ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (1) 1 / 11

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ στο xoR Μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο xo του πεδίου ορισμού της, αν

υπάρχει το o

x xo o

f(x) f(x )lim

x x

και είναι πραγματικός αριθμός.

Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο xo και συμβολίζεται με f΄(xo) . ΠΑΡΑΤΗΡΗΣH 1 Πολλές φορές χρησιμοποιούμε το όριο

f΄(xo)= o o

h 0

f(x h) f(x )lim

h

απόδειξη Θέτω h=x-xo οπότε x=xo+h και

o ο

ox x x xlim h= lim (x-x )=0 , οπότε:

f΄(xo)=

oo o

x xo h 0o

f(x +h)-f(x )f(x)-f(x )lim =lim

x-x h

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣH 2 Αν το xo είναι εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της f, τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο xo, αν και μόνο αν υπάρχουν στο R τα όρια

o

x xo o

f(x) f(x )lim

x x

=

o

x xo o

f(x) f(x )lim

x x

Με πλευρικά όρια εργαζόμαστε αν η f αλλάζει τύπο στο xo. ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο xo τότε είναι συνεχής σε αυτό. απόδειξη

Για xxo είναι o

o o

o

f(x) f(x )f(x) f(x ) .(x x )

x x

Oπότε ox xolim f(x) f(x )

o

ox xo o

f(x) f(x )lim .(x x )

x x

=o

x xo o

f(x) f(x )lim

x x

. o

x xolim(x x )

= f ΄(xo) .0 = 0 ,

αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο xo .

Άρα x xolim f(x)

= f(xo) ,οπότε η f είναι συνεχής στο xo .

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣH 3 1)Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο xo, τότε δεν είναι απαραίτητα και παραγωγίσιμη στο xo . 2)Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο xo, τότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο xo.

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (1) 2 / 11

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΣΜΟΙ Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α. Θα λέμε ότι: 1)Η f είναι παραγωγίσιμη στο Α ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε

σημείο xoΑ . 2)Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β) του πεδίου ορισμού της, όταν

είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο xo(α, β) . 3)Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] του πεδίου ορισμού της, όταν

είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) και επιπλέον ισχύει x

f(x) f( )

xlim

R και

x

f(x) f( )

xlim

R

4)Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και A1 το σύνολο των σημείων του Α στα οποία

αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε xΑ1 στο f΄(x), ορίζουμε τη συνάρτηση f΄:

A1R η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της f ή απλά παράγωγος της f. Η πρώτη

παράγωγος της f συμβολίζεται και με df

dx που διαβάζεται «ντε εφ προς ντε χι».

5) Αν υπάρχει η παράγωγος της f΄, λέγεται δεύτερη παράγωγος της f, δηλαδή: f΄΄=(f ΄)΄

6) Γενικά ορίζεται η νιοστή παράγωγος της f και συμβολίζεται ( ) ( 1)f f ΄ , ν>2 φυσικός.

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Η σταθερή συνάρτηση f(x) c R είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει c ΄ 0 .

απόδειξη

Η συνάρτηση f(x) x είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει x ΄ 1.

απόδειξη

Η συνάρτηση f(x) x είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει 1x ΄ .x , ν>1 φυσικός.

απόδειξη

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (1) 3 / 11

Η συνάρτηση f(x) x είναι παραγωγίσιμη στο (0, ) και ισχύει 1

x ΄2 x

.

απόδειξη ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 4

Η συνάρτηση f(x) x δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0.

Η συνάρτηση f(x) x είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει x ΄ x .

απόδειξη

Η συνάρτηση f(x) x είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει x ΄ x .

απόδειξη

Η συνάρτηση xf(x) e είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει x xe ΄ e .

Η συνάρτηση f(x) lnx είναι παραγωγίσιμη στο (0, ) και ισχύει 1

lnx ΄x

.

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (1) 4 / 11

ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

Παράγωγος αθροίσματος

Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο x , τότε η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη

στο 0x και ισχύει

)(f g) (x f (x ) g (x )

απόδειξη ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 5 Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο Δ, τότε η συνάρτηση f +g είναι παραγωγίσιμη

στο Δ και ισχύει (f+g)΄(x) = f΄(x) + g΄(x) για κάθε xΔ .

Αυτό ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις, δηλαδή αν 1 2 kf ,f , ..., f είναι

παραγωγίσιμες στο Δ, τότε 1 2 k 1 2 k(f f f ) (x) f (x) f (x) f (x) .

Παράγωγος γινομένου

Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο x , τότε και η συνάρτηση f.g είναι

παραγωγίσιμη στο x και ισχύει

(f g) (x ) f (x )g(x ) f(x )g (x )

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 6 Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο Δ, τότε η συνάρτηση f.g είναι παραγωγίσιμη

στο Δ και ισχύει (f.g)΄(x) = f΄(x).g(x)+f(x).g΄(x) για κάθε xΔ . Στην περίπτωση τριών συναρτήσεων ισχύει: (f(x).g(x).h(x))΄= f΄(x).g(x).h(x)+f(x).g΄(x).h(x)+f(x).g(x).h΄(x) απόδειξη

Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο Δ και cR τότε (c.f(x) )΄ = c.f ΄(x) απόδειξη