1 Verifiche DeformativeLe strutture meccaniche si progettano a massima sollecitazione e si verificanoper la massima deformazione.Deformazioni "eccessive" possono compromettere la corretta funzionalit del

sistema. Le massime deformazioni tollerabili dipendono dalla tipologia di ap-plicazione.

2 Massima Deformazione FlessionaleDalla teoria di de Saint Venant deriva che una trave sottoposta a flessione siincurva secondo un arco di circonferenza con curvatura

1

= M

EJ(1)

dove M il momento flettente, E il modulo di Young e J il momento di inerziadella sezione trasversale rispetto al suo asse baricentrico, e il raggio dicurvatura.Considerando piccole deformazioni rispetto alla configurazione iniziale, la

curvatura localmente pu essere descritta come

d2y (z)dz2

' 1= M (z)

EJ(2)

dove lasse longitudinale della trave coincide con lasse z, mentre y (z) ladeflessione trasversale. Assumendo EJ costante, e derivando una volta rispettoa z

d3y (z)dz3

' 1EJ

dM (z)dz

= T (z)EJ

(3)

essendo per lequilibrio del concio di trave di lunghezza dz

dM (z)dz

= T (z) (4)

Derivando ulteriormente rispetto a z, segue

d4y (z)dz4

' 1EJ

dT (z)dz

= +q (z)EJ

(5)

essendo per lequilibrio del concio di trave di lunghezza dz

dT (z)dz

= q (z) (6)

Lequazione della linea elastica diventa quindi

d4y (z)dz4

= +q (z)EJ

(7)

1

o pi in generaled4

dz4(EJy (z)) = +q (z) (8)

se E e J variano con z.Lintegrazione di (2), (3), (7) e (8), con le opportune condizioni al contorno,

permette di definire univocamente la deformata e quindi di valutare esplicita-mente le massime deflessioni y (z) e rotazioni (z) = y0 (z) lungo la linea dasse.Generalmente nella progettazione e costruzione della macchine si consider-

ano carichi concentrati anche nei casi in cui il carico palesemente distribuito(accoppiamenti prismatici e cilindrici; ruote dentate, cuscinetti, etc. etc.). Lavariazione del momento flettente lungo la linea dasse, o lungo tratti della lineadasse, nota in forma semplice e si usa la (2) come equazione della linea elastica.Le condizioni al contorno derivano dallimporre la continuit degli sposta-

menti e delle rotazioni nelle sezioni comuni a due tratti adiacenti, e dallimporrele condizioni di vincolo che limitano le deflessioni (carrello e appoggio) e/o le ro-tazioni (incastri). Ad esempio, se la trave costituita da tratti aventi dierenteEJ , il problema scomposto in sottodomini corrispondenti a tronchi di traveaventi EJ costante. Le condizioni di continuit portano quindi a scrivere nellesezioni comuni al tronco di sinistra () e di destra (+)

y (z) = y+ (z) (9)

(z) =dy (z)dz

=dy+ (z)dz

= + (z) (10)

Limite sulle Massime Deformazioni FlessionaliI valori riportati sono solo orientativi, il limite dipende dallesperienza e dal

tipo di applicazione

ymaxL

13000

; max 1

1000rad ' 0.06 deg

2.1 Massima Deformazione Torsionale

Dalla teoria di de Saint Venant deriva che due sezioni distanti L lungo la lineadasse in una trave sottoposta a torsione subiscono una rotazione relativa

= MtGJo

L; Jo =D4

32(11)

dove G il modulo di elasticit tangenziale, Jo il momento di inerzia polare,Mt il momento torcente applicato. G esprimibile in funzione di E (modulo diYoung) e v (coeciente di Poisson)

G = E2 (1 + )

(12)

e per gli acciai si assume

E ' 210GPa; G ' 80GPa; ' 0.3

2

Se la trave costituita da tratti aventi dierente GJo, il problema scompostoin sottodomini corrispondenti a tronchi di trave aventi GJo costante, per cuiper il tronco i-esimo

i+1 = i +Mt

LGJo

i

(13)

La massima rotazione torsionale della trave quindi determinata sommando icontributi dei vari tronchi

= n o =nX

=1

MtLGJo

i

(14)

anche Mt pu variare lungo lalbero.Limite sulle Massime Deformazioni TorsionaliIl valore riportato solo orientativo, il limite dipende dallesperienza e dal

tipo di applicazioneL

max

0.25Deg/m ' 105 rad/mm

3