EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR

Varga Tamás

A MATEMATIKA TANÍTÁSA

KÉZIRAT 4. változatlan utánnyomás

TANKÖNYVKIADÓ, BUDAPEST 1969

Pólya György:

Tízparancsolat tarároknak

1. Érdekeljen a tárgyad. 2. Ismerd a tárgyadat. 3. Ne feledd: a tanulás legjobb módja az, ha magunk jövünk rá

valamire. Ez rád éppúgy vonatkozik, mint tanítvány aidra. 4. Próbálj olvasni a diákok arcáról: mit várnak, mi nehéz nekik?

Képzeld magad helyükbe. 5. Ne csak ismereteket adj át nekik, gondolkozásmód ot, alkalmazni

tudást is. 6. Tanítsd meg ıket sejteni. 7. Tanítsd meg ıket bizonyítani. 8. Keresd a problémákban azt, ami hozzásegít más pr oblémák

megoldásához is - az egyes esetek mögött az általán os elvet. 9. Ne áruld el egyszerre az egész titkodat. Hadd se jtsék meg,

miel ıtt még kimondod; amennyit csak lehet, találjanak ki ık bel ıle.

10. Kínálgass, ne tömj.

A kiadásért felelıs: az Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Karának dékánja

Megjelent a Tankönyvkiadó Vállalat mőszaki gondozásában Mőszaki vezetı: Hámori József Mőszaki szerkesztı: Mészáros Béláné

Megrendelve: 1969. április. Megjelent: 1969. május. Példányszám: 275 Készült: Rotaprint lemezrıl (kicsinyítéssel), a MSZ 5601-59

és MSZ 5602-55 szabványok szerint, 22,4 (A/5) ív terjedelemben, 139 ábrával

69-747- FELSİOKTATÁSI JEGYZETELLÁTÓ VÁLLALAT, BUDAPEST

Bevezetés

"Az a nemzedék, amely most

kezd iskolába járni, sokkal

inkább matematizált világ-

ban fog élni..."

A.N. Nyeszmejanov

/Pravda,l960.december 31./

Biciklizni biciklin ülve lehet megtanulni, úszni a vízben,

tanítani a tanteremben, egy osztállyal szemközt. Vé geredményben

mindenki a maga tapasztalataiból, próbálkozásaiból tanul a

legtöbbet, de nem kell, hogy mindent a maga kárán t anuljon meg. Sok

kellemetlenséget elkerülhet, ha már el ıre elmondják neki, mit

tegyen, mit ne tegyen, mire vigyázzon; ha megfigyel i a saját

próbálkozásai el ıtt és közben is, hogyan bicikliznek, úsznak,

tanítanak mások, ha van mellette, aki tanácsot ad n eki, bírálja,

segíti, amikor ırá kerül a sor.

A tanítás megtanulásához a legtöbb segítséget bizon yára a

gyakorlóiskola adhatja. Nem mindegy azonban, hogy m iben

ismeretekkel, milyen látókörrel, milyen szempontokk al felszerelve

jutnak el ide a tanárjelöltek. A szaktárgyakra, ped agógiára,

pszichológiára, filozófiára vonatkozó tárgyi ismere tek szükségesek,

de nem elegend ıek. Meg kell ismerkedniük a matematika tanításában

id ık folyamán kialakult fontosabb tapasztalati tényekk el és ezekb ıl

lesz őrt általános elvekkel. Összefüggéseket kell látniuk az iskolai

anyag egyes részei között, az egyetemi anyag bizony os kérdéseivel,

pedagógiával, pszichológiával, filozófiával is. Táv latot kell

kapniuk a matematika tanításának problémáiról, több féle

vonatkozásban is; térben: mit és hogyan tanítanak m á-

- 3 -

sutt; id ıben: honnan merre halad a matematika tanítása; módb an:

milyen lehet ıségek vannak még? Akadnak a módszertanban vitás

kérdések is, ezekr ıl el kell gondolkoznia, önálló véleményt kell

formálnia minden tanárjelöltnek és tanárnak.

A matematika tanítása ma világszerte gyors változás id ıszakában

van. A változásoknak hozzánk még inkább csak az el ıszele érkezett

el. A következ ı néhány évtized lényegesebb átalakulást hozhat, min t

a megel ızı évszázad. A matematika gyorsan fejl ıdik, alkalmazási

területei rohamosan b ıvülnek, ez és az elektronikus számológépek

elterjedése új igényeket vet fel a matematika tanan yagával és

tanítási módszereivel szemben. A várható átalakulás nak egyel ıre csak

a körvonalait látni. /Igaz, hogy egy évtizeddel eze l ıtt szinte még

ennyi sem látszott bel ıle./ Senki sem állíthatja ma komolyan, hogy

tudja, hogyan kell a matematikát az új igényeknek m egfelel ıen

tanítani. Csak sejtések, próbálkozások és fontos ré szeredmények

vannak. Matematikát tanítani viszont ma is kell. Sz erencsére vannak

olyan id ıálló - ha nem is egészen id ıt ıl független - elvek és

hagyományok is, amelyekre eközben támaszkodni lehet . Úgy készülni

fel az új feladatokra, hogy azért a folytonosságot megırizzük, ne

rúgjunk fel semmit, ami a hagyományokból értékes, de ne kíméljünk

semmit, ami útban van és csak a tehetetlenség ereje tartja - ezeket

a szempontokat minden egyes konkrét kérdéssel kapcs olatban

folytonosan mérlegelnünk kell.

Mi teszi sürg ıssé, már a következ ı néhány évtizedben esedékessé

a gyökeres változásokat? Az, hogy a matematika fejl ıdése,

alkalmazási területeinek b ıvülése, az automatika elterjedése

robbanásszer ő gyorsasággal megy végbe, a nevelés pedig lassú

folyamat, eredményei több évtized alatt érnek csak be. Azok a

gyerekek, akik húsz év múlva kerülnek iskolába, csa k az ezredforduló

táján állnak munkába, de még a pályájuk vége felé i s arra az alapra

kell építeniük, amit az iskolában kaptak. A matemat ika tanítása

manapság a különböz ı országokban különböz ı mértékben alkalmazkodik a

matematizálódás sürget ı követelményeihez, és az, hogy hol milyen

mértékben alkalmazkodik, a holnap technikáját és a holnapután

termelését is lényegesen befolyásolja.

Az alkalmazkodás mértékénél is fontosabb azonban a módja, a

milyensége - a vektor abszolút értékénél az iránya -, az egy helyben

topogásnál is nagyobb baj volna alapvet ıen rossz irányba

- 4 -

lendülni nagy sebességgel. Mit jelent hát legalább nagyjából új

igényekhez való alkalmazkodás, és mi az, amiben nem szabad engedni a

régi normákból? Nem mindig válik el egymástól élese n a két kérdésre

adott felelet.

El ıször is: minél több tanuló száméra hozzáférhet ıvé kell

tennünk a matematika minél nagyobb darabját, mert e gyre több

embernek lesz szüksége egyre több matematikára. Nem tarthatjuk fenn

tovább azt a kimondatlanul is alkalmazott elvet, ho gy a

matematikatanítás, legalábbis ami bel ıle a százalékszámításon túl

esik, igazában csak a leend ı matematikusoknak, fizikusoknak,

kémikusoknak és mérnököknek kell, csak az ı számukra fontos, hogy

értsék is, a többit ıl elég, ha megtanulja. Nem juthat mindenki

ugyanolyan messzire és ugyanolyan mélyre, de a meg nem értett tudás,

s formális ismeret rosszabb a semminél, mert a mate matikáról máris

nagyon elterjedt hamis közhiedelmekhez járul hozzá, félelmet,

idegenkedést kelt. Arra kell törekednünk, hogy mind en tanulót, akár

többre, akár kevesebbre jut a matematikában, meggy ızzünk arról, hogy

a matematika hasznos, érdekes és szép; nem rábeszél ı úton, hanem

azzal, hogy megmutatjuk a hasznát, érdekességét és szépségét.

Másodszor: azon kell lennünk, hogy a matematika egy es fejezetei

és problémái között is, a matematika és más tudomán yok, a matematika

és a mindennapos tapasztalatok között is minél több összefüggést

ismerjenek fel. Elszigetelt ismeretelemek és készsé g-töredékek

helyett összefügg ı, a valóságból absztrahált és a valóságra

alkalmazható tudást kell adnunk. Ez nagyon általáno san, s ıt

magasztosan hangzik pedig nagyon is konkrét, kézzel fogható

követelményekkel jár az elfogadása. Azt jelenti, ho gy ne maradjon

rejtve a tanulók el ıtt milyen kapcsolatok vannak az olyanféle

tapasztalati tények között, mint például a következ ık: a körnek az

érintési ponthoz közeli pontjai nagyon közel vannak az érint ıhöz, a

rajzon mintha egybe is esnének vele: a függvénytábl ázatban a kis

szögek koszinuszaiban sok a 9-es; elég egy picit a rrébb tolni a

szekrényt, amely az ajtó teljes kinyitását akadályo zta máris

elcsúszik mellette az ajtószárny; els ı negyedkor gyorsan változik a

hold látszólagos alakja, holdtölte táján annál lass abban: napokig

kereknek látszik. Mindenekel ıtt persze észre kell venniük az ilyen

tényeket, anélkül nem kerülhet sor a kapcsolatok fe lismerésére. A

matematika tanárának - más kol-

- 5 -

légáival, els ısorban a fizikatanárral együttm őködve - az egyik

legf ıbb feladata hozzásegíteni a tanulókat, hogy észreve gyék, és

érdekl ıdve nézzék a világ különféle tényeit, és keressék a

magyarázatukat, összefüggéseiket.

Harmadszor: a matematika lényegéhez tartozik az abs ztrakció, de

az absztrakthoz - a fokozatosan egyre absztraktabbh oz - csak a

konkréton keresztül lehet eljutni; a matematika lén yegéhez tartozik

a dedukció, de a deduktív felépítéshez az induktív, tapasztalati

megismerésen át vezet az út. Ezek a megállapítások olyan

kétségtelenül igazak, hogy szinte már közhelyek, mé gis forradalmi

változást jelentene, ha a tanítási módszerekben is mindenütt

érvényesülnének. Az újonnan támasztott igényeket vi szont egy ilyen

forradalmi változás nélkül nem is lehet kielégíteni . Csak akkor

várhatjuk, hogy a tanulók nagy többsége hasznosnak, érdekesnek és

szépnek ismerje fel a matematika elég nagy szektorá t, ha saját

konkrét tapasztalataikból kiindulva vezetjük ıket az absztrakt

matematikai tények felfedezésére és alkalmazására. Utólag azután

fokozatosan eljuthatnak a tények rendszerezéséhez, a deduktív

felépítéshez is, szintén a saját tapasztalataikon, maguk készítette

bizonyításokon keresztül. Csak akkor teljesítette a feladatát a

középiskolai matematikatanítás, ha el tudja idáig v ezetni a

tanulókat a matematikának bizonyos részeiben. Ez az onban nem jelenti

azt, hogy amit induktív úton megismertek, annak a d eduktív

felépítésével is feltétlenül meg kell ismerkedniük! Röviden szólva:

nem kell mindent bizonyítani. A matematika sokkal n agyobb részével,

érdekes alkalmazásaival is megismerkedhetnek, ha mi ndig el ıl jár az

induktív megismerés, ezt követi a bizonyítás iránti igény

felkeltése, és csak ha megvan ez az igény, akkor ju tnak el a tanulók

maguk vagy közös munkával a bizonyításhoz is, amenn yiben erre sor

kerül. "Ostobaság válaszolni olyan kérdésekre, amel yeket nem

értettünk meg. Lehangoló olyan célért fáradozni, me lyet nem is

kívánunk elérni." x Értelmetlen dolog olyan bizonyítással terhelni a

tanulókat, amelyr ıl nem tudják, miért jó éppen abban a formában,

miért ne volna jó egy

________________ x Pólya /1957/, 24. oldal. - Itt és kés ıbb is a szerz ı nevével

és a megjelenés évszámával utalunk az irodalomjegyz ékben /495.-502.

oldal/ felsorolt m ővekre.

- 6 -

kicsit más formában. Márpedig a jó és a rossz bizon yítás

megkülönböztetéséhez csak a saját bizonyítási kísér leteiken át

juthatnak el. Ugyanez érvényes a definícióra is.

Negyedszer: az absztrakció minden lépcs ıfokát újra meg újra

végig kell járnunk, hogy a konkrét tapasztalatoktól el ıre tudjunk

hatolni az egyre absztraktabb fogalmakig, egyetlen absztrakciós

fokozatot sem hagyhatunk ki; a speciálistól az álta lánosig vezeti

úton, azonban nincs feltétlenül szükség minden közb ees ı fokozat

végigjárására, hacsak ezek nem jelentenek egyben ab sztrakciós

fokozatokat is. Egy példa megvilágítja, mire gondol unk: a négyszög

fogalma általánosabb a négyzeténél, de nem absztra ktabb, ezért nem

el ınyös a négyzett ıl a téglalapon és rombuszon, paralelogrammán,

trapézon át jutni el a négyszög fogalmához. Aki las san halad a

speciálistól az általános felé, az csak késve jut e l, ha egyáltalán

eljut, az átfogó képhez /lásd 185., 186. oldal/. N em várhatjuk

fiatal gyerekekt ıl, hogy nagyon általános fogalmakat megértsenek, de

mindig érdemes elvezetni ıket, konkrét példákon át, az általánosság

olyan fokára, ameddig el tudnak jutni, és innen ere szkedni le a

speciális esetekhez, az áttekint ı képbe illesztve bele a

részleteket, és nem a részletekb ıl rakva össze az egészet. Találóan

írta ötven évvel ezel ıtt Dienes Pál (1914, 1963): "... a

matematikát... nem részeib ıl összerakva, hanem ellenkez ıleg, folyton

az egészet vázolva s a vázlatot folyton fejlesztve lehet csak igaz

ismer ısünkké tennünk" /Valóság és matematika, 6. oldal./ Ennek

figyelembe vétele nélkül sem tudja teljesíteni a ma tematikatanítás

az el ıtte álló feladatokat.

Ötödször /még ha ez nagyrészt benne is van az el ıbbiekben,

aminthogy azok sem függetlenek egymástól/: a tudása gyag felhalmozása

közben éppoly gondot kell fordítanunk a képességek kifejlesztésére

is, különösen az olyanokéra, amelyek nem mechanizál hatók, amelyek

terén az ember többre képes, mint a gép. Ez sem vad onatúj gondolat,

hiszen már Pestalozzinál is ezt olvassuk: "Talán a legszörny őbb

ajándék, amellyel egy ellenséges géniusz lepte meg korunkat:

ismeretek készségek nélkül." És egy más helyen: "Tu dás és tevés közt

ég és föld a különbség. Aki csak a tudást teszi mes terségévé,

nagyon-nagyon vigyázzon, hogy el ne felejtse a tevé st." Újabb

megfogalmazásban és a matematikára alkalmazva: "Az tudja a

matematikát, aki tud vele mit kezdeni:

- 7 -

elég folyékonyan tudja használni a matematika nyelv ét, tud

problémákat megoldani, gondolatmenetet bírálni, biz onyításra

rátalálni, és - ami talán a legfontosabb - konkrét helyzetekben fel

tudja ismerni és ki tudja bel ılük elemezni a bennük rejl ı

matematikai fogalmakat." x /"A középiskolák matematikai tantervér ıl",

65 amerikai matematikus memoranduma, lásd 459.oldal /.

Hogyan lehet ezeket - és esetleg még más fontos elv eket átvinni

a gyakorlatba a ma adott helyzetben? - ez az a kérd és, amelyre

pontos és részletes feleletet talán senki sem tud a dni. Az a

felelet, amit ez a jegyzet ad xx , legfeljebb els ı közelítésnek

tekinthet ı. A jegyzetnek lényeges - ha ugyan nem a leglényege sebb -

alkotóeleme a terjedelemnek körülbelül a felét kite vı

szemelvénygy őjtemény. Itt olyan nehezen hozzáférhet ı - eredetiben

túlnyomórészt idegennyelv ő - szövegek találhatók, amelyeknek a

tanulmányozása a jelenlegi körülmények között a leg hasznosabbnak

látszik.

Amikor a matematika tanítása többé-kevésbé "egyenes ben van",

akkor az eredmények megszilárdítása, lerögzítése, t ovábbcsiszolása a

f ı teend ı. Ilyenkor könnyebben lehet a tanítás minden

részletkérdésében konkrét pozitív megállapításokat tenni, szinte

óráról órára terjed ı részletességgel, vezérkönyvszer ően dolgozni ki

a rendelkezésre álló tapasztalatok alapján a tanár teend ıit. /Más

kérdés, hogy ilyekor is van, aki inkább új utakat k eres./ Amikor

gyorsabb változások ideje következik el, amikor az új, amire szükség

lesz, még csak vázlatosan és töredékesen van meg, a kkor mások a

lehet ıségek és mások a f ı teend ık. Ilyenkor megnövekszik azoknak a

kérdéseknek a száma, amelyekr ıl csak negatívumot mondhatunk vagy

csak többé-kevésbé általános megállapításokat tehet ünk. Azt már

tudjuk, hogy miért nem jó egy bizonyos módon taníta ni valamit, de

még nem látjuk elég világosan és részletesen, hogya n lehetne a kor

követelményeinek megfelel ıbben ta-

________________ x Tegyük hozzá, amit feltehet ıen a szerz ık is beleértettek: "...

és problémákat". xx A jegyzetnek most csak az els ı kötete jelenik meg. Ez az els ı

kötet túlnyomórészt az általános iskolákban folyó m atematikatanítás

kérdéselvei foglalkozik. Az általános iskolai és a középiskolai

problémák közt azonban nem lehet éles határt vonni, így belekerült a

jegyzetbe sok középiskolai /f ıként az 1. osztályt érint ı/ kérdés, és

szerepelnek benne olyan elvi kérdések is, amelyek a

matematikatanítás egészét érintik.

- 8 -

nítani. Jó volna, ha az új tanítási formák és módsz erek egyszerre

teljes fegyverükben állnának el ıttünk, ahogy a mítosz szerint Pallas

Athéné pattant el ı Zeusz fejéb ıl, erre azonban nem számíthatunk;

magunknak kell a részleteket kigondolnunk, kidolgoz nunk,

kipróbálnunk. Fontos, hogy a fejl ıdés ilyen szakaszában legalább a

meglev ı vázlatok és töredékek, mindavval együtt, ami a rég ib ıl

bevált és változatlanul érvényes, nyilvánosságot ka pjanak, aztán

id ıvel egyre inkább kiegészüljenek és konkretizálódjan ak. A teljes

részletesség korai igénye azonban ezt a fejl ıdést nem vinné el ıre,

inkább hátráltatná. Egy durva, de alapjában helyes vázlat is többet

ér, mint az elrajzolt körvonalaknak a valósághoz h ő kicsipkézése;

különösen, ha nem marad örökké vázlat, hanem fokoza tosan kiegészül a

hiányzó részletekkel.

Ma a körülmények inkább az utóbbi esetnek felelnek meg, és ez a

jegyzet is csak vázlat akar lenni. Sok részlet hián yzik bel ıle, és

sokak munkájára szükség lesz ahhoz, hogy a hiányoka t pótolni

lehessen. Reméljük, hogy erre is, más vázlatok elké szítésére és

kidolgozására is hamarosan sor kerül.

X X X

A jegyzet terjedelme a megoldandó feladatokhoz és a feldolgozott

anyaghoz képest kicsi. Helysz őke miatt a szemelvénygy őjteményben

közölt legtöbb szöveget kisebb-nagyobb mértékben le kellett

rövidíteni. Reméljük, hogy ez sehol sem ment a lény eges mondanivaló

rovására. A jegyzet törzsanyagában azzal értünk el

helymegtakarítást, hogy rövidre fogtunk néhány olya n kérdést,

amelyhez elég b ı, használható és hozzáférhet ı szakirodalmat tudtunk

ajánlani. Ilyenek például a közelít ı számítások - források: Bragyisz

/1961/, Bragyisz /1958/ - és a szöveges feladatok m egoldása

egyenlettel; az utóbbihoz forrás: Faragó /1960, 196 3/.

- 9 -

1. MATEMATIKATANÍTÁS AZ ALSÓ TAGOZATON

Áttekintés

Bármely fokon tanít is valaki matematikát, áttekint ı képének

kell lennie a matematikatanítás egészér ıl, az alsó tagozattól

kezdve. A tanterv nagyon keveset árul el az iskoláb an valóban folyó

munkáról, de azért a tanterv ismerete is nélkülözhe tetlen. Általános

iskolánk jelenlegi tantervét - az alsó tagozatét cs ak kivonatosan -

függelékként közöljük./482.-494. oldal./

Különösen fontos az alsó tagozat problémáinak ismer ete azok

számára, akik az innen kikerül ı tanulókat veszik át, az általános

iskola fels ı osztályaiban tanítanak. Az ötödik osztály tanárain ak

például részleteiben is ismerniük kell a negyedik o sztály tananyagát

és az itt alkalmazott tanítási eljárásokat, s ıt az egyes tanulókkal

kapcsolatos problémákat is. Legjobb, ha el ızı évben, miel ıtt

átveszik az osztályt, hospitálnak néhány számtanórá n és

elbeszélgetnek a tanítóval a '"stafétabot átadásáró l". Ehhez persze

többek között az is kell, hogy ne csak évzáró értek ezleten derüljön

ki, hogy ısszel kapnak egy ötödik osztályt.

Felejthetetlen élmény egy-egy els ı osztályban tett óralátogatás.

A gyerekek érdekl ıdése, aktivitása itt még töretlen, a pedagógus

problémája nem az, hogy hogyan "mozgassa" ıket, hanem hogy mi módon

terelje helyes mederbe ezt a nagy, de sokfelé szóró dó,

koncentrálatlan tenni akarást, hogyan foglalkoztass a a sok versengve

jelentkez ı, minél nagyobb mértékben részt venni kívánó gyerek et. Az

iskolának mind máig megoldatlan nagy problémája úgy állítani hasznos

célok szolgálatába a gyerekek magukkal hozott aktiv itását és

érdekl ıdését, hogy minél kevesebbet veszítsen a lendületéb ıl. Nagy

szerepe lehet ebben, különösen alsó fokon,

- 11 -

a játékosságnak. Az iskolának munkára kell nevelnie a gyerekeket, de

annak csak el ınyét látjuk, ha a munka és a játék minél nagyobb

részben egybeesik, ha a gyerek a munkát is játéknak érzi,

érdekl ıdést ıl hajtva, kedvtelve végzi.

Sok szónál többet mond egy óraleírás.

Számtanóra egy els ı osztályban, félév után

- Nyissátok ki a füzeteket. B, kezdd el olvasni a h ázi

feladatot! x

= /Lassan tagolva olvas/: öt meg mennyi az húsz? 5 + 15 = 20.

- Kinél van más? Kinek ugyanennyi? / Mindenki másod szorra

jelentkezik./

Hasonlóan folyik a többi házi feladat ellen ırzése is, aztán

számlálás következik 1-t ıl 20-ig és vissza. Egy-egy gyerek 4-5

számot mond, a másik folytatja. Jelentkez ıket és nem jelentkez ıket

egyaránt szólít a pedagógus. Elmondatja 20-ig a pár os számokat is,

aztán a páratlanokat. Ha valamelyik gyerek megakad, mással segítteti

ki, aztán újra próbáltatja vele, de ha még mindig n em megy, nem

tölti az id ıt.

- Bontsuk a 10-et!

= Egy meg kilenc.

= İt meg öt.

Elmondanak még néhány felbontást.

- /A táblára írja:/ 9= 2 + 2 + 5. Én ezt most három részre

bontottam. Igaz ez?

= Igen, mert 2 meg 2 az 4 és 4 meg 5 az 9.

- Most ti mondjatok más ilyen felbontásokat a 9-r ıl!

________________ x Itt és a kés ıbbi óraleírásokban is egy vonás jelzi azt, amit a

pedagógus, kett ı, amit valamelyik tanuló mond /vagy tesz/. Ha külön

utalás nincs rá, hogy ugyanaz a gyerek folytatta a mondanivalóját,

akkor az egymás után következ ı kett ıs vonások más-más tanuló

megnyilatkozásaira utalnak, de persze el ıfordul, hogy egy és ugyanaz

a tanuló egy órán többször is szerepel. Az óraleírá sok sohasem

teljesek, sok részlet hiányzik bel ılük, de igyekeztünk mégis képet

adni bennük egy-egy óra egészér ıl. Valóságos órák leírásait adjuk.

Ezek órák tanulságosak, de nem akarnak "a legjobb m ódszer"

példaképei lenni. Az óraleírások közlése segít, abb an hogy

konkrétabban mutassunk be bizonyos módszertani prob lémákat, de az

óralátogatásokat semmiképpen sem teheti feleslegess é.

- 12 -

A gyerekek mondják: 3 + 3 + 3, 1 + 3 + 5 stb. Mindi g elmondják

részletesen, ahogy az el ıbb.

- /A táblához lép, letörüli, ami rajta van, egy nag y 8-ast ír

fel./ Most az egyik számot mindig T. mondja!

= 4.

= 4 + 2 + 2.

Ezt is folytatják még egy kicsit, aztán:

- Három meg négyhez mennyi kell, hogy tíz legyen?

= Három meg négy az hét-hez /így mondja/, hogy tíz legyen, kell

adni hármat.

Ilyen feladatból is ad még, aztán a kivonásra tér:

- Tízb ıl elveszek hármat és abból még kett ıt, mennyi marad?

= Tízb ıl három az hét, hétb ıl kett ı, marad öt.

- Nyolcból négyet elveszek, ami marad, ahhoz hozzáa dok hármat.

Ezt el ıször elhibázza az, akit felszólít, aztán egy másikn ak a

segítségével révbe ér.

- /Egy kis figyelemfelkelt ı gesztus és a csönd kivárása után:/

Ki tudná megmondani, miben szokott otthon segíteni?

A jelentkez ık elmondják, hogy megkeresik a leesett t őt, söpörnek

stb.

- Én most olyan gyerekr ıl mesélek, aki segített fát bevinni a

szobába. /El ıvesz egy kosár fát, amit taneszközként, el ıre

megfontolt szándékkal, behozott. Egy gyereket kihív segíteni./

- Figyeljétek csak, mennyit tesz oda P.! /Adogatja neki, a

gyerekek számlálják, el ıször csak néhányan zümmögik, aztán többen is

bekapcsolódnak:/ Egy, kett ı, három, négy.

- Másodszor is behozunk valamennyi fát. /Ugyanúgy, mint az

el ıbb, hat darabot leraknak, aztán egy harmadik szállí tmányban még

ötöt./

- El ıször mennyit hoztunk be? Másodszor? Harmadszor?

/Felelnek./ Ez összesen mennyi? Föl is fogjuk rajzo lni! /Vonalakat

húz a táblára, a gyerekek ezeket is hangosan számlá lják./

- 13 -

1. ábra

- Írjuk csak mindegyik alá, hány darab fa! /Odaírjá k:/

- Ha azt akarom tudni, hogy összesen mennyit hoztun k be, mit

kell odaírni közbe?

= Meg-et.

- /Odaírja a + jeleket./ Melyik az a szám, amelyik 6-tal több,

mint 4? /Így kiszámítják végig, a táblán is odaírja a pedagógus az

eredményt./

- Ilyen példákat fogunk most megoldani. Ez máris ra jzoljátok és

írjátok is le!

Eddig fejben számoltak, most veszik csak el ı a füzeteket,

lemásolják a tábláról a rajzot, és ami alatta van. A pedagógus

nézegeti, mit írnak, néhánynak szól, hogy hibázott, vagy segít

kijavítani.

- Most 12 darab fa van. Rajzoljátok csak le!

Megvárja, amíg lerajzolják a 12 vonalat, ó maga is odarajzolta

már a táblára, aztán:

- Elvesz bel ıle egy gyerek kett ıt, aztán ötöt. Mondjátok meg

el ıre, mennyi marad! /Az egyik gyerek megmondja./ Szám oljuk meg,

csakugyan annyi marad-e!

A táblán egy vízszintes vonallal áthúzza az els ı két

függ ılegest, egy másikkal a következ ı ötöt. A maradékot a gyerekek

hangosan számolják, boldogan állapítják meg, hogy c sakugyan öt

marad. Itt és a következ ıkben is nagy figyelemmel van a pedagógus a

gyengébb tanulókra.

- Mondja csak el valaki, mir ıl volt szó!

= Tizenkét darab fa volt, el ıször elvettünk kett ıt, aztán ötöt,

és öt maradt.

- Írjuk le! /A táblára írja:/ 12 - 2 - 5 = 5. A gye rekek

ugyanezt a füzetbe írják.

- /Kiszólít egy gyereket a táblához, most el ıször az órán,

diktálja neki:/ 3 + 7 + 4 .

A gyerek a táblánál csak íródeák, a padból diktáljá k neki a

megoldást. Több más ilyen példa következik:

- 14 -

4 6 5

Felváltva más és más gyerek diktál, a helyén ülve. Mindenki ír a

füzetébe. Az ügyesebbek, a fürgébbek vagy igyekv ıbbek lehet ıleg

megel ızve a diktálót, a többi a diktálás után vagy a tábl áról.

- Ezekb ıl a példákból válasszatok ki egyet, mondjatok rá

szöveges feladatot!

= Volt egy nyolctagú hajó ...

- Talán nyolcan voltak rajta?

= ... /beletör ıdve:/ nyolcan voltak rajta. Hozzákapcsoltak még

két uszályt. Összesen hány ember és uszály volt?

- /Nevet, de ráhagyja./ Hát ez csak egy összeadás v olt,

de nem baj. Még!

= Volt 12 kisautó. Elrontottam kett ıt, még elrontottam ötöt,

maradt öt.

- Menjünk a Közértbe!

= Négy forintért vettem kolbászt, hat forintért ken yeret, három

forintért sajtot. Hány forintért vásároltam?

= Nyolc zsemlét, két kiflit és hat ...

- /Segít neki:/ ... császárzsemlét ...

= ... császárzsemlét vettem. /Elhallgat./

- Mi a kérdés?

= /Egy másik gyerek mondja:/ Hány péksüteményt vett em összesen. x

- Vegyétek el ı a könyveteket, lapozzátok fel ... /Lapszámot

mond, felolvastatja a feladatot: 3 + 7 + 2, szóban elmondják a

megoldást. A többi hasonló feladatnál már nem mondj ák el./

X X X

________________ x Logikai szempontból igen jó feladat a legközelebbi f ıfogalom.a

"genus proximum" keresésére. Egyúttal jó példa arra , hogy nemcsak

„egynem ő mennyiségeket” lehet összeadni, egy kicsit hasonló an ahhoz,

ahogy nem csak egyenl ı nevez ıj ő törtekkel végezhetünk összeadásokat

és kivonásokat. A péksütemény mintegy "közös nevez ıje" a zsemlének,

kiflinek stb. Annak sincs akadálya, hogy azt mondju k: öt péksütemény

és két tölt ıtoll az hét tárgy; itt a tárgy a legközelebbi f ıfogalom,

a "közös nevez ı".

- 15 -

3 + 7 + 4

4 + 6 + 3

7 + 3 + 2

8 + 2 + 6

12 – 2 – 5

15 – 5 – 3

16 – 6 – 4

14 – 4 – 8

Néhány megjegyzést füzünk az óraleíráshoz

Felt őnı, hogy ezek a kicsi gyerekek az absztrakcióinak mil yen

nagy skáláján mozognak. Jellemz ı erre az órának a fák rakásával

kezd ıdı része. Közvetlen élménnyel kezd ıdik. Igaz, hogy ez csupán

egy gyereknek mozgási, a többinek inkább csak vizuá lis élmény.

Mégis: történik valami, amihez hasonló otthon is tö rténni szokott. A

fadarabokat mindjárt utána az egy fokkal elvontabb vonalak

helyettesítik a táblán, a közben eltelt id ıt üres helyek a

vonalcsoportok közt. További lépés az absztrakció i rányában:

mindegyik csoport alá odaírják számjeggyel azt a sz ámot, amit már

rakosgatás közben is megállapítottak számlálással é s most újból

ellen ırizhetnek. Közéjük kerülnek a + jelek, az összeadás absztrakt

szimbólumai. A következ ı feladatban már rajzból, tehát eggyel

absztraktabb fokról indulnak el. Van, aki fejben ol dja meg ezt a

feladatot, van, aki számlálással állapítja meg a ki vonás /elvétel/

eredményt. A számlálás az el ıbbiekben is fontos, mint tapasztalati

megerısítés. Mindjárt utána olyan feladatok következnek, amelyekben

még absztraktabb szintr ıl indulnak el: számjegyekkel felírt

összeadásokat és kivonásokat végeznek el. Ha nem el ızte volna meg

ezeket a példákat a farakosgatás és a táblai rajz, amelyhez mindjárt

az absztrakt felírás is kapcsolódott, némelyikük ne m is volna képes

megoldani ezeket a feladatokat. Bizonyosan volt oly an, aki még így

sem volt képes rá. A gyerekek nem mindig járnak épp en ott az

absztrakt gondolkozás terén, ahol a tanmenet szerin t járniuk

kellene: mindig vannak, akik hónapokkal, ha ugyan n em évekkel el ıbb

vagy hátrább tartanak.

Ezzel egy fontos kérdéshez jutottunk el, amely a ta nítás minden

fokán felmerül. Vajon a jobbak inkább el ıreviszik, "felhúzzák" a

gyengébbeket, vagy inkább - akaratlanul is - akadál yozzák,

"visszanyomják" ıket? A kérdésre nincs egyértelm ő válasz, b ıven

lehet példát találni mindkét esetre. Itt mindeneset re inkább a

hátrányt látjuk. A most említett feladatsor megoldá sából nem sok

hasznot húznak a gyengébbek: nem tudnak lépést tart ani, csak

másolnak a tábláról. Ezen az ütem lassítása sem sok at segítene.

Lehet, hogy a többség már unná, és még mindig volná nak, akik nem

jutnak el ıre, mert erre az absztrakciós fokra még nem tudnak

feljutni, vagy csak nagyon nagy er ıfeszítések árán. Egy megoldási

kísérlet erre a nehézségre: a tanulók olyan szétosz tása

- 16 -

a párhuzamos osztályokban /ahol vannak ilyenek/, ho gy nagyjából

egyforma színvonalon lev ık kerüljenek együvé. Eléggé nyomós nevelési

szempontok szólnak ez ellen a megoldás ellen. Egy m ásik út: az

osztályfoglalkoztatás kiegészítése egyéni és csopor tmunkával, ami

lehet ıséget ad arra, hogy ki-ki olyan feladatokkal foglal kozzék,

amilyenek az adott fejl ıdési stádiumban leginkább neki valók.

Jelent ıs eredményeket ért el az ilyen tanítási módszer kia lakítása

terén Z.P. Dienes magyar származása angol - jelenle g Ausztráliában

él ı - matematikus és pszichológus. /Lásd az Épül ı matematika c.

könyvéb ıl vett részleteket, 255-312. oldal./

Elgondolkoztató az órának az a mozzanata is, amikor - mindjárt

óra elején - kiderül, hogy a házi feladatot minden tanuló jó1

oldotta meg. Biztos, hogy a tanítás eredményességét dicséri ez a

nagy egyhangúság? Nem lehet, hogy némelyik gyerekne k azért sikerült

így, mert segítettek neki otthon? Sajnos, már az el sıben kezdik

megtanulni azt a hamis igazságot, hogy azok közül a javak közül,

amelyekben az iskola részesítheti ıket, a legf ıbb jó a szép

bizonyítvány. Sok szül ı már szeptemberben megkezdi a lankadatlan

harcot hat éves gyermeke leend ı kit őnı érettségijéért, és szép, ha

ennek legf ıbb eszköze a gondoskodás arról, hogy gyermeke hibás házi

feladattal ne menjen iskolába. Szül ıi értekezletek állandóan

visszatér ı témája, hogy az osztályzatba úgyis csak az iskolai munka

számít be, és hogy az otthoni segítség helyes formá ja a rávezetés,

nem a közvetlen segítés. De ki tudná megállapítani, hogy került a

füzetbe a helyes eredmény? Így aztán nem is olyan n ehéz beletör ıdni

abba, hogy némelyik gyereknek lényegesen jobban meg y a számtan

otthon, mint az iskolában.

Mindent egybevéve ez az óra meger ısíti Freudenthal véleményét,

aki szerint /lásd a 316. oldalon/ az alsó osztályok ban folyó munka

általában szilárdabban áll a lábán, mint a kés ıbbi

matematikatanítás, mert - Freudenthal kifejezésével élve -

"tekintettel van a szintekre"; az alapszintr ıl indul el és ide

minduntalan vissza is tér. Ha marad is kívánnivaló e tekintetben,

sokkal kevesebb, mint a fels ıbb osztályokban.

- 17 -

A fejl ıdés várható iránya az alsó tagozaton

A következ ı évtizedben vagy évtizedekben számos ponton lényege s

változás várható az alsó tagozaton folyó matematika tanításban.

Persze nem úgy "várható", hogy magától bekövetkezik , hanem olyan

értelemben, hogy világszerte terjed a felismerés: h a az automatika

el ınyeit jól ki akarjuk használni, akkor a tömegek mat ematikai

mőveltségének lényeges emelésére, értelmesebb matemat ikatanításra

van szükség, és ezt az alsó tagozaton kell elkezden i. Ezt a

felismerést egyre több országban tettekre is váltjá k át. Az NDK-ban

például egy sereg intézkedést hoztak a matematikata nítás

színvonalának az alsó tagozattal kezd ıdı lényeges felemelése

érdekében. x Az, hogy az egyes országok a matematikatanítás als ó

tagozattal kezd ıdı gyökeres átalakításába el ıbb vagy kés ıbb

kapcsolódnak be, hogy erre sok vagy kevés anyagi és szellemi er ıt

szánnak-e, hogy ezt helyes irányban végzik-e vagy h agyják

félresiklani, az illet ı országok kés ıbbi gazdasági fejl ıdését is

igen lényegesen befolyásolja majd.

Az eddigi kísérleti eredmények tekintetbevételével a

következ ıkben foglalhatjuk össze az alsó tagozaton várható -

részben, ha lassan is, már folyamatban lev ı - változásokat:

1. A mostaninál kisebb hangsúly lesz az írásbeli m őveletek gyors

mechanikus végzésén. Fontosabb szempontnak tekintik , hogy a gyerekek

tisztában legyenek a m őveletek minden lépésének értelmével, mint

azt, hogy néhány másodpercet nyerjenek a gépi számo láshoz képest

amúgy is aránytalanul lassú írásbeli m őveletvégzésben. Ezért az

olyan, m őveleti eljárások kerülnek el ıtérbe, amelyeknek a

gondolatához a gyerekek könnyebben el tudnak jutni. /Vö.26.-33.o1d./

Amellett sokkal nagyobb hangsúly lesz a m őveleti eredmények

becslésén, mint ma.

2. A m őveleti eljárásokhoz nem a pedagógus magyarázata és

szemléltet ı tevékenysége alapján jutnak el, hanem els ısorban saját

tevékenységük alapján, olyan eszközök révén, amelye kbe a helyiérték-

rendszer "be van építve". A m őveleteket ezeken valóságosan elvégzik,

tapasztalataikat lejegyzik; id ıve1 már csak elképzelik, hogy mi

volna, ha a m őveletet a valóságban elvégeznék,

________________ x Lásd pl. Deutsche Lehrerzeitung, 1963/1, Beilage.

- 18 -

lejegyzik ennek az eredményét, de azért még ellen ırzik az eszközön,

hogy jól okoskodtak-e; végül már erre sincs szükség , eljutottak egy

tapasztalati hátter ő mőveleti algoritmushoz. /Vö. 281.-293. oldal./

3. Mive1 a tízes számrendszerben a m őveletek konkrét

végrehajtása a beváltáshoz szükséges sok egység mia tt viszonylag

nehézkes, az el ıbb mondott munkát többnyire kis alapú /pl. 2-es, 3-

as, 4-es/ számrendszerben végzik majd. Így a tízes számrendszer

megállapodásszer ő volta is élményükké válik, és olyan életkorban

ismerkednek meg a /számológépek szempontjából is fo ntos/ más

számrendszerekkel, amikor ez a legkönnyebb, mert a tízes

számrendszer még nem rögz ıdött beléjük. Amellett a tízes

számrendszerben való számolási készségük sem szenve d csorbát, mert a

megértett és begyakorolt eljárások a tízes számrend szerre nehézség

nélkül tev ıdnek át.

4. A szöveges feladatok megoldásának tanítása is er ısebben

tapasztalati kiindulású lesz. Túlnyomórészt a gyere kek gy őjtik össze

a feladatokhoz a számadatokat, s ıt azokat az életben adódó

helyzeteket is, amelyek matematikai feladatokhoz ve zetnek, ezek

alapján ık maguk munkalapokat készítenek, amelyekkel aztán m ás

tanulók is dolgoznak.

5. Azok között a tapasztalatok között, amelyek mate matikai

feladatokhoz vezetnek, a mainál több lesz a fizikai tárgyú, és sok

ilyen feladat számadataihoz méréseik útján jutnak. Például id ı- és

távolságmérés útján sebességeket számítanak ki /mag át a "sebesség"

szót, mint ma is, elkerülhetik/, megfigyelik ingák lengésidejét,

másodpercingát készítenek, stb.; ezzel kapcsolatban mérleg, h ımérı

és más mér ıeszközök és m őszerek leolvasásában évek folyamán készség

fokára jutnak el.

6. A skálaleolvasások révén el ıtérbe kerül a számok ábrázolási

módjai közül a számegyenesen való ábrázolás. Ez gra fikonok

készítésére is lehet ıséget ad. /Pl. ábrázolják a leolvasott

hımérsékleteket, különböz ı súlyokkal megterhelt rugók megnyúlását,

meghatározott id ıközönként rávezetik egy grafikonra saját testsúlyuk

és testmagasságuk értékét stb./

7. Más úton is el ıkészítik a függvényfogalmat: pl. olyan játékok

útján, amelyekben egy tanuló kigondol egy „szabályt ", a mások által

neki mondott számokból, a szabály alapján "készít" egy másik számot,

a többiek pedig igyekeznek kitalálni, hogy a

- 19 -

szabály más számokhoz milyen számot rendelt, végül pedig esetleg meg

is fogalmazni a szabályt. / Részletes leírását lásd a 161.162.

oldalon. A szabály eleinte egyetlen m ővelet alkalmazása, pl.

szorzás 2-vel, kivonás 100-ból./

8. Megsz őnik a fogalomzavar számok és jelek között. A két

fogalom elkülönítése a gyerekek gondolkozásában fok ozatosan megy

végbe /a "bet ő" és a "hang" fogalmának megkülönböztetéséhez

hasonlóan/, s a pedagógus részér ıl tudatos szóhasználatot kíván.

Ezzel többek között a 0 mint szám /pl. 5-5=0/ is po lgárjogot kap az

alsó tagozatban, és nem keverik össze a "0" számjeg gyel. /Vö. 24.

oldal./

9. Az egyenl ıségjel az els ı osztálytól kezdve a matematikában

elfogadott értelmében fog szerepelni /"ugyanazt a s zámot jelöli,

mint", nem pedig "azt kaptam eredményül, hogy"/.

10. Az = jel ilyen értelm ő használatának el ıkészítésére már az

1. osztályban szerepelni fog a < és a > jel; ezekke l szembeállítva

alakítható ki ugyanis az = jel helyes értelme. A < és > jel a

mőveleti jelek el ıtt jelenik meg /pl. 5 > 3 lejegyzésre érdemes

megállapítás/. A < és > jelet mérési eredmények lej egyzésekor is

alkalmazzák majd. /Vö. 236.oldal./

11. Hajtogatás, kivágás, szerkesztés, kivarrás, ra gasztás, fém-

, fa-, m őanyag és egyéb játékelemekb ıl való összeállítás útján

tapasztalatokat szereznek különféle síkidomok és te stek

tulajdonságai fel ıl. Saját készítés ő és kész modellekkel és

rajzokkal kapcsolatban olyan gyakorlati feladatokat kapnak, amelyek

alkalmasak a különféle szimmetriatulajdonságok tuda tosítására és más

geometriai fogalmak kialakítására.

12. Gyakorlati munka révén alakulnak a terület- és a

térfogatszámítás elemi eljárásai is. Például kis ko ckákból

összeállított téglatesteket átlátszó papírba csomag olva kapnak a

kezükbe, megpróbálják megállapítani, hogy hány kis kockából állnak,

leírják a sejtésüket, azután ugyanakkora kockákból felépítik a

testet, és számlálással állapítják meg, helyes volt -e a sejtésük.

Ehhez hasonló munkát fokozatosan nehezítve addig vé geznek, amíg

maguk el nem jutnak a mérés és szorzás útján való t érfogatszámítás

gondolatához. Téglalapok kirakása útján mellékesen kialakul a

prímszám és az összetett szám gondolata is /csak eg y sorban vagy

több sorban is kirakható kockák száma. /Vö. 243. és 51. oldal./

- 20 -

Ez a felsorolás csak hozzávet ıleges képet tud adni az alsó tagozaton

a következ ı évtizedekben várható változásokról. Hogy megvalósu lnak-e

és hogyan, az nagy mértékben függ a pedagógusok kez deményezéseit ıl,

munkájától, önképzését ı1. A pedagógusok szerepére így utalt az 1960.

évi II. magyar matematikai kongresszusra készült "A

matematikatanítás korszer ősítése különös tekintettel általános

iskoláinkra" c. referátum: "Csak akkor lehet az egy ik részr ı1

idejekorán megalapozni az absztrakt fogalmakat, a m ásik részr ıl

pedig építeni erre az alapra, ha mindegyik tagozat pedagógusai

alaposan ismerik egymás munkáját, didaktikai és sza kmai szempontból

egyaránt. A tanítóképzés f ıiskolai szintre emelése már egy lépés

ezen az úton. Egy további lépés lesz az, amikor a t anítóképz ı

akadémiák tantárgyai közé bekerül a matematika. x Még távolabbi

perspektívában azzal is számolnunk kell, hogy a mat ematika az alsó

tagozatban szaktárggyá válik."

Azóta - többek között - a Román Népköztársaságban é s a Német

Demokratikus Köztársaságban intézkedések történtek, hogy az alsó

tagozatnak legalább a fels ı osztályaiban fokozatosan be kell vezetni

a matematikaórákon a szakos tanítást, a tanítóképzé sben és

továbbképzésben pedig lényegesen meg kell növelni a matematika

szerepét. Ilyen intézkedések nélkül az említett vál tozások gyors és

eredményes keresztülvitele legalábbis kétséges.

________________ x Azóta bekerült.

- 21 -

2. A TERMÉSZETES SZÁMOK

Áttekintés. Mit értünk természetes számon?

A matematika tanterve az általános iskola 5. osztál yában kb. az

els ı három hónapot a természetes számokról tanultak ism étlésére,

kiegészítésére és alkalmazására szánja.

Egy másik olyan témakör, amely a természetes számok ra

vonatkozik, a 6. osztály tantervi anyagában szerepe l: oszthatóság

feltételei, összetett számok és prímszámok, közös o sztó és relatív

prímszámok, többszörös /kb. másfél hét jut erre/. R égebben a most

felsorolt anyaghoz csatlakozott még a számok prímté nyez ıs felbontása

/törzstényez ıkre bontása/, ehhez kapcsolódva a hatványjelölés

bevezetése a természetes számok körében, a legnagyo bb közös osztó és

a legkisebb közös többszörös fogalma és meghatározá sának módja. Most

ezek az utóbbi fogalmak és ismeretek kikerültek az általános iskola

anyagából és valószínüleg a középiskolák 1. osztály ának anyagát

fogják gazdagítani.

A gyerek a különféle számfajták közül el ıször a természetes

számokkal ismerkedik meg. Megkülönböztet ı jelz ıre ekkor még nincs

szükség, számoknak nevezi ıket. Kés ıbb azonban meg kell

különböztetni ıket a tört számoktól. Régen ilyenkor egész számokna k

kezdték nevezni az addig megismert számokat. A mate matika azonban

negatív egész számokat is ismer. Ezért, hogy ne kel ljen az egész

szám elnevezés jelentését hamarosan megváltoztatni /kib ıvíteni/,

inkább mindjárt a természetes szám elnevezést vezetjük be. Erre ma

az ötödik osztályban kerül sor.

Természetes szám-e a 0? A régebbi szóhasználat szer int nem az.

Újabban egyre gyakrabban annak tekintik. Emellett s zól az, hogy így

a természetes számok éppen a véges halmazok számoss ágai

- 22 -

/kardinális számai/. Ez nem olyan távoli, tudományo skodó szempont,

amilyennek hangzik. Egy teremben lehet 30 tanuló, l ehet 5, lehet 1

és lehet 0 is, de -l nem lehet. 30 közül kimehet 29 , kimehet 30, de

31 nem. Természetesebbek az olyan "természetes szám ok", amelyek

körében 30-ból 30-at is el lehet venni, mint az oly anok, amelyek

körében 30-ból 29-et el lehet venni, de 30-at nem. Éppen ezért már

az általános iskolák 1. osztályos tantervében is sz erepel a 0 mint

szám /mint kivonás eredménye/. A gyerekek az 1. osz tálytól kezdve

nem az 1, 2, 3 ... számokkal, hanem a 0, 1, 2, 3 .. . számokkal

ismerkednek meg. Igaz, hogy a 0 valamivel "nehezebb szám", mint a 2

vagy a 3. De ugyanazt mondhatjuk az l-r ıl is. Egy labda még nem

annyira egy, inkább csak labda; az 1-et csak a 2 és 3 után kezdi

számként felismerni a gyerek, a 0-t még kés ıbb. Amikor az 5.

osztályban összefoglaljuk a természetes számokról t anultakat, nem

feledkezhetünk meg a 0-ról sem.

Számok és jeleik

Nem sok diák érti, hogy a közönséges törtek, tizede s törtek és

vegyes számok nem nevezhet ık olyan értelemben különféle számoknak,

ahogy például a pozitív számok, negatív számok és a 0. A

mondatrészek és szófajok vagy bet ők és hangok közt valószín őleg

többen látják a különbséget.

Miért nem ugyanolyan módon különböznek egymástól a közönséges

törtek, a tizedes törtek és a vegyes számok, mint a pozitív számok,

a negatív számok és a 0?

Az el ıbbi megkülönböztetés a számok alakjára vonatkozik; például

3/2, 1,5 és 1 1/2 különböz ı alakúak, de ugyanaz az értékük, a

számegyenesnek ugyanahhoz a pontjához tartoznak /áb ra/. Az utóbbi

viszont a számok értékére vonatkozik: akármilyen al akban írok egy

pozitív számot, egy negatív számot vagy 0-t, akkora pozitív szám,

negatív szám illetve 0 marad.

- 23 -

1 1

2

0 1 2 3 4

2 2 2 2 2

, , , , ,

0 0,5 1 1,5 2

Szám értéke és szám alakja ,

ezek csupán más elnevezések a helyett, hogy

szám és jele .

Az utóbbi elnevezések el ınye, hogy utalnak arra: olyan

megkülönböztetésr ıl van szó, amely nemcsak számokra vonatkozik.

Nemcsak a számokat szokás összetéveszteni a jelükke l, hanem sok más

dolgot is.

Ha a dolgokról beszélünk, akkor a jelüket használju k, ha a

jelükr ıl beszélünk, akkor félreértés elkerülése végett más jelet

kell használnunk; például idéz ıjelbe tesszük a dolog nevét. Miskolc

hosszabb, mint Hódmez ıvásárhely, de "Hódmez ıvásárhely” hosszabb,

mint "Miskolc". Ugyanilyen különbség van 0 és "0" k özt is. Az el ıbbi

egy számot jelent, az utóbbi ennek a számnak a jelé t jelenti. a

tanár legyen tisztában ezzel a különbségtétellel, d e ne er ıltesse a

diákokra olyankor, amikor /és olyan módon, ahogyan/ ebb ıl

megvilágítás helyett elködösítés származhat. Jó, ho gy van egy ilyen

megkülönböztetési lehet ıség, de folyton ezen lovagolni azt

jelentené, hogy fontosabb problémákat szorítunk hát térbe. Magunk sem

használjuk következetesen az idéz ıjelet dolgok és jelük

megkülönböztetésére. Néha aláhúzással vagy sor köze pére helyezéssel

fejezzük ki ezt a megkülönböztetést, néha még így s em.

Ha különbséget teszünk számok és jeleik közt, akkor érthet ıvé

válik, hogy például "5+2" és "7" egy és ugyanannak a számnak két

különböz ı jele. /Joggal mondhatjuk hát, hogy az "5+2=7" össz eadásban

"5+2" is összeg, "7” is az./ Általában: az, amit né ha

számkifejezésnek szokás nevezni, valamilyen számnak a jele, hacsak

nem szerepel benne olyan m ővelet, amelynek az eredményét nem

értelmezzük /pl. 0-val való osztás/.

Számrendszer

Az 5. osztályba kerül ı gyerekek rendszerint nagy érdekl ıssel

várják, hogy mint fels ısök, milyen új és érdekes dolgokat fognak

tanulni. Ha azt tapasztalják, hogy hónapokon keresz tül ugyanannak az

ismételgetése folyik, amit négy éven keresztül tanu ltak, akkor

csalódnak ebben a várakozásukban. Sok ismétlésre

- 24 -

rendszerint azért van szükség, mert az egy osztályb an lev ı gyerekek

nagyon különböz ı felkészültség őek; vannak, akik a szóbeli és

írásbeli számolás legegyszer őbb formáiban, még az egyszer- egyben is

gyengék, bizonytalanok, abban, hogy egészen közönsé ges, egy-két

mővelettel megoldható szöveges feladatokat hogyan, mi lyen m ővelettel

oldjanak meg. Ezeknek a készségeknek a gyakorlását nem szabad

elhanyagolni az ötödikben, s ıt a magasabb osztályokban sem. Id ıt és

érdekl ıdést is nyerünk azonban, ha ezt a gyakorlást új any agba

ágyazzuk. Egy kit őnı angol tankönyv x úgy oldja meg ezt a problémát,

hogy a kettes számrendszer ismertetésével kezdi a t ananyagot,

bemutatja, hogy lehet ebben a számrendszerben össze adni, kivonni,

szorozni és osztani, azután tér vissza a tízes szám rendszerben való

számolásra. A kettes számrendszerrel dolgozva jobba n megértik a

tanulók, mi egyáltalán a számrendszer, mint ha ezt csak szóban

magyaráznánk nekik. A m őveletek technikája is jobban tudatosul

bennük, mint hogyha csupán a megszokott módon ismét elgetnék.

Egyúttal olyan számolástechnikába kapnak betekintés t, amelyet az

elektronikus számoló automaták is alkalmaznak.

Az új tanterv most nálunk is lehet ıséget ad ilyesmire egy

bizonyos korlátozott mértékben. A tanterv els ı pontját /lásd a 484.

oldalon/ felhasználhatjuk arra, hogy egy kicsit kiz ökkentsük a

tanulókat abból a téves szemléletb ıl, hogy a tízes számrendszer

örökt ıl fogva adott, nem is lehetne másmilyen, és élményü kké tegyük,

hogy vannak más számrendszerek is. Csoportosítsunk például egy nagy

halom pálcikát vagy gyufaszálat tízesével /bef ızıgumi segítségével

gyorsan megy a csoportosítás/, a tízes csomókat meg int tízesével

stb. A kimaradó pálcikák, tízes csomók stb. száma t ízes

számrendszerben adja meg a szám egyeseit, tízeseit stb. Ha

kettesével, hármasával vagy más alapszám szerint cs oportosítjuk a

pálcikákat, kettes, hármas stb. számrendszerben kap juk meg a

számjegyeket jobbról bal felé. Jó úgy szervezni meg a munkát, hogy

sokan vegyenek részt benne; akár az egész osztály i s. Az ilyen

valóságosan végrehajtott m őveleteket, eljárásokat a gyerek kés ıbb

gondolatban is végre tudja hajtani; Piaget svájci p szichológus

terminológiáját követve: a m ővelet interiori-

________________ x Mansfield - Thompson /1962/

- 25 -

zálódik, bels ıvé válik. /Ez hasonló ahhoz, amit régi szóhasználat tal

a bels ı szemlélet kialakulásának neveztek./

Játékpénzeket is készíttethetünk a gyerekekkel, ame lyekb ıl

például 4 kisebb ér annyit, mint egy nagyobb. Megmo zgathatjuk a

fantáziájukat azzal, hogy elképzeltetjük velük egy idegen égitest

lakóit, akiknek például 6 ujjuk van és ezért hatos számrendszerben

számolnak. Kigondolhatnak a tanulók különleges szám jegyeket,

elvégezhetnek egyszer őbb mőveleteket is a képzeletbeli él ılények

helyett, megállapíthatják az így felirt számokról, hogy melyik

nagyobb stb. Jobb ugyan fiatalabb korban adni meg e zt a betekintést

a számrendszer lényegébe, mert akkor tudatosabbá vá lik bennük, hogy

a mőveleteket miért végezzük éppen úgy, ahogy végezzük, de még

mindig jobb az ötödik osztályban adna meg nekik ezt az élményt, mint

még kés ıbb vagy soha. Ha jól szervezzük meg ezt a munkát, n em megy

el rá sok id ı, s a ráfordított id ı és munka megtérül a tanulók

nagyobb érdekl ıdésében és abban, hogy így az ismétlés mélyebb nyom ot

hagy bennük.

Írásbeli m őveletek

Manapság az alsó osztályokban sok id ıt töltenek a tanulók az

írásbeli m őveletek technikájának elsajátításával, de viszonyla g

keveset ezeknek a m őveleti technikáknak konkrét tárgyakon való

tapasztalati megalapozásával. Ennek az az eredménye , hogy az

ötödikeseknek a számolás általában már "gondolkozás nélkül meg"-,

amíg benne vannak a gyakorlatban, de egy kis kiesés vagy a

megszokott formától való csekély eltérés gyakran sú lyos hibákat

eredményez. Egy-egy 0 valamelyik tényez ıkben, osztandóban vagy

hányadosban már megzavarhatja a számolás gépies men etét. Ez ellen

lehet úgy védekezni, hogy erre és más zavaró moment umokra

tekintettel vagyunk, az ilyen eseteket külön gyakor oltatjuk. Ez

azonban csak tüneti kezelés, inkább elleplezése, mi nt kiküszöbölése

annak, hogy a tanulók nem tudják, mit miért végezne k. Ezt pedig

bajosan tudjuk nekik megmagyarázni, ha hiányzik a m őveletek

tapasztalati háttere, ha nem végeztek konkrét tárgy akon olyan

konkrét m őveleteket, amelyekb ıl a m őveleti eljárásokat

absztrahálhatták volna. Megint azt mondhatjuk, amit a

számrendszerekkel kapcsolatban: jobb, ha ez a megal apozás el ıbb

történik, /mert

- 26 -

akkor nincs szükség éveken át annyi sok gépies gyak orlásra és a

felszabaduló id ıt értelmesebb feladatok végzésére lehet fordítani/,

de ha el ıbb nem történt meg, az ötödikben még mindig érdemes ezzel

foglalkozni. Készíttessünk például játékpénzeket mi nden tanulóval,

kisméret ő egy-, tíz- és százforintosokat /vastag papírból, h ogy

könny ő legyen rakosgatni/, végezzenek ezekkel m őveleteket, figyeljék

meg ennek alapján, mit jelentenek az írásbeli számo lásban megszokott

lépések, például a felváltás és a beváltás.

Az írásbeli m őveletek közül az összeadás az, amelynek a

megértésében a legmesszebbre jutnak el a tanulók az alsó

osztályokban. Az összeadás kommutativitása és asszo ciativitása

/amelyet ez a m őveleti eljárás burkoltan felhasznál/ a gyerekeknek

magától értet ıdı, ha nem is tudják ezeket pontosan megfogalmazni és

egymástól megkülönböztetni. Aki a számok írásának a lapgondolatával -

azzal a bizonyos csoportokba rendezéssel, amelyr ıl az el ızı

szakaszban szó volt - tisztában van, annak az a gon dolat sem távoli,

hogy miért kell jobbról bal felé mindig a k ıvetkez ı oszlophoz adni

azt, ami "maradt".

A kivonás gondolata sokkal nehezebb. Különösen prob lematikus a

nálunk is tanított, osztrák módszerrel végzett kivo nás, amely a

kisebbítend ı és a kivonandó egyenl ı számokkal való növelésén

alapszik. Maga ez a gondolat is nehéz abban az élet korban, amikor

ezt a m őveletet tanítják. x Még nehezebbé teszi az, hogy a

kisebbítend ıhöz más formában adjuk hozzá ugyanazt a számot, min t a

kivonandóhoz, pl. az el ıbbihez tíz egyest, az utóbbihoz egy tízest

adunk:

________________ x Könnyen meggy ızıdhetünk arról, hogy az osztrák módszert minden

magyarázat ellenére is megértés nélkül alkalmazzák a gyerekek. A

legjobban akkor mutatkozik meg ez, amikor nem decim ális összetett

mennyiségeket /"többnev ő számokat"/ kell kivonniuk, pl.

Ha a tanulók értenék az osztrák módszert, itt is az t

alkalmaznák. De mert nem értik, felváltással okosko dnak. Ha nem a

saját fejük után teszik ezt, hanem azért, mert ebbe n az esetben ezt

a technikát tanították nekik, akkor felmerül a kérd és, miért jó az

osztrák módszer az egyik esetben és miért nem jó a másikban.

- 27 -

21 óra 37 perc - 6 óra 53 perc

6 egyeshez 7 egyes kell, hogy 13 egyest kapjunk. A

kisebbítend ıt tízzel /tíz egyessel/ növeltük, ezért a

kivonandót is tízzel /egy tízessel/ növeljük, 8 + 1 =

9. És így tovább.

Könnyebben megértik a gyerekek a felváltáson és elv ételen

alapuló m őveleti technikát. Ennek is vannak azonban hátrányai ,

különösen ha nullák vannak a kisebbítend ıben.

0 egyesb ıl nem tudok elvenni 2-t, ezért felváltanék

egy tízest; de az nincs, s ıt százas sincs. Felváltok

hát egy ezrest, marad 2, a tíz százasból felváltok

egyet stb. stb.

A következ ı magyarázat az összeadás és a kivonás kapcsolatára

épít: 573 és 186 különbsége az a szám, amelyet 186- hoz adva 573-at

kapunk. Ha már el ıbb megszokták a gyerekek, hogy rendes

összeadásokon kívül hiányos összeadásokat is végezz enek, pl.

ilyeneket:

és azt is megszokták, hogy nemcsak a számok alá leh et odaírni az

összeget, hanem melléjük, vagy a papír sarkába, vag y a számok fölé

is:

akkor nem okoz nekik nehézséget ebben az elrendezés ben sem a hiányos

összeadás:

Gondoljuk végig a megoldás menetét, látni fogjuk, h ogy

eljutottunk pontosan az osztrák kivonási technikáho z. Minden

ugyanaz, csak a vízszintes vonalat kell lejjebb vin ni, hogy a

hiányos összeadásból szabályos kivonás legyen. Visz ont az eljárás

megértéséhez nincs szükség arra a gondolatra, hogy ha a

kisebbítend ıt tíz egyessel, a kivonandót egy tízessel növeljük, a

különbség nem változik. Nincs szükség hozzá másra, csak az összeadás

tech-

- 28 -

573

- 186

387

3000

- 782

573

186

387

573

186

...

35.

.84

6.9

...

754

902

128

...

251

/fönt csak 8 lehet, 4+8 = 12, marad 1 + 5 = 6, 6 + 4 = 10 stb./,

nikájának ismeretére, és annyi képzel ıer ıre, amennyi a "hiányos"

mőveletek végzéséhez általában kell. Azonkívül persze az összeadás,

és a kivonás közti kapcsolat ismeretére.

Nem akarjuk azt mondani, hogy ez "a helyes" vagy "a legjobb út"

az írásbeli kivonás tanításához. A legjobb mindig a z, amire a gyerek

magától jön rá /alkalmas eszközök, alkalmas tanulás i helyzetek,

alkalmas kérdések útján/. Szakítanunk kell azzal a gondolattal, hogy

mindenkibe be kell programozni egy meghatározott m őveletvégzési

eljárást. A számológépek elterjedése ellenére felte het ıen fontos

marad, hogy az ember el tudjon végezni primitív tec hnikájú írásbeli

mőveleteket. A repül ıgépek megszázszorozzák haladásunk sebességét, a

számológépek több milliószorosára növelik a számolá sét, de azért nem

felejthetünk elgyalogolni, vagy "gyalogosan" számol ni. Mégis, talán

már ma is nagyobb érték a gyerek számára az, hogy r ájön egy m őveleti

eljárásra, mint magának az eljárásnak az ismerete. Az önálló

gondolkozás, az ötletesség a mai korban fontosabbak a technikai

készségeknél. Nem az utóbbiak fontossága csökkent, hanem az

el ıbbieké n ıtt meg hatalmas mértékben.

Az írásbeli szorzás technikája a disztributivitás t öbbszörös

alkalmazásán alapszik /a kommutativitás és az asszo ciativitás

mellett/. Aki nem ismerkedett meg tapasztalati úton a

disztributivitással, az eleve nem lehet tisztában a zzal, hogy mi

jogon szoroz úgy, ahogy tanulta. A disztributivitás sal való

megismerkedés persze nem azt jelenti, hogy el tudja valaki mondani,

hogyan szorzunk összeget egy számmal. Ez már egy er ıs absztrakciót

kívánó megfogalmazás; túl korai er ıltetése könnyen vezethet értelem

nélküli, verbális tudásra. A disztributivitással ol yan feladatok

kapcsán ismerkedhetnek meg a tanulók, mint például a következ ık:

7 képes levelez ılapot vettem, darabját 1 Ft 60 f-ért,

mindegyikhez 40 filléres bélyeget is vettem. Mennyi t fizettem?

Egy kalauz 9 db l Ft 50 f-es és 9 db 2 Ft 50 f-es á tszállót

adott el. Mennyi pénzt kapott értük?

Látható a fokozati különbség. Az els ı feladatban természetes az

a gondolat, hogy a szorzatok összeadása helyett az összeget

szorozhatjuk /a levelez ılapokra mindjárt ráragasztjuk a bélyegeket/.

A második feladatban ehhez már egy kis agyafúrtság kell: gondolatban

összepárosítjuk az 1 Ft 50 f-es és a 2 Ft 50

- 29 -

f-es átszállókat, hogy megkönnyítsük a számolást, a nnak ellenére,

hogy ennek a párosításnak a valóságban nincs sok ér telme. Ilyenféle,

alkalmasan összeválogatott feladatok útján elérhetj ük, hogy a

tanulók el ıtt lassan feldereng a kétféle számítási mód kapcsol ata,

és az, hogy a szövegt ıl függetlenül mindig rajtuk áll, melyik

számítási módot alkalmazzák. A feladatok összeválog atásában

törekedjünk a tartalmi és a formai változatosságra /vö. 272. old./;

az utóbbi azt jelenti, hogy szerepeljenek kett ınél többtagú

összegek, azonkívül különbségek. is. x Ha a tanulókat általában ahhoz

szoktatjuk, hogy a számfeladatok, mögé is szöveget képzeljenek, vagy

legalábbis valamiféle konkrét tartalmat, akkor az e mlített típusú

feladatok kétféle megoldási módja segíti ıket az ilyen

átalakításokban is /vö. 41. old./:

Ez már egy magasabb absztrakciós fokozat, de ennél is magasabban

van a szóbeli megfogalmazás; arra csak akkor érdeme s sort keríteni,

ha a gyerekek mondják ki /esetleg eleinte tökéletle n formában/. Kész

megfogalmazás betanulása - kész verbalizmus.

A szöveges feladat sem a

legels ı lépcs ıfok a konkrétabbtól

az egyre absztraktabb felé vezet ı

úton. Az olyanféle átrendezések

valóságos elvégzése erre a célra

szolgáló szemléltet ıeszközökkel,

amilyent például ábránk mutat,

korábbi fokozatot jelent, ti.

manuális tapasztalatokat. A tanár

dolga eldönteni, hogy például a

disztributivitás esetében idáig

kell-e visszamenni a tanulókkal

/vagy egy részükkel/,

________________ x Egy példa az utóbbira: "Egy feln ıtt lépése 75 cm, egy gyereké

45 cm. Ha mind a ketten háromszázat lépnek, mennyiv el tesz meg

hosszabb utat a feln ıtt, mint a gyerek? Emlékezetessé tette ezt a

feladatot egy kisdiák számára az a nap, amikor nem akarták t ıle

elfogadni - s ıt megérteni sem - az egyszer őbbik megoldást.

- 30 -

17 * 8 + 23 * 8 = ( 17 + 23 ) * 8 = 40 * 8 = 320 ,

( 250 + 25 ) * 4 = 250 * 4 + 25 * 4 = 1000 + 100 = 1100.

2. ábra

vagy pedig megelégedhetünk a konkrétságnak azzal a fokával, amit a

szöveges feladatok adnak. /Vö. 296.-300. oldal./

Nem jelenti a disztributivitás megértését az, ha va laki tudja,

hogy 32-t így kell szorozni 4-gyel: "4-szer 30 az 1 20, 4-szer 2 az

8, 120 meg 8 az 128". Ez gyakran csak egy mondóka i smétlése; fülükbe

cseng a folytatás, mert már sok ilyent hallottak. A ki ennek alapján

végzi a szorzást, az nem is összeget szoroz, hanem kétjegy ő számot

szoroz; az 5. osztályban sem kés ı tudatosítani, hogy a 32-nek és a

250+25-nek 4-gyel való célszer ő szorzása közt milyen kapcsolat van.

Amikor többjegy ő számot többjegy ő számmal írásban szorzunk,

akkor disztributivitást alkalmazunk egyrészt az egy es

részletszorzatok kiszámítása közben /lásd az el ıbbi példát/,

másrészt azzal is, hogy külön számítjuk ki a részle tszorzatokat és a

végén ezeket összeadjuk. A disztributivitásnak ez a kétszeres

alkalmazása nem könny ő gondolat. Ezt a gondolatat érthet ıbbé,

tudatosabbá tehetjük azzal, hogy eltérünk a megszok ott sémától. Ha

például egy számot 124-gyel kell szorozni, akkor ír ják le a tanulók

egymás alá a szám százszorosát, húszszorosát és nég yszeresét, és

adják össze ezeket a számokat. Bár a m őveleti eljárásoknak a

tapasztalatokból való absztrahálását semmi sem póto lhatja, egy-egy

ilyen szokásostól eltér ı lejegyzési forma is segít egy kicsit

elgondolkozni azon, hogy miért számolunk éppen így vagy úgy. Még a

nulláknak a részletszorzatok végén való kiírására i s visszatérhetünk

az 5. osztályban, ha azt tapasztaljuk, hogy túl ham ar hagyták el a

tanulók az alsó tagozatban, nem értik a "lépcs ızetet" a

részletszorzatok egymás alá írásában. /Persze az a jobb, ha az

elhagyásra csak akkor kerül sor, amikor maguk a gye rekek rájönnek,

hogy felesleges mindig odaírni a nullákat. De ezen az 5.-ben már túl

vagyunk./

A disztributivitás kétszeres alkalmazását, a "minde n tagot

minden taggal" gondolatát segítenek megértetni a gy erekekkel az

olyan számkártyák, amelyek a többjegy ő számok tagokra bontását

szemléltetik /3. ábra/.

A többjegy ő számokat helyi érték szerint "kártyába bontjuk" és

az egyik összeg minden tagját szorozzuk a másik öss zeg minden

tagjával: x

________________ x Vö. Land /1960/, 29 old.

- 31 -

Ez persze csak arra világít rá, hogy mit is csinálunk

tulajdonképpen, amikor írásbeli szorzást végzünk. H ogy miért éppen

ezt csináljuk, ahhoz más eszközök kellenek /Vö. 290 .-293. oldal/.

Ezeket a rajzok /lásd az 5. ábrát/ kiegészíthetik, de nem

pótolhatjuk.

A legf ıbb szempont a m ővelet tudatos, értelmes végzése. Ehhez

képest csak másodlagos jelent ısége van pl. annak a kérdésnek,

amellyel kapcsolatban az utóbbi években több közlem ény is megjelent,

hogy a részletszorzatok jegyei helyi értik szerint a szorzandó vagy

a szorzó jegyei alá kerüljenek-e.

- 32 –

5. ábra

Az írásbeli osztás technikáját, sajnos, nem lehet o lyan módon

visszavezetni a szorzásra, mint a kivonásét az össz eadáséra. Ha azt

akarjuk, hogy a gyerekek többsége értse, hogy mit c sinál, és esetleg

még azt is tudja, hogy amit csinál, azt miért csiná lja, akkor a

mőveletek valóságos elvégzése konkrét tárgyakon és es zközökön aligha

kerülhet ı el. Valami kicsit az is segít, ha legalább a

részletszorzatokat leírják, és nem vonják le mindjá rt fejben. Ez

primitívebb technika, lelassítja az osztást. A f ıszempont azonban -

megint ismételni kell - nem egy amúgy is tökéletese n korszer őtlen

technikának hajszállal kevésbé korszer őtlenné tétele, hanem a

tudatosság. Egy kis nyereség az utóbbiban kárpótol azért, hogy ezt

az életben oly ritkán alkalmazott számolási eljárás t valamivel

lassabban végzik a tanulók.

Fejszámolás. Kerekítés, becslés

Számológépekb ıl egyre többet gyártanak, egyre olcsóbban

kerülnek forgalomba, a miniatürizálás terén is vann ak eredmények.

/Kb. egy írógép áráért 20-30 dkg súlyú, 11-15 jegyi g számoló gépek

kaphatók./ Ezek és más tényez ık - pl. a logarlécek elterjedése,

használatuk általánossá. válása - a többjegy ő számokkal végzett

írásbeli m őveletek szerepét fokozatosan csökkentik /Vö. 92.-94 .

oldal/. Nem csökken azonban a fejszámolás /szóbeli számolás/

fontossága. Arra persze felesleges id ıt vesztegetnünk, hogy

begyakoroltassuk az olyanféle vagy még bonyolultabb mőveletek fejben

végzését, mint pl. 28. 39, még ha van is néhány tan uló, akinek az

nem okozhat különösebb nehézséget. Viszont az ilyen -

- 33 -

300.10 20.10 4.10

300.3 20.3 4.3

300 20 4

3

10

324

13

féle m őveleteket tudja lehet ıleg minden tanuló nehézség nélkül

fejben elvégezni:

/Az utóbbiakat persze csak akkor, amikor már tanult ák a

törtszámokat./ Ha logarléccel vagy számológépen, de akár ha írásba n végeznek is

el egy m őveletet többjegy ő számokkal, fontos, hogy becsléssel ellen ırizzék, nem követtek-e el durva hibát. Még helyeseb b, ha ahhoz szoktatjuk a tanulókat, hogy ne is a m ővelet végzése után, hanem el ıtte számítsák ki, hogy kb. mekkora eredményt várnak . Ha egyetlen alapm őveletr ıl van szó, akkor azt egyszer ően úgy végezhetik, hogy a számokat el ıbb egy - esetleg két - értékes jegyre kerekítik. /A z osztandót néha nem is kerekíteni célszer ő, hanem oszthatóra változtatni pl. 4000 : 59 ~ 4200 : 60 = = 70./ Jó azonban kifejleszteni bennük az érzéket, hogy összetettebb mőveletsorozatok eredményét is gyorsan meg tudnék becsülni, pl. néhá ny másodperc alatt el tudják dönteni, hogy ez a szám:

1-hez, 10-hez, 100-hoz vagy 1000-hez van-e közelebb .

A durva hibák elkerülésének van még egy fontos módj a: ha a

számadatok nemcsak m őveletgyakorlást szolgáltak, hanem valami

konkrét feladatból adódtak, akkor a végeredményt is mindig a

valóságra kell vonatkoztatniuk. Tisztában kell lenn iük azzal, hogy

gyalogló sebességére óránként 620 km éppúgy nem reá lis, mint

repül ıgép sebességére óránként 5 km stb.- vagyis tisztába n kell

lenniük a legfontosabb mennyiségek nagyságrendjével . Nem kell velük

számadatokat bevágatnunk, a valóságérzéküket kell k ifejlesztenünk.

Ehhez sok-sok olyan feladat megoldására van szükség , amely valóságos

- és a gyerekek számára érdekes - adatokat tartalma z. /Vö. 42-47.

old./

- 34 -

170 + 250

40 * 800

300 : 6

0,8 : 0,4

100 – 33

2000 * 30 000

1 000 000 : 250

1

8 : 4 .

7693 + 16840

8161 - 7997

A mőveletek összefüggései. Elnevezések

Ha öt könyvhöz odateszek még hármat, nyolc lesz; ha elveszem a

három könyvet, megint öt marad. Az ilyen mindennapo s tapasztalatokat

általánosíthatjuk, amikor azt mondjuk, hogy a kivon ás az összeadás

inverze /fordított m ővelete/. Bármilyen természetesnek tartják is a

gyerekek az el ıbb említett tapasztalati tényt, gyakori eset, hogy

megnevezés nélküli számokra, különösen, ha nagy szá mokról van szó,

nem viszik át ezeket a tapasztalataikat; gondolkodá s nélkül

nekifognak a gépies számolásnak olyankor is, amikor a m őveletek

összefüggése elárulná az eredményt. Fontos a valósá gos összefüggés

szemléltetése /rajzon és még inkább tárgyakon, vagy magukon a

gyerekeken/, fontos a matematikai megfogalmazás is /egyel ıre

numerikus példákon/ de a legfontosabb kett ı közti kapcsolat

tudatosítása. Külön az egyik vagy a másik nem sokat ér. Ugyanez

vonatkozik a szorzás és az osztás kapcsolatára. Ábr áink mutatják

ezeket a kapcsolatokat, i1letve néhányat közülük:

A második sorban szokatlan a sorrend. Aki azt hiszi /és az

alsó tagozatból a legtöbben ezt hozzák!/, hogy az e gyenl ıségjel azt

jelenti, "azt kapom, hogy", az meg is ütközik rajta . Fontos, hogy

újra és újra tudatossá tegyük a gyerekekben az egye nl ıségjel igazi

jelentését /"ugyanazt a számot jelenti, mint"- tehá t a két oldalát

fel is cserélhetem/. Hasznos ezt a szabadságunkat t öbbek között arra

használni fel, hogy az itt látható módon kapcsoljuk egymáshoz az

ugyanazon ábráról leolvasható összeadási és kivonás i eseteket. Az

így szerzett asszociációknak jó hasznát

- 35 -

4 + 3 = 7 3 + 4 = 7

4 = 7 – 3 3 = 7 - 4

4 * 3 = 12 3 * 4 = 12

4 = 12 : 3 3 = 12 : 4

4 + 3 – 3 = 4 3 + 4 – 4 =3 4 * 3 : 3 = 4 3 * 4 : 4 = 3

veszik majd az egyenletmegoldásban. Persze az olyan változatokra is

kerüljön sor, mint

Fontos azonban, hogy ezek az ábrán keresztül - illetve azon a

hozzátevési, elvevési élményen keresztül , amit kés ıbb az ábra

segítségével is felidézhetünk - kapcsolódjanak egym áshoz, ne pedig

közvetlenül, formálisan! Ugyanez vonatkozik nemcsak az egymás

alattit, hanem az egymás melletti állításokra is eg y-egy kereten

belül: A fels ı sorban látható kapcsolat az ötödikeseknek már "a

könyökükön jön ki" - kár sok szót vesztegetni rá. A második sorról

ezt nem mondhatjuk. Ez a felcserélhet ıséget a kivonás /illetve

osztás/ nyelvére átfogalmazva mutatja. Mutassuk meg nekik, mit fejez

ki ez a kapcsolat; pl. ha ezt veszem el, az marad, ha azt veszem el,

ez marad. /Osztásra valamivel nehezebb megfogalmazn i, de az ábráról

ezt is leolvashatják./

A keret alatti sorban egy-egy mondatba s őrítve láthatók az

inverz m őveletek összefüggései. Kis számokkal, mint ezek, ma gától

értet ıdıknek látszanak ezek az állítások, de adjuk csak fel a

gyerekeknek, mennyi 378 + 564 - 564 vagy 378*564:56 4. Érdemes volna

felmérést készíteni iskolánként, hány gyerek van, a ki nekiáll

összeadni és szorozni, és hány látja át mindjárt, h ogy mi az

eredmény.

Érdekes módszertani újítás a "kisebbítend ı, kivonandó,

különbség" elnevezések kiküszöbölése, helyettesítés e kivonásban is

az "összeadandó, összeg" elnevezésekkel:

- 36 -

7 – 4 = 3

7 = 3 + 4 stb.

27 + 18 = 45

45 – 27 = 18

egyik össze-adandó

másik össze-adandó

összeg egyik össze-adandó

másik össze-adandó

összeg

Ugyanígy az osztásban is, ha nincs maradék:

Ez az újítás több szempontból hasznos; egyrészt fel énél

kevesebbre csökkenti a megtanulni való /és többnyir e nem is nagyon

jól tudott/ elnevezések számát, másrészt hozzájárul a m őveletek és

inverzeik közti kapcsolat tudatosításához is.

Vannak nyitott problémák ezzel az egyszer ősítéssel

kapcsolatban; mindenesetre érdemes gondolkozni rajt a és próbálkozni

vele. Amerikában sokfelé alkalmazzák.

A szorzandó és a szorzó sorrendje

A második osztályban 4 + 4 + 4-et röviden 3 * 4 -ne k írják a

gyerekek. A harmadikban 184 + 184 + 184 -et 184*3-n ak /mert ezt

írásban számítják ki, és írásbeli szorzásban szokás szerint jobbról

van a szorzó/. A következetlenség kés ıbb is megmarad, és semmiképpen

sem intézhet ı azzal, hogy "a szorzás úgyis kommutatív". Amikor

például a törtek tanítására kerül sor, nem mindegy, mit fejez ki a

3 * jelölés, 3-nak a -szörösét-e vagy -nek a háromszorosát,

hiszen az utóbbiról nyilvánvaló mit jelent, amikor az el ıbbir ıl ezt

még tisztázni kell. Jobb volna tehát vagy következe tesen a szorzandó

elé vagy következetesen a szorzandó után írni a szo rzót.

/El ıfordulhat persze olyan feladat, ahol nincs is értel me szorzóról

és szorzandóról beszélni, Ilyen például az, hogy há ny - egy fiúból

és egy lányból álló - táncospár lehetséges akkor, h a 5 fiú és 4 lány

van jelen. Ekkor persze csakugyan mindegy a leírás sorrendje, Máskor

is jogunk van megváltoztatni, de mégis más összeadá st rövidítünk 3 *

4-gyel és mást 4 * 3-mal./ Melyik sorrendet válassz uk hát? Néhány

érv és ellenérv a kétféle variánsra:

- 37 -

36 : 4 = 9

szorzat egyik tényez ı másik tényez ı

2 5

2 5

2 5

Vannak ennél sokkal nagyobb jelent ıség ő problémák is. Azért

említjük meg mégis, mert ennek - mint általában min den

szabványosítási kérdésnek - jobb minél el ıbb túlesni a megoldásán.

Ma

- 38 –

Matematikailag az utánaírás a

következetesebb. Ha 24-et

összeadással, kivonással vagy

osztással változtatom, akkor is

utána írom azt a számot, amivel

változtatom.

A matematikában is magasabb

fokon az eléírásban

állapodnak meg: x + x + x

röviden 3x, nem pedig x3. Az algebrában elfogadott sorrend

nem a szorzandó és a szorzó

sorrendje, hanem a számé és a

változóé /ismeretlené/. 3x ez is

jelentheti: 1 2 x

3 + 3 ... + 3 .

Például ennek a feladatnak a

lejegyzésekor: "Egy tutaj

óránként 3 km-t úszik lefelé,

mennyi id ı alatt úszik 78 km-

t?", 3x = 78 -ban az x a

szorzó.

Ha a nyelvi forma volna a dönt ı,

akkor a németek a tizenhármat 31-

nek írhatnák /dreizehn/, a

harmincegyet pedig 13-nak

/einunddreissig/. Könnyebb volna

így tanítaniuk, mégsem teszik, mert

matematikailag következetlen. Van

az utánaírásnak megfelel ı nyelvi

forma is: "4 szorozva 3-mal", "4-

nek a 3-szorosa".

Nyelvileg viszont az

eléírás a

következetesebb. Azt

mondjuk, hogy 3-szor 4.

Könnyő megtanítani a

gyerekeknek, hogy ezt 3 *

4-nek írjuk /a "szor"-t

ponttal jelöljük/,

nehezebb azt tanítani,

hogy 4 * 3-nak írjuk.

már a döntés igen sok országban, talán az országok többségében, meg

is történt, mégpedig nem a nyelvi sorrend mellett / amely másutt is

hasonló, mint nálunk, hanem a matematikailag követk ezetes sorrend

mellett. Egy ilyen viszonylag csekély jelent ıség ő problémát sem

helyes azonban a pedagógus-közvélemény kikapcsolásá val oldani meg,

és ezért el ıször is el kell hárítani a lehetséges félreértéseke t.

A mőveletek eredményének változása /vagy változatlanság a/

Ez jellegzetesen olyan kérdéskör, amelyet kár volna külön

ismeretanyagként tanítani. Éveken át kell biztosíta ni hozzá a

tapasztalati anyagot, fokozatosan tudatosítani, hog y mit is

tapasztaltunk. Ha már van elég tapasztalat, össze i s lehet foglalni,

rendszerezni is lehet ıket, de amíg nincs, addig a rendszerez ı

"megtanítás" többet árt, mint használ. A matematika i

ismeretszerzésnek általában ez az útja, vannak azon ban olyan

témakörök, ahol ez a jellegzetesség különösen felt őnı. Ilyenek a

közelít ı számítások, ilyen ez is.

A tapasztalatok szerzése az 1. osztályban kezd ıdik. A nehezebb

összeadási eseteket sok gyerek már ennek segítségév el vezeti vissza

könnyebbekre. 6 + 6 = 12 könny ő eset /mert egyenl ı számok vannak

benne/, akkor pedig 6 + 7 = 13, mert eggyel többet adunk hozzá. Nem

kell ezt így megfogalmazni ahhoz, hogy valaki alkal mazni tudja más

esetekben is. "Az önálló ismeretszerzés lehet ıségét kell biztosítani

/hogy a gyerek ne legyen köteles hivatalos el ıírás szerint, 10-re

pótlás útján számítani ki a 6 + 7 -et/, a szabályos ságok keresésére

kell bátorítani a gyerekeket. Ha ez elmaradt az als ó tagozatban vagy

nem történt meg eléggé, akkor az ötödik osztály tan árának nincs mit

összefoglalnia a gyerekekkel, azt azonban megteheti , hogy - ha késve

is - ı állítja ilyen tapasztalatok elé ıket:

Bizonyos, hogy sok gyerek az utóbbit is végigszámol ná. Aki nem

érti, hogy erre miért nincs sz őkség, annak megmutathatjuk kis

- 39 -

9786 + 9786 = 19572

9786 + 9889 =

számokkal, de még inkább tárgyakkal, hogy mir ıl van szó. A tanári

szemléltetés mindenesetre sokkal kevesebbet ér, min t a gyerekek

saját - nemcsak vizuális - tapasztalatszerzése, err e azonban az

ötödikben már kevesebb id ı és lehet ıség van.

A "változások" és "változatlanság" hálás gondolatkö r,

szemléletessége és sokirányú kapcsolatai miatt is. A változások

megfigyelése elvezethet többek között az asszociatí v tulajdonságok

és a disztributív tulajdonság felismeréséhez és meg fogalmazásához:

Az utóbbinak az lehetne a párja, hogy ha mindkét té nyez ınek

köbét veszem, a szorzat köbét kapom. Egyel ıre ez a rubrika üresen

marad. Az ilyen üres helyek gondolkozásra serkentik a rendet,

szabályosságot keres ı elméket. Nem baj, ha egyel ıre nem is találják

el a helyes folytatást. Csak keresgéljenek, vessene k fel ötleteket.

/Mi lesz, ha mindkét tényez ıt 3-mal növeljük? Vagy csak az egyiket?

stb./ Gy őjtsenek arról is tapasztalatokat, hogy mi nem igaz /holott

esetleg igaznak gondolnánk, nemcsak arról, hogy mi igaz.

Felbecsülhetetlenül fontos ez matematikai fejl ıdésük szempontjából.

Átalakítás a m ővelet elvégzése el ıtt

Fenti példáinkban kis számok szerepelnek, szemlélte tni. Így

könnyebb az asszociativitást, disztributivitást és más /ezekkel

rokon/ összefüggéseket. De ha azt akarjuk, hogy a t anulók rá

- 40 -

5 + 4 5 * 4

Az egyik tagot

3-mal növelem:

Az összeg is

3-mal n ı:

Az egyik tényez ıt

háromszorosára

növelem:

A szorzat is

3-szorosára n ı:

5 + /4 + 3/ = /5 + 4/ + 3 5 * /4 * 3/ = /5 * 4/ * 3

Mindkét tagot

3-szorosára

növelem:

Az összeg 3-

szorosára n ı:

5 * 3 + 4 * 3 = /5 + 4/ * 3

jöjjenek arra, hogy ezek nemcsak érdekesek, hanem h asznosak is, hogy

érdemes a m őveletek elvégzése el ıtt egy kifejezést átalakítani,

akkor ki kell gondolnunk,olyan példákat, nagyobb sz ámokkal, amelyek

indokolttá, "kifizet ıdıvé" teszik az el ızetes átalakítást. A már

említett 378+564-564 stb. példák /lásd a 36. oldalo n/ ennek

jellegzetes esetei: Említettünk a disztributivitás mindkét irányú

alkalmazására ösztönz ı példákat is / 30. old./.

További példák, amelyek átalakításokat tesznek indo kolttá a

kijelölt m őveletek gépies végzése helyett:

A legutóbbi példával az boldogul, aki megértette: h a egy

számot szorozni is, osztani is kell különféle számo kkal /úgy értve,

hogy az eredménnyel számolunk tovább/, akkor mindeg y, milyen

sorrendben végezzük ezeket a m őveleteket, csak az a fontos, hogy

amivel szorozni kellett, azzal szorozzunk, amivel o sztani, azzal

osszunk. Ennek a gondolatnak jó hasznát veszik kés ıbb a logarlécen

való számolásokban /ha nincs reciprokskála, célszer ő felváltva

szorozni és osztani /. Nem annyira szemléletes tény ez, mint az

összeadásra és kivonásra vonatkozó analogonja, de s egíthet a

megértésében pl. Alice története, aki Csodaországba n hol az egyik,

hol a másik kezében lév ı gombába harapott, és ett ıl néha 6-szoroséra

nıtt, néha felére zsugorodott stb.

A mőveletek sorrendje, zárójelek használata

Zárójelek már az alsó tagozaton is szerepelnek, jel enleg a 2.

osztálytól kezdve. Különböz ı rangú m őveletek esetén a tanulók mindig

zárójeleznek, pl. 6 * (7+8) és 6 + (7*8), tehát nem alkalmazzák azt

a megállapodást, hogy "a szorzás és az osztás er ısebben köt, mint az

összeadás és a kivonás". Egyenrangú m őveletek között azonban néha

hallgatólag alkalmazzák az itt szokásos megállapodá st, a "balra

zárást", vagyis azt, hogy pl. 100-10-5+1

- 41 -

174.83 – 74.83

547 + 986 + 42

879 + 985 – 779

/458 + 876/-/458 + 676/

8880.796 : 111 : 8

úgy értend ı, mintha [(100 - 10) - 5] + 1-nek volna írva. Az öt ödik

osztályban kerül sor általában az el ıbb említett zárójel elhagyási

megállapodás bevezetésére és az utóbbinak a tudatos ítására.

Szöveges feladatok megoldása

Fontos dolog a számolástechnika, még fontosabb az a lkalmazás.

Fontos, hogy a diákok jól tudjanak m őveleteket végezni, fontos hogy

a mőveleteket értsék, ésszer ően végezzék, de sokkal fontosabb, hogy

tudják, mikor milyen m őveletet kell alkalmazniuk egy feladat

megoldásában. x A m őveletek végzése gépesíthet ı, ha nem is érdemes

minden apróságot gépre bízni; azt azonban, hogy mil yen m őveletek

milyen sorrendben való végzése vezet egy konkrét pr obléma

megoldására, az embernek kell eldöntenie. Bonyolult abb gépek ebben

is segíthetnek, de amiben segítenek, az szükségképp en mindig a

mechanikus része a probléma megoldásának./ A számta ntanítás

színvonalára rendszerint jellemz ı, hogy megreked-e a

mővelettanításnál, vagy továbbhalad a problémamegoldá s felé. A

problémákat azonban nem arról ismerni meg, hogy sza vak is

szerepelnek bennük a számokon kívül, hanem arról, h ogy adnak-e

gondolkoznivalót, kívánnak-e valami ötletet, még ha akármilyen

csekélyet is. Ez persze nemcsak a feladattól függ, hanem attól is,

akinek szánjuk. Van olyan életkor mindenki életében , amikor a

Freudenthal által felsorolt kivonási feladatok / 31 5.-316. oldal/

problémát jelentenek a számára, de a fels ı tagozatban már magasabban

van a probléma-határ. Ha a tanulóknak színvonaluk a latti feladatokat

adunk, akkor a feladat szövegét ıl függ ıen talán tanítunk nekik

valamit a technika, a földrajz, a gazdaságtan köréb ıl, de nem

tanítunk nekik matematikát. Talán még ennél is nagy obb baj, ha

rendszeresen a színvonaluk feletti feladatokat akar unk rájuk

tukmálni. Ezzel vagy azt érjük el, hogy kielégületl enséget és

kisebbrend őségi érzést oltunk beléjük /"én erre úgysem vagyok

képes"/ és szinte rákényszerítjük ıket idegen se-

________________ x Gondolhatunk itt olyan feladatokra is, amelyeknek a

megoldása nem számolás útján történik, csak akkor m őveleteken -

általánosabban - már ismert lépéseket, mechanikus e ljárásokat kell

értenünk.

- 42 -

gítség igénybevételére, vagy kénytelenek vagyunk, h ogy ezt

elkerüljük, recepteket adni, megtanítani külön-külö n az egyes

feladatok megoldási módját. A készen kapott megoldá si módok azonban

nem hagynak mélyebb nyomot a tanulók gondolkozásába n, nem teszik

ıket képessé újabb feladatok megoldására, csak az em lékezetüket

terhelik, s az emlékezetük is igyekszik hamar túlad ni ezen a holt

terhen. A tanulókat ellátni képességeiknek megfelel ı, er ıfeszítést -

de nem túlzottat - kívánó feladatokkal s ez a probl éma nemcsak a

számtani feladatok kapcsán merül fel, hanem a matem atika tanításának

minden szakaszában és területén naponta megoldásra vár. Megnehezíti

a megoldását a tanulók er ısen különböz ı fejlettsége /Vö. 16.oldal/.

Megoldást ugyan nem jelent, de valamit enyhíthet ez en a nehézségen

az, hogy a jobb tanulóknak rendszeresen adunk szorg almi

feladatokat. x Néhány perc is elég az óra elején, vagy végén, hog y a

megoldók beszámoljanak az eredményr ıl és új feladatot vagy

feladatokat t őzzünk ki a számukra. Egymásra épül ı feladatok

sorozatain át érdekes, csöppet sem triviális problé mákig is el lehet

így jutni. Erre a célra alkalmas feladatokat találh atunk többek

között a következ ı könyvekben: Berezanszkaja /1952/, Bizám - Herczeg

/1958/, Bukovszky /1953/, Fried /1955/, Gádorné /19 53/, Gratzer

/1959/, Kassákné /1953/, Korgyemszkij /19621/, Lige ti - Mosoni

/1954/, Lukácsné - Tarjánné /1958, 19ó0, 1963/, Pós áné /1950/. A

felsorolt könyvek egy része nemcsak a jobb tanulók számára való

szorgalmi, hanem az osztálymunkában használható fel adatokat is

tartalmaz.

Ha el akarjuk látni az osztályunkat ıket érdekl ı feladatokkal,

akkor ne csak a feladattárakban tallózzunk, hanem ú jságokban és

könyvekben is. A bennük található érdekesebb számad atokat írjuk ki

/újságból vágjuk ki/ és - könnyebb kezelhet ıség céljából -

tárgykörönként csoportosítva rendezzük dossziékban. A nyersanyag

maga sugallja a csoportosítás szempontjait. Nem baj , ha nem alkotnak

a címszavak valami tökéletes rendszert, az a f ı, hogy minél kevesebb

válogatással megtaláljuk a keresett adato-

________________ x A jobb tanulók er ısebb megterhelésével kapcsolatban lásd

Szuhomlinszkij tanulmányát a szemelvény-gy őjteményben, különösen a

451. és 453.oldalon mondottakat.

- 43 -

kat, amelyekb ıl azután mi magunk - kés ıbb egyre inkább a tanulók

bevonásával - feladatokat készítünk. Nem kell sok i nformáció

elméletet tudni ahhoz, hogy megértsük: az adattárba n való gyors

eligazodást el ısegíti az, ha az egyes csoportok vagy alcsoportok

nagysága közt nincsenek túlságosan nagy különbségek . Utaló szavak

segíthetnek abban, hogy ha egy adatot nem találunk valahol, még hol

kereshetjük. /A rendezés szempontjaiban ugyanis neh éz elkerülni a

fedéseket./

Példaképpen felsoroljuk egy ilyen házi adatgy őjtemény néhány

címszavát, zárójelben egy-egy oda tartozó adattal:

Biológia

a/ Ember /Egy feln ıtt embernek kb. 35 billió vörös vérsejtje

van; 1 mm 3 vérben 5 millió./

b/ Állat /A méhek 1 kg méz gy őjtéséhez 300 000 km-t repülnek

és 20 millió virágot látogatnak végig./

c/ Növény /A Föld legöregebb fái a szágo-fák; vanna k köztük

12000-15000 évesek is. A tölgy is elélhet 1000-2000 évig./

Csillagászat, őrhajózás

a/ Csillagok /A Szíriusz B csillag anyagának a s őr ősége a víz

sőr őségének 53 000-szerese./

b/ Naprendszer /A Nap-Föld távolság 147 és 152 mill ió

kilométer közt változik./

c/ Mesterséges égitestek /A 36 800 km magasságban a z Egyenlít ı

fölött körpályán kering ı mesterséges hold mindig a Föld ugyanazon

pontja fölött marad./

Fizika

a/ Mechanika és hangtan /A kalapácsvet ı a forgás miatt a

kalapács súlyát kb. 15-ször akkorának érzi, mint am ennyi valójában./

c/ H ıtan /A higany -39 o -on, a leveg ı -218 o körül fagy meg./

d/ Fénytan /Két 1 mm távolságban lev ı pontot kb. 3 m

távolságról tudunk még egymástól megkülönböztetni./

e/ Elektromosságtan /Egy átlagos villám energiája 5 000

kilowattóra; 1 Ft 80 f-rel számolva 9000 Ft-ért tud nánk

el ıállítani./

- 44 -

f/ Atomfizika /Egy lélegzetvétellel fél liter leveg ıt, vagyis

kb. 25 ezer trillió atomot szívunk be./

Földrajz, meteorológia /Az indiai Mawyhram község a Föld

legcsapadékosabb helye; egy évben 17 000 mm es ıt kap. A község

területe 6 hektár./

Furcsaságok /Újságközlemény: "A burgenlandi Mörbisch-ben

felfedezték Európa legnagyobb földalatti gyógyvízme dencéjét. A kb.

200 négyzetméternyi területen 13 milliárd köbméter keser ővíz van a

földben." Eszerint a medence mélysége 65 000 km, a Föld sugarának

több mint tízszerese volna./

Közlekedés

a/ Utak, hidak, alagutak /A világ leghosszabb alagú tja London

alatt van: a földalatti 28 és fél kilométer hosszús ágú észak-déli

vonala./

b/ Vasút, villamos /A budapesti fogaskerek őnek 37 000 foga

van. A pályája 3700 m hosszú./

c/ Autó /Az 570 km/óra sebességgel száguldó verseny autó

kerekén a gumiköpenyt saját súlyának a 6300-szorosa igyekszik

letépni a kerékr ıl./

d/ Hajó /A világ leghosszabb hajója a "France", hos sza 316 m.

A sebessége 31 csomó; egy csomó óránként 1852 m-t j elent./

e/ Repül ıgép /Blériot 1909-ben 35 perc alatt repülte át a 33

km-es La Manche csatornát./

Sebesség /Egy ausztráliai gépírón ı félórán át percenként átlag

675 bet őt ütött le. Eközben csak 4 hibát ejtett./

Sport /Az 500 m-es gyorskorcsolyázás világrekordja már 40 mp

alatt van: 1960-ban 39,6 mp volt./

A táblázatok és grafikonok különösen értékes elemei egy ilyen

adatgy őjteménynek. Csak egy példát mutatunk itt be. Az Éle t és

Tudományban 1959. július 12-én jelent még ez a közl emény:

- 45 -

„Gyıztes repül ı, legy ızött hajó

Az elmúlt évben el ıször történt meg, hogy Európa és az USA

között az Atlanti-óceánon több utas kelt át repül ıgépen, mint

hajóval. Ugyancsak most el ıször fordult el ı a második világháború

óta, hogy az utasok száma a hajókon kissé csökkent.

A Lloyd's cég kimutatása a következ ı adatokat tartalmazza:

A Lloyd's szerint a légiutasok számának gyors emelk edése az

új, mérsékelt tarifának köszönhet ı. /Sapere/"

Érdekes volna tudni, hogy alakultak ezek az adatok kés ıbb.

Err ıl bizonyos /ha nem is teljes/ információt ad az Est i Hírlap

1963. július 15.-i száma:

"Néhány adat a légiközlekedésr ıl: 1958 óta a légiutasok száma

113 százalékkal emelkedett. A 2400 kilométernél mes szebbre utazóknak

ma már 80 százaléka a légiutat választja.

Hogyan használhatjuk fel ezeket az újabb adatokat a régiek

kiegészítésére? Körülbelül mennyire tennénk ennek é s a fentebbi

adatoknak alapján azoknak a számát, akik 1962-ben v agy 1963-ban

hajón, és repül ıvel keltek át Európa és az Egyesült Államok között

az Atlanti-óceánon?

Nem kell ezekhez a számításokhoz pontos utasításoka t adnunk,

hiszen éppen az az érdekes, hogyan fogják meg a pro blémát a tanulók.

Leghelyesebb, ha az osztályban, velük együtt beszél jük meg a

követend ı utat, vagy annak egy részét. /Vö. 474.oldal, 2.532 ,

- 46 -

Év A hajóutasok száma A légiutasok száma

1948

1949

1950

1951

1952

1953

1954

1955

1956

1957

1958

637876

671334

695881

729977

837719

899461

942885

964232

1027878

1036923

958960

240472

266535

311545

329656

432272

506601

550000

652254

785259

1018784

1200000

nyitott problémahelyzet./ Az Esti Hírlap kiegészít ı adatainak a

felhasználására csak a 6. osztályban kerülhet sor - itt jelenik meg

az új tanterv szerint a százalék fogalma - de az er edeti adatokkal

már korábban is dolgozhatunk.

Fontos, hogy a tanulók a nagy számokról különféle s zámítások,

összehasonlítások útján világos fogalmat alkossanak . Nem mindegy,

hogy egy folyamat l millió vagy 1 milliárd másodper cig tart, bár

hangzásra nem nagy a különbség. Számoljon csak után a minden tanuló,

mit jelent az egyik, mit a másik!

Igen alapos tájékoztatást ad a szöveges számtani fe ladatok

tanításának módszertanáról Nyikityin /1950/. Leír s ok érdekes, a

tanításban jól használható típust. Általánosabban é s magasabb

szintén tárgyalja a problémamegoldás kérdését Pólya /1957/, Pólya

/1954/ és Pólya /1962/.

A következ ı szakaszban egy olyan feladattípusról, vagy inkább:

egymással összefügg ı feladattípusokról lesz szó, amelyeket a tanterv

a természetes számokkal kapcsolatban külön is említ .

A szöveges feladatok kérdésére még visszatérünk a " Törtszámok"

c. fejezetben.

Arányossági következtetések

Tantervünkben többször is találkozunk, különféle

összefüggésekben, a "következtetés" szóval. A követ keztetés a

hármasszabály jogutóda iskoláinkban; valójában arán yossági

következtetést jelent. Itt-ott még találkozunk a há rmasszabálynak

nevezett sémával is:

- 47 -

Egyenes arányosság esete

3 kg alma 18 Ft

4 kg alma x Ft

Fordított arányosság esete

percenként 3 km 18 perc

percenként 4 km x perc

X = 4*18 = 24

3

X = 3*18 = 13,5

4

Mi az, amit ebben hibáztatunk? Nem az adatok téglal apba rendezése,

hanem a speciális gépies szabály. Gépies szabályokr a szükség van,

fárasztó mindig mindent végiggondolni; egyenletmego ldáskor is gépies

szabályokkal pótoljuk a konkrét mennyiségekben és k onkrét

mőveletekben való gondolkozást. De a sokféle mechaniz mus, a sokféle

szabály is fárasztó lehet. A gépies szabály ártalma s, ha nem a

konkrét m őveletekb ıl n ı ki és nem marad kés ıbb is mindig felidézhet ı

szoros kapcsolatban a konkrét m őveletekkel. Ha sok a szabály, a

mechanizmus, akkor ez a veszély is nagyobb. Ezért j obb a gépies

szabályokig a szabványos formában, egyenlet formájá ban jutni el. /Az

aránypár is egyenlet; Vö. 113. old./

A következtetést a tanterv szerinti értelemben nem kötik

ilyen szabályok. Írásban célszer ő az adatokat áttekinthet ıség

kedvéért téglalapba rendezni, de az sem feltétlenül szükséges. A

szóbeli megfogalmazásnak is vannak bizonyos célszer ő formái: „Ha 3

kg alma ára 18 Ft, akkor 1 kg ára harmad annyi x, 6 Ft; 4 kg ára

négyszer annyi, 24 Ft". "Ha 3 km/perc sebességgel 1 8 perc alatt

lehet megtenni az utat, akkor harmad akkora, 1 km/p erc sebességgel

háromszor annyi id ıbe, 54 percbe telne az út megtétele, négyszer

ekkora, 4 km/perc sebességgel pedig negyedannyi id ıbe, 13,5

percbe”. xx

Ez a fogalmazás szinte rákényszeríti azt, aki kimon dja, hogy

gondolja végig, mir ıl van szó. Aki csak azt mondja: "osztom 3-mal",

"szorzom 4-gyel", az könnyebben téved. Persze a fog almazás sohasem

lehet garanciája az átgondolásnak a gyerek hibátlan

________________ x Igen elterjedt fogalmazás ehelyett a "háromszor ke vesebb",

"négyszer több" stb. Ez különféle okokból célszer őtlen. El ıször is

könnyebb összekeverni a "hárommal kevesebb", "néggy el több"

kifejezésekkel. Ez a faja tévesztés elég általános, örülnünk kell,

hogy van olyan nyelvi formánk, amely segít leküzden i. /Nem minden

nyelvnek van./ Amellett gondolnunk kell az ilyen es etekre is: " 2/3-

szor több". Csakugyan több? " 2/3-szor annyi" - ez itt is

helyénvaló. A " 2/3-ad annyi" viszont éppoly kevéss é ajánlható, mint

a "2/3-szor kevesebb". Itt már rákényszerülünk az a bsztraktabb

fogalmazásra: "osztva 2/3-dal" stb. xx Egyöntet őség kedvéért fogalmaztuk ezt is így; persze

egyszer őbb ilyenkor az utat számítani ki. Általában a fordí tott

arányossági következtetéseknek a legtermészetesebb módja a szorzaton

át való következtetés /Vö. 179.old./

- 48 -

fogalmazása nem egyszer csak annak a jele, hogy jó1 megfigyelte,

milyen beszédmódnak örül a tanár, és mit nem szeret , nem pedig

annak, hogy gondolkozik. Ezt a fogalmazást se enged jük formalizmussá

fajulni: van eset, amikor nem elégedhetünk meg vele , mögéje kell

néznünk, és van eset, amikor ilyen megfogalmazás né lkül is biztosak

lehetünk abban, hogy a tanuló érti, amit csinál.

Példáink abba a kategóriába tartoznak, amit a tante rv így

említ: "Következtetések többr ıl többre" / 484. és 485. oldal/;

megoldásuk els ı lépésében többr ıl egyre, a másodikban egyr ıl többre

következtettünk /484. oldal/. Van amikor nem l-en á t következtetünk

"többr ıl, többre", hanem más úton; például 35 kg áráról 28 kg árára

7 kg árán át stb. Konkrét mennyiségekre való hivatk ozás nélkül is

következtethetünk egy számból meghatározott törtrés zére, törtrészb ıl

a számra, törtrészb ıl törtrészes / 487. oldal/, példa az els ıre:

mennyi 80-nak a 3/4 része, 0,6 része, 15 %-a. Ezek a következtetési

formák vezetnek el az ún. százalékszámítási problém ákhoz / 77.old./

Mi magunk jó, ha elgondolkozunk azon, milyen felada ttípusok

adódhatnak el ı, a diákokat azonban, ne elnevezésekre és

kategorizálásra tanítsuk, hanem feladatmegoldásra. Veszélyes dolog

típusokat tanítani; a tanulók megszokják, hogy arra járjon rá az

eszük, milyen típus is ez, milyen kaptafára lehet r áhúzni, ahelyett,

hogy elképzelnék, mir ı1 van benne szó és az elképzelésükre

támaszkodva keresnék a megoldás módját. Ez nemcsak a következtetési

feladatok különféle típusaira vonatkozik, hanem egy éb

feladattípusokra is.

A következtetések tanítása nem az 5. osztályban kez dıdik, bár

a tanterv itt említi el ıször ezt a témakört, hanem a 2.-ban. A

szorzásra, illetve osztásra adott minden egyes tárg yi feladat

/szöveges feladat/ egyr ıl töbre, illetve többr ıl egyre való

következtetés, pontosan abban az értelemben, ahogy az 5. osztályos

tanterv említi. Amikor például kiszámítják, hányan ülnek hat padban,

ha minden padban ketten ölnek, akkor annak alapján következtetnek,

ha ezt nem mondják is ki, hogy hat padban hatszor a nnyian ülnek,

mint egy padban. Egységárról árra, s ıt sebességr ıl útra is

következtetnek már az alsóban, bár sebesség helyett csak óránként

stb. megtett útról beszélnek. A fordított /osztási/ feladatokkal is

foglalkoznak. Ne úgy kezdjük hát ezt a témakört,

- 49 -

mint valami újat, hanem puhatoljuk ki a tanulók edd igi ismereteit,

és olyan feladatokat adjunk, amelyek lekötik a figy elmüket,

el ıreviszik a gondolkozásukat. Védjük ıket az indokolatlan

általánosításoktól és a merev sablonok követését ıl olyan

feladatokkal, amelyekben nincs egyenes vagy a fordí tott arányosság,

vagy csak bizonyos korlátok között van. Beszéljük i s meg az ilyen

feladatok tanulságait. Van olyan árucikk, amelynek az árából nagyobb

mennyiség vásárlásakor árengedményt adnak; el ıfordul az ellenkez ı

eset is, például a villanyszámlával kapcsolatban; h a egy munkás egy

óra alatt végez el valamilyen munkát, lehet, hogy k ét munkás félóra

alatt végez vele, de nem valószín ő, hogy 36000 munkásnak 0,1 mp is

elég hozzá; stb. Alkalom nyílhat arra is, hogy megé rtessük velük:

ritka eset az, hogy valóságos mennyiségek közt csak ugyan arányosság

van, ezt többnyire csak feltételezzük az egyszer őség kedvéért.

Mindenképpen vessünk gátat annak, hogy a tanulókban az maradjon meg:

vagy n ı az egyik mennyiség növekedésekor a másik, vagy csö kken, az

el ıbbi esetben egyenes, az utóbbiban fordított arányos ság van

köztük. Beszélgessünk el velük egy-egy feladat kapc sán olyan

esetekr ıl is, amikor az egyik mennyiség növekedésekor felté tlenül n ı

a másik is, de általában nem ugyanannyiszorosára; v agy amikor az

egyiknek a növekedtével bizonyosan csökken a másik, de általában nem

annyiadrészére, ahányszorosára amaz; vagy amikor az egyik mennyiség

növekedésével n ıhet is, csökkenhet is a másik. Például a gyerek

egyre magasabb lesz, felnyújtott keze a mennyezethe z egyre közelebb

ér, ahogy az évek múlnak, de kétszerannyi id ıs korában nem

kétszerakkora és a keze sincs félannyira a mennyeze tt ıl; a testsúlya

pedig nem is mindig n ı, néha kicsit lefogy a gyerek. /Azt, hogy a

testmagasságban is vannak kisebb ingadozások, megem líteni sem

érdemes, testsúlycsökkenésr ıl - fogyásról - viszont mindnyájan

tudnak./ Így a szigorúan monoton függvényekre ismer nek meg példákat

anélkül, hogy a "függvény" szót kiejtenénk, és eset leg anélkül is,

hogy ábrázolásra sor kerülne. /A függvényekr ıl lásd a 152.-181.

oldalt./

- 50 -

Számelméleti ismeretek az általános iskolában

Mint említettük, a hatodik osztályban szerepelnek e l ıször

számelméleti ismeretek, /osztó, többszörös, oszthat ósági

tulajdonságok, összetett szám, prímszám/.

Ezekhez a fogalmakhoz és felismerésekhez is érdemes ebb éveken

át vezetni el a tanulókat, mint ismeretanyagként kö zölni velük az év

meghatározott hetein. Hiába van a közlésnek rávezet és-formája, a

gyerekek nagy része számára az is közlés, ami egyik -másik gyerek,

vagy akár részleteiben az egész osztály aktív közre mőködésével

került megfogalmazásra. Maga az is veszélyekkel jár , hogy ugyanazon

az órán, amikor a tapasztalatszerzés megindul, elju tnak a

megfogalmazáshoz. Gyakran több óra sem elég hozzá, hetek, /de

esetleg hónapok vagy évek!/ kellenek, amíg a tapasz talatok

megfogalmazásra éretté válnak. A megfogalmazás elsi etése verbális

ismeretekre vezethet a tanulók jelentékeny része sz empontjából. Ha

van b ıséges tapasztalati háttér, akkor ez a veszély kiseb b. A

tanulók egy része számára csupán azért eredményes a z olyan tanítás,

amely pl. a prímszámra vonatkozó els ı tapasztalatszerzést ıl 45 perc

alatt jut el a fogalomig, mert titokban már régen m agszerezték a

szükséges tapasztalatokat, a fogalom is érlel ıdött bennük, csak ki

kellett mondani.

Milyen tapasztalatokra van szükség konkrétan példáu l az

összetett szám és a prímszám fogalmának kialakításá hoz?

Egy lehet ıség az, hogy egybevágó kockákat /vagy négyzet alapú

egyenes hasábokat, négyzetlapocskákat/ rakosgatnak. Észreveszik,

hogy hét darabot csak egy sorban lehet úgy kirakni, hogy minden sor

egyenl ı legyen, hat vagy nyolc vagy kilenc darabot több so rban is.

Spontán játék közben is érlel ıdhetnek ilyenféle gondolatok, de

eredményesebben érlel ıdnek meg irányított játék közben, amikor a

tanulók feladatul kapják , hogy írják fel, hány lapocskát vettek ki,

és például karikázzák be a számot, ha csak "így" le het kirakni a

lapocskákat /a megfogalmazást pótolhatja, hogy a pe dagógus

megmutatja, mire gondol/, szögletesen kerítsék körü l, ha "így" is ki

lehet rakni. Próbálják ezt találomra kivett lapocsk ákkal, aztán

próbálják végig rendszeresen, pl. 20-tól 30-ig a sz ámokat. Egy

gyerek jelölje meg azokat a számokat, ahány lapocsk át kettesével is

és hármasával is ki lehet rakni, egy másik azokat, ahányat hatosával

lehet kirakni és hasonlítsák

- 51 -

össze a megjelölt számokat. Ugyanezt 2-vel és 4-gye l. Vegyék észre

/anélkül persze, hogy így megfogalmaznák/, hogy az el ıbbi esetben a

két halmaz egybeesik, az utóbbi esetben egyik része a másiknak. Így

nemcsak az összetett szám és prímszám fogalma alaku l ki, hanem az

oszthatóságra vonatkozó fontos összefüggések felism erésére is

eljutnak. Ez még nem jelenti azt, hogy megértették a felismert vagy

megsejtett összefüggéseket, de elindult egy folyama t, amely esetleg

évek múlva oda is elvezet.

Más módon is eljuthatnak hasonló tapasztalatokhoz, pl. a

Cuisenaire-rudak segítségével. Ezek 1 cm 2 -es négyzet

keresztmetszet ő 1, 2,..., 10 cm hosszú hasábok /a legkisebbek tehá t

kockák/, hosszúságuk szerint más-más szín őek. A 10-nél nagyobb

számokat több rúdból lehet összeállítani, pl. 28-at úgy, hogy két

tízest és egy nyolcast hosszában egymáshoz illesztü nk. Ki lehet-e

rakni egy számot rózsaszín őekb ıl /ezek a kettesek/, világoskékekb ıl

/ezek a hármasok/ stb? Így eljutnak a 2-vel, 3-mal ... osztható

számok fogalmához. Ki lehet-e rakni egyez ı szín őekb ıl? Fehérekb ıl

persze lehet /ezek az egyesek/ de színesekb ıl lehet-e? Amiket több

egyforma színesb ıl ki lehet rakni, azok az összetett számok, amiket

csak több fehérb ıl, azok a prímszámok. /Az 1-et még úgy sem lehet

több darabból kirakni, nem összetett, de nem is prí m./

Legjobb mindkétféle tapasztalatszerzést biztosítani , még jobb

másféle tapasztalatokról is gondoskodni, hogy a sze mléleti

esetlegességekt ıl el tudjon a gyerek vonatkoztatni. Eleinte talán a z

sem magától értet ıdı neki, hogy amit a lapocskákkal csinált, annak

köze van ahhoz, amire a színes rudak vezették el. A pedagógusnak

kell párhuzamos feladatok útján gondoskodnia arról, hogy eljusson

erre a felismerésre.

A tapasztalatszerzés ilyen módjai mellé fokozatosan

felzárkóznak a tapasztalatszerzés absztraktabb form ái is. Sok

hatodikos gyerek el ıtt a szám jele a papíron és a szám neve, amit

hall, elég élénken felidézi a. korábban szerzett ér zékszeri-mozgásos

tapasztalatokat /nem az esetleges részleteiket, han em olyasmit, ami

bennük közös/, hogy annak alapján is okoskodni tudj on. Ha felmerül a

kérdés, hogy a 6-tal és 4-gyel osztható számok bizt osan oszthatók-e

24-gyel, azt mondja: "Lássuk csak!" és megnézi konk rét számokkal.

Számjegyeket ír a papírra és mögéjük képzel még kon krétabb

mennyiségeket. De ha nincs elég élményanyaga vagy

- 52 -

újszer ő probléma elé kerül, akkor szüksége lehet arra, hog y a még

konkrétabbat is valóságosan lássa, lerajzolja, rako sgassa.

Hatodikban is szükség lehet tehát az említett /vagy másfajta/

eszközökre. Jobb, ha már "bels ı szemléletre" támaszkodhatunk, mint

ha még mindig küls ıhöz vagyunk kénytelenek folyamodni, de a küls ı is

jobb, mint a semmilyen. Azért jobb, mert lehet bel ıle bels ı, ez is a

célunk vele.

Logikai vonatkozások

A hatodik osztályban azonban már magasabb célokat i s

kit őzhetünk, mint a "bels ı szemlélet" továbbfejlesztését. Ebben az

életkorban már a logikai összefüggések is nyiladozn i kezdenek a

gyerekek el ıtt. Jó terület erre éppen a számelmélet. A gyerek

könnyen összetéveszti az olyan megállapításokat, ho gy "Ha egy szám

osztható 3-mal, akkor jegyeinek összege is osztható 3-mal" és: "Ha

egy szám jegyeinek összege osztható 3-mal, akkor ma ga a szám is

osztható 3-mal". /Feln ıttekkel is megesik ez./ Példánkban azért

nehéz az állításnak és megfordításnak megkülönbözte tése, mert mind a

kett ı igaz, az állítás megfordítható. x

Az elemi számelmélet b ıven ad azonban példákat meg nem

fordítható állításokra is. Úgy értjük: olyan állítá sokra, amelyeknek

formálisan lehet képezni a megfordítását, de az nem igaz, pedig az

eredeti állítás igaz. Példa: "Ha egy szám osztható 6-tal, akkor

osztható 3-mal". Nem elég számpéldán megcáfolni a f ormális

megfordítást, mélyebb betekintést kell adnunk abba, amir ıl itt szó

van: a halmazelmélet nyelvén szólva a részhalmaz re lációról, a

matematikai logika nyelvén szólva formális impli-

________________ x Az állítások megfordítása pontosan és egyértelm ően definiált

fogalom, mihelyt adott alakú állításra vonatkoztatjuk. Egy P Q

alakú megfordításán a megfelel ı Q P alakú állítást, egy x(P/x/

Q/x) alakú állítás megfordításán a megfelel ı x (Q/x/ P/x/)

alakú állítást értjük. Egy A /B C/ alakú állítá s megfordítása /B

C/ A, a vele ekvivalens B /A C/ alakú állítás megfordítása

azonban az el ıbbi megfordítással általában nem ekvivalens /A C/ B

alakú állítás. /Lásd még a következ ı lábjegyzetet./

- 53 -

kációról x. Alig van ennél fontosabb és egyszer őbb fogalom a

matematikában. Megvilágításához nincs szükség sem a halmazelmélet,

sem a matematikai logika nyelvére, a szemléltet ı rajzok nyelvén is

érthet ıvé lehet tenni, mir ıl van szó. /Lásd az ábrát./

Az adott esetben a rajz helyes, mert nemcsak az iga z, hogy ha

egy szám osztható 6-tel, akkor osztható 3-mal, hane m az is igaz,

hogy viszont van olyan szám, amely 3-mal osztható, 6-tal azonban

nem. Ha elhárítottuk azt a félreértést, mintha x (P /x/ Q/x/)

esetében feltétlenül igaz lenne, hogy x(P/x/ Q/x/), azt a

félreértést is el kell hárítanunk, mintha nem lehet ne igaz . A

formális implikáció tehát a halmazelmélet nyelvén k ifejezve azt

mondja, hogy egy halmaz része egy másiknak, de nem azt, hogy

feltétlenül valódi része . Ezt azonban megint nem a halmazelmélet és

nem a matematikai logika nyelvén tehetjük érthet ıvé a hatodikos

gyerek el ıtt, hanem a rajzok nyelvén. Tegyük fel például, hog y egy

tanár következ ı állítása nem üres fenyeget ızés: "Ha valaki nem tudja

az oszthatósági tulajdonságokat, megbuktatom matema tikából". Akkor

két eset lehetséges:

________________ x x(P/x/ Q/x/)-et szokás néha formális implikáción ak

nevezni, szemben a P Q materiális implikációval . /Egyik elnevezés

sem nevezhet ı sikerültnek. /A formális implikáció azt fejezi ki: x

mindazon értékeire, amelyekre az x-t ıl függ ı P/k/ állítás /vagyis a

P/x/, logikai függvény/ teljesül, Q /x/ is teljesül . Vagyis x azon

értékeinek halmaza, amelyekre P/x/ teljesül, részha lmaza x azon

értékei halmazának, amelyekre Q/x/ teljesül. Tehát minden formális

implikáció azt fejezi ki, hogy egy halmaz részhalma za egy másiknak.

Nyilvánvaló, hogy fordítva is minden részhalmaz-kap csolatot

jellemezhetünk egy formális implikációval, hiszen b ármely halmaznak

megfeleltethetjük azt a logikai függvényt, amely a halmaz elemein

teljesül, másutt nem.

- 54 -

P/x/: x osztható

6-tal

Q/x/: x osztható

3-mal .

P-vel, illetve Q-

val itt azt a

halmazt jelöltük,

amelynek az

elemeire a P/x/,

illetve Q/x/

állítás teljesül.

/N az ábrán azoknak a diákoknak a halmaza, akik nem tudják az

oszthatósági tulajdonságokat, M azoké, akik megbukn ak matematikából.

Persze mindkét esetben egy adott univerzumon belül, az illet ı

osztály tanulói közül./

Az els ı eset akkor következik be, ha a tanár csak olyant

buktat, aki nem tudja az oszthatósági tulajdonságok at, a második

eset akkor, ha mást is. /Ha az üres halmaz fellépté t külön

számítjuk, akkor további esetek lehetségesek. Ezzel azonban egyel ıre

nem érdemes a kérdést bonyolítani./

A matematikán kívüli példa itt két szempontból is f ontos.

Egyrészt megérteti a diákokkal, hogy a logikai össz efüggések nemcsak

a matematikára vonatkoznak, általánosabb jelleg őek. Másrészt

érthet ıbbé teszi a két eset alternatíváját. Matematikai ál lítások

esetében többnyire eleve tudjuk, hogy az egyik vagy a másik eset

valósul meg; nehéz volna a hatodikosok számára érth et ı példát adni a

matematikában olyan implikációra, amely egyik esete t sem zárja ki.

További számelméleti ismeretek

A legnagyobb közös osztó fogalma az új tanterv megj elenéséig a

törtek egyszer ősítéséhez kapcsolódott /a törteket a számlálójuk és

nevez ıjük legnagyobb közös osztójával egyszer ősíthetjük/, a

legkisebb közös többszörösé a törtek közös nevez ıre hozásához /a

legkisebb közös nevez ı a nevez ık legkisebb közös többszöröse/. a

ln.k.o. és lk.k.t. meghatározása pedig a prímtényez ıs felbontás

útján történt. Bármilyen szépen kapcsolódnak ezek a fogalmak a

törtek tanításához /ha törtön két természetes szám hányadosát

értjük!/.

- 55 -

nélkülözhet ık. Az egyszer ősítést ugyanis a gyakorlatban amúgy is

szívesebben végezzük több lépésben, és nem ln.k.o. meghatározása

útján. Közös nevez ınek pedig választhatjuk a nevez ık szorzatát, ha a

mőveleteket el ıször csak kijelöljük, akkor sorozatos

egyszer ősítéssel így is ugyanarra az eredményre jutunk, s a

számolási munkánk sem lesz több. Gyakorlati szempon tból ezek után a

prímtényez ıkre bontás tanítása sem feltétlenül indokolt. Ha az onban

csak a gyakorlati, alkalmazhatósági szempontot nézn énk a

matematikában /idevéve a matematikán belüli alkalma zhatóságot is/,

és elhagynánk minden olyan tárgykört, aminek a szer eplése ebb ıl a

szempontból nem feltétlenül indokolt, akkor végül e gy

összefüggéstelen, a matematikát hamis fényben feltü ntet ı, gyakorlati

szempontból sem használható tantervhez jutnánk. Van egy nehezen

lefordítható orosz szó arra, hogy mihez járulnak ho zzá ezek a témák,

alkalmazhatóságuktól függetlenül: az "igyejnoszty"- hoz. Elvi

szempontból fontosak. Mélyebb betekintést kap által uk a tanuló a

matematikába, s ennek közvetve gyakorlati jelent ısége is van. A

prímtényez ıs felbontáson keresztül az összetett számok szerkez etébe

tud mélyebben betekinteni a diák. Az 576 számnak ez az alakja nem

sokat árul el a szám szerkezetéb ıl. Tízesével csoportosítva 6 marad

ki, a kapott tízeseket ismét tízesével csoportosítv a 7 tízes marad

ki és 5 csoportot kapunk -ezt fejezi ki. Ilyen alak ban könny ő

megállapítani, hogy két természetes szám közül mely ik a nagyobb,

összeadásra és kivonásra is igen alkalmas a termész etes számoknak ez

az alakja, magasabb m őveletekre kevésbé. Ha azonban prímtényez ıs

alakra hozzuk a számot: 2 6 . 3 2, mintha röntgennel világítanánk át és

a csontrendszerét látnánk. Leolvasható err ıl az alakról, hogy a

szám négyzetszám /mert minden prímtényez ıje páros kitev ıvel

szerepel/, és a négyzetgyöke 2 3. 3 . Viszont nem köbszám /mert az

egyik kitev ı nem osztható 3-mal/. Osztható az 1, 2, 2 2, ..., 2 6, 3, 2

. 3, ..., 2 6. 3, 3 2, ..., 2 6. 3 2 számokkal. Ha 2 . 3 2-nel osztom, a

hányados 2 5 lesz. 2 2. 3 4. 5 is osztható 2 . 3 2-hel. Mindkett ı

osztható 2 2. 3 2-nel is, ez a legnagyobb közös osztójuk. Mindkett ınek

többszöröse például 2 7. 3 4. 5 2, de 2 6. 3 4. 5 2 és 2 6. 3 4. 5 is. Ez az

utóbbi a legkisebb a közös többszörösök közül.

- 56 -

A prímtényez ıs alakkal végzett m őveleteknek ritkán vesszük

gyakorlati hasznát; bár aki ezeken a konkrét numeri kus példákon

megtanul hatványmennyiségekkel bánni, annak a polin omokkal sem lesz

annyi nehézsége. Nem a gyakorlati, hanem az elmélet i fontosságuk

nagy. Ez sem lebecsülend ı érték.

- 57 -

3. TÖRTSZÁMOK

Helyzetkép

Az általános iskolák 5., 6. és 7. osztályában a mat ematikára

fordított id ınek kb. a felét veszik el a különféle alakú

törtszámokkal való m őveletek és alkalmazásaik. Az eredmény nincs

arányban ezzel a rengeteg ráfordított id ıvel. A 8. osztályban és a

középiskolákban folytatott felmérések, de a tanárok mindennapos

tapasztalatai is azt mutatják, hogy a törtszámokkal , különösen a

közönséges törtekkel való m őveletek tanításának hatásfoka igen

alacsony. A leggyengébbek az eredmények az alkalmaz ások, a

feladatmegoldás terén, de maga a számolástechnika, a törtekkel való

mőveletvégzés is igen alacsony színvonalon áll. 1958- ban és 1959-ben

végzett felmérések szerint például x a 8. osztályos tanulóknak csak

kb. 30 %-a tudja megoldani ezt a feladatot: "Melyik szám nagyobb,

2/3 vagy 3/4? Mennyivel nagyobb egyik a másiknál?" /Négy budapesti

és nyolc vidéki iskolában folyt a felmérés. A helye s megoldások

százalékaránya az egyes iskolákban, nagyság szerint rendezve: 78 ,

62, 48, 43, 40, 28 , 26 , 11, 10, 7, 4 , 0 százalék. Az aláhúzások a

budapesti iskolák eredményeit jelzik./ A ráfordítot t több száz

munkaórát tekintetbe véve ez az eredmény /és a felm érésb ıl kiderül ı

többi eredmény is/ enyhén szólva sovány. Más ország okban, pl.

Franciaországban végzett felmérések sem mutatnak so kkal jobb képet.

Valamennyire rávilágít a probléma gyökerére az, hog y olyan feladatok

megoldásában is igen alacsony

________________ x Kiss Árpád: Iskolás tanulóink tudásszintjének vizs gálata,

Pedagógiai Szemle 1960. évi 3. szám.

- 58 -

A helyes magoldások százalékaránya, mint pl. 2 : . A hibás

eredmények között nagy számban fordul el ı a 2 és az . Aki ilyen

feleletet ad, az nyilván nem látja maga el ıtt a 2 egészet, amelyb ıl

el kell venni a negyedeket és az a kérdés, hogy ez hányszor sikerül.

Nem látja a sokféle konkrét élményb ıl absztrahált számot , csak a

jelét. Próbálja felidézni emlékezetében a jelekre v onatkozó sok

mőveleti szabály közül azt, amely az adott esetre rái llik, de rossz

szabályt alkalmaz vagy rosszul alkalmazza, és nincs támpontja, amely

a helyes útra rávezetné.

Nem olyan jelleg ő hibák ezek, amelyeken a "további gyakorlás"

gyakran javasolt módszerével segíteni lehetne. A mú lt században,

mint Mikszáth meséli, élelmes keresked ık palackban hozták forgalomba

az Ischl-1 leveg ıt, amelynek - mondták - csodatev ı hatása van a

gyenge tüdej őekre, ha éjszakánként egy palackot kinyitnak bel ıle a

szobájukban. Nem mutatkozik a hatás? Meg kell kétsz erezni az adagot!

A meg nem értett szabályok gyakorlásának ehhez haso nló a

"gyógyhatása". Akárhányszor duplázzuk is az adagot, a várt hatás

elmarad. Más gyógymód kell ide. A legfontosabb talá n a hosszú

el ıkészít ı id ı, a modelleken, rajzokon való tényleges m őveletvégzés,

s az, hogy ne 45 percbe /vagy néhányszor 45 percbe/ próbáljuk

beletervezni azt az absztrakciós folyamatot, amely a szabályhoz

elvezet, s amely annyiféleképpen folyik le, ahány g yerek van az

osztályban, hanem teremtsük meg annak a feltételeit , hogy lehet ıleg

mindenki végigjárhassa ezt az utat a maga módján és a maga

tempójában. Miel ıtt néhány konkrét részletbe belemennénk, lássuk,

hogy illenek be más számfajták közé a törtszámok.

A valós számok osztályozása. Alakjukban különböz ı számok

A középiskolában ma a valós számkörig jutunk el; az

irracionális számokról azonban csak felületes képet adunk. A valós

számok egy lehetséges osztályozását a következ ı séma mutatja:

- 59 -

1 4 1

2

A pontozva körülkerekített /a rajzon: pontozva aláh úzott/

számfajták szerepelnek az alsó tagozatban és az 5. osztály elején.

Az 5. , 6. , 7. osztályban megismert számfajtákat s zaggatott

bekerítés /aláhúzás/ tünteti fel.

Ezen a rajzon persze éppúgy nincs helye a közönsége s

törteknek, tizedes törteknek, vegyes számoknak, min t ahogy a

százalékoknak sincs. Ezek ugyanis, mint már szó vol t róla, írásmódok

bizonyos fajta számokra. Legfeljebb azt lehetne meg kérdezni, hogy

azok a számok hol helyezhet ık el az ábrán, amelyeknek van ilyen vagy

olyan, pl. véges tizedes tört alakjuk; 57/64-nek pé ldául van, 54/67-

nek nincs. Nyilvánvaló, hogy a kérdés érdektelen. A fenti séma

maguknak a számoknak /a számok értékének/ az osztál yozása, nem a

jeleiké /alakjuké/.

Vannak esetek, amikor inkább a szám értéke érdekel minket. Egy

egész számnak és egy törtszámnak az összege és a kü lönbsége pl.

mindig törtszám az alakjuktól függetlenül. Ha egy p ozitív számot 1-

nél nagyobb számmal szorzunk, n ı, ha l-nél kisebbel szorozzuk,

csökken. x

________________ x A "valódi tört", "áltört" iskolás elnevezésekre ni ncs

szükség. Az új tantervben nem is szerepelnek.

- 60 -

valós számok

racionális számok

egész számok törtszámok

irracionális számok

negatív

egész

számok

pozitív

egész 0

számok

negatív

irracionáli

s számok pozitív

tört-

számok

negatív

tört-

számok

Szemléletesebb a rajz: 0

poz.eg.sz. neg.eg.sz.

poz.törtsz. neg.törtsz.

poz.irr.sz. neg.irr.sz.

valós

számok

racionális

számok

irracionális számok

egész számok

törtszámok

Ennek a megkülönböztetésnek például volna helye a r ajzon, ha

nem is tüntettük fel.

Más esetekben viszont éppen nem az érték a fontos, hanem az

alak. A m őveleti szabályok mind alakra, számjelekre vonatkozn ak. A

véges tizedes törtek ismert szorzási szabálya példá ul nem

alkalmazható a . szorzásra, tehát értelme tlen dolog volna

itt a tényez ıket a nevez ıjük alapján tizedes törteknek nevezni. Ezek

a számok tizedes tört alakban írhatók /akárcsak 57/64, még ha

könnyebben is/, de csak akkor "lesz bel ılük" tizedestört, ha így is

írjuk ıket. Csak idéz ıjelben "lesz bel ılük", hiszen a tizedes tört

alak csak olyan, mint egy ruha. Ha más ruhát veszek fel, azért nem

leszek mássá. Ezt kell jól megértetni a gyerekekkel .

Törtszám, t ırt, hányados

A . szorzásra a "számlálót számlálóva l, nevez ı

nevez ıvel" szabály érvényes. Milyen más számokra érvényes ez a

szabály? Bizonyos alakú törtszámokra? Nemcsak azokr a. . -ra

is alkalmazható /mindkét tényez ı egész szám, . -re is /mindkét

tényez ı irracionális szám/. Az olyan általánosítások, mint pl.

"közönséges törtet közönséges törttel úgy szorzunk ..." vagy

röviden: "törtet törttel úgy szorzunk...", el ıször a törtszámok

körében kerülnek megfogalmazásra, de ett ıl eltekintve nem sok közük

van a törtszám fogalmához. A "közönséges tört" vagy "tört" szó itt

nem törtszámot jelent, hanem egyszer ően hányadost . Kevesebb zavar

volna ekörül, ha így is mondanánk: "hányadost hánya dossal úgy

szorzunk ..." /helyesebben: "... szorozhatunk úgy.. ."/. és ezt az

általánosítást párhuzamba állítanánk a többi hasonl óval, mint pl.

összeg hozzáadása valamihez /asszociativitás/, az ö sszeg szorzása

/disztributivitás/, különbség levonása stb. Ott sem teszünk éles

különbséget aszerint, hogy a m őveletekben szerepl ı számok és a

mőveletek eredménye milyen számok, itt sem érdemes.

Persze a törtjelölés mögött gyakran ott van egy más ik szemlélet is

/valahány valahányadrész/, s ıt gyakran éppen az a hasznosabb /p1.

összeadásban, kivonásban/, de a hányados-szemléletn ek

- 61 -

27 100

37 1000

9 3

27 100

37 1000

111 3

π 2

π 4

mindig ott kell lennie. még 5 negyedet is jelent, 3-nak a

negyedét is, de már nem nagyon jelent π darab negyedet, csak π -

nek a negyedét, és az algebrai törteket is hányados oknak értjük. Ha

megmaradunk is a "törtet törttel..." fogalmazás mel lett, tudnunk

kell, hogy itt a "tört" szó a "tört szám„-nak csupá n homonimája

/arra hasonlít/, de a "hányados" szónak szinonimája /azt jelenti/.

A tört kétféle értelmezése. Részekre osztás, bennfo glalás

Ha a törtjel végül is inkább hányadost jelent, akko r jobb, ha

el ıször is azt jelenti, ha kezdett ıl fogva ez a szemlélet dominál.

Ebbıl nem következik az, hogy mondjunk le a "valahány

valahányadrész" szemléletér ıl! De írjuk a 3 darab negyedrészt

el ıször így: 3 negyed, a törtjel pedig jelentsen osztá sjelet, akár a

ferde, akár a vízszintes formájában. Példáu1 ezt a feladatot: "Ha 20

szem cukron négyen osztoznak, mindegyiknek öt jut" így

jegyezhetjük le röviden: 20/4 = 5 vagy: = 5. / A ferde

törtvonalat a tudományos könyvekben is használják, a mindennapi

életben is./ Egyszer aztán valamelyik osztályban - lehet az alsó

tagozati osztály is - felvet ıdik egy olyan osztási probléma,

amelynek az eredménye nem egész szám. Az exisztenci a problémát a

gyerekek persze nem értenék; számukra egyszer ően tapasztalati tény,

hogy az ilyen osztási feladatokat is meg lehet olda ni, legalábbis

bizonyos mennyiségekkel kapcsolatban. Persze nem mi ndig! Emberek,

rajzszögek, villanyég ık stb. szétosztásában a tört eredménnyel nem

tudnak mit kezdeni, három almán azonban el tudnak o sztozni négyen.

Mennyi jut egynek? Valóságos almákon vagy papírból kivágott körökön

meggyızıdnek arról, hogy 3 negyed. /Lehet, hogy úgy mondják : egy fél

és egy negyed. Nem árt, ha az almák különböz ıek, akkor igazságosabb

az osztozkodás úgy, hogy mindegyik almát negyedelik ./ Sok ilyen

feladat kell ahhoz, célszer ően halmozva, hogy mindenki rájöjjön egy

érdekes szabályosságra:

3/4 = 3 negyed

2/3 = 2 harmad stb.

- 62 -

20 4

π 4

3 4

Itt 3/4 és 2/3 még mindig osztást jelent. De jelenti az osztás

eredményét is. 7 + 4 sem csak utasítást jelent /"adjunk 7-hez 4-

et"/, hanem jelent egy számot, ennek az összeadásna k az eredményét

is. Jól meg lehet ezt érteni /nem magyarázni!/ záró jeles példákon: 8

+ /7 + 4/-ben nem utasítást adunk 8 hoz, hanem szám ot. Akkor pedig,

ha a megfigyelt szabályosságban bízhatunk, a 3 negy edet 3/4-nek is

írhatjuk, és ugyanígy más "valahányadrészek" esetéb en. Ez azonban

nem egy óra anyaga! Hosszú út vezet idáig. Ennek az útnak fontos

szakasza annak a felismerése, hogy csakugyan bízhat unk a megfigyelt

szabályosságban. Van, aki túl könnyen bízik, van, a kiben nagyobb az

igény arra, hogy lássa, miért kell így lennie. Ezt az igényt

lassanként mindenkiben ki kell alakítanunk. Aki pl. papírcsíkok

szétvágása közben megértette, hogy 5 papírcsíkot eg ymásra téve

célszer ő négy egyenl ı részre vágni, s akkor 5-nek mindegyik

negyedrésze 5 negyedrész

9. ábra

lesz, és ez 6 ,7 negyedrészre, nyolcadrészre stb. u gyanígy igaz - az

felismerte, hogy min múlik a megfigyelt szabályszer őség. Az ilyen

felismerések a matematikai bizonyítások els ı csirái.

Érdemes-e egyáltalán a törtjelen kívül másféle oszt ásjelet

használni? A törtjel az osztásjelnek egyetlen nemze tközileg

elfogadott formája. Az angolszász országokban pl. n em ismerik a

kett ıspontot osztásjel értelemben, részben a ÷ , részben a jelet

használják helyette. Egyetlen más m őveleti jelnek sincs ennyi

változata. A megkülönböztet ı jelölésnek /pl. törtvonal és

kett ıspont/ mégis lehetne valami haszna. Ki lehetne feje zni vele

eleinte a részekre osztás és a bennfoglaló osztás k özti különbséget.

A törtvonal jelentené a részekre osztást - a fentie k alap-

- 63 -

ján ez nyilvánvaló - a kett ıspont pedig a bennfoglaló osztás

/röviden: bennfoglalás/ jele 1enne. Szemléletesen p éldául 8/4 ezt

jelentené:

8 : 4 pedig ezt:

Két egészen különböz ı probléma ez a gyereknek. Ha különböz ıképpen

jelöljük, alkalmat adunk neki megint egy felfedezés re: arra, hogy

ennek a két számára különböz ı mőveletnek a számszer ő eredménye

mindig ugyanaz. Például

Ez eleinte megint csupán megfigyelés, fokozatosan v ilágosodik

meg a miért-je /a szorzás kommutativitásán át/. Mih elyt megértették,

nincs értelme tovább fenntartani a megkülönböztet ı jelölést; az

egyik /vagy akár mindkett ı/ használható mindkét féle értelemben.

Egybeolvad a két jelentés. A bennfoglalás és részek re osztás

jelölésbeli megkülönböztetése, amíg a két fogalom s zintéziseként ki

nem alakul az osztás fogalma, nem új gondolat, sokf elé alkalmazzák.

A németek pl. így írják eleinte a bennfoglalást: "4 in 8" vagyis "8-

ban a 4".

Hasonló probléma ez, mint a mínuszjelnek a kivonásj elt ıl való

megkülönböztetése, amíg a kett ı közti kapcsolat ki nem derül:

Egyszer őbb elkenni a kérdést, és az egyforma jelölésen kere sztül

csempészni be a kett ı közti kapcsolatot, de nem biztos, hogy megéri

ez az egyszer őség a felismerés elmaradását. A problémák rokon

voltából nem következik, hogy a megoldás feltétlenü l közös, hiszen

az életkor és más tényez ık is közrejátszanak. Ezt a kérdést, éppúgy,

mint sok mást, csak tapasztalatok, kísérletek dönth etik el. A mi

esetünkben a kérdés az, hogy el ınyös-e megkülönböztet ı jelöléssel

szétválasztani az osztásnak ezt a két szemléletileg különböz ı

típusát.

- 64 -

8 –nak a negyede 2

8 –ban a 4 megvan 2 - szer

8/4 = 2 és ugyanúgy 8 : 4 = 2

12/3 = 4 és ugyanúgy 12 : 3 = 4.

Arány

Itt kell megemlíteni, hogy a "hányados" és "tört" s zónak

további szinonimái is vannak, amelyeknek más és más a stílusértéke

/ahogy pl. kutya és eb ugyanazt jelenti, mégsem mon dhatjuk sem azt a

hogy "köti a kutyát a karóhoz", sem azt, hogy "egyé b"/. A

legfontosabb az arány .

Ábránkon például a fehér és a

fekete négyzetek számának az aránya

3 a 2-höz, vagy másképp 6 a 4-hez

stb., a fehér négyzetek arányszáma

az összes négyzethez képest 3 az 5-

höz, vagy 6 a 10-hez, s ıt úgy is

mondhatjuk, hogy 60 a 100-hoz. Az

arányt többféleképpen jelölhetjük:

60 : 100, 60/100, , 60%.

Rengeteg id ı megy el az iskoláinkban a különféle elnevezések,

jelölések közötti kapcsolatok tisztázására, rögzíté sére, és talán

még több megy el lényegében azonos gondolatoknak eg ymástól független

felvetésére és tárgyalására. A bürokráciához lehetn e hasonlítani ezt

a káros burjánzást; ez csak egy példa rá, sok más i s akad. Nem volna

jó elmosni a valóságos fogalmi és szemléleti különb ségeket

valamiféle elnevezés- és jelölésbeli uniformizáláss al. De ki kell

alakítanunk a különböz ı aspektusokon át az ıket összekapcsoló

fogalmakat. Az arány, éppúgy, mint a /közönséges/ tört, lényegében

hányados . Amikor ilyen kérdést teszünk fel: "Hányszorannyi pálcika

van az egyik kezemben, mint a másikban?", aránnyal kapcsolatos

kérdést tettünk fel; ilyen kérdések már a 2. osztál yban felmerülnek.

Ábránkkal kapcsolatban is mondhattuk volna azt, hog y másfélszerannyi

fehér négyzet látható rajta, mint fekete. Mint a pé ldák mutatják, a

részekre osztás és bennfoglaló osztás közül az utób bihoz van

közelebb az arányba állítás" /ha éppen külön nevet akarunk mondani

rá/; ha mindenáron osztályozni akarnánk, azt mondha tnánk, hogy nem

harmadik eset, hanem a bennfoglalás alesete vagy el ágazása.

Eleinte mindenesetre csak egynem ő mennyiségeket állíthatunk

irányba egymással; például azt mondjuk, hogy az el ıször és a

másodszor megtett út aránya megegyezik az eltelt id ık arányával, pl.

6 km: 15 km = 20 perc: 50 perc.

- 65 -

60 100

10. ábra

Id ıvel azonban a m őveletek különféle aspektusai. /elvétel,

pótlás, különbség keresése; részekre osztás, bennfo glalás, arány

keresése stb./ egyre inkább egybeolvadnak a gyereke k gondolkozá-

sában. Egybef őzi ıket az, hogy ugyanarra a számértékre vezetnek, bár

a hozzájuk tapadó szemléleti tartalom különböz ı. Azt lehet mondani,

hogy ekkor már csak számértékekkel végzünk m őveleteket, és a

mőveleti eredményt vonatkoztatjuk megint a valóságra. Nincs értelme

például annak a kérdésnek, hogy 6 km hányszorannyi, mint 20 perc, 6

és 20 arányának /= hányadosának/ azonban van értelm e, és ez az arány

megadja az 1 perc alatt megtett kilométerek számát. Kés ıbb, amikor

nem vezet félreértésre, mégis bevezethetünk egy mér tékegységekkel

végzett formális kalkulust x, amelyben 5 m-nek és 6 m-nek a szorzata

30 m 2, 6 km-nek és 20 percnek a hányadosa /vagy amit ekk or már

szinonimaként mondunk: aránya/ 0,3 km/perc stb. Min denesetre

egyeztessük össze a fizika tanárával, hogy mikor ve zetjük el a

tanulókat erre a fokra; a túl korai id ıpontnak veszélyei vannak.

Fontos szempont az arány és más rokon fogalmak taní tásában,

hogy az összetartozó kérdések ne szakadjanak szét. Ne jelentsen

külön ismeretanyagot az, hogy ha az osztandót és az oszt ót /pl.

51000 : 300/, a számlálót és a nevez ıt, az arány el ı- és utó- tagját

ugyanazzal a /0-tól különböz ı/ számmal szorozzuk vagy osztjuk, akkor

a hányados , a tört , az arány értéke nem változik. Márpedig ezek

elkerülhetetlenül külön ismeretanyaggá válnak, ha a z említett

fogalmak külön-külön lépnek fel, ha például "a tört

________________ x A "formális" szó legalább háromféle értelemben has ználatos.

A pedagógiában - f ıként a régebbi pedagógiai irodalomban, a formális

képzést a materiális képzéssel szokták szembeállíta ni; a formális

képzés formálja a gondolkozást, a materiális képzés matériával,

tudásanyaggal látja el. Van a szónak egy pejoratív /rosszalló/

értelme is. Pl. "formális tudás" /Vö. formalista, f ormalizmus/. Itt

azonban egy harmadik, a matematikában gyakran haszn ált, nem

pejoratív értelemben szerepel a szó. A formális kalkulus, a formális

szabályok mentesítenek valaminek a minduntalan való végig

gondolásától. Matematika enélkül elképzelhetetlen. Amit már értünk -

törtek szorzását, polinomok differenciálását stb. - ,azt igyekszünk

formális szabályokkal kifejezni és kordában tartani , mert ez

lehet ıvé teszi, hogy a gondolkozásunk más irányban váljon aktívvá.

Aki bizonyos formális szabályokhoz a konkrét helyze t átgondolása

útján jutott el és aki mindig fel is tudja idézni m ögöttük a konkrét

helyzetet, annak a tudása ezekre a szabályokra vona tkozóan nem

formális.

- 66 -

mint hányados" fogalma. csak valamikor a hetedik os ztályban

tisztázódik, s az egyszer ősítésnek és b ıvítésnek mindaddig semmi

köze sincs az egész számok hányadosára tanult megfe lel ı

átalakításhoz.

Törtek b ıvítése, egyszer ősítése, összeadása, kivonása

A törtek tanításában mutatkozó nehézségek legf ıbb oka

valószín őleg az, hogy hiányzik a kell ı tapasztalati alap. Hogyan

tanulja például a legtöbb gyerek a törtek b ıvítését? Mutatnak neki

egy ilyen rajzot /10/a. ábra/. Hall róla valami tor táról szóló

történetet. Elmagyarázzák neki,

hogy a két tört ugyanakkora, pedig

a másodiknak a számlálója is, a

nevez ıje is kétszerakkora, mint az

els ınek. Lát, vagy esetleg rajzol

is még néhány példát, ahol 2-szeres

helyett 3- vagy 4-szeresére n ı a

számláló és a nevez ı. Ezekb ıl a

tapasztalatokból lesz őrik a

szabályt: "A tört értéke nem

változik, ha a számlálóját és a

nevez ıjét ugyanazzal a számmal

szorozzuk". Ugyanazokról a rajzokról fordított sorr endben leolvassák

az egyszer ősítés szabályát is. A szabályok megvannak, de érett

fogalmak nélkül! Sok papírkört kell szétvagdosniuk vagy kiszínezniük

a gyerekeknek /persze lesz köztük, aki már kevésb ıl is absztrahál/,

felfedezéseket tenniük, újból és újból ellen ırizniük felfedezéseik

helyességét, amíg csakugyan megérnek a fogalmak és a legvégén ki

lehet mondani a szabályokat is. Ha erre "ne, jut id ı", akkor majd

elmegy sokszorannyi id ı a meg nem értett szabályok állandó

gyakorlására, s az még mindig nem fogja pótolni az egyszer

valóságosan megszerzett tapasztalatot. Id ı persze a fogalom

kialakításához is kell, és gyakorlásra a fogalom ki alakítása után is

szükség van - alkalmazások formájában. Nem csupán a ténylegesen

ráfordított id ı számít itt, hanem az érési id ı is. Félr ıl,

negyedr ıl, háromnegyedr ıl sokat hall a 6-8 éves gyerek is. Énekórán

is szüksége van erre, hogy az id ıtartam megjelölésekr ıl legyen

fogalma. Énektanárok megteszik, hogy papírkört vágn ak

- 67 -

3 4

6 8

10/a. ábra

szét, hogy valamennyire pótolják azt, amit a számta nban kellene a

gyerekekkel tisztázni. Más országokban a harmadik, második, van ahol

már az els ı osztályban elkezdik a legegyszer őbb törtekkel való

foglalkozást /eleinte persze jelölés nélkül/, nálun k ma ez a tanterv

szerint csak az ötödik osztályban kezd ıdik el. Némelyik gyerekben az

innen-onnan, otthon, énekórákon stb. összeszedett t apasztalatok

eléggé megérlelik a fogalmat, megteremtik az alapot az ötödikben

kezd ıdı munkához. A fels ı tagozaton tanító pedagógus azonban nem

hagyatkozhat erre a spontán fejl ıdésre, nem bízhat abban, amire

néhány gyerek alkalomszer ően eljutott, pótolnia kell a többiekkel is

azt, ami már alsó tagozaton id ıszer ő lett volna.

Alma, torta, kuglóf vagy egyszer ően körlap - ezek az elképzelt

vagy valóságos tárgyak a törtek tanításában az egys ég legkedveltebb

modelljei. Egy gyerek meg is, jegyezte: "Észrevette m, hogy a

törteknél a kör az 1." Kezdetnek nem is rossz model lek ezek, hiszen

az egyszer őbb törtrészek alakja sugallja, hogy milyen törtrészek,

nem kell ıket viszonyítani egy önkényesen megállapított egysé ghez.

Fontos azonban az is, hogy a gyerekek megtanuljanak viszonyítani.

Négyzet, téglalap /lehet csokoládétábla is/, papírs zalag, spárga

lehetnek a következ ı modellek; az egység kapcsolódhat a

mértékrendszerünkhöz /pl. l dm, 1 dm 2/, lehet attól független,

gyakran változhat is, csak tudják mindig a gyerekek , hogy éppen mi

az egység. Vágják, vagy hajtogatás alapján tépjék k i, színezzék ki a

megfelel ı törtrészt, írják fel a rajzban feltüntetett törtré szt,

győjtsenek sok tapasztalatot, egyszer ősítésre, b ıvítésre

vonatkozókat is, de a szóbeli megfogalmazással ne s iessünk. A

kivágott idomok helyét egyre inkább rajzok veszik á t, a rajzokban

egyre inkább a szakaszokkal, számegyenesen való sze mléltetés

dominál, de amikor szükségét látjuk, visszatérünk a z el ızı

megjelenítési módhoz. Egyre több olyan feladat szer epeljen, ahol

jelekkel vannak felírva a törtek, de eleinte álljon rendelkezésükre

valamilyen modell, amin ellen ırizhetik, "jól gondolták-e". Akinél az

interiorizálás befejez ıdött, annak már erre sincs szüksége. Az ilyen

gyerek többnyire maga mond le a konkréthoz való vis szatérésr ıl.

Mivel a tanár nem tudja harminc-negyven gyerekr ıl külön-külön

eldönteni, ki hol tart, fontos is, hogy kialakuljon bennük a

judicium, szükségük van-e még pl. a számegyenesen v aló ellen ırzésre,

vagy anélkül is

- 68 -

biztosak a dolgukban. Némelyik gyerekben túl kicsi vagy túl nagy az

önbizalom, a tanárnak ekkor persze közbe kell lépni e.

A számegyenes több szempontból is hasznos. El ıkészíti a

koordinátarendszer használatát, meggyökerezteti azt a fontos

gondolatot, hogy nemcsak területhez vagy hosszúságh oz, hanem

pontokhoz is rendelhetünk számokat. Megkönnyíti az utat a negatív

szám fogalmának kialakítása felé: akár a számegyene s pontjainak,

akár a számegyenes mentén való adott irányú elmozdu lásoknak

/vektoroknak/ feleltetnünk meg számokat, természete s módon vet ıdik

fel a kérdés, hogy az egyenes másik felének vagy az ellenkez ı irányú

elmozdulásoknak nem lehetne-e számokat feleltetni m eg. Alkalmasabb

az 1-nél nagyobb tört számok szemléltetésére, mint a körrel,

síkidommal vagy /számegyenest ıl függetlenül/ szakasz hosszával való

ábrázolás. Végül: igen alkalmas arra, hogy a törtsz ámok különféle

írásmódjait, többek között a különböz ı nevez ıj ő törteket egyszerre

vizsgáljuk a számegyenes megfelel ı pontjai alatt vagy fölött; pl.

egyik sorban a kettedek, alatta a harmadok, a hatod ok, a

tizenkettedek stb.

Amikor az egyszer ősítésben, b ıvítésben, kis nevez ıj ő

közönséges törtek összeadásában és kivonásában elég sok

tapasztalatot szereztek, akkor kerülhet sok arra, h ogy a közben

végzett eljárásokat ık maguk, a tanár vezetésével, általánosan is

megfogalmazzák, esetleg bet őkkel is felírják.

A számegyenes segítségével különböz ı nevez ıj ő törtek

összeadását és kivonását is megtanulják elvégezni, legalábbis kis

nevez ıkkel. Nem baj, ha eleinte találékonyság dolga, mily en szám a

legalkalmasabb közös nevez ınek. Ha a nevez ık nagyobbak /vagy nem is

nagyok, de relatív prímek, pl. 6 és 7/, akkor a raj z már nem sokat

segít. Rá kell vezetnünk ıket arra, amit kis nevez ıkkel

tapasztalhattak is, hogy a nevez ık szorzata mindig alkalmas közös

nevez ınek. Viszont sok felesleges munkát takaríthatnak me g, ha a

szorzásokat nem végzik el, csak kijelölik és ebben a formában

egyszer ősítenek. A kés ıbbiek szempontjából is fontos megszokniuk,

hogy a m őveletek elvégzését általában jobb a legvégére halas ztani,

mert kiderülhet, hogy egyszer őbben is megy, mint ha gépiesen

számolnának a megadott sorrendben.

Egy példa:

- 69 -

Nem kellett hozzá sem lk.k.t., sem ln.k.o. és nem s zámoltunk mégsem feleslegesen nagy számokkal. Mindenesetre tu dni kellett hozzá, hogy pl. ha szorzatot osztunk, csak egy tény ezıjét szabad osztani, de összegnek minden tényez ıjét külön el kell osztani. Jó, ha ez magától értet ıdı készségként alakul ki már a numerikus számolás kapcsán. Ha csak egyenletek megoldásakor t isztázódik, amikor nagyrészt "bet őkkel számolunk", akkor sokkal nagyobb a veszély, hogy értelem nélküli formális szabály lesz bel ıle.

Azért is el ınyös, hogy /egyszer ő speciális esetekt ıl

eltekintve/ a nevez ık szorzatát alkalmazzák közös nevez ınek, mert

így az utólagos egyszer ősítést ıl eltekintve pontosan "definíció

szerint" végzik az összeadást. Az el ıbbi példában a részletes leírás

miatt ez nem nagyon látszik. Ott az "egyszerre csak egyet lépj"

elvét alkalmaztuk, amely a tudatosítás szempontjábó l nagyon fontos,

és csak olyan mértékben érdemes eltérni t ıle, amilyen mértékben a

tanulók - nemcsak a jótanulók - maguk is kívánják. Id ıvel azonban

erre is sor kerül, és akkor például egyszerre meg l ehet tenni ezt a

lépést:

ami után persze következik az egyszer ősítés. Ilyen átalakításokra

gyakran sor kerül. Minden ilyen esetben az

azonosságnak egy numerikus példájával ismerkednek m eg a tanulók.

Késıbb /jóval kés ıbb/ ezzel az azonossággal fejezik ki a racionális

számok összeadásának a definícióját azok, akik odái g eljutnak.

- 70 -

7 + 5 = 7 . 24 + 5 . 60 = 7 . 24 + 5 . 60 = 7 . 6 + 5 . 15 =

60 24 60 . 24 60 . 24 60 . 24 60 . 6

= 7 . 2 + 5 . 5 = 39 = 13 .

60 . 2 120 40

7 + 5 = 7 . 24 + 5 . 60 ,

60 24 60 . 24

a + b = an + bm

m n mn

Törtek szorzása és osztása

Törtek összeadása és kivonása közben a valahány

valahányadrész" szemlélete van el ıtérben. Persze fontos, hogy a

gyerekek ne feledkezzenek el arról sem, hogy a tört hányados. Arról,

hogy 2/7 + 3/7 = 5/7, legkönnyebben úgy gy ızıdnek meg, hogy

elképzelik egymás mellett a 2 hetedet és a 3 hetede t, de jó, ha

eljutnak ide a hányados-szemléletb ıl kiindulva is /ha 2-nek is, 3-

nak is a hetedét veszem, az együtt annyi, mint ha 5 -nek veszem a

hetedét, ami lényegében a disztributivitás gondolat a/.

A szorzás és az osztás tanításakor el ıtérbe lép ez az utóbbi

aspektus. Jó hasznát vehetjük itt annak, amit a gye rekek a

"változásokról" tanultak a természetes számokkal ka pcsolatban.

Nézzük például hogyan, lehet eljutni a törtek szorz ásához a szorzat

változásai alapján. Az ott tanultak egyszer ő alkalmazásáról persze

itt nem lehet szó, inkább extrapolálásról beszélhet ünk. A tudományos

kutatásnak azonban ez is hatalmas eszköze: ami adot t körülmények

között alkalmazható, azt megpróbáljuk más körülmény ek közé is

átvinni. A matematika kész rendszerében ilyesminek nincs helye, mi

azonban nem kész rendszert akarunk adni, hanem felf edez ı utakra

vezetni az ifjúságot. Ilyen értelemben helyénvaló a következ ı

feladatsorozat:

Próbáljátok kitölteni az üres helyeket:

Az 1. tényez ı A 2. tényez ı A szorzat

harmadára.... nem változott .... .......

csökkent..... ................. .......

............. ................. .......

............. ................. .......

............. ................. .......

............. ................. .......

............. ................. .......

............. ................. .......

............. ................. .......

A gyerek analógia útján gondolkozik és felfedezi, h ogyan

"kell" törtet törttel szorozni. Nem bizonyít és nem definiál,

felfedez. Még nagyon halvány fogalma van, ha egyált alán van vala-

- 71 -

21 . 10 = 210

7 . 10 =

7 . 5 =

. 5 =

. = 7

3

7

3

5

2

milyen fogalma arról, hogy mi a definíció /bármilye n szavakkal írjuk

is körül/, ugyanúgy arról is, hogy mi a bizonyítás. Hogyan kívánjuk,

hogy különbséget tudjon tenni köztük? A tanár persz e tudhatja, hogy

itt konkrét példák kapcsán felvázoltuk egy bizonyít ást x arra, hogyan

kell törtek /hányadosok/ szorzását definiálnunk, ha azt akarjuk,

hogy a szorzat változásainak a természetes számok k örében érvényes

tulajdonságai érvényben maradjanak akkor is, ha a t ényez ık nem egész

számok. Ez azonban a legtöbb 12 éves gyereknek kína iul volna,

bármilyen szelíden próbálnánk fogalmazni!

Miután azonban megtették a felfedezést, elkezdhetjü k velük

együtt vizsgálni, elemezni, hogy tulajdonképpen mit is fedeztek fel.

Enélkül az egész csak jelekkel való játék maradna. Megbeszélhetjük

például velük, hogy . 5 azt jelenti: -nak az ö tszöröse, vagyis

és ez csakugyan /remélhet ıleg a feladatsorokban

is erre jutottak/. De mit jelent a -nek az -sze rese? Odáig

könnyen eljutnak a gyerekek, hogy az -szeres ké t és félszerest

jelent. A továbbiakban azonban kétféle típusú el ıkészítést kívánnak.

Egyrészt könnyebb számokon jó tisztázni, mit jelent a két és

félszeres. Aki két és félszer ússza le egy 50 méter es uszoda

hosszát, az 125 métert úszik. A barátja, aki csak k étszer úszta

végig az uszodát, 25 méterrel kevesebbet úszott. A "két és

félszeres" a mindennapi szóhasználatból ismert foga lom. "Félszeres"-

r ıl nem szoktunk beszélni, de az analógia alapján kön nyő rávezetni a

gyereket arra, hogy a félszeres uszodahossz az uszo da hosszának a

felét jelenti. Az analógia mögött a disztributivitá s rejlik: ahogyan

a 12-szeres 10-szeres meg 2-szeres, úgy a 2 -sze res 2-szeres meg

-szeres.

Másrészt 7/3 felének a kiszámítására is célszer ő el ıkészít ı

feladatokat adni / 1/2-nek, 1/4-nek, 3/4-nek, 1/3-n ak, 2/3-nak a

fele/.

________________ x Bizonyítást vázoltunk fel, mert bár konkrét számok

szerepelnek mindenütt, semmi sem múlik azon, hogy m ilyen számokat

választottunk /csak 0-val való osztás ne szerepelje n/. Csak

felvázoltuk a bizonyítást, mert hiányzik az összekö t ı szöveg, a

feladatsorozat csupán sejteti, hogy mir ıl van szó.

- 72 -

7 3

7 3

7 + 7 + 7 + 7 + 7

3 3 3 3 3

35 3

5 2

7 3

5 2

1 2 1

2

Több más úton is el lehet jutni a törttel való szor zás

fogalmához és technikájához. Olyan utat vázoltunk, amely nem élezi

ki a konfliktust, ti. azt, hogy a régi értelmezés n em alkalmazható,

inkább természetessé próbálja tenni a törttel való szorzás

gondolatát. Fiatalabb korban, amikor még a gyerekek nincsenek

tisztában azzal, mi az, hogy értelmezés /definíció/ , talán ez a

járhatóbb út. Kés ıbb sor kerülhet annak tisztázására is, hogy

célszer ő megállapodásról van szó. Semmiképpen sem szabad az onban a

gyerekekre ráer ıltetni t ılük idegen logikai szempontokat. Az el ıbb

vázolt felépítésben szokatlan és talán visszatetsz ı is lehet, hogy

el ıbb fedeztetünk fel egy technikát, aztán tisztázzuk annak

értelmét. Ez a sorrend nem mindig a legcélszer őbb, de nem is

feltétlen elvetend ı.

A szám felének és félszeresének azonosítása egy pél da volt a

törtrész kiszámításának és a törttel való szorzásna k az

azonosítására. Adhatunk erre további példákat is. E gy ilyen példa

lehet ez: "Béla 200 méterre lakik az iskolától, Jul i kétszerannyira,

András háromszorannyira, Marci két és félszer, Dezs ı két és egy

negyedszer, Eszti két és háromnegyedszer olyan mess ze lakik, mint

Béla, mind ugyanabban az irányban. Próbáljátok lera jzolni és

megmondani, milyen messze laknak az iskolától és eg ymástól".

Segíthetik a gyerekeket a törtek szorzásának megért ésében az

ilyen rajzok is /11. ábra/.

- 73 -

Nem a rajz puszta szemlélése vagy a tanári magyaráz at

hallgatása azonban az, ami el ıreviszi ıket - ezt nem lehet eléggé

hangsúlyozni - hanem az, ha van valami tennivalójuk vele

kapcsolatban, ha feladat elé állítjuk ıket. Lehet az például egy

feladatlap kitöltése, amely az el ıbbi ábrán kívül például ilyenféle

szöveget tartalmaz:

12. ábra

Az OA téglalap egyik oldala ..... hosszegység, mási k oldala .....

hosszegység, a területe ..... területegység.

Az OB téglalap oldalai ..... hosszegység és ..... h osszegység.

..... pici téglalapból áll, mindegyiknek a területe ....

területegység. Az OB téglalap területe ..... terüle tegység. Figyeld

meg a területet és az oldalakat kifejez ı számokat! Látsz valami

összefüggést? Írd ide, mit látsz

a/ a számlálók közt................................ ...............

b/ a nevez ık közt............................................. ....

Mivel magyarázod ezt? .............................. ..........

A törttel való osztás irányába is elindíthatunk has onló

felfedez ıutakat, például a "változások" vizsgálatán át, abbó l

kiindulva, hogy egy szorzat ismeretlen tényez ıjét keressük, a

törtrészr ıl az egészre való visszakövetkeztetésen keresztül. Itt is,

mint a szorzás esetében van olyan út, hogy el ıbb jutnak el a tanulók

bizonyos szabályosság felismeréséhez megnevezés nél küli számokkal,

azután vizsgálják, hogyan kapcsolódnak ezek a valós ághoz. Van

azonban olyan út is, és sok szempontból ez az el ınyösebb, amelyen

konkrét mennyiségekb ıl, tárgyi feladatokból indulnak ki a tanulók.

Közönséges törtek esetében ezt az utat az nehezíti meg, hogy nem

könny ő olyan feladatokat találni, amelyek valószer őek, er ıltetettség

nélküliek. Hasznát vehetjük ebben a nem decimális m értékeknek. A

törtek tanításától függetlenül is hasznos, ha nemcs ak azt tudják a

tanulók, hogy 1 perc = 60 má-

- 74 -

terület-

egység

hossz-

egység

sodperc, hanem olyan formában is megjegyzik az össz efüggést, hogy 1

másodperc = perc stb. Külföldi, mértékekkel is megismerkedhetnek

ezzel kapcsolatban /pl. 1 hüvelyk = láb, 1 lá b = yard/, és

annak sincs akadálya, hogy képzeletbeli, önkényes, például "Mars-

beli" egységeket vezessenek be, amelyek arányszámár a és elnevezésére

maguk tehetnek javaslatot. Természetesen a decimáli s mértékek

arányát is kifejezhetjük közönséges tört alakban, c sak ez nem ad

elég alkalmat a változatosságra. Célszer ő ilyen esetben mindjárt az

egyszer őbb és szokottabb tizedesjelölést is használni a köz önséges

tört alakkal párhuzamosan, hogy a köztük lev ı kapcsolat minél inkább

rögz ıdjön a tanulókban.

A "változások" gondolatát a mértékekkel kapcsolatba n gyakran

úgy alkalmazzuk, hogy nem magukat a mennyiségeket v áltoztatjuk,

hanem az egységeket, amelyekben mérjük ıket. Például egy 1,1 m

hosszú és 0,71 m széles téglalap területét kiszámít hatják

természetes számokkal úgy, hogy mindent centiméterb en és

négyzetcentiméterben fejeznek ki, s aztán átírják a számítást

közönséges és tizedestört alakra:

Külön szempontok a tizedes tört írásmóddal kapcsola tban

A tizedes tört írásmód egyrészt egyszer ősít ı jelölés az olyan

közönséges törtekre, amelyeknek a nevez ıje 10, 100, 1000 stb.,

másrészt a decimális /tízes számrendszerben való/ í rásmód

kiterjesztése az egyesek helyiértéken túl, jobbfelé . A 123,45

tizedestört például az els ı szemszögb ıl nézve rövidebb

írásmódja, a másikból nézve viszont 1 százas, 2 tíz es, 3 egyes, 4

tized és 5 század összegének tömör leírása. Fontos, hogy a tanulók

mindkett ıt lássák benne, mert egyszer az egyik, máskor a

- 75 -

Hosszúság Szélesség Terület

1,1 m 0,71 m . . . m 2

11 m

10

. . . m

. . .

. . . m 2

. . . cm . . . cm . . . cm 2

1 12

1 60

1 3

12345 100

másik személetnek veszik inkább hasznát. Végtelen t izedestörteknek

csak az utóbbi szemlélet alapján van értelmük; ekko r a véges

összegb ıl végtelen összeg, vagy ahogy általában nevezzük, v égtelen

sor lesz. Az utóbbi szemléletet jól alátámasztja a decimális

mértékrendszer ismerete. Tudniuk kell például, hogy 4,765 m azt

jelenti: 4 m 7 dm 6 cm 5 mm, vagy másképpen m, vagyis 4765

ezred méter, vagyis 4765 milli méter. Hasznos az ilyen írásmódok

egymás mellé állítása:

Példák alapján felismerik, anélkül, hogy ebb ıl szabályt csinálnának,

hogy ha az utóbbi esetben valamelyik számjegy után tizedesvessz ıt

írnak, ezzel az afölé írt egységben fejezik ki a me nnyiséget. A

tizedes tört írásmódnak és a decimális mértékeknek ez a kapcsolata

mindkett ınek a tanítása szempontjából el ınyös. Könnyebben megjegyzik

a gyerekek például a hossz-és súlymértékek váltószá mait, ha minden

harmadikat emeljük ki mint csomópontot - a számjegy ek hármas

tagolásának megfelel ıen - és a többit ezek közé iktatják, ezekhez

viszonyítják. A csomópontok: km, m, mm és tovább µ, m µ; ugyanígy:

t, kg, g, mg. Példa a kapcsolat másik irányú értéke sítésére: a

tizedestört eredmény ő osztást könnyebben megértik, ha nem elvont

formában váltják a megmaradó egységet tizedekre, a tizedeket

századokra stb., hanem egy fokkal konkrétabb szemlé lethez kapcsolják

az algoritmust és a megmaradó forintokat váltják ké pzeletben

tízfilléresekre, vagy a métereket deciméterekre stb . A végtelen

tizedestörtekkel kapcsolatban is erre a szemléletre van szükség,

hogy a jelek mögött tartalmat lássanak. A gyerek in nen-onnan felszed

valamit a végtelenr ıl, "ahogy a párhuzamosok találkoznak" és "ami

minden más számnál nagyobb", s ha hallja azt, hogy "végtelen

tizedestört" és tapasztalja pl. a 10:3 osztásban a tizedesjegyek

sz őnni nem akaró egymásutánját, akkor esetleg ezt is o dasorolja

képzeletében az el ıbbiek mellé. Itt is, mint annyi más esetben, a

számnak és jelének összekeverés okozza a z őrzavart: a végtelen

tizedestörtek jele végtelen, de ık

- 76 -

4765 1000

maguk végesek. A 10:3 hányadost képzeltessük el pél dául méterben

kifejezve: 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 tizedmilliméter és így tovább; így

könnyebben megértik, hogy 3-nál nagyobb, de 4-nél k isebb számról van

szó. A képzeletbeli végtelen méréssorozatok gondola ta segíti majd

ıket az irracionális és a valós szám fogalmának megé rtésében is.

Százalékok

Ahelyett, hogy "17 század" néha azt mondjuk "17 szá zalék". Egy

szám 17 százaléka azt jelenti, a szám 17 századrész e. Aki tudja,

hogy egy számnak a 17 százaléka, vagyis 17 századré sze a szám 0,17-

szorosa, annak nem okoz nehézséget és semmi esetre sem jelent

"kétm őveletes feladatot" a százalékszámítás els ı alapfeladata, a

százalékérték kiszámítása. Aki tudja, hogy egy x sz ám 17

századrészéb ı1 /0,17-szorosából/ úgy számíthatjuk ki magát a szá mot,

hogy elosztjuk az x -et 0,17-dal, annak a százalékszámítás második

alapfeladata sem okoz súlyos problémát. Végül aki t udja, hogy

bármely számról úgy számíthatjuk ki, hányszorosa eg y másiknak, hogy

elosztjuk vele, akár például 5-öt kell osztani 2-ve l, akár 2-t 5-

tel, és ha századrészben fejezzük ki az eredményt, megtudjuk, hány

százaléka az els ı szám a másiknak, az már a harmadik alapfeladat

megoldásával is tisztában van. Miért volna szükség ezeknek a

feladattípusoknak a tanításához hónapokra a törtek megtanítása után

is? Miért okoz még ezek után is annyi nehézséget a

"százalékszámítás"? Bragyisz /1951, 188-189.oldal/ Hincsint idézi:

"Ahelyett, hogy mindjárt kezdetben világosan megmon danánk, hogy a

százalékos feladatok csupán speciális esetei a tört es feladatoknak,

és így nincs és nem is lehet semmiféle különleges

"százalékszámítás", hanem bármely törtekre vonatkoz ó feladatot

felírhatunk százalékos alakban és megfordítva - a k érdésnek ilyen

világos beállítása helyett bizonyos százalék-kultus zt teremtenek

nálunk, egész külön építik ki a százalék fogalmát, külön elméletet,

és külön feladat-kategóriákat teremtenek, egyszóval minden lehet ıt

megtesznek, hogy a tanuló elképzelésében a százalék valami új,

idegen és nehéz fogalommá n ıjjön, amelynek vizsgálatához különleges

eljárásokra, különleges módszerekre van szükség. Ez ek után persze

általános a tapasztalat, hogy a ta-

- 77 -

nulók a százalékos feladatok megoldását rosszul tan ulják meg." Az

új általános iskolai tanterv felveszi a harcot ez e llen a

„százalék-kultusz" ellen. Megsz őnik a különálló százalékszámítási

fejezet. Az új tanterv szerint, amikor a diákok - a 6. osztályban -

egy mennyiségb ıl meghatározott törtrészére vagy a törtrészb ıl az

egész mennyiségre következtetnek, akkor a közönsége s és a tizedes

törttel meghatározott törtrész után ugyanerre a szá zalékjelölést is

alkalmazzák. Amikor viszont már megszokták, hogy pé ldául egy szám

0,39 részét úgy lehet kiszámítani, hogy a számot me gszorozzák a

0,39-dal, a számot a 0,39 részéb ıl 0,39-dal való osztás útján

kaphatják meg, akkor már egy szám 39 %-ának vagy 39 %-ából a számnak

a kiszámítását sem két lépésben végzik, hanem egyet len szorzással

vagy osztással, hiszen ezek pontosan azt jelentik, mint az el ıbbiek.

Ez a helyes tantervi elgondolás jó lehet ıséget ad a most

általánosnál egészségesebb tanítási gyakorlat kiala kítására a

százalékos feladatok megoldásában.

A százalékos feladatok megoldásában a törtek hiányo s

megértésén túl újabb nehézségek forrása a különlege s szóhasználat.

Az, hogy századrész helyett százalékot mondunk, még nem okoz nagy

zavart. Sokkal inkább az, hogy összeadás és kivonás nyelvét

beszéljük, amikor pedig szorzásról és osztásról van szó,

pontosabban: szorzás és osztás segítségével egyszer őbben fejezhet ı

ki, amir ıl szó van. Azt mondjuk például: valamilyen cikk ter melése

az egyik évben 20 %-kal, a következ ı évben 30 %-kal n ıtt. Ez a

szóhasználat mint magától értet ıdı tényt sugallja azt, hogy

együttvéve 50 %-kal n ıtt a termelés. Nem elég egy olyan magyarázat,

hogy a 30 %-os emelkedés más alapszámra vonatkozik, mint a 20 %-os.

Ebbıl esetleg csak annyi marad meg bennük, hogy a

százalékszámításban másképp adunk össze, mint ahogy a józan ész

alapján várnánk. Jobb, ha lefordíttatjuk velük az i lyenféle

feladatokat a szorzás, illetve az osztás nyelvére. Az, hogy 20 %-kal

3 n ıtt, azt jelenti; az eredetinek 120 %-a, vagyis 1,2- szerese lett.

Ha 30 %-kal n ıtt, akkor 130 %-a, 1,3-szerese lett annak, ami volt .

/Persze érteniük kell mindig, hogy mi minek ennyi s zázaléka,

ennyiszerese!/ Ha 15 %-kal csökkent, akkor a 100 %- ból 85 % lett, az

eredetinek 0,85-szorosa. /A formális analógiák kere sése itt

megzavarhatja a gyerekeket, azt hihetik, hogy ha az adott százalékos

növekedés szorzással fejezhet ı ki, akkor az adott százalékos

csökkenést viszont osztással lehet kifejezni./

- 78 -

Ha 63 %-os növekedés után 7867 tonnát exportálunk v alamib ıl, akkor

ez az el ızı évi export 163 %-a, 1,63-szorosa, vagyis az el ızı évi

export 7867/1,63 tonna. Ha 63 %-os csökkenés után 2 ,2 millió forint

érték ő a termelés, akkor ez az el ızı évi termelés 37 %-a, 0,37-

szorosa, tehát az el ızı évi termelés 2,2/0,37 millió forint. Meg

kell szokniuk a tanulóknak ezt a célszer őbb nyelvre való

lefordítást, hogy a homály eloszoljon.

Hogy manapság mekkora a homály, arra jellemz ı a következ ı

eset. Húsz matematika-fizika szakos tanárjelöltnek a következ ı

típusú feladatot kellett megoldania /egy részüknek egy kicsit más

számadatokkal/: "Egy árucikkb ıl 1960-ban 28 %-kal többet termeltünk,

mint 1957-ben, pedig a termelés 1959-ben és 1960-ba n is a megel ızı

évinél húsz-húsz százalékkal kevesebb volt. Hány sz ázalékkal

emelkedett a termelés 1957-t ıl 1958-ig?" Négyük szerint a harmadik

évben 68 %-os volt a növekedés /mert 68 - 20 -20 = - 28/, kett ı nem

fejezte be, egy elhibázta. A tizenhárom megoldó köz ül hárman

oldották meg annak alapján; hogy a 20 %-os csökkené s 0,8-del való

szorzást jelent, /0,8 . 0,8 . x = 128, x = 200, a n övekedés 100%/, a

többi bonyolultabban okoskodott. Az egyik például a következ ıket

írta:

( x + . x - . 20) . ( 1 - ) =

= x . ( 1 + ) . ( 1 - )(1 - )=

= x /1 + / . = x /1 + /

1 + = 1,28 .

x = 100 . /1,28 . – 1/ =

= 100 . /1,28 . 1,56 – 1/=

100 . /2,0 - 1/ = 100 %

- 79 -

x

100

x + . x

100

20

100

x

100

x

100

x

100

20

100

20

100

x

100

16

100

28

100

25

16

25

16

Néhány további problémára, amely százalékos feladat okkal

kapcsolatban fel szokott merülni, a következ ı óraleírásban található

felelet.

Százalékos feladatok ismétlése

Az órát négy-öt perces szóbeli számolás vezette be, igen

egyszer ő, a fogalmakat felelevenít ı feladatokkal, amilyenek például

ezek:

Fejezd ki 8 %-ot tizedestört alakban! Közönséges tö rt alakban!

Mennyi 200-nak az 50 %-a? Mit jelent bármely szám 5 0 %-a? stb.

Aztán felírták a táblára és a füzetükbe címnek:

Százalékszámítás ismétlése

El ıször ezt a feladatot diktálta a tanár /a táblára ı maga

írta/: 670 Ft-om volt. Elköltöttem 38 %-át. Mikor i deért, megállt a

diktálásban és megkérdezte:

- Mit gondoltok, mi lesz a kérdés?

= Mennyi maradt.

Elfogadták ezt kérdésnek, fel is írták. Az egyik gy erek jelentkezett

és ezt mondta:

= Pénzünk 62 %-a maradt meg.

- Honnan tudja ezt E.? /Megmondta valaki: az egész l00 % stb./

- Hogy számítjuk ki a 670 Ft-nak a 62 %-át. írjuk f el: 670 Ft

62 %-a?

= A 670-et szorzom 0,62-dal.

- Írjuk fel ezt is:

670 . 0 , 62 .

- Miért, hát mit jelent 670-et 0,62-dal szorozni?

= 62 századrészét venni. Ez ugyanaz, mint 62 százal ékát venni.

Százalék azt jelenti, századrész.

- Hogy számíthatom ki másképpen egy szám 62 századr észét,

vagyis 62 százalékát?

= Veszem 1 századrészét és szorzom 62-vel.

- Melyik módon számítanátok ki ezt most szívesebben ?

= Inkább egy m ővelettel. Szorozzuk meg mindjárt 0,62-dal.

- 80 -

- Hát tessék, végezzétek el a szorzást! /A táblánál most is ı

ír, a részletszorzatokat és a végeredményt más-más felszólított

gyerekek diktálják a helyükr ıl./

- Mi ez a 415,40 ?

= Forint. Ennyi forintunk maradt, amikor elköltöttü k a 670 Ft-

nak a 38 %-át.

- Hogy oldhattuk volna meg másféleképpen ezt a fela datot?

= Kiszámíthattuk volna 670 Ft-nak a 38 %-át és azt kivontunk

volna bel ıle.

A százalékérték kiszámítására még néhány szóbeli fe ladatot ad

/pl. hogyan számítjuk ki egy szám 130 %-át? 1000 %- át/, aztán új

feladatot diktál:

- Egy bizonyos rádió árát 28 %-kal csökkentették. M ost 900 Ft-

ba kerül. Mennyibe került az árcsökkentés el ıtt? Írjuk fel röviden.

/Így írják fel:/

Rádió ára

28 %-kal csökk.

Most 900 Ft.

Mennyi volt?

- Próbáljuk ábrázolni! /Ezt a rajzot készítik:/

- Így most már egyszer őbb a

feladatunk. Írjuk fel röviden ezt

az egyszer őbb feladatot! /Egy

gyerek diktálására írják./

? Ft 72 %-a 900 Ft.

- Ismételd el az eddigi gondolatmenetet, B! /Egy gy engébb

gyerekhez. Kis segítséggel elismétli. Gyakran szólí t olyant is, aki

nem jelentkezik; ez is olyan volt./

- Most tehát az a kérdés, hogy mekkora összegnek a 72 %-a 900

Ft. Hogy mondanátok ezt másképpen?

= Minek a 0,72-szorosa 900 Ft.

- És ezt hogy számítjuk ki?

= Elosztjuk a 900-at 0,72-dal.

- Hát végezzük el! /Stafétaszer ően mondják a

részleteredményeket a helyükön ülve. Aztán a tanár megkérdezi, hogy

lehetett volna ezt még kiszámítani. Megbeszélik az 1 %-on való

kiszámítási módot is./

- 81 -

13. ábra

- Írjátok: 35 km b ıl 23 km-t tettem meg. Mit lehetne kérdezni?

= Hány km van még hátra?

- Százalékszámítási feladatot lehetne-e csinálni be l ıle?

= 35 km-nek hány százalékát tettük meg?

= 35 km-nek hány százaléka van még hátra?

- Írjuk fel ezt az utóbbit!

35 km-es út

23 km-t tettünk meg

Az út hány %-a van hátra?

= Még 12 km van hátra, az a kérdés, hogy ez hány sz ázaléka a

35 km-nek.

- Rajzoljuk fel! /Maga rajzolja:/

- Írjuk is fel:

35 km-nek hány %-a 12 km?

- Hogy kérdezhetném még meg?

= Hány századrésze 35-nek a 12?

= Milyen törtrésze 35-nak a 12?

- És erre hogy felelnénk?

= 12/35 része. Ezt aztán

átszámíthatjuk századrészekre.

- Hogy számítjátok át?

= Elvégezzük az osztást. /Elvégzik: 0,3428 .../

- Pontos ez az eredmény? Kerekítsük két tizedesjegy re! Mi hát

a felelet? Százalékban? /Felelnek a kérdésekre./

- Ezt a feladatot mindjárt jegyezzétek röviden a fü zetetekbe:

Egy könyvtárban 500 könyv van. Kiselejtezik 25 %-át . A megmaradt

könyvállományt 32 %-kal növelik. Hány könyv lesz ez ek után a

könyvtárban? - Nem fontos kiszámítani, csak a megol dás menetét

írjátok fel!

Id ıt hagy, nézegeti, mit írnak. Aztán egyet felszólít,

megkérdezi, mit írt. A felelet:

500 . 0,75 . 1,32 .

Valaki más ezt írta:

500 . 0,25 . 1,32.

- 82 -

4. ábra

Megbeszélik, hogy ez mit jelentene. A kiszámítása h ázi feladat

lesz, azonkívül még egy feladatot diktál a tanár ot thonra. Két perc

még maradt, azalatt néhány kérdésben végigmennek a százalékszámítás

alapfeladatain.

X

Felmerül itt egy terminológiai kérdés:

Megkérdezték az órán: milyen törtrésze 35-nek a 12? /Lehetett

volna így is mondani: "mekkora törtrésze" vagy "mekkora része", de

ez nem lényeges./

A felelet az volt: 12/35 része. Ugyanez lett volna- e a helyes

felelet akkor, ha a kérdés így hangzik el: hányadré sze 35-nek a 12?

Nem, erre a helyes felelet 35/12. Tudniillik ennyie drésze 35-

nek a 12. Ha kimondom, furcsán hangzik /"tizenkette ded"/, ezért jobb

is az ilyen kérdésfeltevést elkerülni, de ha már va laki így kérdezi,

csak ezt a feleletet fogadhatja el, különben ellent mondásokba

keveredik. Ahányszorosa a-nak b /2-nek 8, 35-nek 1 2/, annyiadrésze

b-nek a /8-nak 2, 12-nek 35/. Gondoljuk végig!

Egyéb szöveges feladattípusok

A százalékos feladatok természetes megoldási módja

tizedestörtekre vezet. Vannak olyan feladattípusok is, amelyek

jellegzetesen kapcsolódnak a közönséges tört alakú számokhoz. Talán

a legismertebb közülük az, amelyet jobb híján így n evezhetnénk:

"reciprok feladatok". Ide tartozik például a követk ezı feladat:

Egy csövön át 10 perc alatt telne meg a medence, eg y másikon

át 15 perc alatt. Mennyi id ı alatt telik meg, ha mind a két csövön

át folyik bele a víz.

Aki már ismeri az ilyenfajta feladatokat, az valósz ín őleg a

következ ı megoldást adja rá:

l perc alatt az els ı csövön át részig, a másikon át

részig telne meg a medence, együtt a kett ın át

részig telik meg. Tehát 6 perc alatt telik meg egé szen.

- 83 -

1 10

1 15

1 + 1 = 3 + 2 = 5 = 1 10 15 30 30 30 6

Akik nem ismerik a típust, azok általában más, külö nféle

megoldásokra bukkannak. Az alábbi megoldási módok e gy osztály

tanulóitól származnak:

1. Képzeljünk a "10 perces" cs ı helyett három egyforma, de

keskenyebb csövet, amelyeken át együttvéve 10 perc alatt telne meg a

medence. Egy-egy keskeny csövön át 30 perc alatt te lne meg, hiszen

harmadakkora csövön át háromszorannyi id ı alatt folyik át ugyanannyi

víz. Helyettesítsük ugyanígy a "15 perces" csövet k épzeletben két

egyforma cs ıvel, amelyeken át együttvéve 15 perc, külön-külön t ehát

szintén 30 perc alatt telne meg a medence. Így most már öt egyforma

keskeny csövünk van. Külön-külön mindegyiken át 30 perc alatt telne

meg a medence, ha viszont mind az ötön át folyik a víz, akkor ehhez

ötödannyi id ı, vagyis 6 perc kell.

2. Félóra alatt az els ı csövön át háromszorannyi víz tudna

kifolyni, mint amennyi a medencébe fér, a második c sövön át

kétszerannyi, együtt ötszörannyi. A medence tehát m ár akkor

megtelik, ha ötödennyi ideig, 6 percig folyik a víz a két csövön át.

3. Negyedóra alatt az els ı csövön át másfélszer annyi víz

folyna ki, mint amennyi a medence megtöltéséhez kel l, a másodikon át

éppen annyi, együtt a kett ın át 2,5-szer annyi. A medence tehát 15 :

2,5 = 6 perc alatt telik meg a két csövön át.

4. Tíz perc alatt 1 + = medence lenne tele; tehát

medence 2 perc alatt, az egész medence 6 perc alatt telne meg a két

csövön át.

5. Eddig minden kiindulás képzeletbeli, irreális vo lt. Nem

gondolták a gyerekek, hogy csakugyan 30, 15, vagy 1 0 perc kellene a

medence megtöltéséhez, csak azért nézték meg ezeket az eseteket,

hogy az eredményb ıl aztán következtessenek a valóságos esetre. A

következ ı megoldáshoz viszont úgy jutottak, hogy el ıbb megpróbáltak

becslést adni az eredményre. Igaz, volt aki ekkor i s lehetetlen

becslést adott, például 25 percet mondott /10 és 15 perc összegét/

vagy 12,5 percet /10 és 15 perc számtani közepét/. De miután

kimondták ezeket a becsléseket, maguk is rájöttek, hogy képtelenség,

amit mondtak. Megértették, hogy a keresett id ıtartamnak mindkét

megadottnál kisebbnek kell lennie, mert ha a másik csövet is

kinyitjuk, hamarabb telik meg a medence, mint ha cs ak az egyik van

nyitva. Ezt a belátást határozottan megkönnyítette

- 84 -

2 3

1 3

5 3

az, hogy kimondták az els ı, képtelen gondolatukat. A következ ı

becslés 5 perc volt. Utánaszámoltak: ennyi id ı alatt az els ı csövön

át a medence fele, a másikon át egyharmada, a kette n át együttvéve

5 hatoda telik meg. Ebb ıl következik, hogy l perc alatt 1 hatoda

telik meg, 6 perc alatt az egész.

Aki már tudja, hogy az arányossági következtetéssel végül

mindig célhoz érünk, akármi is a kiindulásul válasz tott érték, annak

a számára ezek a megoldások /talán az 1. megoldástó l eltekintve/

egyetlen megoldás variálásai. Ez a gondolat azonban éppen az

ilyenféle variánsokon keresztül tisztázódhat a legj obban, különösen

azokban, akik maguk is kivették a részüket a felfed ezésükb ıl. Ennek

a gondolatnak a megértése után az "1 perces" megold ás is

természetesen adódik. Ha úgyis mindegy, milyen szám ból indulunk ki,

miért ne indulnánk ki éppen 1-b ıl? Ilyen el ıkészítés nélkül viszont

a legtöbb diák számára csak recept lenne ez a megol dás, amelyet

megtanul, de egészen nem ért és egy kissé eltér ı szituációban

alkalmazni sem tud.

A „reciprok feladatok" sokféle beöltöztetési módja közül

talán túlságosan is elburjánzott a medencékkel és c sövekkel való

fogalmazás. Lássunk néhány más beöltöztetést. x

Egy turista az út A, egy másik az út B pontjában va n. Az A és

B közötti távolságot az el ıbbi p, az utóbbi. q óra alatt teszi meg.

Hány óra múlva találkoznak, ha A-ból, illetve B b ıl ugyanabban a

pillanatban indulnak el egymás felé?

Egy turista elindul az A pontból és p óra múlva_ B- be érkezik.

Ugyanebben a pillanatban érkezik A-ba egy másik tur ista, aki q

órával el ıbb indult el B-b ıl. Hány órával ezel ıtt találkozott a két

turista?

Egy gépírón ı egy kéziratot p óra alatt gépelne le, egy másik

gépírón ı ugyanezt a kéziratot q óra alatt gépelné le. Menny i id ı

alatt gépelik le a kéziratot, ha mind a ketten dolg oznak rajta?

/Persze el kell dönteniük el ıre, honnan kezdje írni a kéziratot a

második gépírón ı./

________________ x Lásd A.I.Osztrovszkij: O zadacsah po arifmetyike i algebre

/Matyematyika v skole, 1960. évi 3.szám/. Magyar fo rdítása "Az

aritmetikai és algebrai feladatok viszonya a gyakor lathoz" címmel

került sokszorosításra. / Összeállította: Faragó Lá szló/

- 85 -

A kiemelt földnek az exkavátorral való elszállításá hoz vagy p

számú P típusú, vagy q számú Q típusú teherautót ke ll beállítani.

Hány teherautót kell beállítani a két típusból, ha azt akarjuk, hogy

mindkét típusból ugyanannyi autó vegyen részt a mun kában?

A helyi sportbizottság p pár sí vásárlására utalt k i pénzt.

Ugyanezen az összegen q pár síbakancsot lehetne vás árolni. Hány

síel ıt lehet ennek a hitelnek a terhére sível és bakancc sal is

ellátni?

Egy huzal ellenállása p ohm, egy másik huzalé q ohm . Mekkora

lesz a két huzal párhuzamos kapcsolása útján létesí tett áramkör

ellenállása?

Érdemes az ilyenféle feladatokat egymásután adni, e setleg

ugyanolyan számadatokkal is, ha ez elérhet ı, mindaddig, míg a

tanulók észre nem veszik azt, ami ezekben a feladat okban közös. Ha

már észrevették, akkor sor kerülhet ennek a megbesz élésére is.

Nem mindegy, hogy milyen számokkal adunk fel felada tot,

gondoljuk meg, mennyire megkönnyítették az el ıbb tárgyalt medencés

feladat primitív megoldásainak a megtalálását - és így "a megoldás"-

hoz való eljutást is - az egyszer ő számadatok. Ha 10 és 15 perc

helyett 31 és 17 percr ıl lett volna szó, akkor a legjobb tanulók

talán hamarabb is rákényszerültek volna az "1 perce s" megoldás

megtalálására, de a többiek számára hiányzottak vol na a közbees ı

lépcs ıfokok. Igen hasznos egy-egy feladattípusban nemcsak a

beöltöztetést variálni, hanem a számadatot is, eset leg egyetlen

beöltöztetés keretében, fokozatosan haladva egyszer őbb számoktól

bonyolultabbak felé. Nehezebb adatok esetében enged ményt tehetünk:

ne számítsák ki az eredményt, elég, ha csupán kijel ölik. Ez az

"engedmény" valójában egy magasabb absztrakciós szi nt felé való

haladást jelent. A "nehéz számokkal" kijelölt, el n em végzett

mőveletek könny ő átmenetet biztosítanak a bet őkkel való jelölés

felé. Érdemes a tanulókat - esetleg csak egy részük et - elvezetni

annak a belátására, hogy például a "reciprok felada tok" megoldását

azonnal felírhatják

vagy másképpen

formában. Ez már bizonyos értelemben algebra. De há t nincs külön

számtan és algebra, az absztraktnak a konkrétból ke ll kin ınie,

- 86 -

1 1 + 1

p q

p q

p + q

nem t ıle függetlenül, megjelennie, és ez éppen jó alkalom egy

bizonyos típusú absztrakció elérésére. /Vö. 114., 1 17. oldal./

Bár ez nálunk csak távolabbi perspektívát jelenthet , nem

hagyhatjuk említés nélkül, milyen jól összekapcsolh ató a törtek

tanításával egyszer ő valószín őségszámítási feladatok megoldása. Ma a

valószín őségszámítás nálunk még a középiskolában sem szerepe l.

Legközelebbi problémák ezzel a tudományággal kapcso latban az, hogy

mi és hogyan tanítható bel ıle a középiskolában. Sok tapasztalati

tény azt mutatja azonban, hogy a valószín őségszámítás középiskolai

tanítása szempontjából is célszer ő el ıbb, már az általános iskolában

kialakítani bizonyos elemi fogalmakat.

A törtszámokkal való megismerkedés lényegesen kitág ítja a

tanulók látókörét. Megnövekszik az olyan problémakö rök száma,

amelyekre a matematikát alkalmazni tudják. Ha kinyi tják az újságot,

a népszer ő tudományos folyóiratokat és könyveket, technikai m őveket,

a bennük lev ı számok sokkal többet árulnak el nekik, miután

megismerkedtek a törtszámokkal, mint azel ıtt. Fontos feladata a

matematikatanárnak, hogy megtanítsa a diákokat nemc sak készen kapott

feladatok megoldására, hanem számadatokat tartalmaz ó szövegek

gondolkozva olvasására, következtetések levonására is.

Lássunk egy példát! Az Esti Hírlap közölte /1962. n ovember 10-

i számában/ a következ ı adatokat: "A vetésterület a Földön 1,37

milliád hektárról. 9,39 milliárd hektárra növelhet ı. Ezen a

területen 65 milliárd ember élelmiszere terem meg". Jó az effajta

nyersanyagot kivágni az újságból, vagy ki gépelni a könyvb ıl és

felragasztani például félbevágott rajzlapra, hogy t artósabb,

tárolhatóbb, kezelhet ıbb legyen. Többféleképpen is felhasználhatjuk

ezeket a lapokat. Például odaadhatjuk egy-egy olyan tanulónak, aki

már túl van azon, amivel az óráin foglalkoznak. Vag y felolvashatjuk

az egész osztálynak. Jó, ha a benne szerepl ı számadatok a táblára

kerülnek. Feltehetünk ezek után egy ilyen határozat lan kérdést: "Mit

mondanak nektek ezek az adatok?" Még jobb, ha hozzá szoktatjuk a

tanulót ahhoz, hogy ilyenkor semmilyen kérdést sem teszünk fel,

t ılük várjuk a kezdeményezést. Pusztán ezekb ıl az adatokból nem sok

következtetést tudnak levonni; annyit mindenesetre megállapíthatnak:

"Kb. hétszeresére lehet növelni a vetésterületet; h at- és hétszeres

között, közelebb a héthez." Vannak azonban olyan ad atok, melyeket

minden diáknak

- 87 -

illik tudni, ha durva közelítésben is, vagy legaláb bis pillanatok

alatt ki kell tudnia keresni egy kéznél lév ı adattárból. /A legújabb

Magyar statisztikai zsebkönyv például mindig legyen kéznél!/ Ilyen

adatok: az emberiség lélekszáma /3 milliárd/, a Föl d felszíne

/félmilliárd négyzetkilométer/, a szárazföldek együ ttes területe

/150 millió négyzetkilométer/. Ezek ismeretében már sokkal többet

árunak el a fenti adatok. 1,37 milliárd, vagyis 137 0 millió hektár

13,7 millió nézetkilométert jelent. Ennyir ıl 93,9 millióra lehet

növelni a hír szerint a vetésterületet. Lássunk eg y gyors becslést:

a Föld felszínének 9 %-áról több, mint 60 %ára. A m ai term ıterület 3

milliárd embert tart el. /Igaz, hogy sok millióan é heznek, de sok

országban rengeteg felesleg elpocsékolódik./ Ha hét szerakkora

terület 22-szer annyi embert tart el, ez azt jelent i, hogy a

terméshozam kb. háromszorosára növekszik.

Ebben az esetben újabb adatokra volt szükség a tová bbi

következtetések levonásához. El ıfordul, hogy felesleges adatok

vannak a kapott nyersanyagban.

Az életben sem találkozunk kész matematikai feladat okkal,

magunknak kell eldöntenünk, kevés-e az adat, sok-e, milyen adatra

van még szükségünk ahhoz, hogy levonhassunk ilyen é s ilyen

következtetéseket stb. Az ilyen "nyitott problémahe lyzetek"

teremtése /vö. 46. és 474. oldal/ segíthet abban, h ogy a

matematikatanítás életszer őbb legyen.

Közelít ı számítások

Negyedik gimnazista lányoknak ki kellett számítaniu k a Föld

tömegét a sugarából /6370 km/ és a s őr őségéb ıl /5,5 kg/dm 3/. Mint

utólag kiderült, a legtöbbjük logaritmus nélkül szá molt, mert jobban

bízott a saját szorozni és osztani tudásában, mint a

táblahasználatban. A számításuk menete ilyenféle vo lt:

r 3 = 6370 . 6370 . 6370 = 258 474 853 000

Ezt megszorozták 4 π-vel , amit 12, 56-nak vettek, hiszen ugye π =

3,14:

3 246 444 153 680

- 88 -

A Föld térfogata ennek á harmada:

1 O82 148 051 226,666 ... km 3

vagyis

1 082 148 051 226 666 666 666 m 3 .

Köbméterenként 5,5 tonna, összesen

5 951 trillió 814 281 billió 746 666 millió 666 663 tonna.

Volt egynéhány, aki eljutott lényegében ugyanerre a "pontos"

eredményre. Volt persze olyan is, akinek egészen má s volt a

végeredménye.

Nagyon meg voltak lepve, amikor kiderült, hogy a sz ámolási

munkájuk 90 %-a felesleges és értelmetlen volt, és az adatok

alapján nem mondhatunk többet, mint azt, hogy kb. 6 ,0 ezer trillió

tonna, 6,0 . 10 27 g a Föld tömege. Ha a Föld s őr őségét csak két jegy

pontossággal ismerjük, akkor a tömegét sem tudjuk a térfogatából

ennél pontosabban meghatározni. S ıt a térfogatára is hiába kapunk

akárhány jegy pontosságú eredményt, csak annyinak v an értelme

bel ıle, ahány jegy pontossággal a kiinduló adatokat ism erjük. A π és

a 4 π értékér ıl, a 3-mal való osztáskor hirtelen megnövekedett

pontosságról, a szám végén igazítás nélkül leírt 6- ról most ne is

beszéljünk.

Ezek nem 4. gimnáziumban tisztázandó kérdések. Brag yisz /1951/

az általános iskola 5. osztályában ajánlja a megbes zélésüket./197.

és következ ı oldalak/. Csak utalunk az ott található módszertan i

feldolgozásra, de nem ismételjük. További irodalom: Bragyisz /1958/.

Ha a 8. osztály végére sikerülne elérni, hogy a Bra gyisz javasolta

anyaggal tisztában legyenek, a középiskolában már n em sok tennivaló

lenne ezen a téren.

A közelít ı számítások kérdése világnézeti kérdés is, a szó

legtisztább értelmében. Aki ezzel a problémakörrel nem ismerkedik

meg, vagy nem helyes formában, abban könnyebben kia lakulhat a

matematikáról olyan kép, hogy az "a valóságtól függ etlen", "abszolút

érvényes" tudomány. Ha az elemi matematikát a valós ággal, az

alkalmazásokkal szoros kapcsolatban mutatjuk be, lé pten-nyomon

belebotlunk a közelít ı számításokat érint ı kérdésekbe.

- 89 -

Az egyik legf ıbb nehézséget a jelölések többértelm ősége

okozza. Hívjuk fel a tanulók figyelmét erre a többé rtelm őségre; a

nehézségek felismerése már egy lépés a megoldásuk f elé.

Miben á11 ez a többértelm őség?

Nézzük az el ıbbi számítást:

A végén kezdve: a gyerekek ugyan azt tanulják, hogy 5,5 = 5,50

= 5,500 = ..., és ez arra az 5,5-re, amelyekr ıl ık addig tanultak,

igaz is; ez azonban nem az az 5,5. Nem állhatna hel yette 5,50, mert

akkor mást jelentene. Így 5,45 és 5,55 közötti szám ot jelent, úgy

5,495 és 5,505 közöttit jelentene. Mindenképpen lén yegileg más, mint

az az 5,5, amely nem változik, ha a végére nullákat írunk: az

egyetlen meghatározott számot jelent, ez pedig egy

számintervallumnak egy számát; bizonyos értelemben magát az

intervallumot. Ha azt mondjuk, hogy a Föld s őr ősége

d = 5,5 ,

akkor az egyenl ıségjel megtéveszt ı, valójában egyenl ıtlenséggel

méghozzá kett ıs egyenl ıtlenséggel van dolgunk:

5,45 < d > 5,55 ,

ezt azonban röviden d = 5,5-nek vagy inkább d ≈ 5,5-nek írjuk.

Gyakran használatos a d = 5,5 ± 0,05 jelölés is. Ez és a kett ıs

egyenl ıtlenség hajlékonyabb jelölések, mint a közelít ı egyenl ıség;

pl. azt az ismeretünket, hogy 5,44 < d < 5,54 vagyi s 5,49 ± 0,05,

nem tudjuk közelít ı egyenl ıséggel kifejezni. Az általános iskolában

el ıször a közelít ı egyenl ıség kevésbé hajlékony jelölésmódjával

ismerkednek meg a tanulók. A mindennapi életben is rendszerint ezt

használják. Ha kinyitjuk az újságot, az ott talált számadatok

majdnem mind így értend ık.

Hasonló értelemben szerepel képletünkben 3,14 is. H a csak

annyit tudnánk π-r ıl, hogy két tizedes jegy /három értékes jegy/

pontossággal 3,14, akkor 3,135 és 3,145 között mind en érték

tekintetbe jöhetne. Annyiban mégis más a helyzet; h ogy π értékét

igen sok jegyre ismerjük / π ≈ 3,141592653589793.../. Hogy hányat

veszünk igénybe ezek közül, az mindig attól függ, h ányat érdemes,

mennyire pontos a többi adat.

- 90 -

M = 4 . 6370 3 . 3,14 . 10 9 . 5,5 .

3

6370-nel bajban vagyunk: nem árulja el az alakja, h ogy milyen

pontossággal ismerjük. Jelenthet 6370 ± 5-öt, de jelenthet 6370 ±

0,5-et is. A tizedesvessz ı utáni nullákkal szabadon operálhatunk,

annyit írhatunk le vagy annyit hagyunk el közülük, hogy a kívánt

pontosságot ki tudjuk fejezni, az egész szám végén álló nullákat

azonban nem hagyhatjuk el, mert megváltozna a többi jegy helyi

értéke. Ezen többféle módon is lehet segíteni. Egy lehet ıség az,

hogy az egész számokat is átírjuk tizedestört alakb a. Például 6370

helyett azt írjuk, hogy 6,37 . 10 3 vagy 6,370 . 10 3; az el ıbbi

ugyanazt fejezi ki, mint 6370 ± 5, az utóbbi ugyanazt, mint 6370 ±

0,5. Egy másik mód, amelynek az iskolában hasznát v ehetjük, bár a

gyakorlatban nem alkalmazzák az egész számok végén álló 0-k közül

kisebbre írjuk azokat, amelyek nem értékesek.

Az

képletben szerepl ı többi számjel nem közelítést fejez ki. Ez a 4 nem

4 ± 0,5, nem is 4 ± 0,05, hanem egészen pontosan 4 , ugyanígy 3, 10

és 9 is pontos számok. Gyakorlott szem ő ember el tud igazodni a

számadatok között, a gyereket azonban türelmes munk ával kell

rávezetnünk, hogy helyesen értse és helyesen alkalm azza a jeleket,

hol pontos, hol közelít ı értelemben.

Ha nem volna ez a kétértelm őség a jelhasználatban és mindig

közelít ı értelemben használnák a számjeleket, akkor 4 minde nképpen 4

± 0,5-et jelentene. Hogyan tudnánk mégis kifejezni a zt, hogy

pontosan 4 ? 4,0 sz őkebb intervallumot fejez ki e körül a szám körül,

4,00 még sz őkebbet ,... 4,/O/ már nem is intervallum, hanem az

összes eddigi intervallum közös pontja, egyúttal kö zéppontja is.

Ennek az egyértelm őségnek nagy ára volna! Alsó tagozatban 2 . 2 = 4

helyett azt taníthatnánk, hogy 2,/O/ . 2,/0/ = 4,/0 /, mert 2 . 2

ebben a jelölésben nem 4, hanem 2,25/0/ és 6,25/0/ közötti szám,

vagyis 4,25/0,/ ± 2,/0/. Ha viszont a másik irányban akarnánk

egyértelm ővé tenni a jelölést, egyenl ıtlenségi jelekkel vagy ± -

okkal bonyolíthatnánk minden napihírt /pl. a Dorog -Ferencváros

mérkızésnek 12 000 ± 500 néz ıje volt/. Bele kell tehát egyel ıre

tör ıdnünk a kétértelm őségbe, és meg kell tanítanunk a gyerekeket

is, hogy eligazodjanak ebben a jelhasználatban, és élni is tudjanak

vele.

- 91 -

M = 4 . 6370 3 . 3,14 . 10 9 . 5,5 .

3

Logarléc, számológép

A közelít ı számítások körébe tartozó meggondolások segítenek

abban, hogy a számjegyek túlburjánzásának gátat ves sünk, a számolási

munkát csökkentsük, a tanulók figyelmét a mechaniku s eljárásokról

érdekesebb problémák felé irányítsuk. További nagy segítséget jelent

ebben, ha már a törtszámok tanításakor logarlécet t udunk adni a

tanulók kezébe, és elérjük, hogy attól kezdve állan dóan használják

is, iskolában éppúgy, mint iskolán kívül. Tíz-tizen két évesek is

megérthetik a logarléc m őködési elvének lényeges gondolatait, a

logaritmus fogalma nélkül is.

Olyan logarlécb ıl célszer ő kiindulni, amelyen csak két

egyenl ıköz ő skála van az 1, 2, 4, 8, 16 stb. számokkal például négy-

ötjegy őt számokig. A gyerekeknek még azt sem kell tudniuk, hogy az

1, 2, 4, stb. számok 2-nek a hatványai, elég azt me gérteniük, hogy

az 1 után minden szám az el ızınek kétszerese. Minden gyerek

készíthet magának ilyen logarlécet két keménypapírc síkból. Ha az

alsó csíkot egy egységgel jobbra tolják /vagyis az 1-et a 2 alá /15.

ábra/, akkor minden szám fölött a kétszer-

15. ábra

akkora szám lesz. Ezeknek a számoknak a körében teh át már tudunk 2-

vel szorozni. De osztani is, hiszen a fels ı csík minden száma alatt,

a 2-t ıl kezdve, ott van a feleakkora száma Ugyanígy látha tó -

szemmel is látható és ésszel is belátható -, hogy h a az 1-et a 4,

8, stb. alá toljuk, akkor 4-gyel, 8-cal, stb. szoro zhatunk és

oszthatunk. A következ ı gondolat az lehet, hogy 0,128-at is

szorozhatjuk és oszthatjuk például 160-nal. Általán osan szólva

nemcsak a 2 n, hanem a 2 n . lO k számok körében is végezhetünk

szorzásokat és osztásokat, ahol k, és nyilván n szi ntén, negatív

egész is lehet. /Persze ez nem a gyerekeknek szóló fogalmazás - ık

csak példákat látnak./ Azután rávezetjük ıket arra, hogy a saját

készítés ő kis logarlécen egy beállítással leolvashatják több ilyen

mővelet eredményét, mint

- 92 -

1,6 . 0,32 és 0,16 . 2560 és 640 . 1600 stb.,

vagy

2,048 : 0,8 és 5,12 : 80 és 40 960 : 8 stb.;

továbbá ugyancsak egy beállítással leolvashatják az ilyen

kifejezések értékét, mint

10,24 : 1,28 . 320

vagy

81,92 : /204,8 : 0,256/

stb. /Ezek az utóbbiak szükségessé teszik annak az osztási módnak a

megtanítását, amikor az osztandót és az osztót a pa pírcsíkon

egymáshoz illesztjük. A kétféle osztási mód kapcsol atát könny ő

megérteni: ha 16 : 2 = 8, akkor 16 : 8 = 2 és viszo nt./ A közönséges

/tízes alapú/ logarlécre ezek után egyszer ően úgy térünk át, hogy

azt is kettes alapúnak tekintjük . Megmutatjuk rajta az 1, 2; 4, 8,

16, 32, 64 számokat /16. ábra/, és megmagyarázzuk, hogy ezen a lécen

közbeiktatták a 3, 5, 6, 7, 9, 10 stb. számokat is. Közöljük velük,

hogy a közbeiktatott számokkal is ugyanúgy lehet vé gezni a

mőveleteket, mint a többivel. Persze tisztáznunk kell , hogy ez

bizonyításra szorul, s egyszer majd

16. ábra

be is bizonyítjuk. Ennyi azonban általános iskolai fokon elég ahhoz,

hogy a logarlécen értelmesen számoljanak.

Fontos készség birtokába juttatjuk így a tanulókat. El kell

azonban érnünk, hogy ezt a készséget céljának megfe lel ıen

alkalmazzák. Ne szorozzanak például 13-at 40-nel lo garléc

segítségével, mert ezt fejben is kiszámíthatják. Má sik oldalról: ha

a számításban a logarléccel elérhet ı 3 értékes jegynél nagyobb

pontosságra van szükség, akkor csak a hozzávet ıleges eredmény

/el ızetes vagy utólagos/ kiszámítására használhatják fe l a

logarlécet. Döntsenek a tanulók önállóan az olyan kérdésekben, hogy

elég-e

- 93 -

a logarléc adta pontosság, reális-e ennél nagyobb p ontosság

/tekintetbe véve a kiinduló adatok hibáját/, vagy e setleg még a

logarlécr ıl leolvasott értéket is kerekíteni kell, hogy reáli s

pontosságú eredményt kapjanak; ha el is lehet érni egy bizonyos

pontosságot, szükség van-e erre stb.

Ha a logarléc adta pontosságnál nagyobb pontosság e lérhet ı és

szükséges is, akkor általában az írásbeli számolás szokott

eljárásaihoz kell folyamodniuk. Számológépekkel isk oláink egyel ıre

nincsenek ellátva. Bizonyos, hogy erre is sor kerül majd, ha nem is

a következ ı években. Ez csak anyagi kérdés. Egyes külföldi

iskolákban bevált egy zajtalanul m őköd ı, kézben tartható kis

mechanikus számológép-típus /vö. 33.oldal/. Talán n em irreális az

elképzelés, hogy a hetvenes években a mi iskoláinkb an is fokozatosan

kezd tért hódítani valami hasonló eszköz. Egyel ıre törekedjünk arra,

ami már ma is megvalósítható: hogy a logarléc és a vele való

számolni tudás minél általánosabbá váljon iskoláink ban.

- 94 -

4. NEGATÍV SZÁMOK

Áttekintés

"A minusszor mínusznál aztán végképp elvesztettem a fonalat".

Iskolázott emberek nem egyszer így emlékeznek vissz a matematikai

tanulmányaikra. A negatív számok, valahol a "bet őszámokkal" egy

kategóriában, már túlesnek számukra a valóság birod almán. Hozzájárul

a negatív számokkal kapcsolatos nehézségekhez az "a lgebrához"

kapcsolásuk, és az, hogy rendszerint a szükségesnél sokkal rövidebb

id ı telik el az els ı megismerkedést ıl az olyan kérdések

tisztázásáig, mint a "minusszor mínusz." Ahogyan ha mis az az

alternatíva, hogy melyiket "tanítsuk meg" el ıbb, a közönséges

törteket vagy a tizedes törteket, /mert nemcsak ez a két eset van/

ugyanúgy hamis az is, hogy a törtszámokkal végezzün k-e el ıbb és

azután kerítsünk sort a negatív számokra vagy esetl eg fordítva. A

logikai sorrend persze inkább a fordított /a negatív számo k

bevezetésére az az igény vezet, hogy az összeadásna k mindig

értelmezve legyen az inverze, a tört számokhoz a sz orzás

megfordításából jutunk/, a didaktikai sorrend szempontjából azonban

ez nem mérvadó. Az els ı megismerkedésre és az egyszer őbb mőveletekre

esetleg mindkét számfajtával kapcsolatban el ıbb kerülhet sor,

miel ıtt még a nehezebb m őveletekr ıl /szorzás és osztás törttel, ill.

negatív számmal/ bármelyikkel kapcsolatban is szó l enne. Az

azonosságok érvényben maradását valószín őleg csak akkor lehet

teljesen tisztázni, ha a diákokat már sikerült a de duktív

gondolkozás egy bizonyos fokára eljuttatni. Sajnos, a jelenlegi

tanterv nem irányoz el ı folyamatos el ıkészít ı munkát a negatív

számok tanításában. A 8. osztályra, az algebratanít ás elejére teszi

a negatív számokkal való megismerkedést és az év

- 95 -

els ı öt hetében a tanárnak végeznie is kell ezzel a tém ával. A tanár

mit tegyen, végez is vele, csak a diákok nem. Nem c soda ha a félig

megemésztett ismereteket a tovább tanulókkal a közé piskolák els ı

osztályaiban tanító tanároknak újból át kell venniü k, és mivel

rendszerint mások a tanárok és sokfel ıl jöttek a diákok, általában

nem lehet szó semmiféle továbbépítésr ıl, az addigi töredékismeretek

nagyrészt kárba vesznek. /Ez nem csupán a negatív s zámok tanítására

érvényes, de arra jellegzetesen vonatkozik./

Megint ugyanazt tanácsolhatjuk, amit sok más tárgyk örrel

kapcsolatban: ha a tanár megteheti, kezdje el az el ıkészítést

idejekorán. Ha el tudja érni, hogy hossza id ın át - négy évig,

esetleg még tovább - tanítson egy osztályt /pedagóg iai szempontból

ez sokkal helyesebb, mint specializálódni bizonyos osztályokra!/,

akkor ennek nem lehet akadálya, helyi engedély alap ján megoldható.

Ha nincs erre mód, például azért, mert 8.-ban vagy középiskolában

vesz át valaki egy osztályt, akkor bizony szükségme goldásokhoz kell

folyamodnia: Az ismeretszerzés útja akkor is a tapa sztalatgy őjtést ıl

vezet a fokozatos absztrakció és alkalmazások felé, de az út

végigjárása ekkor már sokkal-nehezebb. A szükségmeg oldást is lehet

jól és rosszul végezni; a tanterv nem minden, sokka l többet nyom a

latban az, hogy a tanterv keretein belül /vagy kívü l/ a tanár milyen

munkát végez, és ha rossz munkát végez, ne takaródd zon küls ı

körülményekkel. Viszont az sem jó, ha a tanár belet ör ıdik egy olyan

helyzetbe, s ıt esetleg szükségképpeninek, törvényszer őnek is

tekinti, amely pedig csak átmeneti lehet.

A negatív számok fogalmához és a velük végzett m őveletekhez

kétféleképpen juthatunk el - akárcsak a törtszámok fogalmához és

mőveleteihez is - egyrészt a reális világban megfigye lt jelenségek

leírásához találunk bennük alkalmas modellt, másrés zt segítségünkre

lehet a bels ı struktúra, szépség, harmónia keresése is. Teljes k épet

csak a kett ı együtt adhat. A kétféle megközelítési mód

egybefonódhat, adhatunk olyan feladatokat is, amely ekben

mindkett ınek az elemei megtalálhatók.

- 96 -

A negatív számok modelljei

Racionális számok összeadása, kivonása

A természetes számokkal és a törtszámokkal kapcsola tban is szó

volt már a számegyenes fontosságáról. Szinte szugge rálja a

számegyenes szemlélete azt, hogy a nullán "túl" is vannak számok. A

számegyenes fizikai modelljei is segítenek ebben. A z utak általában

nem zsákutcák, két irányban lehet haladni rajtuk; a z id ıt mindkét

irányban végtelennek gondoljuk.

Kár, hogy a szokásos id ımértékek nem felelnek meg a

számegyenes-szemléletnek. Id ıszámításunknak nincs 0-adik éve, ezért

pl. az i.e. 3. és az i.sz. 2. év eleje /vagy közepe , vagy vége/

között nem 5 év a

különbség, csak 4 /lásd

az ábrát/. Az éjfél vagy

a Szilveszter éjjel

el ıtti és utáni egyenl ı

id ıpontok szokásos

megjelölése egészen más.

A tengerszintt ıl számított magasság /vagy mélység/, a

földrajzi szélesség és hosszúság, a h ımérséklet - ezek olyan

mennyiségek, amelynek a szokásos megjelölése megfel el a pozitív és

negatív számok struktúrájának. Ezeknél viszont a ké tirányú

végtelenség hiányzik ahhoz, hogy a strukturális meg felelés teljes

legyen.

Tökéletlenségeik ellenére is hasznát vehetjük minde zeknek a

modelleknek. Az id ı-modellel kapcsolatos nehézségeket például úgy

hidalhatjuk át, hogy most , 3 órával ezel ıtt és 3 óra múlva

lejátszódó eseményekr ıl beszélünk. Őrhajók indítása el ıtt is szoktak

pl. így számolni: indításig még 1 perc, ... még 30 mp,... 5, 4, 3,

2, 1, most, /és persze lehet számolni az indítástól számított

másodperceket is/. A tanításban ilyesmit is értékes íteni lehet.

Mindezekkel a modellekkel kapcsolatban felmerül azo nban egy

további nehézség. Lássunk néhány konkrét példát, am ely megvilágítja,

hogy ez miben áll. A h ımérsékletet választjuk példának, de más

fizikai modellekkel kapcsolatban is hasonlók a prob lémák.

- 97 -

16/a. ábra

Megfigyeléseket valóságos h ımérın is végezhetnek tanulók,

elképzelés és rajzok alapján is dolgozhatnak, de jó ha van

mindegyiknek a keze ügyében egy maga készítette "h ımérı" /lásd az

ábrát/ körbefutó szalaggal, amelynek a betintázott része a

higanyoszlopot, fehéren maradt része az üres üvegsz álat jelenti.

Ezen minden tanuló beállíthat és leolvashat h ımérsékleteket és

hımérsékletváltozásokat. A h ımérımodellel kapcsolatban könnyen

kiterjeszthetjük a "kisebb" és "nagyobb" fogalmát n egatív számokra.

A gyerekek azt hiszik, hogy -12 nagyobb mint -3, hi szen 12 nagyobb

mint 3. A "magasabb h ımérséklet" és "alacsonyabb h ımérséklet"

fogalma hozzásegíti ıket ahhoz, hogy a matematikában elfogadott

megállapodást tartsák természetesnek. Eddig nincs i s lényeges

nehézség, csak a m őveletekkel kezd ıdik.

Az összeadásra olyan feladatokat

adhatunk, mint pl.: "A h ımérséklet -3 o

volt, 8 o-kal emelkedett, mennyi

most?", a kivonásra ilyeneket: " +5 o

volt, 5 o-kal csökkent, mennyi most?"

és ilyeneket is: "Mennyit változott a

hımérséklet, ha reggel –2 o volt,

délben +2 o? ha reggel +6 o volt, délben

–1o?"

Mindezekben a feladatokban

észrevehetünk egy zavaró aszimmetriát,

ami eltakar el ılünk egy szép, egyszer ő

struktúrát. Az els ı két feladatban

hımérséklethez adtunk

hımérsékletváltozást /a második példát

kivonásnak is értelmezhetjük, de ebb ıl

a szempontból ez közömbös/ az eredmény

megint h ımérséklet . A másik kett ıben

hımérsékletek különbségét kerestük, az

eredmény h ımérsékletváltozás .

A három adat közül az egyik mindig más jelleg ő, mint a többi. A

hımérsékleteket a skála egy pontjával tudjuk jellemez ni, a

változásokat azonban er ıltetett dolog volna úgy kifejezni, hogy

rámutatunk pl. a skála -7 pontjára és azt mondjuk: ennyi a változás

az utolsó esetben.

- 98 -

17. ábra

Ez az aszimmetria elburkol egy lényeges gondolatot, a negatív

szám definícióját, azt, hogy minden pozitív számhoz hozzá van

rendelve az ellentettje, egy olyan szám, amelynek é s az eredeti

számnak az összege 0. A h ımérı skáláján +3 o és –3 o a 0 o-ra

szimmetrikusak, de nem tudjuk az összegüket képezni , ha pedig a +3 o-

ot 3 o-kal csökkentjük, 0 o-ot kapunk ugyan, de nem látszik a

szimmetria, mert az egyik tag h ımérséklet, a másik változás.

Szimmetrikus szituációhoz jutunk, ha nem tör ıdünk a

hımérséklet mindenkori értékével, csak a változásokka l . "3 o-os

növekedés és 3 o-os csökkenés együtt mit ad?" "2 o-os csökkenés után

milyen változás történt, ha végeredményben 10 o-kal n ıtt a

hımérséklet?" stb. A kivonás itt mindig az összeg hiá nyzó tagjának

keresése, megsz őnik a régr ıl ismert többarcúsága /elvétel, pótlás,

különbség keresése stb./, csak az az arca marad meg , ami a

legfontosabb, hogy az összeadás inverze.

A csak változásokkal kapcsolatos példák el ınye az, hogy

nincsenek kötve meghatározott mennyiségekhez /pl. h ımérséklet, id ı/.

Negatív tömeg a tanulók tapasztalata szerint nincs /negatív súlyra

példa lehet a léggömb/, -5 literes edényr ıl sem beszélhetünk, de a

tömeg- és őrtartalom változás példákat ad negatív számokra is.

Ugyanez érvényes bármilyen más mennyiségre.

Ha mennyiségek és változások helyett csak változáso kkal

dolgozunk, megnyerjük a szimmetriát, de veszítünk a

szemléletességb ıl. A számegyeneshez illeszked ı szabad vektorok,

amelyeket nyilakkal ábrázolhatunk, vagy akár hurkap álcákkal is

realizálhatunk, biztosíthatják a szemléleti tartalm at azok számára,

akiknek erre szükségük van. /Különböz ı hosszúságúra vághatják a

tanulók a hurkapálcákat, megjelölhetik rajtuk a cen timéter

beosztást. A pálcák egyik végét például kihegyezéss el

különböztethetik meg a másiktól./

A füzetbe rajzolt nyilak és a kirakott hurkapálcák csak

kisegít ı eszközök, alá vannak rendelve a változás gondolatá nak,

önmagukban nem elég kifejez ı modellek. Két egyenl ı hosszú, de

ellenkez ı irányú nyíl vagy hurkapálca nem "semmisíti meg" eg ymást,

csak azok a változások semmisítik meg egymást, amel yet ezek

szimbolizálnak. Kifejez ıbb modell az, amit következ ı ábránk mutat /

18. ábra/. Színes keménypapír- lapocskákból kivágun k köröket,

körcikkeket /az utóbbiakat a törtszámok szemlélteté sére/. Amiket

kivágunk, azok a pozitív mennyiségeket szemléltetik ; ami

- 99 -

18. ábra

megmarad, az a negatívokat. Ha a kivágott kört viss zaillesztjük a

helyére, a színes és a /fehér alapon/ fehér kör "me gsemmisítik

egymást". Valójában persze nem semmisítik meg, csak kiegészítik

téglalappá, de mint körlapok mégis megsz őnnek. Körök helyett más

idomok, emberalakok, őrhajók is szerepelhetnek. Ha azonban

szimbólumnak használjuk ezeket a modelleket, akkor természetesen

ennél hozzánk közelebb álló mennyiségeket is szimbo lizálhatunk

velük: pozitív és negatív elektromos töltést, vagy még közelebb

állókat: vagyont és adósságot.

Vannak más didaktikai eljárások is ennek a gondolat nak a

megértésére. Minden tanuló készíthet játékpénzeket és "kifizetetlen

számlákat", s az egyenl ı összeg ő pénzdarab és számla szimbolikusan,

ha nem is valóságosan, "megsemmisítik" egymást. x

Az utóbbi realizálási módok el ınye az, hogy játékos

tevékenység útján, a szimmetria fenntartásával, a v áltozások

absztrakt gondolatának felhasználása nélkül is elve zetik a tanulókat

a különféle el ıjel ő számok összeadásának és kivonásának a

fogalmához. Mindkét esetben egy szám hozzáadását eg y másikhoz

valóságos hozzátétellel, kivonást valóságos elvétel lel lehet

elvégezni. Az elvételt mindig lehet ıvé tehetjük, ha el ıbb elég sok

nullát /helyére visszatett kört, pénzt és ugyanakko ra összeg ő

számlát/ teszünk hozzá ahhoz a halomhoz, amelyb ıl el akarunk venni.

A gyerekek megértik, hogy ezzel a halom "értéke" ne m változik.

Változatokat ismertettünk egy témára, arra, hogy a racionális

számok körében végzett összeadással és vonással hog yan

ismerkedhetnek meg a tanulók konkrét mennyiségek, m odellek fel-

________________ x Lásd Péter Róza /1948/, 23. old.

- 100 -

használásával. xx Vannak köztük jobb és rosszabb, adott esetben

alkalmasabb vagy kevésbé alkalmas változatok. Ha az t akarjuk, hogy a

tanulók igazán absztrakt , vagyis sok konkrét helyzetben alkalmazható

fogalmakhoz jussanak, akkor sok különféle modell út ján kell

elvezetnünk ıket ugyanahhoz az absztrakt struktúrához; némelyikk el a

kezükön és szemükön át, másokkal elég, ha csak képz eletben

ismerkednek meg. De bármelyiket vagy bármelyeket al kalmazunk is,

csupán a tanulók - minden egyes tanuló, nemcsak egy esek - aktív

tevékenységét ıl várhatjuk azt, hogy az itt szerepl ı fogalmak

kialakulására vezetnek, puszta magyarázattól vagy s zemléltetést ıl

nem. Egy-egy jó ötlet a tanulók aktivizálására, és az ötlet ügyes

kivitelezése, nagyon megkönnyíti az utat az absztra kt gondolatokhoz.

Vannak például tanárok, akik a számegyenes menti el mozdulásokat

/szabad vektorokat/ a számegyenesen való sétákkal t eszik

élményszer ővé. Az ajtó felé fordulva megtett lépések pozitív s zámok

hozzáadását és kivonását mutatják. Néhány tanulót m egsétáltat a

tanár, a többi csak a füzetében, az ujjaival vagy a tollával végzi a

sétákat, de mindegyikük feladatokat kap, amelyeket ilyen módon meg

tudnak oldani. Persze ha enélkül is megoldják, anná l jobb! Az

aktivizálás nem azt jelenti, hogy az osztály egy ór át végigsétál

________________ xx A pozitív és negatív, egész és tört számok valamin t a 0

együtt az, összes racionális számok . A tantervben is így szerepel a

negatív számok bevezetése után létrejött számkör. E nnek az

elnevezésnek az a hátránya, hogy nem azt fejezi ki, amit a tanulók

számára ez a számkörb ıvítés jelent, ti. hogy most már negatív

számokkal is számolnak, hanem egy számukra egyel ıre ismeretlen

ellentétpárnak /racionális - irracionális/ az egyik tagjára utal.

/Az a közlés, hogy a irracionális szám, nem sokat m ond nekik. /A

tanulók szempontjából természetesebbek a régebben h asznált "el ıjeles

számok" vagy "viszonyított számok" elnevezések. Ez ekkel viszont más

baj van; azt a hitet ébresztik, mintha pl. az el ıjeles +3 és az

el ıjel nélküli 3 közt különbséget tennénk. Tudományosa n nem is

helytelen az a különbségtétel: új számok bevezetése kor mindig úgy

képzelhetjük, hogy a régebben ismert számok összess ége nem

részhalmaza ez új számhalmaznak, csak izomorf egy r észhalmazával.

Ezt a nehéz, gondolatot azonban az iskolában inkább elkerüljük és

minden számkörb ıvítést halmazb ıvítésnek tekintünk. Ezért az említett

nehézség ellenére is inkább használjuk a "racionáli s számok"

elnevezést, számolva azzal, hogy kés ıbb majd megértik, mennyiben

jelentenek ezek speciális számokat.

- 101 -

a padok el ıtt. A cél els ısorban az agyuk megmozgatása; a kezüké és a

lábuké csak annyiban, amennyiben ezt segíti, nem pe dig hátráltatja.

Út a m őveletekhez a szabályosság keresésén át

Törtek szorzásival kapcsolatban láttunk egy feladat lapot / 71.

oldal/, amely elvezeti a tanulókat a törtek szorzás i szabályának

felfedezéséhez arra a hallgatólagos feltevésre épít ve, hogy a

szorzat ugyanolyan törvények szerint változik, ha a tényez ıi

változnak, akár természetes számok ezek a tényez ık, akár törtszámok.

Hasonló gondolat alapján vezeti el a tanulókat az i tt

következ ı feladatlap x annak a felfedezésére, mit érdemes az egész

számok összeadásán és kivonásán érteni, ha nem akar juk felborítani

azt a szép szabályosságot, amit eddig a m őveletekben tapasztaltunk.

A feladatlapon látható els ı táblázat az egymegegy-tábla

kiterjesztése a negatív tagok irányában. A tanulók el ıször csak a

jobb fels ı negyedét töltik ki, amelyet már eddigi ismereteik alapján

is kitölthetnek. Mellette egy segédtáblázat látható , amelyben a

számok mindenütt 8-cal nagyobbak. A tanulók látják a táblázatban a

szabályosságot, és igyekeznek kiterjeszteni. Ez vez eti el ıket a

segédtáblázat kitöltése után az eredeti táblázat hi ányzó

háromnegyedének helyes kitöltéséhez.

Az összeadótáblával kivonni is tudnak már; tudják, hogy az

ismeretlen tag keresése kivonást jelent. Ez segíti ıket a középs ı

/három soros/ táblázat kitöltésében.

A felcserélési tulajdonság, továbbá az összeadás és kivonás

kapcsolata /ami nem egyéb, mint a kivonás el ıbb is említett

értelmezése/ rávezeti ıket a még hátralév ı feladatok megoldására.

Mindezeknek az összeadásoknak és kivonásoknak a reá lis

világgal való kapcsolatát ezen a feladatlapon csak a legfelül

található számegyenes biztosítja. Ezen "sétálva" el len ırzik közben,

mit is jelent egy pozitív vagy egy negatív azám hoz záadása egy másik

számhoz, és mit jelent ezeknek a m őveleteknek a visszacsinálása,

vagyis a megfelel ı kivonás.

________________ x Wirtz - Botel - Sawyer /1962/, D füzet, 76. oldal.

- 102 -

Ha 3 + 5 = 8, akkor 5 + = 8 és 8 - = 5 és 8 - =

Ha _2 + 3 , akkor + = és - = és - =

Ha _1 + _4 , akkor + = és - = és - =

Ha 6 + _8 , akkor + = és - = és - =

Ha _3 + _2 , akkor + = és - = és - =

Ha _5 + 7 = , akkor + = és - = és - =

/Figyeljük meg itt a mínusz el ıjel és a kivonásjel

megkülönböztetését. Vö. 109. oldal./

- 103 -

Hasonló ötlettel a szorzáshoz /és megfordítás útján az osztáshoz is/

el lehet jutni. A két táblázat és a hozzájuk tartoz ó utasítás

például a következ ı lehet:

Vegyük észre a lényeges különbséget eközt és az el ızı

feladatlap közt. Ott a jobboldalon is összeadótábla volt - amit a

tanulók valószín őleg észrevesznek és felhasználnak, bár a

szabályosság keresése anélkül is útbaigazítja ıket-, itt azonban a

jobboldalon nem szorzótáblát látunk. A szabályosság , amit

megfigyelnek a tanulók, az, hogy minden sor és mind en oszlop

számtani sort alkot. /Nem ismerik ezt a fogalmat - negyedik

osztályos tanulóknak készült ez a feladatlap! - de látják a

szabályosságot./

Ezt a feladatlapot is lehet folytatni az összeadási feladatlap

szellemében.

Talán felesleges mondani, hogy a szabályosság keres ése

bármilyen fontos támaszpontokat és indítékokat ad i s, nem

biztosíthatja azt, hogy a m őveleteknek legyen értelme a tanulók

számára, hogy megértsék a kapcsolatokat a valóságga l, és alkalmazni

is tudják a valóságra.

- 104 -

Itt mindenütt 9-cel nagyobb

számok legyenek, mint ott.

Töltsd ki el ıször csak a szorzótábla vastagon bekeretezett részét!

Ha a bekeretezett részt

kitöltötted, terjeszd ki a

szabályosságot a kereten

kivr őlre is. Azután töltsd ki a

baloldalon is a kereten kívüli

részt.

Szorzás és osztás a valóságra vonatkoztatva

A negatív szám kapcsolatát a valósággal egészen dur ván ezzel a

szóval lehet visszaadni: "fordítva". Kisgyerekek is megértik és

tudják játszani a mínusz-játékot, amelyek egyetlen szabálya: Ha azt

mondom, "mínusz", csináljátok fordítva, mint ahogy különben

csinálnátok.

a/ "Osszátok két halomra az el ıttetek lév ı pálcikákat. A

baloldaliból tegyetek át mínusz négyet a jobboldali ba."

b/ "A baloldaliból tegyetek át mínusz négyet a jobboldaliba."

c/ "Csökkentsétek a jobboldali halmot mínusz eggyel ."

d/ "Növeljétek a baloldalit mínusz kett ıvel".

e/ "Tegyetek hozzá az egyik halomhoz el ıbb mínusz kett ıt aztán

mínusz hármat. Mennyit tettetek hozzá?"

f/ "Tegyetek hozzá kett ıt és aztán mínusz ötöt. Mennyit

tettetek hozzá? Mennyit vettetek el?"

g/ "Tegyetek hozzá el ıbb mínusz ötöt, aztán kett ıt. Mennyit

tettetek hozzá?"

h/ "Tegyetek a jobboldalihoz kétszer hármat."

i/ "Tegyetek hozzá kétszer mínusz hármat."

j/ "A baloldaliból egyszer vegyetek el négyet."

k/ Mínusz egyszer vegyetek el bel ıle négyet."

l/ "Vegyetek e1 egyszer mínusz négyet."

m/ "Vegyetek el mínusz egyszer mínusz négyet."

n/ "Tegyetek hozzá egy halomhoz kétszer mínusz kett ıt. Mennyit

tettetek hozzá?" o/ "Tegyetek hozzá egyszer mínusz kett ıt. Mennyit tettetek

hozzá?"

p/ "Tegyetek hozzá nullaszor mínusz kett ıt. Mennyit tettetek

hozzá?"

q/ "Tegyetek hozzá mínusz egyszer mínusz kett ıt. Mennyi

tettetek hozzá?"

r/ "Tegyetek hozzá mínusz kétszer mínusz kett ıt. Mennyit

tettetek hozzá?"

Természetesen m/, q/ és r/ a legnehezebbek, itt két szer kell

valamit fordítva gondolni, a fordítottnak is a ford ítottját kell

gondolni. A fordítottnak a fordítottja az eredeti, a "rendes" ,

- 105 -

ezt kell kihámozni bel ıle, erre pedig a mindennapi életb ıl is vannak

tapasztalataik.

Senki se higgye, hogy ezzel el van intézve a negatí v számok

szorzása. Legfeljebb a halvány körvonalai vannak me g annak, kés ıbb

egyre élesebben rajzolódik ki bennük. De tagadhatat lanul annak a

körvonalai.

Összekapcsolhatjuk a "mínusz-játékot és a kivágott korongokkal

vagy játékpénzzel és számlákkal folytatott játékot / 100. oldal/;

ezzel tartalmasabbá, életszer őbbé tehetjük. Példa:

"Adj nekem mínusz kétszer mínusz öt forintot". /Vag yis végy el

t ılem két darab öt forintos számlát./

Halvány körvonalakat az osztásról is adhatunk, rész ben a

részekre osztás, részben a bennfoglaló osztás gondo latát tartva szem

el ıtt:

"Add ide mínusz tíz forintnak a felét.

"Hányszor tudsz elvenni mínusz tíz forintból mínusz két

forintot úgy, hogy semmi sem marad?" /Ötször: a tíz forintnyi

adósságlevélb ıl ötször egymásután elveszünk két-kétforintnyi

adósságlevelet./

"Hányszor tudsz elvenni mínusz tíz forintból mínusz két

forintot úgy, hogy végeredményben nem marad sem pén zed, sem

adósságod?" /Mínusz ötször. Tudniillik hozzáteszek ötször egymásután

két-két forintot, ez azt jelenti, hogy mínusz ötszö r vettem el két

forintot. Így a tíz forint adósság mellett van tíz forint

készpénzem, vagyis együttvéve sem pénzem nincs, sem adósságom./

A tapasztalatok alapján fokozatosan épülnek ki a go ndolatok.

Ne er ıltessünk egyetlen utat /se ezt, se mást/, és semmik éppen se

törekedjünk gyors általánosításokra. Próbáljuk ráve zetni a

gyerekeket arra, hogy vegyék észre a különféle tapa sztalatok mögött

a közös struktúrát.

Éppen csak megemlítünk még egy gondolatot, amelyet különféle

konkrét mennyiségekkel kapcsolatban fel lehet haszn álni a szorzás és

az osztás célszer ő értelmezésére. Azt akarjuk, hogy bizonyos

számítási módok, képletek, amelyek alkalmazhatók a természetes

számok körében, másféle számok esetében is alkalmaz hatók maradjanak.

Például helyzetünket egy egyenes úton különféle poz itív és negatív

id ıpontokban mindig az s=ct képlettel lehessen kiszámí tani. Mivel

helyzetünket egy úton a gyakorlatban nem szoktuk ne gatív számmal

megadni, természetesebb ennek egy olyan

- 106 -

változata, amelyben a h ımérséklet emelkedését és süllyedését

vizsgáljuk az id ı függvényeként például ki- illetve bekapcsolt

hőt ıszekrény belsejében, feltételezve, hogy a változás egyenletes. x

A negatív id ıpontok itt is idegenszer őek, de mégis el ınyös, hogy

legalább a két összefügg ı mennyiség közül az egyikben mesterkéltség

nélkül fordulnak el ı a negatív számok. Ha ez az els ı és esetleg az

egyetlen példa, amelynek a tanulókban a negatív szá mmal való szorzás

fogalmát ki kell alakítani, akkor természetesen az utána következ ı

általánosítás szükségképpen csak formális és elsiet ett lehet. Ha egy

tanulónak mégis elég ennyi, akkor annak valószín őleg már erre sem

volt szüksége.

A negatív számok és az algebra

A negatív szám fogalma független a bet őjelölést ıl és általában

attól, amit a számtannal szembeállítva algebrának s zoktak nevezni

/Vö. 112. oldal/; nincs hozzá sem több, sem keveseb b köze, mint

például a törtszámoknak. Az egyenleteken, az azonos ságok általános

szimbolikus megfogalmazásán keresztül azonban a neg atív szám fogalma

is új vonásokkal gazdagodik. Egyre inkább kiderül a fogalom célszer ő

volta. Felesleges kerül ıutakat takaríthatunk meg az egyenletek

megoldásában, ha tudjuk, hogy pl. 52-54 év múlva nem értelmetlen

állítás, hanem azt jelenti: -2 év múlva, vagyis 2 é vvel ezel ıtt xx .

Türelmesen hozzá kell szoktatnunk a tanulókat ahhoz a

gondolathoz, hogy a változók általában negatív szám ok helyett is

állhatnak, a mínuszjel pedig az ellentett jele, pl. -c, -x, -2ab

jelentése: c ellentettje, x ellentettje, 2ab ellent ettje, s ezeknek

az értéke lehet pozitív is /ti. ha c, x, illetve 2a b negatív/, 0 is

/ha c, x, illetve a és b közül legalább az egyik 0/ . Könnyebben

megértik ezt, ha eleinte a keret-jelölést alkalmazz uk /lásd 119.

oldal/.

________________ x Lásd Faragó-Varga /1957/ 54-54. oldal. xx Lásd Gallai - Péter /1949/, 94. oldal.

- 107 -

A dolog könnyebbik végét fognánk meg, ha /-a/ /-b/ helyett

azon az alapon írnánk ab -t, hogy "mínusszor mínusz az plusz." A

racionális számok szorzásának el ıjelszabálya érthet ı módon azt

sejteti velünk, hogy /-a/ /-b/ = ab, /-a/b = -ab, a /-b/ = ab, ezek

azonban mindaddig nem egyebek sejtéseknél, amíg val ahogyan meg nem

gyızıdünk arról, hogy az a<0, a=0, a>0 és b<0, b=0, b>0 esetek

minden kombinációjánál teljesülnek. Természetesen e rre az esetre is

érvényes az, hogy értelmetlen dolog a tanuló részér ıl meg nem lev ı

precizitási igényeket kielégíteni, olyan kérdésekre válaszolni,

amiket senki sem tesz fel. Egy kezdett ıl fogva formalista tanítást

nem precízebbé, csak még formalistábbá tennénk, ha a racionális

számok el ıjelszabályának definiálása után tudományoskodva

bebizonyítnánk a változókra vonatkozó el ıjelszabályokat. A diákok

aligha értenék meg, miért kell az el ızı esetben a "bizonyítás" szót

használni, miért nem esetleg fordítva. Ha azonban ú gy irányítjuk a

diákok munkáját, felfedezésr ıl felfedezésre, hogy tiszta fogalmaik

legyenek arról, mit jelentenek a jelek, amiket leír nak, akkor ez a

probléma is természetes módon merül fel és intéz ıdik el.

Ha egyszer ően az analógia alapján írunk /-a/ /-b/ helyett ab -

t, /-a/b helyett -ab-t stb., akkor a tanulók nem ér tik, nem is

érthetik meg, hogy |-x | miért nem "egyenl ı" x-szel. Különösen akkor

okoz ez nehézséget, ha az abszolút érték fogalmát f ormalista módon

tanulták, "az el ıjel elhagyásával kapott szám"-ot jelenti nekik egy

szám abszolút értéke. Aki tudja, hogy pozitív szám és 0 abszolút

értéke saját maga, negatív számé az ellentettje, /n em az el ıjel

megléte vagy nem léte számít, pl. |3| = +3 is igaz , hiszen mindegy,

hogy a pluszjel ott van-e vagy nem/, s az könnyebb en megérti, hogy

|-x | csak x nemnegatív értékeinél egyenl ı x-szel, x negatív

értékeinél -x-szel egyenl ı, hiszen ez jelenti az x-szel ellentett

/tehát negatív x esetén pozitív / számot. Az y = |x | függvény

ábrázolása lényegesen hozzájárulhat ennek a - forma lista észjárás

számára nehezen érthet ı - gondolatnak a megértéséhez: a grafikon

részben az y = -x, részben az y = x függvény grafik onjával esik

egybe, x értékét ıl függ ıen.

- 108 -

Összevonás

Egy igen elterjedt téves elképzelésr ıl kell meg beszélni,

amely szerint a negatív számok bevezetése után "az összeadás és a

kivonás egyetlen m őveletté olvad egybe; ez a mindkét m őveletet

magába foglaló egyetlen m ővelet az összevonás".

A valóság az, hogy az összeadás és a kivonás a raci onális

számok körében is két különböz ı mővelet. Két racionális szám

összeadásakor abszolút értéküket vagy összeadjuk, v agy kivonjuk,

aszerint, hogy egyez ı vagy ellenkez ı az el ıjelük; kivonás esetében

fordítva. Egyetlen m őveletté válásról tehát nem lehet szó, inkább

valamiféle "összekeveredésr ıl" beszélhetünk: mindkét m őveletben

mindkét "régi" m ővelet elemei megtalálhatók. Ugyanígy találhatók meg

a tört számok szorzásában a természetes számok szor zásának és

osztásának elemei, az osztásukban szintén. /Különös en felt őnı ez

közönséges tört alakban./ Mégsem mondhatjuk, hogy a tört számok

bevezetése után megsz őnik a külön szorzás és osztás, és nem találunk

ki új elnevezést az "egybeolvadás" útján létre jöv ı mőveletre.

Az egybeolvadásra vonatkozó tévhitnek talán egy jel ölésbeli

egyszer ősítés a magyarázata. Miután kiderül, hogy egy szám kivonása

egy másik számból és ellentettjének hozzáadása a má sik számhoz

ugyanazt az eredményt adják, a kivonásokat összeadá sokká

alakíthatjuk, pl.

/-4/ - /+2/ = /-4/ + /-2/ /-7/ - /-3/ = /-7/ + /+3/

Az összeadás jelét most már félreértés veszélye nél kül el is

hagyhatjuk:

-4 -2 -7 + 3

Ezeket a kifejezéseket most az egyenl ıségjelekt ıl jobbra es ı

összegek rövid leírásának tekinthetjük. De ha ilyen kifejezéseket

látunk, eszünkbe jut, hogy ezek az egyenl ıségjelekt ıl balra es ı

kifejezésekb ıl is eredhettek. Különösen -4-2 tekinthet ı, minden

átalakítás nélkül, különbségnek is /-4 és 2 különbs égének, nemcsak

összegnek /-4. és -2 összegének/. Ez persze játék a jelölésmód

kétértelm őségével; aki már tudja és érti, hogy veszélytelen, annak a

számára hasznos is lehet ez a játék. Mindenesetre

- 109 -

vigyázzunk, hogy a jelekkel való játék el ne burkol ja a mögötte lev ı

tartalmat. Ha a jelek kétértelm ő használata miatt egy és ugyanaz a

kifejezés összegnek és különbségnek is tekinthet ı, ez még nem

jelenti azt, hogy nincs többé külön összeadás és ki vonás! Ha az

"összevonás" szó használatával ezt akarjuk kifejezn i, akkor

használata helytelen. Használhatjuk azonban az "öss zevonás" szót

olyasféle értelemben, mint a törtekkel kapcsolatban az

"egyszer ősítés" szót /olyan átalakítás, amely egy kifejezést adott

módon egyszer őbb alakra hoz/. Ilyen értelemben mondhatjuk például ,

hogy a

-2ab + 7a + 2ab - 3a

kifejezésb ıl összevonással a

4a

kifejezést kapjuk. /Ebben az azonos átalakításban t öbbek között a

disztributivitást is alkalmaztuk: 7a - 3a ≅ /7 - 3/a ≅ 4a./ Ilyen

értelemben nem hibáztatható az "összevonás" szó.

- 110 -

5. AZ ALGEBRA KEZDETE

"Számtan" és "algebra "

Az idéz ıjelek arra utalnak, hogy külön számtanról és

algebráról - olyan értelemben, ahogy ezeket a szava kat az iskolában

használják - nem beszélhetünk. A ma szokásos megkül önböztetésre

jellemz ı ez az /egyik - különben sok értékes gondolatot tar talmazó -

általános iskolai tankönyvünkb ıl x vett/ idézet:

"a + b = b + a

Az összeadás felcserélési tulajdonsága az algebrába n is érvényes".

Eszerint volna külön számtan, ahol számokkal végzün k

mőveleteket, és azt tapasztaljuk, hogy ezek körében a z összeadás

kommutatív. Volna külön algebra, ahol viszont bet őkkel /vagy

bet őkkel is/ számolunk, s az összeadás ezek körében is kommutatív.

Régebben még az is el ıfordult, hogy a változóként használt bet őket

"általános számoknak", s ıt - nem tör ıdve azzal, hogy ennek a szónak

a matematikában egészen más értelme van - "algebrai számoknak"

nevezték. Ez a szóhasználat olyan elképzelést takar , hogy az egész

és tört, pozitív és negatív stb. számokon kívül "ál talános",

"algebrai" számok is vannak, az el ıbbiekhez hasonló

tulajdonságokkal.

Valójában "a + b = b + a" nem fejez ki az általános iskolások

számára semmiféle új objektumokra vonatkozó állítás t; egyetlen

mondanivalója az, hogy a számokra vonatkozó felcserélési tu-

________________ x Kelemenné - Mosonyi - Stéger /1959/.

- 111 -

lajdonság minden esetben érvényes /abban a számkörben, amelyr ıl szó

van, az azonosság értelmezési tartományában./. x

A "számtan" és az "algebra" közötti hagyományos fel osztás

nagyjából a következ ı volt:

"Számtan"

"Algebra"

Számfajták

természetes számok tört számok /különféle jelekkel/

negatív számok irracionális számok stb.

mőveletek

összeadás - kivonás

szorzás - osztás

hatványozás gyökvonás logaritmálás

jelölésmódok

=jele "az" értelemben

= mint egyenl ıség, egyenlet, azonosság jele; <, ≤, >, ≥ stb.; zárójelek a m őveletek sorrendjének jelölésére.

feladattípusok

egyenes és fordított arányossági feladatok /hármasszabállyal és aránypárral/, arányos osztás stb.

azonos átalakítások /"m őveletek bet őkifejezésekkel"/, egyenletmegoldások, számtani és mértani sorra vonatkozó feladatok stb.

Az elmúlt évtizedekben - bár a különválasztás megma radt -

egyes addig algebrainak tekintett fogalmak és jelöl ésmódok /pl.

________________ x Mellékesen megjegyezzük, hogy "a+b = b+a" így magá ban nem

alkalmas egy azonosság kimondására. Ez csupán egy k étismeretlenes

egyenlet, amelyr ıl ugyan látjuk , hogy a és b minden értékére

teljesül, de ez a felírásmód ezt nem állítja róla. Legalábbis nem

célszer ő, hogy a bet ő megválasztása ilyen mondanivalót hordozzon,

mert ezzel korlátoznánk az egyenletben alkalmazható bet ők körét, ami

pedig - többek között a fizika miatt - nehézségeket okozna. Jobb

tehát valamilyen módon kifejezésre juttatni, hogy a zonosságról van

szó: "a és b minden értékére a +b = b +a", vagy kvantorokkal

rövidítve: " a b (a+b = b+a) ” , amit kevésbé szabványosan, de igen

elterjedt gyakorlat szerint így is le lehet írni: " a,b: a+b =

b+a”. Még kevésbé szabványos, de még rövidebb kifej ezésmód ugyanerre

a megállapításra: "a+b = b+a"; a kvantorokat itt a harmadik vonás

fejezi ki.

- 112 -

a hatvány fogalma/ a számtanba kerültek. A tanulók ma már a

számtanban kezdenek példákat látni arra, hogy az = jel nem az "az"

jele, hanem egyenl ıségjel; ilyeneket, mint 3 + 7 = 7 + 3, /250 +

25/. 4 = 250 4 + 25.4. Ezek révén az azonos átalakí tás gondolata is

kezd behatolni a számtani anyagba. Az egyenletek eg yszer őbb

fajtáival - ilyenekkel, mint 5 + � = 8, 180 : x = 45 - már az alsó

tagozaton kezdenek megismerkedni, és ott kezdenek e l zárójeleket is

alkalmazni m őveletek sorrendjének kijelölésére.

Az el ıbb vázolt merev szétválasztást már régebben is megt örte

pl. az, hogy egy speciális egyenletfajtáról, az ará nypárról, a

számtanban tanultak. /Csak éppen az maradt tisztáza tlan, hogy ez is

egyenlet. Ehelyett külön szabályokat tanultak a meg oldására./

Nyilvánvaló a változás iránya: a számtan és algebra közt

mesterkélten megvont határ egyre inkább elmosódik. Lehet, hogy a

"számtan" szó kés ıbb más értelmet kap, és a mostani esetleges

szétválasztás helyett valamilyen értelmes szempont szerinti

megkülönböztetést fog kifejezni. Például a számtan körébe

sorolhatjuk a /tízes vagy egyéb/ számrendszerben va ló felírástól

függ ı tényeket és eljárásokat, az algebra körébe az ett ıl

függetleneket. Egy ilyen megkülönböztetés jogos és célszer ő lehet,

ha nem jár együtt avval, hogy az így megkülönböztet ett tényeket és

eljárásokat a tanításban is különválasztjuk .

Elvileg határt lehet vonni számtan és algebra közöt t az

absztrakció foka szerint is. Ezt fejezi ki durván, aki azt mondja,

hogy "a számtanban számokkal, az algebrában bet őkkel számolunk". Ez

a határvonal egyáltalán nem éles. Figyeljük meg pél dául a következ ı

feladatokat: 3 . 2 = ...; 3 . 2 = � , 3 . � = 6; 3 . ? = 6; 3 . x =

6; 3x = 6; 23 . � = 851; 23x = 851; 3x - 1 = 14; 3x + 10 = 7x .

Melyeket sorolnánk közülük a számtanba, melyeket az algebrába? A

bet őhasználat semmiképpen sem dönt ı az absztrakció szempontjából. A

legnagyobb min ıségi ugrás tálán 3x = 6 és 23 . � = 851 között van.

Kis számoknál ugyanis ki találjuk, hogy mikor telje sül az egyenlet,

nagyobb számok esetén viszont a m őveletek közti kapcsolat alapján

okoskodunk, pl. azt használjuk ki, hogy 23 . � = 851 ⇔ � = 851: 23.

De hol kezd egy szám ebb ıl a szempontból "nagy" lenni?

Látjuk, hogy éles határ elvileg is nehezen hozható az

absztrakció foka alapján "számtan" és "algebra" köz ött. Olyan-

- 113 -

féle megkülönböztetés ez, mintha a számtannak a kon krét

mennyiségekkel foglalkozó részét /pl. 3 ujj + 1 ujj = 4 ujj/ el

akarnánk határolni attól a részét ıl, amelyben a mennyiségekt ıl

absztrahálva már pusztán számokat használunk ,3 + 1 = 4/, vagy az

adott /pl. 2 cm, 3 cm, 4 cm oldalú/ háromszögekkel foglalkozó

"mértantól" el akarnánk határolni a tetsz ıleges háromszögekre

összefüggéseket megállapító geometriát". Ilyenféle határokat nem

szokás vonni. A "számtan" és az algebra" között azo nban nem csupán

elvben szokás /nagyjából az absztrakció foka szerint/ hat árt vonni -

ez, ha nehezen sikerül is, nem volna baj - hanem a pedagógiai,

gyakorlatban is van egy bizonyos szétválasztás. Pedig az

absztrahálás alapfeltétele éppen az, hogy a konkrét és az absztrakt

ne legyen szétválasztva /ahogy a „konkrét mennyiség ek tana" sincs a

számtantól/. A konkrétabb és absztraktabb közötti á llandó ide-oda

mozgás, kapcsolatteremtés érleli meg az absztrakció t. Ez történik

akkor, amikor a pedagógus váltogatva ad - mint látt uk, már az

általános iskola els ı osztályától kezdve - egymáshoz kapcsolódó

numerikus és szöveges feladatokat, leíratja a szöve ges feladatok

numerikus tartalmát m őveletekkel, szöveget készíttet numerikus

feladatokra stb. Ez történik akkor is, amikor a szö veges feladatok

egyenlet nélküli megoldásáról áttérünk az egyenlett el való

megoldásra /lásd például a következ ı óraleírást/, vagy megfordítva,

egy feladat egyenlettel való megoldása után keresün k egy egyszer őbb,

egyenlet nélküli megoldást, vagy amikor egy egyenle thez szöveget

keresünk. Ezt tesszük akkor is, amikor célszer ő számolásmódok

alapján eljutunk bizonyos azonosságok felismerésére / 30.,36.,41.

old./ és megfordítva, azonosságokat numerikus számo lásra

alkalmazunk. Amilyen mértékben biztosítjuk a konkré t és az absztrakt

szerves kapcsolatát, az absztraktnak a konkrétból v aló kibontását,

olyan mértékben válik értelmetlenné és tarthatatlan ná a számtan és

az algebra különválasztása. Nem olyan probléma ez, ami egy egyszer ő

tantervváltozással megoldható volna. A pedagógiai g yakorlatnak kell

el ıl járnia, kitaposnia az utat, hogy aztán a tanterv, a módszertani

irodalom és a tankönyvek fokozatosan átvegyék és ál talánossá tegyék

az elért eredményeket. Tanulmányozzuk az újabb tant erveket,

tankönyveket, módszertani közleményeket, megállapít hatjuk bel ılük,

hogy csak az utóbbi évtizedben is milyen sok minden történt ezen a

téren. Még több azonban a tennivaló.

- 114 -

Átmenet a "számtanból" az "algebrába"

Egy hetedik osztályos számtanórán err ıl a feladatról volt szó:

"Egy diák 3 füzetet és 4 ceruzát vett 10 Ft-ért. Eg y másik 4 füzetet

és 2 ceruzát vett, ugyanolyanokat, 8 Ft-ért. Mennyi be került egy

füzet, mennyibe egy ceruza?" A tanterv szerint az a lgebra csak a

nyolcadikban kezd ıdik, ennek a feladatnak a kapcsán az osztály mégis

eljutott, szinte észrevétlenül, az algebrához, még hozzá nem is

egyenletek, hanem egyenletrendszerek megoldásához, ami a

középiskolák 1. osztályának év végi anyaga. Persze nemcsak ennek a

feladatnak a kapcsán; hozzájárultak ehhez az el ızı és a k ıvetkez ı

órák és ezen az órán is még több más feladat.

A gyerekek a feladat szövegének az egyeztetése után néhány

percig egyedül dolgoztak. A tanár azt az elvet köve tte, hogy nem

tálalja készen a módszereket; hanem engedi, hogy a gyerekek önálló

utakat keressenek. Kb. öt perc önálló munka után az onban becsukatta

a füzeteket, és egy kicsit beszélgettek a feladatró l. Mit tudunk,

mit keresünk, hogyan lehet elindulni? Ez a beszélge tés segítség volt

azoknak, akik egészen önállóan nem boldogultak voln a a feladattal,

hiába töltötték volna tovább az id ıt. Utána megint folytatták az

önálló munkát. A tanár az el ıbb is és most is körbejárkált, egy-egy

gyereknek mondott néhány segít ı vagy dicsér ı szót. Aki kész volt,

azzal becsukatta a füzetét, nehogy más abból nézze ki. Aztán

befejez ıdött az önálló munka, a tanár a táblánál bemutatta, miket

látott. El ıször is, hogy jegyezték föl a feladatot? Volt, aki

rajzban:

vagy így

- 115 -

10

8

10 Ft

20. ábra

21. ábra

Volt, aki szóban:

3 füzet + 4 ceruza 10 Ft,

4 füzet + 2 ceruza 6 Ft.

Olyan is volt, aki csak a kezd ıbet őket írta le:

3 f + 4 c = 10,

4 f + 2 c = 8.

Ennél és a rajzos lejegyzésnél is valami zavarta a gyerekeket. A

tanár is érezte ezt, és mindjárt rákérdezett:

- Mit jelent itt az az f?

= A füzeteket.

- De hát azt úgyis tudjuk, hogy az egyik 3 füzetet vett, a

másik 4-et!

Egy kicsit még elbeszélgettek err ıl, amíg minden gyerek el ıtt

világossá nem vált, hogy f egy füzet árát , c egy ceruza árát

jelenti, forintban. Ugyanezt jelenti a rajzokon is egy téglalap és

egy vonás, és így már az egyenl ıség jel használata ellen sem lehet

kifogás.

Azután egypáran elmondták, hogyan indultak el.

Volt, aki próbálgatással kezdte. Akkoriban árultak 1 forintos

ceruzát, ezzel próbálkozott. De a füzet árára hol 2 Ft adódott, hol

pedig 1,50 Ft. Másféle áru ceruzával is megpróbálta , akkor pedig

tört fillérekhez jutott.

Egy másik gyerek abból indult ki, hogy a két vásárl ó együtt 7

füzetet és 6 ceruzát vett 18 Ft-ért, de nem tudta b efejezni a

megoldást.

Senki sem tekintette dehonesztálónak ezeket a félbe maradt

próbálkozásokat, sem a próbálkozók, sem társaik, se m a tanár. A

központi probléma láthatóan nem az volt, hogy ki há nyast kap, hanem

inkább az: mit lehet kezdeni egy ilyen feladattal?

Sokan tudják a megoldást, szeretnének is szólni, de a tanár

egyel ıre türelemre inti ıket, inkább ı szólongatja azokat, akik

enélkül nem nagyon szólnának.

Az egyik ilyen gyerek megjegyzi, hogy ha 4 füzet és 2 ceruza

ára 8 Ft, akkor 2 füzet és 1 ceruza ára 4 forint. T öbben mondják,

hogy erre ık is gondoltak, de mit lehet ezzel kezdeni?

= Jobb inkább fordítva - mondja egy gyerek, akinek a tanár

végre szót ad - kétszerannyi füzetet és ceruzát ven ni. Ha 4 füzet és

2 ceruza ára 8 Ft, akkor 8 füzet és 4 ceruza ára 16 forint.

- 116 -

Többen hangosan helyeselnek, mások pedig csodálkozv a nézik,

mire jó ez a bonyodalom.

- Írjuk csak fel - mondja a tarár. Már írja is a tá blára, a

gyerekek a füzetbe:

3 f + 4 c = 10

8 f + 4 c = 16

Vár egy kicsit, azután kérdezi:

- Miért fizetett ez a másik többet, mint az els ı?

= Mert több füzetet vett.

- Folytasd, D.!

= 5 füzet ára 6 Ft.

- Tovább, L.!

= Akkor 1 füzet 1 Ft 20 fillérbe kerül. /Ülve felel nek, munka

közben./

- Tovább.

= 3 füzet ára 3 Ft 60 f, és ebb ıl már a ceruzák árát is ki

tudom számítani.

- Azt majd K-tói halljuk!

Amikor így eljutnak a megoldáshoz, a tanár ad egy m ásik

hasonló feladatot, de itt árak helyett súlyok szere pelnek.

A harmadik feladatban nincs konkrét mennyiség, így kezd ıdik:

"Gondoltam két számot."

A megoldási típusok is változnak: mindkét egyenlete t végig

kell szorozni; kivonás helyett a megfelel ı oldalak összeadása visz

célhoz stb. Ezeket a szakkifejezéseket nem használj ák, árban,

súlyban, őrtartalomban gondolkoznak, nem ismeretlenekben,

együtthatókban, egyenletek bal és jobb oldalaiban. De ha nem mondják

is ki, tapasztalatokat gy őjtenek az utóbbiakról, absztrahálnak. Óra

vége felé a tanár annyi szöveget sem mond, hogy "go ndoltam két

számot", hanem egyenletrendszereket ír fel, ilyenek et:

x + y = 7

x - y = 3 .

Nem mondja a gyerekeknek, hogy "a számtannal végezt ük most

algebrával foglalkozunk". Nem is mondhatja, hiszen még sokszor végig

kell járniuk az absztrahálásnak ezt az útját, hogy osztály minden

tanulója számára tartalommal teljenek meg az x-ek é s

- 117 -

y-ok, hogy sok szemléletes kép húzódjon meg az egye nletek

összeadásának és kivonásának formális lépései mögöt t. Mégis, két

osztályt ugrott, olyan feladatokat adott, amelyek a tanterv szerint

csak a középiskolában kerülhettek volna sorra. Az a dott esetben,

látva, hogy erre megérett a helyzet, mint lelkiisme retes tanár nem

is tehetett egyebet.

A változók /ismeretlenek/ bevezetése. A keret-jelöl és

A most leírt órán szavak kezd ıbet őit használták az

ismeretlenek jelölésére /ceruza ára röviden c, füze t ára röviden f/.

Ezen az úton járunk akkor is, amikor a "terület = a lap . magasság"

megállapítást így rövidítjük: "t = a . m". Ez egy l ehetséges, eléggé

természetes bevezetési módja az algebrai jelölésnek . Az

alkalmazásoktól elszakított, a szó rossz értelmében "absztrakt" x

algebrát jellemzi az x, y és z egyoldalú kultusza. Ennek gyakori

eredménye, hogy a fizikában nehézséget okoz egy egy enlet megoldása

azért, mert a fizikai mennyiségeket rendszerint más bet őkkel

jelölik. Több ismeretlenes egyenletrendszerre vezet ı szöveges

feladatokban általában célszer őbb a kezd ıbet ők alapján választani ad

hoc jelöléseket, mint önkényesen társítani például a vashoz az x, a

rézhez az y, az alumíniumhoz a z bet őt ahelyett, hogy v, r, a

bet őket használnánk.

Attól az esett ıl eltekintve, amikor kezd ıbet őkként

szerepelnek, a változóknak /ismeretleneknek/ bet őkkel való jelölése

________________ x Az "absztrakt" szónak van két alapvet ıen eltér ı jelentése,

amelynek a meg nem különböztetése kellemetlen követ kezményekkel jár.

A szó egyik értelmében a matematika lényegével jár együtt, hogy

absztrakt, tudniillik konkrét esetekb ıl elvonja /absztrahálja/ azt,

ami bennük közös, a közös struktúrát. Aki konkrétum okból kiindulva a

maga lábán eljutott egy absztrakt fogalomhoz, annak könny ő

megtanítani - vagy tanítani sem kell, - hogy vissza jusson onnan a

konkrétumokig, az alkalmazásokig. A szó másik, pejo ratív értelmében

"absztrakt" azt jelenti: "a konkrétumtól elszakítot t". Sokan azt

hiszik, hogy a matematika ilyen értelemben absztrakt; annyiban talán

igazuk is van, hogy hozzájuk így jutott el. Az "abs ztrakt" szó

utóbbi értelemben való használata, közkelet ő, de félrevezet ı. Z.P.

Dienes találóan jegyzi meg, hogy annak a számára, a ki nem a

konkrétból absztrahálta az x 2 szimbólumot, ez nem absztrakt, hanem

éppen hogy konkrét: nyomdafesték-, tinta-, ceruza- vagy krétafolt,

semmi egyéb.

- 118 -

eleinte nem nagyon célszer ő, sok zavar forrása. A tanulók

megszokták, hogy a bet ő az írott szó alkotóeleme, néha sorrendet

jelöl, s ezek a megszokások megnehezítik az algebra i bet őhasználat

megértését. Minden tanár tapasztalhatta, mennyire h ajlamosak a

gyerekek arra, hogy a + 1 helyett b-t írjanak, vagy azt mondják: a +

b = c /mert "az következik"/. Alkalmasabb jelölésmó d eleinte a

keret, például

22. ábra

A bet ővel szemben el ınye az is, hogy szinte szuggerálja a

helyettesítés gondolatát: minden ilyen jel fenntart ja a helyet

valamilyen szám vagy számok részére. Az egyez ı jelek egyenl ı számok

részére tartanak fenn helyet, ez is magától értet ıdı. Az viszont már

nem, hogy különböz ı keretekbe is kerülhetnek egyenl ı számok; például

a

23. ábra

azonosság arra az esetre is vonatkozik, ha az els ı két keretbe 379,

a harmadikba 187 kerül. A példa alapján a tanulók m egértik: kár

volna, ha nem engednék meg, hogy különböz ı keretekbe egyenl ı számok

is kerülhessenek. Akkor az általános törvényszer őség ilyen esetben

nem volna alkalmazható, ezt az esetet másképpen kel lene felírnunk

stb. A keret ilyen értelm ő használata nálunk már az általános iskola

1. osztályában elkezd ıdik. x

________________ x Rá kell azonban mutatni két hibára, amely megnehez íti a

keretjelölés el ınyeinek érvényesülést: 1. különböz ı számok helyett

is ugyanolyan alakú keret szerepel, például a 2 + 8 összeadást

ábrázoló rajz alatt ezt látjuk: � + � = ; 2. a keret nem szám, hanem

számjegy helyett áll, pl. � � - � =. Érthet ı ugyan a keret ilyen

alkalmazása mögötti elképzelés - a négyzetek a szám tanfüzet egy

"kockáját” jelentik - mégsem lehet helyeselni, mert csak a közvetlen

el ınyökre néz a kés ıbb megmutatkozó nagyobb hátrányokkal nem

tör ıdik. Jó példa ez arra, hogy a matematikatanítás pro blémáit - a

legapróbbakat is - úgy kell megoldani, hogy az isko lázás teljes

id ıszakát szem el ıtt tartjuk az els ı általánostól az érettségiig,

sót azon túl is.

- 119 -

A keret-jelölés persze csak átmeneti, fokozatosan á t kell

adnia a helyét a bet őjelölésnek. Az átmeneti jelölések nem mindig

célszer őek, néha felesleges megterhelést okoznak. Ez nem ol yan, ez

segíti a megértést, nehézségeket hárít el, és könny ő átmenetet

biztosít a végleges jelölés felé. /Hasonló értékes átmeneti jelölés

a bekarikázás zárójel helyett. A karika fels ı és, alsó részét kés ıbb

elhagyjuk, de a megmaradó rész mindig arra emlékezt et, amit a karika

sugall: az egybefoglalásra./

Szándékosan használjuk párhuzamosan a "változó" és

"ismeretlen" szavakat. Az a jelentés, amelyet a ker et-jelölés juttat

eszünkbe - tudniillik, hogy "helyénfoglaló" - nem t eszi szükségessé,

hogy változó és ismeretlen közt különbséget tegyünk . A paraméter

fogalmát is jobb elkerülni. Az egyenletesen gyorsul ó mozgásnak a

fizikából ismert útképletében / / s, a és t változók. Ha

azonban ezt mint egyenletet megoldjuk, a-ra vagy t-re, akkor

egyszeriben ismeretlenek lesznek bel ılük, mert egyenletmegoldással

kapcsolatban ez a bevett szó. Paraméterr ıl akkor szokás beszélni, ha

egy id ıre rögzítjük valamelyik változó, illetve ismeretlen értékét.

/Pl. legyen a a gravitációs gyorsulás a Föld egy po ntján; egy k ı

leejtésekor állandónak tekinthetjük, de aztán megné zhetjük, hogyan

függ a k ı mozgása attól, hogy hol ejtettük le./ Ezeknek a

megkülönböztetéseknek csak stiláris értéke van. Kár a kezd ıt

megzavarni velük. Egyszer őbb és kifejez ıbb azt mondani, hogy a 2x=a

- b egyenlet megoldása x-re a-ra a = 2x + b, b-re b =

A – 2x, mint azt mondani: oldjuk meg úgy, hogy z-t ismeretlennek, a-

t és b-t paraméternek, vagy a-t ismeretlennek, x-et és b-t

paraméternek tekintjük benne stb., Kés ıbb esetleg lehet tenni

stiláris megkülönböztetéseket is, ha éppen szüksége sek, de eleinte

jobb kevesebb elnevezést használni, különösen pedig jobb elkerülni

az olyan fogalmi megkülönböztetéseket, amelyek a ne hézségeket csak

növelik.

A rajzok szerepe

Az el ıbbi óraleírás jellemz ıen mutatja a rajzok, vázlatok nagy

szerepét a konkréttól az absztrakt felé vezet ı úton. Itt a rajz még

emlékeztet azokra a dolgokra, amelyekr ıl a feladatban szó van /pl.

füzetekre, ceruzákra/. Egy kés ıbbi lépcs ıfok az,

- 120 -

s = a t 2

2

x = a – b

2

Amikor függetlenül attól, hogy milyen objektumokról van szó,

szakaszokkal ábrázoljuk a mennyiségeket. Például en nek a feladatnak

a megoldását:

"Egy turistacsoport három nap alatt 68 km-t tett me g. Els ı nap

haladtak a legtöbbet, a második napon 3 km-rel rövi debb, a

harmadikon ennél is 4 km-rel rövidebb utat tettek m eg. Mennyi volt

egy-egy napi útjuk?"

Nagyon megkönnyíti egy ilyen vázlat készítése:

24. ábra

Itt még a szakaszok valamennyire emlékeztetnek a me gtett útra. A

következ ı példában már akár elolvasott oldalakról vagy elkés zült

rádiókról is lehet szó, a tanulók szívesen és könny en átteszik azt

is ilyen jelölésre. A fokozatosságra más tekintetbe n is jó vigyázni:

eleinte inkább csak két mennyiség szerepeljen. A ta nulók különféle

megoldási módokat fognak találni: az egyik talán ho zzátesz

gondolatban 3 és 7 kilométert a második és harmadik napi úthoz, egy

másik elvesz hetet és négyet az els ı kétnapi útból, talán lesz olyan

is, aki a középs ıhöz igazítja a többit, és 69-nek veszi a harmadát,

hogy ezt meghatározza. Engedjen a tanár szabad tere t az ilyen

ötleteknek, kezdeményezéseknek, ı maga pedig, amennyire csak lehet,

maradjon a háttérben. "Csak akkor segíts, ha magam nem bírom" - volt

kiírva egy óvoda falára. Ez nemcsak óvodai igazság.

A félig absztrakt rajzos megoldástól már csak egy k is lépést

kell megtenni az egyenletfelírásig:

25. ábra

- 121 -

3 km

4 km

68 km

/x + 4 + 3/ + /x + 4/ + x = 68

x

x

x

4

4 3

/Persze x helyett írhattunk volna például h. bet őt is - harmadik

napi út - vagy keretet is./ Szakaszokkal felrajzolv a, x-ek nélkül, a

megoldást számtani megoldásnak szokás tekinteni; il yen megoldás már

az ötödikben sorra szokott kerülni. Kár megszakítan i az absztrakció

folyamatát és három évvel kés ıbbre halasztani ezt a kis lépést. Sok

ilyen kis lépésre van szükség és ehhez sok id ı kell!

Nem lehet elégszer hangsúlyozni: akkor várhatjuk, h ogy minden

tanulóban kialakuljanak az absztrakt fogalmak, ha s őr őn közlekednek

a konkrétabb és az absztraktabb között, ha föl-le j árnak az

absztrakció lépcs ıjén. Ez azt jelenti, hogy például a szakaszokkal

való szemléltetést alkalmazhatjuk az egyenletmegold ással

párhuzamosan is. Például 2x - 13 = 25. Mellérajzolj ák:

26. ábra

A rajzról leolvassák, hogy 2x csak 25 + 13 lehet. L eírják:

2x = 38.

Innen már kitalálják, hogy x = 19. Nem mindig kell rajz, de ha

szükségét érzik, mindig igénybe vehetik a segítségé t.

Másik példa: . Olyan 9x - 6-ot keresünk, amelynek az

ötöde 7.

27. ábra

A rajzról leolvashatjuk, hogy 9x - 6 csak 7-nek az 5-szöröse

lehet. Ezt felírjuk egyenlettel:

9x - 6 = 35 stb.

Egy harmadik példa: /x - 6/8 = 12 . Olyan x - 6-ot keresünk,

amelynek a 8-szorosa 12.

- 122 -

9x – 6 = 7

5

2x

25 13

28. ábra

x - 6 csak 12-nek a 8-adrésze lehet:

Még akkor is hasznos lehet ez az ábrázolási mód, ha

többismeretlenes egyenletet oldunk meg egy ismeretl enre:

29. ábra

Az út, id ı és /állandó/ sebesség közti összefüggés felidézésé t

is megkönnyíti ez az ábrázolás:

Az órák száma: t

30. ábra

Az ábráról látható, hogy s = ct, de az is látható m indjárt,

hogy c = s/t /itt az osztást részekre osztásnak kép zeljük/, t = s/c

/itt bennfoglalást képzelünk el/.

Ez az ábrázolási mód szigorúan véve csak pozitív sz ámok

összeadására és kivonására, szorzására és osztására volna

alkalmazható. Még ezen belül is baj van vele, ha a szorzó törtszám.

Mégis segítséget jelenthet ilyen megszorításoktól f üggetlenül is. A

mőveletek közti összefüggések ugyanis számkört ıl függetlenül

érvényesek, és fontos is hozzászoktatni a tanulókat , hogy a

szemléletes esetekr ıl bátran általánosítsanak a kevésbé

- 123 -

x – 6 = 12 .

8

x = c .

a - b

x/a – b/ = c

vagy egyáltalán nem szemléletes esetekre. Más szóva l: ha szemléleti

támaszra van szükségük, menjenek vissza példákért a szemlélhet ı

esetekhez. A fenti ábra tehát akkor is segítség leh et, ha

háromnegyed óra vagy 0,36 mp alatt megtett útról va n szó.

Mindenesetre jobb segítség, mint valami mnemotechni kai fogás annak a

megjegyzésére, hogy mikor melyik bet ő van fölül.

Azonos átalakítások

Ha a

3/x + 2/ =

egyenletet így alakítjuk át:

3x + 6 =

akkor azonos átalakításokat végeztünk: az új egyenl et mindkét

oldalán ugyanazok maradtak a kifejezések értékei az ismeretlen

minden értékénél, csak az alakjuk, a leírásmódjuk v áltozott, éppúgy,

mint amikor helyett 1 -et vagy l,5-et írunk .

Ha viszont az el ıbbi folytatás helyett ezt választjuk:

9/x + 2/=5/x - 1/ ,

akkor az egyenlet két oldalának nemcsak az alakja v áltozott meg,

hanem az értékei is /x minden értékénél 3-szorakkor a az új egyenlet

mindkét oldalának az értéke, mint a régié/.

Fontos, hogy a tanulók, példák kapcsán, megértsék e zt a

különbséget. Többek között azért is fontos, hogy el kerüljék az olyan

hibákat, mint a következ ı folytatás:

3x + 6 = 5/x - 1/ /?!/

"Miért nem jó ez?" - mondja a diák. "Hiszen mind a két oldalon 3-mal

szoroztam!"

Ilyen és más példák kapcsán minden tanulóval meg ke ll

értetnünk, hogy mást jelent megszorozni valamit 3-m al és mást jelent

beszorozni 3-mal. Mást jelent osztani és mást jelen t kiemel-

- 124 -

5x - 1

3

5x - 5

3

3

2

1

2

ni. A beszorzás és a kiemelés a disztributivitás eg yik és másik

irányú alkalmazását jelentik, azonos átalakítások.

Régen világszerte, nálunk is, el ıbb megtanították a diákoknak

a fontosabb azonos átalakításokat "M őveletek algebrai

kifejezésekkel" vagy más hasonló címen, azután kezd ték el tanítani

az egyenleteket. Ma már általános az a felfogás, ho gy jobb

összekapcsolni az azonos átalakítások tanítását az egyenletek

tanításával. Ha a számtantól nincs különválasztva a z algebra, akkor

ez magától értet ıdı; a 3 + � = 5 egyenlet után hamarosan következnek

olyan egyenletek, amelyek megoldásához átalakításra /egyel ıre csak

numerikusra/ van szükség, pl. 3 + 1 + � = 5 vagy 3 + � + 1 = 5, és

továbbra is egymással szoros kapcsolatban épülhet k i az egyenletek

és az azonos átalakítások fogalma és technikája.

Ez nem jelenti azt, hogy felcserélésre és átcsoport osításra,

összeg tagonkénti levonására, beszorzásra és kiemel ésre, összeg és

szorzat osztására stb. csak egyenletmegoldással kap csolatban

kerülhet sor. Átalakításokat végezhetünk pl. egy ge ometriai vagy

fizikai képletben, hogy számítások céljára alkalmas abbá tegyük,

anélkül, hogy mint egyenletet meg akarnánk oldani v alamelyik

változójára. A természetes számokkal és a törtszámo kkal kapcsolatban

szó volt már arról, hogy az átalakításokat numeriku s példákra is

lehet és érdemes alkalmazni. Erre a célra összeválo gatott numerikus

példákon meg lehet értetni a különféle irányú azono s átalakítások

célszer őségét. Felfedezésükre /megsejtésükre/ is alkalmasak a

numerikus példák. A téves sejtések megcáfolására ug yancsak. A

pozitív példák azonban csak hihet ıbbé teszik az általános

törvényszer őséget, de nem bizonyítják, egyetlen ellenpélda visz ont

bizonyítja , hogy a sejtés téves volt. x Azt, hogy az átalakítások

minden esetben helyesek, kezd ı fokon persze nem formális bizonyítás

útján láthatják be a diákok, de a számpéldákon való illusztrálással

akkor sem elégedhetünk meg, ha a gyerekeket látszól ag az is

meggyızi. Sajátos módon az általános törvényszer őség felismeréséhez

el ıbb a konkrét felé, tehát mintegy visszafelé kell eg y lépést

tennünk. Ezek a példák:

________________ x Vö. Pólya György /1957/, 91-102. oldal.

- 125 -

24 -/4 + 9/ = 24 - 4 - 9

139 -/39 + 57/ = 139 - 39 – 57

nem gy ıznek meg arról, hogy a következ ı hasonló példában is egyez ı

eredményre vezet a kétféle kiszámítási mód, mert ne m mutatják, hogy

min fordul meg a dolog. E célból vissza kell menni a konkréthoz,

akár megfogható formában, akár képzeletben. Példa a z utóbbira:

Ez nemcsak arról gy ız meg, hogy a fenti számok esetében a

kétféle számítási mód ugyanarra az eredményre vezet , hanem arról is,

hogy ez bármilyen számok esetében így van; legalábbis pozitív számok

esetében. Természetesen csak azt gy ızi meg, aki képes az olyanféle

elemz ı és szimbolizáló munkára, amilyent itt végeztünk: l e tudja

írni a számokat tartalmazó történetek számtani magv át akkor is, ha

nemcsak egy m ővelet alkalmazása szerepel bennük. Ezt - és a

fordítottját, a matematikai mondatok interpretációj át, konkrét

helyzetek találását, amelyeknek a struktúráját egy- egy adott

matematikai jelsorozat fejezi ki -állandóan gyakoro ltatnunk kell.

Lebontás, megfordítás, mérlegelv. Céltól vezérelt okoskodás

Már megfigyeltük /113. oldal/, mennyire másképpen g ondolkozunk

két ilyen egyenlet megoldásakor, mint például 3x = 6 és 23 x = 851.

Azt mondhatnánk, hogy az els ıt szorzással oldjuk meg

- 126 -

Palinak volt 139 forintja:

139

Vett az áruházban egy 39 Ft-os

bicskát és 57 Ft-ért tornacip ıt:

Ennyit fizetett

139 - /39 + 571

Ennyi pénze maradt

Nekem is:

139

Én is ugyanazt vettem, de más-

más helyen.

Amikor megvettem a bicskát,

ennyi pénzem maradt:

139 - 39 – 57

Amikor a tornacip ıt is

megvettem, ennyi maradt.

/odagondoljuk a 2-t: 3.2 = 6/, a másodikat viszont osztással /nem

tudjuk, mit gondoljunk az x helyébe, hát elosztjuk a 851-et 23-mal/.

Figyeljük most meg ezt a kétféle okoskodási módot m ás, bonyolultabb

egyenleteken is. Nézzük el ıször ezt az egyenletet:

128 - = 121

Ezt a fenti els ı egyenlet megoldására emlékeztet ı lépésekben

oldhatjuk meg a legegyszer őbben: A tört helyébe 7-et kell

képzelnünk, hogy a felírt állítás igaz legyen:

A többivel tovább nem tör ıdünk, leírjuk, hogy a tört értéke 7:

= 7 .

A tört nevez ıje helyébe 100-at kell képzelnünk, hogy a fenti áll ítás

igaz legyen; írjuk le ezt is:

x+96 = 100 .

Végül itt 4-et gondolunk az x helyébe, és ezzel meg is oldottuk az

egyenletet:

x = 4 .

A most megfigyelt megoldási mód a lebontás .

A következ ı egyenletnek ugyanaz a felépítése, mint az

el ıbbinek:

4083 - = 2736 .

Mégsem ugyanolyan lépésekben oldjuk meg, hacsak nem vagyunk

számolóm ővészek. Itt már kénytelenek vagyunk tekintetbe venn i a

mőveletek összefüggéseit, amiben segíthet a fent megb eszélt rajzos

módszer:

- 127 -

700

x+96

= 7

128 – = 121

700

x+96

700

x+96

9429

x+√2

A rajzok segítségével megfordítjuk a m őveleteket; az összeadásnak és

a szorzásnak, mint kommutatív m őveleteknek csak egy - vagy inkább

két egyez ı - megfordítása van /az összeadásnak két kivonás, a

szorzásnak két osztás/, a kivonásnak és az osztásna k azonban, mivel

nem kommutatív m őveletek, két különböz ı megfordítása van: a

kivonásnak összeadás és ismét kivonás, az osztásnak szorzás és ismét

osztás. /Ha különbséget teszünk részekre osztás és bennfoglaló

osztás közt, akkor ezek egymásnak a megfordításai. A rajzok ezt jól

mutatják./ A most megfigyelt egyenletmegoldási lépé seket a

megfordítás szóval lehetne jellemezni. Pontosabban, de kissé

hosszabban azt mondhatjuk: az egymással inverz m őveletek közötti

összefüggések alkalmazása.

Következ ı példánk különösen jól mutatja, hogy a lebontásnak

semmi köze sincs a m őveletek inverzének ismeretéhez, ami pedig a

megfordításban alapvet ı:

Itt a megoldáshoz a hatványozás fogalma kell, de a logaritmusé nem;

a hatványozás fogalmának megszilárdítására egyébkén t nagyon

alkalmasak az efféle feladatok.

- 128 -

3x - 4

5 2 = 16

A lebontás gondolatát csak olyankor lehet alkalmazn i, ha az

ismeretlen csupán egy helyen szerepel. A megfordítá s alkalmazására

nincs ilyen korlátozás:

34. ábra

Foglaljuk össze azokat az ekvivalenciákat, amelyekr e megfordítás

alkalmával építünk; bizonyos fokú teljesség kedvéér t idevesszük a

hatványozásra és megfordításaira vonatkozó ekvivale nciákat is, de

persze lehetne folytatni a sort szögfüggvényekkel, esetleg még más

függvényekkel is: a, b és c minden értékére, ha az osztó nem 0, a

hatvány alapja pozitív, a logaritmus alapja pedig p ozitív és nem 1,

a+b = c ab = c a b = c

a =c-b b=c-a a= b= a= b√c b= log c

/A hatványozásnak és inverzeinek az ekvivalenciájár a, sajnos, nincs

olyan egyszer ő szemléltetési mód, mint az el ıbbi kett ıre./

Nézzük most a következ ı egyenletet:

Ezt is meg lehet oldani a m őveletek közti összefüggések

alapján /megfordítás útján/:

- 129 -

3x = 4x – 5,

4x – 3x = 5,

x = 5.

= 3x - 6

4

5x - 16

4

c

b

c

a

35. ábra

= a/b = c

a = b – c 3x – 6 = 5x – 16 a = bc

a + c = b 3x 10 = 5x

c = b – a 10 = 2x a = bc

5 = x a/b = c

/Oldalt rövidítve odaírtuk, hogy milyen összefüggés eket

alkalmaztunk./ Valahogy mégis körmönfont, er ıltetett magyarázatnak

érezzük itt a mondott összefüggések alkalmazását. A z el ıször végzett

átalakítás például szimmetrikus a jobb és baloldalr a vonatkozóan

/"mindkét oldalon ugyanaz történik"/, de a melléírt indokolás ezt

nem fejezi ki. "Ha két számnak a negyede egyenl ı, maguk a számok is

egyenl ık, és ha két szám egyenl ı, a negyedik is egyenl ı" - így

fejezhetjük ki szimmetrikus formában, ami itt törté nt. Ezzel az

úgynevezett mérlegelvnek vagy a két oldal egyforma változtatása

elvének mondtuk ki egy speciális esetét. Ennek segítségéve l így

magyarázhatjuk az el ıbbi egyenletmegoldás lépéseit:

. 4

3x – 6 = 5x – 16 + 16

3x + 10 = 5x - 3x

10 = 2x : 2

5 = x

/A vonal mögé azt írtuk, hogy milyen m őveletet végeztünk az egyenlet

mindkét oldalán./

A lebontás, a megfordítás és a mérlegelv más-más sz emlélet

alapján magyarázzák ugyanazokat a m őveleti lépéseket. Néha az egyik

alkalmazható, vagy kínálkozik inkább, néha a másik, néha több is

egyformán. Uniformizálásra, az egyes lépések egyönt et ő magyarázatára

utólag esetleg sort keríthetünk, ha ez a tudato-

- 130 -

3x - 6

4

5x - 16

4

= 3x - 6

4

5x - 16

4

sítás érdekében szükségesnek látszik. Egyenletmegol dás közben

azonban nem segít, ha el ıírjuk, milyen lépésekben jussanak el a

tanulók az eredményhez. Jussanak el úgy, ahogy neki k a

legtermészetesebb. Az el ıbbi egyenletmegoldás utolsó lépésében

például a 2-vel való osztás egy csöppet sem termész etes magyarázat.

Itt már látják az eredmény, vagyis lebontással okoskodnak.

Tanulságos egy egyszer ő példán egymás mellett nézni a

lebontással, megfordítással és mérlegelvvel való ok oskodást:

LEBONTÁS MEGFORDÍTÁS MÉRLEGELV

25-x=21, 25-x=21, 25-x=21 -25

25-4 =21, x=25-21, -x=21-25=-4, .(-1)

x=4. x=4. x=4.

36. ábra

A legkevésbé természetes itt a mérlegelv alkalmazás a. Akkor sem lesz

egyszer őbb, ha 25 kivonása helyett el ıször x-et adunk az egyenlet

mindkét oldalához, aztán 21 kivonásával folytatjuk.

Példáinkból a legf ıbb tanulság az, hogy módszerek tanítása

helyett mindenekel ıtt az elérend ı célt kell világossá tennünk a

tanulók el ıtt. A cél elérésére irányuló törekvésb ıl fakad a

módszerek felfedezése. Mindegyik módszerrel kapcsol atban legutoljára

kerülhet sor annak a tudatosítására, hogy hogyan is okoskodtunk.

Csak ebben az utolsó fázisban van értelme, ha egyál talán valamikor

értelme van, a módszer elnevezésének.

A kit őzött cél is változik, alakul, fokozatosan válik egy re

pontosabbá. El ıször a cél csak a keret vagy az üres hely kitöltése

vagy a bet ő helyettesítése olyan számmal, hogy igaz legyen, am it így

leírtunk.

Késıbb kiderül, hogy esetleg több ilyen szám is van, es etleg

minden szám ilyen, vagy az is lehet, hogy nincs ily en szám. Kit őzött

célunk módosul: mindazokat a számokat kell megtalálnunk, amelyekre a

kapott állítás igaz lesz, nem elégedhetünk meg azza l, ha véletlenül

találunk egy ilyet, mert hátha más is van. Más foga lmazásban: azt a

számhalmazt kell meghatároznunk, amelynek az elemei re igaz lesz az

állítás. Az utóbbi megfogalmazás különösen jól muta tja, hogy nem

zárjuk ki az üres halmaz esetét, hogy az

- 131 -

25 x

4

ellentmondó egyenlet esete is a többivel egyenrangú lehet ıség.

Akkor is megoldottuk az egyenletet, ha azt derített ük ki róla, hogy

nincs gyöke, "nincs megoldása", bármilyen különösen hangzik is ez az

állítás.

Tovább módosítja a kit őzött célt annak a. számkörnek

/számhalmaznak/ a b ıvítése vagy sz őkítése, amelyben az egyenlet

megoldásait keressük. Újabb számokat ismerünk meg, addig

megoldhatatlan egyenletek megoldhatókká válnak. El ıfordulhat, hogy

szöveges feladatunk értelmében csak pozitív vagy cs ak egész gyökök

jönnek tekintetbe. Lehet, hogy maga az egyenlet nin cs értelmezve

bizonyos számokra. Így lassan tudatosodik /akkor is , ha nem

fogalmazzuk meg ebben a formában/, hogy egyenletek megoldásakor egy

halmaznak egy részhalmazát keressük, a szóba jöhet ı értékek közül az

egyenlet gyökeit.

Tovább módosul a cél a többismeretlenes egyenletekk el

kapcsolatban. Itt lehet az a célunk, hogy mindkét / mindhárom stb./

ismeretlenre megoldjuk az egyenletet. Ekkor számpár okat

/számhármasokat stb./ keresünk, vagyis szemléletese n a síknak /a

háromdimenziós térnek stb., bár ez az "stb". már ne m olyan

szemléletes/ egy részhalmazát. Például egy vonalat. Más a célunk, ha

egy ismeretlenre akarják megoldani a többismeretlen es egyenletet,

vagyis egy ismeretlent ki akarunk bel ıle fejezni a többivel. Ekkor

nem számot /számokat/, hanem kifejezést keresünk. Megint olyant

azonban, amelyet a keresett ismeretlen helyébe írva a kapott állítás

igaz lesz. De ez az állítás nem számok egyenl ıségére, hanem

kifejezések azonos egyenl ıségére vonatkozó állítás.

Több évbe telhet, amíg ezek a célok, konkrét felada tok

kapcsán, sorban mind tisztázódnak a tanulók el ıtt. Megkönnyíti a

tisztázódásukat az, ha egyenleteken kívül egyenl ıtlenségekkel is

foglalkoznak a tanulók; egy bizonyos általánosságot elérve, magasabb

néz ıpontból, jobb áttekintést kapnak. Ez azonban már eg y kés ıbbi

fejezet témája.

Ha a diákok okoskodását az egyenlet megoldásának mi nden

lépésében a kit őzött cél irányítja, nem pedig olyasféle szabályok,

hogy "el ıször elvégezzük a kijelölt m őveleteket, aztán eltávolítjuk

a törteket" stb., akkor gyakorlati szempontból is c élszer őbben

fognak dolgozni. Értelmetlen volna például az /x+19 / . 47 =

- 132 -

= 940 egyenlet megoldását "a kijelölt m ővelet elvégzésével" /vagyis

a disztributivitás alkalmazásával, beszorzással/ ke zdeni, vagy a

+ a = a + 15

egyenletben el ıször a törteket távolítani el. De ha

gyakorlatlanságukban nem találják is meg a kit őzött cél felé vezet ı

legrövidebb utat, inkább járjanak be egy-egy kerül ı utat, hogy aztán

a maguk tapasztalata vezesse rá ıket legközelebb a rövidebb útra. A

tapasztalatszerzés többet ér, mint a kívülr ıl kapott "általános

szabályok", vagy egyes esetekre vonatkozó tanácsok. Sok és - még

inkább - sokféle feladatot kell megoldaniuk esetr ıl-esetre önállóan

döntve a követend ı útról, míg szert nem tesznek az

egyenletmegoldáshoz szükséges gyakorlatra és bizton ságérzetre.

Formálisabb fogalmazások (átvitel, elhagyás stb.)

Ekvivalencia

Gyakran hallunk az iskolában egyenletmegoldás közbe n olyanféle

fogalmazást, hogy "átviszem a másik oldalra". Az át vitelnek az a

felfogása, hogy "a másik oldalon mínuszból plusz le sz, osztóból

szorzó lesz" stb., legalábbis veszélyes. Aki az ily en szabályokra

hagyatkozik, az könnyen elkövethet olyanféle hibáka t, hogy a

+ 2 = 6

egyenlett ıl vagy a

3x – 1 + 2 = 30x - 18

vagy a

+ 2 = 9

egyenlethez jut. Lehet, hogy a hibákból okulva aztá n megjegyez

bizonyos kiegészít ı szabályukat is az el ıbbiek mellé, hogy mikor

lehet átvinni valamit, mikor nem, és így esetleg el jut oda, hogy

hibátlan technikával - de formálisan, értelem nélkü l! - old

- 133 -

3x - 1

5x - 3

3x - 1

5x

3x - 1

5x - 3

meg egyenleteket. Csak "esetleg" jut el, mert a sza bályok megértés

nélküli tudása egy kicsit nehezebb körülmények közö tt, vagy akkor,

ha nem támasztja alá állandó gyakorlás, rendszerint cs ıdöt mond. De

még ha funkcionál is, elszigetelt tudástöredéket je lent, amely nem

támogat egyéb matematikai ismereteket, és amelyet n em támogatnak

egyéb matematikai ismeretek.

Az a ”másodlagos szemlélet", amely az átvitel techn ikáját

irányítja, mégsem feltétlenül elvetend ı, csak legyen ott mögötte az

"els ıdleges szemlélet" is, amely megóv a hibás alkalmazá stól. Nem

támaszkodunk-e mi magunk is lépten-nyomon a másodla gos szemléletre,

a formulák szemléletére? Amikor törtet törttel szor zunk, vagy amikor

hatványfüggvényt differenciálunk, nem látjuk-e magu nk el ıtt, hogy a

közös törtvonal fölé és alá kerül a számlálók és a nevez ık szorzata,

illetve, hogy a régi kitev ı el ıre kerül szorzónak, és helyébe 1-gyel

kisebb kitev ı kerül? Nem baj, ha valakinek a képzeletében a form ulák

megelevenednek, adott szabályok szerint változhatna k, a fontos az,

hogy legyen a szabályok mögött tartalom.

Az "átvitel" másodlagos szemlélete mögötti els ıdleges

szemléletet sematikus formában például a szakasszal való ábrázolás

fejezheti ki. Ezek mögött persze kell lennie még ta rtalmasabb,

konkrétabb elképzelésnek is, amely azonban nagyon s okféle, nagyon

tarka, nagyon függ az egyes gyerekek élményanyagátó l; éppen ezért

vonunk ki bel ıle egy egyszer ő, eléggé üres, és emiatt eléggé

hajlékony ábrázolási módot.

Amint látjuk, az átvitel a megfordításnak egy formá lisabb

fogalmazása. A mérlegelv alkalmazásában is van egy ilyen formálisabb

fok, amikor már a másodlagos szemlélet dirigál. Ugy anannak a tagnak,

szorzónak vagy nevez ınek az elhagyása mindkét oldalról éppúgy

hibákra vezethet, mint az átvitel értelem nélküli a lkalmazása. A f ı

teend ınk itt annak a tudatosítása, hogy ugyanannak a tagn ak stb. az

elhagyása csak akkor jogos, ha ezáltal ugyanannyival vagy

ugyanannyiszorosára változtatjuk mindkét oldalt. Ne m a formálisabb

fokra való eljutást kell megakadályoznunk, hanem an nak kell elejét

vennünk, hogy kimaradjon közben az újra meg újra va ló tartalmi

végiggondolás.

Nemcsak az egyenletmegoldás egyes lépéseinek, hanem a kit őzött

céloknak is vannak ilyen formálisabb megfogalmazása i. A tartalmi

megfogalmazás szerint - ez az alapvet ı, kétség esetén eh-

- 134 -

de a próba mindkét oldalon értelmetlen kifejezést a d: 1/0 és-1/0 A

formális cél nem felel meg a tartalmi célnak, az ut olsó egyenletr ıl

leolvasott gyök nem elégíti ki az eredeti egyenlete t. Felmerül a

kérdés, nem borulhat-e fel az összhang másféle módo n is: nem

lehetséges-e például, hogy a formális átalakítások arra az

eredményre vezetnek, hogy az egyenletnek nincs gyök e, pedig

valójában van? Mindez arra indít minket, hogy felül vizsgáljuk az

addig helyesnek tartott egyenletmegoldási lépéseket abból a

szempontból, nem változtathatják-e meg /nem sz őkíthetik vagy

bıvíthetik-e, esetleg sz őkíthetik, és egyszersmind b ıvíthetik is/ a

gyökök halmázát. Ezt a kérdést - az egyenletek ekvi valenciájának

kérdését - itt éppen csak érintettük. Amint látjuk, felvet ıdhet a

kérdés már törtes /ti. a nevez ıben ismeretlent tartalmazó/ algebrai

egyenletek megoldásakor is. De csak kivételes, úgys zólván csak erre

a célra konstruált esetekben. Gyökös és trigonometr ikus

egyenletekkel kapcsolatban viszont lépten-nyomon be leütközünk ebbe a

problémába /ha ilyen egyenletek megoldására egyálta lán sor kerül/.

Szöveges feladatok megoldása egyenlettel

Szöveges feladatok megoldásáról többször is szó vol t már; a

természetes számokkal és a törtszámokkal kapcsolato san külön

szakaszban is /42. és 83.oldal/. Amit ott mondtunk, az csaknem szó

szerint érvényes a szöveges feladatok egyenlettel v aló megoldására

is. Fontos az egyenletmegoldás technikai része /épp úgy, mint a

számolástechnika/, különösen fontos az, hogy a tanu lókban

tapasztalatokból absztrahálva váljanak készséggé az egyenletmegoldás

lépései, de még sokkal fontosabb az alkalmazás: az, hogy egyenletek

segítségével konkrét problémákat tudjanak megoldani . Ezek a konkrét

problémák a tankönyvekben szöveges feladatok képét öltik: A szöveges

feladatok egyenlettel való megoldásának igen alapos és értékes

módszertani feldolgozását adja Faragó /1960, 1963/. x Minthogy ez a

könyv mindenki számára könnyen hoz-

________________ x Megnöveli ennek a könyvnek a jelent ıségét az a tény, hogy

erre a fontos témára a módszertani irodalom általáb an igen csekély

teret szán; Bragyisz /1951/ terjedelmes módszertana például

mindössze fél oldalt, lásd Faragó /1963/, 3. oldal.

- 136 -

záférhet ı, itt megelégedhetünk azzal, hogy összefoglalunk né hány

fontosabb tudnivalót, amelyekre fel kell hívnunk a tanulók figyelmét

az egyenlet felállítással kapcsolatban. x Ez az összefoglalás azonban

semmiképpen sem teszi nélkülözhet ıvé Faragó könyvének az ismeretét.

Induljunk ki a következ ı feladatból:

Két autó ment A városból B városba, az egyik 48 km/ óra, a

másik 54 km/óra sebességgel. A gyorsabb autó félórá val hamarabb

tette meg az utat. Mekkora a két várostávolsága?

Hogy a feladatot megoldhassuk, el ıször három kérdést kell

tisztáznunk:

1. Mit keresünk?

2. Mi van adva?

3. Mi az összefüggés a keresett és az adott mennyis égek

között?

Az els ı két kérdésre könny ő válaszolni:

1. A keresett mennyiség: a két város távolsága, vag yis az

autók megtett útja.

2. Ismerjük az autók sebességét és menetidejének

különböz ıségét.

Áttekinthet ıség kedvéért készítsünk táblázatot az itt szerepl ı

mennyiségekr ıl:

1. autó 2. autó

Út (km) u u

Sebesség (km/óra) 48 54

Menetid ı (óra)

Beírhatnánk a menetid ık helyébe is valamilyen bet őket. De

ezeket már ki is tudjuk számítani, hiszen út = sebe sség . menetid ı

(pl. 3 óra alatt 4 km/óra sebességgel 12 km-t teszü nk meg), tehát

menetid ı = út/sebesség.

________________ x Nagyrészt Faragó-Varga /1957/ alapján.

- 137 -

1. autó 2. autó

Út (km) u u

Sebesség (km/óra) 48 54

Menetid ı (óra)

Ezek után fel tudjuk írni a feladatban szerepl ı összefüggést

is; a lassabb autó menetideje félórával több, vagyi s

= +

Most már csak meg kell oldanunk az egyenletet. A me goldás:

u = 216 /km/

Feladatunkban nemcsak az a mennyiség volt ismeretle n, amelyre

a kérdés vonatkozott /a távolság/, hanem két másik is /a két autó

menetideje/. Mi az el ıbbit jelöltük bet ővel, ennek segítségével az

utóbbiakat már ki tudtuk fejezni. Eljárhatunk azonb an fordítva is.

Jelöljük például a gyorsabb autó menetidejét m -mel. A táblázatot

ekkor így tölthetjük ki.(utoljára az útrovatokat):

1. autó 2. autó

Út (km)

48 (m + )

54 m

Sebesség (km/óra) 48 54

Menetid ı (óra)

m +

m

A két autó ugyanakkora utat tesz meg, tehát az egye nlet:

48 (m + ) = 54 m

A megoldás most egyszer őbb; viszont m kapott értékéb ıl, 4-b ıl

még ki kell számítanunk a megtett utat: 54 m = 216.

Ha nem tudunk eligazodni a feladatban szerepl ı mennyiségek

között, nem látjuk át azonnal, milyen összefüggések et írhatunk fel

közöttük, akkor érdemes a keresett mennyiség vagy e gy másik

- 138 -

u

48

u

54

u

48

u

54

1

2

1

2

1

2

1

2

ismeretlen helyébe konkrét számot képzelni, és úgy gondolni végig a

feladatot. Például így okoskodhatunk:

Ha a gyorsabb autó útja 2 órán át tartott volna, ak kor ezalatt

54 . 2 = 108 km--t tett volna meg; a lassabb autó e kkor 2 órán

át haladt volna, és ezalatt 48 . 2 = 120 km-t te tt volna meg.

Nem találtuk el a helyes megoldást, mert 120 = 108. De a megoldás

kulcsa a kezünkbe került: amit egy találomra válasz tott konkrét

számból /a 2-b ıl/ kiindulva csináltunk, azt kell megcsinálnunk

általános formában, úgy, hogy 2 helyett például m bet őt írunk. Most

nem tudjuk ugyan kiszámítani, mennyi az 54 m, sem a zt, hogy mennyi

a 48 (m + ), azt azonban tudjuk, hogy e kett ınek egyenl ınek kell

lennie:

54 m = 48 (m + )

Mindegyik megoldási módhoz szükség van arra, hogy j ól

megértsük a feladatot, világosan lássuk, mir ıl van benne szó. Ezt

sokszor megkönnyíthetjük azzal, hogy rajzot készítü nk. Például így:

37. ábra

Ez a vázlat világossá teszi, hogy az l óra alatt me gtett útnak

/pl. a 48 km-nek/ annyiszorosa az egész út, ahány ó rán át haladunk;

vagy másképpen: a megtett útban a sebesség annyiszo r van meg, ahány

órán át haladunk.

Ha világosan elképzeljük, mir ıl van szó a feladatban, esetleg

fel is vázoljuk, akkor néha olyan megoldásra bukkan unk, amelyhez

egyenlet nem is kell. Például így gondolkozhatunk:

Amikor a gyorsabb autó B-be ért, a lassabb el ıtt még félórányi

út volt, vagyis 24 km. Miért maradt el ennyivel? Az ért, mert minden

órában 6 km-rel kevesebb utat tett meg, mint a mási k autó. A 24 km

hátrány tehát 4 óra alatt gy őlt fel. Ezalatt a 4 óra alatt a

gyorsabb autó beért B-be; az AB távolság tehát 4 . 54 = 216 /km/ .

- 139 -

1

2

1

2

1

2

1

2

Ilyenféle módon el ıbb oldottunk meg feladatokat, mint

egyenlettel. Ez azonban nem jelenti azt, hogy az eg yenlet nélküli

megoldás "primitívebb", és ezért kevesebbet ér. Ell enkez ıleg: minél

egyszer őbb eszközökkel oldunk meg egy feladatot, annál érté kesebb a

megoldásunk.

Általános szabályt egyenletek felállítására nem adh atunk. De

vannak tanácsok, amelyeket érdemes megfogadni, és a feladat

természetének megfelel ıen alkalmazni:

Tisztázzuk mindig, mit keresünk, és mi van adva. Ál lapítsuk

meg, milyen összefüggések vannak az adott és a kere sett mennyiségek

közt.

Sokszor érdemes felhasználni a keresetten kívül más ismeretlen

mennyiségeket is, olyanokat, amelyek a keresett és az adott

mennyiségekkel is kapcsolatban vannak, hidat teremt enek köztük.

Az adott és az ismeretlen mennyiségek áttekintését gyakran

megkönnyíti a táblázatos felírás.

Hogy a talált összefüggések alapján egyenletet írha ssunk fel,

jelöljük valamelyik ismeretlent bet ővel. Nem mindig a keresett

mennyiséget célszer ő bet ővel jelölni.

Ha nem tudjuk azonnal felírni az ismert és az ismer etlen

mennyiségek közti összefüggést, próbáljunk a bet ő helyébe konkrét

számot írni, és kipróbálni, igazat állít-e ebben az esetben _a

feladat. Az egyenlet felállításakor ugyanazt kell c sinálnunk

általános formában, az adott szám helyett bet ővel.

Készítsünk rajzot!

A cél sohasem az, hogy egyenletet állítsunk fel, ha nem az,

hogy megoldjuk a feladatot. Ha egyenlet nélkül is m eg tudjuk oldani,

annál jobb!

A "nyitott problémahelyzetr ıl" mondottak / 46. és 88. oldal/

szöveges feladatok egyenlettel való megoldására épp úgy vonatkoznak,

mint az egyenlet nélküli megoldásra. Kész feladatok on kívül adjunk a

tanulóknak nyersanyagot is, s ıt vegyük rá ıket arra, hogy maguk is

győjtsenek nyersanyagot és készítsenek bel ıle feladatokat. Így

jobban tudatosodnak bennük az olyan kérdések, hogy elég-e az adat

ahhoz, hogy egy bizonyos kérdésre felelni tudjanak, nincsenek-e az

adatok között feleslegesek, ellentmondóak stb. Megt aníthatjuk a

tanulókat arra is, hogy egy feladatból újabb felada tokat készítsenek

olyan módon, hogy elhagynak bel ıle egy /vagy több/ adatot, viszont

közlik egy /vagy több/ ad-

- 140 -

dig meg nem adott mennyiség értékét. Például a fent tárgyalt

feladattal kapcsolatban a távolság, az id ıkülönbség és az egyik autó

sebessége alapján meg lehet kérdezni a másik autó s ebességét stb. Az

ilyen gyakorlatok akkor is hasznosak lehetnek, ha o lyan problémákra

vezetnek, amelyek a mindennapi életben nem szoktak el ıfordulni.

Tegyük azonban fontos - ha nem is kizárólagos - sze mponttá, hogy a

tanulók lehet ıleg olyan feladat variánsokat keressenek, amelyekr ıl

elképzelhet ı, hogy a valóságban is felmerülnek, és amellett

matematikai szempontból sem túl primitívek.

A hatványozás

Az általános iskola 2. osztályában megtanulják a gy erekek,

hogy egy ilyen összeadást, mint 2 + 2 + 2 + 2 + 2, rövidebben is le

lehet írni. Beletelik néhány hónap, amíg magukévá t eszik ezt az új

jelölést.

Egy évtizeden át - az általános iskola megszületésé t ıl kezdve

- a 6. osztályban tették meg a gyerekek ezen az úto n a következ ı

nagy lépést: ott tudták meg, hogy az ilyen szorzáso kat, mint 2 . 2 .

2 . 2 . 2, szintén le lehet írni rövidebben. A hatv ányozást a

szorzástól sokkal nagyobb id ıköz választotta el, mint a szorzást az

összeadástól, de a problémakör, amellyel kapcsolatb an a

hatványjelölés szükségessé vált /ti. a természetes számok

törzstényez ıkre bontása/, indokolttá tette ezt az id ıpontot a

hatványozás bevezetésére. Mindenesetre el ınyös volt a régebbi

gyakorlattal szemben, hogy a hatványozás fogalma ne m kapcsolódott a

bet őjelöléshez.

Most a hatványozás fogalma, a törzstényez ıkre bontással

együtt, egészen kikerül az általános iskola tananya gból, és

valószín őleg a középiskolák 1. osztályában kerül rá sor. Nem lesz

könny ő megoldani a tanároknak az ezzel járó didaktikai pr oblémákat.

Az általános iskolák matematikatanárainak meg kell ragadniuk minden

legális lehet ıséget arra, hogy ezt a fogalmat idejében el ıkészítsék,

mert különben az új jelöléssel járó nehézségek sok egyéb nehézség

mellett a középiskolák 1. osztályában tanító tanáro kat és ott tanuló

diákokat fogják terhelni. A kö-

- 141 -

zépiskolák tanárainak is számolniuk kell azonban az zal, hogy a

diákok többségének az 1. osztályban, s ıt kés ıbb is nehézségei

lesznek ezzel a jelöléssel, nem ismerik ki magukat benne, gyakran

összetévesztik a hatványozást a szorzással. Ezeknek a nehézségeknek

a legy ızésére sok id ıt kell fordítani, aminek pedig az 1. osztályban

tanító matematikatanár aligha lesz b ıvében. Az elsietés azonban

súlyos következményekre, formális tudásra vezetne. Valahonnan id ıt

kell szakítania a tanárnak, hogy számpéldákon tegye világossá a

hatványozás értelmét és tegye természetessé a hatvá nyozás

azonosságait. Ha ez nem történik meg, akkor az alge brai

átalakítások, a polinomokkal végzett m őveletek a legtöbb diák

számára jelekkel való értelmetlen zsongl ırködéssé fognak fajulni.

Annak illusztrálására, hogy milyen módon lehet szám példákon át

elvezetni a tanulókat a hatványjelöléseknek és a ha tványozás

azonosságainak értelmes alkalmazására, egy óraleírá s következik. Az

óra 7. osztályban folyt le. El ızı héten vezették be a

hatványjelölést /ekkor már nem a 6. osztály anyagáb a tartozott,

hanem a 8. osztályéba, a tanár azonban el ırehozta, mert a 7. osztály

tantervi anyagával már végzett/. Maga a fogalom még meglehet ısen új,

a jelölésmód szokatlan, a szorzással való összetéve sztés veszélye

állandóan fenyeget. Ezért a tanár olyan feladatokat ad, amelyek

egymás mellett mutatják be ezt a kett ıt, a szorzást és a

hatványozást, az el ıbbit az összeadásra, az utóbbit a szorzásra

visszavezetve. A táblára ír, minden szó nélkül, ily enféle

kifejezéseket:

Várja a tanulók jelentkezését és kommentárjait. /A füzetek és

könyvek a padokban csukva vannak./ Ilyeneket hallun k:

= Egyenl ı tagú összeg. Leírhatjuk szorzat alakjában: 4

szorozva 3-mal.

= Egyenl ı tényez ıj ő szorzat. Hatvánnyal írhatjuk le: 4 a

harmadikon.

= 5 az ötödiken. Ez öt darab 5-ös tényez ı szorzatát jelenti.

Ötször ötször ötször ötször öt.

- 142 -

4 + 4 + 4 4 . 4 . 4

5 5 2 5 . 2 3

37/3 17

= Két hatvány szorzata. Az els ı öt tényez ıs szorzatot jelent,

a második három tényez ıs szorzatot. Mindegyik tényez ı 2.

= Két hatvány hányadosa. Az osztandó vagy számláló hét

tényez ıs szorzatot jelent. Az osztó vagy nevez ı tizenhét tényez ıs

szorzatot. Mindegyik tényez ı 3. Egyszer ősíteni lehet.

Egyvégtében írtuk le, amit az egyes kifejezésekr ıl

összehoztak, de általában ezeket nem egy tanuló mon dta el. Néha

folytatta volna valamelyik, de a tanár inkább intet t másnak, jusson

az is szóhoz. Voltak hibás megszólalások is, ezeket a következ ı

kiigazította. A tanár a végén megszólal, most el ıször:

- Mit jelent egyszer ősíteni? /Elmondják. Azt is, hogy az adott

esetben mivel lehet egyszer ősíteni./

Megint új kifejezés kerül a táblára:

/4 . 7/ 3

= 4.7-nek a harmadik hatványa. Három egyenl ı tényez ı szorzatát

jelenti, mindegyik tényez ı 4.7 . Vagyis 4.7-szer 4.7-szer 4.7.

- Írd fel!

A gyerek kijön, felírja:

4.7.4.7.4.7.

- Így nem t őnik ki, hogy egyenl ı tényez ıj ő szorzat. Mit kell

írni, hogy látsszon?

= Zárójeleket írni.

- Jó, csak az ujjaiddal mutasd, hova írnád. /A gyer ek

mutatja./

- Err ıl további megjegyzés?

= Így is írhatnám: 4.4.4.7.7.7.

- Miért?

= A tényez ıket fel lehet cserélni. A tanár felírja.

- Err ıl valami megjegyzés?

= 4 3 . 7 3

Nem mennek bele abba a kérdésbe, hogy itt kommutati vitáson

kívül asszociativitást is alkalmazunk. Ez szükséges "elkenés", a

legtöbb tanulónak nehéz volna itt hirtelen ez a meg különböztetés és

a jobbaknak sem nagyon fáj a hiánya.

A tanár most ezt írja fel:

/ 5 3/ 2

- 143 -

= Kijelölt hatvány, felírhatjuk egyenl ı tényez ıj ő szorzat

alakjában: 5 3.5 3.

- Folytasd, S.!

= 5.5.5.5.5.5.

- És az másképp?

= 5 a hatodikon.

Megint ír a táblára:

= 7.7.7 per 5.5.5.

A tanár írja, az el ıbbit kiegészítve:

Aztán megint az osztály felé fordul, várva, szólnak -e rá

valamit.

= Ezt felírhatjuk egyenl ı tényez ıj ő szorzat alakjában is.

/Mondja; a tanár írja:/

=

- Tovább!

= Hétötöd a harmadikon. /A tanár írja, folytatva:/

=

Eddig az órából 9 perc telt el. Most kinyittatja a füzeteket,

újabb kifejezéseket ír a táblára, ezeket már ık is írják. Az

órakezdés er ıs üteme után /a 9 perc alatt a harmincötös létszáma

osztályból csaknem mindenki sorra került és a többi is készenlétben

volt/, más tempójú munkamenet következik. A füzetbe írás egyrészt

lassúbbodást jelent, másrészt nagyobb lehet ıséget az elmélyedésre.

Megint a tanár ír a táblára:

- 144 -

107

55

7

5

3

7 . 7 . 7 .

5 5 5

73

53

73 = 7 . 7 . 7

53 = 5 . 5 . 5

= 10 7 kijelölt hatvány, felírhatjuk egyenl ı tényez ıj ő

szorzatként.

= 5 5 is . . . /ugyanezt elmondja/.

= Az egészet így is írhatjuk fel /ülve diktálja, ı maga is

írja a füzetébe, a többiek is, a tanár pedig a tábl ára, inkább

késlekedve, mint el ıresietve/:

Egyszer ősítenek, kiszámítják. A tanár közben körüljár, az

egyik füzetben lát valamit, felírja a táblára:

- Mit szóltok ehhez?

Megbeszélik a különbséget 2.5 7 és /2.5/ 7 közt. Aztán ehhez

kapcsolódva másképpen is átalakítják ezt a kifejezé st:

/Közben néha szükség van ilyen kérdésekre: "Mit jel ent a

számláló?", "Mit jelent a nevez ı?", "Most mit csinálunk?"/

A füzetekben dolgoznak, a tanár mindig megvárja, am íg készen

vannak /vagy legalább a legtöbbje készen van/ egy-e gy lépéssel,

azután az ı diktálásuk alapján folytatja a táblán.

- Kérem a számlálót egyszer ősítés után! Kérem a nevez ıt!

/Felírja, ahogy mondják:/

- Írjátok ezt egyszer őbb alakban. Készen vagy, T, tudod

diktálni?

A következ ı kifejezést nem írja, csak diktálja:

- 145 -

10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10

5 . 5 . 5 . 5 . 5

107 = 2.5 7

55 5 5

2 .5 . 2 . 5 . 2 . 5 . 2 . 5 . 2 . 5 . 2 . 5 . 2 . 5

5 . 5 . 5 . 5 . 5

/2.5/ 7 =

5 5

= 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 5 . 5

1

203

22

= 2 7 . 5 2

- Milyen alakra hoznád? Aki kész, jelentkezik. /Köz ben ı is

felírja a táblára. Aztán számlálja a jelentkez ıket:/. . . 12, 13,

14, ... még sokan alusznak .. /Egyet felszólít, ann ak a diktálására

ezt írja a táblára:/

- Írhattuk volna így is: /4.5/ 3?

= Igen, csak nem célszer ő.

- Miért?

= Mert a nevez ıben is 2 van.

Megint várja a diákok megjegyzéseit, javaslatát. Az egyiknek a

diktálására ezt írja az el ıbbi utána:

Vár, int:

= Egyszer ősíthetek kétszer 2-vel. /Diktálja, a tanár

folytatja:/

- Nem lehetne egy lépéssel továbbmenni?

= 20 3

- Nézzük csak. Igaz-e, hogy 10 3.2 = 20 3? /Megnézik, nem annyi,

a tanár áthúzza, másik javaslatot vár./

= 10 6

- Nézzük meg: 10 3 . 2 = 10 6 /Err ıl is kiderül, hogy nem annyi.

Lehúzza ezt is ./

- Mire gondolhatott E.? Mivel téveszthette össze?

= Azzal, hogy /10 3/ 2.

- Ez viszont 10 3 . 2. Hogy írhatnád itt a 10-et?

= /5 . 2/ 3 . 2 .

- Tovább!

= 5.2.5.2.5.2.2.

= A tényez ıket felcserélhetem: 5 . 5 . 5 . 2 . 2 . 2 . 2.

- Röviden?

= 5 3 . 2 4 .

Óra kezdete óta 22 perc telt el. Megint átvált, ezt mondja:

- 146 -

= 10 3 . 2

= 10 . 2 . 10 . 2 . 10 . 2 ,

2 2

= /10 . 2 / 3

2 2

- Valakinek a füzetében letakartam azt, ami az

egyenl ıségjelt ıl balra van. Az egyenl ıségjelt ıl jobbra ez látható:

26. Mi lehetett, amit letakartam?

A gyerekek ilyeneket mondanak:

= 2 4.2 2

= 2 2.2 2.2 2

= 2 3.2 3

= 2 5.2

A tanár közben kérdezgeti: Igaz-e, hogy ez 26? Hány tényez ıs

szorzatot jelent ez? Mik a tényez ık?, stb. Biztatja is ıket: még mi

lehetett? Aztán, amikor csak nem akarnak kilépni eb bıl a körb ıl:

- De valaki elárulta, hogy nem szorzat volt a másik oldalon,

hanem hatvány.

= /2 3/ 2

= /2 2/ 3.

Az egyik ezt mondja: 2 x

- Lehetett? /Felírja:/

2x = 2 6

= Igen, de akkor itt ez az x 6-ot jelent.

Még néhány változatot mondanak 2 6-ra, mind ott van a táblán,

így:

Aztán letörli a táblát. Az órának ez a része 4 perc .

- Tessék írni a következ ı feladatot:

2x+1 = 8.

- Találkoztunk-e már ilyennel?

= Ilyennel nem, csak hasonlóval. /Az el ızı órákon ugyanis a

hatványozás bevezetésekor, már kaptak fordított fel adatot, és azokat

fel is írták úgy, hogy pl. az ismeretlen kitev ı

- 147 -

helyére bet őt írtak. Erre emlékezve mondta az el ıbb az egyik gyerek

a 2 x-et. De összetett kifejezés eddig nem szerepelt kit evıben./

A gyerekek tanácstalanok. A tanár segít egyet:

- Ez a 8 lehet egy hatvány értéke. Az alap 2 ...

= 2 x+1 =2 3

= Kett ı az x-ediken meg 1 ...

- /A táblára írja:/ 2 x+1. Ezt mondtad. /Letörli./

= Kett ı az x+1-ediken csak akkor lehet egyenl ı kett ı a

harmadikonnal, ha x+1 = 3. Vagyis x = 2

= Az nem lehet! /Valaki tiltakozik./

- Majd meglátjuk! Írjuk / ı is írja/:

Baloldal Jobboldal

23 8

/Megállapítják, hogy a. megoldás helyes volt./

- Na még egy feladat, és aztán röpdolgozat!

- Egy jelentkez ı már van. Kett ı, . . . hét, nyolc. H!

= Három a nyolcadikonból x . . . /kijavítja magát:/ három a

nyolcból x-ediken . . . egyenl ı 27. /Eljut a 3 8 - x = 3 3 alakhoz,

ebbıl megint 8 - x = 3-ra következtetnek és kitalálják, minden

formális átalakítási szabály nélkül, az alsó osztál yokból megszokott

módon, x értékét./

Öt perc telt el "exponenciális egyenletek" megoldás ával. A

negyvenöt perces órából még 13 perc van hátra. Üres cédulákat

osztanak ki.

- Jobb fels ı sarokba a nevedet! V., tedd el már a füzetedet!

/Amit diktál, az most nem kerül a táblára:/

34 . 3 7

- Írd le egyszer őbben! Most mindjárt, mert aztán jön a másik

feladat. Aki kész, megfordítja a lapot, egyenesen ü l.

/4.3/ 3

/Hangsúlyozással fejezi ki a zárójelet, de aztán ma radja is:

tedd a 4 . 3-at zárójelbe, ez a harmadikon./ Hogy a lakítanád át? /Az

utasítás nem egyértelm ő. A tanár nyilván hajlandó lenne elfogadni

- 148 -

38-x = 27

akár 12 3-at is, de a gyerekek nem az olcsó megoldást válasz tják.

Izgatja ıket, amit most tanultak, próbálják alkalmazni./

/A nehezebben érthet ıket többször is elismétli, ezt is./

- Ezt most kicsit különbözik az eddigiekt ıl. Írj helyette

valami mást, de olyant, ami vele egyenl ı.

- Ki van ezzel készen? /Kevesen jelentkeznek. Ezt l áthatóan a

jobbak kedvéért adta, hadd törjék egy kicsit a fejü ket./

- A következ ı: Valaki azt állítja, hogy

/Ezt már felírja a táblára./

- Igaza van-e? Aki kész, üljön egyenesen!

- A többi feladat már min d sokkal könnyebb lesz. / ezeket is

felírja/:

/Másfél percet vár./

/Az egyik leggyöngébb tanuló legyint: Volt!/

- Szavakban indokold meg itt, amit csinálsz. /Egy p ercet vár,

aztán:/

- Most pedig tedd le a ceruzát, ha félbe maradt is a bet ő. Sz.

végigszalad, mindenkit ıl összeszedi!

Elkezdik megbeszélni a megoldásokat, de mert csönge tnek,

abbahagyják.

- 149 -

32.3 3.2 5.2 3.

10 48 9 3 113 24 . 3 4 . 5 5

38 = 27 . 27 . 27 . 3

72x - 1 = 7

a2 = 5 2

38- x= 27

Halmaz, reláció, függvény

A függvény fogalma iskoláinkban legszorosabban az a lgebrának

nevezett tárgykörhöz kapcsolódik. Bár ennek a kapcs olatnak megvannak

a veszélyei is - például a függvény fogalmának a fo rmulákkal

megadható függvényekre való lesz őkítése - el ınyeire gondolva nem

igyekeztünk szétválasztani a két témát. Így ennek a fejezetnek a

hátralév ı része a függvényekkel kapcsolatos.

A függvény fogalma a halmaz fogalmára épül és a rel áció

fogalmának speciális esete. Ezekkel az utóbbi fogal makkal kezdjük

tehát, annak ellenére, hogy a tanterveinkben a halm az és a reláció

fogalma nem szerepel és várhatóan a legközelebbi jö vıben nem is fog

szerepelni. Ez azonban csak átmenetileg lesz így és ezt az átmeneti

id ıt is fel kell használnunk e fogalmak tanításának a

kikísérletezésére. Másutt el ıbb tartanak ezen a téren. Az 1962-ben

Budapesten rendezett Nemzetközi Matematikaoktatási Szimpózium

következ ı megállapításából /Szemelvénygy őjtemény, 468. oldal/ ez

nyilvánvaló:

"Sok kísérlet megmutatta már, hogy az elemi halmaze lmélet

nyelvét, fogalmát és m őveleteit, a reláció és a függvény fogalmát

bevezethetjük 12 éves kortól kezdve /s ıt már el ıbb is/".

Halmazok, relációk és függvények konkrét példáival mindenki

kisgyerek korától kezdve lépten-nyomon találkozik.

A "három" fogalmához például sok olyan halmaz megfigyelése

útján jutunk, amelyeknek kiemeljük egy közös tulajd onságát, azt,

hogy három elemük van. Halmazról, elemr ıl azonban ekkor még nem

beszéltünk, aminthogy számról sem. További absztrak ció és

általánosítás eredményeként alakul ki és formálódik egy a "szám"

fogalma, és talán szükségszer ő vagy legalábbis célszer ő, hogy a

"halmaz" mélyebb fogalma évekkel kés ıbb tudatosodjék. Vannak, akik

ezt kétségbe vonják és a kérdés semmi esetre sincs lezárva. x

________________ x Elég itt utalni az amerikai Patrick Suppes "Sets a nd

Numbers" /Halmazok és számok/ c. tankönyvsorozatára , amely a szám

fogalmát az els ı osztálytól /hat éves kortól/ kezdve a halmaz

fogalmára építi. Ennek a könyvsorozatnak alapján év ek óta folynak

kísérletek nemcsak amerikai, hanem többek között af rikai iskolákban

is, bennszülött gyerekkel. A kísérleteket évente ér tékelik,

összehasonlítják a hagyományos iskolai anyagban elé rt eredményeket

olyan osztályok eredményeivel, ahol nem a halmaz fo galmára építették

a számtant. A közlemények szerint az eredmények jók . Egy ilyen

kísérletsorozat azonban semmiképpen sem lehet dönt ı.

- 150 -

A relációk vagy logikai függvények, tudjuk a matema tikai

logikából, lehetnek

a/ nullaváltozósak /a szoros értelemben vett ítéletek,

ismertebb szóval állítások , amelyek lehetnek igazak, pl. "2 . 2 = 4"

vagy hamisak pl. "az Egyesült Államok f ıvárosa New York"/;

b/ egyváltozósak /ezeket tulajdonságoknak is nevezhetjük.

Minden tulajdonság kiemeli a szóba jöhet ı elemek halmazából azoknak

a halmazát, amelyeknek megvan az a tulajdonságuk, p l. a "páros" a

természetes számok halmazából a páros számok halmaz át/;

c/ kétváltozósak /ha relációról beszélünk, többnyire ilyenekre

gondolunk; ezek két halmaz Descartes-féle szorzatáb ól vagy más

szóval direkt szorzatából emelik ki az eredeti két halmaz bizonyos

rendezett párjainak a halmazát; lásd az ábrán az "x osztója y-nak"

relációt az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 x

x 1, 2, 3, 4, 5, 6 direkt szorzaton; itt x az els ı, y a

második halmaz egy-egy eleme helyett áll/;

d/ és így tovább, általában n-változósak , ahol n-bármely

természetes szám lehet. Minden n -változós reláció n halmaz direkt

szorzatának egy részhalmazával, vagyis rendezett n -esek bizonyos

összeségével adható meg. /Pl. háromváltozós az a re láció, hogy a és

b összege c vagy hogy X és Y gyereke Z , négyváltozós az, hogy a , b ,

c és d ebben a sorrendben aránypárt alkotnak, vagy hogy X ugyanolyan

rokonságban van Y-nal, mint U V -vel stb./

Ez a rendszerezés, különösen a/

beillesztése a sorozatba, er ıs

absztrakciós képességet kíván, és

csak valamikor nagyon kés ın kerülhet

rá sor /az iskolában esetleg

egyáltalán nem/. A legfontosabb itt

b/ és c/ szétválasztása; aztán kés ıbb

az általánosítás d/ felé. Nincs

szükség a direkt szorzat fogalmára

ahhoz, hogy ez a szétválasztás

megtörténjék.

Azt kell megértenie a gyereknek, hogy a "prím" szó egy valamire

vonatkozik, a "relatív prím" azonban kett ıre, ugyanígy a "reciprok",

az "ellentett", a "mer ıleges" stb. is kett ıre. Aki általában

megérti, hogy vannak egy valamire vonatkozó és vann ak két valami

közt kapcsolatot /relá -

- 151 -

38. ábra

ciót / kifejez ı fogalmak, az kevésbé esik bele abba a hibába, hogy

például a mer ılegest összetévessze a függ ılegessel. A reláció

fogalma egységesít ı fogalom , segít abban, hogy a tudás-töredékek

egybekapcsolódjanak, átfogó kép alakuljon ki a tanu lókban.

Egységesít ı szerepe nem szorítkozik a matematikára, szempontot ad a

mindennapi élet fogalmai között való eligazodásra i s. Amint egy

gyerek megérti, hogy más gyereknek is van mamája, m ár elkezd

relációkban gondolkozni /addig "Mama", vagy ahogy é ppen az

édesanyját nevezte, csak tulajdonnév volt/. A rokon sági relációk

gazdag változatossága jó példaanyagot ad a relációk

tulajdonságainak, inverzének, összetételének stb. i llusztrálására.

Ahogyan például a kommutativitás, asszociativitás é s egy m őveletnek

egy másikra vonatkozó disztributivitása fontos szem pontokat ad,

amelyeket érdemes tudatosítani és az összeadás és s zorzás mellett

más mőveletek vonatkozásában is megvizsgálni /hatványozás , 1n.k.o.

és 1k.k.t. képzése, két szám maximuma, minimuma, sz ámtani közepe, a

kett ı közül a második stb. stb./, ugyanilyen fontos, vag y még

fontosabb szempontok a relációk vizsgálatában, hogy reflexivek,

szimmetrikusak, tranzitivok-e, hogy két reláció kom pozíciója milyen

relációt ad, hogy egy reláció egy másiknak vagy önm agának inverze-e

stb. Csak röviden utalunk ezekre a kérdésekre, hisz en nem tartoznak

a tanterv anyagába. Nem akartuk azonban említés nél kül hagyni, hogy

olyan kérdésekr ıl van szó, amelyeket - konkrét példák alapján -

fiatal gyerekek is könnyen megértenek, s amelyek go ndolkodásuk

fejl ıdése, világképük kialakulása szempontjából is igen hasznosak.

Hogy kapcsolódik a halmaz és a reláció fogalmához a függvény

fogalma? Példák útján könnyebb megérteni, mint defi nició útján.

Ábráink három kétváltozós relációt mutatnak, amelye k az el ıbb már

szerepelt direkt szorzatnak kiemelik egy-egy részha lmazát. A második

és a harmadik relációban y az x-nek függvénye , mert x minden

értékéhez /az X= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 halmaz minden eleméhez/ y-

nak legfeljebb egy értéke tartozik, esetleg egy sem . Az els ıben ez

nem teljesül. A második relációban x is függvénye y -nak, az els ıben

és harmadikban nem. Az y < x - 3, y = x - 3, y = x - 3 relációk

közül tehát az adott értelmezési tartományon a máso dik két

egyváltozós függvényt is jellemez /y-t mint x függv ényét és az

inverzét/ a harmadik csak egyet, az els ı egyet sem.

- 152 -

Ha elsoroljuk azokat az elempárokat, amelyek együtt véve

jellemzik pl. a harmadik relációt: (1,4), (2,3), (3 ,2), (4,1),

(5,2), (6,3), (7,4), azt látjuk, hogy a párokban az els ı elem nem

ismétl ıdik; ha a második elemeket töröljük, csupa különböz ı elemet

kapunk.

Általában, ha azokban az n-esekben, amelyek együttv éve

jellemeznek egy n-változós relációt, a k-adik eleme ket törölve csupa

különböz ı /n-1/-eshez jutunk, akkor a reláció megad egy /n-1 /-

változós függvényt; a k-adik változó értékét a több i változó értékei

egyértelm ően jellemzik.

A tanárnak látnia kell ezeket az összefüggéseket. E z azonban

nem jelenti azt, hogy - ebben az általánosságban - tanítania is kell

ıket!

Mindenesetre fontos tudni, hogy a függvények a relá cióknak

speciális esetei, és az jellemzi ıket - röviden szólva - hogy

egyérték őek . y = ± √x vagy y = arcsin x /ha ez nemcsak a f ıértéket

jelenti/ relációkat adnak meg, de nem függvényeket. Aki régi

felfogás szerint többérték ő függvényekr ıl is beszél, annak, ha

következetes akar lenni, azt kell mondania, hogy y ≤ x+3 is megad

egy függvényt.

Mint láttuk, az (n-1)-változós függvények az n-vált ozós

relációknak speciális esetei. Az n-változós reláció k viszont az n-

változós függvényeknek speciális esetei: logikai fü ggvények, vagyis

olyan függvények, amelyeknek az értékkészlete kétel emő. Jelölés és

fogalmazás kérdése, hogy a két elem "igaz" és "hami s", vagy

"beletartozik" és "nem tartozik bele", vagy "1" és "0", vagy "fekete

kör" és "fehér kör" stb.

A fent alkalmazott "koordinátás" ábrázolási mód kül önösen

akkor hasznos, ha két rendezett halmaz direkt szorzatán értelmezett

relációról van szó. Egy másik ábrázolási módot a kö vetkez ı

- 153 -

39. ábra 40. ábra 41. ábra

ábrákon láthatunk, a könnyebb összehasonlítás kedvé ért ugyanazokra a

relációkra alkalmazva:

A halmazokat "krumplik",

bennük az elemeket pontok

szemléltetik; az els ı halmaz

elemeit ıl nyilak vezetnek a

másik halmaznak azokhoz az

elemeihez, amelyekkel az

illet ı relációban vannak. A

függvényt most az jellemzi,

hogy az els ı halmaz minden

eleméb ıl legfeljebb egy nyíl

indul ki.

Ha egy halmaznak önmagával való direkt szorzatszám értelmezett

relációról van szó, akkor általában célszer őbb csak egy példányban

rajzolni le ezt a halmazt. Ekkor például a reflexiv itás, szimmetria,

tranzitivitás, több reláció kompozíciójára vonatkoz ó összefüggések

igen jól szemléltethet ık. Jelentsenek például a következ ı ábrán e,

f, g, h egy síkban lev ı egyeneseket, a folytonos nyíl

párhuzamosságot, /olyan értelemben, hogy az egyenes önmagával is

párhuzamos; csúnya szóval "egyállásúságnak" is neve zhetjük/, a

szaggatott nyíl mer ılegességet. Ha tudjuk az ábrán feltüntetett

összefüggéseket és tudjuk a párhuzamosság és mer ılegesség

tulajdonságait és ezek kapcsolatát:

- 154 -

44. ábra

42. ábra 43. ábra

/reflexivitás/

/szimmetria/

/tranzitivitás/

/párhuzamosság és a merılegesség kapcsolata/

akkor az ábrán feltüntetett adatokat így egészíthet jük ki /a

kiegészít ı adatokat vékonyabb vonalak jelölik/:

Mi mutatja a

reflexivitást? A szimmetriát? A

tranzitivitást? Különböz ı

relációk kompozícióját? Melyik

tulajdonságoknak van

szemléltetés jelentése a

"koordinális" ábrázolási módban?

Ez az ábrázolási mód az

axiomatikus gondolkozás

fokozatos kialakulásának jó

eszköze. Segít abban, hogy

függetlenítsük magunkat a szemlélett ıl, csak annyit használ-

- 155 -

46. ábra

45. ábra

46. ábra

junk fel bel ıle, amennyit jogunk van felhasználni. Az a támasz, amit

ez az ábrázolásmód ad a szemléletnek, kiküszöböli a z idegen

elemeket. Ezeket a lehet ıségeket számos külföldi iskolában

eredményesen aknázzák ki már általános iskolai foko n is.

Éppen csak megemlítjük itt, hogy a reláció és a füg gvény

fogalma a geometriát - amelyb ıl most példánkat merítettünk - épp úgy

áthatja, mint a számtan - algebrát, bár ezt a tényt gyakran

elburkolja a geometria speciális szóhasználata. Has znos

végiggondolni, hogy milyen elnevezések mögött rejli k a geometriában

reláció, függvény, olyan függvény, amelynek az inve rze is függvény,

és ezek milyen halmazok direkt szorzatán vannak ért elmezve /Pl. a

sík pontjai halmazának önmagával való direkt szorza tán vagy a

sokszögek halmazának és a pozitív számok halmazának direkt szorzatán

stb./.

Ez után a kitekintés után visszakanyarodunk a függv ény

fogalmának iskolai gyakorlatunkkal inkább összhangb an lev ı

tárgyalásmódjához.

Függvény megadása táblázattal, grafikonnal, formulá val

Ha egy diák már megértette, hogy a szám nem ugyanaz , mint a

jele /pl. négy, 4, 2 + 2, 2.2, IV, 7.7+5.9 stb. kül önböz ı jelek, de

mind ugyanazt a számot jelentik/, az egyenes sem ug yanaz, mint amit

a papírra rajzolunk stb., akkor könnyebben megérti, hogy a

függvényeket is különféle módokon adhatjuk meg; pél dául az itt

látható táblázat, grafikon és formula ugyanazt a fü ggvényt adja meg

más és más formában:

- 156 -

47. ábra

/A táblázat szükségképpen csak véges számú különáll ó - diszkrét -

értékpárt tartalmazhat; a teljes egyöntet őség kedvéért ehhez

alkalmazkodtunk a másik két esetben. Rendszerint ne m ilyen

szigorúak; a grafikont, ha kell, végtelennek gondol juk, a táblázatot

pedig nemcsak mindkét irányban meghosszabbítva, han em bes őrítve is

képzeljük el, mintha az összes közbees ı értékpárokat tartalmazná./

Ez a három legfontosabb megjelenési formája az egyv áltozós

függvénynek. Mindegyiknek vannak különféle változat ai.

A táblázatban néha függ ıleges elrendezésben írjuk a számokat,

részletesebb táblázatok nem férnek el egy sorban va gy oszlopban,

ezért alatta vagy mellette több sorban vagy oszlopb an folytatjuk. Az

els ı halmaz /értelmezési tartomány/ elemeit ilyenkor ne m mindenütt

tüntetjük fel, a fönt /vagy lent/ és oldalt találha tó jeleket

összeolvasva állapíthatjuk meg az értékeiket, minth a kétváltozós

függvény értékeit olvasnánk le. x Így készülnek az un. kétbemenet ő

táblázatok. Az iskolában használt "Négyjegy ő függvénytáblázatok"

legtöbb táblázata ilyen. Fontos megértetnünk a diák okkal, amikor ezt

használni kezdik, hogy a füzetükben készített érték táblázatok

továbbfejlesztett változatával van dolgunk. Újságok ban,

folyóiratokban is gyakran látnak értéktáblázatokat, példaként

bemutathatunk nekik vagy behozathatunk velük ilyene ket, hogy

tisztázódjék, ez is ugyanaz. Bizonyítványukat is fe lhozhatjuk

példának /itt tantárgyakhoz vannak számok rendelve/ ; a különféle

árjegyzékeket, katalógusokat, anyakönyveket és más hasonló példákat

bizonyára már maguk is sorolják fel, ha megértették a fogalmakat.

________________ x Kétváltozós függvénytáblázatra a legismertebb péld ák az

egymegegy és az egyszeregy tábla:

48. ábra

- 157 -

Grafikusan is sokféle módon megadhatunk függvényeket. Ide

tartozik a "krumplikkal" és nyilakkal való ábrázolá si mód is,

amelyr ıl a relációkkal kapcsolatban volt szó /154. oldal./ A

matematikában többnyire mégis olyan függvényekkel t alálkoznak,

amelyekben egy lineárisan rendezett halmaz elemeihe z /pl. egész vagy

valós számokhoz/ egy másik ilyen halmaz bizonyos el emeit rendelik

hozzá, és ezeket koordinátarendszerben célszer ő ábrázolni. A

koordinátarendszerben való ábrázoláshoz ne absztrak tmatematikai

meggondolásokkal próbáljuk elvezetni ıket. Sokkal természetesebb az

az út, amely szemléltet ı diagrammokból indul ki. Lerajzoljuk egymás

mellé egy gyerek arányosan kicsinyített alakját 0, 1, 2, 3, 4 stb.

éves korában, egyenl ı távolságokban; azután szakaszokkal pótoljuk az

emberalakokat; a szakaszok fels ı végpontjait összekötjük, mert így

jobban felt őnik, hol volt a növekedés gyorsabb, hol lassabb; a

függ ıleges szakaszokat el is hagyhatjuk; elképzeljük, ho gy közben

hogyan n ıtt a gyerek, és ennek megfelel ıen a törött vonalat

folytonos görbével helyettesítjük. /Lásd az ábrákat !/ A szemléltet ı

diagrammtól a függvénygörbéig vezet ı most vázolt út különféle

stádiumaival sokszor találkozik a diák újságokban, folyóiratokban,

iskolája folyosóin, földrajzkönyvében stb. A matema tikatanárra hárul

azonban a fel-

49. ábra

50. ábra

- 158 -

51. ábra

52. ábra

adat, hogy a diákok közrem őködésével sorba rakja, egységbe foglalja,

kiegészítse ezeket az ismereteket. A grafikus ábráz oláshoz néha

szükség van milliméterpapírra, legtöbbször megelége dhetünk azonban a

kockás /négyzethálós/ papírral. "Mentb ıl nagyobb mértékben aknázzuk

ki a kockáspapír nyújtotta lehet ıségeket" - írja Bragyisz. "Mutassuk

meg rajta, hogyan rajzoljuk meg a függvény képét ol yan pontossággal,

amennyire ez középiskolában szükséges". Megnehezíti a tanár

feladatát, ha az ábrázoláshoz kockás táblát nem has ználhat. Tévedés

azt hinni, hogy ez valami alsó tagozatos taneszköz! Legalább 1-1 1/2

m szélesség ő, szokásos magasságú kockás táblafelületre minden o lyan

osztályban szükség van, ahol matematikatanítás foly ik. A tanár nem

mindig él vele, függvények grafikonjának felvázolás akor is gyakran

el ınyösebben tudja használni a "sima" táblát. Gyakran azonban mégis

kockás táblára van szüksége, és sok felesleges munk át és

magyarázkodást takarít meg általa a függvények taní tásakor is, a

matematika más fejezeteiben is.

A formula a legabsztraktabb és legtömörebb megadási módja a

függvénynek. Ehhez is jutnak el legkés ıbb a diákok. Ennek is több

változata van; például a 2y - 3x = 0 egyenlet impli cit alakban

- 159 -

megadja y-t mint x függvényét, de x-et is, mint y f üggvényét; az y =

1,5x egyenlet ugyanezt a két függvényt adja meg, de y-t mint x

függvényét explicit alakban; ezt az utóbbi függvény t adja meg az

1,5x kifejezés is /x minden értékéhez hozzárendeli az 1,5-szeresét/.

Mint a következ ıkben látni fogjuk, táblázat és grafikon

segítségével sokféle ismeretre szert tehetnek a diá kok a

függvényekkel kapcsolatban, miel ıtt a formulával való

kifejezésmóddal megismerkednének. Ennek sok el ınye van; nemcsak

konkrétabb és szemléletesebb, hanem általánosabb fü ggvényfogalmat is

sugall a táblázat és a grafikon, mint a formula. Az alkalmazásokban

el ıforduló "tisztességes" függvényeket persze az alkal mazások

megkívánta pontossággal, approximálni lehet pl. pol inomok

segítségével; ilyen értelemben a gyakorlat szempont jából a

formulához kapcsolt /un. Euler-féle/ függvény-fogal om gyakorlati

szempontból nem lényegesen sz őkebb az általánosnál. Mégis a

formulákkal való megadás igen sok esetlegességet re jt magában.

Vegyük például az 3 sin 2x - 1 függvényt. Ezt a szinusz-függvényb ıl

és még három egyváltozós függvényb ıl raktuk össze: négyzetreemelés,

3-mal szorzás és 1 kivonása; az utóbbiak kétváltozó s függvényekb ıl,

a hatványozásból, szorzásból és kivonásból származn ak egy

változójuknak konstanssal való helyettesítése útján . Ilyen

önkényesen kiválasztott , speciális függvényekb ıl konstruálunk meg

minden formulát, ezeknek a kiválasztása is, a jelöl ési és sorrendi

megállapodások is egy sereg esetleges, bonyolult, n em a lényeget

érint ı ismeretet hordoznak.

Út a formula felé: a törvényszer őség megfigyelése,

megfogalmazása

Bármilyen hasznos is, ha eleinte a táblázattal és g rafikonnal

való megadás szerepel a középpontban, a formuláva1 való megadás felé

is ki kell lassanként építeni az utat, hiszen ez ké pesít majd arra,

hogy végtelen halmazok közötti függvényeket is mega dhassunk teljes

egészükben, teljes pontossággal. A formulához az út a

törvényszer őségnek szavakban való megfogalmazásán át vezet. Min den

formulát szavakban is meg lehet fogalmazni /pl. "x szinuszát

négyzetreemelem és a kapott szám 3-szorosából 1-et ki-

- 160 -

vonok"/ és persze annak sincs akadálya, hogy egy új onnan konstruált,

egyel ıre csak szavakban megadható függvény számára is bev ezessünk

valami új jelet /pl. a Dirichlet-függvényt jogunk v an D/x/-szel

jelölni/. Akár szavakban, akár jelekkel írjuk le, h ogy milyen

törvényszer őség alapján képezzük a függvényértékeket, - teljes

egészében, teljes pontossággal meg tudjuk adni a fü ggvényt.

Hogyan tehetjük meg az els ı lépéseket a függvénynek szavakban

/és kés ıbb ezt tömörítve, formulával/ való megadása felé? P éldául

úgy, hogy a következ ı játékot kezdjük játszani a gyerekekkel: valaki

kigondol egy módot /nevezhetjük szabálynak, törvény nek/, amely

szerint neki mondott számokból más számokat gyárt. A többiek

feladata háromféle: egyrészt "bemen ı" adatokat mondani neki,

amelyeket ı átalakít "kijöv ı" adatokká, másrészt megpróbálni a

szabály kigondolója helyett válaszolni, ha úgy sejt i, hogy már

kitalálta a törvényszer őséget; végül - ez a legfontosabb és

legnehezebb, durva hiba volna azonosítani az el ıbbivel -:

megfogalmazni a gondolt képzési módot. A negyedik stádium volna a

formulába öntés, id ıvel erre is rá lehet térni. Szigorúan

matematikai értelemben a feladat persze határozatla n, nemcsak egy,

hanem akárhány számpár esetén is végtelen sokféle o lyan képzési mód

adható meg, amely mindegyik számpár els ı számából a másodikhoz

vezet. De itt nem probléma általános, matematikai m egoldás a cél,

hanem csak annak kitalálása, amit a gyerek gondolt. Legyen például G

a gondoló, K, L, M a kitaláló /és bemen ı adatokat mondó/ gyerekek

jele. Akkor így folyhat a játék:

K: 3.

G: 27.

L: 9-cel szorzod.

G: Nem.

M: 24-et hozzáadsz.

G: Nem.

/Ha a hatványozással is foglalkoztak már, akkor ese tleg azt is

mondják: harmadik hatványra emeled. De nincs sok ér telme a

találgatások számát szaporítani, amíg kevés rá az a lap. Ha olyan

szabályt vezetünk be: jó pontot kap a kitaláló, ros sz pontot a hibás

találgató, akkor elérhetjük, hogy megvárják legaláb b a második

feleletet, miel ıtt találgatni kezdenek./

M: 5.

G: 25.

- 161 -

0: Nem ér, megváltoztattad a szabályt. Az el ıbb 9-cel

szoroztál, most 5-tel.

G: Egyszer sem szoroztam. Most is ugyanaz volt a sz abály.

Mondjatok egy másik számot.

P. 7.

R: Azt hiszem, most ı is 7-et fog mondani. Az el ıbb harmadik

hatványra emelte, aztán másodikra, most els ıre.

G: Nem, 23.

K: Tudom. 10-re 20-at mondanál, igaz?

G: Igaz.

S: Akkor én is tudom. Az a szabály, hogy 30-ból kiv onja azt,

amit mondunk.

Bekapcsolódhat a munkába mindenki, az is, aki éppen nem szól:

táblázatba foglalhatják a bemen ı és kijöv ı értékeket, grafikont is

készíthetnek róla, aszerint, hogy milyen gyors a já ték tempója. Ha

nehezebb, több m őveletb ıl összetett szabályoknál tartanak is, a

grafikus ábrázolás révén a gyerekek gyakran ki tudj ák találni a

függvényértékeket, még ha a képzési szabályt nem is tudják

megfogalmazni; útbaigazítást ad nekik a rajz szabál yossága. De ha ki

is talált valaki egy olyan szabályt, amely ugyanazo kat az értékeket

produkálja, mint a gondoló szabálya, lehet a kett ı különböz ı.

Például lehet, hogy valaki ezt a szabályt gondolja: "A kétszereséhez

6-ot adok", egy másik pedig így adja meg a képzési szabályt: "A 3-

mal nagyobb számot 2-vel szorzom". A gyerekek csodá lkozva fedezik

fel, hogy akármilyen számokat próbálnak is ki, a ké t szabály mindig

ugyanarra az eredményre vezet. Jó alkalom ez a szim bolikus jelölés

bevezetésére és egyszer őbb azonosságokkal való játékos

megismerkedésre. A felfedezett törvényszer őségeket írják össze

füzetüknek egy erre kijelölt részére, pl.

. 2 + 6 mindig ugyanennyi, mint / + 3/. 2

. 3 + 12 ” ” ” / + 4/. 3

10 - / - 1/ ” ” ” 10 - + 1,

vagy akár

10 - /x - 1/ ≡ 10 - x + 1

- 162 -

stb. Ha már elég összegy őlt, vegyék észre, ami ezekben közös, az

után következhet annak a belátása, hogy ez szükségk éppen mindig így

van, történetek és szemléltetés útján. /Lásd 29.,30 . oldal/.

Grafikonolvasás

A táblázattal és grafikonnal megadott függvényeknek akkor is a

tanítás középpontjában kell maradniuk, ha közben el kezdjük az

általános szabály megfigyelésének, a formulába fogl alásnak az

el ıkészítését. Egyik legf ıbb teend ınk elérni, hogy diákok a

táblázatot alkotó számpárok alapján megtalálják a s ík megfelel ı

pontjait, le tudják olvasni a sík pontjainak koordi nátáit, és ha egy

grafikon van el ıttük, meg tudják találni az adott abszcisszákhoz

tartozó függvényértékeket, vagy azokat az abszcissz ákat, ahol a

függvény adott értékeket vesz fel stb. Mindezeknek készséggé kell

válni. Ezzel azonban nem elégedhetünk meg. Ha valak i egy grafikon

alapján le tudja olvasni a változó adott értékeihez tartozó

függvényértékeket, ezt még nem nevezhetjük grafikon olvasásnak,

legfeljebb sillabizálásnak. Grafikonolvasásról akko r beszélhetünk,

ha valaki egészben látja a grafikont /mint a szöveg ben a szavakat, a

kottában az ütemeket, esetleg még nagyobb egységeke t/, és ha az

értelmét is látja már annak, amit olvas: a görbe al aki tulajdonságai

alapján maga el ıtt látja annak a mozgásnak, változásnak, vagy egyéb

összefüggésnek a jellegzetességeit, amelyet a grafi kon jellemez.

Látja például, hogy itt emelkedés van, ott csökkené s, amott nincs

változás; itt lassabb a változás, ott gyorsabb; eze n a szakaszon

egyre lassul, ezen a ponton lassulni kezd; ilyen és ilyen értékeket

ezen a szakaszon ér el; stb. Az ilyen értelemben ve tt

grafikonolvasás készséggé fejlesztése - beleértve t ehát a grafikon

olvasásába a grafikon értelmezését is - elméleti és gyakorlati

szempontból egyaránt igen fontos, alapvet ı feladata az iskolának,

kezdve már az általános iskolánál. Mindenesetre fon tosabb feladata,

mint néhány olyan készség elsajátítása, amelyeknek régebben nagy

jelent ıséget tulajdonítottak /például - egy felesleges

négyzetreemelési és egy elavult négyzetgyökvonási a lgoritmus

tanítása, az interpoláció mechanizálása stb./. Le k ell küldenünk azt

a tévhiedelmet, hogy a függvény a formulánál kezd ıdik, a

matematikához csak annak van

- 163 -

köze, ami formulával megadható, hogy a függvények t anításának

keretében csak a lineáris, másodfokú, exponenciális és

trigonometrikus függvényeknek, ezek inverzeinek, es etleg még néhány

polinommal vagy polinomhányadossal megadható függvé nynek, például y

= 1/x-nek a tulajdonságaival kell foglalkoznunk. Ké tségtelen, hogy

ezek fontos függvények és fontos valóságos összefüg gésekb ıl

absztrahálhatók. Fontos megismertetni a diákokat a bel ılük

összetett, bel ılük egyszer ő transzformációk után el ıállítható

függvényekkel, hogy kés ıbb formulát is megtanuljanak olvasni, ne

csak grafikont. Nagy lehet ıséget szalasztanánk azonban el és

feleslegesen megnehezítenénk a dolgunkat, ha minden t csak formulával

megadott függvényeken akarnánk megmutatni, amit a f üggvényekr ıl

tanítani tudunk.

Ha egy táblázatot szóról szóra fordítunk le grafiko nnnyelvre,

különálló pontokat kapunk. Ez azonban gyakran - pél dául ha a konkrét

példában, amelyb ıl kiindulunk, az id ı a változó - nem elégít ki

minket, folytonos függvényt szeretnénk ábrázolni. B ıvebb információ

híján vagy egyenes szakaszokkal törött vonallá, vag y törésmentes

sima görbévé egészítjük ki a pontokból álló grafiko nt. Eleinte

ajánlatos az el ıbbit tenni, tehát /formula nélkül is/ tanulmányozni

a szakaszonként lineáris függvényeket.

Szakaszonként lineáris függvények /táblázattal,

grafikonnal/

Az egyenletes változás, mozgás grafikus képe egyene s - ez az

egyik legels ı és az egyik legfontosabb felfedezés, amelyet a tan ulók

a kockáspapíron való ábrázolás közben tesznek. Nagy hiba volna várni

vele addig, amíg a hasonlósági tételek segítségével be is tudjuk

bizonyítani. Általában: egy-egy ténnyel való megism erkedést ahhoz

kötni, hogy azt a tényt mindjárt bizonyítani is tud juk ahhoz a

felfogáshoz való ragaszkodást jelenti, amely a mate matikában csak a

kész deduktív rendszert hajlandó látni, a hozzá vez et ı utat nem.

Azt is hamar felismerik a tanulók, hogy a grafikon felfelé

haladó szakaszai növekedést fejeznek ki, a lefelé h aladók

csökkenést, a vízszintes szakaszok pedig változatla nságot

jelentenek. Mozgási feladatok útgrafikonjai esetébe n "növekedés" egy

bizonyos

- 164 -

irányú mozgást, a

"csökkenés" ellenkez ı

irányú mozgást jelent;

röviden el ırehaladást,

hátrafelé haladást

mondhatunk. Rajzoljunk

olyan ábrát is, amelyen

vannak függ ıleges vagy

visszafelé haladó

szakaszok:Valaki ilyen grafikont készített a h ımérsékletváltozásról.

Jó-e a grafikonja? Meg fogják érteni, hogy ilyen gr afikon nem

lehetséges, mert pl. egy és ugyanabban az id ıben ugyanazon a helyen

nem lehet 3 o is és 5 o is a h ımérséklet.

Irányítsuk ezek után a tanulók figyelmét arra, hogy a gyorsabb

változást meredekebb, a lassúbbat kevésbé meredek s zakaszok fejezik

ki. Ne siessünk ezzel az általános megfogalmazással ! El ıbb alakuljon

ki a fogalom, aztán rögz ıdjék szavakba, lehet ıleg minden tanuló

esetében.

Mindezeknek az ábrázolási feladatoknak a megoldásáb an eleinte

meg kell beszélnünk a tanulókkal, hogy milyen egysé get érdemes

választani a két tengelyen, mert ha szabadjára hagy juk ıket, a

legképtelenebb beosztásokat produkálják. Id ıvel önállósulnak ezen a

téren; a függvényábrázolás készségének ez igen lény eges eleme.

Késıbb egyre gyakrabban el ıfordul, hogy méreth ő rajz helyett csak a

szemléletnek támaszt adó vázlatot készítenek. De mi ndig újra adódnak

olyan problémák, amelyeket numerikusan, méretesen, a füzet és a

tábla négyzethálós beosztásának tekintetbevételével oldanak meg.

A legjellegzetesebb ezek közül a meredekség problém ája. Ha már

tudják, hogy a gyorsabb változásnak /nagyobb sebess égnek/ meredekebb

szakaszok felelnek meg, akkor hajlandók azt hinni, hogy kétszer

/általában a -szor/ olyan gyors változásnak kétszeres /a -szoros/

meredekség felel meg. Ez persze nem igaz akkor, ha a szöget

fokokban, vagy ezzel arányos mennyiségekben mérjük, és érdemes

rávezetni ıket alkalmas feladatokon át /nem megmutatni , még kevésbé

megmondani nekik!/, hogy ez az elképzelésük helytelen. Bizony os

értelemben mégis igaz az, hogy kétszer olyan gyors változást

kétszeres meredekség ő szakaszok ábrázolnak; ti. akkor, ha a

kétszeres meredekséget úgy értjük: ugyanakkora "víz -

- 165 -

53. ábra

szintes" távolságon kétszerakkorát emelkedik a vona l /vagy az út, a

domboldal, és amit még a "meredekség" szóhoz asszoc iálnak/. Ez

persze azt jelenti, hogy a meredekséget fok helyett tangensben

mérjük. A tangens fogalma így - anélkül, hogy ezt a z elnevezést

használnánk - természetes úton kezd kialakulni. Has onlóképpen el

lehetne kezdeni a szinusz fogalmának kialakítását i s - vízszintes

haladás helyett akkor a "lejt ı menti haladáshoz" kell viszonyítani

az emelkedést, ami, ha útban gondolkozunk, még term észetesebb is - a

szinusz numerikus értékeinek leolvasása azonban a k ockáspapíron nem

olyan egyszer ő, fizikai, jelentése sem olyan alapvet ıen fontos, mint

a tangensé /pl. útgrafikonnál a sebesség/. Ezért jo bb egyel ıre a

meredekségnek ennél a jellemz ıjénél, a tangensnél maradni.

Feladatmegoldás grafikonok segítségével

A függvényábrázolásról mondottak illusztrálására it t

következik egy általános iskolai 7. osztályban lefo lytatott

kísérletr ıl szóló beszámoló néhány részlete.x A beszámolóban leírt

témakör feldolgozása öt-hat héten át folyt heti 3 ó rában.

"El ıször egy személyautó és egy teherautó útjáról készí tettünk

grafikont.

A személyautó 20, a teherautó 10 métert tesz meg

másodpercenként. Hány másodperc múlva találkoznak, ha a teherautónak

40 méter el ınye van, és egymás után haladnak?

Képzeljük el, hogy helikopterr ıl fényképezzük ıket, és hogy a

fényképen az úttest egyenes vonalnak látszik. Készí tsünk

felvételeket az elindulás után másodpercenként. Hel yezzük a

fényképeket egymás mellé. /Piros személyautót, kék teherautót

rajzoltunk./ A tanulók leolvasták, hogy a személyau tó 4 másodperc

alatt éri utol a teherautót. Második ábránkon egy m ásodperc alatt 4

felvételt készítettünk. Itt már nem volt hely az au tók vázlatos

rajzának az elkészítésére sem, helyette pontokat ra jzoltunk.

Elképzeltük, hogy ha elég sok felvételt készítünk, akkor az egymás

mellé ragasztott fényképeken a mozgó testek pontsze r ő képei

________________

x A Matematika Tanítása, 1960. évi 4. és 5• szám.

- 166 -

folytonos egyenes vonallá

tev ıdnek össze, feltéve,

hogy az autók sebessége

közben nem változott. E

feladattal kapcsolatban

nemcsak a találkozás id ı-

pontját határozták meg a

tanulók, hanem azt is

leolvasták, hogy 1, 2, 3,

. . . stb. másodperc

alatt hány métert tett meg az egyik, illetve a mási k mozgó test.

Másrészt azt is, hogy mennyi id ı alatt tettek meg 10, 20, 30, . . .

stb. métert.

Egy másik feladatban az egyik autó defektet kapott. Ennek

ábrázolásakor értették meg, hogy az id ı-tengellyel párhuzamos

szakasz helybennmaradást jelent.

Miután tapasztalataik alapján kialakult bennük az a gondo1at,

hogy az egyenletes mozgás grafikonja egyenes, a tov ábbi feladatokban

csak két id ıpillanatban ábrázolták a mozgó testeket, és a két p ont

összekötésével rajzolták meg a grafikont. A tanulók különböz ı

pontosságú ábrákat készítettek, és ezért egy és ugy anannak a

feladatnak a megoldására különböz ı számértékeket kaptak. El kellett

dönteniük, hogy melyik a helyes megoldás. Ezt a köv etkez ı feladaton

figyelték meg:

Jóska versenyt fut az öccsével. Ad neki 20 méter el ınyt, mert

Jóska sebessége 4,5 m/mp, az öccséé csak 3,5 m/mp. Mikor éri utol

Jóska az öccsét?

A megoldás okoskodással: Jóska másodpercenként 1 mé tert hoz be

a köztük lév ı távolságból. A 20 métert éppen 20 másodperc alatt

hozza be. Ennyi id ı múlva találkoznak. A következ ı feladatokban

hasonló okoskodással ellen ırizték a feladatoknak a grafikonról

leolvasható megoldásának helyességét.

Egy más típusú feladatcsoportban a mozgó testek egy mással

szemben haladtak.

120 méteres szakasz két munkacsoport kövez ki, a ké t végét ıl a

közepe felé haladva. Az egyik csoport 11 m-t, a más ik 13 m-t kövez

ki naponta. Hány nap alatt végeznek az egész útszak asszal? A

grafikonok megrajzolása már könnyen ment. Az új ebb en

- 167 -

54. ábra 55. ábra

feladatban az volt, hogy okoskodással hogy számíthatjuk ki a

találkozás id ıpontját, ha a mozgó testek egymás felé haladnak.

1 nap alatt együtt 11 + 13 métert köveznek ki. A 12 0 métert

annyi nap alatt kövezik ki, ahányszor a 12-ban megv an a 11 + 13.

Felírtuk kifejezéssel is:

Arra a kérdésre is választ tudtak

adni okoskodással, hogy a munka

megkezdése után hány nap múlva

lesznek egymástól például 84 méter

távolságra.

A kérdést így fogalmazták meg:

Hány nap alatt készültek el a 120 - 84 = 36 méterre l? Válasz:

= 1,5 nap alatt

A feladatok következ ı csoportjában az egyik mozgó testnek

id ıel ınye volt.

Egy állomásról egymás után két óra különbséggel két vonat

indul el. Az els ı óránként 36, a második óránként 48 km-t tett meg.

Hány óra múlva éri utol az els ı vonatot a második?

Egy tanuló felismerte, hogy

akkor lenne a legcélszer őbb

felvételt készíteni róluk, amikor a

második el indult. Ekkor az els ı

már722 km utat tett meg, így a

feladat megoldása visszavezethet ı

az el ıbbi útel ınyös feladatra:

Mennyi id ı alatt hozza be a kés ıbb

induló a 72 km távolságel ınyt?

= 6 óra alatt.

Arra a kérdésre, hogy mikor találkoznak, kétféle mó don felelhettek:

/1/ A második elindulása után 6 óra múlva, vagy /2/ Az els ı

elindulása után 8 óra múlva. Kétféle módon tudtak f eleletet adni

arra a kérdésre is, hogy a találkozásig hány km uta t tettek meg:

- 168 -

120

11+13

36

24

56. ábra

57. ábra 72

48- 36

A tanulók kezdtek rájönni arra, hogy az ilyenféle f eladatok

okoskodással való megoldásához nem szükséges a graf ikonok nagyon

gondos megrajzolása, elegend ı vázlatos rajz is, amely lehet ıleg

arányosan szemlélteti az adatok közti összefüggések et. Az alábbi

feladatot már így dolgoztuk fel:

A városból B városba félórás id ıközzel két repül ıgép indult

útnak. Az els ı gép óránként 360 km-t tett meg, a másik gép 540 km -t.

Mikor az els ı gép megérkezett B városba, akkor a második gép még 100

km-re volt B-t ıl. Milyen messze van a két város egymástól?

El ıször arra kellett rájönniük, hogy a második gép

elindulásának pillanatáig az els ı már 180 km-t tett meg. Az eddig

megoldott feladatok emlékei

merülhettek fel abban a tanulóban,

aki így okoskodott: A nagyobb

sebesség ő gép óránként 540 - 360 =

180 km-t hoz be a hátrányból. Tehát

1 óra múlva találkoznának, és így 1

óránál rövidebb id ı alatt csökken a

távolságuk 180 km-r ıl 100 km-re. Ez

után a becslés után megbeszéltük,

hogy mennyi id ı alatt csökkenhet a

két gép távolsága 80 km-rel.

Annyi óra alatt, ahányszor a 80-ban megvan az 1 óra alatti

távolságcsökkenés, a 180 km : = óra alatt . Az AB

távolságot az els ı gép + = óra alatt teszi meg, és így

az AB távolság: 360 . = 20.17 = 340 km. Ezt az eredményt a

következ ı módon ellen ırizték: AB = 540 . + 100 = 60.4 + 100 =

340 km.

A grafikonon megmutatták az 540 . km-t ábrázoló szakaszt, a

nagyobb sebesség ő gép óra alatt megtett útját.

Ett ıl kezdve már nem is használtuk a négyzethálós táblá t,

hanem helyette az el ıbb ismertetett módon csak vázlatos rajzot

készítettünk,

- 169 -

6 . 48 = 8 . 36 = 288 km.

80

180 4

9 1

2

17

18

4

9 17

18 4

9

4

9

4

9

57. ábra

Eddig adott szöveges feladatokhoz készítettük grafi konokat. Az

egyik órán ennek a fordítottját gyakoroltuk: adott grafikonokhoz

szöveges feladatokat készítettünk konkrét adatok né lkül.

59. ábra

Például az 1/ ábrához ilyesféle szöveget mondtak: K ét mozgó

test indul el ugyanarról a helyr ıl, egyszerre, egy irányban. Ha a

sebességüket ismerjük, akkor már azt is tudjuk, hog y óránként

mennyit távolodtak egymástól, és így ki tudjuk szám ítani például

azt, hogy hány óra alatt n ı a távolságuk adott nagyságúra. /Például:

ha a sebességkülönbségük 15 km óránként, akkor 100 km-re 100/15 óra

alatt növekszik a távolságuk./

Ezután munkára vonatkozó feladatok megoldására is

felhasználtuk a grafikus módszerét.

Több egyszer ő feladat megoldása után a Laricsev-példatár

1264/3-as feladatát tárgyaltuk:

Egy favágóbrigádnak a terv szerint naponta 50 m 3 t őzifát

kellett termelnie; a brigád azonban naponta 56 m 3 t őzifát ter-

- 170 -

melt. Így a határid ı el ıtt 3 nappal már 120 m 3 t őzifával termelt

többet, mint amennyit a terv szerint kellett volna. Összesen hány m3

t őzifát kellett volna termelnie a brigádnak?

A szöveg alapján a következ ı lépésekben készítettük el a

grafikont osztályfoglalkoztatással /az 1-9. lépést az ábrán követni

lehet/:

60. ábra

1. Az id ıtengelyen megjelöltünk egy pontot, ez a határid ıt

jelentette.

2. A másik tengelyen is megjelöltünk egy pontot, ez jelentette

a terv szerint kitermelend ı t őzifa mennyiségét.

3. Megrajzoltuk a munka tervezett lefolyásnak grafi konját.

4. Megjelöltük az id ı-tengelyen a határid ınél három nappal

korábbi id ıpontot.

5. Megrajzoltuk a valóságosan elvégzett munka grafi konját.

6. Feltüntettük a túlteljesítést.

Ilyen grafikonnal még nem találkoztak a tanulók. Az eddig ismert

grafikonokra való visszavezetés a következ ı ötlettel sikerült:

elképzeltük, hogy a hátralév ı három napon is tovább dolgoznak.

7. Szaggatott vonallal megrajzoltuk a munka további menetének

grafikonját.

8. Odaírtuk az utolsó három nap termelését: 3 . 56 /m3/.

9. Így a tervet 3 . 56 + 120 = 288 m 3-rel teljesítenék túl.

Ekkor már ráismertek a hasonló típusú mozgási felad at megoldására és

tovább folytatták a gondolatmenetet:

- 171 -

10. Mivel naponta 6 m 3-rel termeltek többet a tervezettnél,

ezért a 288 m 3-es túlteljesítést 288 : 6 = 48 nap alatt érték vol na

el. Ennyi id ı alatt kellett volna elvégezniük a munkát.

11. A terv szerint naponta 50 m 3 t őzifát kellett termelniük,

48 nap alatt tehát 48.50 = 2400 m 3-t.

A módszert felhasználhatjuk egyenletrendszerre veze t ı szöveges

feladatok megoldására is.

A és B távolsága 17 km. A-ból B felé egy gyalogos, B-b ıl A

felé egy kerékpáros indul el egyid ıben. Egy félóra múlva már csak 5

km-nyire vannak egymástól. Ekkor a gyalogos 10 perc es pihen ıt tart.

5 perccel az után, hogy újra útnak indult, találkoz ik a

kerékpárossal. Mekkora a sebességük?

30 perc alatt ketten összesen 12 km-t

tesznek meg, 5 perc alatt 2 km-t. 10

percig - amíg a gyalogos pihent -

csak a kerékpáros haladt, ez alatt 5

- 2 = 3 km-t tett meg. A kerékpáros

sebessége ebb ıl már könnyen

kiszámítható: 60 perc alatt 6 . 3 =

18 km-t tett meg. Az els ı 30 percben

összesen megtett 12 km útból 9 km jut

a kerékpárosra, a gyalogosra 3 km. A

gyalogos sebessége tehát 6 km/óra".

X X X

Nagy eredmény, hogy a tanulók megtanulnak grafikonb an

gondolkozni és grafikonok segítségével problémákat megoldani, még ha

csak a grafikonnal leírható jelenségeknek olyan sz ők kis szektorában

is, mint az egyenesvonalú egyenletes mozgások. Még nagyobb eredmény,

ha a látókörük kitágul és másféle jelenségeket is l e tudnak

fordítani a grafikonok nyelvére és viszont. A beszá molóból láthatjuk

az erre vonatkozó törekvés nyomait is /gondoljunk a fatermelési

feladatra/. Sok lehet ıség van a látókör további kib ıvítésére. Egy

olyan kis változtatás, hogy egyenes grafikonnal, má r meglepheti az

egyenes pályában való gondolkozáshoz rögz ıdött tanulókat. El ıször

talán valami polárkoordinátarendszer-félével

- 172 -

61. ábra

próbálkoznak. Rá lehet ıket vezetni, hogy a szokott ábrázolási mód

most is megfelel, csak azt kell tudniuk, hogy amiko r az út végén van

a mozgó test, akkor egyúttal az út elején is van. K eressünk még

példákat id ıt ıl függ ı egyéb változásokra /nem úton mozgásra/

Próbáljuk átvinni a módszert olyan esetekre is, ami kor nem az id ı a

változó!

Egyenletmegoldás grafikus ábrázolással egybekötve

A következ ı óraleírás többek között azt illusztrálja, hogyan

lehet hasznosítani egyenletmegoldással kapcsolatban azt az

el ıkészít ı munkát, amire az el ızı szakaszban láttunk példát. Az óra

egy általános iskolai 8. osztályban folyt le, de is koláink többségét

nézve nem jellemz ı erre az évfolyamra; inkább lehetne 2. gimnáziumi

órának gondolni.

X X X

Egy tanuló cédulán feladatot kap, a táblánál elkezd dolgozni a

megoldásán.

A többi kinyitja a füzetét, a tanár kérdéseket dikt ál, ezekre

írásban felelnek. Ilyen kérdések hangzanak el /a ta nulók mindjárt

ilyen elrendezésben írják, de a harmadik oszlopba a felelet kerül/:

Aki leírta egy-egy kérdésre a feleletet, hátrad ıléssel jelzi,

hogy készen van. A végén megbeszélik a helyes felel eteket. Ki kapta

ezt az eredményt? Ki jutott más eredményre? Az utol só két kérdésre

többen 3/60 km-rel és 3000/60 km-rel feleltek. Tisz tázzák, hogy ezek

helyes feleletek, de 1/20 km és 50 m egyszer őbb válasz a kérdésekre.

A tanár a felel ı felé fordul. Az még dolgozik, "valamit

elhibáztam", mondja, töröl és újrakezdi. Addig a ta nár még ad egy

el ıre elkészített tartalékfeladatot az osztálynak:

- 173 -

4 óra, 20 km, sebesség?

5 óra, a km, sebesség?

a óra, t km, sebesség?

1 óra, 3 km, 1 perc alatt hány km?

1 perc alatt hány m?

- Két test egyszerre indul, egyenletes sebességgel. Az egyik a

percig halad, a másik 3 perccel tovább. Mindkett ı u utat tesz meg.

Írjátok fe1 a sebességüket!

Mire megbeszélik, hogy a helyes válaszok

m/perc és m/perc

addigra a felel ı is elkészül. Az egész osztály ırá figyel, míg

elmondja az els ı feladatát:

= Ha az autó 50 km/óra átlagsebességgel megy A váro sból B

városba, akkor 1 órával a kit őzött id ıpont el ıtt ér oda. De csak 35

km/óra átlagsebességgel tud haladni, és így 2 óráva l a kit őzött

id ıpont után ér oda. Milyen messze van A-tól B?

A táblán ez a rajz látható:

A tanár az osztályhoz

fordulva kérdezget:

Melyik szakasz mutatja az AB

távolságot? az eltelt id ıt, ha

50 km/óra a sebesség? stb.

Megbeszélik, hogy a rajz nem

méreth ő, csak vázlat.

A felel ı a rajz alapján

elmagyarázza az okoskodását: Ha

35 km/óra sebességgel halad,

akkor 1 órával a kit őzött

id ıpont el ıtt még 3 órai útja

van hátra, ez 105 km. Ha 50

km/óra sebességgel haladna, éppen ekkor érne be. 10 5 km-rel marad le

azért, mert 15 km-rel kevesebbet tesz meg óránként. Ekkora

elmaradáshoz 105: 15 = 7 óra kellett. 7 óra alatt 5 Ó km/óra

sebességgel 350 km-t tett volna meg, ekkora a távol ság.

/Ez csak a magyarázat lényege./

Másik példája megoldásból ez látható a táblán:

2x2 + 8x + 6 = 0

2x/x+1/ + 6 /x+1/ = 0

/2x+6/ /x+1/ = 0

- 174 -

u

a

u

a+3

62. ábra

= /Szóban folytatja/ Ha egy szorzat értéke 0, akkor legalább

egyik tényez ıje is 0.

- Elég, folytassa az osztály!

Jelentkeznek, megmondják a gyököket.

= Felírja: /3a + 3//a + 2/ = 0

Az el ıbb nem elegen jelentkeztek, a tanár a többiek közül

szólongat. Megbeszélik a megoldást.

A 45 percb ıl eddig 19 perc telt el.

- Távirati stílusban diktálok egy feladatot. Ki les z a

táviratfelvev ı?

Valaki jelentkezik, de egyel ıre ı is jegyez a többivel

együtt:

7 óra 30. A-ból B-be teherautó

8 óra. A-ból B-be motorkerékpár. Sebessége 6

km/órával nagyobb.

11-kor utoléri. Sebességük?

A "táviratfelvev ı" elmondja részletesen a feladatot.

- Mindenki így értette?

Egy valaki. már rajzol a táblára:

Az a/2 hosszúságú

szakaszra mutat: ez a távolság 3

óra alatt fogy el.

Ellen ırz ı kérdés a

gyengébbekhez:

- Miért a/2 az a távolság?

/Megmondják./

- Mit érdemes ebb ıl

feljegyezni?

Táblázatot készítenek:

km/ó óra km

teherautó a 3,5 3,5a

motorkerékpár a+6 3 /a+6/3

A táblára a tanár ír, a gyermekek s őr őn váltogatva diktálnak.

Amikor a zárójelet nem diktálják, nem is írja, de m osolyog, a

gyerekek szólnak, bólint, beírja.

- 175 -

63. ábra

Nem tesz fel kérdést, vár. A gyerekek maguk mondják :

ugyanakkora utat tettek meg, azért az utolsó oszlop alapján

3,5a = /a + 6/3

/A tanár ír a táblára a gyerekek a füzetbe./

Megint vár, jelentkeznek, szólítja hol az egyiket, hol a

másikat, azok stafétaszer ően folytatva mondják:

= A jobboldalon összeg szorzása van. Összeget tagon ként

szorzunk. 3a + 18 lesz. Az egyenlet:

3,5 a = 3a + 18

/Tanár a táblára írja./

= Az összeg egyik tagja az összegnek és a másik tag nak a

különbsége. /El ıször így mondják: az összeg ismeretlen tagja az

összegnek és az ismert tagnak a különbsége. Tisztáz ódik hogy itt

éppen fordítva érdemes ezt alkalmazni, és nem is fo ntos melyiket

ismerjük, melyiket nem./ Az új egyenlet /írják, tan ár a táblára ık a

füzetbe/:

0,5 a = 18

a= = 36

- Befejeztük a feladat megoldását?

= Nem. Be kell helyettesíteni, meggy ızıdni, hogy helyes-e.

- De mi helyes-e? Mit jelölünk a-val? /Elmondják./ Mi volt a

kérdés? /Megmondják, ellen ırzik a megoldást a szöveg alapján./

Megint távirati stílusban diktál.

6 óra: A-ból B-be lovaskocsin.

8 óra: B-ból A-ba kerékpáros, sebessége 5 km/órával

nagyobb.

12 óra: találkoznak.

AB = 145 km

Sebességük?

Szólít egy gyereket: Hogy indulnál?

= Grafikonnal. Aztán majd meglátjuk. /A gyerek a kö vetkez ı

rajzot készíti:/

- 176 -

18

0,5

- Jó a grafikon? /Az

osztálytól kérdezi./ Mit jelent ez

a vízszintes szakasz? Hát a

találkozás után mi lett velük?

Elt őntek? Köddé váltak? /Nevetnek,

vitatkoznak, eldöntik, hogy lehet

kiegészíteni a rajzot, ha

folytatják az útjukat./

Az óra további részében

elkészítik itt is a táblázatot:

sebesség menetid ı út

km/óra óra km

kocsi a 6 6a

kerékpáros a + 5 4 /a + 5/4,

felírják az egyenletet:

6a + /a+5/4 = 145,

a megoldás azonban már házi feladatnak marad. Szorg almi feladatot is

ad: már többen gondolkoztak azon, mi a legnagyobb s zám, amit három

2-essel fel lehet írni /2 22/, három 3-assal is megoldották /3 33/,

most nézzék meg három 4-essel!

Egyenes és fordított arányosság, lineáris függvény

/formulával is/

Szó volt már a függvények formulaközéppontú tanítás ának

hátrányairól és veszélyeir ıl.

A formulák bevezetése azonban bizonyos függvényekke l

kapcsolatban el ıbb-utóbb elkerülhetetlenné lesz; nincs is semmi

szükség az elkerülésére. Azok az esetek, amelyekben erre a

leghamarabb sor kerül, általában az egyenes arányos ság, a fordított

arányosság és – az el ıbbi általánosításaként – a lineáris függvény.

A lineáris függvény maga a polinomoknak, a fordítot t arányosság a

racionális tört függvényeknek speciális esete.

- 177 -

64. ábra

Ez a besorolás különös lehet annak, aki megszokta, hogy az

egyenes és fordított arányosságról mennyiségekkel k apcsolatban

beszéljen, a polinomot pedig formálisan értse. De a z iskolában a

polinomokkal mint függvényekkel foglalkozunk, amely eket konkrét

mennyiségek közötti függvénykapcsolatokból absztrah álunk egyszer őbb

esetekben. A polinomok legtöbbjénél a konkrét tapas ztalati háttér

már hiányzik, ahogyan a 3756453-ról sincs olyan ért elemben konkrét

tapasztalatunk, mint a 3-ról. Mégis egyforma joggal tekintjük

mindkett ıt természetes számnak.

Az egyenes és a fordított arányosság jellemz ıit leolvashatjuk

a következ ı táblázatokról, formulákról és grafikonokról:

Egyenes arányosság

Az egymásnak megfelel ı értékpárok hányadosa állandó.

Például

vagy

Fordított arányosság

- 178 -

1 = 2 = 3 . . = 2

0,5 1 1,5

0,5 = 1 = 1,5 = . . 0,5

1 2 3

65. ábra

66. ábra

Az egymásnak megfelel ı értékpárok szorzata állandó.

Például

1.6 = 2.3 = 3.2 = . . . =6

/Akár az értelmezési tartomány és az értékkészlet, akár a függvények

értelmezésében szerepl ı állandó hányados, illetve szorzat negatív is

lehet, bár az alkalmazások többségében pozitívok./

Meglep ı, hogy ezzel a két egyszer ő függvénnyel mennyi baj van

az iskolában. Ebben bizonyos rossz tanítási hagyomá nyok is

elmarasztalhatók. Felesleges például a fordított ar ányosság

tanításában is hányadosokra mondani ki összefüggést szorzatok

helyett „a változó bármely két értékének hányadosa egyenl ı a

megfelel ı, de fordított sorrendben vett függvényértékek

hányadosával”. /Maga a fordított arányosság elnevez és is innen

ered./

Ma már ez a tanítási megszokás kivesz ıben van, bár bizonyos

poziciókat még mindig tart, tankönyvekben is látjuk nyomát. Az

állandó szorzat hangsúlyozása azért is fontos, mert fizikai

mennyiségek esetében ennek általában egyszer ő fizikai jelentése van:

pl. adott távolság esetén a megtételéhez állandó se besség mellett

szükséges id ı és ez a sebesség fordítottan arányosak, s a szorza t

éppen az a bizonyos adott távolság. Egyenes arányos ság esetében is

azért jobb a függvényértéknek és a változó megfelel ı értékének a

hányadosát nézni, - vagyis a táblázat különböz ı soraiban lev ı

mennyiségek hányadosát -, mert ennek van egyszer ő fizikai jelentése.

Ha a függvényértéket osztjuk mindig a változó megfelel ı értékével

/mint fent a „Fordított arányosság” címszó fölött/, az így kapott

állandó hányadost nevezzük /az illet ı függvényre vonatkoztatva/

arányossági tényez ınek .

Az aránypár ismert tulajdonságai folytán természete sen az

egymásnak megfelel ı értékpárok hányadosa más értelemben is egyenl ı:

a változó bármely két értékének hányadosa egyenl ı a megfelel ı

függvényértékek hányadosával. Ez azonban kevésbé fo ntos összefüggés,

mert az így kapott hányados nem jellemz ı a leírt jelenségre, hiszen

függ az értékek megválasztásától.

Érdekes magyarázata van annak, hogy miért hangsúlyo zták hosszú

id ın át mégis inkább az utóbbi hányadosok egyenl ıségét, és a

fordított arányosság esetében is miért ragaszkodtak az ennek

megfelel ı bonyolult definicióhoz. Azért, mert azt hitték, ho gy

különnem ő mennyiségeket nemcsak összeadni és kivonni, hanem

- 179 -

osztani és szorozni sem lehet. Ezt akarták elkerüln i a táblázat

ugyanazon sorágban szerepl ı /tehát egynem ő/ mennyiségek hányadosának

a képzésével. /Vö. 66.oldal./

Irányítsuk rá a tanulók figyelmét arra, hogy ha pl. s arányos

t -vel /ez így magában egyenes arányosságot jelent, lásd a fenti

példát/, akkor t is arányos s-sel, csak az arányoss ági tényez ı az

el ıbbi reciproka. Az egyenes arányosság csak ebben az értelemben

kölcsönös /a "szimmetrikus" jelz ı itt nem volna helyén való/, a

fordított arányosság azonban a szó szoros értelmébe n az, ugyanazzal

a konstanssal.

A fordított arányosság grafikonjára bevezethetjük a derékszög ő

hiperbola /nem pedig "egyenl ıszárú hiperbola"!/ elnevezést. Jó, ha

megfigyelik a tanulók ennek bizonyos alaki tulajdon ságait,

szimmetriáját és azt, hogy a tengelyeket tetszéssze rinti mértékben

megközelíti, de el nem éri. Az "aszimptota" elnevez éssel ajánlatos

várni addig, amíg más példát is látunk rá, nehogy a tanulók a

fogalmat lényegtelen elemekkel kapcsolják egybe, pl . avval, hogy

kett ı van bel ılük, mer ılegesek, a koordintatengelyekkel esnek egybe.

Az egyenes arányosság közvetlen általánosítása a li neáris

függvény. Példa rá a Celsius- és Fahrenheit fokban kifejezett

hımérséklet kapcsolata:

f = 1,8 c + 32

Ha a korábban leírt módon táblázat és

grafikon alapján már megismerkedtek vele

és "szabályok megtalálásával" is eleget

foglalkoztak, akkor ez az általánosítás

igen könny ő. Jó tisztázni, hogy itt az

egymásnak megfelel ı értékek hányadosa

általában nem egyenl ı, de az egymásnak

megfelel ı különbségek hányadosa igen,

pl.

Ez a hányados /ha mindig a

függvényértékek különbségét osztjuk a

változó értékeinek különbségével/ id ı

függvé-

- 180 -

68 – 50 = 14 - /-4/ = 1,8

20 – 10 /-10/ - /- 20/

67. ábra

nyei esetében a változás sebességét, általában a fü ggvény

deriváltját jelenti. Anélkül hogy azt a szót kimond anánk, ezt a

fogalmat készítjük el ı. A különbségek hányadosának képzése persze ne

valami égb ıl pottyant ötlet legyen /miért nem a hányadosok

különbsége, vagy a szorzatok összege? – kérdezhetné k/, hanem

természetesen adódjék valamilyen feladatból. Ilyen lehet például egy

autó /egyenletesnek tekintett/ sebességének kiszámí tása egy

útszakaszon a kezd ı és a végs ı id ıpont és a kilométerk ı /vagy

kilométeróra-állás/ alapján.

A lineáris függvény /vagy esetleg már az egyenes ar ányosság/

alkalmat adhat annak megbeszélésére, mit jelent a f ormula

szempontjából, ha egy függvénynek az inverzét vessz ük. A kiindulás

ez lehet: „Most a másik mennyiség értékeit ismerjük .” Azt már a

táblázattal és a grafikonnal megadott függvények ta nításakor

tudatosítani lehet, hogy a táblázat két sorának fel cserélése a

„pozitív” szögfelez ın át való tükrözéssel egyértelm ő: mindkett ı azt

jelenti, hogy az abszcisszák és az ordináták felcse rél ıdnek. A

formulára vonatkozóan ez a két változó /pl. x és y/ szerepcseréjét

jelenti: így például y = 2x – 5 inverze x = 2y – 5, ha mindkett ıben

x jelöli a változót és y a függvényértéket. Az utób bit explicit

alakra hozva az y = 0,5 – 2,5 egyenlettel fejezhetj ük ki y = 2x – 5

inverzét. Érthet ıbb lesz a gondolat, ha konkrét függvényb ıl indulunk

ki /h ımérsékletek átszámítása, út mint az id ı függvénye, rúd

hosszának függése a h ımérséklett ıl stb./.

- 181 -

6. A GEOMETRIATANÍTÁS KEZDENE

A geometria kapcsolata más tárgykörökkel,

különálló helyzete

Bizonyára mindenki egyetért azzal, hogy arra kell t örekednünk:

a tanulók ne egymástól elszigetelt ismerettöredékek et sajátítsanak

el, hanem egységben lássák a matematikát. Ezt az el vet nemcsak egy-

egy tárgykörön belül kell igyekeznünk megvalósítani , hanem a

matematika egészére vonatkozóan is. Láttuk, hogy a számtan és az

algebra közti határvonal elmosódóban van. A geometr ia sokkal inkább

ırzi különálló helyét a matematika iskolai anyagában . Régebben, ez

olyan küls ı körülményekben is megmutatkozott, mint a külön tan könyv

és a külön heti óraszám; ma már egyre kevésbé. x Persze az, hagy a

geometriakönyvet egybef őzik a számtannal vagy az algebrával, még nem

jelenti ezekek a résztárgyaknak az egybeolvadását, sıt az sem, ha a

tankönyvben és a tanításban s őr őn váltják egymást a fejezetek. Ezek

csak formák, amelyek itt-ott kedvez ı lehet ıséget adnák a

kapcsolatteremtésre - általában kedvez ıbbet, mint a mechanikus

egymás mellett futtatás vagy az ugyancsak mechaniku s egymás után

helyezés -, de a problémát mégsem oldják meg. A geo metria

felépítésmódjában, nyelvezetében, jelöléseiben, a h ozzáf őzıdı

tanítási hagyományokban számos olyan tényez ı van, amely az

egybeolvadást hátráltatja.

______________ x Az Egyesült Államokban ma is annyira éles a különv álás, hogy

a 9. osztályban általában csak algebrát tanítanak, a 10.-ben csak

síkgeometriát, a 11.-ben megint algebrát, a 12.-ben általában több

résztárgyat is, pl. trigonometriát, térgeometriát s tb.

- 182 -

A különállás jelentékeny részben Euklidésznek és m ővének nagy

tekintélyével magyarázható. Igaz, hogy az Elemeket tankönyvként ma

már nem használják, mint a múlt században, s ıt itt-ott még századunk

elején is, a tankönyvek többsége és a tanítási gyak orlat azonban

mindmáig többé-kevésbé meg ırizte a több mint két évezredes tradíció

nyomait, mégpedig nem mindig a jóhoz való tudatos r agaszkodásképpen,

néha csak a tehetetlenség erejénél fogva. A tradíci ó értelmetlen

követése például az, hogy a geometriaórákon magától értet ıdı

tényeket is bizonyítani szokás olyankor, amikor a d iákok még a

bizonyításokban járatlanok. A fels ıbb osztályokban talán el lehet

érni ezt a szintet, de a bizonyítógeometriát ezzel nem lehet

kezdeni, mert a tanulók túlnyomó többsége számára a z ilyen

bizonyítások semmit sem jelentenek. /Vö. 202. old./ Érdekes

összehasonlítani ebb ıl a szempontból a geometriát az algebrával,

ahol viszont a deduktív felépítés csak nyomokban ta lálható. Pedig

ezt nem a tárgykörök természete hozza magával! Elle nkez ıleg, a

geometriában - éppen szemléltetés volta miatt - neh ezebb

különválasztani azt, amire adott premisszákból köve tkeztethetünk,

attól, amit az ábra láttat. Arra pedig, bonyolult s truktúrája miatt,

különösen alkalmatlan ez a tárgykör, hogy az axiómá kig visszavezetve

viszonylag hézagmentes deduktív felépítésben tárgya ljuk középiskolai

fokon. Az algebra bizonyos fejezeti, amelyek az isk olai anyagban még

nem vertek gyökeret - például a csoportelmélet és a hálóelmélet -

valószín őleg alkalmasabbak erre. /Vö. 329.old./

A geometria több évezredes különállása a matematika többi

részét ıl megmutatkozik a hagyományos nyelvezetben és

fogalomrendszerben is. Erre kés ıbb nem egy példát látunk.

El ısegítheti a különállás felszámolását, a geometriána k a matematika

más részeivel való egybeötvözését a halmazelmélet é s a matematikai

logika néhány elemi fogalmának, nyelvének, jelölése inek mértéktartó

alkalmazása a matematika különböz ı fejezeteiben, köztük a

geometriában. Nem szabad azonban azt hinnünk, hogy az egyöntet ő és

modern frazeológia és jelölésmód mindjárt a tanítás is egységessé és

korszer ővé teszi. A "ponthalmaz" szót ugyanúgy lehet értelm etlenül

használni, mint a "mértani hely" elnevezést, és ha valaki az

ekvivalencia jelét használja, s úgy derül ki róla, hogy nem tudja,

mit jelent két állítás ekvivalenciája, az kirívóbb, mint ha a

"szükséges és elégséges feltétel", "akkor és csak

- 183 -

akkor, ha", "megfordítható állítás", "jellemz ı tulajdonság"

szakkifejezések dzsungelében téved el. Ez azonban n em lehet érv az

egységesebb, egyszer őbb és korszer őbb szó- és jelhasználat ellen!

Az egybeötvözésnek más eszközei is vannak. Egy közü lük a

koordinátarendszer, amelynek segítségével geometria i tényeket

számtani-algebrai nyelvre, számtani-algebrai tények et geometriai

nyelvre lehet fordítani. Amikor az algebrában egyen leteket

ábrázolunk vagy amikor a koordináta-geometriában al akzatok

egyenletét írjuk fel és ezek alapján okoskodunk, ak kor az algebra és

a geometria között építünk ki kapcsolatot. A vektor fogalma a

trigonometriát és az analitikus geometriát egymássa l és az

algebrával is szorosabban összekapcsolhatja. Az alg ebra és a

geometria között a csoport fogalma is szorosabbra f őzheti a

kapcsolatot.

Amennyire helyes ezeknek a kapcsolatoknak a korán k ezd ıdı,

fokozatos kiépítése - gondoljunk például a kockáspa pír nyújtotta

lehet ıségek kiaknázására, a geometriai alakzatok egyértel mő és

pontos megadásában /Vö. 194.old/-, ugyanannyira hel ytelen volna

korai formalizálással háttérbe szorítani az elemi g eometria saját

gondolatvilágát, szemléletes fogalmait, egyszer ő problémamegoldó

módszereit. Van egy bizonyos analógia egyrészt a sz ámtan és az

algebra, másrészt az elemi geometria és a - koordin áták, vektorok,

csoport fogalma útján vagy más módon - "formalizált " geometria

között. Amilyen hamis alternatíva az, hogy inkább k ésıbb vezessük-e

be az algebrát /és addig kerülgessük az algebrai fo galmakat, akkor

is, ha már megérett a helyzet a bevezetésükre/ vagy "térjünk át" az

algebrai módszerek alkalmazására. /és attól kezdve az olyan

feladatot is egyenlettel oldjuk meg, amit anélkül k önnyebb volna,

ugyanolyan hamis alternatíva az, hogy inkább minél korábban vagy

inkább minél kés ıbben "térjünk át" a formalizált, aritmetizált

geometria tanítására. Nem áttérni kell egyikr ıl a másikra, hanem

egymás mellett alkalmazni a kett ıt, folyton mérlegelve mindegyiknek

a viszonylagos el ınyeit, folyton gyakorolva az egyik nyelvr ıl

másikra való fordítást. Ez az egymásmellettiség tes zi lehet ıvé, hogy

a formalizált kifejezésmódok tartalmassá, absztrakt formájukban is

egyre szemléletesebbekké váljanak, el ınyeik egyre inkább

kidomborodjanak, anélkül, hogy bármikor is teljesen kiszorítanák az

elemibb kifejezésmódokat.

- 184 -

A geometriatanítás szemléletes foka

Az eddig mondottak az iskolai geometriatanítás egés zére

vonatkoztak, most térünk rá a geometriatanítás kezd ı szakaszának

kérdéseire. Ennek a céljával és lehet ıségeivel kapcsolatban érdemes

idézni az olasz Emma Castelnuovo szavait x; "Úgy gondolom, hogy a

szemléleti fokon való geometriatanítás f ıcélja felkelteni a tanuló

érdekl ıdését, és így egyúttal a kedvét és kutató szenvedél yét is, a

geometriai alakzatok alapvet ı tulajdonságai iránt, a technika, a

mővészet és a természet ezernyi tényének megfigyelésé n keresztül. A

tanulónak azonban véleményem szerint csak akkor tám ad kedve a

geometriához, ha alkotó munkát végeztetünk vele. Eg yrészr ıl arra

kell törekednünk, hogy tápot adjunk a 11-14 éves gy erek természetes,

ösztönös kíváncsiságának, és úgy kell matematikai f elismerésekre

vezetnünk, hogy érezze, ı maga is tett valamit; másrészr ıl jó, ha

már ebben az id ıszakban is megéreztetjük vele apródonként a tisztán

logikai okoskodás szükségességét."

Az általános iskola tanterve megtalálható a jegyzet

függelékében /482.-494. old./. Jellemz ı a tantervre a speciálistól

az általános felé való igen lassú haladás. Például az 5. osztályban

még csak derékszög ő háromszög szerepel - mint a téglalap fele -, a

6. osztályban ehhez még mindig csak az egyenl ıszárú háromszög

csatlakozik, csupán a 7.-ben jelenik meg a háromszö g, majd a sokszög

fogalma. A szovjet iskolákban a sorrend fordított: a sokszög fogalma

után kerül sor a háromszögre, majd az egyes speciál is háromszögekre.

Ez a sorrend annyiban helyesebb, hogy az egészt ıl, az átfogó képt ıl

halad az egyes részletek felé. Nincs az a rajztanár , aki ne csóválná

a fejét, ha azt látja, hogy valaki a kisujjánál kez di rajzolni az

emberalakot, ahelyett, hogy el ıször fölvázolná az egészet, aztán

kezdene hozzá a részletek kidolgozáséhoz. A tanár f ejében megvan az

átfogó kép, és amikor a speciálisról beszél, már az általánoshoz

viszonyítja. A diák nem tud mihez viszonyítani; a r észismeretek igen

nehezen állnak össze a fejben egy egésszé, ha ehhez nem kap

segítséget. A konvex és konkáv fogalmához például n em ördöngösség

elvezetni a

______________ x Castelnuovo /1956/, 3.old.

- 185 -

tíz-tizenegy éves diákokat elegend ı számú konkrét példa alapján.

Jobb ezekbe az általánosabb fogalmakba illeszteni b e a konvex

sokszög és konvex szög , konkáv sokszög és konkáv szög x speciálisabb

fogalmát, mint külön-külön bajlódni az utóbbi fogal makkal. Azt

lehetne mondani, hogy a konvex és konkáv deltoid, k onvex és konkáv

szög stb. lesz majd az az "elegend ı számú konkrét példa", amib ıl

évek múltán kialakul az általános fogalom. Ha azonb an erre várunk,

soká állnak össze a részismeretek egységes egésszé, ha valaha is

összeállnak. Az "elegend ı számú konkrét példának" ugyanis nem kell

külön-külön nevet adni, nem kell a tulajdonságait t anulmányozni

ahhoz, hogy a tanulók észrevegyék, mi bennük a közö s. Elég egy

ábrasorozat - és egy másik, ellenpéldákkal -, s hog y megvan-e a

tanulók fejében is fogalom, elárulja az, hogy ık is tudnak-e

példákat és ellenpéldákat rajzolni. A definícióra a kkor kerülhet

sor, ha a fogalom már többé-kevésbé kialakult, /Vö. 188. és 190.-

192. oldal/.

Az általános gyakran együtt jár az absztrakttal, a speciális a

konkréttal; ilyenkor természetesen csak a speciális tól haladhatunk

az általános felé, hiszen konkrét nélkül nincs absz trakt. De nincs

meg mindig ez a kapcsolódás. A sokszög a négyszögné l, az a

trapéznál, a paralelogrammánál stb. nem absztraktab b, csupán

általánosabb. Az általánosságban sem lehet akármily en életkorban

akármilyen messzire elmenni. Kisgyerekek elég ha né gyzetr ıl tudnak

és következetesen hallják és használják rá ezt az e lnevezést. De ha

valamilyen életkorban egy bizonyos fokú általánossá g elérhet ı, és

nem okoz nehézséget, akkor eddig eljutni és aztán i lleszteni be az

általános képbe a részleteket mindenképpen el ınyösebb. Nemcsak

pedagógiai-pszichológiai szempontból, hanem magának a tárgykörnek a

szempontjából is, amelynek szebb és gazdaságosabb f elépítését teszi

lehet ıvé. A mi tantervünkt ıl sem egészen idegen ez a szempont.

Nyilván azért el ızi meg a deltoid a rombuszt; ami a deltoidra

érvényes, az a rombuszra is igaz, elég utána már cs ak azt nézni,

hogy még mi igaz rá.

______________ x Konkáv szögekkel kapcsolatban ma inkább a "homorú" szó

járja. /Régebben még fordítva is használták a szót, domborúnak

mondták a konkávot./ Nem sok értelme van azonban a szögek esetében

magyarítani, ha más esetben amúgy sem magyarítunk; nem szokás pl.

homorú négyszögr ıl beszélni.

- 186 -

Ha ezeket a helyes szempontokat a tanagyag más rész ében is

érvényesíteni szeretnénk; akkor tudnunk kell, hogy a tantervt ıl való

nagyobb mértéki eltéréshez a fels ıbb szervek engedélye szükséges.

Elég lehet a szakfelügyel ı és az igazgató jóváhagyása is, de

mindenesetre jó, ha az Országos Pedagógiai Intézet Matematikai

Tanszéke /Budapest, VII. Gorkij fasor 17-21/ legalá bbis tudomást

szerez arról, hogy miben, és esetleg arról is, hogy milyen

szempontok és elgondolások alapján kíván valaki elt érni a

tantervt ıl. Ez ugyanis megkönnyíti a koordinálást és el ıreviheti az

OPI munkáját is. Alapvet ıen új tantervi elgondolás megvalósítását

pedig jobb el ızetesen megtárgyalni az OPI illetékeseivel, akik ma guk

is világosan látják, hogy a pedagógusok kezdeményez ı közrem őködése

az el ıbbre jutás egyik legf ıbb tényez ıje.

A geometriai fogalmak kialakítása, a definíciók

megformálása

Szó volt a fogalmak sorrendjér ıl, a speciálisabb fogalmaknak

az általánosabb fogalmak keretébe va1ó beillesztésé r ıl. Az ügyesebb

és az ügyetlenebb felépítésen belül egyaránt alapve t ı kérdés az:

hogy jutnak el a diákok a fogalmakhoz? Definícióval vezetni be egy

új fogalmat nem nagyon ajánlatos, különösen kezd ı fokon. Újonnan

bevezetett fogalmakra egyetemi el ıadók is rendszerint adnak néhány

példát, miel ıtt a definíciót kimondjak. A példák szerepe az, hog y

kialakítson valami képet a hallgatók fejében a defi niálandó

fogalomról. A definíció szerepe viszont az, hogy el határolja a

fogalmat más fogalmaktól, x egyértelm ő kritériumot adjon annak

eldöntésére, mi tartozik az illet ı fogalom körébe - vagyis abba a

halmazba , amit a fogalom jelent - és mi nem.

______________ x A latin "finis" szó többek között azt jelenti: "vé g",

"határ". Ez rejlik a "definició" szóban, amelynek a z alap jelentése

"elhatárolás". Mégsem ezzel, hanem a "meghatározás" szóval szokták

néha helyettesíteni; pedig ez félreérthet ı, "megkeresést" is

jelenthet, ezért a matematikában nem szívesen haszn áljuk. Legjobb

megmaradni a "definíció" szónál, de ha a gyerekek s zámára magyar

szóval is ki akarjuk fejezni a fogalmat, jobban meg felel az

„értelmezés". /Pl. "a hatványozás értelmezésének ki terjesztése" a

definíció kiterjesztését jelenti./

- 187 -

Ez így helyénvaló is az egyetemen, de az általános iskolában

semmiképpen sem. A gyerek ekkor még nem érti, mi va n a szabatos

szóhasználat mögött. /Rendszerint még a középiskolá ban sem./ Ha

százszor elismételjük és elismételtetjük vele, hogy így helyes a kör

definíciója, úgy nem, akkor a végén esetleg nekünk tetsz ı módon

mondja a szavakat, csak éppen azt nem tudja, mért j ó így, mért nem

jó úgy, hogy "a kör önmagába visszatér ı görbe vonal". Az általános

iskolában rendszerint egy hosszú út végs ı állomása a definíció

megfogalmazása. Az út els ı szakaszán példák és ellenpéldák útján

érjük el, hogy a diák fejében megjelenjen a fogalom . /Lásd err ıl

Skemp tanulmányát a szemelvénygy őjteményben, különösen a 419.-424.

oldalt./ Lehet, hogy hosszú id ın át használjuk is a fogalmat,

miel ıtt még szükségessé válna, hogy pontosan megmondjuk más

fogalmakhoz viszonyítva, hogyan is értjük. /Például a téglalap

fogalmával rendszerint ez a helyzet./ De ha szükség essé válik is, a

következ ı lépés általában akkor sem a definíció kimondása , hanem a

definíció kialakítása , a tanulók közrem őködésével. Miel ıtt erre

ismertetnénk egy példát, lássuk, milyen cél felé tö rekszünk, mi az,

amit a definíciótól megkívánunk a matematikában /ne mcsak a

geometriában/:

1. Ne legyen se túl sz ők, se túl tág

Ett ıl még formailag helyes lehet a definíció, csak éppe n nem

azt a fogalmat definiálja, amit az elnevezés - a sz okásos

megállapodások szerint - megjelöl. "A rombusz olyan síknégyszög,

amelynek az oldalai egyenl ık, de nem mer ılegesek" - ez helyes

definíció volna, ha a négyyzetet nem tekintenénk ro mbusznak. De

helytelen, mert annak tekintjük: Más kérdés, hogy m iért tekintjük

annak. Többek között azért, mert így egyszer őbb a definíciója /az

el ıbbi idézett mondat második fele elmaradhat/. Sok té tel is

egyszer őbb így, nem kell kivételes eseteket említeni. A fen ti

definíció túl sz ők. Ez azt jelenti, hogy az általa definiált

négyszögek halhaza a rombuszoknak valódi részhalmaz át alkotja. Ez a

definíció viszont "A rombusz olyan négyszög, amelyn ek az oldalai

egyenl ık", túl tág , ha négyszögön nemcsak síknégyszöget értünk x,

mert akkor az így definiált négyszögeknek a rombusz ok

_____________ x Nincs akadálya annak, hogy négyszögön csak síknégy szöget

értsünk. Ez elég általános szokás. Gondoljuk meg az onban: ez a

szokás azzal függ össze, hogy a síkgeometriát - Euk lidesz

szellemében - élesen különválasztjuk a térgeometriá tól.

- 188 -

halmaza valódi részét alkotja. Végül ha ezt mondjuk : "A rombusz

olyan négyszög, amelynek az oldalai egyenl ık és a szögei ferde

szögek", akkor /feltéve, hogy négyszögön nemcsak sí knégyszöget

értünk/, olyan definíciót adtunk, amely "részben sz ők, részben tág";

az így definiált halmaznak és a szokott értelemben vett rombuszok

halmazának van közös része, de egyik sem részhalmaz a a másiknak.

2. Lehet ıleg ne tartalmazzon felesleges elemeket

Ez viszont formai követelmény, amely a definiált fo galom körét

nem érinti. "A téglalap olyan síknégyszög, amelynek minden szöge

derékszög" - ebben a definícióban burkoltan benne v an a szögek

egyenl ısége, de ennél több is. Ez a többlet felesleges, me rt a

szögek összege alapján az egyenl ıségb ıl következik, hogy mindegyikre

90o jut. x Célszer ő úgy intézni, hogy amikor a tanulók a téglalap

intuitív fogalmától eljutnak a definíciójához, akko r ezzel már

tisztában legyenek.

Ezt a feltételt úgy is fogalmazhatjuk, hogy a defin íció

lehet ıleg ne legyen redundáns . A redundanciát - a definíció

nélkülözhet ı elemeit - részben gyakorlati, részben esztétikai

szempontból általában jobb elkerülni: így egyszer őbb, szebb,

áttekinthet ıbb definíciókhoz jutunk. Ugyanezek a szempontok azo nban

adott esetben indokolhatják is a redundanciát. Péld a rá a négyzetnek

ez a definíciója: "Olyan síknégyszög, amelynek mind en oldala és

minden szöge egyenl ı". Ez kifejezi, hogy a négyzetek halmaza a

rombuszok és a téglalapok halmazának a metszete, ki fejezi az oldalak

és a szögek egyenl ıségének egyez ı szerepét. A redundanciát el lehet

kerülni pl. így: a = b = c = d és α = β, de ezzel a fenti el ınyök

elvesznek.

______________ x Persze nem felesleges akkor, ha a szögösszegtétel még nem

ismeretes, amikor erre a definícióra sor kerül; de ez nem ügyes

sorrend, mert elburkolja a téglalap és a rombusz kö zti metrikus

dualitást, vagyis azt, hogy definíciójuk a "szög" é s az "oldal"

szavak felcserélésekor egymásba megy át. Anélkül, h ogy ennek a

fogalomnak a magyarázatába belemennénk, a gyerekek harmóniaérzékének

fejlesztése, a matematika esztétikai oldalának érzé keltetése

szempontjából fontos, hogy ne álljuk el az útját az ilyen szép

szabályosságok felismerésének. A metrikus dualitás más

négyszögfajtákra is vonatkozik: a négyzet és a paralelogramma saját

magának duálisa, a téglalap a rombuszé , a húrtrapéz /egyenl ı szárú

trapéz, szimmetrikus trapéz/ a deltoid stb. /Vö. 200. old./.

- 189 -

3. Ne használjunk A definíciójában olyan B fogalmat , amelyeket viszont A segítségével definiálunk; által ában: csak a definiáltnál világosabb fogalmak szerepeljenek a definícióban

Ne definiáljuk például a szöget a hajlással vagy fo rgással,

ezt pedig a szöggel.

Ha a definíciókat nem készen kapják a diákok, hanem maguk

fogalmazzák, akkor fokozatosan eljutnak oda, hogy k imondatlanul is

méltányolják ezeket a szempontokat. Miután ide elju tottak, sor

kerülhet a megfogalmazásukra is; el ıbb semmiképpen.

A definíciónak szavakban való megfogalmazását kiegész ítheti,

néha helyettesítheti is a rajzos megfogalmazás. Lás suk példaként

néhány síkidom rajzos definícióját:

Lássunk most egy példát a fogalom kialakítására és a definíció

megfogalmazására. Vegyük a konvex és a konkáv fogalmát. Mondjuk ki

egyenesen: a konvex és a konkáv ponthalmaz fogalmát. x Egy darabig

lehet melléknevekkel is operálni, - ilyenféleképpen : "Konvex ez vagy

nem?" - de id ıvel kényelmetlenné válik a f ınév folytonos

kerülgetése.

A fogalom kialakítását kezdheti a tanár egy barkoch ba-szer ő

játékkal: gondol valamire és a diákoknak ki kell ta lálniuk, hogy mi

az. Ezt a játékot más fogalmakkal kapcsolatban már el ıbb is

______________ x A "ponthalmaz" szó kifejez ıbb, mint az "alakzat" szó. Aki

habozik, hogy két pontot egyetlen alakzatnak tekint sen-e, azt nem

vonja kétségbe, hogy a két pont pontok összessége, ponthalmaz.

Kifejezi a szó azt is, hogy amire alkalmazzuk, azt pontokból állónak

tekintjük.

- 190 -

68. ábra

játszhatták /számok kitalálása, születésnap kitalál ása

intervallumfelezéssel/, itt azonban egy tulajdonság ot kell

kitalálniuk. Felmutathat a tanár különféle, e célra el ıre

összeszedett tárgyakat: ceruzát, labdát, kavicsokat , néhány szem

babot, lencsét; felmutathat keménypapírból kivágott síkidomokat;

felrajzolhat a táblára vonalakat vagy már ponthalma zokat. Felírhatja

a tábla két felére: KONVEX NEM KONVEX x.

El ıször ı maga elkezdi a tárgyakat ennek megfelel ıen két

csoportra osztani, a rajzokat is eszerint rajzolja a tábla egyik

vagy másik felére. De néhány példa után már elkezdi kérdezgetni:

"Hát ezt hova tegyem?" "Ezt hova rajzoljam?" /Egyel ıre semleges

helyre rajzolta, egy másik táblára vagy a tábla köz epére./ Ha

valamelyik gyerek javaslatot tesz, nem mondja meg m indjárt,

egyetért-e vele; várja a többit ıl is a helyeslést vagy az

ellenvéleményt. De aztán a helyére teszi vagy rajzo lja, akárhogy

dılt is el a vita, és a játék folytatódik. Egyre több a támpont, már

vannak, akik biztosra mennek a javaslataikban. Ezek et leinti, vagy

leintés helyett inkább más feladatot ad nekik: gond oljanak ki ık

maguk példákat az egyik és a másik esetre. Egy-egye t a táblára is

rajzolhatnak, a többit a füzetükbe, ott is különvál asztva a két

esetet. A többi gyerekkel pedig közösen folyik tová bb a játék.

Ha a tanár úgy látja, hogy már be lehet vezetni a d efiníciót,

és ezt hasznosnak is ítéli, akkor például a követke zı képpen

folytathatja a foglalkozást:

- Meg tudná-e mondani valaki, mit jelent az, hogy k onvex?

Mikor mondjuk egy ponthalmazra, hogy konvex?

Ilyenféle válaszokra számíthat:

= Ha domború. / Nincs rajta horpadás. / Sehol sem m egy befelé.

_______________________

x Ha egy elnevezés félreérthet ı, más fogalmat sugall, mint

amire alkalmazzuk /gondoljunk a "hasonló" szóra/ ak kor mindenesetre

jobb a fogalom kialakítása után vezetni be. Idegen szó esetében ez

kevésbé fenyeget. A "konvex" szóval együtt azonban semmiképpen sem

célszer ő bevezetni a "konkáv" szót. A páros szavakat /mint számláló

és nevez ı, átfogó és befogó stb./ általában könnyen összetév esztik a

tanulók, különösen, ha még hasonló hangzásúak is. J obb kiemelni az

egyiket és csak kés ıbb vezetni be a másikat.

- 191 -

- /Felrajzol három nem egy egyenesbe es ı pontot./ Ponthalmaz

ez?

= Igen.

- Konvex vagy nem? Hova rajzoljam?

Ha a diákok tanácstalanok vagy megoszlik a vélemény ük, kor a

tanár elárulhatja, hogy ahogy ı érti a szót, ez a ponthalmaz nem

konvex. De hol van rajta horpadás? Ugyanezt elismét elheti még néhány

olyan példával, mint egy szakasz és egy nem rajta 1 evı pont,

töröttvonal stb. Ezek a példák már egyengetik a def iníció útját, de

még szükség lesz egy lökésre, hogy eljussanak a lén yeges mozzanat

megragadásáig:

- Jelöljük meg pirossal ennek a konvex ponthalmazna k

valamelyik két pontját. Kössük össze vonalzóval a k ét pontot. Mit

vesztek észre? Nézzük egy másiknál is. Egy harmadik nál is.

- A nem konvexeknek is megjelölöm két pontját. Köss ük össze.

Mit vesztek észre? A másiknál? A harmadiknál? Jaj, itt valami nincs

rendben! Ez olyan, mintha konvex volna! Vagy csak n em jól

választottam ki a pontokat? N., melyik pontokat jel ölnéd meg, hogy

látni lehessen, hogy nem konvex?

- Hátha a konvexeken is kiválaszthatjuk a pontokat így is, úgy

is. Próbáljuk csak!

- Valaki azt állítja erre a ponthalmazra, hogy nem konvex. Mit

mondanátok neki? Mikor hiszitek el, hogy igaza van? Milyen két

pontot kell megmutatnia a ponthalmazon, hogy bebizo nyítsa az igazát?

Sokféleképpen lehet ezt variálni. Nem az a fontos, hogy óra

végén a tanulók egyetlen körmondatba foglalva el tu dják mondani a

konvex és a nem konvex ponthalmaz definícióját. Egy szer majd

eljutnak a szóbeli megfogalmazáshoz is. Sürg ısebb azonban ennél az,

hogy ne csak homályosan érezzék, mi különb ızteti meg a konvex

ponthalmazokat a konkávoktól, hanem ismerjék azt a szempontot, amely

a két esetet élesen elválasztja egymástól . A definícióban az éles

elválasztás a lényeges, nem az egy mondatba s őrítés.

- 192 -

Éles és elmosódott határvonalú fogalmak

A matematika fogalmai és – mondjuk – a mindennapi é let

fogalmai között éppen az a nagy min ıségi különbség, hogy az el ıbbiek

élesen körül vannak határolva, az utóbbiak pedig el mosódottak. Ha

azt mondom: ”szék”, látok magam el ıtt valamit, ami az eddig

megismert székekb ıl összekopírozódott, egy ”ideális széket”. Ami

ett ıl csak kicsit tér el, az még szék, ami nagyon eltér t, az már nem

szék. De hol van a határ? Megítélés kérdése. ”Defin iálhatom” a

széket is, lexikonok és értelmez ı szótárak ezt teszik, de ezek csak

idéz ıjelben értend ı definíciók, a szó matematikai értelmében nem;

egyértelm ő kritériumot nem adnak, mert nem is adhatnak.

Sokan éveken át tanulják a geometriát, anélkül, hog y ezt a

nagy min ıségi különbséget észrevennék. Azt mondják például:

Vagy azt mondják a deltoidra: ”A nagyobbik átlója k ét

egybevágó háromszögre bontja.”

Aki így beszél, annak rendszerint hiába olvassuk a fejére a

trapéz vagy a téglalap definícióját. Mélyebben gyök erezik a

tudatlansága, mint egy-egy definíció fogyatékos ism eretében. Érthet ı

megszokás folytán a geometriai fogalmakat is úgy ve szi tudomásul,

mint a mindennapi élet fogalmait. Lát maga el ıtt

egy ”ideális trapézt”: és egy ”ideális deltoidot”:

- 193 -

”Ez az idom nem trapéz. Inkább romboid

akar lenni, csak rosszul sikerült.”

”Ez sem trapéz, téglalap volna,

ha nem volna ferde a teteje.”

69. ábra

és számára a trapézság és a deltoidság kritériuma a z, hogy a látott

idom eléggé emlékezteti-e ezekre az ideális esetekr e. A definíciókat

esetleg megtanulja, de a funkciójukat nem érti. Nem tudja, hogy arra

jók: egyértelm ően el lehessen dönteni a segítségükkel - például -

bármely négyszögr ıl, hogy trapéz-e vagy nem, deltoid-e vagy nem.

De mit jelent az, hogy "bármely négyszögr ıl"? Lerajzolok egy

négyszöget; szerintem trapéz, de más esetleg úgy ta lálja, hogy nem,

mert nem pontosan párhuzamosak az oldalai. Nincs it t mégis valami

bizonytalanság?

Rajzokkal kapcsolatban természetesen van. De a rajz nemcsak

hogy nem trapéz, nem is négyszög. Csak emlékeztet e gy négyszögre.

Meg kell mondanom, mire akartam, hogy emlékeztessen , magyarázatot

kell f őznöm a rajzhoz. Ha megmondom - vagy valamilyen módo n jelölöm

- hogy azt a két oldalt párhuzamosnak szántam /azon kívül mindegyiket

egyenesnek stb./, akkor a definíció értelmében trap éz. A definíció

arra vonatkozik, aminek gondolom és nem arra, ami a papíron van.

/Vö. 393.-396.oldal./ Erre a gondolatra is rá kell vezetnünk a

diákokat. Ezt a rávezetést megkönnyíti egy mindig r endelkezésre álló

eszköz, a kockáspapír, és nagyított mása, a kockás tábla. /Már

említettük, hogy az utóbbinak is mindig rendelkezés re kell állnia.

/Ha un. sima papírra rajzoljuk az ábrát, magyarázko dnunk kell -

szóban vagy odarajzolt jelekkel - párhuzamosnak, me r ılegesnek,

egyenl ınek tekintünk-e két szakaszt. A kockás papíron a

metszéspontok per definitionem rácspontok /ti. annak tekintjük ıket,

akkor is, ha rossz a nyomtatás/, és ez sok magyaráz kodást

feleslegessé tesz. Jó a kérdést a magyarázkodás fel ıl is

megközelíteni, hiba volna mindig kockáspapíron dolg ozni. Az iskolai

munkában mégis gyakran jelent lényeges el ınyt az a lehet ıség, hogy

rácssokszögekre hivatkozhatunk, és az eleve pontatl an mérés helyett

pontos számlálással /vagy számolással , pl. kés ıbb Pythagoras

tételével/ tudjuk eldönteni, hogy egy-egy konkrétan megadott alakzat

beletartozik-e egy bizonyos definíció körébe vagy n em. Ez már a

koordináta geometriai gondolkozás kezdete. A koordi nátákkal való

megadás min ıségileg más, mint a rajzzal való megadás: kiküszöbö li a

pontatlanságot. Persze ha a valóságra alkalmazzuk m eggondolásaink

eredményét, a pontatlanság megint bejön.

- 194 -

A fogalmak rendszerezése

A fogalmaknak van egy bizonyos hierarchiája: ha kon krét

példákból absztrahálhatunk egy fogalmat, akkor alac sonyabb szint ő

fogalmaktól jutunk el hozzá, a definiálásához viszo nt általában

magasabb szint ő fogalmakat használunk. /Vö. 419.-421.oldal./ Közbe n

felmerül az a kérdés is, hogy viszonylik a fogalom bizonyos vele egy

szinten lev ı rokon fogalmakhoz. Különösen akkor válik sürget ıvé ez a

kérdés, amikor már számos egymással kapcsolatos egy szinten lev ı

fogalommal megismerkedtünk; szeretnénk áttekint ı képet adni ezekr ıl

a fogalmakról, rendet teremteni köztük, rendszerezn i ıket. Nemcsak a

geometriában és nem is csak a matematikában van err e szükség, de a

geometriai fogalmak jellegzetesen mutatják a rendsz erezéskor

felmerül ı problémákat.

A halmazelmélet nyelvén szólva egy F fogalomnál egg yel

alacsonyabb szint ő fogalmat az F fogalommal meghatározott halmaz

elemeinek tekinthetjük /lehetnek ezek maguk is halm azok/, az egyez ı

szint ő rokon fogalmakat viszont ugyanazon individuumtarto mányon vagy

- más szóval - ugyanabban az univerzumban értelmeze tt halmazoknak x.

Az utóbbiak között lehetnek idegen /közös elem nélk üli/ halmazok,

lehet közös részük, lehet egyikük részhalmaza egy m ásiknak stb. xx

Amikor a fogalmak rendszerezésér ıl beszélünk, az ilyenféle

kapcsolatok kiderítésére gondolunk.

______________

x Az individuumtartományt vagy univerzumot bizonyos elemek – individuumok – halmazának

képzeljük, amelynek a szóban forgó halmazok mind ré szhalmazai.

xx Ha két fogalommal jellemzett halmaz közül az egyik részhalmaza a másiknak, akkor

azt mondjuk, hogy az el ıbbi fogalom speciálisabb, az utóbbi általánosabb. A részhalmaz-

relációnak tehát a fogalmak között az ”általánosabb -speciálisabb” reláció felel meg, az

elemként tartalmazás relációjának viszont – mint lá ttuk – az ”absztraktabb-konkrétabb”

reláció. Nehéz volna azonban kritériumot adni arra, hogy két fogalommal jellemzett halmaz

közé mikor gondoljuk a ”halmaz és eleme” és mikor a ”halmaz és részhalmaza” relációt; néha

mindkett ı egyaránt jogosultnak t őnik, vagyis egyaránt tekinthetjük a két fogalom köz ül az

egyiket absztraktabbnak is, általánosabbnak is, min t a másikat. ”. . . a ’fa’ fogalma alá van

rendelve a ’növény’ fogalmának, fölé van rendelve a ’tölgyfa’ fogalmának és ugyanazon a

szinten van, mint a ’gomba’ fogalma” – írja Skemp / lásd a szemelvénygy őjteményben, 419.

oldal/. Vagyis a tölgyfa fogalma konkrétabb, mint a fa fogalma, a tölgyfát a fák halmaza egy

elemének tekinthetjük stb. Azt is mondhatjuk azonba n, hogy a tölgyfák halmaza részhalmaza a

fák halmazának, vagyis a tölgyfa fogalma speciálisa bb, a fa fogalma általánosabb. A

matematikán beül is olykor csupán szemlélet kérdése , hogy két objektumot a ”halmaz és eleme”

vagy a ”halmaz és részhalmaza” relációval kapcsolun k-e össze. /Például az egyenest pontokból

állónak, pontjai halmazának tekintjük, mégis két me tsz ı egyenes közös részét szívesebben

tekintjük egy pontnak, mint – megkülönböztetve a po nttól – egy pontból álló halmaznak./ Nem

csoda hát, ha hasonló nehézségek vannak olyan, mate matikailag nehezen megfogható

objektumokkal kapcsolatban, mint a fogalmak.

- 195 -

Ez a halmazelméleti szemlélet segítséget jelent a r okon

fogalmak között való eligazodásban, rendcsinálásban . A halmazoknak

"krumplikkal" való ábrázolása /Vö. 154. oldal./ jó támasztékot ad

szemléletünknek a köztük lev ı feltételezett vagy felderített

kapcsolatok jellemzésére.

Ilyen szemléleti támaszték nélkül könnyen összetéve sztik a

tanulók például ezt a két állítást:

"Minden paralelogramma trapéz" és "Minden trapéz pa ralelogramma".

Keressünk könnyen érthet ı, hozzájuk közelálló példákat,

amelyeken megértik, hogy az ilyen típusú állítások két esetben

teljesülnek - ti. ha az els ı halmaz valódi része a másiknak, "belül

van rajta", vagy ha egybeesnek - és az utóbbi esetb en mindegy ugyan

a sorrend, de az el ıbbi esetben nem. Rendszerint beválnak az olyan

példák, amelyek magukkal a tanulókkal kapcsolatosak . Ha például az

osztóbban két M bet ős gyerek van, Molnár Péter és Morvai Péter, és

történetesen nincs több Péter az osztályban, akkor megvan a példa az

egybees ı halmazok esetére: az M bet ősek és a Péterek halmaza. Nem

valószín ő, hogy ilyen szerencsénk van, de ha végignézzük a g yerekek

különféle jellemz ıit - születési év, hónap, nap, hajszín, szemszín,

szemüveg, ruha, osztályzat, lakóhely stb. - egy kis ügyességgel

találhatunk alkalmas példát erre is, még könnyebben a valódi rész

esetére és két halmaz egyéb kapcsolataira. Kössük ö ssze egy zsinór

két végét, egy másik, másféle szín ő zsinór végeit is, hívjuk ki a

két M Pétert, általában a példaként szolgáló tanuló kat. Az egyik

zsinór-körbe álljanak be az M bet ősek, a másikba a Péterek. /Hogy

jobban lássa az osztály, tartsák a kezükben a köréj ük rakott

zsinórokat./ A táblára és füzetekbe rajzolt krumpli k és a beléjük

rajzolt pontok örökítik meg a tanutók emlékezetében ezt a jelenetet

és a többi hasonlót. A pontok kés ıbb el is maradhatnak. De amikor a

nem-matematikai példákon való megvilágítás után sor kerül a trapéz

és a paralelogramma esetére, akkor ajánlatos a két kör közös és nem

közös részébe rajzolt kis trapézokkal /amelyek a kö zös-részben

persze paralelogrammák/ megint láthatóvá tenni az e lemeket is,

amelyeket a halmazok jelölnek legalábbis néhány pél dát rájuk /71.

ábra/.

- 196 -

Arra az esetre, amikor két

halmaznak van közös része, de egyik sem

részhalmaza a másiknak, jellegzetes

geometriai példa a rombuszok és a

téglalapok halmaza. Vezessük rá a

tanulókat, hogy a közös rész a négyzetek

halmaza /72. ábra/.

Közös elem nélküli halmazokra jó

példa a geometriai fogalmak köréb ıl a

szabályos /más szóval egyenl ı oldalú/ és

a derékszög ő háromszögek halmaza.

Így matematikai és nem matematikai példák kapcsán e gyaránt

felismerik a tanulók mindazt a lehet ıséget, ami két halmaz

kapcsolatában el ıfordulhat. Rájönnek, hogy

négyféle eset fordulhat el ı, de ha a két

halmazt megkülönböztetjük, akkor ez öt esetet

jelent, mert a négy reláció közül három

szimmetrikus /ti. az az eset, amikor a két

halmaz egybeesik, vagy nincs közös elemük,

vagy van közös elemük, de egyik sem része a

másiknak/, de a negyedik nem, s így itt nem

mindegy, hogy melyik halmaz valódi része a

másiknak. /Lásd a 73. ábrát./ Arra is rá lehet

vezetni ıket, hogy amint a ”Minden A egyúttal B” típusú állí tások

két esetet foglalnak magukba az öt közül, másféle c soportosítások

más-más állításokat fejeznek ki /73. ábra/.

Az ilyen összefüggések tudatosításával a geometria – és

nemcsak a geometria – megértéséhez is közelebb jutn ak a tanulók,

mint sok részismerettel, ami nem áll össze a fejükb en egységes

- 197 -

71. ábra

73. ábra

72. ábra

egésszé. Az el ıbbi ábra például segíti ıket annak a megértésében,

hogy "Minden A B"-nek az ellentéte nem "Nincs olyan A, amely B",

hanem "Van olyan A, amely nem B". Az efféle téveszt ések

matematikaórákon mindennaposak.

Régebben volt egy olyan tendencia a matematika taní tásában,

hogy a fogalmak rendszerezésében kerüljük az olyan bonyodalmakat,

mint az egymást részben fed ı halmazok esete, válogassuk meg a

fogalmakat úgy, hogy egy-egy f ıfogalom körét fedés és hézag nélkül

töltsék ki. Például ne lehessen egy paralelogramma téglalap is és

rombusz is; minden paralelogramma vagy négyzet, vag y téglalap, vagy

rombusz, vagy romboid, egy és csak egy a négy közül , ez volt a régi

felfogás /lásd a 74. ábrát/. Annyi

bizonyos, hogy ezt könnyebb

megtanítani, mint azt a rendszerezést,

amelyben egy és ugyanazt az idomot

négyzetnek is, téglalapnak is,

rombusznak is mondhatjuk /72.ábra/. De

hiába könnyebb megtanítani, ha azok a

fogalmak, amiket így tanítunk, a

geometriában kevéssé hasznavehet ıek,

bonyolult a definíciójuk /Vö. 188.

oldal/, kivételes esetekre vezetnek.

Könnyebb volna azt tanítani, hogy a

denevér madár és a bálna hal, mégsem

tanítanak ilyesmit biológiaórán, mert

a tudományos

- 198 -

74. ábra

76. ábra 75. ábra

rendszer szempontja el ıbbvaló, mint a taníthatóságé. Definíció

kérdése, hogy mit nevezünk halnak, de nem célszer ő a bálnákat

halaknak tekinteni.

Következ ı ábráink a háromszögek és a négyszögek régi típusú,

hézag- és fedésmentes osztályozásával szembeállítjá k újabb típusú

rendszerezésüket. /75-78, ábra./ A régi típusú oszt ályozásban

- 199 -

szerepelnek olyan matematikai szempontból érdektele n négyszögfajták

is, mint a romboid és az "általános négyszög". A hú rnégyszögek és az

érint ınégyszögek egyik ábránkon sem szerepelnek. A régi

osztályozásba nehéz is volna ezeket beilleszteni, f edések lépnének

fel és "még általánosabb" négyszögekr ıl kellene beszélnünk. A másik

rendszerezést azonban továbbfejleszthetjük úgy, hog y ezeknek a

négyszögfajtáknak is megtaláljuk a helyét, s ıt a húrtrapézok

/szimmetrikus trapézok/ és a deltoidok is beleillen ek a

- 200 -

200. ábra

rendszerbe. Látható a 79. ábrán a 189. oldalon emlí tett, szögek és

oldalak közötti dualitás. A húrnégyszögek halmazát H bet ővel

jelöltük, a trapézokét T-vel, duálisuk halmazát eze kt ıl a bet ők fölé

írt hullámvonallal különböztettük meg. /A húrnégysz ögek duálisai az

olyan négyszögek, amelyeknek a belsejében van oldal egyeneseiket

érint ı kör; a trapézok duálisai az olyanok, amelyeken kív ül, van

ilyen kör, azon kívül - mint elfajuló esetek - a pa ralelogrammák./

Foglaljuk össze táblázatban is az említett négyszög fajtákat,

kiemelve azokat a jellemz ı tulajdonságaikat, amelyek mutatják a

szögek és az oldalak analóg szerepét. /200. old./

Jó, ha a tanárnak megvan ez az áttekintése, de semm iképpen sem

szabad egy ilyen kész rendszert ráer ıszakolni a diákokra. Viszont

elburkolni is kár volna.

A "bizonyító" geometria kezdete

Ha egy gyerek körz ıt és vonalzót kap a kezébe, rajzolgatás

közben néha meglep ı felfedezéseket tesz. Például megrajzol egy kört,

beszúrja a körz ı hegyét a kerület egy pontjába, úgy is rajzol egy

kört, vagy csak egy ívet, amely a kört metszi, aztá n továbbhalad és

azt tapasztalja, hogy a hatodik lépésben oda jut vi ssza, ahonnan

kiindult. Szép a kapott ábra, érdekes, hogy pontosa n visszaér,

mégpedig mindig éppen a hatodikra. A szép és érdeke s tények a

legalkalmasabbak arra, hogy valaki elkezdjen gondol kozni, mi a

megfigyelt jelenség magyarázata, hogy függ össze má s tényekkel. Szép

és érdekes az a tény is, hogy bármely háromszög szö geinek összege

180 o, hogy a háromszög két oldalának a felez ıpontját összeköt ı

egyenes mindig fele akkora, mint a harmadik oldal, hogy a négyszög

oldalainak a felez ıpontjai parallelogrammát határoznak meg. Ezeknek

és még sok más egyszer ő ténynek a felfedezése örömet okoz a

diákoknak és alkalmas arra, hogy felkeltse az érdek l ıdésüket a

"miért?", a logikai összefüggések iránt is. Érdekes ségüket fokozza

az általánosságuk. Lényegesen kevésbé érdekes az a tény, hogy egy

téglalap vagy egy paralelogramma oldalainak felez ıpontjai

paralelogrammát határoznak meg, mint az, hogy ez bá rmely négyszögre

igaz. Kevésbé érdekes, hogy a derékszög ő háromszög szögeinek összege

180 o, mint az, hogy ez minden háromszögre igaz.

- 201 -

Aligha van olyan gyerek, aki rajzolgatás közben meg lep ıdve

fedezi fel, hogy a téglalap átlói egyenl ık és felezik egymást, hogy

a négyzet átlói felezik a négyzet szögeit, vagy hog y az egyenl ıszárú

háromszögben az alapon fekv ı szögek egyenl ık. Ezek unalmas, banális

megállapítások. Némi érdekességet az adhat nekik, h a megpróbáljuk

ıket általánosítani, és megnézzük, hogy ez milyen ha tárig

lehetséges. A rombuszra még igaz, hogy az átlói fel ezik a szögeit, a

téglalapra és a paralelogrammára általában nem /csa k ha rombusz/, a

deltoidnak csupán az egyik átlójára /a másikra csak akkor, ha

rombusz/ stb. A bizonyítás iránti igény felkeltésér e azonban akkor

sem alkalmas egy olyan tény, amelyet "látni". Az ál talánosság

irányába tett felfedez ı utak nem arra jók ezen a fokon, az ilyen

tényekkel kapcsolatban, hogy bizonyítandó tételeket kutassunk fel

általuk, hanem arra, hogy axiómákat keressünk: mi i s az, ami

szemléletesen, a szabályosság folytán, a szimmetria alapján

nyilvánvaló, és mi az, ami nem is igaz. Kés ıbb, magasabb fokon

érdekessé lehet tenni azt is, hogy egy szemléletese n nyilvánvaló

tény hogyan vezethet ı vissza más tényekre, hogyan lehet egyre jobban

csökkenteni az utóbbiak számát - ez azonban már kés ıbbi fejlemény.

Ritka gyerek az, akiben ezen keresztül fiatal korba n érdekl ıdést

lehet kelteni a geometria iránt; a legtöbbjüknek íg y csak a kedvét

lehet elvenni t ıle. Ha egy matematikus visszagondol a gyermekéveire ,

és esetleg jó emlékei is vannak a nyilvánvaló ténye k bizonyításával

kapcsolatban, gondoljon egyrészt a megszépít ı messzeség hatására,

másrészt arra, hogy nem minden gyerek leli a kedvét olyan logikai

játékokban, amikben ı zsenge fejjel is kedvét lelte.

Annak viszont minden gyerek örül, ha megéreztetik v ele, mire

képes, és ha azt látja, hogy mind többre képes. Ha elsegítjük oda,

hogy meglep ı és általános tényeket visszavezessen számára

nyilvánvaló tényekre, ezt a képességét szívesen fog ja gyakorolni.

Fontos azonban, hogy ne csak a tények felfedezéséb ıl- a sejtésig

való eljutásból - hanem a bizonyításokból is aktíva n kivegye a

részét minden tanuló. Hiába tanul meg tíz-húsz bizonyítást is, nem

tudja meg ebb ıl, mi teszi a bizonyítást bizonyítássá, mi

különbözteti meg a nem-bizonyítástól; még kevésbé a zt, hogyan lehet

bizonyítást találni valamire. Egészen egyszer ő, az ı erejéhez mért

saját bizonyításokon át juthat el csak ide. Nagyon alkal masak erre a

szögekkel kapcsolatos összefüggések, Ezek ugyanis

- 202 -

fokozatossá teszik az átmenetet a számításos felada toktól /amelyek a

meghatározó feladatok x egyik fajtáját alkotják/ a bizonyító

feladatok felé. Egy példát találhatunk erre a 215. oldalon kezd ıdı

óraleírás elején: a háromszög egyik szögéb ıl kell itt következtetni

a másik két szög felez ıje közti szögre. Ebben az óraleírásban még

csak numerikus példákat látunk. A következ ı órákon ugyanezek a

tanulók észrevették , hogy a szögfelez ık szöge 90°-kal nagyobb a

harmadik szög felénél, aztán általánosságban is bel átták . Ezzel

bebizonyítottak egy geometriai tételt. Sok geometri ai tétel

bizonyítása felé el lehet indítani a tanulókat ehhe z hasonló módon.

Egy másik mód: rávezetni ıket arra, hogyan tehetnek látszólag

szabálytalan ábrákat kis változtatással szabályosak ká, és ennek

alapján hogyan következtethetnek az addig rejtve ma radt

összefüggésekre. Ennek talán a legegyszer őbb esete az, amikor egy

ábra elforgatása teszi nyilvánvalóvá a szimmetriát; ez persze még

nem is bizonyítás /a szögszámítás sem az/, de egy l épés afelé.

Gondoljunk arra, hogy

Az alábbi feladatban már egy kicsit okoskodni is ke ll, hogy a

meglátott és méréssel is ellen ırzött összefüggések nyilvánvalókká

váljanak:

"Egy derékszög ő háromszög egyik szöge legyen 60°. Hozzuk meg

ennek a szögfelez ıjét. Abból a pontból, ahol ez a szemközti oldalt

metszi, bocsássunk az átfogóra mer ılegest. Keressünk a rajzon

egyenl ı szögeket és egyenl ı szakaszokat."

________________ x A meghatározó és bizonyító feladatok szembeállítás át és

jellemzését lásd Pólya György "A gondolkozás iskolá ja" c. könyvében,

a 160. és következ ı oldalakon.

- 203 -

ebben a helyzetben az elforgat ás után

nem mindenki látja hogy a rombusz átlói felezik egymást és mer ılegesek,

a szimmetria ezt

nyilvánvalóvá teszi.

80. ábra

Az ábrán megjelöltük azokat a

szakaszokat és szögeket, amelyeknek az

egyenl ıségét el ıbb észreveszik, aztán

a szimmetria alapján belátják /a

vastagon megjelölt szögek egyenl ısége

adva van/. Azonkívül, hogy tudják a

háromszög szögeinek összegét, csak a

szimmetriára kell támaszkodniuk.

Még egy lépéssel többet kell megtenniük, ha hiányzi k valami

segédvonal az ábráról, és ennek a berajzolása teszi nyilvánvalóvá az

összefüggéseket. Az el ıbbi hámszöget például kiegészíthetik

szabályos háromszöggé és ennek alapján okoskodhatna k.

Az el ıbbi feladatban a szimmetria helyett hivatkozni lehe tett

volna a nagy háromszög három részháromszögének egyb evágóságára;

Euklidesz szellemében ezt is kellett volna tenni. A z egybevágóságra

való hivatkozás gyakran nehézkesebb, hosszadalmasab b, mint a

szimmetriára /vagy más egybevágósági transzformáció kra, például

eltolásra, elforgatásra/ alapozott bizonyítása. Van nak el ınyei is:

kezd ık számára kézzelfoghatóbb módszert ad annak az eldö ntésére,

hogy csak sejtenek-e valamit az ábra szabályossága alapján, vagy

amit látnak, az minden kétséget kizáróan igaz is. E gy bizonyos

mechanizmust adnak az egybevágósági tételek ennek a z eldöntésére.

Egy kicsit hasonló ez ahhoz, ahogyan egyenletben fe lírva

mechanikusan tudjuk megoldani az olyan feladatot, a melyet közvetlen

belátás alapján esetleg egyszer őbben is meg tudnánk oldani. Kérdés

azonban, hogy az egybevágósági tételek alkalmazása adja-e az erre a

célra leghasználhatóbb mechanizmust, és az a könnye dség, amellyel

azt alkalmazzuk, nem függ-e össze azzal, hogy fiata labb éveinkben

ezt szoktuk meg. /Vö. 209. old./

A geometriai bizonyításokba való fokozatos bevezeté s,

különösen pedig a transzformáción alapuló bizonyítá sok szempontjából

rendkívül tanulságos Gallai Tibor és Péter Rózsa I. gimnázium

tankönyve x.

______________ x Csak az 1949. évi kiadás teljes.

- 204 -

81. ábra

A jó és a rossz bizonyítások megkülönböztetése

Az egyenlet gyökeit behelyettesítéssel, egy számítá s

eredményét a számítás másféle elvégzésével ellen ırizni lehet; a

gyakorlatból származó feladatok esetében támpontot ad az is, hogy

eredmény reális-e, megfelel-e az elképzeléseinknek; a szerkesztési

feladat megoldásának helyességér ıl megnyugtatást adhat a szerkesztés

különféle felvételekben való elvégzése stb. Egyik e llen ırzési mód

sem tökéletes, de mindegyik ad valami fogózkodót. T alán a

bizonyítási - és ezek között is a geometriai bizony ítási -

feladatokról a legnehezebb eldönteni, helyes-e a me goldásuk vagy

nem. x Fokozza a nehézségeket az, hogy nehéz megmondani, melyek azok

a szemléletb ıl elfogadott vagy pedig bizonyított tények, amikre egy

bizonyításban hivatkozni lehet. Ezért néha gondot o koz tanároknak

is, a legjobb diákoknak is, versenydolgozatok javít óinak is az a

probléma, hogy egy-egy geometriai bizonyítás helyes -e vagy nem.

A mondott nehézségek ellenére mégis kialakulnak biz onyos

normák. A már tanult vagy feladatban bizonyított té telekre például

szabad hivatkozni a bizonyításokban, bizonyos határ ok között a

szemléletre is, bár ezek a határok eléggé esetleges ek. Mindenesetre

a vitás terület, ha van is, meglehet ısen sz ők. Az átlagos diáknak a

jó és a rossz bizonyításról alkotott elképzelésében sokkal nagyobb

ingadozások vannak, s a tanárnak els ısorban ezeket kell

csökkentenie. Egy-egy szándékosan hibás bizonyításr ól alkotott

véleményükön a tanár jobban le tudja mérni, hol tar tanak ezen a

téren a diákok, mint tíz bizonyítás kikérdezésén. / Hasonló célokra

felhasználhatja persze a spontán adódó hibás bizony ításokat is./

Lássunk néhány példát. Lehet egy bizonyítás úgy hib ás, hogy

maga a bizonyított állítás helyes. Ilyen például a következ ı:

Húzzunk egy kör egyik átmér ıjének végpontjaiban két egymással

párhuzamos húrt. Bizonyítsuk be, hogy a húrok egyen l ık.

______________ x Igaz, hogy magasabb fokon a matematikai logika ad olyan

formai kritériumokat, amelyeknek a segítségével a t ökéletesen

formalizált bizonyításokról eldönthet ı, helyesek-e. A tökéletesen

formalizált bizonyítások azonban a geometriának - e nnek az igen

bonyolult struktúrájú tudományágnak - viszonylag eg yszer ő tényeire

is nagyon bonyolultak.

- 205 -

1. bizonyítás. Kössük össze a

húrok másik végpontjait a kör

középpontjával. Két háromszög

keletkezik, amelyek megegyeznek két-

két oldalban /ezek mind a kör

sugarai/ és a közbezárt szögben /ezek

csúcsszögek/. Tehát egybevágók és így

a harmadik oldaluk is egyenl ı.

2. bizonyítás. Kössük össze a

húrok másik végpontjait egymással./ A

bizonyítás a továbbiakban ugyanaz./

Vegyék észre a tanulók, hogy az

elkövetett hiba kett ıs: egyrészt nem

használtunk ki valamit, ami nélkül az állítás nem i s igaz /a húrok

párhuzamosságát/, másrészt kihasználtunk valamit, a mit nem tudhatunk

/az els ı változatban azt, hogy a meghozott sugarak egy egye nesbe

esnek, a másodikban azt, hogy a meghozott egyenes á tmegy a kör

középpontján./. Akár az egyik hibára jönnek rá, aká r a másikra, a

hamis bizonyítást sikerült leleplezniük. Aki nem lá tja meg a hibát

egy ilyen hamis bizonyításban, az nem sokat ért abb ól, hogy az

"igazi" bizonyítás miért jó.

Tegyük fel, hogy egy diák a következ ıképpen próbálja

bebizonyítani a háromszög szögeinek összegére vonat kozó tételt:

"Tudjuk, hogy ha két párhuzamos egyenest egy harmad ik metsz, ez a

két

- 206 -

82. ábra

ezeknek az összege

180 o

tehát ezeknek az

összege is 180 o. szög egyenl ı,

83. ábra

Mit mondunk erre a bizonyításra? Ötletes, de valami híja van:

nem a háromszögb ıl indulunk ki. Miért baj ez? Azért, mert nem

tudhatjuk el ıre, hogy az eredmény minden háromszögre érvényes-e. Ha

a háromszögb ıl indulunk ki, és nem használjuk ki a háromszögnek

semmilyen speciális tulajdonságát, akkor minden hár omszögre

vonatkozik az eredmény. Így viszont eljutottunk egy háromszöghöz, de

nem tudjuk, hogy minden háromszöghöz eljuthatunk-e ilyen módon.

Könnyő belátni, hogy igen, és akkor a bizonyítás hiánytal an lesz. De

addig nem az.

Még világosabban látszik ez egy másik példán /ez má r

gimnáziumi anyag/. Bebizonyítjuk, hogy a háromszög magasságvonalai

egy pontban metszik egymást. Az oldalfelez ı mer ılegesekre ezt már

tudjuk. A bizonyítás szokott menete:

"Párhuzamost húzunk a háromszög mindegyik csúcsán á t a

szemközti oldallal. Paralelogrammák keletkeznek. A kis háromszög

minden oldala két-két

paralelogrammához tartozik hozzá, a

szemközti oldalakkal egyenl ı. Ezek

tehát egymás közt is egyenl ık.

Ezért a létrejöv ı nagy háromszög

oldalait felezik az eredeti

háromszög csúcsai. Húzzuk meg a

nagy háromszög oldalfelez ı

merılegeseit. Tudjuk, hogy ezek egy

pontban metszik egymást. De ezek az

egyenesek az eredeti háromszög

magasságegyenesei. Ezért a

magasságegyenesek is mindig egy

pontban metszik egymást."

- 207 -

Forgassuk el az egyiket a másik felé az áthúzott ív ő szöggel,

az egyíves szög a

háromszögben ennyivel

kisebb lesz, de fönt is

van egy ekkora szöge,

ezért a háromszög

szögeinek összege

szintén 180 o".

84. ábra

84. ábra

Valakinek támad egy ötlete. "Mért ilyen bonyolultan

bizonyítjuk ezt a tételt? Semmi szükség paralelogra mmákra. Meghúzzuk

a nagy háromszög középvonalat. Tudjuk, hogy ezek pá rhuzamosak az

oldalaival. A nagy háromszög oldalfelez ı mer ılegesei tehát a kis

háromszög magasságegyenesei. Azok mindig egy pontba n metszik

egymást, tehát ezek is."

Az "egyszer őbb változat" hibája nyilván itt is ugyanaz, mint

az el ıbbi példában: utólag kaptuk azt a háromszöget, amel ynek a

magasságvonalairól szó van, és hiányzik annak a biz onyítása, hogy

bármely háromszöghöz van olyan háromszög, hogy az u tóbbi oldalainak

a felez ıpontjait összekötve az el ıbbit kapjuk. Ez természetesen

igaz, és elég könnyen be is bizonyítható: az els ı bizonyítás éppen

egy ilyen konstrukcióval kezd ıdik. De hogy ez mennyire nem magától

értet ıdı, arra szembeötl ı példa, hogy háromszögek helyett

négyszögekre az analóg állítás nem is igaz. Be lehe t bizonyítani,

hogy ha egy négyszög szomszédos oldalainak a felez ıpontjait

összekötjük, a kapott kisebb négyszög átlói felezik egymást. Ha a

fenti "egyszer őbb változatot" helyes bizonyításnak fogadnánk el,

akkor ugyanolyan joggal azt is igaznak kellene teki ntenünk ennek

alapján, hogy bármely négyszög átlói felezik egymás t. Ez nem igaz,

mert az oldalak felez ıpontjai speciális négyszöget, paralelogrammát

határoznak meg. Nem tudhattuk azonban el ıre, hogy a fenti

"egyszer őbb változat"-ban szerepl ı bels ı háromszög nem lesz-e

szintén speciális.

Nézzük most a következ ı bizonyítást:

"Legyen AB és A'B' két nem

párhuzamos és nem egy egyenesbe

esı egyenl ı szakasz a síkban.

Bebizonyítjuk, hogy van a síknak

olyan O pontja, amely körüli

forgás A-t A'-be, B-t B'-be viszi.

Azt állítjuk, hogy AA' és BB'

felez ımerılegesének O

metszéspontja ilyen tulajdonságú.

A szerkesztés folytán OAB és OA'B'

egybevágók /megegyeznek mind a

három oldalukban/. Egyenl ık tehát

az O-nál lev ı szögeik. Ha az

el ıbbihez hozzá-

- 208 -

86. ábra

adjuk /vagy a szakaszok más helyzetében levonjuk be l ıle/ az OB és

OA' közti szöget; azt a szöget kapjuk, amely OA-t 0 A'-be viszi. Ha

ugyanezt a szöget az utóbbi, vele egyenl ı szöghöz adjuk, azt a

szöget kapjuk, amely OB-t OB'-be viszi. Tehát ezek az utóbbi szögek

is egyenl ık és így van olyan forgás, amilyennek a létezését

állítottuk."

Ez a bizonyítás többek között azért hibást mert az OAB és

OA'B' háromszögek egybevágóságára ugyan helyesen kö vetkeztettünk, de

azt is kihasználtuk, mégpedig indokolás nélkül, hog y ez a két

háromszög egyez ı forgásirányú /körüljárású/, amilyennek az ábra is

feltünteti. Nem bizonyítottuk be az O pont létezésé t sem.

Ki lehet foldozni ezt a

bizonyítást, de egyszer őbb két

tükrözéssel okoskodni: az els ı

vigye A-t A'-be, B-t pedig egy B"

pontba, a második vigye B"-ot B'-

be; ez az utóbbi A'-t a helyén

Hagyja, mert a'B"=AB = a'B' miatt

az a'B'B" háromszög egyenl ıszárú

és így a' rajta van a

tükörtengelyen. Két tükrözés

szorzata /vagyis egymásutánja/

vagy eltolás, vagy a

tükörtengelyek metszéspontja

körüli forgatás. Az el ıbbi azonban

azt jelentené, hogy AB || a'B',

ezt az esetet pedig kizártuk.

Ennek a két bizonyításnak az

összehasonlítása rávilágít az

euklideszi koncepciónak egy jellemz ı fogyatékosságára: hiányzik

bel ıle az irányítás fogalma. Olyasféle megszorítás ez, mintha az

algebrában mindig abszolút értékekkel dolgoznánk. A z abszolút

értékek gyakran hasznosak, néha azonban nehézkesek. Az irányított

mennyiségek alkalmazása sok felesleges esetszétvála sztástól

mentesít. Ha két pont távolságáról, két szakasz szö gér ıl beszélek,

abszolút értékkel dolgozom. Ha egy pontnak egy mási kba való

eltolásáról, egy félegyenesnek egy másikba való elf orgatásáról

beszélek, szerepet kap az irány. Az egybevágóság, a klasszikus

euklideszi koncepció szerint, nem tör ıdik az iránnyal. A matematikai

szemlélet egysége kívánatossá teszi, hogy

- 209 -

87. ábra

ezen a ponton is összhang legyen a számtan-algebra és a geometria

között: amikor az irányítás gondolata az egyikben f ellép, akkor a

másik is vonja le annak a konklúzióit. Az ilyen sze llem ő iskolai

matematika-anyag kialakítása természetesen nem tört énhet meg egyik

napról a másikra.

Éppen csak megemlítjük itt a hamis bizonyításoknak egy másik,

nagyon tanulságos fajtáját: az olyan. bizonyításoka t, amelyekben

maga az állítás is hamis, nemcsak a bizonyítás hibá s. Közismert

példa annak a bizonyítása, hogy minden háromszög eg yenl ıszárú. x

A szerkesztések és egyéb manuális tevékenység szere pe

A matematikusok a geometriai szerkesztésekben els ısorban nem a

körz ıvel és vonalzóval végzett manuális tevékenységet lá tják. A

szerkesztési feladatok megoldásához ezekre az eszkö zökre nincs is

szükségük, csak papírra és ceruzára, esetleg arra s em. A geometriai

szerkesztések elmélete, szerkesztési feladatok mego ldhatósága

körz ıvel és vonalzóval az Euklidesz által "engedélyezett "

lépésekben xx vagy más módokon, a matematika egyik fejezete, ame ly

számottev ı hatással volt az algebra fejl ıdésére is. Ma ez a fejezet

inkább történeti érdekesség ő. Gyakorlati szempontokkal is nehéz

volna indokolni a geometriai szerkesztések ma betöl tött serepét a

matematika anyagában. Ha egy mérnöknek két kör közö s érint ıjét kell

megszerkesztenie, aligha fogja ezt az iskolában

_____________ x Ötféle esetben való "bizonyítását" lásd Northrop / 1960/,

110-112. oldal. Valójában csak egy hatodik eset leh etséges.

Ugyanebben a könyvben több más hasonló jelleg ő álbizonyítás is van.

A 116. oldalon található cím hibás; helyesen: "HA E GY NÉGYSZöG KÉT

OLDALA EGYENLİ, AKKOR A MÁSIK KETT İ PÁRHUZAMOS. Ez persze nem igaz:

a következ ıkben ennek az állításnak a látszólagos bizonyítása

olvasható. Ez a bizonyítás szoros kapcsolatban van azzal a hamis

bizonyítással, amelyr ıl a jegyzet 208.-209. oldalán volt szó.

Gondoljuk végig, hogy milyen kapcsolatba! xx Két ponton át egyenest húzhatunk. Két pont távolsá gát

körz ınyílásba vehetjük. Adott pont körül adott körz ınyílással kört

rajzolhatunk. Két metsz ı egyenes metszéspontját, körnek és

szel ıjének, illetve metsz ı köröknek két-két metszéspontját

megkereshetjük.

- 210 -

tanult módon végezni. Mint Pólya György írja: x "A legegyszer őbb

afféle szerkesztéseket használják ugyan a m őszaki rajzolók,

egyébként azonban a geometriai szerkesztések gyakor lati jelent ısége

elhanyagolható és elméleti fontossága sem túl nagy. " Hogy mégis

joggal szerepelnek a matematika anyagában, azt Póly a így indokolja

"... kiválóan alkalmasak arra, hogy a kezd ı megismerkedjék általuk a

geometriai. alakzatokkal és a problémamegoldás gond olatkörével". Ha

azt is megnézzük, hogy miért olyan alkalmasak a sze rkesztések erre a

két célra, a magyarázatot - legalábbis részben - a manuális

kiindulásban találhatjuk meg. A kéz szerepe a gondo lkozás

kibontakozásában nemcsak filogenetikai szempontból, az emberiség

fejl ıdése szemfontjából fontos, hanem ontogenetikailag, az egyén

fejl ıdése szempontjából is. A kézr ıl beszélünk, de persze nemcsak

arra gondolunk, hanem az egész érzékszervi mozgásos rendszerre,

amelyhez a kéz is hozzátartozik. Azért hangsúlyozzu k mégis inkább a

kéz szerepét, mert ez az, amir ıl az egyoldalúan a szemléltetést

kiemel ı pedagógiai felfogás szeret megfeledkezni. Pedig a

pszichológiai kutatások szerint a manuális tevékeny ségnek nagy

szerepe van a fogalmak kialakulásában és a gondolko zás fejl ıdésében.

A számtan-algebra tanítása ma nincs erre eléggé tek intettel, és

ebbıl - mint láttuk - sok nehézség származik. A geometr ia

tanításában ma leginkább a szerkesztések biztosítjá k a manuális

tevékenységb ıl való kiindulást. Nem minden tanulóban egyformán n agy

a manualitás igénye; fiatalabbaknál nagyobb, mint i dısebbeknél,

lányoknál talán valamivel nagyobb, mint fiúknál, de vannak nagy

egyéni különbségek is. Érdemes megfigyelni, mennyir e megváltozik az

osztály képe, amikor például algebrázás után geomet riai

szerkesztésekre kerül sor; hogy válnak aktívabbá az ok, akiknek ez

eddig hiányzott. A manualitás ezeknél sem a manuali tásért van. A

szerkesztés közben végzett tevékenység - Piaget már említett

kifejezésével élve - interiorizálódik, bels ıvé válik, id ıvel

gondolatban is végre tudják hajtani, gondolati kísé rleteket tudnak

végezni körz ıvel és vonalzóval, és ennek alapján a valóságos

cselekvés eredményét el ıre meg tudják mondani. A szerkesztés

elvégzése megmutatja, hogy elgondolásuk helyes volt -e. A valóságos

és elképzelt cselekvésnek eb-

_____________ x Pólya /1962/, 3. oldal.

- 211 -

ben a váltakozásában egyre nagyobb szerep fut az el képzelt

cselekvéseknek, majd az elképzelt cselekvések szkém áinak. Absztrakt

fogalmak alakulnak ki, részben a cselekvésekre, rés zben más

absztrakt fogalmakra épülve. A manuális tevékenység hez való

visszatérés azonban id ır ıl id ıre mindig szükséges marad. A

geometriai szerkesztések esetében ez eleinte inkább a körz ıvel és

vonalzóval valóban elvégzett szerkesztést jelenti, aztán emellett a

vázlatkészítését is, amely megkönnyíti a szerkeszté s útjának

megtalálását, az adott és a keresett elemek közötti kapcsolat

felkutatását, amit elemzésnek nevezünk. x A vázlatkészítés és az

elemzés id ıvel egyre nagyobb szerephez jut a szerkesztés tényl eges

elvégzéséhez képest, ami jóformán rutin-munkává vál ik. Magánál a

szerkesztésnél kés ıbb szinte fontosabb az, hogy érthet ıen el tudják

mondani, hogyan végzik el a szerkesztést. Ha a szer kesztés valóságos

elvégzését mindig megkívánnánk, akkor a továbbhalad ást súlyos

kolonccal fékeznénk. Fontos azonban, hogy - ha szük séges - el is

tudják végezni a szerkesztést megfelel ı pontossággal és külalakkal.

Szerkesztések végzése közben mind több érdekes geom etriai

tényt figyelnek meg a tanulók, ezek között összefüg géseket keresnek,

így a geometriai szerkesztéseken keresztül természe tes úton jutnak

el a geometriai bizonyításokhoz is. Gondoljunk péld ául a szabályos

hatszögnek a 201. oldalon említett szerkesztésére, amely felveti azt

a gondolatot, hogy miért jutunk vissza pontosan a k iinduló

helyzetbe, és miért éppen a hatodikra, s így a szab ályos háromszög

tulajdonságainak és a háromszög szögei összegének g ondolatköréhez

vezet.

Tévedés volna azt hinni, hogy a geometriai szerkesz téseknek,

köztük éppen az euklideszi szerkesztéseknek, valami féle kit őn-

______________ x A geometriai szerkesztési feladatok megoldásának

hagyományosan négy szakaszát szokás megkülönböztetn i: a most

említett elemzés , a szerkesztés valóságos elvégzése vagy leírása, a

szerkesztés helyességének bizonyítása , és a diszkusszió , vagyis

annak a megvizsgálása, hogy az adatok különféle fel vétele esetén

hány megoldás lehetséges és ezek milyenek. Pólya Gy örgy a

feladatmegoldás alkotóelemeit részletesebben és nem csupán

geometriai szerkesztési feladatokra szorítkozva tár gyalja már

említett könyvében /A gondolkodás iskolája, M ővelt nép, 1957/. Az

ott adott keretekbe a szerkesztési feladatok most e mlített négy

szakasza is beleillik.

- 212 -

tetett szerepük van, és talán egyedül alkalmasak ar ra, hogy a

tanulók rajtuk keresztül ismerkedjenek meg a síkgeo metriai

fogalmakkal, vagy a bizonyítás gondolatával. Pedagó giai pontosságuk,

mint említettük, jórészt a manuális kiindulásban gy ökeredzik. A

manuális kiindulásnak azonban más lehet ıségei is vannak, és érdemes

volna jobban élni ezekkel a lehet ıségekkel.

El ıször is nehéz volna elvi szerpontokkal indokolni az

euklideszi szerkesztésekre való szorítkozást. Tankö nyveink többnyire

ilyeneket tartalmaznak, mindannyian jobban kiismerj ük magunkat

ezekben, a Középiskolai Matematikai Lapokban és ver senyeken

kimondatlanul is az euklideszi megállapodásokat ves szük alapul, egy

kis változatosság azonban éppen ezért hasznos volna . A derékszög ő

vonalzó mentén való mer ılegeshúzás és a vonalzócsúsztatással való

párhuzamosszerkesztés mellett - ami ma is szerepel - érdemes

feladatokat adni például a párhuzamos él ő vonalzó használatára,

fonalszerkesztéseket is mutatni x stb.

Amikor körz ıvel /és vonalzóval/ például három oldalából

háromszöget szerkesztünk, akkor a háromszögnek háro m oldalából való

összeállítását imitáljuk. Nem minden tanuló látja a zonban ezt a

kapcsolatot. Ha a körz ıt fonál, vagy papírcsík helyettesítené,

szembet őnıbb volna, hogy err ıl van szó, a körz ır ıl azonban éppen az

a szakasz hiányzik, amit aztán megrajzolunk. Hogy e z valóságos

nehézség, arra jellemz ı, milyen sok tanuló hiszi, hogy az a bizonyos

hatodikra való visszatérés a körön azt jelenti: a k erület pontosan

hatszorosa a sugárnak. xx Nem látják tisztán, hogy a körz ı a

távolságot egyenesen méri, nem pedig az ív mentén. Mindjárt világos

lesz azonban az el ıttük, ha fonállal vagy kilyuggatott papírcsíkkal

húzzák az íveket. Ezek az eszközök azért is hasznos ak kezdetben,

mert a tanulók maguk készítik el ıket.

Sok tanuló világosabban látná például, hogy a

háromszögszerkesztési feladatok megoldása tulajdonk éppen mit is

jelent, ha a számára túlságosan absztrakt szerkeszt ési eljárást

megel ızıen összeállítana különféle nagyságú pálcikákból /ol dalakból/

______________ x Lásd pl. Molnár József: Síkgörbék fonalas szerkesz tése.

Középiskolai. Matematikai Lapok II. évfolyam 2. , 3 ., 4. szám /1950/ xx Kuriózumképpen megemlítjük, hogy van, akinek az is kolában

/de ez régen volt/ azt tanították: nem pontosan a h atodikra érünk

vissza, van egy kis különbség, mert a kör kerülete az átmér ınek

6,28-szorosa.

- 213 -

és keménypapír-körcikkekb ıl /szögekb ıl/ háromszögeket a különféle

eseteknek megfelel ıen. Akkor azután a körz ıvel és vonalzóval végzett

szerkesztés közben is szeme el ıtt lebegnének az itt szerzett

tapasztalatok, és nem volna a számára olyan értelme tlen manipuláció,

amit csinál. M őhelymunkával olyan eszközöket is lehet készíteni,

amelyekb ıl a megszerkesztend ı alakzatot nemcsak összeilleszthetik,

hanem rögzíthetik is a tanulók /a "szög" száraiba b eilleszthetik az

"oldalakat" stb./. Hasznosan egészíthetik ki ezt a felszerelést

egymáson és egyenes mentén gördíthet ı körök és még sok más eszköz,

némelyek a füzetben, mások a táblán való rajzolásho z, vagy csak

éppen egy jelenség megfigyeléséhez. Papírhajtogatás , idomok

szétvágása és darabjaikból más idomok összeállítása x, parkettázási

problémák megoldása keménypapírból kivágott vagy mé g inkább

mőanyagból gyártott sokszögek rakosgatásával, testmod ellek

ragasztása vagy hajtogatása kartonpapírból, vagy ös szeállítása

pálcikákból és gyurmából, felépítése játékkockákból , mind egy-egy

lehet ıség arra, hogy manuális tevékenység útján alakítsun k ki a

tanulókban geometriai fogalmakat, figyeltessünk meg velük tényeket

és indítsuk el ıket a tények között lev ı kapcsolatok feltárásának

útján.

X X X

A következ ı szakaszban egy olyan óra leírása olvasható, ahol a

tanulók f ıképpen szerkesztési feladatok megoldásával foglalko ztak, a

szó hagyományos értelmében. xx Nem hagyományos viszont a tanítási

módszer. Figyeljük meg, hogyan marad a pedagógus há ttérben, hogyan

hagyja érvényesülni a tanulókat, de hogyan irányítj a azért a

háttérb ıl is az órát. Bizonyosan nem független ett ıl a tanítási

módszert ıl az elért eredmény: a tanulók a geometriai

szerkesztésekben és általában a geometriai gondolko zásban hatodik

osztályos létükre általában gimnáziumi színvonalon vannak. A tanár

az anyag felépítésében els ısorban Gallai Tibor és Péter Rózsa I.

gimnáziumi könyvére támaszkodott.

______________ x Lásd ezzel kapcsolatban: Kárteszi Ferenc, Az olló

geometriája. xx Mint a fentiekb ıl kiderül, ez a hagyomány semmiképpen sem

elvetend ı, csupán kiegészítésre szorul!

- 214 -

Egy 6. osztályos geometria óra

A tanár mindjárt az óra elején szó nélkül felvázolj a a táblára

az alábbi ábrát. /Egy tanuló azalatt a tábla másik felén dolgozik

egy feladaton, amelyet cédulán kapott./

Egy perc múlva kezdenek

néhányan jelentkezni. Vár, amíg

többen jelentkeznek, aztán int az

egyiknek.

= A nagy háromszögben egy

szög 80o, ezért a másik két szög

összege 100o /mutatja a szögeket/.

Felük összege 50°, α-ra marad

l30o.

Hasonló feladatot ad 70°-kal:

- Ezt Mindenki maga oldja meg, írjátok le az eredmé nyt.

Járkál a padok közt, az egyik

tanuló füzetében ezt az ábrát látja,

felrajzolja a táblára:

- Mit szóltok ehhez?

= Nem helyes. Nem tudjuk, hogy

ezek mind egyenl ık-e.

- Ha egyenl ık volnának, mekkora

volna mindegyik? /Vitatkoznak két

különböz ı értéken, a tanár tartózkodik az állásfoglalástól, a diákok

láthatóan meg is szokták már, hogy ne t ıle, mint orákulumtól várják

a vitás kérdések eldöntését, mert nem az ı arcát lesik. A vita,

amelyben a tanár szinte csak katalizátorként, jelen létével vesz

részt, hamar eld ıl. Közben a lassabbak is megoldják az eredeti

feladatot./

- Készen vagy? /A táblánál dolgozóhoz./ Halljuk. /A táblán az

itt látható ábra van, szabad kézzel vázolta fel a f elel ı./

= Olyan kört kellett

szerkesztenem, amely érint egy kört

adott pontjában és egy egyenest.

Két feltételt kellett teljesítenem.

Az els ıt azok a körök teljesítik,

amelyeknek a középpontja rajta van

ezen az egyenesen /mutatja a kör

középpontján és megadott pontján

áthaladó egyenest/. A második ma-

- 215 -

88. ábra

90. ábra

89. ábra

gában nem elég, mert nagyon sok kör érintheti az eg yenest, ezért

hozzávettem még azt, hogy érinti azt az egyenest is /mutatja az

adott pontban a kört érint ı egyenest/. Az olyan körök középpontjának

halmaza, amelyek érintik azt is és a megadott egyen est is, a

szögfelez ı. /Mutatja az ábrán látható szögfelez ıt. Valaki

jelentkezik, a tanár odaint, majd kés ıbb./ A két ponthalmaznak

/mutatja/ egy közös pontja van, erre mind a két fel tétel teljesül.

- Van valami megjegyzésetek? /Sokan jelentkeznek./

- Klári?

= Nem fejezte be a szerkesztést. A metszéspont és a körön

kijelölt pont távolságával kell kört rajzolni. A me tszéspont a kör

középpontja.

- Más? /Többen nagyon hadonásznak, az egyiknek szót ad./

= A feladatnak két megoldása

van. Ennek a két egyenesnek

/kiszalad és mutatja/ két

szögfelez ıje van, a kett ı együtt a

másik ponthalmaz. Ennek és az els ı

ponthalmaznak itt is van egy közös

pontja. /Kiegészíti az ábrát. De a

metszéspont már a táblán kívülre

esne. Megzavarodik. A tanárn ı

odalép:"Csalunk egy kicsit." Így

jön létre az itt reprodukált ábra./

- Van még megjegyzés?

= Most nem egymáson kívül vannak, hanem belül ... a

megszerkesztett kör belsejében lesz az adott kör.

- Következ ı feladatunk: szerkessz olyan kört, amely érint egy

kört és egy egyenest, az utóbbit egy adott pontjába n.

Még egyszer elmondja, lassan. Miben különbözik ez a z

el ıbbit ıl? Megbeszélik, hogy ott a körön volt az adott érin tési

pont, itt az egyenesen. Közben már sokan lázasan ra jzolgatnak a

blokká összef őzött firkálópapírokra.

A tanár járkál, aztán a táblához lép és felrajzol o da egypár

vázlatot a látottak közül. A táblai vázlaton szagga tott helyett

sárga a keresett kör, a tanulók is használnak színe st. Kés ıbbi

rajzainkon is a szaggatott színeset jelent./

- 216 -

91. ábra

- Jó vázlatok ezek?

A gyerekek megteszik megjegyzéseiket: Az els ı nem ehhez a

feladathoz való vázlat, a másodikon hiányzik az éri ntési pont, jó

volna megjelölni az adott és a keresett kör középpo ntját is, a

keresett körnek érintenie kell az adott egyenest. A zok a tanulók,

akiknek a vázlata hibás volt, kijavítják - a tanárn ı nem említett

neveket, de tudják, hogy róluk van szó - és most má r feltehet ıleg

mindegyik jó vázlat alapján dolgozik tovább.

- Kérek valami gondolatot!

= Két dolgot kívánunk a keresett kört ıl:

el ıször, hogy érintsen egy kört,

másodszor, hogy érintsen egy egyenest adott

pontjában.

- Tovább. /Másik jelentkez ıt szólít./

= El ıször nézzük azt, hogy a sárga kör menjen át az egye nes A

pontján.

A tanár a táblához

siet, felrajzolja, mit

jelentenek a gyerek

szavai, aki persze

érintésre gondolt, de nem

jól fejezte ki magát:

A gyerekek élénken

tiltakoznak.

- Azt mondta, menjen át rajta.

A gyerek kijavítja a szavait:

- 217 -

93. ábra

92. ábra

= ... érintse az

egyenest A-ban.

/Mer ılegest emel./ Most

sárga kört gondolatban

fújjuk föl annyira, hogy

menjen át az adott kör

középpontján.

- Jó, elég,

dolgozzatok tovább.

Szóljatok, ha sikerült.

Mindenki a helyén dolgozik, a tanár a padok között járkál,

aztán kimegy a táblához, nem rajzol, csak az ujjáva l mutatja az

ábrán pontozással jelölt kört:

- Egy gyerek így fújta fel

a sárga kört. /Megbeszélik, hogy

a középpontnak helyben kell

maradnia, a tanár a táblára

rajzolja, miután a gyerekek is

nagyrészt készen vannak:/

A tanár az osztály felé

fordul, várja a jelentkezéseket

minden kérdés nélkül. Az egyik

jelentkez ınek szót ad:

= Ezt a pontot /a mi ábránkon B-vel jelölt pontra m utat/

összekötöm a O-val és meghúzom a felez ımerılegesét.

- Ismered azt a pontot? Nekünk

igazában csak ennyi van az ábrából:

/Megbeszélik, hogy ami színes,

azt csak odaképzelték./

A tanár megint várja az

osztálytól az ötleteket.

= Az A pont is tolódik, amikor

felfújjuk!

/Beszélgetnek err ıl, aztán a tanár kiegészíti a táblai rajzot:/

- 218 -

94. ábra

95. ábra

96. ábra

= O és Al felez ımerılegesén

mindig rajta van a kör

középpontja.

- De miért?

= Azért, mert a kör húrjának

felez ımerılegesén mindig rajta van

a kör középpontja.

= Azért is, mert két ponton

átmen ı kör középpontja rajta van a

szakasz felez ımerılegesén.

/Ezt és a következ ıt is más-más

jelentkez ık mondják. Mindig vannak

kezek a leveg ıben./

= Ahol az az egyenes és ez az egyenes /kimegy, muta tja az A-

ban emelt mer ılegest és OA1 felez ımerılegesét/ metszi egymást, ott

lesz ennek a körnek a középpontja. De azért még nem oldottuk meg a

feladatot.

- Nem oldottuk meg a feladatot ... /Csak a gyerek s zavait

ismétli, állásfoglalás nélkül, várva mit szólnak a többiek. Valaki

helyesel, folytatja a megoldást:/

= A keresett sárga kör sugara az adott kör sugaráva l kevesebb

lesz, mint amit megszerkesztettünk.

- Kérem a szerkesztést!

A gyerekek tömegesen jelentkeznek. A tanár gyors eg ymásutánban

szólítja ıket, sorban mondják a szerkesztés egyes lépéseit, ı a

táblánál új ábrát kezdve, felvázolja, amit mondanak . Rajzeszközöket

egész órán nem használ sem ı, sem a gyerekek, nem töltenek vele

id ıt. Majd otthonra olyan feladatot is kapnak! Egymás mellett van az

elemzéshez használt vázlat és a most készül ı, amely a szerkesztés

lépéseit mutatja. Közben a régi ábrára is ráirányít ja a figyelmüket.

- Hol van ennek a pontnak a megfelel ıje a másik vázlaton?

A táblán már ott van a "felfújt" kör, néhány gyerek még

dolgozik. Odamegy az egyikhez, megnézi.

- Neked még mindig egy másik feladat motoz a fejedb en. Az,

ahol a körön van kijelölve egy pont.

- Készen van a vázlat? Ezt a kört kerestük? /Ezt má r az

osztálytól kérdezi./

- 219 -

97. ábra

= Nem ezt. Képzeljük el, hogy a felfújt körb ıl annyit szívunk

vissza, amennyi az adott kör sugara.

Befejezik a szerkesztés felvázolását. Aztán megbesz élik a

másik megoldást /az adott kör belül van a keresett körön/; itt

"szívással" kezdik "felfújással" végzik. Ezen az es eten is

végigmennek, de gyorsabban, mint az el ıbbin.

Egy gyerek közben jelentkezett, kezdett is mondani valamit a

táblánál, de a tanár leütette ott egy székre, amíg az el ıbbi

gondolatmenet befejez ıdik. Most aztán int neki:

- Mondd csak!

A gyerek ezt az ábrát rajzolja:

Ha a sárga kör érinti az egyenest ebben

a pontban, akkor érinti ezt a kört ...

és azt a kört is ... Úgy rajzoljuk, hogy

akkorák legyenek, mint az adott kör.

- És akkor? /Másik gyereket

szólít, azzal fejezteti be a

gondolatmenetet. De még utána is nagyon

jelentkezik valaki, annak is szót ad:/

= G. átalakította a feladatot

/arról a gyerekr ıl beszél, aki a

körsoros megoldást javasolta/: Adva van két egyenl ı sugarú kör,

olyan kört kell szerkeszteni, amely ezeket érinti, az egyiket egy

adott pontjában.

Csöngettek. A tanár feladatlapokat oszt ki, ezeken van a házi

feladat. Az osztály kimegy.

"Mértani helyek"

A síkidomokat, a testeket, a térelemeket pontokból állóknak

képzeljük és képzeltetjük a gyerekekkel a geometriá ban

ponthalmazokkal foglalkozunk. Megadni egy ponthalmazt - általában

egy halmazt - egyértelm ő azzal, hegy megadunk egy tulajdonságot,

amelynek a halmaz elemei, és csak azok, eleget tesz nek. Ha egy

halmazt az elemei felsorolásával adunk meg, akkor i s ezt tesszük; az

is tulajdonsága valaminek hogy felsoroltuk-e vagy n em.

- 220 -

98. ábra

Van a geometriában egy problémakör, amellyel kapcso latban a

"mértani hely" kifejezést szokás alkalmazni. Mit ér tünk mértani

helyen? Olyan pontok összességét - vagyis halmazát - amelyek mind

egy bizonyos tulajdonsággal rendelkeznek, de rajtuk kívül egy

pontnak sincs meg ez a tulajdonsága. A geometriának ez a

problémaköre tehát a ponthalmazokkal kapcsolatos. D e hiszen a többi

is!

Mégis úgy érezzük, hogy ezt a problémakört valami

megkülönbözteti a többit ıl. Nem lehet különbséget tenni olyan

ponthalmazok között, amelyek mértani helyek és olya nok között,

amelyek nem; nem a ponthalmazokban, hanem a megadás i módjukban van a

különbség. Ha a tanár azt mondja a tanulóknak, hogy hozzanak két

párhuzamos egyenest egymástól 4 cm távolságban, exp licit módon adta

meg az egyeneseket. Ha viszont megkeresteti velük a zoknak a

pontoknak a mértani helyét, amelyek egy egyenest ıl 2 cm távolságban

vannak, akkor implicit formában adta meg ugyanazt / ti. egybevágóság

erejéig ugyanazt/ a ponthalmazt. Az el ıbbi arra emlékeztet minket,

amikor megadjuk például ezt a két számot: 2 és 3. A z utóbbi ahhoz

hasonló, mintha megadnánk egy olyan egyenletet, ame lynek ezek és

csak ezek a gyökei: x 2 - 5x + 6 = 0 vagy /x-2//x-3/ = 0.

Ha lehet is határt vonni aközt, hogy egy vagy több számot

explicit formában adunk-e meg vagy implicit módon, például

egyenlettel, a határ nem nagyon éles; x - 2 = 0 is egyenlet, x = 2

is az.

Ugyanilyen kevéssé vagy még kevésbé éles a határ a

ponthalmazok implicit és explicit megadása közt. Mé gis azt

mondhatjuk: az úgynevezett "mértani hely"-feladatok azt kívánják

t ılünk, hogy egy implicit módon megadott ponthalmazt explicit

formában is adjunk meg. Jobb híján ponthalmaz-keres ési feladatoknak

nevezhetnénk ıket vagy általánosabban - olyan általánosan, hogy a bba

az egyenletmegoldás és sok minden egyéb is belefér - halmazkeresési

feladatoknak.

A "mértani hely" elnevezés azért rossz, mert azt a gondolatot

ébreszti, mintha valamiféle speciális objektumokra, alakzatokra,

"helyekre" vonatkoznak, nem pedig elvben bármilyen ponthalmazzal

kapcsolatos speciális feladattípusra utalna. A félr evezet ı

elnevezésekkel kapcsolatban a tanár ne helyezkedjen arisztokratikus

álláspontra /"én is megértettem, más is megértheti" /;

- 221 -

gondoljon arra, hogy nem minden diákból lesz matema tikus, és amin ı

könnyen túltette magát, az másnak a gondolkozását e gészen rossz

vágányra viheti. Ha nincs módjában jobb elnevezés a lkalmazásával

hárítani el a nehézséget, akkor fordítson különös g ondot arra,

nehogy a rossz terminológia mögött hamis elképzelés ek húzódjanak

meg.

Az a megállapítás, hogy "a mértani helyekkel kapcso latban,

mindig két dolgot kell tisztázni: rajta vannak-e mi nd az adott

tulajdonságú pontok és csak azok vannak-e rajta", ö nmagában helyes.

Mégis a tanulók látókörének lesz őkítésére vezethet, ha nem mutatunk

rá, hogy nem a "mértani helynek" valami különleges jellemz ıjér ıl van

szó. Általában két halmaz egybeesését úgy igazolhat juk, hogy "két

dolgot tisztázunk": megmutatjuk x, az egyiknek minden eleme a

másiknak is eleme és megfordítva is. Ehhez az által ános és absztrakt

megfogalmazáshoz, vagy más megfogalmazásban ugyaneh hez a

gondolathoz, csak speciális és konkrét példák útján lehet eljutni xx ,

de ha ide nem jutunk el, akkor az iskolai matematik a

összefüggéstelen, mozaikszer ő jellegét er ısítjük. Nem olyan vad

általánosság ez, amelyhez l4-15 éves tanulók ne tud nának hozzáférni

alkalmas szemléltetés /pl. a halmazoknak "krumplikk al" való

ábrázolása/ és sok konkrét példa útján.

_____________ x Itt "igazolhatjuk" és "megmutathatjuk" stiláris vá ltozatok

ahelyett, hogy "bizonyíthatjuk". Egyhangúságra veze tne ugyanazoknak

az elnevezéseknek a halmozása. /Analóg eset: a halm az szó torlódását

gyakran úgy kerüljük el, hogy helyette osztályról, összességr ıl stb.

beszélünk/. Van, aki bizonyos vonatkozásban szívese bben használja az

egyik szót, mint a másikat, például annak a bizonyí tását, hogy egy

szám kielégít egy egyenletet, inkább igazolásnak mo ndja; ez azonban

szokás dolga, logikailag ezek a kifejezések egymáss al

felcserélhet ık, egy ilyen csere nem tesz igaz állítást hamissá v agy

hamisat igazzá. Jó erre a diákok figyelmét is adand ó alkalommal

felhívni. Nem ritka eset, hogy az efféle stiláris k ülönbségtétel

problémát okoz a tanulóknak, és a tanár segítsége n élkül tévútra is

vezetheti ıket. xx Ponthalmazokkal kapcsolatban ez a gondolat els ısorban

"mértani helyes" feladatok vonatkozásában merül fel , számhalmazokkal

kapcsolatban egyenletek megoldásakor /egyenletek ek vivalenciája/,

síkidomok halmazaival kapcsolatban akkor, amikor eg y tétel

megfordításáról, egy síkidom - például a paralelogr amma - valamilyen

jellemz ı tulajdonságáról van szó stb. stb.

- 222 -

A ponthalmaz-keresési feladatok azért nagyon értéke sek, mert a

matematika induktív és deduktív oldala egyaránt meg mutatkozik

bennük. Rendszerint kísérletezéssel kezd ıdnek a megoldások: egy,

majd több olyan pontot keresünk, amelyek az adott k ikötésnek vagy

kikötéseknek eleget tesznek. Ahogy a pontok sokasod nak, kezd

kibontakozni valami ponthalmaz - például egy görbe - képe. Sejtésünk

támad. Összefüggéseket keresünk, megpróbáljuk a sej tést igazolni.

Csak ha ez is sikerült, oldottuk meg a problémát. M ás típusú

problémák megoldásában is megtaláljuk ennek a folya matnak bizonyos

elemeit, de egyszer ő feladatokban ritkán látunk olyan teljes tablót,

mint éppen a ponthalmaz-keresési problémákban. A ké pzel ıer ıt, -

közelebbr ıl: a térszemléletet - is fejlesztik ezek a feladato k; a

kísérletezést gyakran pótolja a keresett pontok leh etséges

helyzeteinek az elképzelése. Nem síkbeli ponthalmaz ok esetében

különösen nagy szükség van erre.

A ponthalmaz-keresési feladatokban nagy szerepe van a

ponthalmazok közti távolság, illetve speciálisabban egy pont és egy

ponthalmaz közti távolság fogalmának. Iskoláinkban ennek a

fogalomnak is, mint több más fogalomnak, csak nagyo n sz ők speciális

eseteir ıl szokott szó lenni. Nem volna nagy dolog el ıvétetni a

diákokkal a földrajzi atlaszokat, és olyan feladato kon, mint pl.

"Milyen messze van Anglia az európai kontinenst ıl?" "Beletartozik-e

X község Magyarország 20 km széles határövezetébe?" kialakítani a

távolság eléggé általános fogalmát. /Amíg zárt pont halmazoknál

maradunk - jó ezt a szóhasználatban valahogyan kife jezésre juttatni

-, addig elkerülhetjük a két ponthalmaz pontjai köz ti távolságok

alsó határának fogalmát, elég a legrövidebb távolsá gról beszélni./

Így elkerülhetjük, hogy a diákok a távolság fogalmá t például

mindenáron a mer ılegesség fogalmához igyekezzenek kapcsolni. Érdemes

volna felméréseket végezni, hogy

száz középiskolás diák közül hány

van ma tisztában azzal, hogy az

ábrán látható esetben a P pontnak

és a QS kezd ıszakaszú

félegyenesnek a távolsága nem a

meghosszabbításra bocsátott

merıleges PR, hanem a PQ szakasz

hossza /ábra/. Hányan tudják

megtalálni azoknak a pontoknak

- 223 -

99. ábra

a halmazát a síkban, amelyek egy adott félegyenest ıl vagy pl. egy 4

cm oldalú négyzett ıl 1 cm távolságban, vagy amelyek egy szög

száraitól egyenl ı távolságban vannak? Az ilyen feladatokkal

kapcsolatos tévedések /például: "a sík azon pontjai nak mértani

helye, amelyek egy szög száraitól egyenl ı távolságban vannak, a

szögfelez ı"/ a távolság fogalmának meg nem értésén alapulnak.

Szerkesztési feladatok megoldásában az egyik legter mészetesebb

- amellett nagyon általános - módszer a következ ı. A feladatban tett

kikötéseket alkalmas módon x csoportosítjuk - ugyanaz a kikötés több

csoportban is szerepelhet -, megkeressük azoknak a pontoknak a

halmazait, amelyek egy-egy kikötéscsoportnak eleget tesznek, végül

pedig ezeknek a ponthalmazoknak a metszetét vesszük . A szerkesztés

ezzel nem mindig fejez ıdik be, de támpontot kapunk a további

lépésekhez. A 215.-220.oldalon közölt óraleírásban szerepel például

a következ ı feladata: "Szerkesszünk olyan kört, amely érint eg y kört

magadott pontjában és egy egyenest." Az a tanuló, a ki ebb ıl felelt

/215.-216.oldal/, megértette, hogy a keresett kör k özéppontjának a

megszerkesztésére kell irányítania a figyelmét. Ha ez megvan, akkor

a szerkesztés még nem fejez ıdött be, de a befejezés nyilvánvaló. Azt

is megértette, hogy nem vezetne célra ez a csoporto sítás, amely

pedig a feladat szövege alapján a legtermészetesebb volna: 1.

keressük meg az adott kört adott pontjában érint ı körök

középpontjainak halmazát; 2. keressük meg az adott egyenest érint ı

körök középpontjának a halmazát. Megértette, hogy a második

részfeladat nem tartalmaz elég megszorítást, hozzá kell venni az

els ı részfeladat - pontosabban: egy vele ekvivalens fel adat -egyik

kikötését. xx Nyilván nem gondolta ezt át teljes mélységében sem a

felel ı tanuló, sem a társai, de a lényegét megértette és további

feladatok meg-

______________ x Az alkalmas csoportosítás azt jelenti, hogy mindeg yik

kikötés-csoportnak eleget tev ı pontok olyan halmazt alkossanak,

amely a megengedett szerkesztési eljárásokkal megsz erkeszthet ı. xx Az 1. részfeladattal ekvivalens feladathoz jutunk, ha az

adott kört helyettesítjük az adott pontjában húzott érint ıvel. Az

így kapott feladatnak két kikötése van: la. a keres ett pontok olyan

körök középpontjai legyenek, amelyek átmennek az ad ott ponton; 1 b.

a keresett pontok olyan körök középpontjai legyenek , amelyek érintik

az adott egyenest. Ez az utóbbi kikötés az, amellye l a 2.

részfeladatot ki kell egészíteni. /Egyszer őbb nyelven szólva: a

tanuló körsorokkal okoskodott./

- 224 -

oldásában is alkalmazni tudta. A tudatosításnak túl ságosan magas

foka, a precíz megfogalmazással szemben támasztott túlságos igények

elriasztották volna ezeket a tanulókat. El ıbbrevitel helyett

primitív és érdektelen feladatok körére vetették vo lna vissza ıket,

hiszen kicsit színvonalasabb feladatokkal kapcsolat ban nem tudták

volna azokat a követelményeket teljesíteni. A tudat osítás és a

szabatos megfogalmazás terén az volt itt a zsinórmé rték, hogy a

tanulók ne csak recepteket lássanak, hanem megsejts ék és a maguk

nyelvén körülírják azokat a lényeges gondolatokat, amelyeket aztán

más feladatokban is alkalmazni. tudnak. Ez viszi el ıre a tanulást,

és ez teszi lehet ıvé azt is, hogy az újabb feladatok megoldása

nyomán a tudatosságban és szabatosságban egyre mély ebbre hatoljanak.

Egybevágóság, hasonlóság

Ennek a két fogalomnak az általános iskola geometri ai anyagában

középponti szerepe van. Ez több szempontból is igaz és annak

ellenére is igaz, hogy az "egybevágó", "egybevágósá g" szavak a

tantervben el ı sem fordulnak.

El ıször is: amir ıl a geometriában szó van, arról mindig

egybevágóságtól eltekintve, /s ıt a mérési problémák kivételével

hasonlóságtól eltekintve/ van szó. Aki ezt nem érti meg, az nem

sokat ért a geometriából. Márpedig ezt nem könny ő megérteni a

gyereknek, aki megszokta, hogy d, b, q és p között 6 és 9 között

stb. igenis különbséget kell tenni. Nehezen szokta meg ezt

annakidején, akadályozták ebben az olyan tapasztala tok, hogy a

fogkefe ugyanaz a fogkefe marad, akár balra, akár j obbra néz, akár

lent van, akár fent van a sörtéje. De miután megszo kta, ez a

megszokás akadályozza, hogy a geometriában mégis el tekintsen a

helyzett ıl.x /A nagyságtól való eltekintés nem okoz annyi

problémát./

_____________

x Nemcsak iskolásoknak okoz nehézséget

az a gondolat, hogy a geometria nem tör ıdik a

helyzettel. Jellemz ı példája ennek a Schlag

Nach /Natur/c. könyv geometriai részében

található következ ı részlet /54. oldal/:

"Rhombus und Raute

Der Rhombus ist ein Paralellogramm mit

gleichen Seiten, die Raute ein auf die Spitze

gestellter Rhombus."

A szerz ı a rombuszon kívül,/amelynek két

oldala, mint az ábra mutatja, "vízszintes/, szükség esnek látott egy

"Raute" nev ő idomot is definiálni, amely ugyanez "a hegyére áll ítva".

- 225 -

Másodszor: az a két geometriai fogalom, amely az ál talános

iskolai tananyagban még rendez ı elvként szerepel, a tengelyes és a

középpontos szimmetria, az egybevágóságra visszavez ethet ı: A

szimmetrikus idomot avval lehet jellemezni, hogy ön magával más

helyzetben is egybevágó /„átfordítva" vagy 180°-kal elforgatva is

egybeesik eredeti helyzetével/; vagy avval, hogy eg y egyenes, vagy

egy pontján áthaladó minden egyenes, két egybevágó részre vágja. Az

egybevágóság mélyebb fogalma a tengelyes és középpo ntos szimmetria

gondolatába is jobb betekintést ad.

Harmadszor: az egybevágóság és a hasonlóság fogalma azért is

fontos, mert felhasználható a gyerekeket is érdekl ı gyakorlati

problémák megoldására. Ezt az általános iskola geom etriai anyagának

nem sok részér ıl mondhatjuk el. Mire jó az, hogy a derékszög ő

háromszög szögeinek összege 180°? - kérdezheti a gy erek. Mit tudok

meg azzal, ha megtanulom a derékszögekr ıl, hogy mindig egyenl ık? A

27°-os szögek talán nem? A sok mihaszna tanulnivaló közt üdít ı

színfoltot jelent valami, aminek a segítségével meg tudjuk

állapítani a folyó innens ı felén maradva, milyen messze van t ılünk a

folyón túl lev ı ház, meg tudjuk állapítani épületek magasságát,

méreth ő térképvázlatot tudunk készíteni stb.

Amilyen fontos és mély fogalom az egybevágóság és a

hasonlóság, annyira egyszer ő is. A hasonlóság lényegét elég jól

kifejezi az, hogy "ugyanolyan alakúak", az egybevág óságét az, hogy

ugyanolyan alakúak és ugyanakkorák". Ezeket a fogal makat a gyerekek

ismerik, használják; persze meg kell szokniuk az új elnevezéseket és

a "hasonló" szó esetében zavarja ıket a "hasonlít" szó eltér ı

jelentése. Az egybevágóság és a hasonlóság fogalma kés ıbb

gazdagodik, árnyalódik, de fontos az, hogy az els ı kép ők lényegében

helyes legyen. A két fogalom szorosan összetartozik , egymáshoz

viszonyítva könnyebb megérteni ıket. Mansfield és Thompson /1962/ xx

egy feladatban vezeti be a két fogalmat, minden elm élet

mell ızésével, 11 éves korban. Bemutat egy ábrát egybevág ó, de

különböz ı állású és /részben különböz ı körüljárású/ háromszögekkel:

______________ x Ezek a fogalmak itt nem mint transzformációk, hane m mint

síkidomok tulajdonságai szerepelnek, az általános i skolában a

szimmetria nem jelent tükrözést, csupán tükrösséget . xx 44. és 45. oldal.

- 226 -

Azután bemutat három hasonló ötszöget:

és másik hármat, amelyek hasonlítanak , de nem hasonlók :

Néhány sorban elmondja, hogy kell érteni azt, hogy ezek a

háromszögek egybevágók, az els ı három ötszög hasonló, a második

három

- 227 -

101. ábra

103. ábra

102. ábra

nem, aztán közöl egy ábrasorozatot /104. ábra/. Meg kell

állapítaniuk, hogy az els ı oszlopban látható síkidommal illette

testtel egybevágók-e, vagy hasonlók-e hozzájuk a tö bbi oszlopban

láthatók.

Lehetne javítani ezen a felépítésen. Ha már a hason lóság

fogalma együtt van az egybevágóságéval, kerülhet a hasonlóság az

els ı helyre. Így természetesebb, hogy nem zárjuk ki azt az esetet,

amikor az alakjukon kívül a nagyságuk is megegyezik . A fenti

sorrendben ez nehézséget okoz. Az utóbbit ugyanis m indig az

el ıbbihez viszonyítjuk, és könnyebb a speciális esetet viszonyítani

az általánosabbhoz, mint megfordítva. Figyeljük meg ,

- 228 -

Egy másik ponton is javíthatunk ezen az elgondoláso n. Nagyobb

általánosságra vezet és nem jár több nehézséggel, h a a geometriából

név szerint ismert síkidomokon és testeken kívül sz erepel például

falevél képe, tintafolt, fénykép stb. is. x

Az egybevágóságnak és a hasonlóságnak ez a primitív fogalma

csupán kiindulópont lehet. A cél: eljutni oda, hogy egybevágóságon

távolságtartó, hasonlóságon pedig távolságarány-tar tó leképezést

/megfeleltetést/ értünk. Az egybevágóságnak az a má sik primitív

definició-pótléka, hogy "fedésbe hozhatók", el ınyös ugyan abból a

szempontból, hogy módszert ad az egybevágóság megál lapítására, de

sajnos csak a síkban használható. A térre legfeljeb b úgy tudnánk

átvinni ezt a gondolatot, hogy optikai eszközöket i s megengedünk a

"fedésbe hozás" érdekében; a tükrözést nem tudjuk m egtakarítani. Az

olyanféle fogalmazás a térbeli egybevágóságra, hogy "ugyanarra a

helyre hozhatók", már csak azért sem használható, m ert semmi módon

sem tudunk például egy cip ıt "ugyanarra a helyre hozni", vagy

"ugyanazt a helyet betölteni

______________ x Nem jó tápot adni annak az elképzelésnek, hogy a g eometria

körébe csak olyan alakzatok tartoznak, mint hasáb, gúla, henger,

kúp, gömb, gömbszelet, gömbcikk, sokszög, kör, körs zelet, körcikk,

kúpszeletek és más olyan alakzatok, amelyeknek a ge ometriában nevet

adunk. Néhány évvel ezel ıtt a Kürschák-versenyen szerepelt egy ilyen

feladat: "Bizonyítsuk be, hogy ha egy test minden s íkmetszete kör,

akkor a test gömb." Több dolgozatban is el ıfordult a következ ı

"megoldás": a hasáboknak és gúláknak, hengereknek é s kúpoknak vagy

legalább egy olyan metszetük, amely nem köralakú; t ehát a keresett

tulajdonságú test csak a gömb lehet.

- 229 -

mennyivel egyszer őbb ez:

hasonlók:

egyez ı alakúak

egybevágók:

egyez ı alakúak és

ugyanakkorák

ennél:

egybevágók:

egyez ı alakúak és

ugyanakkorák

hasonlók:

egyez ı alakúak, de nem

feltétlen ugyanakkorák

vele", ahol a párja volt, márpedig a cip ı és a párja /elvben/

egybevágók x.

Az egybevágóságnak a fedésbe hozással /egybeilleszt éssel/ való

magyarázata mégis lényegesen túlvisz, ha csak a sík ban is, azon a

nagyon határozatlan fogalmon, amit az "egyez ı alakúak és

ugyanakkorák" fogalmazás és szinonimái fejeznek ki. Tekintsük hát

ezt közbees ı lépcs ıfoknak az egybevágóság távolságtartó

leképezésként való definiálása felé. Az utóbbi érte lemben két

ponthalmazt akkor mondunk egybevágónak, ha meg tudj uk úgy feleltetni

egymásnak a pontjaikat - az egyik halmaz egy pontjá nak mindig a

másiknak egy pontját -, hogy a megfelel ı pontok távolsága egyenl ı

legyen. A fedésbe hozás konkrét m ővelete segít ezt megérteni; amikor

fedésbe hozzuk a ponthalmazokat, akkor éppen egy il yen

megfeleltetést létesítünk. Hogy a fogalmat minél ál talánosabbá

tegyük, ne csak papírból kivágott háromszögeket és más síkidomokat

hozzunk fedésbe, hanem készítsünk átlátszó papír -, cellofán-,

mőanyag-, esetleg üveglapból is szemléltet ı eszközt, ennek

segítségével mutassunk példákat különálló pontokból álló

ponthalmazok egybevágóságára is. Hasznosak az olyan modellek - akár

sokszögeket, akár egyéb ponthalmazokat ábrázolnak - , amelyek

különféle módokon majdnem pontosan egybeilleszthet ık, de csak egy

esetben fedik egymást "pontosan". /Készítsünk példá ul két egybevágó

ötszöget, amelyek a szabályostól csak kissé térnek el, de úgy, hogy

nem szimmetrikusak./ Állítsunk el ı olyan modelleket is, amelyek nem

térnek ugyan el nagyon egymástól, de azért akárhogy an próbáljuk is

egybeilleszteni ıket, mindig van köztük ak-

______________ x Következetlenség volna a síkban kiterjeszteni az

egybevágóság fogalmát ellenkez ı irányítású /tükrözéssel egymásba

átvihet ı/ ponthalmazokra is, a térben viszont nem. Igaz, ho gy a

síkbeli tükrözés a harmadik dimenzióba való kiemelé s útján

mozgatással is megvalósítható. Matematikailag ugyan így

megvalósítható azonban a térbeli tükrözés is mozgat ással, a negyedik

dimenzióba való kiemelés útján, ha fizikai terünkbe n ezt nem is

tudjuk végrehajtani. A tanulók ebb ıl még nem sokat érthetnek meg.

Jobb azonban elkerülni azt, hogy olyasmire tanítsuk ıket, ami egy

magasabb néz ıpontról tarthatatlannak bizonyul - gátat vet az

általánosításnak -, még ha erre a magasabb néz ıpontra nem is tudjuk

/egyel ıre vagy egyáltalán/ elvezetni ıket. Sok példát lehetne

említeni arra, hogy-a matematikai fogalmak kialakít ásában nem

hagyjuk megkötni a kezünket a fizikai megvalósíthat óságtól.

/Gondoljunk például egy intervallum felosztásainak minden határon

túl való finomítására./

- 230 -

kora eltérés, ami már túlmegy a technikai kivitelez és megszokott

csekély pontatlanságán. Így a tanulók példák és ell enpéldák útján

megértik, hogy ha egy bizonyos - els ı pillanatra jónak látszó -

megfeleltetés nem jó, ez még nem jelenti azt, hogy semmilyen módon

sem sikerül a fedésbe hozás. Az így szerzett tapasz talatokkal

valamit el ırehaladunk az egybevágóság szabatos megfogalmazása felé,

- ti. tisztázzuk bel ıle azt a gondolatot, hogy "van olyan

megfeleltetés..." -, de el kell még szakadnunk az e gybeillesztés

gondolatától. E célból például jelöljünk ki /vagy n agyobb tanulókkal

jelöltessük ki/ az iskola udvarán hat olyan pontot, amelyek két

egybevágó háromszöget határoznak meg. /Három lehet természetes

tereppont is, például két fa és egy épület egyik sa rka./

Egybeillesztésr ıl itt nem lehet szó, hogyan dönthetjük el mégis,

hogy egybevágók-e vagyis - a régi "definícióhoz" vi sszatérve -,

ugyanolyan alaknak és ugyanakkorák-e? Kínálkozik a gondolat:

távolságméréssel. Méréseink a hibahatáron belül egy ezı eredményeket

adnak; biztosak lehetünk-e az egybevágóságban? Viss za kell térnünk

az összeilleszthet ı papírháromszögekhez, hogy erre tapasztalati úton

felelni tudjunk. Ilyen feladatokat adhatunk: jelölj ön meg mindenki

egy-egy papírlapon három olyan pontot, amelyeknek a távolságai 4 cm,

6 cm, 8 cm. Súlyos pedagógiai hiba volna elárulni, hogyan

találhatnak ilyen pontokat. Vannak azonban módok ar ra, hogy

megkönnyítsük az ehhez vezet ı utat /háromszög kirakása pálcikákból,

szabványos körz ı helyett papírcsík használata, lásd a 213. oldalon/ .

Szerepelhetnek ilyen feladatok már el ıbb is, el ıkészítésképpen.

Vágják ki, illesszék össze a három-három pont megha tározta

háromszögeket. Így kísérleti bizonyítékot szereznek az ilyen

háromszögek, illetve ilyen ponthármasok egybevágósá gáról. Nem

mindenki számára nyilvánvaló, hogy olyan három pont ot keresni,

amelyeknek megadja a távolságait, és olyan háromszö get szerkeszteni,

amelynek megadjuk az oldalait, lényegében ugyanaz a feladat. Rá kell

vezetnünk ıket ennek a felismerésére. Jó, ha ezek után hamaros an

kapnak olyan feladatokat is, amelyekb ıl kiderül, mennyire más a négy

pont és a négyszög esete. Hány négyszöget határoz m eg négy

/általános helyzet ő/ pont? Egybevágók-e az oldalaikban megegyez ı

négyszögek. Hány távolságot mérhetünk négy pont köz ött? Egybevágó-e

két pontnégyes, ha ezek a távolságok mind megegyezn ek? Elég-a

kevesebb távolságot is megadni? Hogyan másolhatunk le egy

négyszöget? Ötszöget? Ezek

- 231 -

a problémák természetesen következnek egymás után, de persze sok más

módon is haladhatunk. A tapasztalati alapot azonban mindenképpen

biztosítanunk kell. Csuklós modelleken, amelyeket p éldául Pajtás

épít ıkészlet részeib ıl állítanak össze, gy ızıdjenek meg maguk a

gyerekek arról, hogy a háromszög merev, de a négysz ög, ötszög stb.

mozgatható, ha nem szorítjuk meg a csúcsainál: stb.

Olyan felépítést vázoltunk, amelyben a távolság fog alma az

alapvet ı; a szög fogalmát egyel ıre elkerültük. A távolságméréssel

való kezdésnek több el ınye is van. Az egyik az, hogy így csupa

egyforma jelleg ő adat szerepel. Egy másik: könnyebb a tanulóknak

távolságot mérni, ezzel már az alsó tagozatban is f oglalkoztak, a

szögmérés viszont új és nehéz a számukra. Végül: a z

egybevágóságnak, mint izometriának a fogalmához is gyorsabban

eljutunk, ha a távolságra építünk. A tanulók észrev eszik, hogy a

megfelel ı pontok közötti minden lehetséges távolság egyezése

biztosítja az egybeilleszthet ıségét /háromnál több pont esetén

bıségesen, "redundanciával" biztosítja/. Tereppontok esetében,

amikor egybeillesztésre nincs mód, a távolságok egy ezése veszi át a

definíció szerepét. Innen már csak egy lépés, hogy általában is ezt

fogadjuk el definíciónak; a rajzpapír általában nem átlátszó és nem

is mindig célszer ő szétvagdosni. A síkbeliekkel analóg

térgeometriai-feladatokra alighanem akkor a legérde mesebb rátérni,

amikor már legalábbis kezdi átvenni a definíció sze repét a

távolságok egyezése. Egybeillesztéssel térbeli mode llek /például

tetraéder-élvázak/ esetében is dolgozhatunk, csak n e próbáljunk az,

egybeilleszthet ıségb ıl definíciót csinálni. Az egybeillesztés

elképzelése - ha nem is a valóságos végrehajtása - a síkban is és a

térben is hasznos eszközünk marad az egybevágóság e ldöntésére. Több

esetben átsegít például azon a nehézségen, hogy vég telen sok pont

páronkénti távolságát nem tudjuk külön-külön megmér ni. Elképzelt

egybeillesztéssel gy ızıdhetünk meg például arról, hogy az egyenl ı

sugarú körök vagy gömbök egybevágók. Erre is érvény es azonban, mint

minden bizonyításra: felesleges, s ıt káros addig, amíg hiányzik a

bizonyítási igény. Mindaddig megelégedhetünk a szem léleti

evidenciával is.

A terepen való mérések nagyon alkalmasak arra, hogy a távolság

mellett a szöget is beiktassuk az egybevágóságot bi ztosító adatok

közé. A rajzlapon mindig kényelmesebb távolságot mé rni, a terepen

gyakran el ınyösebb a szögmérés. Általában kényelmetlen

- 232 -

a nagy távolságok mérése, de kis távolságok megméré sét is

megnehezíthetik vagy lehetetlenné tehetik közbees ı akadályok

/kerítés, domb, ház, patak/. Általában nem tudjuk k özvetlenül

megmérni épületek, fák, távíróoszlopok stb. magassá gát. Mindezek a

gyakorlati feladatok jó ösztönzést adnak olyan eljá rások

kigondolására, amelyek a háromszögek egybevágósági vagy hasonlósági

tételeit használják fel, és így elvezetnek maguknak ezeknek a

tételeknek a felismerésére is. A sorrend szokatlan; a hagyományos

tanításban el ıször megismerkedünk egy tétellel, lehet ıleg a

bizonyításával is, aztán alkalmazzuk a tételt. Pedi g igen sokszor -

ha nem is lehet ebb ıl általános szabályt csinálni - alkalmazás

közben, konkrét gyakorlati problémák közben fedezzü k fel az

összefüggéseket, tételeket /vö. 314.oldal/. A terep en való mérések

azért alkalmasak erre, mert a tanulók megértik, hog y amit tanulnak,

annak jó hasznát vehetik a gyakorlatban. Szükség va n azonban a

szögeket tartalmazó egybevágósági és a hasonlósági tételekkel

kapcsolatban is a manuális kiindulásra, konstrukció kra, mégpedig nem

csupán körz ıvel és vonalzóval végzett szerkesztésekre. A

szerkesztésekr ıl szóló fejezetben már szó volt olyan eszközökr ıl /

214.oldal/, amelyek segítségével a tanulók meggy ızıdhetnek arról,

milyen esetekben biztosítják a háromszögek /négyszö gek stb./

egybevágóságát olyan adatok, amelyek között szögek is szerepelnek.

Ha a tanulóknak három szögb ıl kell összeállítaniuk háromszöget,

akkor eljutnak arra a felismerésre, hogy az így el ıállított

háromszögek általában nem egybevágóak, de egyforma alakúak,

hasonlóak.

A hasonlóság fogalmának kialakításáról, valamint az

egybevágósági és hasonlósági tételek terepmérésekke l kapcsolatos

tanításáról részletesebb tájékoztatást ad például B ellay-Varga

/1953/. Lásd különösen a 73.-114. és 157.-178. olda lt.

Hosszúság, terület, térfogat

A címben látható három szó mellé a hagyományos isko lai

fogalomrendszer értelmében még kett ı odakívánkozik: kerület,

felszín. Ezek azonban, ha - a hagyományoknak engedv e - használjuk is

ıket, tulajdonképpen feleslegesek. Nem lényeges egy síkgörbe

hosszúsága szempontjából, hogy síkidomot határol /é s

- 233 -

ezért végpont nélküli/, vagy nem határol síkidomot. A probléma

egyszer őbb vagy bonyolultabb volta szempontjából lényegeseb b ennél,

hogy a vonal csak szakaszokból áll--e. Ugyanúgy az sem lényeges,

hogy egy felület testet határol /és ezért nincs hat árvonala/, vagy

nem határol testet. Lényegesebb ennél, hogy csak sí kidomokból áll-e.

A hagyományos iskolai szóhasználat egyébként amelle tt, hogy mellékes

szempontokat követ, nem is következetes, mert a "ho sszúság" szót nem

záródó görbe vagy törött vonalra is alkalmazza, a " terület" szó

helyett azonban a "felszín" szóval él olyankor, ami kor a felület nem

határol ugyan testet, de nem is síkidom /pl. gömböv felszíne/,

ellentétben a földrajz és a mindennapi élet szóhasz nálatával /pl.

Afrika területe/. - Egyébként vannak nyelvek, példá ul a francia,

amelyek nem tesznek különbséget terület és felszín közt.

A terminológia nem mellékes, mert visszahat a fogal makra, x de

els ısorban mégis az a fontos, hogy világosan lássuk és láttassuk a

diákokkal: lényegében három dologról van itt szó: a hosszúságról

/záródó vonal hosszát kerületnek is mondjuk/, a ter ületr ıl /helyette

néha felszínt mondunk/ és a térfogatról /régies szó val:

köbtartalomról vagy - bizonyos vonatkozásban - őrtartalomról/.

Nem választható el a hosszúság, terület, térfogat s tb.

mérésének kérdéseit ıl az id ı, a sebesség, a tömeg és más fizikai

mennyiségek mérésének problémaköre sem. Ha a fizika i és a geometriai

mennyiségek között határvonalat akarnánk húzni, ezt semmi esetre sem

tehetnénk úgy, hogy a hosszúság, terület, térfogat stb. a határvonal

egyik oldalára esik, az id ı, a sebesség stb. a másikra. Nem

mondhatjuk, hogy az el ıbbiek még geometriai fogalmak; ugyanannyira

fizikaiak is. Ha minden fizikai vonatkozást kikapcs olva tanítanánk

ıket, elszakítanánk a geometriát a

______________ x Bizonyosan nem független a szerencsétlen terminoló giától az

a kerület- és felszín-kultusz, amely némelyik könyv ben ma is dívik,

de régebben még inkább dívott: minden síkidomnak ke ll, hogy legyen

kerületképlete; az egyenl ıoldalú háromszögeké k = 3a, az

egyenl ıszárúé k = a+2b, az "általánosé" és a derékszög őé k = a+b+c

stb. Az iskolában aligha érdemes megjegyezni a körv onal hosszán /a

kör kerületén/ és a gömb, esetleg még a gömböv terü letén /felszínén/

kívül más kerület- és felszínképletet. A többinek a kiszámítása

érdekes és hasznos gyakorlat lehet, de az emlékezet et kár terhelni

az eredmény megjegyzésével.

- 234 -

realitástól, az alkalmazásoktól. Egy példa világoss á teszi a

különbséget a hosszúság geometriai és fizikai fogal ma között: ha a

hosszúság geometriai fogalmát használjuk, akkor van értelme annak az

állításnak és igaz is, hogy a négyzet átlójának hos sza az oldalában

mint mértékegységben kifejezve irracionális szám. F izikai

hosszúságokra ezzel szemben az irracionalitás fogal mának még csak

értelme sincs. Semmilyen fizikai mennyiségre vonatk oztatva sincs

értelme ennek a fogalomnak, mert a mérési pontosság korlátlan

növelését tételezi fel, ez pedig elvileg lehetetlen . A matematikát

tanító pedagógusnak mind a két szemléletre tekintet tel kell lennie.

Tisztában kell lennie azzal, hogy amíg a "hivatalos " fizikatanítás

meg nem kezd ıdik - az új tanterv szerint az általános iskola 6.

osztályában - addig a fizikai fogalmak helyes kiala kításáért is ı a

felel ıs. Ide tartozik a fentiek szerint a hosszúság, terü let és

térfogat fizikai fogalma, ide tartozik az id ı, a sebesség, a tömeg

fogalma és még néhány más fogalom. A matematikát ta nító pedagógusnak

ez a felel ıssége a fizikatanítás megkezdése után sem sz őnik meg. A

"tiszta" matematikai fogalmakra es ı hangsúly egyre n ı, ahogy feljebb

haladunk, de a fizikai vonatkozások szerepe a matem atikaórán sohasem

sz őnhet meg. Így például nemcsak általános iskolában, hanem

középiskolában is helyes, s ıt ajánlatos olyan feladatokat adni, hogy

a tanuló mérje meg egy kezébe adott gúla vagy más t est bizonyos

adatait, és következtessen bel ılük más adatokra.

Mindezekkel a fogalmakkal kapcsolatban - a területe t és a

térfogatot sem véve ki - mérésekb ıl célszer ő kiindulni. A területre

és a térfogatra vonatkoztatva ez például egységnégy zetekb ıl való

kirakást, egységkockákból való felépítést jelenthet . Azok a

tapasztalatok, amelyekre a tanulók a valóságos, maj d elképzelt

mérések közben szert tesznek, elvezetik ıket arra a gondolatra, hogy

bizonyos mérések eredményét más, egyszer őbb mérések eredménye

alapján ki lehet számítani . Felesleges például a téglalapot mindig

kirakni, az egy sorban lév ı négyzetek és a sorok száma alapján

következtetni lehet a területére, és ugyanígy a tég latest

térfogatára az egy sorban lév ı kockák, a sorok és a rétegek száma

alapján. Az értelmes tanítás alapja itt is, mint mi ndig, a

tapasztalatgy őjtés. Akinek megtanítják, hogy térfogat szélességsz er

hosszúságszor magasság, akár még szemléltetéssel is , az elesik a

felfedezés örömét ıl.

- 235 -

A mérés pontosságának, a határok közé szorításnak a gondolata

minden esetben fellép, hol egyszer őbb formában /pl. a távolságnak,

vagyis egy szakasz hosszának, a tömegnek, az id ınek, az

őrtartalomnak a mérésekor/, hol bonyolultabb körülmé nyek között

/területmérés; térfogatmérés alakváltozás nélkül/; a görbe vonalak

és felületek mérése még nehezebb problémákat vet fe l. Ezeknek a

problémáknak egy részét még a középiskolában is csa k érinteni lehet,

vagy azt sem. Mégis felvet ıdnek primitív fokon már az általános

iskolában, és nem mindegy, hogy a felelet, amit a t anulók itt

kapnak, lényegében helyes, utat mutató-e, vagy pedi g félrevezet ı.

A távolságnak és sok más mennyiségnek a mérésekor a z

alapkérdés az: hány egységet vehetek úgy, hogy ne l épjem túl a

megmérendı mennyiséget, de eggyel több egységgel már igen. Ké t határ

közé szorítom tehát a megmérend ı mennyiséget, és ezek a határok -

ebben az egyszer ő esetben - egyetlen egységgel térnek el egymástól.

Ha kisebb egységet választok, az eltérés is kisebb lesz. A két határ

közé szorítás gondolata gyakorlati mérések kapcsán természetes módon

merül fel. Megmérik a gyerekek a méterrúddal a tant erem hosszát, azt

találják, hogy nyolcszor elfér, ki is marad egy dar ab, de kilencszer

már nem. Jó, ha ennek a feljegyzésére már az 5. osz tályban /s ıt akár

az els ı tagozatban is, vö.20.old./ használják ezt a jelölé st:

8 m < tantermünk hossza < 9 m .

Ha még azt is megállapítják, hogy a keresett hosszú ság

közelebb van a 9 m-hez, mint a 8 m-hez, akkor ezt p éldául így

jegyezhetik fel: x

tantermünk hossza ≈ 9 m.

Mit tegyünk, ha pontosabban akarjuk megtudni a tant erem

hosszát? Megnézzük, hogy a 8 méteren túl hány decim éter fér még el,

aztán hány centiméter. Ennél nagyobb pontosság az a dott esetben

irreális volna. Az eredményeket megint leírhatják k ett ıs

______________ x Megtehetjük, hogy a "tantermünk hossza" teljes kií rása

helyett rövidítést használunk, például t.h., s ıt elárulhatjuk nekik,

hogy ha nem felejtik el, mir ıl van szó, elég az egyik bet ő és pontot

sem kell írniuk utána.

- 236 -

egyenl ıtlenséggel és a közelít ı egyenl ıség jelével, mégpedig

ismereteiknek megfelel ıen a méter, deciméter és centiméter jelével

vagy méterben kifejezve tizedestörttel. Az egyre sz őkebb határok

közé szorításnak ez a gyakorlati példája valami kép et ad nekik

arról, mit jelent a hosszúságmérés problémája. Kés ıbb többet is

megtudnak err ıl. Id ıvel elkezdhetjük kiépíteni az utat a

matematikailag megadott távolságok, az elvben ponto s mérés gondolata

felé is. Képzeljenek el egy teljesen pontos méterru dat - ilyen

nincs, de gondolják úgy, mintha volna - és képzeljé k el, hogy meg

van jelölve pontosan a harmada. Mekkora hosszúság e z az elejét ıl

számítva? Egy kis számolással és okoskodással megál lapíthatják, hogy

0,3 m < h < 0,4 m

0,33 m < h < 0,34 m

0,333 m < h < 0,334 m és így tovább.

Sem deciméterrel, sem centiméterrel, sem milliméter rel, de még

mikronnal vagy millimikronnal sem lehet pontosan ki fejezni a méter

harmadát. De az eltérés a közrefogó számok között e nnél is, annál

is, még a millimikronnál is, és ha folytathatnánk , akármilyen kis

hosszúságnál is kisebb volna. Itt már sok gyerek, h a nem is

mindegyik, megsejt valamit abból, mi az elvben pont os mérés. Még

kés ıbbi - ez már feltétlenül gimnáziumi - fejlemény az, hogy

megismerkednek az összemérhet ıség /kommenzurabilitás/ vagyis a

racionális mér ıszám esetével és az összemérhetetlenség

/inkommenzurabilitás/ vagyis az irracionális mér ıszám esetével.

A területmérés kérdését nagy hiba volna eleve idomo knak egy

sz ők körére - mondjuk a sokszögekre, valamint a körre és a körcikkre

- korlátozni. Igaz, hogy nagyon fontosak bizonyos s peciális esetek,

amelyekre más eseteket is vissza lehet azután vezet ni: például a

téglalap területének kiszámítási módját igen korán felfedezik a

gyerekek négyzetlapokkal való kirakás útján az egés zszámú esetben.

Az is fontos azonban, hogy a területszámítás kérdés ét eléggé

általános - ha nem is éppen a lehet ı legáltalánosabb - szemszögb ıl

nézzék, olyan feladatok fel ıl közelítsék meg a fels ı tagozatban,

mint egy megyének, egy teleknek, a kockáspapírra ta lálomra

felrajzolt görbevonalú idomnak a területe. Ez az ál talánosság

szükséges ahhoz, hogy a gondolkozásukban az-

- 237 -

után a megfelel ı helyre kerüljenek a területképletek, ne

tulajdonítsanak nekik mindenható szerepet.

A közelítés javításának gondolatához kockáspapír se gítségével

például úgy lehet eljutni, hogy el ıször négy "kockát" tekintünk egy

egységnek, ti. egy négyzetcentiméternek - ez rendsz erint elég pontos

közelítés - és ennek érdekében a tanulók ceruzával utánahúznak a

füzetükben minden második vonalat; kés ıbb áttérnek a negyed cm 2-es

egységre. Dolgozhatunk milliméterpapíron is, akkor mindjárt a

négyzetmilliméterre térhetnek át. Megrajzolják a me gmérend ı idomot,

amit kopírozhatnak térképr ıl vagy rajzolhatnak találomra, bele a

lehet ı legnagyobb, körüle a lehet ı legkisebb idomot a

négyzetcentiméterek határai mentén. Megállapítják, hány egység az

egyik, hány a másik - olyan racionális módon, ahogy tudják - és

feljegyzik ezt is, mint a hosszmérés eredményét, eg yenl ıtlenséggel.

Mindjárt észreveszik a nagy különbséget: itt nem eg y egység az

eltérés a két szám közt! A lényeges azonban az, hog y ez az eltérés

csökken, ha kisebb egységre térnek át.

Speciális esetekben - például a téglalap területéve l

kapcsolatban - érettebb tanulókkal érzékeltetni leh et, mint a

hosszúságmérésnél is, azt, hogy az eltérést elvben bármely számnál

kisebbé tehetjük. Ha például 6 cm hosszú és 4 cm

széles a téglalap, akkor négyzetcentiméterben kifej ezett területét

így foghatjuk közre:

6 . 4 < t < 7 . 5 vagyis 24 < t < 35

6,6 . 4,3 < t < 6,7 . 4,4 vagyis 28,38 < t < 29,48

6,65 . 4,33 < t < 6,67 . 4,34 vagyis 28,8378 < t < 28,9478

stb.

A különbség láthatóan csökken. De azért nem olyan g yorsan: a

hosszúságmérésben már a tízed millimétereknél tartu nk, a közrefogó

területek különbsége pedig 11 mm 2. Lesz valaha 1 mm 2-nél kisebb? Az

ábra segít megértetni, hogy igen: /lásd 239 old./

A bels ı és a küls ı téglalap különbsége mindig egy L bet ő forma

idom.

Az els ı közelítésben az L bet ő területe kisebb, mint 12 cm 2,

mert ha szétnyitjuk, ahogy az ábrán látni, akkor az 1 cm széles 12

cm hosszú téglalapból még egy háromszög hiányzik. / Nem fontos,

- 238 -

2

3

1

3

hogy éppen 1 cm 2./ A második közelítésben rövidebb lesz a téglalap

12 cm-nél, a szélessége pedig csak 1 mm lesz. /A ki s hiányról ne is

beszéljünk./. Ezért a különbség most 12 cm2 tizedén él is kevesebb.

Ha egyre kisebb egységekre térünk át, akkor a tégla lap mindig

rövidebb lesz, de még ha ugyanolyan hosszú maradna is, a szélessége

biztosan tizedére csökken. Ezért a különbség 0,12 c m2-nél, 0,012 cm 2-

nél, és akármilyen kicsi területet mond valaki, ann ál is kisebb

lesz.

Aki ezt a gondolatot megértette egy ilyen numerikus példán,

annak nem nehéz átlátnia, hogy az eredmény nem függ a téglalap

méreteit ıl: a különbség mindig olyan kicsi lesz, amilyennek csak

akarjuk.

Nehéz volna normát adni arra, hogy mikor kockáztath at meg a

tanár egy ilyen gondolatmenetet. Gondolkozásra szok tatott tanulókkal

13-14 éves korban többnyire nincs akadálya, de van, aki szívesebben

halasztja az ilyen gondolatokat 15-16 éves korra, s ıt annak sem

mindenki híve, hogy a középiskolában ilyen kérdések szóba

kerüljenek. Számolnunk kell azzal, hogy az ilyen el vi kérdések sok

tanulót lényegesen kevésbé érdekelnek, mint a gyako rlati

területszámítás, és az ilyen tanulókat semmiképpen sem szabad szem

el ıl tévesztenünk, miközben kielégítjük azoknak az érd ekl ıdését,

akik viszont éppen az ilyen titkok megismerésére vá gynak.

A gyakorlati területszámításnak általános iskolai f okon két

kulcsszava van: átdarabolás és kiegészítés. Átdarab olhatónak

- 239 -

105. ábra

mondunk két síkidomot, ha végesszámú, páronként egy bevágó síkidomra

bonthatók; x kiegészítéssel egyenl ınek, ha egybevágó síkidomok

hozzáadásával egybevágó síkidomokat kaphatunk bel ılük.

a kiegészítés viszont mindig egyszer ő:

/Ügyes megvalósítási mód: papírháromszögek elcsúszt atása

dobozfedélben./ Az alábbi két ábra Pythagoras tétel ének egy-egy

átdarabolással illetve kiegészítéssel való bizonyít ását mutatja:

______________ x A felbontás /szétvágás/ úgy értend ı, hogy a vágás vonala

mindkét darabhoz hozzászámít; így ismét idomokhoz / nyílt halmazok

lezártjaihoz/ jutunk. Összeillesztéskor, megfordítv a, az illesztési

vonalakon két-két pontból egy lesz. Ez a megjegyzés az olyan

hallgatók vagy tanárok lelkiismeretének a megnyugta tását célozza,

akiknek esetleg halmazelméleti aggályai vannak az á tdarabolás

fogalmával kapcsolatban. A diákok ezen aligha akadn ak fenn.

- 240 -

A paralelogrammát mindig átdarabolhatjuk téglalappá úgy, hogy egy oldala és a magassága ugyanakkora maradjon:

De ha megkötjük, hogy melyik legyen az az oldal, akkor az átdarabolás néha bonyolult is lehet:

107. ábra

106. ábra

A kiegészítés még egy másik értelemben is szerepel a

területszámításban.

Tehát Tehát Tehát

t = a . t = . m t =

- 241 -

a két kisebb négyzet átdarabolása a nagy négyzetté,

a két kisebb négyzet és a nagy négyet kiegészítése egybevágó ötszögeké.

109. ábra 111. ábra 110. ábra

108. ábra

A háromszöget mindig átdaraboltatjuk ugyanakkora alapú fele olyan magas paralelogrammává,

ugyanolyan magas,

feleakkora alapú

paralelogrammává

is,

de ki is egészíthejtük

vele egybevágó

háromszöggel

paralelogrammává.

m

2

a

2

a . m

2

A háromféle eljárás három különböz ı képlethez vezet. Akinek

még nem magától értet ıdı, hogy a három kifejezés azonosan egyenl ı,

annak a számára hasznos ez az összehasonlítás.

Hasonló módon kaphatjuk a trapéznak paralelogrammáv á való

háromféle átdarabolásából és egyféle kiegészítéséb ıl

t = t = /a+c/ t = . m t =

képleteket, és két háromszöggé való szétvágással öt ödiknek még ezt:

t = +

A geometria szempontjából nincs szükség erre a képl etesdire,

megjegyezni egyet is elég közülük; a geometria ad i tt segítséget az

algebrának, feltéve, hogy igényt tart rá.

Téglalappá is át lehet darabolni a háromszöget és a trapézt,

de nincs olyan mindig megvalósítható, egyszer ő utasítás az

átdarabolásra, amelyr ıl a területképletek /a háromszög esetében

bármely oldalra vonatkozóan/ leolvashatók lennének. Ezek az

átdarabolások csak speciális esetekben alkalmazható k:

Általában bármely két egyenl ı terület ő sokszöget át lehet

darabolni egymásba, vagyis bármilyen sokszögb ıl bármilyen alakú

sokszöghöz eljuthatunk úgy, hogy véges számú részre szétvágjuk és a

darabokat valahogyan összeillesztjük /Bolyai Farkas tétele x/.

Érdekes átdarabolási feladatok találhatók például a következ ı

könyvben: Korgyemszkij, Matematikai fejtör ık, Gondolat,l962.

______________ x Lásd pl. Bellay Varga: A mértan tanítása az általá nos

iskolában, 135-138. oldal.

- 242 -

/a+c/m

2

m

2

a+c

2

/a+c/m

2

bm

2

am

2

112. ábra

Hasznos gyakorlat a kör területének közelít ı kiszámítása

kockáspapír vagy milliméterpapír segítségével. Nagy obb rajzról

pontosabb eredményt olvashatunk le, ezért célszer ő egy 45 o-os

körcikk területét számítani ki és a végén megszoroz ni 8-cal. A

körcikket az egyik sugárral párhuzamos egyenesekkel sávokra

bonthatják a tanulók, és ezeket küls ı és bels ı trapézokkal foghatják

közre. Ilyen módon elég könnyen eljuthatunk a π -nek a 3,14 közelít ı

értékéhez. x

A pontosságra törekv ı mérésnél és számításnál is fontosabb

azonban, hogy a tanulóknak világos fogalmuk legyen a kör

területképletének értelmér ıl. Tudniuk kell

például, hogy a kör területe π -szer

akkora, mint a sugarára emelt négyzet

területe, és ez a π csak körülbelül 3,14.

Le kell tudniuk olvasni egy ilyen rajzról

/113. ábra/, hogy 2 < π < 4. Érdekl ıdıbb

tanulóknak azt is megmutathatjuk, hogy az

egységkörbe írt szabályos tizenkétszög

területe 3 egység. xx A térfogatszámítás

legjobb kezdete, mint már említettük, a

kockákból való felépítés. Az Iskolai Taneszközök Gy ára be van

rendezkedve 1 cm él ő mőanyagkockák gyártására, ezekb ıl minden

iskolának nagy mennyiséget be kellene szereznie. Ál lítsanak össze a

tanulók ilyen kockákból különféle méret ő téglatesteket és

csomagolják be ezeket áttetsz ı papírba. Próbálják azután a csomagok

felbontása nélkül megállapítani, hány kocka van ben nük. Ellen ırizzék

a sejtés őket úgy, hogy ugyanakkora téglatestet felépítenek a kis

kockákból a csomag mellett. Hamarosan azok a tanuló k is helyes -

sejtésekhez jutnak, akik eleinte csak a kívül látha tó kockákat /vagy

a kockák kívül látható lapjait/ számolták. Átlátsza tlan csomagokkal

és más tárgyakkal is végezhetnek hasonló okoskodást /mokka-cukor,

gyufásdobozok /, majd elképzelés alapján köbmillimé teres, köbméteres

kockákkal stb. Ezután megint visszatérhetünk valósá gos, de nem egész

centiméter élhosszúságú téglatestez, kiszámíthatják ezeknek a

térfogatát különféle közelítésben és

______________ x Lásd: fent i.m. 143-145. old. xx Lásd: fent i.m. 143. old.

- 243 -

113. ábra

különféle mértékegységekben. Azt a gondolatot, hogy a "szélességszer

hosszúságszor magasság" kiszámítási mód bármekkora él ő téglatestre

érvényes, fokozatosan lehet a tanulókhoz, képessége ikhez és

igényeikhez mérten, közel hozni. /Vö. a téglalapról a 238.- 239.

oldalon mondottakkal./

Az átdarabolás és kiegészítés gondolata a hasábok t érfogatának

kiszámításában ismét hasznos, de gúlákra általában már nem

alkalmazható. Bolyai Farkas tételének térbeli analo gonja ugyanis nem

érvényes, egyenl ı térfogatú poliéderek általában nem darabolhatók át

egymásba /és egybevágó poliéderekkel egybevágó poli éderekké sem

egészíthet ık ki/. A gúla térfogatának a kiszámításához er ısebb

eszközök szükségesek. Egyszer ő speciális eseteken át /pl. a kocka

három vagy hat egybevágó gúla bontásával/ könnyen p lauzibilissé

lehet tenni a gúla térfogatképletét általános iskol ai szirten is.

Azt, hogy a körhenger és a körkúp térfogatát ugyanú gy

számíthatjuk ki, mint a hasábét ill. a gúláét, könn yen elfogadják a

tanulók annak alapján, hogy az alaplapjuk sokszögek kel - például

szabályos sokszögekkel - tetszésszerinti pontosságg al megközelíthet ı

a nélkül is, hogy az utóbbi fogalom magyarázatába r észletesebben

belemennénk. Tartózkodjunk azonban az olyan vulgari záló

megállapításoktól, hogy "a kör végtelen sok oldalú szabályos

sokszög" vagy "a henger végtelen sok oldallapú hasá b".

A legnehezebb esetek, mint említettük, a görbe vona lak hossza

és a görbe felületek területe /felszíne/. Nehézsége t okoz egyrészt

az, hogy a hosszúság-, illetve területegység

nem illeszkedik hozzájuk, tehát "nemcsak a

széleken kell közelíteni" másrészt az, hogy

a két határ közé szorítás távolról sem olyan

egyszer ő ezekre, mint síkidomok területére

és testek térfogatára. Ezek a problémák

azonban általános iskolai fokon általában

fel sem vet ıdnek. A szabályos hatszög

tanulmányozása után egy ilyen rajzról /114.

ábra/ le tudják olvasni, hogy a kör kerülete

a sugarának a hatszorosa és a nyolcszorosa közé esi k x. Elég

természetes gya-

______________ x Er ıs eszközökkel bebizonyítható, hogy konvex idomokat

határoló görbék közül a tartalmazottnak a kerülete mindig kisebb,

mint a tartalmazóé, s ıt elég kikötni a bels ır ıl, hogy

- 244 -

114. ábra

korlati probléma megvizsgálni, hogy az átmér ı fele helyett a

harmadát, negyedét, ötödét stb. véve körz ınyílásba, hányadikra érünk

vissza. /Ha a szakasz egyenl ı részekre osztása még nehézséget okoz,

egy szakaszt többszöri felmérésével juthatnak az át mérıhöz./ Akik

elég gondosan szerkesztenek, azt tapasztalják, hogy a hetedrésszel a

huszonkettedik lépésre majdnem pontosan visszajutna k a kiindulási

pontra. Másrészt azt is észreveszik, hogy a húrok e kkor már igen

kevéssé térnek el az ívekt ıl. Ez a megfigyelés elméleti szempontból

értéktelen, mert sem alsó, sem fels ı közelítést nem ad. Arra mégis

jó, hogy a tanulók tapasztalati úton eljussanak arr a a

megállapításra, hogy a kör kerülete az átmér ıje hetedének körülbelül

a 22-szerese, vagyis az átmér ıjének körülbelül 22/7 része. Osztással

azt kapják, hogy két tizedes pontosságig 22/7 ≈ 314.

Meggondolkoztatja ıket, hogy a kör kerületének és területének a

kiszámítása /legalábbis körülbelül/ ugyanarra a szá mra vezet, és

érdekelni kezdi ıket, "nincs-e emögött valami." Ekkor helyénvaló

megmutatni azt a heurisztikus okoskodást, amit a 11 5. ábra mutat.

Főzzük azonban hozzá, hogy ez nem bizonyítás . Bármilyen keskeny

körcikkekre vágjuk is a kört, sohasem állíthatunk ö ssze bel ılük

paralelogrammát, csak "valami olyanféle idomot." Az idom

szélességének /az egymáshoz csatlakozó húrok összeg ének/ és

magasságának a szorzata sohasem egyenl ı a területével és a

szélessége sohasem egyenl ı a kör kerületével. Az ábrá-

______________

Lábjegyzet folytatása.

konvex. A tanulókat nem annyira ez lepi meg, többny ire inkább

az, hogy egyáltalán van ilyen megszorítás; ugyanis a területre

érvényes összefüggést meggondolás nélkül átviszik a kerületre. Ha

viszont erre példákat mutatunk, akkor esetleg kétsé gessé válik

el ıttük, hogy igaz-e ez mégis konvex esetben. Ha siker ült ezt

kétségessé tennünk, akkor megmondhatjuk, hogy igen, de nem könny ő

belátni. Ábránk esetében aligha merülnek fel a tanu lókban ilyen

kételyek. Nyilvánvaló a számunkra, és kísérletileg is igazolni

tudják, hogy a kör köré feszített gumizsinórt jobba n ki lehet

nyújtani, hogy a négyzet alakját vegye fel, s ha el engedik,

összehúzódva megint a körre kerül. Ez ugyanolyan sz emléletes tény a

számukra, mint az, hogy a körb ıl csak a szabályos hatszög csúcsait

hagyjuk meg, akkor a gumizsinór, ha eléggé feszes, ennek a

hatszögnek az alakját veszi fel. A kétféle evidenci a között lehet

elméleti meggondolás alapján különbséget tenni /"el emibb" tény, hogy

két pontot összeköt ı vonalak közül a legrövidebb a szakasz, mint a

konvex görbékre vonatkozó, itt kihasznált összefügg és/, de ez a

tanulók evidencia-élményét, amely nem elméleti megf ontolásokból,

hanem gyakorlati tapasztalatokból táplálkozik, alig ha érinti.

- 245 -

ból sejthet ı összefüggés a kör kerülete és területe közt mégis igaz,

mert nincs olyan kis szám, aminél az eltérés kisebb é ne válna, ha a

körcikkeket elég keskenyekre vesszük. Ezt azonban n em könny ő

belátni. Hogy az okoskodás ebben a formájában elfog adhatatlan, azt

frappánsan mutatja, hogy egy eléggé analóg okoskodá snak az eredménye

is hamis: ha a félgömb felszínét osztjuk fel az "eg yenlít ıjével" és

egyre s őr őbben felvett "délkörökkel" olyan gömbháromszögekre,

amelyek "egyre inkább" kiteríthet ık r π/2 magasságú háromszögekké,

akkor ezeknek az együttes területét kiszámítva r 2 π2-nek adódik az r

sugara gömb felszíne. Mindenesetre jó vigyázni ezze l az

ellenpéldával, nehogy visszafelé süljön el, és a di ákok

tanácstalanokká váljanak, hogy most már a "meggy ızı módon igazolt" t

= r 2 π2 képlet fejezi-e ki a gömb felszínét, vagy az esetl eg sokkal

kevésbé meggy ızıen igazolt, talán éppen csak közölt t = 4r 2π képlet.

Általános iskolában való említése ezért legalábbis meggondolandó.

/Egyébként az általános iskolában az új tanterv sze rint a gömb

felszíne még csak említésre sem kerül./

A henger és a kúp felszíne a kör kerülete után nem okoz

nehézséget. A kiterítés gondolata a tanulók számára tapasztalataik

alapján középiskolai fokon is természetes, nem okoz gondot nekik az

itt fellép ı elvi nehézség, x és még az is kérdéses, hogy a leg-

______________ x Lásd Hajós /1960/, 227-228.oldal.

- 246 -

115. ábra

többjük megértené-e, mi itt a nehézség, ha megpróbá lnánk

megmagyarázni nekik. Egyet lehet tehát érteni ezzel a

megállapítással: "Semmiképpen nem kifogásolható ... , hogy pl.

középiskolában a kiterítéssel végzett bizonyítás sz erepel". x

Tulajdonképpeni térgeometria

A "tulajdonképpeni" szóval a térgeometria számításo s részét ıl

/a felszín- és térfogatszámítástól/ akarjuk elhatár olni a nem-

számításos részt. Tulajdonképpeni térgeometriára az általános

iskolában a jelenlegi tanterv szerint jóformán nem is kerül sor.

Csak a téglatest, a kocka és a négyzetalapú egyenes gúla hálózata és

ezekkel kapcsolatban a csúcs, él és lap, a mer ıleges, párhuzamos és

kitér ı élek, mer ıleges és párhuzamos lapok fogalma képviseli ezt a

témakört. Annak az elvnek az alapján, hogy mindenki t képességei

szerint kell foglalkoztatnunk /vö. Szemelvény gy őjtemény, 451.,

452., 455. old./, nem is csupán a legjobb és jobb, hanem még a

közepes tanulókat is célszer ő ellátnunk bizonyos kiegészít ı

anyaggal, ha nem akarjuk, hogy a térszemléletük és a térgeometriai

gondolkozásuk sorvadásnak induljon az általános isk olában töltött

évek alatt. Mindenek el ıtt a tantervi anyagot kell érdekesebbé

tennünk minden tanuló számára. Ehhez azonban szinte elengedhetetlen,

hogy egy kicsit általánosabb szemszögb ıl dolgozzuk fel. Jó alkalmat

adnak erre a testhálózatok. Hány él mentén kell szé tvágniuk egy-egy

/kezükben lev ı!/ kockát, gúlát vagy más poliédert, hogy kiteríthe t ı

hálózathoz jussanak? Jelöljék meg színessel, milyen élek mentén

akarják elvégezni a szétvágást! Vágják szét csakugy an /ollóval,

bicskával, borotvapengével, aszerint, hogy minek a használatát

vezetjük be vagy engedélyezzük/, így gy ızıdjenek meg arról, helyes

volt-e a sejtésük. Milyen más hálózatokat tudnak mé g összeállítani a

kapott lapokból? Hány eset lehetséges? Mutassunk ne kik vegyesen

hibás és helyes hálózatokat, döntsék el, melyikb ıl lehet poliédert

összeilleszteni - és milyent -, melyikb ıl nem. Ha vastag

keménypapírból vagy vékony furnérlemezb ıl készítjük /vagy

készíttetjük/

______________ x i.m. 228. oldal.

- 247 -

el a lapokat és leukoplasztot vagy m őanyag ragasztószalagot

/diafilm-ragasztót/ használunk az egybeillesztésükh öz, akkor gyorsan

el ı tudunk állítani sokféle variánst. Persze jó érzés, ha valaki

el ıtt egy órán át tartó pepecselés után ott van a szép fehér

papírból készült tisztára sikerült kocka vagy oktaé der, az élei

színes papírcsíkkal egyenletesen leragasztva - de e zzel a

technikával nem lehet nagyon messzire jutni. Ha órá k helyett percek

/esetleg másodpercek/ alatt tudnak poliédereket öss zeállítani és

szétszedni, akkor a sejtések kimondásának és a tapa sztalati

ellen ırzésnek gyors váltakozása válik lehet ıvé, márpedig ez a

matematikai gondolkozás fejlesztése szempontjából i gen fontos. A

hálózatokkal kapcsolatban vessünk fel ilyen problém ákat is: mely

élek lesznek a poliéderen párhuzamosak, mer ılegesek, metsz ık,

kitér ıek, melyek fognak egybeesni; mely lapok lesznek pár huzamosak,

melyek fogják metszeni egymást,.melyek kerülnek egy más mellé?

/Vegyék észre ık a kapcsolatot az élekre, ill. a lapokra utoljára

feltett kérdés között. Kerüljük el, hogy a szavaink ból kiderüljenek

ezek a kapcsolatok, de ne is higgyük, hogy mindenki el ıtt azonnal

nyilvánvalóak. A gyerekek néha hihetetlenül egyszer ő összefüggések

el ıtt is megtorpannak, hozzá kell segítenünk ıket, hogy ık maguk

tudatosítsák ezeket./

A tananyagtól függetlenül vagy a tananyaghoz lazább an

kapcsolódva is célszer ő id ınként olyan feladatokkal foglalkozni,

amelyek alkalmasak a tanulók térszemléletének a fej lesztésére.

Forrásmunkaként felhasználhatjuk például a következ ı könyveket:

Kárteszi /1951/, Steinhaus /1951/, Rasszohin-Celins zkij /1951/.

Példaképpen bemutatunk néhány térszemlélet-fejleszt ı feladatot:

Egy kockát pirosra festünk, aztán szétvágjuk 27 egy bevágó

kockára. Hány kis kockának van 3, 2, 1, 0 piros lap ja. /Ha megvan a

helyes felelet, érdemes tudatosítani, hogy a kapott számok

megegyeznek a kocka 0, 1, 2, 3 dimenziós alkotóelem einek számával; a

3 dimenziós alkotóelem maga a test./

A "HUS"-probléma; egy térgörbe képe három egymásra merıleges

irányból a következ ı:

Mi lehet a térgörbe? Nem beszélünk

felül-, el ıl-, oldalnézetr ıl, csak a

merılegeset kötjük ki. Így több-

- 248 -

116. ábra

féle megoldási lehet ıség van és ezek ebben az esetben két lényegesen

különböz ı megoldáshoz is vezetnek:

Kulcsszavak további ilyen problémákhoz /kerek bet ők helyett

meghatározott szögletes változatokkal/: TOL, TUS, H UZ, UTO, UHU,

EZT, FEL, KEL, LEN, NEM, NON, NOT, HET. A gyerekek hamar rájönnek,

hogy a megoldás akkor sem mindig egyértelm ő, ha a három mer ıleges

irányból látott alakzat helyzetét rögzítjük, ha "ne m szabad

elforgatni" a képet. Például a HUZ problémának abbó l a megoldásából,

amelyet rendszerint el ıször találnak meg, el lehet hagyni néhány

részletet, és még mindig megoldás marad.

Az utóbbi megoldásban egyik irányból nézve sincsene k fed ı

szakaszok, nem hagyhatunk el bel ıle olyan szakaszt, hogy megoldás

maradjon: "minimális" megoldás. Az el ıbbihez viszont nem tehetünk

hozzá úgy szakaszt, hogy megoldás maradjon: "maximá lis" megoldás. Ha

elképzeljük a megadott

keresztmetszet ő hengerfelületek

áthatását, a maximális megoldáshoz

jutunk; ez egyébként az ilyen

feladatok sablonos megoldási módja.

Hamar rájönnek a gyerekek,

különösen, ha maguk is kedvet kapnak

az ilyen feladatok gyártására, hogy

három ilyen feltétel nemcsak kevés

lehet az alakzat egyértelm ő

meghatározásához, hanem sok is: két ilyen feltétel már

meghatározhatja az alakzatot, s a harmadik, ha nem jól választjuk,

ennek többnyire ellentmond. Lehet tehát olyan felad atokat is adni:

ismerjük egy térgörbe két képét, hatá-

- 249 -

117. ábra

118. ábra

rozzuk meg a harmadikat. Az egyik legszebb ilyen fe ladat az,

amelyben a két kép egy kör illetve egy vele egyenl ı sugarú félkör

/csak az ív, átmér ı nélkül!/. A feladat azért szép, mert a harmadik

képben, meglep ı módon, nincs körív, egyenes szakaszokból áll.

A térgörbék több szempontból is igen alkalmasak az ilyen

rekonstruálási problémák els ı megközelítésére /vonalakból állnak,

mint a rajzaink, a láthatóság nem okoz sok nehézség et, variációs

lehet ıség b ıven van/. De ez mégis csak egy út a sok közül. Sokf éle

módon lehet egy problémakört érdekessé tenni - még többféle módon

unalmassá -, s annak is többféle módja van, hogy ne álljunk meg a

szórakoztató feladatoknál, hanem elmélyítsük az ált aluk felidézett

gondolatokat.

- 250 -

TARTALOMJEGYZÉK Oldal

1. Matematikatanítás az alsó tagozaton

Áttekintés...................................... 11 Számtanóra egy els ı osztályban, félév után...... 12 A fejl ıdés várható iránya az alsó tagozaton..... 18

2. Természetes számok

Áttekintés. Mit értünk természetes számon?...... 22 Számok és jeleik................................ 23 Számrendszer.................................... 24 Írásbeli m őveletek.............................. 26 Fejszámolás. Kerekítés, becslés................. 33 A mőveletek összefüggései. Elnevezések........... 35 A szorzandó és a szorzó sorrendje............... 37 A mőveletek eredményének változása /vagy válto- zatlansága...................................... 39 Átalakítás a m ővelet elvégzése el ıtt............ 40 A mőveletek sorrendje, zárójelek használata..... 41 Szöveges feladatok megoldása.................... 42 Arányossági következtetések..................... 47 Számelméleti ismeretek az általános iskolában... 51 Logikai vonatkozások............................ 53 További számelméleti ismeretek.................. 55

3. Törtszámok

Helyzetkép...................................... 58 A valós számok osztályozása. Alakjukban külön- böz ı számok..................................... 59

- 251 -

Oldal

Törtszám, tört, hányados........................ 61 A tört kétféle értelmezése. Részekre osztás, benn- foglalás........................................ 62 Arány........................................... 65 Törtek b ıvítése, egyszer ősítése, összeadása, ki- vonása.......................................... 67 Törtek szorzása és osztása...................... 71 Külön szempontok a tizedes tört írásmóddal kap- csolatban....................................... 75 Százalékok...................................... 77 Százalékos feladatok ismétlése.................. 80 Egyéb szöveges feladattípusok................... 83 Közelít ı számítások............................. 88 Logarléc, számológép............................ 92

4. Negatív számok Áttekintés...................................... 95 A negatív számok modelljei. Racionális számok összeadása, kivonása............................ 97 Út a m őveletekhez a szabályosság keresésén át... 102 Szorzás és osztás a valóságra vonatkoztatva..... 105 A negatív számok és az algebra.................. 107 Összevonás...................................... 109

5. Az algebratanítás kezdete

"Számtan" és "algebra".......................... 111 Átmenet a számtanból az algebrába............... 115 A változók /ismeretlenek/ bevezetése. A keret-je- lölés........................................... 118 A rajzok szerepe................................ 120 Azonos átalakítások............................. 124 Lebontás, megfordítás, mérlegelv................ 126 Formálisabb fogalmazások /átvitel, elhagyás.../ Ekvivalencia.................................... 133 Szöveges feladatok megoldása egyenlettel........ 136 A hatványozás................................... 141 Halmaz, reláció, függvény....................... 150 Függvények megadása táblázattal, grafikonnal, for- mulával......................................... 156

- 252 -

Oldal

Út a formula felé: a törvényszer őség megfigyelése, megfogalmazása................................. 160 Grafikonolvasás................................ 163 Szakaszonként lineáris függvények /táblázattal, grafikonnal.................................... 164 Feladatmegoldás grafikonok segítségével........ 166 Egyenletmegoldás grafikus ábrázolással egybekötve 173 Egyenes és fordított arányosság, lineáris függvény /formulával is/................................ 177

6. A geometriatanítás kezdete

A geometria kapcsolata más tárgykörökkel, külön- álló helyzete................................... 182 A geometriatanítás szemléletes foka............. 185 A geometriai fogalmak kialakítása, a definíciók megformálása.................................... 187 Éles és elmosódott határvonalú fogalmak......... 193 A fogalmak rendszerezése........................ 195 A "bizonyító" geometria kezdete................. 201 A jó és a rossz bizonyítások megkülönböztetése.. 205 A szerkesztések és egyéb manuális tevékenység sze- repe............................................ 210 Egy 6. osztályos geometriaóra................... 215 "Mértani helyek"................................ 220 Egybevágóság, hasonlóság........................ 225 Hosszúság, terület, térfogat.................... 233 Tulajdonképpeni geometria....................... 247

- 253 -

13,- Ft

J 3-229