Projecto de Investigao

Autor: Antnio Moreira Monteiro

Dep. Cincia & Tecnologia

Universidade de Cabo Verde

Supervisor: Adilson de Jesus Martins da Silva

Universidade de Cabo Verde

July 4, 2015

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Contents

1 Reviso Elementar da lgebra Matricial 3

1.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Definies e Notao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Matriz Adio e Multiplicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 A Transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 O Trao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 O Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7 A Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.8 Matrizes Particionado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.9 A fila de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.10 matrizes ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.11 Forma Quadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Espaos Vectoriais 20

2.1 Independncia e Dependncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Bases e Dimenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Bases e Dimenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Matriz Linha e Independncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Bases ortonormais e Projees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6 Matrizes de Projeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.7 Interseo e Soma de Espaos Vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Inversa Generalizado 29

3.1 A inversa Generalizado de Moore - Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Algumas Propriedades Bsicas da inversa de Moore - Penrose . . . . . . . . . . . 30

3.3 A inversa de Moore - Penrose da Matriz Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4 A inversa de Moore - Penrose da Matriz Soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.5 A Continuidade da inversa Moore - Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.6 Outras inversas Generalizas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Matrizes Especiais e Matrizes Operadores 35

4.1 O produto de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2

Resume

O presente artigo tem como pressuposto fundamental a anlise e reflexo concernente im-

portncia da lgebra em Estatstica na formao profissional do pedagogo e alguns aspectos que

consideramos vitais, tais como a Estatstica no mundo contemporneo e o seu ensino nos cur-

sos de Pedagogia. Para isto, faz-se necessrio relatar a importncia das anlises quantitativas

versos qualitativas na pesquisa e no ambiente educacional, buscando subsdios para a captao

da relao entre a Estattica e a Educao, e do aprofundamento da discusso a respeito da

Estatstica aplicada a Educao.

Palavras chaves: A importncia da Estatstica para os Pedagogos, Contribuies da Estatstica

na educao, Ensino da Estatstica nos cursos de Pedagogia.

1 Reviso Elementar da lgebra Matricial

1.1 Introduo

3

1.2 Definies e Notao

Definio 1.1.: Sejam K um corpo, m e n nmeros inteiros positivos, designam - se por matriz

sobre K, cujos elementos se designam - se por escalares, a todo o quadro de elementos de K

dispostos em m linhas e n colunas.

K em particular, pode ser o conjunto dos nmeros reais,R neste caso, as matrizes dizem - se

reais. Uma matriz A de dimenso m n, uma matriz rectangular dado por:

A = (aij) =

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

......

am1 am2 amn

(1)

onde, (i,j) o elemento de A, isto , aij = (A)ij . A uma matriz quadrada de ordem m se

m = n, enquanto que uma matriz m 1 e 1 n so chamados vector coluna e vector linha,respectivamente representado por

a =

a1

a2...

am

(2)

a =(a11 a12 a1n

)(3)

Os elementos da diagonal m n da matriz A so a11, a22 a1n. Se todos os outros elementosde A igual a zero, A chamado da matriz diagonal, representado por

A = diag(a11, , amm) =

a11 0 00 a22 0...

......

0 0 amn

(4)

onde aij = 0 e i 6= j.

4

Se a adio, aii = 1 para i = 1 m, logo

A = diag(1, , 1) (5)

ento a matriz A chamado de matriz identidade de ordem m e escreve - se

A = I = Im (6)

Se A = diag(a1, , am) e b um escalar, ento vamos usar Ab para chamar matriz diagonal, ouseja

Ab = diag(ab1, abm) (7)

Para quaisquer m m da matriz A,DA chamamos a matriz diagonal com elementos diagonaisiguais aos elementos diagonais de A e, para algum m 1 vector a, Da chamamos da matrizdiagonal com elementos diagonais igual aos componentes de A, isto DA = diag(a11, , amm)e Da = diag(a1, , am).Uma matriz tringular inferior uma matriz quadrada em que so nulos todos os elementos

acima da diagonal principal,representado por

A =

a11 0 0a21 a22 0...

......

an1 an2 amm

(8)

onde i < j e aij = 0.

Uma matriz tringular superior, todos os elementos abaixo da diagonal principal igual a zero,

representado por

A =

a11 a12 a1n0 a22 a2n...

......

0 0 amm

(9)

onde i > j e aij = 0.

A matriz escalar em que aij = 0, i 6= j, aij = 1, i = j, diag1, 1, ..., 1 representa - se por ei ou Inou simplesmente I, chamamos de matriz unidade ou identidade.

5

O zero escalar escrito 0, enquanto que o vector zero, chamado de vector nulo, e a matriz cujos

elementos so todos nulos a matriz nulo, denota-se por (0).

1.3 Matriz Adio e Multiplicao

Discutem - se nesta seco as principais operaes com matrizes:adio de matrizes, multipli-

cao de uma matriz por um escalar e multiplicao de matrizes.

Definio 1.2.: Sejam A = [aij ], B = [bij ] Mm n(K). Define-se A+B matriz C = [cij ],tal que cij = aij + bij , {(ij) {1, ,m} {1, , n}}

Nota 1.1.: Se as matrizes A e B no forem do mesmo tipo, isto, se no tiverem as mesmas

dimenses e / ou o corpo subjacente no for igual, no possvel determinar A+B, pelo que a

soma de A com B diz-se indefinida.

Definio 1.3.: Seja A = [aij ] Mmn(K) e K um escalar. Define-se o produto de por A e denota-se por .A matriz B = [bij ] Mmn(K) tal que bij = aij ,(ij) {1, . . . ,m} {1, . . . , n}

Se A dado por m p e B dado por pn, ento C = AB,mn, onde o elemento, cij , dado por

cij = (A)i.(B)j =

pk=1

aikbbj (10)

Geralmente o produto AB = BA, nem sempre so iguais e se A2 = A, A neste caso diz-se uma

matriz Idempotente.

Teorema 1.1.: Sejam as matrizes A, B e C, com e os escalares, as seguintes propriedades

so verificadas.

1. A+B = B +A

2. (A+B) + C = A+ (B + C)

3. (A+B) = A+ B

4. (+ )A = A+ A

6

5. AA = A+ (A) = (0)

6. A(B + C) = AB +AC

7. (A+B)C = AC +BC

8. (AB)C = A(BC)

1.4 A Transposta

Definio 1.4.: Denomina-se matriz transposta trocando ordenadamente linhas por colunas,

ou seja a transposta de uma matriz A, representa-se por A,obtido trocando as linhas e colunas

de A.

Se A m p e B dado por pm, ento o elemento (i, j) da matriz (AB) se escreve

((AB))ij = (A)j .(B).i =p

k=1 ajkbki = (B)i.(A).j = (BA)ij

Teorema 1.2.: Sejam os escalares e e as matrizes A e , define-se

(a) (A) = A.

(b) (A) = A.

(c) (A+ B) = A + B.

(d) (AB) = BA.

A uma matriz quadrada mm, se A = A, ento A tambm mm, conclui -se que

A uma matriz simtrica;

A uma matriz anti - simtrica se A = A.

Se Eij = eiej , geralmente, ei,mej,m produz uma matrix m n, tendo 1 como nico elemento

diferente de zero na posio (i, j), e se A uma matriz m n, ento

A =

mi=1

nj=1

aijei,mej,n (11)

7

1.5 O Trao

Definio 1.5.: Definida apenas em matriz quadrada. Seja uma matriz A m m, o trao deA, tr(A), definido como sendo a soma dos elementos da diagonal de A, ou seja

tr(A) =mi=1

aii (12)

Se A uma matriz m n e B nm, logo AB uma matriz mm e

tra(AB) =mi=1

(AB)ii =mi=1

(A)i.(B).i =mi=1

mi=1

aijbj,ibji =mi=1

nj=1

bjiaij (13)

Teorema 1.3.: Sejam as matrizes A e B e um escalar, temos as seguintes operaes.

(i) tr(A) = Tr(A);

(ii) tr(A) = tr(A);

(iii) tr(A+B) = tr(A) + tr(B);

(iv) tr(AB) = tr(B);

(v) tr(AA) = 0; se e somente se A = (0)

1.6 O Determinante

O determinante uma outra funo definida pela matriz quadrada. Se A uma matriz mm,ento o determinanate denominado por | A |, dado por

| A |= (1)f(i1,...,im)a1i1a2i2 . . . amim=

(1)f(i1,...,im)ai11ai22 . . . aimm

A soma de todas as permutaes, (i1, . . . , im) do conjunto dos nmeros inteiros (1, . . . ,m) e da

funo f(i1, . . . , im) igual ao nmero de transposio necessria para mudar i1, . . . , im) para

(1, . . . ,m)

A transposio a troca de dois inteiros. O determinante produz todos os produtos de m termos

dos elementos da matriz A, um elemento selecionado apartir de cada linha e de cada coluna de

A.

8

| A | pode ser lido apartir dos cofactores. O menor elemento de aij , dado por mij , o determi-nante de (m 1) (m 1) obtida aps de removido a linha e a coluna de A.O cofactor de aij dado por Aij = (1)i+jmij . Para algum i, . . . ,m o determinanate de A podeser obtido expandindo o nmero de linhas,

| A |=mj=1

aijAij (14)

ou o nmero de colunas

| A |=mi=1

aijAij (15)

Por outro lado, se os cofactores de uma linha ou coluna so combinados com elementos de uma

linha ou coluna diferente, reduz a zero, isto , se k 6= i, entomj=1

aijAkj =

mj=1

ajiAkj = 0 (16)

As propriedades de determinante so bastante simples para verificar utilizando a definio de

um determinanate ou a frmula da expanso dado em (14) e (15).

Teorema 1.4.: Se um escalar e A uma matriz mm, ento temos as seguintes propriedades:

(a) | A |=| A |

(b) | A |= m | A |.

(c) Se A uma matriz diagonal, ento | A |= a11 . . . amm = mj=1aii

(d) Se todos os elementos da linha ou coluna de A so zeros, | A |= 0.

(e) Se duas filas ou colunas de A so proporcionais ao outro, | A |= 0.

(f) O intercmbio de duas linhas ou colunas muda o sinal de | A |.

(g) Se todos os elementos ou colunas de A so multiplicados por , ento o determinante

multiplicado por .

(h) O determinante de A alterado quando um mltiplo de uma linha ou coluna adicionado

a outra linha ou coluna.

Considere uma matriz C, m m cujas colunas so fornecidas pelos vectores c1, . . . , cm, isto ,podemos escrever, C = (c1, . . . , cm). Suponhamos que por algum vector b = (b1, . . . , bm) e matriz

9

A = (a1, . . . , am), temos

ci = Ab =m

i=1 biai

Ento, se encontrar o determinante de C por expanso ao longo da primeira coluna C, obtemos

| A | =mj=1

cj1Cj1

=mj=1

(mi=1

biaji)Cj1

=

mi=1

bi(

mj=1

ajiCj1)

=

mi=1

bi | (ai, c2, . . . , cm) | (17)

de modo que o determinante de C uma combinao linear de m determinantes. Se B uma

matriz mm e definimos C = AB, em se seguida, atravs da aplicao da derivao acima, emcada coluna de C,vemos

| C | = | (m

i1=1

bi11ai1 , . . . ,m

im=1

bimmaim) |

=m

i1=1

. . .m

im=1

bi11 . . . bimm | (ai1 , . . . , aim) |

=

bi11 . . . bimm | ai1m, . . . , aim) | (18)

onde esta soma final sobre toda permutao de (1, . . . ,m), deste teorema (e)que implica

| (ai1 , . . . , aim) |= 0

se ij = ik para algum j 6= k. Finalmente reordenar as colunas em | (ai1 , . . . , aim) |= 0 e usandoo teorema 1.4(f), temos

| C |= bi11, . . . , bimm(1)f(i1,...,im) | (ai1 , . . . , aim) |=| B || A |Este resultado muito til resumido abaixo.

Teorema 1.5.: Se A e B so matrizes da mesma ordem, ento, | AB |=| A || B |

10

1.7 A Inversa

Uma matriz A mm para os quais | A |6= 0 diz - se uma matriz no singular. Neste caso, existeuma matriz no singular denominado por A1 e chama-se a inversa de A, tal que

AA1 = A1A = Im (19)

Esta inversa nica desde que, se B outra matriz m m satisfazendo a inversa da frmula(19) para A, ento BA = Im, assim

B = BIm = BAA1 = ImA1 = A1

As seguintes propriedades bsicas da matriz inversapode ser facilmente verificada usando a fr-

mula (19).

Teorema 1.6.: Se um escalar diferente de zero e mm matriz no singular de A e B, ento:

(a) (A)1 = 1A1,

(b) (A)1 = (A1),

(c) (A1)1 = A,

(d) | A1 |=| A |1,

(e) Se A = diag(a11, . . . , amm), ento A1 = diag(a111 , . . . , a1mm),

(f) Se A = A, ento A1 = (A1),

(g) (AB)1 = B1A1

Tal como acontece com o determinante de A, a inversa de A pode ser inversa pode expressa em

termos em termos de cofactores de A. Seja A#, chamado de adjunto de A ser a transposio da

matriz de cofactores de A, isto , os elementos de A# (i, j), Aji, o cofactor de aji. Ento

AA# (i, j) = A# (i, j)A = diag(| A |, . . . , | A |) =| A | Im

desde que (A)i.(A#).i = (A#).i(A)i. =| A | resulta (14) e (15), e (A)i.(A#).j = (A#)i.(A).j = 0,para i 6= j resulta (16). A equao acima proporciona a relao

A1 =| A |1 A#

11

A relao entre o inverso do produto de uma matriz e o produto da inversa, dado pelo teorema

1.6(g) uma propriedade muito til. Infelismente, um relacionamento to bom no existe entre

o inverso de uma soma e soma dos inversos, temos no entanto, o seguinte resultado, que as vezes

til.

Teorema 1.7.: Supondo que A e B so matrizes no singulares, com A m m e B ser n n.Para qualquer matriz C m n e algum matriz D n m segue-se que se A + CBD singular,ento

(A+ CBD)1 = A1 A1C(B1 +DA1C)1A1

Proof. A prova envolve simplesmente verificar que (A + CBD)(A + CBD)1 = Im para (A +

CBD)1 dado anteriormente, neste caso temos

(A+ CBD)A1 A1C(B1 +DA1C)1DA1 =Im C(B1 +DA1C)1DA1 + CBDA1 CBDA1C(B1 +DA1C)1DA1 =

Im C(B1 +DA1C)1 B +BDA1C(B1 +DA1C)1DA1 =Im CB(B1 +DA1C)(B1 +DA1C)1 BDA1 = Im CB BDA1 = Im

Se m = n e C e D So matrizes identicas, ento obtm-se o seguinte caso especial do teorema

1.7.

Suponha que A e B e A+B so todas matrizes no singular mm, ento

(A+B)1 = A1 A1(B1 +A1)1A1

Obtemos outro caso especial do teorema 1.7 quando n = 1

Corolrio 1.7.2. Seja A ser uma matriz no singular m m. Se c e d so vectores m 1 eA+ Cd o singular, ento

(A+ cd)1 = A1 A1cd/(1 + dA1c)

Exemplo 1.2: Teorema 1.7 pode ser particularmente til quando m maior que n e a inversa

de A bastante fcil de calcular. Por exemplo, suponha temos A = Is.

B =

1 11 2

12

C =

1 0

2 1

1 10 2

1 1

D =

1 11 20 1

1 0

1 1

apartir do qual obtemos

G = A+ CBD =

1 1 1 1 0

1 6 4 3 11 2 2 0 12 6 4 3 21 4 3 2 2

um pouco entediante para calcular o inverso dessa matriz directamente 5 5.No entanto, os clculo do teorema 1.7 so bastante simples. Claramente A1 = IS e

B1 =

2 11 1

de modo que

(B1 +DA1C) =

2 11 1

+ 2 0

3 4

= 0 1

2 5

e

(B1 +DA1C)1 =

2.5 0.51 0

Assim, descobrimos que

13

G1 = IS C(B1 +DA1C)1A

1 1.5 0.5 2.5 23 3 1 4 33 2.5 1.5 3.5 32 2 0 3 21 0.5 0.5 1.5 2

=

1.8 Matrizes Particionado

Ocasionalmente, til particionar uma dada matriz em submatrizes. Por exemplo, suponha que

A m m inteiros positivos m1,m2, n2, n2 tais que que m = m1 + m2 e n = n1 + n2. Umamaneira de particionar uma matriz

A =

A11 A12A21 A22

Onde A11 m1 n1; A12 m1 n2; A21 m2 n1 e A22 m2 n2.Isto todas a matriz queconsiste nas primeiras linhas e colunasm1, n1 de A , A12 a matriz que consiste de primeiras filas

m1 e ltimas colunas de n2 de A, e assim por diante. Operaes de matrizes pode ser expressa

em clulas de submatrizes da matriz particionado. Por exemplo, suponha que B uma matriz

n p particionado como

B =

B11 B12B21 B22

onde B11 n1 p1, B12 n1 p2, B21 n2 p1, B22 n2 p2, e p1 + p2 = p. Ento apremultiplicao de B de A pode ser expresso na forma particionado

AB =

A11B11 +A12B21 A11B12 +A12B22A21B11 +A22B21 A21B12 +A22B22

As matrizes podem ser particionado em submatrizes em outras maneiras, alm de particiona-

mento 2 2 dado anteriormente. Por exemplo, poderamosparticionar apenas as colunas de A,obtendo - se a expresso.

A = [A1 A2]

Onde A1 uma matriz m n1 e A2 m n2. Uma situao mais geral aquele em que aslinhas de A so divididas em grupos de r e as colunas de A so divididas (particionado) dentro

do grupo c de modo que pode ser escrito como

14

A =

A11 A12 . . . A1c

A21 A22 A2c...

......

Ar1 Ar2 Arc

Onde a submatriz Aij mi nj e m1, . . . ,mr e n1, . . . nc so inteiros tal que

ri=1mi = m e

cj=1 nj = n

A matriz A acima dito ser em bloco diagonal se r = c, Aii uma matriz quadrada para cada i

e Aij uma matriz nula para qualquer i e j com i 6= j. Neste caso poderemos escrever:

A = diag(A11, . . . , Arr),

isto

A = diag(A11, . . . , Arr) =

A11 (0) . . . (0)

(0) A22 . . . (0)...

......

(0) (0) . . . Arr

Exemplo 1.3: Suponha que queremos calcular o produto da da transposta de AA da matriz

(5 5) dado por

A =

1 0 0 1 1

0 1 0 1 1

0 0 0 1 1

1 1 1 2 01 1 1 0 2

O clculo pode ser simplificado pela observao de que A pode ser escrito

A =

I3 13121213 2I2

Como resultado, temos:

AA =

I3 13121213 2I2

I3 1312121

3 2I2

15

= I3 + 13121213 1312 + 213121213 + 2121

3 121

3131

2 + 4I2

=

I3 + 21313 1312121

3 3121

2 + 4I2

=

3 2 2 1 1

2 3 2 1 1

2 2 3 1 1

1 1 1 7 3

1 1 1 3 7

1.9 A fila de uma matriz

A nossa definio inicial de patente de uma matriz A mn dado em males de uma matriz. Emgeral, alguma matriz formado pela eliminao da linha ou coluna de A chamado de submariz

de A. O determinante de uma submatriz de A r r chamado de menor ordem r. Por exemplo,para uma matriz A m m, j definimos e chamamos a menor de aij , isto , um exemplo deordem menor m 1. A classificao de uma matriz A no nula m n r, escrito rank(A) = r,pelo menos um dos seus menores de ordem r diferente de zero, enquanto que todas menores de

ordem r + 1 so. Se A uma matriz nula, ento rank(A) = 0.

A fila de uma matriz A inalterada por qualquer das seguintes operaes, chamado transfor-

maes elementares.

(a) O intercncio de duas filas ou colunas.

(b) A multiplicao de uma linha ou coluna de A por um escalar diferente de zero.

(c) A adio de um mltiplo de uma linha ou coluna de A para outra linha ou coluna de A.

Qualquer transformao fundamental de A pode ser expressa como a multiplicao de A por uma

matriz referida como uma matriz de transformao fundamental. Uma transformao elemen-

tar das linhas de A vai ser dada pela prmultiplicao de A por uma matriz de transformao

fundamental, enquanto que uma transformao fundamental da colunas correspondente a uma

fila de multiplicao. Matrizes de transformaes elementares no so singulares e qualquer ma-

triz no singular pode ser expressa como o produto de matrizes de transformaes elementares.

16

Consequentimente, temos o seguintes resultado muito til.

Teorema 1.8.: Seja A uma matriz m n, B uma matriz mm e C uma matriz n n. Entose B e C so matrizes no singulares, segue - se que

rank(BAC) = rank(BA) = rank(AC) = rank(A)

Usando a transformao elementar das matrizes, qualquer matriz A pode ser transformada em

outra matriz de forma mais simples com a mesma fila de A.

Teorema 1.9.: Se A uma matriz m n de fila r > o, ento existe uma matriz no singularmm e uma matriz B n n e C, tal que H = BAC e A = B1HC1, onde H dado por:

(a) Ir se r = m = n;

(b) [Ir (0)] se r = m < n;

(c)

Ir(0)

se r = n < m;(d)

Ir (0)(0) (0)

se r < m, r < nO que se segue uma consequencia do teorema Teorema 1.9.

Corolrio 1.9.1.: Seja A uma matriz m n com rank(A) = r > 0. Ento existe uma matriz Fm n e uma matriz G r n tal que

rank(F ) = rank(G) = r e A = F.G

1.10 matrizes ortogonais

Um vector P m chamado de vector normalizado ou vector unitrio se P P = 1.

O vector P1, . . . , Pn (m 1 ), onde n m so referidos como sendo ortogonal se, pi = 0 paraqualquer i 6= j. Se alm disso, cada pi um vector normalizado, os vectores referidos dizem - seortogonais. Uma matriz P m m cujas colunas formam um conjunto de vectores ortogonais echamado matriz ortogonal.

Segue - se imediatamente o seguinte

P P = I

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Tomando odeterminante de ambos os lados, vemos que

| P P |=| P || P |=| P |2=| I |= 1

Assim, | P |= +1 ou 1, de modo que P no singular, P1 = P , e PP = I na adio paraP P = I, isto , as linhas de P na forma de um conjunto ortogonal do vector m 1. Algumaspropriedades de matrizes ortogonais encontram - se resumido no seguinte teorema.

Teorema 1.10.: Sejam P e Q matrizes ortogonais mm e A ser uma matriz mm. Ento

(a) | P |= 1

(b) | P AP |=| A |

(c) PQ uma matriz ortogonal

Uma matriz P m m chamado de matriz de permutao se cada linha e cada coluna de Ptem um nico elemento 1,enquanto todos os restantes elementos so zeros. Como resultado, as

colunas de P, ser e1, . . . , em as c olunas de Im, em alguma ordem. Observe que , em seguida,

o (h, h)th elementos de P P ser eiej = 0 para algum i 6= j se h 6= l, isto uma matriz depermutao matriz ortogonal especial. Desde que existe o m! meios de permutar as colunas de

Im existe m! permutao diferente da matriz de ordem m. Se A tambm uma matriz m mento PA cria uma matriz mm pela permutao da linha de A, e AP produz uma matriz pelapermutao das colunas de A.

1.11 Forma Quadrtica

Seja x um vector m 1, y um vector n 1 e A uma matriz mn. Ento a funo de x e y dadopor

xAy =m

i=1

nj=1 xiyjaij

as vezes chamado a forma bilinear em x e y. Estaremos mais interessos no caso especial em

que m = n, no entanto A uma matriz m n e x = y. Neste caso a funo acima reduz - se nafuno de x,

f(x) = xAx =m

i=1

nj=1 xixjaij

18

que chamado de funo quadrtica em x; A referido como a matriz da forma quadrtica.

Vamos assumir sempre que A uma matriz simtrica, j que se no , A pode ser substituido

por B = 12(A+A) que simtrica, sem alterar f(x), isto

xBx = 12x(A+A)x = 12(x

Ax+ xAx) = 12(xAx+ xAx) = xAx

Desde que xAx = (xAx) = xAx.

Cada matriz simtrica A e a sua quadrtica associada classificada em uma das seguintes cinco

categorias.

(a) Se xAx > 0, qualquer que seja x 6= 0, ento A definida positiva.

(b) Se xAx 0 qualquer que seja x 6= 0 e xAx = 0, para algum x 6= 0, ento semidefinidapositiva.

(c) Se xAx < 0, qualquer que seja x 6= 0, ento A definida negativa.

(d) Se Se xAx 0 qualquer que seja x 6= 0 e xAx = 0, para algum x 6= 0, ento semidefinidanegativa.

(e) Se xAx > 0, para algum x e xAx < 0 ento A indefinida.

Note - se que a matriz nulo, na verdade, tanto semidefinida positiva e semidefinida negativa.

Matrizes definidas positivas e negativas so no singulares, onde as matrizes semidefinidas pos-

itiva e negativas so singulares.Por vezes o termo definida no negativa ser utilizado para se

referir a uma matriz simtrica, isto positiva ou semidefinada positiva. Uma matriz B m m chamado de raiz quadrada definida no negativa da matriz A se A = BB. As vezes denom-

inaremos tal matriz um B como A1/2. Se B tambm simtrico, de modo que A = B2, ento B

chamado a raiz quadrada simtrica de A.

19

2 Espaos Vectoriais

Em estatstica, observaes tipicamente tomam a forma de vectores de valores de diferentes

variveis, por exemplo, para cada sujeito, numa amostra , pode registrar uma altura, peso, idade

e assim por diante. Em situaes de estimao e testes de hipteses, estamos normalmente

interessados em inferncias sobre sobre um vector de parmetros. Como resultado, o tema deste

captulo, espaos vectoriais, tem importantes aplicaes em estatstica. Na adio o conceito de

vectores linearmente independentes e dependentes, que discutimos na seco 3, muito til no

intendimento e determinao na fila de uma matriz.

Um espao vectorial uma coleo de vectores qe satisfazem algumas propriedades especiais.

Em particular a coleo fechado sob a adio de vectores sob a multiplicao de um vector por

um escalar.

Definio 2.1.: Seja S ser uma coleo de vectores m 1 satisfazendo o seguinte:

(a) Se x1S e x2S, ento x1 + x2S

(b) xS e , algum escalar real, ento xS

Ento S chamado um espao vectorial em espao de m - dimensional. Se S um subconjunto de

T, que um outro espao vectorial em espao m - dimensional, ento S chamado um subespao

vectorial de T. Isso ser indicado pela escrita S T.A escolha de = 0 na definio 2.1(b) implica que o vector nulo 0S, isto , cada espao vectorial

deve conter vector nulo. De facto, o conjunto S = 0, consistido que o vector nulo nica e em si

um espao vectorial. Note - se tambm que as duas condies (a) e (b) so equivalentes a` uma

condio que diz se x1S, X2S e 1 e 2 so quaisquer escalares reais, ento (1x1 + 2x2)S.

Isto pode ser facilmente generalizado para mais do que dois, digamos n, vectores, isto , se

1, . . . , n so escalares reais e x1, . . . , xn vectores tais que xiS, para qualquer i, ento para S

ser um espao vectorial devemos ter

ni=1

ixi S (20)

O lado esquerdo da equao (20) chamado de combinao linear de vectores x1, . . . , xn. Uma

vez que um espao vectorial fechado sob a formao de combinaes lineares , espao so por

vezes tambm referida como espaos lineares.

Exemplo 2.1: Considere os conjuntos de vectores dados por

20

S1 = (a, 0, a) : < a

2.1 Independncia e Dependncia Linear

22

2.2 Bases e Dimenso

23

2.3 Bases e Dimenso

24

2.4 Matriz Linha e Independncia Linear

25

2.5 Bases ortonormais e Projees

26

2.6 Matrizes de Projeo

27

2.7 Interseo e Soma de Espaos Vectoriais

28

3 Inversa Generalizado

3.1 A inversa Generalizado de Moore - Penrose

29

3.2 Algumas Propriedades Bsicas da inversa de Moore - Penrose

30

3.3 A inversa de Moore - Penrose da Matriz Produto

31

3.4 A inversa de Moore - Penrose da Matriz Soma

32

3.5 A Continuidade da inversa Moore - Inverse

33

3.6 Outras inversas Generalizas

34

4 Matrizes Especiais e Matrizes Operadores

35

4.1 O produto de Kronecker

36