ucgen

www.mustafayagci.com, 2005

Geometri Notları Mustafa YAĞCI, [email protected]

Üçgen A, B, C doğrudaş olmayan (aynı doğru üzerinde bulunmayan) üç nokta ise [BC], [CA], [AB] doğ-ru parçalarının birleşimine ABC üçgeni denir.

ABC∆

veya ABC∆ ile gösterilir.

[ ] [ ] [ ]ABC AB BC CA∆ = ∪ ∪

Söyleyemeyeni derse almam, ona göre! Üçgenin tanımında da ne yazık ki meslektaşları-mızın büyük bir bölümü hata yapmakta. Tıpkı be-nim de mesleğimin ilk yıllarında yaptığım gibi. Büyük Üstat Tahsin Çizenel’in 1959 yılında ka-leme aldığı ‘Çözümlü Düzlem Geometri Problem-leri’ isimli dev yapıtının sonsözünde yazmış ol-duklarını burada yinelemek istiyorum. Kulağımıza küpe olsun! ‘’…okumuş bir kimseyle okumamışı birbirinden ayıran ge-niş düşünce, ileri görüşe sahip olma ve sağlam muhakeme edebilme nitelikleri, lüzumsuz zannettiğiniz dersler sayesin-de kazanılır. Bu dersler, okuyanlar için bir çeşit zihin talimi-dir. Matematik öğretimi ise, bu nitelikleri en iyi geliştiren bir vasıta olarak yüzyıllar boyunca bütün insanlık tarafından çok önemli tutulmuştur. Bu öğretimin bir amacı da, insanı gelişigüzel konuşma alışkanlığından kurtarmak, kelimeleri tam ve yerinde kullanma yeteneğini kazandırmaktır. Örnek olarak, ‘’Üçgeni tanımla’ dediğimiz bir öğrenci ‘üç noktanın birleştirilmesinden meydana gelen şekil üçgendir’’ derse; öğretmen hemen buna itiraz eder: ‘Üç nokta bir doğru üze-rinde olamaz mı? Bu üç nokta ne çeşit çizgilerle birleştirile-cek? Bu ihtimalleri hesaba katmadan konuştun. Sonra; ma-tematiksel tanımlar ‘denir’ veya ‘adı verilir’ kelimeleri ile biterler; sen ise, ‘…dir’ takısı ile bitirdin, ‘…dir, olur’ gibi takı ve kelimeler ispatlanacak hükümlerin sonuna gelirler. İşte böylece matematik derslerinde bütün tanım ve ispatlarda her ihtimali hesaplayarak ve yerinde kelimeler kullanarak açık vermemeye gayret ede ede pratik hayatta da aynı nite-liklere sahip bir kimse olursunuz. Eğer matematik derslerin-den tam nasibinizi alabilirseniz rasgele konuşma alışkanlığı-nızdan kurtulursunuz. Bu sayede örnek olarak; bir konu üze-rinde tartışılırken o konu hakkında bir fikriniz yoksa susma-yı, varsa itiraza meydan vermeyecek şekilde konuşmayı öğ-renirsiniz.

Okulu bitirip pratik hayata atılınca elbette okuduğunuz ders-lerin konularını unutacaksınız fakat sizde adına kültür dedi-ğimiz öyle bir iz, öyle bir hazine kalır ki bu sayede okuma-mışa nazaran para ile elde edilemeyecek bir üstünlüğe sahip olursunuz…’’. Satırda değil de hatırda kalması dileğiyle… Biz kaldığımız yerden devam edelim. ABC üçge-nini oluşturduğumuz bu A, B, C noktalarına üçge-nin köşeleri, bu doğru parçalarına üçgenin ke-narları ve böylece oluşan BAC, CBA, ACB açıla-rına da üçgenin iç açıları denir. Kenarlar genel-likle a, b, c gibi küçük harflerle, köşeler ve açılar ise genelde A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir. Kenarlar ve açılar üçgenin temel elemanlarıdır. Üçgen kapalı bir şekil olup (konveks), açılarının iç bölgelerinin arakesitine üçgenin iç bölgesi veya içi denir. Dışına da dış bölgesi veya dışı denir. Üçgenin kendisi ile iç bölgesinin birleşimine de üçgensel bölge denir. Soru tipi. Üçgen ve üçgensel bölgenin farkını ayırt etmek gereken soru tipleri sorulur. Çözüm yolu: Üçgenin üç doğru parçasının birle-şimi ama üçgensel bölgenin o doğru parçaları ve onlar arasında kalan bölge olduğunu bilmek gere-kir.

Örnek. Yandaki ABC üçgeni ile DEF açısının kesişimi ne-dir? Çözüm: Üçgen doğru parça-larından, açı da ışınlardan oluşuyordu. Doğru parçasıyla ışının kesişimi bir nokta ola-

cağından cevabımız K, L, M, N noktalarıdır. Örnek. Yandaki ABC üçgeni ile DEF açısal bölgesinin ke-sişimi nedir? Çözüm: Açısal bölgeye açı-nın içi de dahil olduğundan

A

B Ca

bc

A

B C

E

D F

K

L M

N

A

B C

E

D F

K

L M

N

Mustafa YAĞCI Üçgen

2

cevabımız [KN] ile [LM] olmalıdır. Örnek. Yandaki ABC üçgen-sel bölgesi ile DEF açısal bölgesinin kesişimi nedir? Çözüm: Bu sefer hem açının hem de üçgenin içi dahil ol-duğundan cevabımız KLMN dörtgensel bölgesi olmalıdır.

Dikkat edin, KLMN dörtgeni değil!

Örnek. Yandaki ABC üçgen-sel bölgesi ile DEF açısının kesişimi nedir? Çözüm: Üçgensel bölgeye üçgenin içi de dahil olduğun-dan cevabımız [KL] ile [MN] olmalıdır.

Üçgenin kenarlarından birine taban diyecek olur-sak, öteki iki kenara yan kenarlar, taban karşısın-daki açıya tepe açısı, öteki iki açıya da taban açı-ları denir. Üçgenler kenarlarına göre sınıflandırılırlar. Kenar-ları farklı uzunlukta olanlara çeşitkenar üçgen, iki kenarı eşit olanlara ikizkenar üçgen ve üç kenarı eşit olanlara da eşkenar üçgen denir. Benzer bir sınıflama üçgenin açılarına göre de ya-pılabilir. Çeşitaçı üçgen, ikizaçı üçgen, eşaçı üç-gen gibi… Açılarının ölçülerine göre de bir sınıflama yapıla-bilir. Dar açılı üçgen, dik üçgen, geniş açılı üç-gen gibi… Temel elemanlar olur da yardımcılar olmaz mı? Bir üçgende bir köşeden karşı kenarı dik ke-secek şekilde çizilen doğru parçasına bu köşeye ait yükseklik, bir köşeye ait açıyı ortalayan doğrunun üçgen içinde kalan doğru parçasına bu köşeye ait içaçıortay, bir köşeyi karşı kenarın ortasına birleş-tiren doğru parçasına da bu köşeye ait kenarortay denir.

A A A

h n va A a

Yukarıdaki şekillerden bir ABC üçgeninin A köşe-sine ait yükseklik, açıortay ve kenarortayına baka-bilirsiniz.

Bir üçgende bu üç doğru parçasına üçgenin yar-dımcı elemanları denir. Bir üçgende 3 tane yükseklik, 3 tane iç açıortay, 3 tane kenarortay vardır. Yükseklikler ha, hb, hc, iç açıortaylar nA, nB, nC, kenarortaylar va, vb, vc veya ma, mb, mc ile gösterilir. Yükseklik ve kenarortayların indislerini küçük harflerle fakat iç açıortayların indislerini büyük harflerle yazdığımıza dikkat ediniz. Zira, yüksek-lik ve kenarortaylar kenarlarla ama iç açıortaylar açılarla alakalıdır. Bu yardımcı elemanlar daima kendi aralarında noktadaştır (tek noktada kesişir). Yüksekliklerin kesiştiği yere üçgenin diklik merkezi (H) denir. İç açıortayların kesiştiği yer üçgenin içteğet çem-berinin merkezi (I), kenarortayların kesiştiği yer de üçgensel bölgenin ağırlık merkezidir (G). Bir üçgende kenarortaylar ve iç açıortaylar daima üçgen içinde kesişirler fakat yükseklikler üçgenin dışında da kesişebilir. Bir üçgenin kenar orta dikmelerinin (kenarın tam ortasından dik keserek geçen doğrular) kesiştiği yer, üçgenin çevrel çember merkezidir (O). Bu özel noktaların her biri kendi konusunda detay-lı olarak işlenecek ve hüküm bildiren kısımlar ka-nıtlanacaktır. Üçgende açılar konusunda bilmemiz gereken-ler. Şimdi yavaş yavaş işlemler yapmaya ve dola-yısıyla geometrinin güzelliklerini görmeye başla-yacağız. Aşağıda kanıtlarıyla birlikte vermiş oldu-ğumuz teoremler düzlem geometrinin temelleri olduğundan iyice kavranmalı, yeterince hatta faz-lasıyla pratiğe dökülmelidir. Bunlar tam kavran-madan ilerideki konulara geçmemenizi şiddetle tavsiye ederiz.

Teorem. Bir üçgende iç açıların ölçüleri toplamı 180o’dir. Kanıt: Herhangi bir köşeden ge-çen ve bu köşenin karşısındaki

kenara paralel olan bir doğru çizilir ve iç-ters açı-lar gereği yapılırsa, üç açının bir doğru açı oluş-turduğu çıkar. Dolayısıyla α + β + θ = 180o.

αβ θ

θβ

A

B C

E

D F

K

L M

N

A

B C

E

D F

K

L M

N


3

Teorem. Bir üçgende dış açıların ölçüleri toplamı 360o’dir. Kanıt: α + β + θ = 180o olduğu kanıtlandığından dış açılar olan 180o − α, 180o – β, 180o – θ değer-leri toplanarak 540o – (α + β + θ) = 540o – 180o = 360o eşitliğine kolayca ulaşılır.

Teorem. Bir dış açının ölçü-sü kendine komşu olmayan iki iç açının ölçülerinin top-lamıdır.

Kanıt: Gerek iç açıların ölçüleri toplamından ge-rekse yandaki gibi bir paralel doğru çizilerek, son-ra iç-ters açı görülerek rahatlıkla kanıtlanabilir.

Teorem. Komşu iki eş açının kollarını kesen bir başka doğrunun oluştur-duğu açı dizisi (yan şekil-deki x, y, z açıları) bir aritmetik dizidir. Yani; z – y = y – x veya x + z = 2y. Kanıt: Oldukça kolay! m(AOB) = m(BOC) = α

olsun. m(OAB) = x olduğundan OAB üçgeninde bir önceki teorem gereği x + α = y’dir. Diğer yan-dan m(OBC) = y olduğundan OBC üçgeninde bir önceki teorem gereği y + α = z’dir. Her iki eşitlik-ten α’lar çekilir eşitlenirse z – y = y – x eşitliğine ulaşılır ki bu da x + z = 2y demektir. Bu soruyu doğruda açılar bilgisi ile de şöyle çözebilirsiniz: O’dan geçen AC’ye paralel doğru çizilir. m(DOC) = m(DOA) + m(AOC) = 2y – x = z. Teorem. Bir ABC üçgeninin iç bölgesindeki her O noktası için m(BOC) > m(BAC)’dir. Kanıt: Bir üçgende bir dış açı ölçüsünün kendisine komşu olmayan iç açı ölçüle-ri toplamına eşit olduğunu dolayısıyla her birinden büyük olduğunu göz önüne alırsak; m(BOL) > m(BAL) ve m(COL) > m(CAL) olur, o halde m(BOC) > m(BAL) + m(CAL) = m(BAC).

Teorem. Bir üçgende aynı köşeye ait iç ve dış açıortay-lar birbirine diktir.

Kanıt: 2α + 2θ = 180o olduğundan α + θ = 90o olduğu rahatlıkla görülebilir.

Teorem. Yandaki şekilde içe dönük açıların top-lamları, dışa dönük olan açıya eşittir. Yani; a + b + c = d. Kanıt: AD doğrusunun BC doğrusunu kestiği noktaya E diyelim. Bir üçgende iki iç açının öl-çüleri toplamı, üçüncü açının dış ölçüsüne eşit

olacağından m(AEC) = a + b’dir. Yine aynı sebep-ten; m(ADC) = m(DEC) + m(ECD) olmalıdır. O halde; a + b + c = d eşitliği kanıtlanmış demektir. Biz buna ‘’Şalvar kuralı’’ diyeceğiz.

Teorem. Bir yıldızıl beş-genin köşe açılarının ölçü-leri toplamı 180o’dir. a + b + c + d + e = 180o. Kanıt: AC ile AD doğrula-rının BE doğrusunu kestiği noktalar sırasıyla K ve P olsun. Bir üçgende iki iç açının ölçüleri toplamı üçüncü açının dışının öl-

çüsünü vermesi gerektiğinden m(AKE) = c + e ve m(APB) = b + d olur. AKP üçgeninde iç açıların ölçüleri toplanırsa a + b + c + d + e = 180o eşitli-ğine ulaşılır. Teorem. Bir üçgenin iki iç açıortayından oluşan ge-niş açının ölçüsü, üçgenin kullanılmayan açısının öl-çüsünün yarısının 90o faz-lasıdır. Kanıt: BAC ve BDC üçgenlerinin iç açılarının öl-çüleri toplamına bakalım. 2a + 2b + n = 180o ve a + b + m = 180o eşitlikleri birlikte çözülürse m =

90o + 2

n bulunur. m değerinin daima geniş olduğu

dikkate alınmalıdır. İleride lazım olacak. Teorem. Bir üçgenin iki dış açı-ortayından oluşan dar açı ile üç-genin kullanılmayan açısının ya-rısı birbirinin tümleridir.

A

B C

OL

a a b b

n

m

A

B

D

aa b

bm

n

A

B C

D

A

B

C D

E

a

b

c d

e

A

B

C D

E

a

b

c d

e

c+e b+d

αα θ θ

A

B C

D

a

b c

d

A

B C

D

a

b c

d

a+b

E

A

C

B

O

x

y

z

A

C

B

O

x

y

zy-xy-x

xD


4

Kanıt: BAC ve BDC üçgenlerinin iç açılarının öl-çüleri toplamına bakalım. 180o – 2a + 180o – 2b + n = 180o ve a + b + m = 180o eşitlikleri birlikte

çözülürse m = 90o – 2

n olduğu görülür. Burada da

m değerinin her halükarda dar olduğu dikkate alınmalıdır. Zira bu da ileride çokça lazım olacak. Hatta BCD daima dar açılı üçgen olur.

Teorem. Bir üçgenin bir iç açısının açıorta-yı ile bir başka açısı-nın dış açıortayından oluşan dar açının öl-çüsü, üçgenin kulla-

nılmayan açısının ölçüsünün yarısıdır. Kanıt: n + 2a = 2b ve m + a = b eşitlikleri ortak

çözülerek istenilen eşitlik yani m =2

n bulunur.

Ek bilgi: BCD üçgeni C açısından dolayı daima geniş açılı bir üçgen olur.

Teorem. Bir üçgende bir köşeye ait yükseklikle, iç açıortay arasında kalan açının ölçüsü kullanılma-yan köşelerdeki iç açı öl-çülerinin pozitif farkının yarısıdır. Kanıt: Çok çok kolay! m(ABH) = y olsun. y + b = 90o ve 2x + y + c = 90o eşitliklerinden y =

90o – b = 90o – 2x – c olur.

b = 2x + c olduğu için x = 2

cb −’dir. Böyle bir

açı, BAC üçgeni ikizkenar değilse oluşur. Teorem. Bir üçgende iki yükseklik arasındaki açı ile kullanılmayan köşedeki açı eşit ya da bütünlerdir. Kanıt: Bahsi geçen açıların içinde bulunduğu dörtgenin iç açılar toplamı he-saplanırsa kanıt biter. Eğer yüksekliklerin arasın-daki θ açısı şekildeki gibi geniş olan değil de dar olan seçilirse θ = α olur.

Teorem. A açısı dik olan bir ABC dik üçgeninin B’ye ait iç açıortayı AC’yi N’de kessin. C’den BC doğrusuna çıkılan dikme BN’yi D’de kesiyorsa |CD| = |CN|’dir. Kanıt: Boş durmayın! m(ABN) = m(NBC) = α ol-sun. α + θ = 90o olmak üzere; ANB açısının ölçüsüne θ dersek; ters açılar eşittir teoremi gereğince m(CND) = θ olur. BCD dik üçgen olduğundan CDB açısının ölçüsü de θ olur. m(CND) = m(CDN) olduğundan kanıt ta-mamlanmış olur.

m

n

aa

bb

A

B C

D

θα

A

B CNHb c

xyx+y

A

B CNHb c

x

A

B C

DN

A

B C

DN

αα

θ θ θ


5

Çıkmış ÖSS-ÖYS soruları 1. Bir üçgende m(A) = 45o ve m(B) − m(C) = 35o ol-duğuna göre, m(B) değeri aşağıdakilerden han-gisidir? A) 45o B) 50o C) 67o 30′ D) 85o E) 72o 30′

1968 ÜSS

2.

Şekilde gösterilmiş pozitif yönlü a + b + c + d açı ölçülerinin toplamı kaç dik açıdır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

1977 ÜSS

3.

Şekilde CAB ˆ açısının ölçüsü α olduğuna göre, BHC açısının ölçüsü aşağıdakilerden hangisi-dir?

A) 2αo B) 2

90o

o α+ C) 90o + αo

D) 2

180o

o α− E) 180o − αo

1981 ÖYS

4.

Verilen şekilde ABC açısının ölçüsü 50o ve aynı harflerle gösterilen açılar birbirine eşittir. x – y = 10o olduğuna göre, BCA açısının ölçüsü kaç derecedir? A) 55o B) 60o C) 65o D) 70o E) 75o

1981 ÖYS

5.

A) 100o B) 110o C) 120o D) 130o E) 140o

1982 ÖSS

6.

her birinin ölçüsü 36o’dir. |AB| = x, |BD| = y oldu-ğuna göre, |AC|’nin x ve y cinsinden değeri aşa-ğıdakilerden hangisidir?

A) 2y B) y

x3 C) x + y D) 2x − y E) 3y − x

1983 ÖYS


6

7.

A) 90o + αo B) 2

390

oo α+ C) 90o + 2αo

D) 180o − αo E) 180o − 2αo 1984 ÖSS

8.

A) 80o B) 70o C) 60o D) 50o E) 40o

1985 ÖYS

9. Aşağıdaki şekilde, DC // EA’dır.

EBA açısının ölçüsü kaç derecedir? A) 15o B) 30o C) 45o D) 60o E) 75o

1986 ÖSS

10. Aşağıdaki ABC ikizkenar üçgeninde

ABC açısının ölçüsü kaç derecedir? A) 45o B) 60o C) 72o D) 75o E) 80o

1986 ÖYS

11. Aşağıdaki şekilde AD // BC, |BC| = |DC|’dir.

ABD açısının ölçüsü 30o, BAD açısının ölçüsü 100o, BCD açısının ölçüsü kaç derecedir? A) 80o B) 85o C) 90o D) 95o E) 100o

1987 ÖSS

12. Aşağıdaki ABC üçgeninde |DC| = |DA|’dır.

A) 45o B) 40o C) 35o D) 30o E) 25o

1987 ÖSS


7

13. Aşağıdaki şekilde ABC ve ADC ikizkenar üçgen-dir.

Buna göre m(BAD) kaç derecedir? A) 11o B) 9o C) 7o D) 5o E) 3o

1987 ÖYS

14.

Şekildeki ABC ikizkenar üçgeninde A tepe açısı-nın ölçüsü kaç derecedir? A) 15o B) 20o C) 25o D) 30o E) 35o

1989 ÖSS

15.

Taban açıları 24o olan ikizkenar bir ABC üçgenin-de, tepe açısını üç eş parçaya bölen ışınların be-lirttiği açının ölçüsü açı kaç derecedir? A) 36o B) 38o C) 40o D) 42o E) 44o

1990 ÖYS

16.

Yukarıdaki ABC ikizkenar üçgeninde BCA taban açısının ölçüsü kaç derecedir? A) 74o B) 75o C) 76o D) 77o E) 78o

1990 ÖYS

17.

Yukarıdaki verilere göre, DBA açısının ölçüsü kaç derecedir? A) 30o B) 35o C) 40o D) 45o E) 50o

1990 ÖYS

18.

Şekildeki ABC üçgeninde A açısının αααα türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 100o − 2αo B) 100o − αo C) 2αo – 10o

D) 2αo – 20o E) αo + 10o

1991 ÖSS


8

19.

Şekildeki verilere göre, αααα açısı kaç derecedir? A) 25o B) 30o C) 35o D) 40o E) 45o

1992 ÖSS

20.

Yukarıdaki verilere göre, ACB açısının ölçüsü kaç derecedir?

A) 30o B) 40o C) 45o D) 50o E) 60o

1992 ÖYS

21.

Yukarıdaki verilere göre, m(PAC) = αααα kaç dere-cedir? A) 7o B) 8o C) 9o D) 10o E) 11o

1993 ÖSS

22.

Yukarıdaki verilere göre, m(ABC) = αααα kaç dere-cedir? A) 138o B) 146o C) 148o D) 152o E) 154o

1994 ÖSS

23.

Yukarıdaki verilere göre, BAC açısını ölçüsü kaç derecedir? A) 150o B) 140o C) 130o D) 120o E) 110o

1994 ÖSS

24.

Yukarıdaki şekilde |AB| = |AC| olduğuna göre, x’in a türünden değeri aşağıdakilerden hangi-sidir? A) ao + 10o B) ao + 40o C) 2ao – 40o

D) ooa

402+ E) o

oa10

2+

1996 ÖSS

25.

Yukarıdaki şekilde |AB| = |AC| olduğuna göre, m(AFD) = x kaç derecedir? A) 30o B) 35o C) 40o D) 45o E) 50o

1997 ÖSS


9

26.

Yukarıdaki şekilde ABC bir eşkenar üçgen oldu-ğuna göre, m(AFE) = αααα kaç derecedir? A) 110o B) 105o C) 100o D) 95o E) 90o

1997 ÖYS

27.

|AB| = |BC| = |BD| = |CD| =DE| Yukarıdaki verilere göre, m(CED) = αααα kaç dere-cedir? A) 90o B) 60o C) 45o D) 30o E) 20o

1998 ÖSS

28.

Şekilde |AB| = |AC| ve |BD| = |BC| olduğuna göre, m(BDC) = αααα kaç derecedir? A) 35o B) 40o C) 45o D) 50o E) 55o

1998 ÖSS

29.

Yukarıdaki verilere göre, m(DEF) = αααα kaç dere-cedir? A) 50o B) 54o C) 58o D) 60o E) 64o

1999 ÖSS1

30.

Yukarıdaki şekilde ABC ve ABD birer ikizkenar üçgendir. |AB| = |AC| ve |AD| = |BD| olduğuna göre, m(ADB) = αααα kaç derecedir? A) 95o B) 100o C) 105o D) 110o E) 115o

1999ÖSS2

31. ABC bir üçgen

Yukarıdaki verilere göre, m(ABC) + m(ACE) top-lamı kaç derecedir? A) 60o B) 75o C) 90o D) 135o E) 150o

2001 ÖSS

CEVAP ANAHTARI 1 D 2 C 3 E 4 D 5 C 6 C 7 C 8 D 9 B 10 C 11 A 12 B 13 D 14 B 15 E 16 C 17 E 18 D 19 D 20 D 21 C 22 B 23 B 24 E 25 D 26 E 27 C 28 C 29 B 30 B 31 C 32 33 34 35

ucgen

Documents