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Problemas de Teoría de JuegosFichero W856.doc

Winston página 856, problema 1

ENUNCIADO

Dos empresas competidoras han de decidir si ubican una tienda nueva en un punto A, B, o C. Hay 52 clientes posibles para las dos tiendas. Veinte viven en el pueblo A, veinte en el pueblo B y doce en el pueblo C.

20 20 12 A B C

Cada cliente irá de compras a la tienda más cercana. Si un cliente está equidistante de ambas tiendas, suponga que hay 1/2 de probabilidad que vaya de compras a cada una de ellas.Cada empresa desea maximizar el número esperado de clientes que hagan sus compras en su tienda. ¿Dónde debe ubicar cada empresa su almacén? (AB = BC = 10 millas ).

SOLUCIÓN

Estamos ante un juego bipersonal con suma constante. La matriz del juego que indica el número de clientes que va a tener cada supermercado sería la siguiente:

A B CA ( 26 , 26 ) ( 20 , 32 ) ( 30 , 22 )B ( 32 , 20 ) ( 26 , 26 ) ( 40 , 12 )C ( 22 , 30 ) ( 12 , 40 ) ( 26 , 26 )

Si ahora nos quedamos nada más con las ganancias del jugador I, tendríamos

A B CA 26 20 30B 32 26 40C 22 12 26

Por último podemos simplificar aun más nuestro juego si restamos a todos los datos 26, con lo cual estaríamos considerando como ganancia (pérdida) del jugador I (jugador 2) el número de clientes que consigue por encima (por debajo) del número medio esperado de clientes que es 26.

A B CA 0 -6 4B 6 0 14C - 4 -14 0

Olga Diez LázaroCurso 2002 – 2003

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Para resolverlo, lo primero que hemos de comprobar es ver si existen estrategias dominadas tanto para el jugador I como para el jugador II. Es decir, probar si para el jugador I existe alguna fila r tal que:

arj asj para j = A, B, C.

y probar si para el jugador II existe alguna columna p, tal que:

aip aiq para i = A, B, C.

En nuestro juego podemos observar que para el jugador I las estrategias una y tres están dominadas por la estrategia dos. Análogamente, para el jugador II también las estrategias una y tres están dominadas por la dos, por lo tanto podemos eliminar de la tabla de juegos las filas una y tres y las columnas una y tres. Quedándonos como valor del juego

v = 0cosa que era de esperar por estar ante un juego simétrico (su matriz asociada es antisimétrica).

Supongamos que no nos hubiéramos dado cuenta de la existencia de estrategias dominadas. También podemos resolverlo utilizando el principio conservador de Von Neumann, es decir, calculando

v1 = maxi ( minj aij ) = maxi( -6 , 0 , -14 ) = 0v2 = minj ( maxi aij ) = minj( 6, 0 , 14 ) =0

Obteniendo el mismo resultado que antes.

Podemos concluir por tanto que ambas empresas deben ubicar sus tiendas en la ciudad B.


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ENUNCIADO

Un total de 90.000 clientes van a los supermercados Rubí y Diamante. Para animar a los clientes a entrar, cada almacén regala un artículo. Cada semana, el artículo de regalo se anuncia en el periódico del lunes. Naturalmente, ninguno de los almacenes conoce qué artículo va a regalar el otro en esta semana. Rubí está pensando dar una caja de bebidas o medio galón de leche. Diamante está pensando regalar una libra de mantequilla o medio galón de jugo de naranja. Para cada elección de artículos el número de clientes que entran al almacén Rubí durante esta semana aparece en la tabla siguiente:

Mantequilla Jugo de naranjaBebidas 40000 50000Leche 60000 30000

Cada almacén desea elevar al máximo su número esperado de clientes durante esta semana. Mediante la teoría de juegos determine una estrategia óptima para cada supermercado y el valor del juego. Interprete el valor del juego.

SOLUCIÓN

Antes de resolverlo, y para simplificar dicha resolución, podemos dividir todos los datos de la tabla entre 10000, pues sabemos que esto no afectará a la solución de nuestro problema salvo que tendremos que multiplicar al final el valor del juego por 10000.Por tanto, la tabla con la que vamos a operar es:

Mantequilla Jugo de naranjaBebidas 4 5Leche 6 3

Tenemos un problema bipersonal con suma cero en el que no existen estrategias dominadas, es decir, no encontramos ninguna fila r ni ninguna columna s tales que:

arj asj para j =A, B, C.aip aiq para i =A, B, C.

Luego intentaremos resolverlo utilizando el principio conservador de Von Neumann, es decir, calculando:

v1 = maxi (minj aij ) = maxi( 4 , 3 ) = 4v2 = minj (maxi aij ) = minj( 6 , 5 ) = 5

Vemos que v1 v2, luego estamos ante un problema de estrategias mixtas, que podemos resolver gráficamente y analíticamente.Si hacemos la resolución gráfica:


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Sea A la matriz asociada a nuestro juego, es decir

a11 = 4 a21 = 6a12 = 5 a22 = 3

Si representamos en un gráfico dichos puntos:

x1*

podemos obtener la solución gráfica a nuestro problema.

Si resolvemos de forma analítica tenemos que calcular:= a11 + a22 – a12 – a 21 = 4 + 3 –5 – 6 = – 4

x1* = =

y1* = =

v*= = 4.5

Si multiplicamos por 10.000 este resultado obtenemos entonces el verdadero valor del juego: v*= 45.000


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ENUNCIADO

Se tiene el juego entre dos personas con suma cero de la tabla:

1/2 -1 -1-1 1/2 -1-1 -1 1

a) Formule la programación lineal de cada jugador.b) Se nos dice que la estrategia óptima del jugador 1 tiene x1*>0, x2*>0 y x3*>0.

Determine el valor del juego y las estrategias óptimas de cada jugador.c) Suponga que el jugador de columnas sigue la estrategia no óptima (1/2,1/2,0).

Demuestre cómo puede ganar este jugador una recompensa esperada que sea mayor que el valor del juego.

SOLUCIÓN

a) La formulación del problema sería la siguiente:

Jugador1: Jugador2:Maximizar u Minimizar w

x1 - x2 - x3 u y1 - y2 - y3 w

-x1 + x2 - x3 u -y1 + y2 - y3 w

-x1 - x2 + x3 u -y1 - y2 + y3 w x1 + x2 + x3 = 1 y1 + y2 + y3 = 1 x1 , x2 , x3 0 y1 , y2 , y3 0

b) Como x1*>0, x2*>0 y x3*>0 sabemos entonces por el teorema débil de holgura complementaria que se verifican las siguientes igualdades :

y1 - y2 - y3 = w

-y1 + y2 - y3 = w

-y1 - y2 + y3 = wy1 + y2 + y3 = 1

Resolviendo el sistema encontraríamos la solución , pero hay un forma mas sencilla de resolver el problema. Si sumamos 1 a la matriz del juego obtenemos una matriz diagonal y en ese caso la solución es trivial. La matriz es:

A=


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Y ahora el sistema de ecuaciones a resolver es:

y1 = w

y2 = w

2 y3 = wy1 + y2 + y3 = 1

Para los juegos con matriz diagonal la solución es:

La solución al problema es : w = = u

Aunque en realidad el valor del juego sería: v* = -- 1 = --

Obteniendo así las estrategias óptimas para cada jugador: x* = ( , , ) = y*

c) Estrategia del jugado II: ( , , 0 )

Sabemos que E( x, y ) = x A y.

Bastaría con que el jugador 1 tomase como estrategia ( 1, 0, 0)



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ENUNCIADO

Determine estrategias óptimas para cada jugador y el valor del juego de dos personas con suma cero de la tabla:

20 1 212 10 424 8 -2

SOLUCIÓN

Estamos ante un problema bipersonal con suma cero en el que existen varias estrategias dominadas, es decir, podemos encontrar varias filas r y columnas s tales que:

arj asj para j = 1, 2, 3.aip aiq para i = 1, 2, 3.

Así, por ejemplo, vemos que para el jugador 2 la estrategia 1 está dominada por las estrategias 2 y 3, podemos por tanto eliminar la primera columna

20 1 212 10 424 8 -2

Por lo tanto obtendríamos como matriz de juego:

1 210 48 -2

En esta nueva tabla vemos que ahora para el jugador 1 las estrategias una y tres están dominadas por la estrategia dos, quedando entonces como solución del problema

v*=4y como estrategias óptimas tendríamos que el jugador 1 escogería la estrategia dos y el jugador dos la estrategia tres.

Este problema también podemos resolverlo utilizando el principio conservador de von Neumann, es decir, calculando

v1 = maxi ( minj aij ) = maxi( 1, 4, 2) = 4v2 = minj ( maxi aij ) = minj( 24, 10, 4) = 4

llegando a la misma solución de antes.



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ENUNCIADO

Airway, una cadena de tiendas de departamentos del oeste medio, y Corvett, una cadena de departamentos del este, estudian si aumentan su cobertura geográfica o no. La única manera viable por la que se puede llevar a cabo la expansión es con una cadena de tiendas en la zona de la otra cadena. Si no se expande ninguna cadena, las ganancias de Airways serán de 3 millones de dolares y la de Corvett de 2 millones de dólares. Si se expande Airways y no se expande Corvett, las ganancias de Airways serán de 5 millones de dólares y Corvett perderá 2 millones de dólares. Si Airways no se expande y Corvett sí, Airways perderá 1 millón de dólares y Corvett ganará 4 millones de dólares. Por último, si ambas cadenas se expanden, Airways ganará 1 millón de dólares y Corvett 500.000 dólares.Determine los puntos de equilibrio, si los hay, para este juego.

SOLUCIÓN

Este es un problema de estrategias mixtas. La matriz del juego que indica la ganancia o pérdida que va a tener cada cadena de tiendas de departamentos expresada en millones sería la siguiente:

No Exp. Exp.No Exp. ( 3, 2 ) ( -1, 4 )

Exp. ( 5 , -2 ) ( 1, ½ )

Para este juego el único punto de equilibrio que existe usando estrategias simples es aquel en que ambas cadenas se expanden, esto es debido a que es el único punto donde al cambiar de estrategia ambos jugadores sus ganancias empeoran.

Otra forma de encontrar el punto de equilibrio operativamente es:

Sea A la matriz del jugador I y sea B la matriz del jugador II :

A = B =

x* = = 3.

La representación de la solución es:

( 0, 0) 3

Entonces el punto de equilibrio es el x* = ( 0, 1) y* = ( 0, 1), es decir, el par de estrategias simples que ya conocíamos.


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