43

KREU III MODELI I TURBULENCËS 3.1 HYRJE

Lëvizjet në regjim turbulent karakterizohen nga fusha oshiluese të shpejtësisë që përcaktojnë transportin dhe oshilimin e madhësisë së momentit dhe të energjisë.

Meqënëse oshilimet mund të jenë me shkallë të reduktuar dhe me frekuencë të lartë, një simulim direkt i tyre kërkon llogaritje akoma të mëdha numerike. Kështu që kërkohen modele matematike të thjeshtuara që paraqesin oshilimet duke eleminuar nga ato shkallët e vogla dhe që përqëndrohen në zgjidhjen e gjithë atyre lloj problemesh të karakterizuar nga flukse në regjime turbulente. 3.2 ZGJEDHJA E MODELIT TË TURBULENCËS Fatkeqësisht nuk ekziston një model që mund të konsiderohet superior ndaj të tjerëve dhe në këtë mënyrë të jetë i vlefshëm për të gjithë llojet e problemeve. Zgjedhja e modelit të turbulencës do të varet nga karakteristikat fizike të fluidit, niveli i preçizionit që dëshirohet të merret, nga mjetet informatike që posedojmë dhe nga koha që kemi në dispozicion për simulimin. Për të zgjedhur modelin më të përshtatshëm për një aplikacion të veçantë është e rëndësishme të kuptojmë kapacitetet dhe limitet e opsioneve të ndryshme. 3.2.1 Krahasimi midis metodës LES dhe metodës “REYNOLDS MESATAR”. Është praktikisht e pamundur të merret një zgjidhje që varet vetëm nga koha për ekuacionet e sakta të Navier - Stokes për flukset turbulentë me një numër të madh të Reynoldsit dhe të karakterizuar nga gjeometri komplekse. Mund të përdoren dy metoda alternative për të modifikuar ekuacionet e Navier – Stokes në mënyrë që të evitojmë simulimin direkt të oshilimeve turbulente në shkallë të vogël: “Reynolds Mesatar” dhe “filtrim”. Të dyja metodat fusin të panjohura në ekuacionet që përcaktojnë lëvizjen; këto të fundit duhet të jenë, pra, të manipulueshme në mënyrë të tillë që të

44

marrim një sistem të mbyllur ose e thënë ndryshe një sistem të përbërë nga aq ekuacione sa të panjohura ka. Ekuacinet e Navier – Stokes me Reynolds Mesatar (RANS) paraqesin ekuacionet e ekuilibrit dinamik vetëm për një sasi të fluksit mesatar respektivisht të cilët janë modeluar të gjitha shkallët e turbulencës. Ky lloj përafrimi, që konsiston marrjen e një zgjidhjeje për variablat e fluksit mesatar, sjell një reduktim të ndjeshëm gjatë llogaritjeve kompujterike. Nëqoftë se fluksi mesatar është stacionar, ekuacionet nuk përmbajnë derivate të kohës dhe kësisoj është e mundur të marrin lehtësisht një zgjidhje stacionare. Avantazhet e llogaritjes duken sidomos në rastin e regjimeve tranzitore, meqënëse perioda nuk përcaktohet nga turbulenca por nga jo-stabiliteti global në fluksin mesatar. Ky përafrim zakonisht adoptohet gjatë llogaritjeve praktike inxhinierike dhe në modele turbulence si k-ε.

Metoda LES (Large Eddy Simulation, që mund të përkthehet si simulim i “shtjellave të mëdha”) është një përafrim i modelimit të turbulencës bazuar në filtrimin hapësinor të fushës së lëvizjes. Justifikimi teorik i këtij përafrimi mbështetet në atë që në një lëvizje turbulente strukturat e shkallëve më të mëdha (shtjella të mëdha), që janë përgjegjëset kryesore për transportin konvektiv të sasisë së lëvizjes, energjisë turbulente dhe fushave skalare, nuk mund të modelohen në formë të përgjithshme (përdersia janë tepër anizotrope dhe variojnë ndjeshëm nga lëvizja në lëvizje) dhe në këtë mënyrë preferohet të simulohen në mënyrë eksplicite (të hollësishme); ndërsa strukturat e shkallëve të vogla janë me tendencë izotrope dhe universale (pra të pavarura nga problemi specifik), prandaj është më mirë që të modelohen në mënyrë të thjeshtuar. Në metodën LES shtjellat e mëdha llogariten nëpëmjet një simulimi të varur nga koha dhe që përdor një komplet ekuacionesh të filtruar. Filtrimi konsiston në një manipulim (modifikim) të ekuacioneve të sakta të Navier – Stokes duke hequr vetëm shtjellat me shkallë më të vogël se dimensioni i filtrit, që përkon përgjithësisht me dimensionin e rrjetës. 3.2.2 Reynolds Mesatar Në ndryshim nga ekuacionet LES që janë të filtruara në hapësirë, të ashtuquajturat “ Ekuacionet e Reynoldsit”, në bazë të simulimeve më konvencionale të turbulencës, janë versione të filtruara në kohë të ekuaioneve primitive të vazhdueshmërisë, sasisë së lëvizjes dhe energjisë. Zgjidhjet e ndryshme të ekuacioneve të sakta dhe të çastit të Navier- Stoksit janë shpërbërë në dy komponente, komponentja mesatare ose e zgjidhur dhe komponentja luhatëse ose e pazgjidhur.

45

Për shpejtësinë do të kemi:

'iii uuu += (i = 1, 2, 3) (3.1) ku iu dhe '

iu janë respektivisht shpejtësia mesatare dhe shpejtësia e çastit. Në të njëjtën mënyrë si për presionin dhe për madhësitë e tjera skalare

kemi:

'φ φ φ += (3.2)

Duke zëvendësuar këto shprehje në ekuacionet e vazhdueshmërisë dhe sasisë së lëvizjes do të merren shprehjet e mëposhtëme:

0)ρ(ρ

=∂∂

+∂∂

ii

uxt

(i = 1,2,3) (3.3)

( )''ρδ32µρ ji

jl

lij

i

j

i

i

ji

i uuxx

uxu

xu

xxp

tu

−∂∂

+

∂∂

−∂

∂+

∂∂

∂∂

+∂∂

−=DD (3.4)

Ekuacionet (3.3) dhe (3.4) quhen “Reynolds-averaged Navier-Stokes

(RANS) equations”. Forma e përgjithshme e dy ekuacioneve është ajo e vetë ekuacioneve të pamodifikuar të Navier – Stoksit, por tani rezultatet paraqiten në madhësi mesatare respektivisht të kohës. Termi shtesë ''ρ ji uu− paraqet sforcimin e gjeneruar nga turbulenca dhe duhet modifikuar që sistemi të jetë i përcaktuar. Një metodë komode është ajo e bazuar në hipotezën e Boussineskut që lidh termin e turbulencës me gradientin e shpejtësisë mesatare:

iji

it

i

j

j

iji x

uxu

xu

uu δµρ32µ''ρ t

∂∂

+−

∂

∂+

∂∂

=− k (3.5)

Hipoteza Boussinesq është përdorur në modelin Spalart-Allmaras dhe

në modelin k-ε. Avantazhi i zgjidhjes së këtij tipi lidhet me reduktimin e kohës llogaritëse për përcaktimin e viskozitetit turbulent µt. Në modelin Spalart-Allmaras zgjidhet një ekuacion shtesë i transportit (ai që paraqet viskozietein turbulent). Në rastin e modelit k-ε ekuacionet shtesë janë dy:

46

ato relativisht k dhe ε ndërsa µt llogaritet në funksion të dy të panjohurave të mëparshme. Sipas Boussinesk µt konsiderohet si një madhësi skalare izotrope. Në realitet kjo gjë që nuk është e vërtetë. Këtu qëndron dhe shmangia e modelit të Boussinesk nga realiteti. 3.3 MODELI I TURBULENCËS SPALART-ALLMARAS Në modelet e turbulencës që përdorin hipotezën e Boussineskut rezultati që merret është llogaritja e viskozitetit turbulent. Modeli i propozuar nga Spalart dhe Allmaras zgjidh ekuacionin e ekuilibrit dinamik për një madhësi që paraqet një formë të modifikuar të viskozitetit kinematik turbulent. E panjohura e përdorur v~ , është e barabartë me viskozitetin kinematik turbulent, µt, përveç zonave të mureve. Ekuacioni i ekuilibrit dinamik merr këtë formë:

( ) vj

bjjv

v YxvC

xvv

xGv

−

∂∂

+

∂∂

+∂∂

+=2

2~

~ρ

~~ρµσ1

t

~ρDD (3.6)

ku Gv paraqet termin e gjenerimit të viskozitetit turbulent dhe Yν atë të reduktimit që ndodh në zonën e mureve, shkaktuar nga rezistenca e mureve dhe nga humbjet viskoze. v~σ dhe Cb2 janë konstante dhe ν është viskoziteti kinematik molekular.

Modelimi i viskozitetit turbulent

Viskoziteti turbulent µt llogaritet si më poshtë:

1~ρµ vt fv= (3.7)

ku funksioni i humbjeve , fv1, jepet nga:

31

3

3

1v

v Cχχf+

= (3.8)

me

vv~χ ≡ (3.9)

47

Modelimi i gjenerimit të turbulencës

Termi i gjenerimit të turbulencës Gν gjendet si më poshtë:

vSGv~~ρCb1= (3.10)

222

~~vf

dkvSS +≡ (3.11)

12 χ1

χ1v

v ff

+−= (3.12)

Cb1 dhe k janë konstante, d është distanca nga muret S është njësi matëse skalare e deformimit të tenzorit; modelin origjinal të propozuar nga Spalart dhe Allmaras, S varet nga dimensionet e shtjellës:

ijS ΩΩ2 ij≡ (3.13) ku:

∂∂

−∂

∂=

j

i

i

jij x

uxu

21Ω (3.14)

Në këtë mënyrë del se turbulenca gjenerohet eskluzivisht në afërsi të

mureve dhe prandaj do të marrim në konsideratë vetëm një drejtim të rrotullimit duke lënë mënjanë efektet e tenzorit të sforcimeve në gjenerimin e turbulencës. Këto konsiderata nuk janë gjithnjë të sakta, përkundrazi në disa raste kjo metodë rrezikon të mbivlerësojë efektin e turbulencës. Në disa raste është më e favorshme përdorimi i shprehjes së mëposhtme:

( )ijijprod SCS Ω,0minΩij −+≡ (3.15) ku Cprod= 2,0, ijijij ΩΩ2Ω ≡ , ijijij SSS 2≡ ku Sij paraqet komponenten mesatare të tenzorit të sforcimeve

∂∂

+∂

∂=

j

i

i

jij x

uxu

S21 (3.16)

Modelimi i reduktimit të turbulencës Termi i reduktimit të turbulencës Yν nxirret si më poshtë:

48

2

1

~ρC

=

dvfY wwv (3.17)

61

63

6

631

++

=w

ww Cg

Cgf (3.18)

( )rrrg w −+= 62C (3.19)

22~~

dkSvr ≡ (3.20)

Cw1, Cw2 dhe Cw3 janë konstante, S~ jepet nga ekuacioni (3.11).

Edhe në këtë rast vlejnë konsideratat e bëra më parë për efektin e tenzorëve të sforcimeve. Vlera e konstanteve të përdorura në modelin e turbulencës Spalart dhe Allmaras në modelin e tyre japin vlerat e mëposhtme për konstantet e përdorura: Cb1= 0,1335, Cb2=0,622, σv=2/3, Cv1=7,1

( )v

bbw

CkCC

~

221

1 σ1+

+= , Cw2=0,3, Cw3=2,0, k=0,41

Kushtet kufitare në mure Vlera e v~ në kufijtë e zonës së mureve konsiderohet e barabartë me zero. Kur rrjeta e zonës llogaritëse është tepër e dendur për të llogaritur nënshtresën laminare, sforcimet prerëse të murit merren nga raporti i mëposhtëm:

µρ τ

τ

yuuu

= (3.21)

Në rast të kundërt kur rrjeta është e rrallë supozohet se qëndra e

rëndesës së qelizave fqinjë me murin bie në brendësi të një zonë logaritmike të planit të kufirit, funksioni i murit të përdorur është si më poshtë:

=

µρln1 τ

τ

yuEku

u (3.22)

ku k=0,419 e E=9,793. 3.4 MODELI I TURBULENCËS k-ε Modelet më të tjeshta të turbulencës po njëkohësisht dhe “më të kompletuarit” janë ato me dy ekuacione, pikërisht modeli k-ε, pra në të cilin

49

zgjidhja veçmas e dy ekuacioneve të ekuilibrit dinamik na lejon të gjejmë pavarësisht nga njëra – tjetra shpejtësinë e turbulencës dhe gjatësinë e shkallës. 3.4.1. Modeli k-ε standart Modeli k-ε standart në fillim i propozuar nga Jones dhe Launder është bërë përgjithësisht më i përdorshmi në llogaritjet fluidodinamike, falë një shpejtësie relative të tij dhe preçizioni në llogaritje për një gamë të gjerë problemesh. Është një model që mund të quhet gjysëm empirik përderisa ekuacionet që e përbëjnë bazohen në konsiderata praktike. Dy ekuacionet e ekuilibrit dinamik në të cilët bazohet modeli janë njëri relativisht i energjisë kinetike turbulente (k) dhe tjetri në treguesin e shpërhapjes (ε). E para rrjedh direkt nga ekuacionet e Navier – Stokes dhe i dyti nxirret nga arsyetime fizike. Në formulimin e modelit supozohet që lëvizja është tërësisht turbulente dhe që efektet e viskozitetit të fluidit janë të neglizhueshme. Pra ky model është i vlevshëm për lëvizje tërësisht turbulente. Dy ekuacionet e ekuilibrit dinamik jepen si më poshtë:

Mbkik

t

i

YGGxk

xDtDk

−−++

∂∂

+

∂∂

= ρεσµ

µρ (3.23)

( )k

CGCGk

CxxDt

Dbk

i

t

i

2

ε2ε3ε1ε

ερεεσµ

µερ −++

∂∂

+

∂∂

= (3.24)

Në këto ekuacione Gk është faktori i gjenerimit të energjisë kinetike

turbulente si shkak i gradientit mesatar të shpejtësisë; Gb është faktori i energjisë kinetike turbulente për shkak të pluskimit; YM paraqet kontributin shpërhapës si shkak i zgjerimit të oshilacioneve në rastin e shtypshmërisë së lëvizjes turbulente. C1ε, C2ε, C3ε janë konstante, εk σ dhe σ janë numrat e Prandtl respektivisht për k dhe ε. Viskoziteti turbulent në këtë rast llogaritet si kombinacion i k me ε si më poshtë:

ερµ

2

µkCt = (3.25)

50

Konstantet e përdorura në modelin e turbulencës Vlerat e konstanteve të përdorura në modelin e turbulencës janë

rrjedhojë e eksperiencave të shumta duke përdorur ajrin dhe ujin si fluide referuese.

C1ε=1,44 C2ε= 1,92 Cµ=0,09 σk=1,0 σε=1,3 3.4.2 Modeli k-ε RNG Ky model rrjedh nga një standart falë përdorimit të një teknike statistikore (e ashtuquajtura Teori e Grupit të Rinormalizuar); është e ngjashme me formën e modelit të mëparshëm por ndryshon nga ai për këto karakteristika:

• Në modelin RNG ekuacioni i ε ka një term më tepër që e përmirëson shumë më mirë saktësinë e zgjidhjes për flukset e shpejta.

• Merret në konsideratë efekti i shtjellave mbi lëvizjen. • Parashikohet një formulë analitike për numrin e Prandtl në ndryshim

nga i pari që e konsideronte si konstante. • Ndërsa modeli standart është për numra shumë të mëdhenj të

Reynolds, teoria RNG na jep një formulë diferenciale që merr parasysh viskozitetin efektiv që influencon mbi lëvizjen për numra të vegjël të Reynoldsit.

Të gjitha këto karakteristika na lejojnë të marrim rezultate shumë të sakta duke bërë modelin më të besuar se i mëparshmi, duke zgjeruar spektrin e veprimit mbi problemet në studim. Dy ekuacionet e ekuilibrit dinamik ngjajnë shumë me atë të modelit standart:

Mbki

ki

YGGxk

xDtDk

−−++

∂∂

∂∂

= ρεµαρ eff (3.26)

( ) Rk

CGCGk

CxxDt

Dbk

ii

−−++

∂∂

∂∂

=2

ε2ε3ε1εερεεµαερ eff (3.27)

termat e ekuacioneve janë të njëjta me ato të paragrafit të mëparshëm, ku shtohen vetëm εα dhe α k që janë inverset e numrave të Prandtl respektivisht për k dhe ε.

51

Llogaritja e viskozitetit Metoda e përdorur nga teoria RNG për thjeshtimin e ekuacioneve real

të ekuilibrit dinamik bazohet në formulimin dhe zgjidhjen e një ekuacioni diferencial për viskozitetin turbulent:

ν1ν

ν72,1εµρ

ν3

2

dC

kd+−

=

(3.28)

ku µ

µν eff= e Cν ≈ 100

Integrimi i këtij ekuacioni na lejon të shohim si ndryshon viskoziteti efektiv me ndryshimin e numrit të Reynoldsit. Kjo konsiston në një trajtim më të saktë të problemeve me numra të vegjël të Re dhe flukseve afër zonave të murit. Në rastet e numrave të mëdhenj të Reynoldsit relacioni (3.28) na jep:

ερµ

2

µkCt = (3.29)

me Cµ = 0,0845 të llogaritur nga teoria RNG. Është interesante të theksojmë që kjo vlerë është shumë e ngjashme me atë të llogaritur në mënyrë empirike në modelin standart të barabartë me 0,09. Llogaritja e inversit të numrit efektiv të Prandtlit Inverse të numra të Prandtlit εα dhe α k janë llogaritur duke përdorur formulën analitike të mëposhtme që rrjedh nga teoria e RNG.

eff

moll

µµ

3929,2α3929,2α

3929,1α3929,1α

3679.0

0

6321.0

0

=++

−− (3.30)

ku α0 =1,0. Për lëvizje totalisht turbulente ( effmoll µµ <<1), αk = αε ≈ 1,393. Termi R në ekuacionin e ε Diferenca kryesore mes modelit të RNG dhe atij standart është prezenca e termit R në formulën e ekuacionit të ε.

( )k

CR2

30

3µ ε

βη1ηη1ρη

+−

= (3.31)

me ε

η Sk≡ , η0 = 4,38, β = 0,012

ijij SSS 2≡

∂∂

+∂

∂=

j

i

i

jij x

uxu

S21

Efekti i këtij termi shihet më qartë duke modifikuar (3.27) si vijon

52

( )k

CGCGk

CxxDt

Dbk

ii

2

ε2ε3ε1εερεεµαερ ∗−++

∂∂

∂∂

= eff (3.32)

me ( )

30

3µ

ε2*ε2 βη1

ηη1ρη+

−+≡

CCC (3.33)

Në zonat ku η<η0, termi R jep një kontribut pozitiv dhe *

ε2C është më e madhe se ε2C . Në rastet e shtresave logaritike, përshembull, vërehet se η≈3,0, nga ku del *

ε2C ≈2,0 që nuk ndryshon shumë nga vlera e marrë për të njëjtin rast nga modeli k-ε standard; për flukset e ngadalshëm rezultatet mes dy modeleve janë të krahasueshëm.

Në zonat ku η>η0 R provokon një reduktim të vlerës së *ε2C . Në këto

raste, pra flukset e shpejtë, modeli RNG jep një vlerë të viskozitetit turbulent më të vogël sesa modeli standart.

Vlerat e konstanteve në model Vlerat e konstanteve dalin prej shqyrtimeve analitike të bëra nga

teoria e RNG dhe vlejnë për rastin tonë: 42,1ε1 =C 68,1ε2 =C

3.4.3 Modeli k-ε i Realizueshëm (Realizable)

Ky model është rezultat i zhvillimeve të fundit dhe dallon nga modeli k-ε standart sespe karakterizohet nga një formulim i ri i viskozitetit turbulent dhe nga një ekuacion i ri i ekuilibrit dinamik për ε. Termi “Realizable”, do të thotë që modeli kënaq disa pengesa matematike mbi sforcimet normale, përsa i përket fizikës së flukseve turbulente. Për të kuptuar këtë, shqyrtojmë një kombinim të ekuacionit të Boussinesq (3.5) me ekacionin (3.25) për të marrë shprehjen e mëposhtme për sforcimet normale të Reynoldsit për një fluid të pashtypshëm:

xUku t ∂∂

−= υ2322 (3.34)

Duke përdorur ekuacionin (3.25) për ρ/µυ tt ≡ merret si rezultat

sforcimi normal, 2u , që nga përkufizimi paraqet një madhësi pozitive, bëhet negative, ose “non realizable”, kur sforcimi është aq i madh sa për të kënaqur:

53

7,33

1ε µ

≈>∂∂

CxUk (3.35)

Në të kundërt mosbarazimi i Schwarzit për sforcimet prerëse

2β

2α

2

βα uuuu ≤ mund të thyhet kur vlera mesatare e sforcimeve është e madhe. Mënyra më direkte për të siguruar realizueshmërinë (pozitivitetin e sforcimeve normale dhe mosbarazimin e Schwarzit për sforcimet prerëse) qëndron në bërjen e Cµ variabël duke e sensibilizuar me fluksin mesatar dhe turbulencën. Dy ekuacionet e ekuilibrit dianmik janë:

Mbkjk

t

i

YGGxk

xDtDk

−−++

∂∂

+

∂∂

= ρεσµ

µρ (3.36)

bj

t

j

GCk

Ck

CSCxxDt

Dε3ε1

2

21ε

ευε

ερερεσµ

µερ ++

−+

∂∂

+

∂∂

= (3.37)

ku

+=

5ηη,43,0max1C

dhe ε/η Sk=

me C2 e C1 konstante. Siç mund të shihet ekuacioni i ε është mjaft i ndryshëm nga ato të

modeleve të tjera k-ε. Një nga aspektet për tu theksuar është që termi i prodhimit në ekuacionin e ε nuk ndërlikon prodhimin tek k, përshembull nuk përmban të njëjtën term Gk që është i pranishëm në modelet e tjera. Në këtë mënyrë mendohet të paraqitet më mirë transferimi i energjisë spektrale. Një karakteristikë tjetër është që termi i shkatërrimit në ekuacionin (3.37) nuk ka asnjë veçanti, përshembull emëruesi i tij nuk anullohet kurrë edhe pse k mund të anullohet ose mund të marrë një vlerë më të vogël se zero. Kjo karakteristikë e fundit është në kundërshtim me modelet tradicionale k-ε që në emërues paraqesin një veçanti për shkak të k.

Llogaritja e viskozitetit Ashtu si në modelet e tjetrë k-ε viskozieti turbulent jepet nga

ekuacioni (3.25) por në këtë rast Cµ nuk është më një konstante por llogaritet si vijon:

ε

1*

0

µ kUAAC

s+= (3.38)

ku: ijijijij SSU Ω~Ω~* +≡ (3.39)

54

dhe kijkijij ωε2ΩΩ~ −=

kijkijij ωεΩΩ −= ku ijΩ është tenzori i rrotullimit të llogaritur respektivisht të një sistemi referimi që rrotullohet me shpejtësi këndore kω . Konstantet e modelit jepen nga

04.40 =A φcos6=sA me

( )W6arccos31φ = ,

SSSS

W kijkij~= , ijij SSS =

~ ,

∂∂

+∂

∂=

j

i

i

jij x

uxu

S21

Vlerat e konstanteve të marra në model Konstantet C2, kσ dhe εσ janë stabilizuar për të siguruar që modeli funksionon me disa flukse kanonike. Ato janë:

44,1ε1 =C 9,12 =C 0,1σ k = 2,1σ ε = 3.4.4 Përshkrimi i termave GK, GB, YM Termi Gk që paraqet gjenerimin e energjisë kinetike turbulente, merr një formë të mesme në gjithë modelet k-ε. Nga ekuacioni i ekuilibrit dinamik për k ky term mund të përcaktohet si vijon:

i

jjik x

uuuG

∂

∂′′−= ρ (3.40)

duke vlerësuar Gk në mënyrë që të respektojë hipotezën e Boussinesq, marrim:

2µ SG tk = (3.41) ku S paraqet modulin të vlerës mesatare të tenzorit të sforcimeve.

ijij SSS 2≡

∂∂

+∂

∂=

j

i

i

j

xu

xu

S21

ij

kur fusha gravidacionale dhe gradienti i temperaturës nuk janë njëkohësisht zero, gjenerohet i ashtuquajturi efekt i pluskimit, i cili influencon edhe në turbulencë. Në modelet k-ε merret parasysh ky fenomen duke futur termin Gb.

it

tib x

TgG∂∂

=Prµ

β (3.42)

55

ku Prt është numri Prandtl turbulent për energjinë që për modelin k-ε standard dhe për atë “Realizable” ëshët constant dhe merr vlerën 0,85, ndërsa në rastin e RNG, Prt=1/α ashtu siç shihet dhe nga ekuacioni (3.30). β paraqet koefiçentin e zgjerimit termik që përkufizohet si:

pT

∂∂

−=ρ

ρ1β (3.43)

për gazet ideale (3.42) reduktohet në

it

tib x

gG∂∂

−=ρ

Prρµ (3.44)

Dhe konstantja C3ε është futur në ekuacionin për të marrë parasysh efektin e pluskimit dhe llogaritet si vijon:

uvC tanhε3 = (3.45)

ku v është komponentja e shpejtësisë së fluidit paralel me fushën gravidacionale dhe u ajo ortogonale. Në këtë mënyrë C3ε vlen 1 për lëvizjet në të cilat planet e pluskimit shtrihen me fushën gravidacinale dhe vlen zero kur këto plane janë perpendikularë.

Në rastet me numër të madh të Mach, efekti i shtypshmërisë influencon në turbulencë, gjë që normalisht neglizhohet për fluidet e pashtypshëm. Termi YM futet në ekuacionin e k me qëllim marrjen parasysh të këtij efekti dhe llogaritet:

22ερ tM MY = (3.46)

ku Mt është numri i Mach turbolent përcaktuar si:

2akM t = me ( )RTa γ≡ shpejtësia e zërit (3.47)

3.5 STUDIMI I ZONAVE TË MUREVE (PARETET) Flukset turbulente influencohen ndjeshëm nga prezenca e mureve. Në këto zona fusha e shpejtësisë mesatare përcaktohet nga kushtet e fërkimit dhe turbulenca ndryshon në mënyrë të ndjeshme. Në pjesët më afër mureve humbjet viskoze reduktojnë oshilimet e shpejtësisë tangenciale ndërsa fërkimi kinematik redukton oshilimet normale. Zona më larg murit, ajo drejt “zemrës turbulente”, karakterizohet nga gradientë të lartë shpejtësie që favorizojnë një rritje të energjisë kinetike turbulente. Është e qartë pra, që

56

nga diskutimet e mëparshme që modeli numerik për zonën e murit ka një rëndësi të veçantë në zgjidhjen e problemeve fluidodinamike. Modeli k-ε janë të vlefshëm për studimin e zonave të fluksit larg mureve. Eksperimentet e shumta në fluidodinamikë kanë treguar që fluksi i mureve mund të ndahet në tre shtresa (Figura 3.1). Në shtresën më të brendëshme, të quajtur nënshtresa viskoze, fluksi pothuajse është laminar dhe vizkoziteti (molekular) luan një rol përcaktues në transmetimin e sasisë së lëvizjes, masës dhe nxehtësisë. Në zonën më të jashtme, të quajtur tërësisht turbulente, është turbulenca ajo që ndikon më së shumti mbi fluksin. Së fundmi ekziston një zonë e mesme mes këtyre të dyjave ku turbulenca dhe viskoziteti molekular kanë të njëjtën rëndësi. Duke përdorur një kod llogaritës, ekzistojnë dy metoda për skematizimin e zonave të murit. Një në të cilën zona më në brendësi, mbizotëruar nga viskoziteti merr parasysh nënshtresën viskoze dhe “buffer layer” (shtresa amortizuese), nuk zgjidhen. Përkundrazi përdoren ekuacione empirike, të quajtura “funksion të faqeve”, për të krijuar një lidhje mes variablave të modelit që karakterizojnë rajonin me fluks tërësisht turbulent dhe vlerat që vetë variablat marrin në kufij. Përdorimi i funksioneve të faqeve eviton nevojën e modifikimit të modelit të turbulencës për të marrë parasysh prezencën e mureve (faqeve).

Një përafrim tjetër, më me shumë punë, gjeneron një rrjetë shumë të imët në zonën e mbizotëruar nga viskoziteti dhe detyrohet modeli të zhvillojë llogaritje në të gjithë zonën. Të dy këto përafrime paraqiten në Figurën 3.2.

Figura 3.1: Ndarja e shtresave të murit

57

Figura 3.2: Përafrimet për trajtimin e zonës së faqeve

Në shumicën e rasteve, flukseve me numër të lartë të Reynoldsit,

metoda e “Funksion i Murit” thjeshton shumë llogaritjet kur zona e nënshtresës viskoze ku variblat ndryshojnë shumë shpejt nuk llogaritet. Kjo metodë është shumë e përdorshme sepse është ekonomike, e qëndrueshme dhe tepër preçize. Megjithatë mbetet jo e përdorshme në rastet kur efektet e numrit të ulët të Reynoldsit influencojnë gjithë zonën e fluksit në shqyrtim duke humbur në këtë mënyrë vërtetësinë e hipotezave në të cilat bazohet funksioni i murit. Atëherë na mbetet të zgjedhim modelet që rezultojnë të verifikuar dhe në zonën e nënshtresës viskoze dhe kësisoj e integrueshme në gjithë zonën llogaritëse. 3.5.1 Funksioni i murit Funksioni i murit është një seri formulash gjysëm empirike dhe funksionesh që lidhin variablat e modelit matematik të përdorur për të përshkruar fluksin në zonën e “zemrës turbulente” me madhësitë korresponduese në mure. Funksioni i mureve përmbledh:

• Një ekuacion të murit për shpejtësinë dhe temperaturën ose për ndonjë madhësi tjetër skalare.

• Një shprehje për madhësitë karakteristike të turbulencës. Kodi numerik FLUENT i përdorur nga ne na lejon të zgjedhim mes dy tipeve të funksionit të murit:

• Funksionin e murit standart. • Funksionin e murit “të paekuilibruar”.

58

3.5.1.1 Funksioni i murit standart Funksioni i murit standart në rastin tonë bazohet në atë të propozuar nga Launder dhe Spalding, mes të tjerash është më i përhapuri në zgjidhjen e problemeve fluidodinamikë të nivelit industrial. Funksioni i murit për shpejtësinë mesatare është:

( )∗∗ = EyU lnκ1 (3.48)

ku

ρτ

2141µ

w

PP kCUU =∗ (3.49)

µρ 2141

µ PP ykCy =∗ (3.50)

κ është konstantja e von Karman’s (=0,42) E është një konstante empirike (=9,81) Up është shpejtësia mesatare e fluidit në pikën P kp është energjia kinetike turbulente në pikën P yp është distanca e pikës P nga muri µ është viskoziteti dinamik i fluidit

Ligji logaritmik i shpejtësisë mesatre është i vlevshëm për vlera të y*>30∼60. Tek FLUENT ky ligj përdoret nëse y*>11,225.

Kur qelizat e rrjetës në zonën e murit kanë dimensione më të vogla se y*<11,225, FLUENT përdor relacionin sforcim – tension të mëposhtëm për flukset laminare:

∗∗ = yU (3.51)

Duhet të kihet parasysh se në FLUENT funksioni i murit për

shpejtësinë mesatare dhe temperaturën përdorin si njësi matëse për murin y* në vend të y+(= µρ τ yu ); madhësi që mund të konsiderohen të barabarta në kushte ekuilibri për shtresa kufitare turbulente.

Analogjia e Reynolds mes transportit të sasisë së lëvizjes dhe energjisë jep një ligj logaritmik të ngjashëm dhe për temperaturën mesatare. Ashtu si në rastin e shpejtësisë mesatare funksioni i murit për temperaturën përmban dy ligjet e mëposhtme: një ligj linear për përcjellshmërinë termike për nënshtresën ku përcjellshmëria është e rëndësishmë dhe një ligj logaritmik për zonën “e zemrës turbulente” ku mbizotërojnë efektet e turbulencës.

59

Trashësia e shtresës së përcjellshmërisë termike është përgjithësisht e ndryshme nga trashësia e shtresës viskoze dhe ndryshon nga fluidi në fluid. Përshembull, për fluide me numër të madh të Prandtl (p.sh. vaji) shtresa e përcjellshmërisë termike është më e hollë se shtresa viskoze e sasisë së lëvizjes; dhe e kundërta ndosh me fluidet me numër të vogël të Prandtl (psh. metalet e shkrirë).

Në flukset tepër të shtypshëm shpërndarja e temperaturës në zonën e murit është shumë e ndryshme në krahasim me ata subsonik, për shkak të ngrohjes viskoze. Duke marrë parasysh konsideratat e mësipërme funksioni i murit për temperaturën ka formën e mëposhtme:

( )

( )

( ) ( ) ( )

>−+−′′

+

+

<′′

+=

=′′

−≡

∗∗∗

∗∗∗

∗

TctptP

t

TPP

PpPw

yyUUq

kCPEy

yyUq

kCy

qkCcTT

T

PrPrPrρ21ln1Pr

Prρ21Pr

ρ

222141

µ

22141

µ

2141µ

&

&

&

κ

(3.52)

ku P llogaritet si më poshtë:

( )

4121

PrPr

1PrPr

κ4π4π

−

= t

t

Asin

P (3.53)

ku: kf është përcjellshmëria termike e fluidit ρ është densiteti i fluidit cp është shpejtësia specifike me presion konstant q ′′& është fluksi termik i murit Tp temperatura e qelizës së rrjetës ngjitur me murin Pr Numri i Prandtl ( )fp kcµ Prt Numri i Prandtl turbulent (0,85 në mur) A Kostante e Van Driest (=26) κ Kostante e von Karman’s E Kostante e funksionit të murit (=9,793) Uc Vlera e shpejtësisë mesatare për y* = y*T Theksojmë se dy termat :

Prρ21 2

2141µ

PP U

qkC′′&

dhe ( ) 222141

µ PrPrPrρ21

ctPtP UU

qkC

−+−′′&

futen në ekuacionin (3.52) vetëm në rastet e fluideve të shtypshëm.

60

Vlera pa përmasa e trashësisë së shtresës termike y*T në ekuacionin (3.52) llogaritet si y* në ndërprerjen e dy funksioneve, atij linear dhe atij logaritmik. Proçedura e aplikimit të funksionit të murit për temperaturën është si më poshtë. Së pari modifikohen karakteristikat fizike të fluidit duke nxjerrë vlerën e numrit të Prandtl molekular. Pas gjetjes së tij nxirret y*T i llogaritur si ndërprerje e profileve lineare me ato logaritmike. Gjatë tentativave (iterracioneve), duke mbajtur parasysh që vlera e y* në qelizat e zonës së murit aplikon profiling linear ose logaritmik për llogaritjen e tempearturës së murit Tw ose fluksin termik të murit q ′′& (sipas tipit të përcjellshmërisë termike në kufij). Në modelin k-ε (në qoftë se opsioni për marrjen e kushteve kufitare nga ekuacioni i k është aktivizuar), ekuacioni i k zgjidhet në gjithë zonën duke përfshirë dhe qelizat e mureve. Kushti kufitar për k që vendoset mbi mure është:

0=∂∂nk (3.54)

ku n është kordinata lokale normal me murin. Prodhimi i energjisë kinetike Gk, dhe sasisë relative të shpërhapjes ε, në afërsi të mureve, që janë terma të burimeve në ekuacionin e k, llogariten mbi hipoteza të ekuilibrit lokal. Në bazë të kësaj supozojmë se prodhimi i k dhe sasisë relative të shpërhapjes janë të barabarta në vëllimin e kontrolllit ngjitur me murin. Kështu termi i prodhimit të k llogaritet si vijon:

PP

wwwk ykCy

UG 2141µκρτττ =

∂∂

≈ (3.55)

dhe ε llogaritet me

P

PP y

kCκ

ε2343

µ= (3.56)

Ekuaioni i ε nuk zgjidhet për qelizat e murit por vlera e tij llogaritet duke përdorur ekuacionin e mësipërm. Tek FLUENT funksioni i murit standart jepet për kushtet “default”, përderisa ky tip i përafruar punon mirë për shumë raste të flukseve të kufizuara me mure. Megjithatë tenton të bëhet më pak i saktë kur situata e fluksit largohet shumë nga kushtet ideale, në bazë të hipotezave të derivimit të ekuacioneve. Mbi të gjitha hipoteza e ekuilibrit lokal dhe të prerjes konstante janë dy kushtet që më së shumti kufizojnë rastin e funksionit standart. Për rrjedhojë kur flukset e murit i nënështrohen një gradienti të madh presioni dhe kur fluksi është shumë larg kushteve të ekuilibrit cilësia e simulimit

61

është e kompromentuar. Në këto raste përdoret një funksion muri që ofron në krahasim me atë standart opsione që përmirësojnë rezultatin. 3.5.1.2 Funksioni i murit në mosekuilibër Përveç funksionit të murit standart i përshkruar më sipër, FLUENT ofron opsionin e funksionit “të mosekuilibrit” që ka këto karakteristika:

• Ligji logaritmik i Launder dhe Spalding për shpejtësinë mesatare influencohet nga gradienti presionit.

• Koncepti i “dy-shtresave” adoptohet për llogritjen paraprake të energjisë kinetike turbulenete ( ε ,kG ) në qelizat ngjitur me murin.

Funksioni i murit për shpejtësinë mesatare mbetet i njëjtë me atë të analizuar më sipër për rastin standart. Ligji logaritmik për shpejtësinë mesatare influencohet nga gradienti i presionit:

=

µρ

lnκ1

ρτ

~ 2141µ

2141µ ykC

EkCU

w

(3.57)

ku

+

−+

= ∗ µ*ρκ

lnκρ2

1-U~ 2

2121vv

v

v ykyy

yy

ky

dxdpU (3.58)

dhe yv është trashësia e shtresës viskoze dhe llogaritet si:

2141µ

*

ρµ

P

vv kC

yy ≡ (3.59)

ku *vy =11,225.

Funksioni i murit “mosekuilibër” përdor konceptin e shtresës dyfishe për llogaritjen paraprake të energjisë kinetike turbulente në qelizat ngjitur me murin, e nevojshme për zgjidhjen e ekuacioneve të k. Supozohet se qelizat ngjitur me murin përbëhen nga një shtresë viskoze dhe nga një shtresë tërësisht turbulente. Profili i lëvizjes turbulente ka këto karakterisika:

>

<=

>

<

=

><

=

v

23

v2

v

v

2

vvw

v

yy

yy ,ν2

ε yy

yy yy

k yy ,τyy ,0τ

yCky

k

k

k

tP

Pt (3.60)

ku 43µκ −= CCl , dhe yv është trashësia e shtresës viskoze të përkufizuar në

(3.59). Duke përdorur këto profile, vlera mesatare e prodhimit të k për çdo

qelizë kG , dhe vlera mesatare e shpërhapjes, ε , mund të llogariten nga

62

mesatarja volumetirke e Gk dhe ε nga qelizat ngjitur me murin. Për qelizat me formë katërkëndore ose gjashtëkëndore në të cilat mesatarja volumetrike mund të përafrohet me një mesatare të thellësisë:

=

∂∂

≡ ∫v

nw

n

y

tn

k yy

kCydy

yU

yG

n

lnρ

τκ

1τ12141

µ

2

0

(3.61)

Pv

n

t

P

v

y

nn

kyy

Ck

yv

ydy

yn

+== ∫ ln21ε1ε

21

0 (3.62)

ku yn është lartësia e qelizës ( Pn yy 2= ). Për qelizat me formë tetëkëndore dhe trekëndore përdoret mesatarja e saktë volumetrike. Në ekuacionet (3.61) dhe (3.62) bilanci i energjisë kinetike turbulente në zonën e mureve influencohet ndjeshëm nga trashësia e shtresës viskoze dhe nga ajo e shtresës totalisht turbulente që variojnë ndjeshëm nga qeliza në qelizë. Në flukset me kushte joekuilibri, ka vend dhe për supozimet e ekuilibrit lokal ( prodhimtari = shpërhapje) i adoptuar nga funksioni standart në llogaritjen e bilancit të energjisë kinetike turbulete në qelizat e murit. Pra funksioni i murit të “mosekuilibrit” vetëm pjesërisht arrin të paraqesë kushtet e mosekuilibrit që neglizhohen në rastin e funksionit standart. 3.5.2 Funksioni i murit me dy shtresa Në modelin e murit “near – wall” (afër murit) të ofruar nga FLUENT, largohemi nga përshkrimi i funksionit të murit për zgjidhjen e zonës së dominuar nga viskoziteti deri në shtresën viskoze. Në modelin me dy shtresa gjithë zona ndahet në një zonë të kushtëzuar nga viskoziteti dhe në një zonë totalisht turbulente. Kufizimi i të dy zonave përcaktohet nga distanca prej murit, numri i Reynoldsit turbulent, Rey, përkufizuar si:

µρRe yk

y ≡ (3.63)

ku y është distanca normale mes qendrës së qelizës dhe murit. Tek FLUENT, y merret si distancë respektivisht e murit më të afërt.

wr

rryww

rrr

−≡∈

minΓ

(3.64)

ku rr është vektori i pozicionit në pikën e fushës dhe wrr është vektori i

pozicionit në kufijtë e murit. wΓ është bashkimi i kufijve të gjithë mureve në studim. Ky interpretim na lejon që dhe y është përcaktuar vetëm në sektorët e flukseve që karakterizohen nga figura komplekse dhe kanë shumë mure.

63

Pra y i përkufizuar në këtë mënyrë është i pavarur nga tipologjia e rrjetës së përdorur dhe është i përcaktueshëm dhe në rrjeta të pastrukturuara.

Në zonat me lëvizje totalisht turbulente (Rey>4000), përdoren modelet k-ε. Në zonat ku lëvizja karakterizoht nga viskoziteti në afërsi të mureve (Rey<4000), përdoret një model me një ekuacion të propozuar nga Wolfstein. Në modelet me një ekuacion, ekuacioni i lëvizjes dhe i k mbahen siç janë përshkruar në modelet e cituara më parë. Megjithatë, viskoziteti turbulent, µt, llogaritet si më poshtë:

µµρµ lkCt = (3.65) dhe fusha e ε llogaritet

ε

23

εl

k= (3.66)

Gjatësia e shkallës që shfaqet në ekuacionet (3.65) dhe (3.66) vlen:

−−=

µµ

Reexp1

Aycl y

l (3.67)

−−=

εε

Reexp1

Aycl y

l (3.68)

Në qoftë se fluksi përfshihet në rajonin e ndikuar prej viskozitetit, ε nuk merret duke zgjidhur ekuacionet relative të transportit por nxirret algjebrikisht nga formula (3.66).

Konstantet në formulat (3.67) dhe (3.68) merren nga modelet e propozuar nga Chen et al., (1988)

ll cAACc 2 ,70 ,κ εµ

43µ === − (3.69)