por simplicidad se considera queM = 1, M = 1, y al considerar laidentidad:

Zd~r r 2 =

Zd~r fr ( r ) r r g =

Zd~r (r ) (r ); (2.10)

se le aplica el teorema de la divergencia, bajo las condiciones de borde( r ) = 0con ^ un vector unitario normal.

Y por otro lado para el caso en el que el parametro de orden es conservado y es no conservado (modelo C), sustituyendoF [; ] en (2.2), se obtiene que:

@@t

= r 2f + 3 r 2 + " + r 2 g;

@ @t

= H 2 r 2 r 4 "2

2 + g 2 3 + r 2:(2.11)

2Notese dos cosas: la primera es que la ultima suposicion reduce elnumero de parametros decontrol que hablan de fuerzas de Van der Walls a"; y ; segunda, mas adelante, en esta mismaseccion, se muestra que tales reducciones hechas al modelo propuesto tienen sentido, pues apartir def se obtienen ecuaciones diferenciales parciales no lineales muy similaresa las de Ginzgur-Landauy Swift-Hohenberg.

31


donde nuevamente se ha utilizado la identidad (2.10). Notese que la segunda ecuaciondel sistema de ecuaciones diferenciales parciales no lineal (2.9) y (2.11), puede sim-plicarse utilizando la siguiente identidad: v 2 r 2v r 4v = (r 2 + 1) 2v.Entonces al sustituir este resultado en dichos sistemas de ecuaciones para el casodel modelo A, se obtiene el sistema de ecuaciones:

@@t

= 3 " + r 2( );

@ @t

= H (r 2 + 1) 2 "2

2 + g 2 3 + r 2:(2.12)

y para el caso del modelo C, se tiene el sistema de ecuaciones:

@@t

= r 2

+ 3 + " r 2( )

;

@ @t

= H (r 2 + 1) 2 "2

2 + g 2 3 + r 2:(2.13)

Los sistemas de ecuaciones (2.12) y (2.13) son el objetivo de estudio en esta in-vestigacion. Una vez mas, en el sistema de ecuaciones (2.2), se ha supuesto porsimplicidad que M = 1. Estos sistemas son el modelo propuesto y el objeto deestudio en esta investigacion. No obstante, al elegir" = 0 y = 0 en los terminosde acoplamiento, as comoH = 0, se obtienen las ecuaciones de Ginzburg-Landauy Swift-Hohenberg por separado. Esto implica que las reducciones hechas al modeloanteriormente respecto a los parametros de controlD ; g; Ci ; i con i = 1 ; 2; 3, cuan-do menos resultan ser lo sucientemente validas, como para no perder generalidadrespecto a comportamientos morfologicos de los sistemas en equilibrio y fuera de el.

Por otro lado, se hace notar que la forma simplicada de la cual se derivan lossistemas de ecuaciones (2.12) y (2.13) es:

F [; ] =Z

d~r

2

2 +14

4 12

j r 2 j2 +"2

2 + r 2

+2

2 g13

3 +14

4 +2

j (r 2 + 1) j2

: (2.14)

2.1. Analisis del sistema para fases uniformes

Regresando a los aspectos dinamicos de la formacion de patrones, a continuacionse mencionan la propiedades principales, en terminos generales, delos sistemasdinamicos no lineales:

1. Las ecuaciones diferenciales que caracterizan el comportamiento de muchossistemas complejos, son de caracter parcial y no lineal, como en lossistemasde ecuaciones (2.12) y (2.13). Las soluciones de dichas ecuaciones pueden sersoluciones estacionarias, periodicas o mas complicadas para un conjunto de

32


parametros de control. Mas aun, el cambio en los parametros de control haceque aparezcan o desaparezcan soluciones, o que estas se vuelvan inestables.

2. Una forma de representar la solucion de una ecuacion diferencial que describeun determinado sistema, es con un espacio matematico multidimensional enel cual cada punto dene un estado del sistema al tiempot. A tal espacioabstracto se nombra comoespacio fase. La dinamica del sistema se puedeestudiar con las trayectorias recorridas por los puntos en el espacio fase.

3. Se clasica la dinamica del sistema como sigue: a las soluciones estacionariasde las ecuaciones de movimiento del sistema se le conoce comopuntos jos; ya las trayectorias que uyen hacia un punto jo se les dene comocuenca deatraccion . Si al variar un parametro, se modica la cuenca de atraccion deunpunto jo (que aparece o desaparece), ocurre unabifurcacion .

En un primer paso, en esta seccion se hace el analisis de estabilidadlineal paralas soluciones estacionarias uniformes. En segundo lugar, en la siguiente seccion serealiza el calculo de las condiciones que deben cumplir las ecuaciones del sistema(2.12) y (2.13), obteniendo con ello las restricciones de los parametros en las cualesexiste la formacion de patrones.

Las condiciones matematicas para tales soluciones estacionarias son:

@2@x2

=@2@y2

= 0 ( uniformidad espacial )

@@t

=@ @t

= 0 ( edos: estacionarios)

) = 0; = 0

Sustituyendo estas condiciones en las ecuaciones (2.12) se obtiene:

0 = 0 " 0 0 30 (2.15)

0 = H ( + ) 0 "2

20 + g 20

30 (2.16)

Si factorizamos 0 en la ecuacion (2.15), esta se puede transformar en:

0 = 0( " 0 20) =) 0 = 0 _ 20 = " 0 :

Tomando el caso 0 = 0, al sustituir esta raz en la ecuacion (2.16), se obtiene:

0 = H ( + ) 0 + g 20 30: (2.17)

La solucion de esta ecuacion cubica, es un caso particular de otro polinomio cubico,el cual resulta al elegir el caso 0 6= 0. Por lo cual, es suciente con calcular lasolucion de dicho polinomio, pues al evaluar su solucion en" = 0, se obtiene lasolucion de la ecuacion (2.17).

33


As que, si se elige 20 = " 0 como solucion de (2.15), entonces al sustituirlaen la ecuacion (2.16) se tiene:

0= H ( + ) 0+"2

( " 0)+ g 20 30 =

30 g

20+

+ +

"2

2

0

"2

H

(2.18)

Las soluciones de esta ecuacion cubica, estan dadas por las formulas de Cartan[68]. Tales resultados muestran la existencia de tres tipos de soluciones:

Cuando hay una raz real y dos complejas.

Cuando hay dos races reales en donde una de ellas es de multiplicidad 2.

Cuando hay tres races reales diferentes.

A continuacion se presentan los resultados de los tres casos anteriores para lassoluciones de la ecuacion (2.18), considerando que en las siguientesecuaciones

p =13

h + +

"2

i.

Primer Caso: una raz real y dos complejas (cuyo signicado corresponde a rota-ciones de la raz real).

01=

2

4H2

+"4

g

p2

g3

27

+

s H2

+"4

g

p2

g3

27

2+

p

g2

9

33

5

1=3

+

2

4H2

+"4

g

p2

g3

27

s H2

+"4

g

p2

g3

27

2+

p

g2

9

33

5

1=3

; (2.19)

02 = 12

01 i

p3CR( 01 )

03 = 12

01 + i

p3CR( 01 )

en donde

CR( 01 )=

2

4H2

+"4

g

p2

g3

27

+

s H2

+"4

g

p2

g3

27

2+

p

g2

9

33

5

1=3

+

2

4H2

+"4

g

p2

g3

27

s H2

+"4

g

p2

g3

27

2+

p

g2

9

33

5

1=3

;

Este caso se cumple cuando:

H2

+"4

g

p2

g3

27

2+

p

g2

9

3> 0: (2.20)

34


Segundo Caso: dos races reales en donde una de ellas es de multiplicidad 2.

01 =H +

"2

g

p 2g3

27

1=3(2.21)

02 = 12

H +

"2

g

p 2g3

27

1=3(2.22)

en donde 02 presenta multiplicidad 2. Estas soluciones se dan cuando:

H2

+"4

g

p2

g3

27

2+

p

g2

9

3= 0 : (2.23)

Tercer Caso: tres races reales diferentes.

01 =23

s g2

9 p

cos( ); (2.24)

02 = 23

s g2

9 p

cos

3

; (2.25)

03 = 23

s g2

9 p

cos

3

+

; (2.26)

donde = arctan

( r H2 +

"4 g

hp2

g3

27

i 2+

p g

2

9

3=p

27

H2 +

"4 g

hp2

g3

27

i)

,

bajo la restriccion:

H2

+"4

g

p2

g3

27

2+

p

g2

9

3< 0: (2.27)

En conclusion, los resultados anteriores se exponen a modo de resumen en el cuadro2.1 donde por simplicidad se asume queH = 0 en la ecuacion (2.17). Notese que sien esta ultima ecuacion:

H = 0 ) 0[ ( + )+ g 0 20] = 0 ) 0 = 0_ 0 =g2

r g2

2 ( + ): (2.28)

Por lo cual, puede haber hasta 9 soluciones reales (ver seccion 3.2.1): 6 con 0 6= 0y 3 con 0 6= 0. Para el caso mas general:H 6= 0, se tiene que resolver la cubica(2.17), cuya solucion son las ecuaciones (2.19)-(2.26) evaluadas en " = 0. As que elnumero aumenta hasta 12 posibles soluciones reales: 6 con 0 6= 0 y 6 con 0 6= 0.Sin embargo, este caso va mas alla del proposito de este estudio ysolamente nosrestringimos al casoH = 0.

Por otra parte, cuando desarrollamos una analisis smilar al realizado para obten-er las (2.19)-(2.26), para el caso de las ecuaciones (2.13) del modelo C, entonces

35


obtenemos que 0 = 0 y por ende 0 satisface la ecuacion (2.28). Esto implica quelas soluciones uniformes del sistema ( 0; 0) tambien satisfacen las expresiones delcuadro 2.1. Mas adelante (en el captulo 3), resolveremos las ecuaciones (2.12) y(2.13) con parametros correspondientes a varios de los casos del cuadro 2.1. Obser-vamos que en general estas soluciones uniformes son inestables, aunque se presentancasos importantes donde algunas son estables.

Races del RestriccionesSistema ( 0; 0) de parametros

Casos 0 = 0 0 6= 0

0 = 0 (0; 0)

0; g=2 +p

(g=2)2 ( + ) p

+ g=2

0; g=2 p

(g=2)2 ( + )

+

p ( + " 01 ); 01

; "; ; g;

0 6= 0 01 satisface (2.19) satisface

p ( + " 01 ); 01

(2.20)

+

p ( + " 01 ); 01

p ( + " 01 ); 01

01 satisface (2.21) ; "; ; g; 0 6= 0 satisfacen

+p

( + " 02 ); 02

(2.23)

p

( + " 02 ); 02

02 satisface (2.22)+

p ( + " 01 ); 01

p ( + " 01 ); 01

01 satisface (2.24)+

p ( + " 02 ); 02

; "; ; g;

u0 6= 0

p

( + " 02 ); 02

satisfacen

02 satisface (2.25) (2.27)+

p ( + " 03 ); 03

p ( + " 03 ); 03

03 satisface (2.26)

Cuadro 2.1: El presente cuadro contiene todos los casos donde sepresentan esta-dos uniformes, as como las respectivas restricciones que se deben cumplir para suexistencia, cuandoH = 0.

36


2.2. Busqueda de los parametros para la forma-cion de estados inestables

Este tipo de analisis inicalmente se desarrolla en las ecuaciones del modelo A yposteriormente a las ecuaciones del modelo C. Dicho analisis consiste en determinarla solucion del sistema con peque~nas perturbaciones, a~nadiendo a las solucionesuniformes, un termino perturbativo:

= 0 + ( t) exp (i~k ~r)

= 0 + ( t) exp (i~k ~r)(2.29)

donde y dependen del tiempo y se tienen que determinar. Para esto, esnecesario sustituir las ecs. (2.29) en (2.12) y despreciar los terminos de orden mayora ( t); ( t). Al realizar la linealizacion, se puede demostrar que las ecuaciones(2.12) toman la forma matricial simplicada (ver el Apendice A.1, ecuacion A.2):

ddt

~RT

exp (i~k ~r) = JT otal

~RT

exp (i~k ~r) (2.30)

donde denimos el vector de variacion innitesimal como ~R = ( ( t); ( t)) y elsuprandice T signica la transpuesta del vector ~R:

JT otal (k2) =

" 0 3 20 k

2 " 0 + k 2

" 0 k 2 ( + )+2 g 0 3 20 h1 (1 k2)2

i!

(2.31)

con ( 0; 0) las races del sistema cuyos valores estan denidos por los valores delcuadro 2.1. Para el casok2 = 0 (no hay perturbaciones), la ecuacion (2.31) se reducea:

J( 0 ; 0)

=

" 0 3 20 " 0 " 0 ( + ) + 2 g 0 3 20

=

f f g g

(2.32)

Eliminando las exponenciales a ambos lados de la ecuacion (2.30),J jT otal se trans-forma enJ j( 0 ; 0) tal que:

ddt

~RT

= J

( 0 ; 0 )

~RT

Con la nalidad de resolver esta ecuacion se propone una solucion de la forma: ~R =( ( t); ( t)) tal que: ( t) = o exp ( t) y ( t) = o exp ( t). La ecuacioncaracterstica para encontrar los valores propios del sistema es (ver apendice A.1):

00

" 0 3 20 " 0

" 0 ( + ) + 2 g 0 3 20

= 0 ;

37


que da los siguientes valores propios:

1 =

12

T r

J( 0 ; 0)

+

s 12

T r

J( 0 ; 0 )

2

J

( 0 ; 0)

2 =

12

T r

J( 0 ; 0)

s 12

T r

J( 0 ; 0)

2

J

( 0 ; 0 )

(2.33)

donde

T r

J( o ; o )

= f + g = " o 3 2o ( + ) + 2 o 3

2o (2.34)

J

( o ; o)

= f g f g =

" o 3 2o

+ 2 o 3 2o

"2 2o (2.35)

Si los puntos jos son estables, tenemos que 1 < 0 y 2 < 0, es decir:T r (J j( 0 ; 0)) 0. Pero con la convencion 1 > 2, entonces los puntos josse vuelven inestables si 1 = 0. Por lo cual: Det(J j( 0 ; 0)) = 0 y T r (J j( 0 ; 0 )) < 0(para mas detalles sobre estos resultados ver ecuaciones (A.5)). De hecho, estamosinteresados en la ultima condicion pues esta es lo que garantiza encontrar valorescrticos de los parametros de control, para obtener formacionde patrones.

Por otro lado, parak2 6= 0 la ecuacion (2.31) se escribe como:

JTotal (k2) = J

( 0 ; 0 )

+

k2 k 2

k 2 h1 (1 k2)2

i!

donde J( 0 ; 0 )

esta denido por la ecuacion (2.32). Entonces la soluciones a estesistema son de la forma:

( t) = 1 exp ( 1t) + 2 exp ( 2t);

( t) = 1 exp ( 1t) + 2 exp ( 2t);

donde 1 y 2 ahora dependen dek2 y son los valores propios de la matrizJT otal (k2),que son solucion de la ecuacion:

00

f f g g

k2 k 2

k 2 [1 (1 k2)]

= 0

Y nuevamente, al resolver esta ecuacion se obtiene que los valores propios se trans-forman a:

1(k2) =

12

T rJT otal (k2)

+

s 12

T r (JT otal (k2)) 2

j JT otal (k2)j

2(k2) =

12

T rJT otal (k2)

s 12

T r (JT otal (k2)) 2

j JT otal (k2)j

(2.36)

38


donde

T rJT otal (k2)

= T r

J

( o ; o )

+

1 (1 k2)2

k2; (2.37)

JT otal (k2)

=

J

( o ; o)

+

(f k2)

1 (1 k2)2

+ k2

g + 2k2

: (2.38)

Notese que cuandok2 = 0 recuperamos las ecuaciones (2.33), (2.34) y (2.35).Ahora bien, para el caso de las ecuaciones del modelo C (ecuaciones(2.13)),

cuando realizamos un analisis completamente analogo al anterior para derivar losresultados (2.31), (2.36), (2.37) y (2.38), obtenemos que:

JTotal (k2) = J

( 0 ; 0)

(k2) + k2

k2 k 2

(2 k2)

con J

( 0 ; 0)

(k2) =

k2f k2f g g

donde f f ; g y g estan denidas por la

ecuacion (2.32). Empleando la ecuacion (2.2) para obtener los valores propios 1(k2)y 2(k2) del sistema de ecuaciones (2.13), se obtienen expresiones matematicasidenticas a las ecuaciones (2.36) donde se denen:

T rJT otal (k2)

= T r

J

( o ; o)

(k2)

+ [1 (1 k2)2] + k2[f k2]; (2.39)JT otal (k2)

=

J

( o ; o)

+k2[(f k2) [1 (1 k2)2]+ (f +k 2) (g + 2g )]: (2.40)

Evaluando las expresiones (2.39) y (2.40) enk2 = 0, se concluye

que: T r (JT otal (0)) = T r

J( o ; o )

(0)

= ( + ) + 2 g 0 3 20 y

jJT otal (0)j =J

( o ; o)

(0) = 0. Estos resultados son importantes, puesto que

permiten calcular los valores propios del sistema, cuando no hay perturbacion.Por otra parte, al observar detenidamente las ecuaciones anteriores, se tienen

que 1(k); 2(k) pueden ser reales o complejos. Por lo que se tienen los siguientescasos:

12

T rJT otal (k2)

2

JT otal (k2)

> 0; 8 1(k2); 1(k2) 2< ; (2.41)

12

T rJT otal (k2)

2

JT otal (k2)

< 0; 8 1(k2); 1(k2) 2C (2.42)

Ademas, para encontrar los estados inestables del sistema asociados a los valores dek2, para el caso

1(k); 1(k) 2 < : T rJ jT otal (k2)

< 0; Det(J jT otal (k2)) = 0 ; (2.43)

y para el caso

1(k); 1(k) 2 C : T rJ jT otal (k2)

= 0; Det(J jT otal (k2)) < 0: (2.44)

39


Los resultados de los valores propios para los modelos del tipo A y C (ecs. (2.33) y(2.36)), junto con la evaluacion de las condiciones (2.41), (2.42), (2.43) y (2.44), seranempleados mas adelante (en el captulo 3) para obtener el espacio de parametrosdonde existe la formacion de patrones debidas a inestabilidades delsistema.

2.3. Analisis numerico

Para considerar variaciones espaciales de las ecuaciones diferenciales parciales nolineales en toda su generalidad, necesitamos resolver el modelo de manera numerica.

En este trabajo, se emplea el metodo de la transformada discreta de Fourier paraobtener soluciones numericas. Seguimos el metodo expuesto en[32]. La ventaja alresolver mediante este metodo, esta en que la parte no lineal de ecuaciones difer-enciales parciales, se vuelve muy facil de resolver. Por ejemplo, supongamos que lafuncion (~r; t) obedece a la ecuacion:

@ @t

= e (r 2 + 1) 2 + N (@2x ; @2y ; @x ; @y ; ) (2.45)

donde e es un parametro de control del sistema, yN representa los terminos nolineales. Si ademas denimos su transformada de Fourier~ como:

e (qx ; qy ; t) =1

L xL y

Z L x

0dx

Z L y

0dy (x; y; t) exp( iqx x) exp( iqyy):

y mediante la regla del trapecio aplicada a la~ , tambien podemos denir su trans-formada de Fourier discreta como:

e (x; y; t) =N xX

i =1

N yX

j =1

e (x; y; t) exp( i (qx ) i x i ) exp( i (qy) j yj )

donde (qx ) i = 2 i=L x , (qy) j = 2 j=L y, (Nx =2 1) 6 i 6 Nx=2 y (Ny=2 1) 6j 6 Ny=2 para una malla cuadrada deNx Ny puntos. Entonces, al aplicar latransformada de Fourier ~ a la ecuacion (2.45) se tiene que:

@~ @t

= b~ + ~N ; (2.46)

dondeb= e [1 (q2x+ q2y)]

2 y ~N representa la transformada de Fourier de los terminosno lineales. Notese que el termino que contiene el Laplaciano, se ha transfomado enun termino escalar en el espacio complejo de Fourier. La ecuacion(2.45), se hareducido a una ecuacion diferencial no lineal respecto al tiempo, esto es, ha dejadode ser parcial. As que la unica dicultad para resolverla es calcular~N ( ~ ), lo cualse hace aproximando dichos terminos no lineales sobre el intervalot t0 t + 4 tmediante una funcion de la forma ~N ~N0 + ~N1(t t0).

40


Ahora bien, para conocer~N0 y ~N1(t t0), primero es necesario resolver la ecuacion(2.46), mediante el metodo del factor integrante, cuyo factorresulta ser exp(bt). Pos-teriormente se aplica el metodo numerico de Euler modicado y se puede demostrarque la solucion numerica es [32]:

~ (t + 4 t)=exp( b4 t) ~ (t)+ ~N0

exp(b4 t) 1

b

+ ~N1

exp(b4 t) (1 + b4 t)

b24 t

(2.47)

donde ~N0 = ~N ( ~ (t)) y ~N1 = [ ~N ( ~ temp (t + 4 t)) ~N ( ~ (t))]. En una primera a-proximacion numerica temp se obtiene haciendo~N1 = 0 en (2.47). t es el paso detiempo, que puede ser elegido mucho mas grande que en metodos de Euler clasicos,dado que el algoritmo de la transformada discreta de Fourier tiene una mayor rapidezde convergencia a cada iteracion.

Por lo tanto, para calcular (t + t) se obtiene formando la transformada inversade ~ (t + 4 t), para calcular N ( (t + 4 t)) e iterar la ecuacion (2.47).

En el resto de esta seccion se deduce la solucion aproximada del sistema denidopor las ecuaciones (2.12), mediante el empleo del algoritmo descritoanteriormente.Entonces, deniendo las correspondientes transformadas de Fourier para los campos y en dos dimensiones como:

~ (~q; t) =Z 1

1exp ( i~q ~x) (~x; t)d2~x;

~ (~q; t) =Z 1

1exp ( i~q ~x) (~x; t)d2~x:

(2.48)

Sus respectivas transformadas inversas de Fourier son:

(~x; t) =1

(2 )2

Z 1

tesisdoc

Documents