Telekomunikacijske tehnike 1 Dodatak br. 2

Dodatak br. 2

Predstavljanje signala razli£itih signalizacijskih tehnika ortogonalnim komponentama, tj. u pro-storu signala koji je odre�en baznim simbolima (vektori baze prostora) je osnova za analizu isintezu strukture predajnika i optimalnog prijemnika, te prora£un vjerovatno¢e gre²ke. Razma-tranje u prostoru signala i razlaganje talasnih oblika simbola na komponente po baznim signalimaje posebno zna£ajno za prenos u transponovanom opsegu, obzirom da se na ovaj na£in modula-cijske tehnike prevode u ekvivalentne signalizacijske metode u osnovnom opsegu, ²to zna£ajnopojednostavljuje analizu. Tako�er, predstavljanje simbola signalizacijskih tehnika u prostorusignala omogu¢ava njihovu gra�£ku prezentaciju koja pojednostavljuje sagledavanje energetskihodnosa u sistemu, te vizualizaciju uticaja pojedinih smetnji na sistem i na£ina na koji se ovesmetnje manifestuju kroz vjerovatno¢u gre²ke. Razlaganje signala na ortogonalne komponentepodrazumijeva predstavljanje M talasnih oblika koji odgovaraju simbolima razmatrane signali-zacijske (modulacijske) tehnike:

s1, s2, . . . , sM

u formi linearne kombinacije ortogonalnih signala (vektora) na simbolskom intervalu Ts, tj.

si(t) =N∑k=1

sik · fk(t) i = 1, . . . ,M (1)

gdje su fk(t) bazni signali N -dimenzionalnog vektorskog prostora signala razmatrane signaliza-cijske tehnike, a sik predstavlja komponentu signala si(t) na baznom signalu fk(t). Zapravo, sikje projekcija signala si(t) na bazni signal fk(t), koja je odre�ena izrazom:

sik =

Ts∫0

si(t)fk(t) dt

Skup baznih signala mora zadovoljavati uslov ortonormiranosti, tj. signali fk(t) su me�usobnoortogonalni i imaju jedini£nu energiju (normiranost energije), ²to je matemati£ki predstavljenoizrazom:

Ts∫0

fi(t)fk(t)dt =

{1 i = k0 i 6= k

Za signale jednostavnijih talasnih formi, odre�ivanje baznih signala fk(t) je mogu¢e provestiintuitivno, oslanjanjem na osobinu ortogonalnosti vremenski nepreklapaju¢ih funkcija (uz pra-vilan odabir amplituda da bi se zadovoljio uslov normiranosti energije). Me�utim, kada to nijemogu¢e, odre�ivanje baznih signala se vr²i kori²tenjem Gram-Schmidt ortogonalizacije.

Gram-Schmidt ortogonalizacija

Gram-Schmidt ortogonalizacija predstavlja proceduru (algoritam), tj. set koraka koji garantujeodre�ivanje minimalnog seta baznih signala za dati skup signala razmatrane signalizacijske teh-nike, koje je potrebno predstaviti u vektorskom prostoru signala. Ova procedura je zasnovanana principu da se prvi bazni signal f1(t) odabere tako da je jedan od signala (npr. s1(t)) u pot-punosti odre�en odabranom bazom, a onda se redom razmatraju ostali signali (simboli) i skupbaznih signala pro²iruje kada se neki od signala si(t) ne moºe u potpunosti predstaviti linearnomkombinacijom trenutnog skupa odabranih baznih signala. Novi bazni signal se odabire tako da

1 / 5

Telekomunikacijske tehnike 1 Dodatak br. 2

se gre²ka aproksimacije ei(t) signala si(t) moºe u potpunosti predstaviti odabranim vektorom.U analogiji sa vektorskim prostorom to zna£i da se bazni vektor odabire da je kolinearan sagre²kom aproksimacije vektora si(t). Uzev²i u obzir da gre²ka aproksimacije predstavlja diosignala koji nema projekciju (komponentu) ni na jednom baznom signalu iz trenutnog skupa,odabir novog baznog signala na gore opisan na£in osigurava ortogonalnost baznih signala. Saovakvim pro²irenjem, razmatrani signal si(t) se moºe predstaviti kao linearna kombinacija baz-nih signala novog, pro²irenog baznog skupa. Bitno je napomenuti da je redoslijed razmatranjasignala si(t) proizvoljan, a u nastavku je pretpostavljen redoslijed prema rasut¢em redoslijeduindeksa simbola. Gram-Schmidt ortogonalizacija se provodi kroz sljede¢e korake:

1. Prvi bazni signal se odabire prema izrazu:

f1(t) =s1(t)√Es1

(2)

gdje je s1(t) nenulti signal razmatranog prostora signala, a Es1 njegova energija odre�enaizrazom:

Es1 =

Ts∫0

|s1(t)|2dt

Faktor√Es1 u nazivniku gornjeg izraza vr²i normiranje energije baznog signala f1(t) i

osigurava da bazni signal ima jedini£nu energiju, ²to je pored ortogonalnosti uslov kojimoraju zadovoljavati bazni signali. Uo£imo da vrijedi:

Ef1 =

Ts∫0

|f1(t)|2dt =1

Es1

Ts∫0

|s1(t)|2dt = 1

Projekcija signala s1(t) na odabrani bazni signal f1(t) je odre�ena izrazom:

s11 =

Ts∫0

s1(t)f1(t) dt (3)

i predstavlja korelaciju signala s1(t) i baznog signal f1(t) (korelacioni prijemnik, op.a.).Obzirom da projekcija s11 predstavlja koe�cijent uz bazni signal f1(t) linearne kombinacijekojom je predstavljen signal s1(t) (vidi izraz (1)), projekciju s11 je mogu¢e odrediti ipredstavljanjem izraza (2) u formi:

s1(t) =√Es1 · f1(t) (4)

odakle je:

s11 =√Es1 (5)

Gre²ka aproksimacije signala s1(t) baznim signalom f1(t) je odre�ena izrazom:

e1(t) = s1(t)− s11 · f1(t) (6)

i predstavlja dio signala s1(t) koji nema projekciju na bazni signal f1(t) (projekcija ovekomponente je jednaka nuli), ²to zna£i da je komponenta e1(t) signala s1(t) ortogonalnabaznom signalu f1(t). Kako je bazni signal odabran prema izrazu (2), to su s1(t) i f1(t)kolinearne funkcije (vektori), tj. s1(t) je potpuno odre�en projekcijom na f1(t) (ima samo

2 / 5

Telekomunikacijske tehnike 1 Dodatak br. 2

komponentu po ovom baznom signalu). To zna£i da je gre²ka aproksimacije jednaka nuli,²to se moºe pokazati uvr²tavanjem izraza (5) i (2) u izraz (6):

e1(t) = s1(t)− s11 · f1(t) = s1(t)−√Es1 ·

s1(t)√Es1

= 0

Dakle, odabirom baznog vektora f1(t) prema izrazu (2), signal s1(t) je u potpunosti pred-stavljen u prostoru signala i dalja analiza se provodi za ostale signale.

2. U narednom koraku Gram-Schmidt ortogonalizacije je potrebno provjeriti da li je slje-de¢i signal s2(t) razmatranog prostora mogu¢e predstaviti baznim signalom f1(t) ili je zanjegovo potpuno predstavljanje potrebno pro²iriti skup dodatnim baznim signalom f2(t).Gre²ka aproksimacije signala s2(t) baznim signalom f1(t) je data izrazom:

e2(t) = s2(t)− s21 · f1(t) (7)

gdje je s21 projekcija signala s2(t) na bazni signal f1(t), pri £emu je (analogno izrazu (3)):

s21 =

Ts∫0

s2(t)f1(t)dt

Uo£imo da je signal s2(t) potpuno predstavljen baznim signalom f1(t), ako je gre²ka aprok-simacije e2(t) jednaka nuli. U tom slu£aju se analiza nastavlja za sljede¢i signal koji jepotrebno predstaviti u vektorskom prostoru signala. Jasno, skup baznih signala nije po-trebno pro²irivati sve dok se razmatrani signali mogu predstaviti baznim signalom f1(t).

3. Ako je gre²ka aproksimacije e2(t) razli£ita od nule, to zna£i da signal s2(t) nije u potpunostiodre�en komponentom na baznom signalu f1(t) i da postoji njoj ortogonalna komponentasignala s2(t). Ta ortogonalna komponenta je jednaka signalu gre²ke e2(t), ²to je mogu¢ezaklju£iti predstavljanjem izraza (7) u obliku:

s2(t) = s21 · f1(t) + e2(t)

Mogu¢e je uo£iti da je za potpuno predstavljanje signala s2(t) skup baznih signala potrebnopro²iriti baznim signalima pomo¢u kojih ¢e biti mogu¢e u predstaviti komponentu e2(t).Pro²irenje skupa baznih signala ¢e biti najmanje (pro²irenje jednim baznim signalom) akose bazni signal f2(t) odabere tako da je kolinearan sa signalom e2(t), jer se tada signale2(t) moºe predstaviti:

e2(t) = e22 · f2(t) (8)

gdje je e22 projekcija signala e2(t) na bazni signal f2(t). Uo£imo da je e22 ujedno i projekcijasignala s2(t) na bazni signal f2(t), tj.

s22 = e22

a izraz (8) se moºe pisati:e2(t) = s22 · f2(t)

U skladu sa navedenim, bazni signal f2(t) se odabire prema izrazu:

f2(t) =e2(t)√Ee2

(9)

3 / 5

Telekomunikacijske tehnike 1 Dodatak br. 2

gdje je Ee2 energija signala gre²ke e2(t), odre�ena izrazom:

Ee2 =

Ts∫0

|e2(t)|2dt

Analogno razmatranju za izraz (2), faktor√Ee1 u nazivniku gornjeg izraza ima ulogu

normiranja energije baznog signala f2(t). Projekcija signala s2(t) na odabrani bazni signalf2(t) je odre�ena izrazom:

s22 =

Ts∫0

s2(t)f2(t)dt

Obzirom da projekcija s22 predstavlja koe�cijent uz bazni signal f2(t) linearne kombinacijekojom je predstavljen signal s2(t) (vidi izraz (1)), s22 je mogu¢e odrediti i predstavljanjemizraza (9) u formi:

e2(t) =√Ee2 · f2(t)

te uvr²tavanjem dobijenog izraza (7), izraºenog u pogodnijem obliku:

s2(t) = s21 · f1(t) + e2(t)

odakle se dobije:

s2(t) = s21 · f1(t) +√Ee2 · f2(t)

s22 =√Ee2

Dakle, pro²irenjem baznog skupa signalom f2(t) odabranim prema izrazu (9) i signal s2(t)se moºe u potpunosti predstaviti komponentama po baznim signalima, a analiza se nastav-lja za ostale signale. Bitno je jo² jednom napomenuti da je signal s1(t), odabirom baznogsignala f1(t) prema izrazu (2), u potpunosti odre�en komponentom po f1(t) i nema kom-ponentu po f2(t) (niti bilo kojem drugom baznom signalu kojim ¢e naknadno biti pro²irenbazni skup).

4. Nakon pro²irenja baznog skupa i predstavljanja signala s2(t), u narednom koraku Gram-Schmidt ortogonalizacije je potrebno provjeriti da li je sljede¢i signal s3(t) iz razmatranogprostora mogu¢e predstaviti postoje¢im baznim skupom, tj. baznim signalima f1(t) i f2(t)ili je za njegovo potpuno predstavljanje potrebno pro²iriti skup dodatnim baznim signalom.Analogno razmatranju za prethodni signal s2(t), analiziramo gre²ku aproksimacije signalas3(t) datu izrazom:

e3(t) = s3(t)− [s31 · f1(t) + s32 · f2(t)] = s3(t)− s3(t) (10)

gdje je s3(t) aproksimacija signala s3(t) baznim signalima f1(t) i f2(t), a s31 i s31 projekcijesignala s3(t) na bazne signale f1(t) i f2(t), respektivno:

s31 =

Ts∫0

s3(t)f1(t)dt

s32 =

Ts∫0

s3(t)f2(t)dt

Ako je gre²ka aproksimacije e3(t) jednaka nuli na cijelom simbolskom periodu, signal s3(t)je u potpunosti odre�en komponentama na baznim signalima f1(t) i f2(t). Me�utim, ako

4 / 5

Telekomunikacijske tehnike 1 Dodatak br. 2

je gre²ka aproksimacije e3(t) razli£ita od nule, signal s3(t) ima komponentu ortogonalnubaznim signalima f1(t) i f2(t), a za njegovo potpuno predstavljanje u prostoru signalaje potrebno pro²iriti bazni skup dodatnim signalom f3(t). Princip odabira novog baznogsignala je isti kao pri pro²irenju baznog skupa koje je izvr²eno da bi se signal s2(t) mogaopredstaviti u prostoru signala (vidi izraz (9)). Dakle, bazni signal f3(t) se odabire premaizrazu:

f3(t) =e3(t)√Ee3

(11)

gdje je Ee3 energija signala gre²ke e3(t):

Ee3 =

Ts∫0

|e3(t)|2dt

5. Nakon pro²irenja baznog skupa signalom f3(t) i signal s3(t) je mogu¢e predstaviti, a proce-dura se dalje nastavlja i provodi signal po signal sve dok svi signali razmatranog prostorasignala ne budu predstavljeni a bazni skup potpun (dovoljan za predstavljanje svih signalaprostora).

Bitno je jo² jednom napomenuti da je redoslijed analize signala si(t) proizvoljan, ²to ujednozna£i da skup odre�enih baznih simbola nije jednozna£an. To je posljedica zavisnosti odre�enihbaznih signala od redoslijeda razmatranja simbola.

5 / 5