การยกกำาลง

การยกกำาลง คอการดำาเนนการทางคณตศาสตรอยางหนง เขยนอยในรป an ซงประกอบดวยสองจำานวนคอ ฐาน a และ เลขชกำาลง (หรอ กำาลง) n การยกกำาลงมความหมายเหมอนการคณซำา ๆ กน คอ a คณกนเปนจำานวน n ตว เมอ n เปนจำานวนเตม บวก

คลายกบการคณซงมความหมายเหมอนการบวกซำา ๆ กน

โดยปกตเลขชกำาลงจะแสดงเปนตวยกอยดานขวาของฐาน จำานวน an อานวา a ยกกำาลง n หรอเพยงแค a กำาลง n ในภาษาองกฤษอาจเรยกการยกกำาลงบางตวตางออกไปเชน a2 จะเรยกวา square และ a3 เรยกวา cube เปนตน เมอตวยกไมสามารถใชไดเชนในขอความแอสก กมรปแบบการเขยนอยางอนทใชกนอาท a^n และ a**n เปนตน

เลขยกกำาลง an อาจนยามให n เปนจำานวนเตมลบกไดเมอคา a ไมเปนศนย ตามปกตไมสามารถกระจายจำานวนจรง a กบ n ไดทก ๆ คาโดยธรรมชาต แตเมอฐาน a เปนจำานวนจรงบวก จำานวน an สามารถนยามเลขชกำาลง n ไดทกคาแมแตจำานวนเชงซอนผานฟงกชนเลขชกำาลง ez ฟงกชนตรโกณมตกสามารถเขยนใหอยในรปของการยกกำาลงได

การยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนเมทรกซใชสำาหรบการหาคำาตอบของระบบสมการเชงอนพนธเชงเสน

การยกกำาลงกใชงานในความรสาขาอนอยางแพรหลายเชนเศรษฐศาสตร ชววทยา เคม ฟสกส และวทยาการคอมพวเตอร ในการใช

งานคำานวณอยางเชนดอกเบยทบตน การเพมประชากร จลนพลศาสตรเคม พฤตกรรมของคลน และการเขารหสลบแบบกญแจอสมมาตร เปนตน

กราฟของสมการ y = ax ในฐาน a ตาง ๆ: ฐาน 10 (สเขยว), ฐาน e (สแดง), ฐาน 2 (สนำาเงน), และฐาน ½ (สฟา) เสนโคงแตละเสนผานจด (0,1) เนองจากจำานวนทไมเปนศนยใด ๆ ยกกำาลง 0 จะได 1 และท x = 1 คาของ y จะเทากบฐาน เนองจากจำานวนใด ๆ ยกกำาลง 1 จะไดจำานวนเดม

เลขชกำาลงเปนจำานวนเตม

การดำาเนนการยกกำาลงดวยเลขชกำาลงทเปนจำานวนเตม เปนขอกำาหนดทจำาเปนของพชคณตมลฐานเทานน

เลขชกำาลงเปนจำานวนเตมบวก

นพจน a2 = a·a เรยกวา square หมายถงรปสเหลยมจตรส (ดเพมทการยกกำาลงสอง) เพราะรปสเหลยมจตรสทมดานยาวดานละ a หนวย มพนทเทากบ a2 ตารางหนวย

นพจน a3 = a·a·a เรยกวา cube หมายถงทรงลกบาศก (ดเพมทการยกกำาลงสาม) เพราะทรงลกบาศกทมดานยาวดานละ a หนวย มปรมาตรเทากบ a3 ลกบาศกหนวย

เลขชกำาลงเปนตวบงบอกวาจะนำาฐานมาคณกนกตว (ไมใชคณกนกครง) ตวอยางเชน 35 = 3·3·3·3·3 = 243 ดงนฐาน 3 ปรากฏ 5 ครงในการคณเพราะเลขชกำาลงเปน 5; คา 243 เปน กำาลง ของ 3 คอผลลพธทไดจาก 3 ยกกำาลง 5

การยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนเตมบวก อาจนยามไดจากความสมพนธเวยนเกด an+1 = a·an โดยใหเงอนไขเรมตนเปน a1 = a

เลขชกำาลงเปน 0 หรอ 1

เนองจาก a1 หมายถงผลคณของ a เพยง 1 ตว ซงถกนยามใหมคาเทากบ a

จากความสมพนธเวยนเกดอกรปแบบหนง an − 1 = an/a เมอสมมตให n = 1 จะได a0 = 1

หรอกลาวอกทางหนงวา กำาหนดให n, m, และ n−m เปนจำานวนเตมบวก (โดยท a ไมเทากบศนย) จะไดความสมพนธ

ในกรณท n และ m มคาเทากน สมการดงกลาวจะกลายเปน

เนองจากตวเศษและตวสวนมคาเทากน ดงนนจงสามารถนยามคาของ a0 = 1 นำาไปสกฎสองประการ

จำานวนใด ๆ ยกกำาลง 1 จะไดตวมนเอง

จำานวนใด ๆ ทไมเปนศนย ยกกำาลง 0 จะได 1 ซงเปนการตความมาจากผลคณวาง สำาหรบกรณ 00 ดเพมทหวขอ 0 ยกกำาลง 0

เลขชกำาลงเปนจำานวนเตมลบ

จากนยาม จำานวนใด ๆ ทไมเปนศนย เมอยกกำาลงดวย −1 จะทำาใหเกดสวนกลบหรอตวผกผนการคณ

จงสามารถนยามวา

เมอ a เปนจำานวนใด ๆ ทไมเปนศนยและ n เปนจำานวนเตมบวก แตสำาหรบจำานวน 0 ยกกำาลงจำานวนลบ จะทำาใหเกดกรณการหารดวยศนย จงไมมการนยาม

นยามของ a−n สำาหรบคา a ใด ๆ ทไมใชศนย ทำาใหเอกลกษณ aman = am+n เปนจรงบนทกชวงจำานวนเตมของ m กบ n (ทงบวก ลบ และศนย) จากเดมเปนจรงเฉพาะเมอ m กบ n เปนจำานวนเตมไมเปนลบ โดยเฉพาะอยางยงการใชเอกลกษณนโดยกำาหนดให m = −n จะทำาให

เมอ a0 ไดนยามเชนนนแลว เปนเหตใหนำาไปสการนยาม a−n = 1/an

ดงทไดกลาวแลว

การยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนเตมลบ อาจสามารถเขยนใหอยในรปของการหารซำา ๆ จาก 1 ดวยฐานกได ตวอยางเชน

เอกลกษณและสมบต

เอกลกษณสำาคญทสดของการยกกำาลงทสอดคลองกบกรณเลขชกำาลงเปนจำานวนเตมคอ

เอกลกษณนจงเปนผลทตามมา

และ

เอกลกษณพนฐานอกอนหนงคอ

ในขณะทการบวกและการคณมสมบตการสลบท เชน 2+3 = 5 = 3+2 และ 2·3 = 6 = 3·2 แตการยกกำาลงไมมสมบตการสลบท เชน 23 = 8 แต 32 = 9

และเชนเดยวกน ในขณะทการบวกและการคณมสมบตการเปลยนหม เชน (2+3)+4 = 9 = 2+(3+4) และ (2·3)·4 = 24 = 2·(3·4) แตการยกกำาลงไมมสมบตการเปลยนหม ตวอยางเชน "23 ยกกำาลง 4" จะไดผลลพธเปน 84 หรอเทากบ 4,096 แต "2 ยกกำาลง 34" จะไดผลลพธเปน 281 หรอ 2,417,851,639,229,258,349,412,352 ถาหากเขยนเลขยกกำาลงซอนกนโดยไมใสวงเลบ ลำาดบของการคำานวณจะทำาจากตวบนสดมากอน นนคอ

กำาลงของ 10

ในระบบเลขฐานสบ กำาลงจำานวนเตมของ 10 สามารถเขยนแทนไดดวยเลข 1 ตามดวยหรอนำาโดยเลข 0 จำานวนหนง ซงพจารณาจากเครองหมายและขนาดของเลขชกำาลง ตวอยางเชน 103 = 1,000 และ 10−4 = 0.0001 เปนตน

การยกกำาลงดวยฐาน 10 ถกใชในสญกรณวทยาศาสตร เพอใชอธบายจำานวนขนาดใหญหรอเลกมาก ตวอยางเชน จำานวน 299,792,458 เมตรตอวนาท (ความเรวแสงในสญญากาศ) สามารถเขยนไดเปน 2.99792458 × 108 m/s หรอเทากบประมาณ 2.998 × 108 m/s

คำาอปสรรคในหนวยเอสไอทมพนฐานบนกำาลงของ 10 กถกใชอธบายปรมาณทใหญหรอเลกมากไดเชนกนเชน คำาอปสรรค กโล หมายถง 103 = 1,000 ดงนน 1 กโลเมตรจงเทากบ 1,000 เมตร

กำาลงของ 2

กำาลงจำานวนเตมบวกของ 2 เปนสงทสำาคญในวทยาการคอมพวเตอร เพราะวาตวแปร ฐานสอง ขนาด n บต จะมคาทเปนไปไดทงหมด 2n คา

กำาลงของ 2 กเปนสงสำาคญในทฤษฎเซต เนองจากเซตเซตหนงทมสมาชก n ตว จะมเซตกำาลงทมสมาชก 2n ตว (เซตกำาลงคอเซตของเซตยอยทงหมดจากเซตตนแบบ)

กำาลงจำานวนเตมลบของ 2 กใชกนทวไป เชน 2−1 = หมายถงครง (half), 2−2 = คอหนงในส (quarter) เปนตน

ในระบบเลขฐานสอง กำาลงจำานวนเตมของ 2 กสามารถเขยนแทนไดดวยเลข 1 แลวตามดวยหรอนำาโดยเลข 0 ซงพจารณาจากเครองหมายและขนาดของเลขชกำาลง ตวอยาง 23 เขยนในเลขฐานสองวา 10002 เปนตน

กำาลงของ 1

กำาลงจำานวนเตมของ 1 ทกจำานวนมคาเทากบ 1 นนคอ 1n = 1

กำาลงของ 0

ถาเลขชกำาลงเปนจำานวนบวก เลขยกกำาลงของ 0 จะได 0 นนคอ 0n = 0; n > 0

ถาเลขชกำาลงเปนจำานวนลบ เลขยกกำาลงของ 0 จะไมนยาม เนองจากทำาใหเกดการหารดวยศนย

ถาเลขชกำาลงเปนศนย ผแตงตำาราบางทานไดนยามวา 00 = 1 ในขณะทบางทานกคงไววาไมนยาม ดทหวขอ 0 ยกกำาลง 0

กำาลงของ −1

ถา n เปนจำานวนค จะได (−1)n = 1

ถา n เปนจำานวนค จะได (−1)n = −1

จากสมบตดงกลาว กำาลงของ −1 จงมประโยชนในการแสดงลำาดบทมการสลบเครองหมาย สวนกรณทคลายกนสำาหรบจำานวนเชงซอน i ดทหวขอกำาลงของจำานวนเชงซอน

เลขชกำาลงเปนจำานวนตรรกยะ

กำาลงของจำานวนจรงบวก a ซงมเลขชกำาลงเปนจำานวนตรรกยะ m/n ในพจนนอยทสด สอดคลองกบ

เมอ m เปนจำานวนเตมและ n เปนจำานวนเตมบวก

รากท n ทเปนลบ

กำาลงของจำานวนจรงบวกจะมคาเปนจำานวนจรงบวกเสมอ อยางไรกตาม คำาตอบของสมการ x2 = 4 อาจเปน 2 หรอ −2 กได คามขสำาคญของ 41/2 คอ 2 แต −2 กเปนรากทสองทถกตองอกคาหนงดวย หากนยามของการยกกำาลงของจำานวนจรงขยายแนวคดใหมผลลพธเปนจำานวนลบได ผลของการยกกำาลงอาจลกลน

ถา n เปนจำานวนค จากสมการ xn = a ถา a เปนบวกจะมสองคำาตอบ ไดแกรากท n ทเปนบวกและลบ แตถา a เปนลบจะไมมคำาตอบเปนจำานวนจรง

ถา n เปนจำานวนค จากสมการ xn = a จะมคำาตอบทเปนจำานวนจรงหนงจำานวน ถา a เปนบวกกจะไดคำาตอบนนเปนบวก และถา a เปนลบกจะไดคำาตอบนนเปนลบ

สำาหรบเลขชกำาลงทเปนจำานวนตรรกยะ m/n ในพจนนอยทสด ถา m เปนจำานวนค ผลลพธจะเปนบวก; ในกรณท a เปนลบ ถา m กบ n เปนจำานวนค ผลลพธจะเปนลบ; ในกรณท a เปนบวกและ n เปนจำานวนค ผลลพธอาจเปนบวกหรอลบอยางใดอยางหนง ตวอยางเชน (−27)1/3 = −3, (−27)2/3 = 9, 43/2 มสองคำาตอบคอ 8 กบ −8 และเนองจากไมมจำานวนจรง x ททำาให x2 = −1 ดงนนนยามของ am/n ในกรณท a เปนลบและ n เปนจำานวนค จงจำาเปนตองใชหนวยจนตภาพ i เขามาเกยวของ

ไมวาวธการใชลอการทมหรอเลขชกำาลงเปนจำานวนตรรกยะ กไมสามารถนยาม ar ใหเปนจำานวนจรงได สำาหรบ a ทเปนจำานวนจรงลบและทกชวงคาของจำานวนจรง r และทำานองเดยวกน er ใหผลลพธเปนบวกสำาหรบทกชวงคาของจำานวนจรง r ดงนน ln(a) ซงเปนฟงกชนผกผนจงไมอาจนยามใหเปนจำานวนจรงไดสำาหรบ a ≤ 0 (ในทางตรงขาม กำาลงเชงซอนของจำานวนลบ a สามารถนยามไดดวยลอการทมเชงซอนของ a)

วธการใชเลขชกำาลงเปนจำานวนตรรกยะไมสามารถใชไดกบคา a ทเปนลบ เพราะวธการนขนอยกบความตอเนอง หมายความวา ฟงกชน f(r) = ar เปนการขยายจำานวนตรรกยะไปเปนจำานวนจรงอยางตอเนองเพยงหนงเดยวเมอ a > 0 แตในกรณ a < 0 ฟงกชน f ไมตอเนองบนเซตของจำานวนจรง r ทกำาหนดไวแตละคา

ตวอยาง สมมตให a = −1 รากท n ของ −1 เทากบ −1 สำาหรบจำานวนคบวก n ทกจำานวน; แตถา n เปนจำานวนคบวก (−1)(m/n) = −1 เมอ m เปนจำานวนค, (−1)(m/n) = 1 เมอ m เปนจำานวนค ดงนนเซตของจำานวนตรรกยะ q ททำาให (−1)q = 1 เปนเซตหนาแนน (dense set) ในจำานวนตรรกยะ เชนเดยวกบเซตของ q ททำาให (−1)q = −1 สงนหมายความวาฟงกชน (−1)q ไมตอเนองทจำานวนตรรกยะ q ใด ๆ ทกำาหนดไวแตละคา

เมอใชเอกลกษณการยกกำาลงกบรากท n ทเปนลบ จำาเปนตองระวดระวงเปนพเศษ ตวอยางเชน −27 = (−27)((2/3)×(3/2)) = ((−27)2/3)3/2 = 93/2 = 27 ซงผดอยางชดเจน ปญหาอยทการใชรากทสองทเปนบวก แทนทจะใชรากทสองทเปนลบในขนตอนสดทาย แตโดยทวไปปญหาทคลายกนนมกเกดขนกบจำานวนเชงซอน ดงทไดอธบายไวในหวขอความผดพลาดของเอกลกษณกำาลงและลอการทม

กำาลงของจำานวนเชงซอน

กำาลงจำานวนเตมของจำานวนเชงซอนทไมเปนศนยนยามโดยการคณหรอการหารซำา ๆ เชนเดยวกบทไดกลาวแลว ถา i คอหนวยจนตภาพและ n คอจำานวนเตมแลว in จะมคาเทากบ 1, i, −1 หรอ −i ขนอยกบคา n วาสมภาคกบ 0, 1, 2 หรอ 3 มอดโล 4 ตามลำาดบ (หรออกนยหนงคอ n หารดวย 4 แลวเหลอเศษเทาใด) ดวยสาเหตน กำาลงของ i จงมประโยชนในการเขยนแทนลำาดบทมคาบแบงเปน 4 ชวง

กำาลงจำานวนเชงซอนของจำานวนจรงบวกไดนยามผานทาง ex ตามทอธบายไวในหวขอกำาลงจำานวนเชงซอนของจำานวนจรงบวก ซงเปนฟงกชนตอเนอง

การขยายแนวคดของฟงกชนเหลานไปเปนกรณทวไปคอ กำาลงทไมเปนจำานวนเตมของจำานวนเชงซอนทไมใชจำานวนเตมบวก ทำาใหเกดความยงยาก นนคอตองนยามฟงกชนไมตอเนองหรอฟงกชนหลายคาอยางใดอยางหนง แตไมวาทางเลอกใดกไมสามารถนยามใหสอดคลองเพยงพอทงหมดได

กำาลงจำานวนตรรกยะของจำานวนเชงซอนตองเปนคำาตอบของสมการเชงพชคณตสมการหนง ดงนนมนจงมคำาตอบทเปนไปไดจำานวนจำากดหนงเสมอ ตวอยางเชน w = z1/2 ตองเปนคำาตอบของสมการ w2 = z แตเมอ w เปนคำาตอบแลว −w กเปนคำาตอบดวยเชนกนเพราะวา (−1)2 = 1 คำาตอบเพยงหนงเดยวทถกเลอกโดยคอนขางปราศจากเหตผลเรยกวาคามขสำาคญ (principal value) สามารถเลอกโดยใชกฎทวไปซงใชกบกำาลงทไมใชจำานวนตรรกยะดวย

กำาลงและลอการทมเชงซอนโดยธรรมชาตถอวาเปนฟงกชนคาเดยวบนผวรมนน (Riemann surface) รปแบบคาเดยวถกนยามขนโดยการเลอกผวขนมาอนหนง คาของมนไมมความตอเนองตามแนวสวนตดกง (branch cut) การเลอกหนงคำาตอบจากหลายคำาตอบเปนคามขสำาคญก

ยงคงไดฟงกชนทไมมความตอเนอง และกฎตาง ๆ ทใชจดการกบการยกกำาลงตามปกตอาจนำาไปสความผดพลาดได

กำาลงจำานวนอตรรกยะของจำานวนเชงซอนมคำาตอบทเปนไปไดไมจำากด เพราะธรรมชาตของลอการทมเชงซอนสามารถมคำาตอบไดหลายคา คามขสำาคญคอคาคาหนงทถกเลอกดวยกฎอยางหนงทามกลางคณสมบตอน ๆ ททำาใหแนใจวา กำาลงของจำานวนเชงซอนทมสวนจรงเปนบวกและสวนจนตภาพเปนศนย จะมคาเหมอนกบกำาลงของจำานวนจรงทเกยวของ

การยกกำาลงจำานวนจรงดวยจำานวนเชงซอนเปนการดำาเนนการทแตกตางจากการยกกำาลงจำานวนเชงซอนทเกยวของ อยางไรกตามในกรณของจำานวนจรงบวก คามขสำาคญนนเหมอนกน

กำาลงของจำานวนจรงลบนนไมไดถกนยามเสมอไป และไมตอเนองแมวาจะไดนยามแลว ดงนนเมอพบกบจำานวนเชงซอน ควรใชการดำาเนนการสำาหรบจำานวนเชงซอนแทน

กำาลงจำานวนเชงซอนของจำานวนเชงซอน

สำาหรบจำานวนเชงซอน a และ b ซง a ≠ 0 สญกรณ ab เกดความกำากวมในคำาตอบเหมอนกบ log a

เพอหาคาของ ab ขนตอนแรกจะตองเลอกลอการทมของ a ขนมาคาหนง ทางเลอกนนอาจเปน Log a (คอคามขสำาคญของ log a โดยปรยายหากมไดกำาหนดเงอนไขอนเพม) หรออาจเปนคาหนงจากกงอนของ log z ทกำาหนดตายตว ดงนนจงสามารถนยามโดยใชฟงกชนลอการทมเชงซอนดงน

เพราะนยามนสอดคลองกบนยามทใหไวกอนหนาน ในกรณท a เปน

จำานวนจรงบวกและคามขสำาคญของ log a (ซงเปนจำานวนจรง) ไดถกเลอก

ถา b เปนจำานวนเตม ดงนนคาของ ab จะไมขนอยกบตวเลอกของ log a เพราะสอดคลองกบนยามการยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนเตม

ถา b เปนจำานวนตรรกยะ m/n ในพจนนอยทสดโดยท n > 0 ดงนนจะมตวเลอกของ log a เปนจำานวนไมจำากดใหคาทแตกตางกน n จำานวนสำาหรบ ab ซงคาเหลานคอจำานวนเชงซอน z ทเปนคำาตอบของสมการ zn = am

ถา b เปนจำานวนอตรรกยะ ดงนนจะมตวเลอกของ log a เปนจำานวนไมจำากด นำาไปสคาของ ab ทแตกตางกนเปนจำานวนไมจำากดเชนกน

การคำานวณกำาลงจำานวนเชงซอนสามารถทำาใหงายขนโดยการแปลงฐาน a เปนรปแบบเชงขว ดงทอธบายไวดานลาง การสรางทคลายกสามารถใชควอเทอรเนยน (quaternion) ไดดวย

รากเชงซอนของ 1 (รากปฐมฐาน)

จำานวนเชงซอน a ททำาให an = 1 สำาหรบจำานวนเตมบวก n เรยกวา

รากท n ของ 1 (nth root of unity) หรอเรยกสน ๆ วา รากของ 1 (root of unity) รากเหลานม n คำาตอบและวางตวคลายจดยอดของรป n เหลยมปรกต บนรปวงกลมหนงหนวยบนระนาบเชงซอน ซงมจดยอดจดหนงอยทจำานวนจรง 1

ถา zn = 1 แต zk ≠ 1 สำาหรบจำานวนธรรมชาต k ตามเงอนไข 0 < k < n แลว z จะเรยกวา รากปฐมฐานท n (primitive nth root of unity) ตวอยางเชน −1 เปนรากปฐมฐานทสองเพยงตวเดยว, รากปฐมฐานทสมสองตวไดแก i และ −i (ไมนบรากปฐมฐานทสอง) เปนตน

จำานวน e2πi (1/n) คอรากปฐมฐานท n ทมอารกวเมนตเปนบวกนอยทสด (บางครงอาจเรยกวา รากปฐมฐานท n "มขสำาคญ" ถงแมวาการใชคำานจะไมแพรหลายและอาจทำาใหสบสนกบ คามขสำาคญของรากท n ของ 1 ซงหมายถงคา 1 [1])

สวนรากของ 1 จำานวนอน ๆ คำานวณไดจาก

สำาหรบ 2 ≤ k ≤ n

ความผดพลาดของเอกลกษณกำาลงและลอการทม

เอกลกษณการยกกำาลงและลอการทมบางอยางทใชกบจำานวนจรงบวก ใชงานไมไดกบจำานวนเชงซอน ไมวาการยกกำาลงเชงซอนและลอการทมเชงซอนถกนยามขนอยางไร ยกตวอยาง

เอกลกษณ log(ab) = b · log a เปนจรงเมอ a เปนจำานวนจรง

บวกและ b เปนจำานวนจรง แตสำาหรบกงมขสำาคญ (principal branch) ของลอการทมเชงซอนจะไดวา

ไมวากงใดของลอการทมจะถกเลอก ความผดพลาดดงกลาวกยงคงมอย แนวทางทดทสด (เมอตองการใชผลลพธเทานน) คอการกำาหนดให

เอกลกษณนกไมเปนจรงหากพจารณาวาลอการทมเปนฟงกชนหลายคา คาทเปนไปไดของ log(ab) จะมคา b · log a เหลานนเปนเพยงเซตยอยเซตหนง คาทเปนไปไดทงสองขางของเอกลกษณซงแสดงดวย Log(a) แทนคามขสำาคญของ log(a) และ m กบ n เปนจำานวนเตมใด ๆ จะไดวา

เอกลกษณ (ab)c = acbc และ (a/b)c = ac/bc ใชไดเฉพาะเมอ a กบ b เปนจำานวนจรงบวกและ c เปนจำานวนจรง แตการคำานวณโดยใชกงมขสำาคญแสดงใหเหนวา

และ

ในทางตรงขาม เมอ c เปนจำานวนเตม เอกลกษณเหลานจะใชไดกบจำานวนเชงซอนทไมเปนศนยทกจำานวนถาการยกกำาลงถกพจารณาวาเปนฟงกชนหลายคา ดงนนคาทเปนไปไดของ (−1×−1)1/2 คอ {1, −1} เอกลกษณยงคงเปนจรง แตการกลาววา {1} = {(−1×−1)1/2} นนผด

เอกลกษณ (ea)b = eab เปนจรงสำาหรบจำานวนจรง a และ b แตการสมมตใหเอกลกษณนเปนจรงสำาหรบจำานวนเชงซอนนำาไปสปฏทรรศนตอไปน ซงคนพบโดยโทมส คลาวเซน (Thomas Clausen)

เมอ ค.ศ. 1827 [3]

สำาหรบจำานวนเตม n ใด ๆ จะไดวา 1.2.3.4.5.

แตสงนเปนเทจเมอจำานวนเตม n ไมเทากบศนยการใหเหตผลดงกลาวมปญหาเกดขนหลายปญหา ความผดพลาดหลกคอการเปลยนอนดบของการยกกำาลง จากบรรทดทสองไปยงบรรทดทสาม ไดเปลยนคามขสำาคญทจะถกเลอกใชจากมมมองของฟงกชนหลายคา ความผดพลาดอยางแรกเกดขนกอนหนานนซงเหนไดโดยปรยายจากบรรทดแรกแตไมเดนชด คอ e เปนจำานวนจรงในขณะทผลลพธของ e1+2πin เปนจำานวนเชงซอน ซงควรเขยนแทนดวย e+0i มากกวา การแทนทเปนจำานวนเชงซอนสำาหรบจำานวนจรงในบรรทดทสอง ทำาใหการยกกำาลงมคำาตอบทเปนไปไดหลายคา การเปลยนอนดบของการยกกำาลงจากบรรทดทสองไปยงบรรทดทสาม จงสงผลตอคาทเปนไปไดของผลลพธวามเปนจำานวนเทาใดดวย

การคำานวณกำาลงจำานวนเตมอยางมประสทธภาพ

วธการคำานวณทงายทสดของ an คอการคณเปนจำานวน n−1 ครง แตมนกอาจคำานวณไดอยางมประสทธภาพมากขนดงตวอยางตอไปน เชนโจทยใหคำานวณ 2100 แตเราทราบวา 100 = 64 + 32 + 4 เราอาจคำานวณตามลำาดบดงน

1. 22 = 42. (22)2 = 24 = 163. (24)2 = 28 = 2564. (28)2 = 216 = 65,5365. (216)2 = 232 = 4,294,967,2966. (232)2 = 264 = 18,446,744,073,709,551,6167. 264 232 24 = 2100 =

1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376

ขนตอนเหลานจำาเปนตองใชการคณเพยงแค 8 ครง (ผลคณในขนตอนสดทายใชการคณ 2 ครง) แทนทจะตองคณถง 99 ครง

จำานวนครงของการคณทจำาเปนสำาหรบคำานวณ an โดยทวไปสามารถลดใหเหลอ Θ(log n) โดยใชการยกกำาลงดวยกำาลงสอง (exponentiation by squaring) หรอโดยนยทวไปขนอกคอ การยกกำาลงดวยลกโซการบวก (addition-chain exponentiation) การหาลำาดบของการคณ นอยทสด ของ an (ลกโซการบวกสนทสดของเลขชกำาลง) เปนขอปญหาทยากขอหนง เพราะขนตอนวธอนมประสทธภาพยงไมเปนททราบในปจจบน (ดเพมทปญหาผลรวมเซตยอย) แตขนตอนวธแบบศกษาสำานก (heuristic) ทมประสทธภาพอยางสมเหตสมผลกมใหใชมากมาย

สญกรณยกกำาลงสำาหรบชอฟงกชน

การใสตวยกจำานวนเตมถดจากชอหรอสญลกษณของฟงกชน ซงดเหมอนวาฟงกชนนนกำาลงถกยกกำาลง โดยทวไปจะหมายถงการประกอบฟงกชน (function composition) มากกวาจะเปนการคณซำา ๆ ดงนน f 3(x) จงอาจหมายถง f(f(f(x))) โดยเฉพาะอยางยง f −1(x) ตามปกตใชแสดงถงฟงกชนผกผนของ f; ฟงกชนซอน (iterated function) ทเกดจากการประกอบฟงกชนเปนประโยชนในการศกษาแฟรกทลและระบบ

เชงพลวต (dynamical system) ชารลส แบบเบจ เปนคนแรกทเรมศกษาปญหาการหาคาของรากทสองเชงฟงกชน f 1/2(x)

อยางไรกตาม ฟงกชนตรโกณมตกใชสญกรณพเศษเชนนนดวยเหตผลทางประวตศาสตร กลาวคอ เลขชกำาลงทเปนบวกถกวางไวหลงชอยอของฟงกชน หมายถงผลลพธของการยกกำาลงดวยเลขชกำาลงนน ในขณะทเลขชกำาลง −1 แสดงถงฟงกชนผกผน ตวอยางเชน sin2x เปนการเขยนอยางยอแทน (sin x)2 โดยไมใชวงเลบ แตในขณะเดยวกน sin−1x หมายถงฟงกชนผกผนของไซนคอ arcsin x เพราะมนไมจำาเปนตองมสวนกลบของฟงกชนตรโกณมตเนองจากมนมชอและชอยอของมนเองอยแลว เชน 1/(sin x) = (sin x)−1 กคอ csc x เปนตน สญนยมทคลายกนนกใชกบลอการทมดวย เชน log2x หมายถง (log x)2 ไมใช log log x

การวางนยทวไป

พชคณตนามธรรม

การยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนเตม สามารถนยามขนสำาหรบโครงสรางทคอนขางทวไปในพชคณตนามธรรม

กำาหนดให X เปนเซตทมการดำาเนนการทวภาคอยางหนง ซงมสมบตการเปลยนหมของกำาลง (power associativity) และเขยนอยในรปแบบการคณแลว xn ถกนยามใหเปนผลคณของ x จำานวน n ตว สำาหรบสมาชก x ใด ๆ ของ X และจำานวนธรรมชาต n ใด ๆ ทไมเปนศนย ซงนยามแบบเวยนเกดไดวา

จะมสมบตตาง ๆ ดงตอไปน

(สมบตการเปลยนหมของกำาลง)

ถาการดำาเนนการนมสมาชกเอกลกษณทงสองดานเปน 1 (มกแสดงดวย e) ดงนน x0 จะถกนยามใหเทากบ 1 สำาหรบคา x ใด ๆ

(เอกลกษณสองดาน)

ถาการดำาเนนการนกมสมาชกผกผนทงสองดานและการคณเปลยนหมได จะทำาใหแมกมา (magma) กลายเปนกรป ตวผกผนของ x สามารถแสดงไดดวย x−1 และเปนไปตามกฎปกตทงหมดของเลขชกำาลง

(ตวผกผนสองดาน) (การคณเปลยนหมได)

ถาการคณสามารถสลบทได (ตวอยางเชนในอาบเลยนกรป) จะทำาใหการดำาเนนการมสมบตนดวย

ถาการดำาเนนการทวภาคนนเขยนอยในรปแบบการบวก ซงมกใชกบอาบเลยนกรป ดงนนวล "การยกกำาลงคอการคณซำา ๆ" จงสามารถตความไดเปน "การคณคอการบวกซำา ๆ" เพราะฉะนนกฎแตละขอของการยกกำาลงขางตนกเทยบเคยงไดกบกฎตาง ๆ ของการคณ

เมอเรามการดำาเนนการหลายอยางแลว การดำาเนนการใด ๆ อาจถก

กระทำาซำาโดยใชการยกกำาลง การแสดงวาการดำาเนนการกำาลงถกกระทำาซำา โดยปกตจะใสสญลกษณกำากบตวยก อาท x∗n หมายถง x ∗ ··· ∗ x หรอ x#n หมายถง x # ··· # x ไมวา ∗ กบ # จะเปนการดำาเนนการอะไรกตาม

สญกรณตวยกกมใชเชนกน โดยเฉพาะในเรองทฤษฎกรป เพอแสดงการสงยค (conjugation) อาท gh = h−1gh เมอ g และ h เปนสมาชกของกรปบางกรป แมวาการสงยคจะปฏบตตามกฎของการยกกำาลงเหมอนกน แตไมใชตวอยางของการคณซำาในกรณใด ๆ; ควอนเดล (quandle) เปนโครงสรางเชงพชคณตชนดหนงทมกฎของการสงยคเหลานเปนบทบาทหลก

การยกกำาลงซอน

เนองจากการยกกำาลงของจำานวนธรรมชาตมเหตมาจากการคณซำา ๆ จงมความเปนไปไดทจะนยามการดำาเนนการทมเหตมาจากการยกกำาลงซำา ๆ เชนเดยวกน การดำาเนนการนบางครงเรยกวา เทเทรชน (tetration) และเทเทรชนซำา ๆ กสามารถนำาไปสการดำาเนนการอกอยางหนงเชนกน เปนเชนนตอไปเรอย ๆ ลำาดบของการดำาเนนการเหลานไดถกแสดงไวดวยฟงกชนอคเคอรมนน (Ackermann function) และสญกรณลกศรของคนธ (Knuth's up-arrow notation) และเนองดวยการยกกำาลงมอตราเพมขนมากกวาการคณ การคณกมอตราเพมขนมากกวาการบวก ดงนนเทเทรชนกมอตราเพมขนมากกวาการยกกำาลง ตวอยางเชน เมอกำาหนดคา (3,3) ใหกบฟงกชนการบวก การคณ การยกกำาลง และเทเทรชน จะไดผลลพธออกมาเปน 6, 9, 27 และ 7,625,597,484,987 ตามลำาดบ

ประวตของสญกรณ

คำาวา กำาลง (power) ถกใชโดยยคลด นกคณตศาสตรชาวกรก สำาหรบยกกำาลงสองเสนตรง [29] ในครสตศตวรรษท 9 มฮมมด อบน มซา

อลคอวารซมย (Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī) ใชคำาวา มล (mal) สำาหรบยกกำาลงสองและ กบ (kab) สำาหรบยกกำาลงสาม ในเวลาตอมานกคณตศาสตรชาวอสลามไดใช m และ k เปนสญกรณคณตศาสตรตามลำาดบ ดงเหนไดจากงานเขยนของ อะบ อลฮะซน อบน อะล อลเกาะละศอด (Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī) ในครสตศตวรรษท 15

นโกลา ชวเก (Nicolas Chuquet) ใชรปแบบสญกรณยกกำาลงในครสตศตวรรษท 15 แซมวล จก (Samuel Jeake) ไดแนะนำาใหใชคำาวา ดชน (index) ในป ค.ศ. 1696 ในครสตศตวรรษท 16 โรเบรต เรคอรด (Robert Recorde) ใชคำาวา สแควร (square), ควบ (cube), เซนซเซนซก (zenzizenzic), เซอรฟอไลด (surfolide), เซนซควบ (zenzicube), เซเคนดเซอรฟอไลด (second surfolide) และ เซนซเซนซเซนซก (zenzizenzizenzic) สำาหรบการยกกำาลงสองถงแปดตามลำาดบ นอกจากนกมการใชคำาวา ไบควอเดรต (biquadrate) เพออางถงการยกกำาลงสอกดวย

นกคณตศาสตรบางคน (เชนไอแซก นวตน) ใชเลขชกำาลงเฉพาะเมอมกำาลงมากกวาสอง และนยมแสดงกำาลงสองเปนการคณซำาสองตว ดงนนเมอพวกเขาเขยนพหนาม พวกเขาจะเขยนเปนรปแบบดงตวอยาง ax + bxx + cx3 + d เปนตน

คำาอกคำาหนงทมความหมายเหมอนการยกกำาลงในอดตคอ อนโวลชน (involution) แตในปจจบนความหมายทสามญกวาของคำานคอ อาวตนาการ (involution) คอฟงกชนทเปนฟงกชนผกผนของตวเอง

แบบฝกหด พรอมเฉลย

1.

อางอง

จนดา พอคาชำานาญ.ความหมายเลขยกกำาลง. [ออนไลน]. เขาถงไดจาก : http://www3.ipst.ac.th/primary_math/link/jinda_online/Jinda_Online/index.htm .(วนทคนขอมล : 30 กนยายน 2553).

เออมพร ทองเยน .แนวขอสอบเลขยกกำาลง. [ออนไลน]. เขาถงไดจาก : http://www.rakjung.com/exam-no17.html .(วนทคนขอมล : 30 กนยายน 2553).

พวงพร พมพมล .โจทยเลขยกกำาลง. [ออนไลน]. เขาถงไดจาก : http://www.goonone.com/index.php/2010-06-07-03-05-27/425-2010-06-30-03-23-34 .(วนทคนขอมล : 30 กนยายน 2553). ประณธ รตนวจตร .ตวอยางขอสอบระหวางภาค. [ออนไลน]. เขาถงไดจาก : http://pranitee.5u.com/math5t1.htm.วนทคนขอมล : 30 กนยายน 2553).

ทมงานทรปลกปญญา.ตวอยางขอสอบระหวางภาค. [ออนไลน]. เขาถงไดจาก : http://www.trueplookpanya.com/true/knowledge_detail.php?mul_content_id=3569.วนทคนขอมล : 30 กนยายน 2553). โสภต เกรยงเกตกมล.ตวอยางและแบบทดสอบ . [ออนไลน]. เขาถงไดจาก : http://kanchit004.wordpress.com/%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA

%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C-%E0%B8%A1-1/%E0%B9%81%E0%B8%9A%E0%B8%9A%E0%B8%9D%E0%B8%B6%E0%B8%81%E0%B8%AB%E0%B8%B1%E0%B8%94/.วนทคนขอมล : 30 กนยายน 2553).

สมจต หนเจรญกล.เลขยกกำาลง . [ออนไลน]. เขาถงไดจาก : http://www.dektalent.com/tag/44/%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87/.(วนทคนขอมล : 30 กนยายน 2553).