wlx.sru.jx.cnwlx.sru.jx.cn/sxwlff/d8.pdf · 2014-01-17 · 1 第八章 分离变数法...
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第八章 分离变数法 §7.4 先求泛定方程通解的办法只适用于很少数的某些定解问题.本章介绍的分离变数法是定解问题
的一种基本解法,适用于大量的各种各样定解问题.其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程,其
中有的常微分方程带有附加条件而成本征值问题.本章将限于本征函数为三角函数的情况.至于本征函数
不限于三角函数的情况请见第九~第十一章.
§8.1 齐次方程的分离变数法
(一)分离变数法介绍
研究两端固定的均匀弦的自由振动,即定解问题
泛定方程 ,02 =− xxtt uau ( )1.1.8
边界条件
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
=
=
,0
,00
lx
x
u
u ( )2.1.8
初始条件
( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
=
=
.
,
0
0
xu
xu
tt
t
φ
ϕ ( ).0 lx << ( )3.1.8
§7.4 已指出端点引起波的反射.这里研究的弦是有限长的,它有两个端点,波就在这两端点之间往复
反射.我们知道,两列反向进行的同频率的波形成驻波.这就启发我们尝试从驻波出发解决问题.
在驻波中,有些点振幅最大,叫作波腹 ( )18 −图 ;还有些点振幅
最小(在图 8-1 中这个最小振幅是零),叫作波节.驻波没有波形传播
现象,就是说,各点振动相位(周相)并不依次滞后,它们按同一方式
随时间 t 振动,可以统一表示为 ( ).tT 但是各点的振幅X却随地点 x 而
异,即振幅 X是 x 的函数 ( )xX .这样,驻波的一般表示式为
( ) ( ) ( ) ( )4.1.8 ., tTxXtxu =
在 ( )4.1.8 里,自变数 x 只出现于 X之中,自变量 t 只出现于 T之中,驻波的一般表示式具有分离变数的形式。
那么,在两端固定的弦上究竟有哪些驻波呢?把驻波的一般表示式(8.1.4)代入弦振动方程(8.1.1)和
边界条件(8.1.2),得
,02 =′′−′′ TXaTX (8.1.5)
⎩⎨⎧
==
.0)()(,0)()0(
tTlXtTX
(8.1.6)
条件(8.1.6)的意义很清楚:不论在什么时刻 t,X(0)T(t)和 ( )lX T(t)总是零.这只能是
2
0)0( =X , 0)( =lX , (8.1.7)
注意:由于边界条件是齐次的,才得出(8.1.7)这样简单的结论,关于非齐次边界条件的处理请看§8.3.
现在再看方程(8.1.5),用 a2XT 遍除各项即得
.2 X
XTa
T ′′=
′′
左边是时间 t 的函数跟坐标 x 无关;右边则是坐标 x 的函数,跟时间 t 无关.两边相等显然是不可能的,除非两边实际上是同一个常数.把这个常数记作 λ− .
.2
λ−=′′
=′′
XX
TaT
这可以分离为关于 X 的常微分方程,前者还附带有条件(8.1.7),
( )( )⎩
⎨⎧
===+′′
7.1.8.0)(,0)0(8.1.8,0
lXXXX λ
.02 =+′′ TaT λ ( )9.1.8
先求解 X,以后知道,满足其次条件(8.1.7),方程(8.1.8)中的常数λ 只能取实数而且 0≥λ (参看§
9.4(二)),这里认为λ是实数,为不失一般性,分为将 0<λ 、 0=λ 和 0>λ 三种可能性逐一考察.
(1) .0<λ 方程(8.1.8)的解是
xx eCeCxX λλ −−− += 21)(
积分常数 C1和 C2 由条件(8.1.7)确定,即
⎩⎨⎧
=+
=+−−− .0
,0
21
21
ll eCeCCC
λλ
由此解出 C1=0,C2=0,从而 ,0)( ≡xX 所求驻波 ,0)()(),( ≡= tTxXtxu 这是没有意义的.于是, 0<λ 的
可能性就排除了. (2) .0=λ 方程(8.1.8)的解是
.)( 21 CxCxX +=
积分常数 C1和 C2 由条件(8.1.7)确定,即
⎩⎨⎧
=+=
.0,0
21
2
ClCC
由此解出 C1=0,C2=0,从而 X( ,0)( ≡x 所求驻波 ,0≡= XTu 没有意义.于是, 0=λ 的可能性也排除了.
(3) .0>λ 方程(8.1.8)的解是
.sincos)( 21 xCxCxX λλ +=
积分常数 C1和 C2 由条件(8.1.7)确定,即
3
⎩⎨⎧
=
=
.0sin
,0
2
1
lC
C
λ
如 ,0sin ≠lλ 则仍然解出 C1=0,C2=0,从而 0),( ≡txu 同样没有意义,应予排除.现只剩下一种可能
性:C1=0, ,0sin =lλ 于是, nnl (πλ = 为整数),亦即
( ),3,2,1.2
22
== nl
n πλ , ( )10.1.8
当λ取这样的数值时,
( ) ,sin2 lxnCxX π
= ( )11.1.8
C2 为任意常数.请注意,(8.1.11)正是傅里叶正弦级数的基本函数族. 这样,分离变数过程中所引入的常数λ 不能为负数或零,甚至也不能是任意的正数,它必须取(8.1.10)所
给出的特定数值,才可能从方程(8.1.8)和条件(8.1.7)求出有意义的解.常数λ 的这种特定数值叫做本征值,相应的解叫做本征函数.方程(8.1.8)和条件(8.1.7)则构成所谓本征值问题.更一般的本征值问题见§9.4。
再看 T 的方程(8.1.9),按照(8.1.10),这应改写为
.02
222 =+′′ T
lnaT π
这个方程的解是
( ) ,sincoslatnB
latnAtT ππ+= (8.1.12)
其中 A 和 B 是积分常数. 把(8.1.11)和(8.1.12)代入(8.1.4),得到分离变数形式的解
( ) ,sinsincos,latn
latnB
latnAtxu nnn
πππ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += ( ),3,2,1=n , ( )13.1.8
n 为正整数.这就是两端固定弦上的可能的驻波.每一个 n 对应于一种驻波.这些驻波也叫做两端固定弦的本
征振动.
在 ),,2,1,0( nknklx == 共 计 n+1 个 点 上 , ( ) 0sinsin == ππ klxn , 从 而
( ) 0, =txun .这些点就是驻波的节点.相邻节点间隔 nl / 应为半波长,所以波长= nl2
本征振动(8.1.13)的角频率(又叫圆频率)是 lanπω = ,从而频率 lnaf 22 == πω . .
n=1 的驻波除两端 x=0 和 x=l 外没有其它节点,它的波长 2l 在所有本征振动中是最长的;相应地,它的频
率 la 2 在所有本征振动中是最低的.这个驻波叫做基波. n>1 的各个驻波分别叫做 n 次谐波.n 次谐波的波
长 nl2 是基波的 n1 ,频率 lna 2 则是基波的n倍.
以上本征振动是满足弦振动方程(8.1.1)和边界条件(8.1.2)的线性独立的特解.由于方程(8.1.1)和边界条
4
件(8.1.2)都是线性而且齐次的,本征振动的线性叠加
( ) ,sinsincos,1 l
xnlatnB
latnAtxu
nnn
πππ∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += ( )14.1.8
仍然满足方程(8.1.1)和边界条件(8.1.2),这就是满足方程(8.1.1)和边界条件(8.1.2)的一般解,其中 An和 Bn
为任意常数,这里尚未考虑初始条件. 下面的任务便是求解定问题(8.1.1)~(8.1.3)的确定解,在数学上,就是要选取适当的叠加系数 An 和 Bn 使
(8.1.14)满足初始条件(8.1.3).为此,以(8.1.14)代入(8.1.3),
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
∑
∑∞
=
∞
=
1
1
sin
),(sin
nn
nn
xlxn
lanB
xlxnA
φππ
ϕπ
( )lx <<0 , ( )15.1.8
(8.1.15)的左边是傅里叶正弦级数,这就是提示我们把右边的 )(xϕ 和 )(xφ 展开为傅里叶正弦级数,其傅里叶
系数分别为 nϕ 和 nφ ,然后比较两边的系数就可确定 An 和 Bn,
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⋅=
==
∫
∫
,dsinB
,dsin2
l
0n
l
0n
ξπξξφπ
φπ
ξπξξϕϕ
ln
anl
anl
ln
lA
n
n
(8.1.16)
至此,定解问题(8.1.1)~(8.1.3)已经解出,答案是(8.1.14).其中系数 An 和 Bn 取决于弦的初始状态,具体计算
公式是(8.1.16).解(8.1.14)正好是傅里叶正弦级数,这是在 x=0 和 x= l 处的第一类齐次边界条件(8.1.2)所决定
的. 回顾整个求解过程,可以作出图解如下:
关键在于把分离变数形式的试探解代入偏微分方程,从而把它分解为几个常微分方程,自变数各自分离开来
了,问题转化为求解常微分方程.另一方面,代入齐次边界条件把它转化为常微分方程的附加条件,这些条件
与相应的常微分方程构成本征值问题.虽然我们是从驻波引出解题的线索,其实整个求解过程跟驻波并没有
特殊的联系,从数学上讲,完全可以推广应用于线性齐次边界条件的多种定解问题.这个方法,按照它的特点,叫做分离变数法.
用分离变数法得到的定解问题的解一般是无穷级数.不过,在具体问题中,级数里常常只有前若干项较为
重要,后面的项则迅速减小,从而可以一概略去. (二)例题
前面已研究了区间两端均为第一类齐次边界条件的定解问题.下面例 1 是区间两端均为第二类齐次边
界条件的例题.
偏微分
方程
分离
变数 ⎩⎨⎧
常微分方程2 解 2
常微分方程
1 条件
解 1 ⎭⎬⎫ 本 征 解
(解 2×解 1)
(本征函数)
本征值问题
齐次边 界条边
分离
变数
所求解= ∑本征值
本征解
确定叠加系数 初始 条件
5
例 1 磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆,它作纵振动.研究两端自
由棒的自由纵振动,即定解问题
,02 =− xxtt uau (8.1.17)
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
=
=
,0
,00
lxx
xx
u
u (8.1.18)
( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
=
=
.
,
0
0
xu
xu
tt
t
φ
ϕ (0<x< l ) (8.1.19)
解 按照分离变数法的步骤,先以分离变数形式的试探解
( ) ( ) ( )tTxXtxu =, (8.1.20)
代入泛定方程(8.1.,17)和边界条件(8.1.18)得
,02 =′′−′′ TXaTX (8.1.21)
( ) ( ) ( ) ,0,0)(0 =′=′ tTlXtTX (8.1.22)
条件(8.1.22)也就是
( ) ( ) .0,00 =′=′ lXX (8.1.23)
再看方程(8.1.21),用 XTa 2遍除各项即得
XX
TaT ′′
=′′
2
两边分别是时间 t 和坐标 x的函数,不可能相等,除非两边实际上是同一个常数,把这个常数记作 λ− ,
λ−=′′
=′′
XX
TaT
2
这可分离为关于 X 的常微分方程和关于 T 的常微分方程,前者附带条件( )23.1.8
( )
( ) ( ) ( )⎩⎨⎧
=′=′=+′′
23.1.8;0,0024.1.8,0
lXXXX λ
02 =+′′ TaT λ , ( )25.1.8
求解本征值问题 ( )24.1.8 、( )23.1.8 .这是后面§9.4 中施图姆-刘维尔本征值问题的一种,本征值为非负
实数,这里不妨认为λ是实数,分别考察 ,0<λ 0=λ , 0>λ 三种情况。如果 ,0<λ 只能得到无意
义的解 ( ) .0≡xX 如果 0=λ , 则方程 ( )24.1.8 的解是 ( ) xDCxX 00 += , 代入条件 (8.1.23), 得
0=OD ,于是 ( ) 00 ,CCxX = 为任意常数,这是对应于本征值 0=λ 的本征函数.如果 0>λ ,方程
6
(8.1.24)的解是
( ) xCxCxX λλ sincos 21 +=
积分常数 1C 和 2C 由条件(8.1.23)确定,即
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+−
=
0)cossin(
0
21
2
lClC
C
λλλ
λ
由于 0≠λ , 所以 .0sin,0 12 == lCC λ 如果 ,01 =C 则得无意义的解 ( ) 0≡xX ; 因此
.0sin,01 =≠ lC λ 于是 ),2,1( == nnl πλ ,即 ),,2,1(222 == nln πλ 这是 0>λ
情况下的本征值,相应的本征函数是 ( ) ).,2,1)(cos(1 == nlxnCxX π
现在把 0=λ 与 0>λ 情况的本征值和本征函数合在一起,
),2,1,0(,2
22
== nl
n πλ , ( )26.1.8
),2,1,0(,cos)( 1 == nxl
nCxX π , ( )27.1.8
1C 为任意常数. ( )27.1.8 即傅里叶余弦级数的基本函数族.
当 0≥λ 时,将本征值(8.1.26)代入T 的方程(8.1.25),有
0=′′T 及 ( )0.02
222
≠=+′′ nTl
anT π
其解分别是
,)( 000 tBAtT += ( )28.1.8
( ) ),2,1.(sincos =+= ntlanBt
lanAtT nnn
ππ ( )29.1.8
其中 nn BABA ,,, 00 均为独立的任意常数.
把( )27.1.8 、( )28.1.8 和 ( )29.1.8 代回 ( )20.1.8 ,得到本征振动
( )
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
+=
),2,1.(cossincos,
,, 000
nxl
ntlanBt
lanAtxu
tBAtxu
nnn
πππ ( )30.1.8
7
请注意, ( )30.1.8 中的变数 x 的函数正是傅里叶余弦级数的基本函数族.
所 有 本 征 振 动 的 叠 加 应 是 一 般 解 ( )txu , , 即
( ) ∑∞
=+++=
100 .cos)sincos(,
nnn x
lnt
lanBt
lanAtBAtxu πππ
( )31.1.8
系数 nn BABA ,,, 00 应由初始条件 ( )19.1.8 确定.以 ( )31.1.8 代入 ( )19.1.8 ,有
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=+
∑
∑∞
=
∞
=
00
00
.cos
,cos
nn
nn
xxl
nBlanB
xxl
nAA
φππ
ϕπ
( )lx ≤≤0
把右边的 ( )xϕ 和 ( )xφ 展开为傅里叶余弦级数,然后比较两边的系数,得
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
∫
∫l
l
dl
B
dl
A
00
00
.1
,1
ξξφ
ξξϕ
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
∫
∫
.cos2
,cos2
0
0
ξξπξφπ
ξξπξϕ
dl
nan
B
dl
nl
A
l
n
l
n
( )32.1.8
答案(8.1.31)中的 tBA 00 + 描写杆的整体移动,其余部分才真正描写杆的纵振动.从(8.1.32)知道 A0 与
B0 分别等于平均初始位移和平均初始速度.由于不受外力作用,杆以不变的速度 B0 移动.解(8.1.31)正是傅里
叶余弦级数.这是在 0=x 和 lx = 处的第二类齐次边界条件(8.1.18)决定的.
下一个例子是一端为第一类齐次边界条件,另一端为第二类齐次边界条件.
例 2 研究细杆导热问题.初始时刻杆的一端温度为零度,另一段温度为 0u ,杆上温度梯度均匀,零度的
一端保持不变,另一端与外界绝热.试求细杆上温度的变化.
解 杆上温度 ( )txu , 满足下列泛定方程和定解条件
,02 =− xxt uau ( )ρcka =2 , ( )33.1.8
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
=
=
,u
,u
lxx
x
0
00
( )3418 ..
.lxuut 00=
= ( )lx <<0 , ( )3518 ..
泛定方程和边界条件都是齐次的,可以应用分离变数法,首先以分离变数形式的试探解
( ) ( ) ( )tTxXt,xu = ( )3618 ..
代入方程 ( )33.1.8 和边界条件 ( )3418 .. ,可得关于 ( )xX 的常微分方程和条件以及关于 ( )tT 的常微分
方程:
8
( )
( ) ( ) ( )⎩⎨⎧
=′==λ+′′
381800037180..;lX,X..,XX
.TaT 02 =λ+′ ( )3918 ..
( )xX 的方程( )3718 .. 和条件 ( )3818 .. 构成本征值问题,跟前面的例题一样,只需考虑λ为实数的情
况,如果 0<λ 或 0=λ ,只能得到无意义的解 ( ) 0≡xX .如果 0>λ ,则方程( )3718 .. 的解是
( ) xsinCxcosCxX λ+λ= 21 .
积分常数 C1和 C2 由条件( )3818 .. 确定,即
⎩⎨⎧
=λ
=
.lcosC
,C
0
0
2
1
由此仍然得出没有意义的解 C1=0,C2=0,从而 ( ) 0≡xX , 除非是 .lcos 0=λ 在 0=λlcos 的条件
下,C2 是任意常数.条件 0=λlcos ,即 π⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=λ
21kl ( ),,,k 210= ,亦即
( ) ,
lk
l
k2
22
2
2
2
4122
1π+
=π⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=λ ( ),,,k 210= , ( )4018 ..
( )4018 .. 给出本征值,相应的本征函数是
( ) ( ) .212sin2 xl
kCxX π+= ( ),,,k 210= , ( )4118 ..
再看关于 T 的方程( )3918 .. .根据 ( )4018 .. ,这应改写成
.Tl
kaT 02
1
2
2
2
2 =π⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+′
这个方程的解是
( ) .2
222
21
l
tak
k CetTπ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−= ( )4218 ..
本例的本征函数 ( )4118 .. 即( )
lxksin
212 π+
既不同于第一类齐次边界条件的lxnsin π
,又不同于第二
9
类齐次边界条件的lxncos π
.其实,边界条件 0==lxxu 表明,应当把导热细杆从区间 ( )l,0 偶延拓到区间
( )l,l 2 上 .延拓后 ,条件是 .u,u,ulxlxx
00020===
===第一个和第三个条件决定了本征函数是
lxn
2sin π
,其中n是正整数.第二个条件则限制了正整数n只能是奇数,这是因为
2cos
2|
2sin
' πππ nl
nlxn
lx =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= , 而 如 果 是 偶 数 则2πncos 并 不 等 于 零 . 这 样 , 本 征 函 数 应 是
( )l
xksin2
12 π+,即 ( )4118 .. .
这样, ( )t,xu 的解一般应是
( ) .l
xksineCt,xu
k
l
tak
k
π⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
= ∑∞
=
π⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
21
0
21
2
222
( )4318 ..
系数 Ck 应由初始条件 ( )3518 .. 确定,因此,以( )4318 .. 代入 ( )3518 .. ,
,xlu
l
xksinC
kk
0
0
21
=π⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∑∞
=
( )lx <<0 , ( )4418 ..
( )4418 .. 左边是以l
xksin
π⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
21
为基本函数族的级数 ,这提示我们应把右边的 ( lxu0 )也以
l
xksin
π⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
21
为基本函数族展开为级数(这其实就是在区间(0,2 l )上展开为傅里叶正弦级数),然后比较
两边的系数,得
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ πξ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +πξ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−πξ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
π⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=
ξπξ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
ξ= ∫
l
kcos
l
k
l
ksin
k
u
dl
ksin
lu
lC l
k
21
21
21
21
2
21
2
2
20
00
10
( ) .k
luk
2
20
21
21π⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−=
于是,得到答案
( ) ( ) .l
xksine
k
ut,xuk
l
ak
k
π⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−π
= ∑∞
=
π⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
− 21
21
1120
21
220 2
222
( )4518 ..
应当着重指出:如果考虑早先的时刻即考虑 0<t ,则时间函数
2
222
21
)( l
tak
etTπ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−=
随 k 的增大而急剧增大,从而级数解 ( )4518 .. 发散,成为无意义.这是可以理解的.因为杆上温度分布总是趋
于某种平衡状态,而且只要边界条件相同,不管初始温度分布是怎么样的,总是趋于同一平衡状态,所以从某
个时刻的温度分布可以推算以后时刻的温度分布,却不能反推早先时刻的温度分布.其实,其他运输过程,例如扩散,也是如此.这是运输过程是地方.
另一方面, 对于以后的时刻, 0>t ,不难检验级数 ( )4518 .. 是绝对收敛得,相应正项级数的收敛半
径 ∞=R ,则时间函数
2
222
21
)( l
tak
k etTπ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−=
随 k 的增大而急剧减少,从而级数解 ( )4518 .. 收敛得很快. t 越大,级数收敛越快.假设在某个时刻
22 anltn = 以后,即 ntt > 时,可以只保留 k=0 的项而略去 k=1 及其以后的项,要求其误差不超过 1%,现在
估计 n 的数值,由于级数解 ( )4518 .. 中 )(tTC kk 随着 k 的增大急剧减小,对足够大的 ntt > ,不妨用
)(11 ntTC 与 )(00 ntTC 的比值来估算 n,而不至于带来大的误差,于是有
1001
91
91
2)32(
)()( 2222
222
222
2/24/2
4/92
00
11 <=== −−
−
−nlta
lta
lta
eee
etTCtTC
n
n
nππ
π
π
,
从而, 的项,解为时,可以只保留即 0/12.0,12.02/09.0ln 222 ==>≈> kalttn nπ
( ) .lxsineut,xu
tla
28 2
22
420 π
π=
π−
下一个例子是关于稳定场的. 例 3 散热片的横截面为矩形(图 8-2).它的一边 y=b 处于较高温度 U,其他三边 y=0,x=0 和 x=a 则处于冷却
11
介质中因而保持较低的温度 0u .求解这横截面上的稳定温度分布 ( )y,xu ,即定解问题
0=+ yyxx uu ; ( )4618 ..
000uu,uu
axx==
==;(0<y<b) ( )4718 ..
.Uu,uubyy==
== 00(0<x<a) , ( )4818 ..
解 这是二维拉普拉斯方程的第一类边界值问题.由于不含初始条件, 拉普
拉斯方程的边界条件不可能全是齐次的,因为这种条件下的解只能是零解.但是尽
可能把一些边界条件化为齐次,毕竟会带来一些方便.常用的方法是把 ( )y,xu 分解
为 ( )y,xv 和 ( )y,xω 的线性叠加,
( ) ( ) ( )y,xy,xvy,xu ω+=
v和ω分别满足拉普拉斯方程,并各有一组齐次边界条件,即
;0=+ yyxx vv ;0=ω+ω yyxx
;, 000uvuv
axx==
== ;0,0
0=ω=ω
== axx
;0,00
==== byy
vv .,00Uu
byy=ω=ω
==
很容易验证,把v和ω的泛定方程叠加起来确是u的泛定方程, 把v和ω的边界条件叠加起来确是u的边
界条件.于是,问题转化为求解v和ω ,而v和ω个有两个齐次边界条件足以构成本征值问题,不难分别解出. 其实,本例还有一个特殊的简便方法,就是令
( ) ( )yxvuyxu ,, 0 += ( )49.1.8
这只不过是把温标移动一下 ,把原来的 0u 作为新温标 ( )yxv , 的零点 .以 ( )49.1.8 代入 ( )46.1.8 ~
( )48.1.8 ,得
;0=+ yyxx vv ( )50.1.8
;0,00
==== axx
vv ( )51.1.8
.,0 00uUvv
byy−==
== ( )52.1.8
以分离变数形式的试探解
( ) ( ) ( )yYxXyxv =,
代入泛定方程 ( )50.1.8 和齐次边界条件 ( )51.1.8 ,可得 X 和 Y 的常微分方程以及 X 的边界条件:
( ) ( )⎩⎨⎧
===λ+′′
;0,00,0aXX
XX ( )53.1.8
12
.0=λ−′′ YY ( )54.1.8
( )53.1.8 构成本征值问题.同样取λ为实数,不难解得本征值
( ),3,2,1,2
22
=π
=λ na
n ( )55.1.8
本征函数
( ) ( ),3,2,1.sin =π
= naxnCxX ( )56.1.8
将本征值 ( )55.1.8 代入方程( )54.1.8 ,解得
( ) yany
an
BeAeyYπ
−π
+=
这样,分离变数形式的解已求出为
( ) xaneBeAyxv
yan
n
yan
nn
π⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
π−
π
sin,
称为本征解,一般解 ),( yxν 应是所有这些本征解的叠加,
∑∞
=
−+=
1
sin)(),(n
ayn
nayn
n xa
neBeAyx πνππ
( )57.1.8
为确定系数 An 和 Bn,以( )57.1.8 代入非齐次边界条件( )52.1.8 ,
( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=π
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=π
+
∑
∑∞
=
π−
π
∞
=
.sin
,0sin
01
1
uUxaneBeA
xanBA
n
abn
nabn
n
nnn
等式左边为傅里叶正弦级数,把等式右边展开为傅里叶正弦级数,然后比较两边系数,即得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=+
=+
−
)(40
0
0uUn
eBeA
BA
abn
nabn
n
nn
π
ππ
由此解出
( )
( ) ( ) ( )⎩⎨⎧
−π−=−=
π−π 为奇数
为偶数
neenuUn
BA abnabnnn .4,0
0
于是,得到答案
( ) ( )( )
( )
( )( ) .12sin12
12
1214,
0
00 a
xk
abksh
ayksh
kuUuyxu
k
π+π+
π+
×+π
−+= ∑
∞
=
13
下一个例题是平面极坐标系的分离变数法.
例 4 带电的云跟大地之间的静电场近似是匀强电场,其电场强度 0E 是竖直的.水平架设的输电线处在这
个静电场中(图 8-3a).输电线是导体圆柱,柱面由于静电感应出现感应电荷,圆柱邻近的静电场也就不再是匀强的了.不过,离圆柱“无限远”处的静电场
仍保持为匀强的.出现研究导体圆柱怎样改变了匀强静电场. 首先需要把这个物理问题表为定解问题.取圆柱的轴为 z 轴.如果圆柱
“无限长”,那么,这个静电场的电场强度、电势显然跟 z 无关,我们只需
在 xy 平面上加以研究就够了.图 8-3a 画的正是 xy 平面上的静电场,圆柱面
在 xy 平面的剖口是圆222 ayx =+ ,其中a 是圆柱的半径.
柱外的空间中没有电荷,所以电势u 满足二维的拉普拉斯方程
.0=+ yyxx uu (在柱外)
导体中的电荷既然不再移动,这说明导体中各处电势相同.又因为电势只具
有相对的意义,不妨把电势的零点取在导体上,从而写出边界条件
.0222 ==+ ayx
u
按照分离变数法,以 ( ) ( ) ( )yYxXyxu =, 代入拉普拉斯方程固然不难把它分解为两个常微分方程,但代入上
述边界条件却只能得到
( ) ( ) ,022 =− xaYxX
不能分解为 ( )xX 或 ( )yY 的边界条件。事实上,既然边界是圆,直角坐标系显然是不适当的,必须采用平
面极坐标系。 拉普拉斯方程在极坐标系中的表达式见微积分教本或§1.4 习题 3 的答案。“柱外空间中的电势 u 满足
拉普拉斯方程”就表为
)(,0112
2
22
2
auuu>=
∂∂
+∂∂
+∂∂ ρ
ϕρρρρ , )58.1.8(
式中ρ是极径,ϕ是极角。“导体电势为零”就表为齐次的边界条件
0==ρ a
u (8.1.59)
在“无限远”处的静电场仍然保持为匀强的 0E ,所以在无限远处 , ,,0 0Ε=Ε=Ε xy 即 - 0Ε=∂∂xu
,亦既
ϕρΕ−=Ε−= cos00xu .另外,导体圆柱还可能带电,若单位长度导体带的电量为 0q ,它在圆柱外产生的
电势为 )1ln()2( 00 ρπεq ,因而还有一个非齐次的边界条件
∞→ρ
u ~ ϕρρπε
cos1ln2 0
0
00 Ε−+
qu (8.1.60)
其中 0u 为常数,其数值跟电势的零点选取有关,这里要求其满足在圆柱导体侧面上电势为零。问题就在于
求解平面极坐标系定解问题(8.1.58)~(8.1.60).
A B
x
14
解 以分离变数形式的试探解
)()(),( ϕΦρ=ϕρ Ru
代入拉普拉斯方程(8.1.58),得
Φ′′Φ
−=ρ
ρρ
ρ1)(1
ddR
dd
R
上式左边是ρ的函数,与ϕ无关;右边是ϕ的函数,与ρ无关.两边不可能相等,除非两边实际上是同一个常
数.把这常数记作λ ,
).(11ρ
ρρ
ρ=λ=Φ′′Φ
−ddR
dd
R
这就分解为两个常微分方程
,0=Φλ+Φ′′
02 =λ−′ρ+′′ρ RRR .
常微分方程(8.1.61)隐含着一个附加条件.事实上,一个确定地点的极角可以加减 2π的整数倍,而电势u 在确
定的地点应具确定数值,所以 ),,()2,( ϕρπϕρ uu =+ 即 ),()()2()( ϕΦρ=π+ϕΦρ RR 亦即
).()2( ϕΦ=π+ϕΦ ( )63.1.8
这叫做自然的周期条件.常微分方程(8.1.61)与条件(8.1.63)构成本征值问题.读者不难求得方程(8.1.61)的解
为
( )( )( )( )⎪
⎩
⎪⎨
⎧
<λ+
=λϕ+>λϕλ+ϕλ
=ϕΦϕλ−−ϕλ− 0.
0,0,sincos
BeAe
BABA
, ( )64.1.8
从而,求得本征值和本征函数
2m=λ ( ),2,1,0=m , ( )65.1.8
( ) ( )( )⎩
⎨⎧
=≠ϕ+ϕ
=ϕΦ0.0,sincos
mAmmBmA
, ( )66.1.8
以本征值(8.1.65)代入微分方程(8.1.62),
022
22 =−
ρρ+
ρρ Rm
ddR
dRd
, ( )67.1.8
这是欧拉型常微分函数,作代换te=ρ ,即 ρ= lnt ,方程化为
.022
2
=− Rmdt
Rd
其解为
15
( )
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=+=+
≠+=+=
−
0.ln
0,1)(
mDCDtC
mDCDeCeR m
mmtmt
ρρ
ρρ
这样,分离变数形式的解是
( ) ,lnDC,u 000 ρ+=ϕρ
( ) ( ) ( )ϕ+ϕρ+ϕ+ϕρ=ϕρ − mDmCmBmAu mmm
mmm
m sincossincos,
拉普拉斯方程是线形的,它的一般解应是所有本征解的叠加,即
∑ ∑∞
=
∞
=
− +++++=1 1
00 ).sincos()sincos(ln),(m m
mmm
mmm mDmCamBmAaaDCu ϕϕϕϕϕρ ( )68.1.8
为确定(8.1.68)中的系数,把(8.1.68)代入边界条件.先代入齐次边界条件(8.1.59),
∑ ∑∞
=
∞
=
− =ϕ+ϕ+ϕ+ϕ++1 1
00 .0)sincos()sincos(lnm m
mmm
mmm mDmCamBmAaaDC
一个傅里叶级数等于零,意味着所有傅立叶级数为零,即
.0,0,0ln00 =+=+=+ −−m
mm
mm
mm
m DaBaCaAaaDC
由此,
,,,ln 2200
mmm
mmm aBDaACaDC −=−=−=
以此代入(8.1.68),得
∑ ∑∞
=
∞
=
− −−+++=1 1
220 )69.1.8()sincos()sincos(ln),(
m mm
mm
mmmm
m mBamAamBmAa
Du ϕϕρϕϕρρϕρ
将(8.1.69)代入非齐次的边界条件(8.1.60),在 ρ 很大的地方,有
.sin)(cos)(ln1
22
0 ∑∞
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−+
mm
mm
mm
mm
m maBmaAa
D ϕρ
ρϕρ
ρρ
)70.1.8(.cos1ln2
~ 00
00 ϕρ
ρπεEqu −+
既然主要部分是1ρ 项,可见在(8.1.70)中不应出现 ( )1>ρ mm
的项(否则mρ 项就成了主要部分).这是说,
( )1.0,0 >== mBA mm
从(8.1.70)比较系数,还能知道
.ln2
ln,2
,0,0
000
0
00101 aqaDuqDBA
πεπε=−=−==Ε−=
最后得柱外的静电势为
( ) .coscosln,2
000 ϕρ
+ϕρ−ρ
=ϕρaEE
aDu ( )71.1.8
16
简单谈谈所得解答(8.1.70)的物理含义.第一项是圆柱导体原来所带电荷在导体周围产生的电势。由于
a>ρ ,就好像是位于轴线 0=ρ 上的带电导线产生的电势。常数 0u 的数值保证在圆柱导体的侧面上电势
为零。当中一项,即 ϕρ− cos0E 正是原来的匀强静电场中的电势分布.最后一项,即 ( ) ϕρ cos20 aE 对于大的
ρ可以忽略,所以它代表在圆柱邻近对匀强电场的修正,这自然是柱面在匀强电场中产生的感应电荷形成的
电势,圆柱导体外的电场线分布如图 8-3a。
讨论 设圆柱体原来并不带电,从而 00 =D ,(8.1.70)这时只含两项
( ) .coscos,2
00 ϕρ
+ϕρ−=ϕρaEEu ( )72.1.8
在图 8-3a 的 A 点和 B 点的电场强度是
,2coscos 0
,0
2
2
00
,0
EaEEuEaa
±=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ϕ
ρ+ϕ=
ρ∂∂
−=π=ϕ
=ρπ=ϕ
=ρ
是原来的匀强电场的两倍!所以在两处特别容易击穿.而且不管圆柱的半径多么小,这个结论总是对的! 在图 8-3a 的 y 轴上的电势是
,0coscos2
2
2
002=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ϕ
ρ+ϕρ−=
π±=ϕπ±=ϕ
aEEu
跟导体圆柱的电势相同. 在图 8-3a 的 y轴实际上代表三维空间里的 yz平面,因此 yz平面的电势跟导体圆柱
的电势相同.既然导体圆柱跟 yz平面的电势相同,如果让导体圆柱的两侧沿 yz平面伸出两翼(图 8-3b),静电
场并不改变,电势分布仍然是(8.1.72).
要是只看带翼圆柱体的下方(图 8-3b 的下半幅,亦即图 8-3c),那么这可以说是平行板电容器两极板之间的静
电场,只是上极板带有半圆柱形突起.如果远离突起的电场强度是 0E ,则突起最高出的电场强度总是 0E 的两
倍.对于高压电容器来说,这容易导致击穿,因此高压电容器的极板必须刨得非常光滑. 下一个例子是所谓没有初始条件的问题.
例 5 长为 l 的理想传输线,一端 x =0 接于交流电源,其电动势为 tv ωsin0 ,另一端 lx = 是开路.求解线上
的稳恒电振荡. 稳恒电振荡是什么意思?原来,理想传输线是一种理想化的模型,实际上总是存在损耗,所以初始条件
引起的自由振荡总是逐渐衰减.经过交流电的许多周期之后,自由振荡的衰减殆尽.这是的电振荡完全是交流
电远引起的.交流电源提供的能量正好补偿了损耗,所以这种振荡得以维持一定的幅度而无衰减,这就是所谓
的稳恒电振荡.
17
解 既然初始条件所引起的自由振荡已衰减殆尽,在着种问题中当然不必考虑初始条件.因此,这里求解
的是没有初始条件的问题.
( ) ( )( )( )⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
==−
=
ω=
75.1.8.0
74.1.8,
73.1.81,0
00
22
lx
tix
xxtt
j
evv
LCavav
为了计算的方便,在边界条件(8.1.74)中, tv ωsin0 即 )Im( 0tiev ϖ改写成了
tiev ω0 ,这样作是可以的,由于方程和
边界条件都是线形的,我们只要取得最后结果的虚部就行了. 稳恒振荡完全是由交流电源引起,所以周期必与交流电源相同,故
( ) ( ) tiexXtxv ω=, , ( )76.1.8
以(8.1.76)代入偏微分方程(8.1.73)可得 X 的常微分方程
( ) .02 =ω+′′ XLCX
其解是
( ) ,xLCixLCi BeAexX ω−ω +=
因而,
( ) .)()( xLCtixLCti BeAexX −ω+ω += ( )77.1.8
(8.1.77)的第二项是从电源端发出的波,第一项则是反射波. 系数 A 和 B 由边界条件确定.但边界条件中出现电流 j ,所以我们还需要 j 的表达式.在(7.1.10)中,置
,0,0 == GR 即得 ( ) .1, xttx vLjCvj −=−=
利用这两个关系式求得与(8.1.76)相应的电流
.),( )()( xLCtixLCti BeLCAe
LCtxj −ω+ω +−= ( )78.1.8
现在,把(8.1.77)和(8.1.78)分别代入边界条件(8.1.74)和(8.1.75),得
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−
=+ω−ω .0
,0
lLCilLCi BeAe
vBA
由此解出
.1
,1 2
020
lLCilLCi evB
evA
ωω −+=
+= ( )79.1.8
这样,传输线上的稳恒振荡为(8.1.77)和(8.1.78)给出,其中系数 A 和 B 则由(8.1.79)给出.
在输入端(交流电源端)的电压0=x
v 同电流0=x
j 之比叫作传输线的输入阻抗 输入Z .按照(8.1.77)和
(8.1.78)
).(:00 lLCictg
CL
BABA
CLjvZ
xx ω−=−+
−====输入 ( )80.1.8
一个有趣的情况是
18
LC
afal
ωπ
πωλ
2241
41
41
====
在这种情况下,(8.1.80)给出
.02=
π−= ictg
CLZ输入
这样,长度为 1/4 波长的传输线接在交流电源上,另一端开路,从交流电源一方看过来,这段传输线竟然相当于
一个短路元件.
习题
1.长为 l 的弦,两端固定,弦中张力为 T.在距一端为 0x 的一点以力 F0把弦拉开,然后突然撤除这力.求解弦
的振动. 2.求解细杆热导问题,杆长 l ,两端保持为零度,初始温度分布
./)( 20
lxlbxut
−==
3.两端固定弦,长为 l .①用宽为 δ2 的平面锤敲击弦的 0xx = 点.②用宽为 δ2 的余弦式凸面锤敲击弦的
0xx = .求解弦的振动.
4.长为 l 的均匀杆, 两端受压从而长度缩为 ( )ε− 21l .放手后自由振动,求解杆的纵振动.
5. 长为 l 的杆, 一端固定,另一端受力 F0 而伸长. 求解杆在放手后的振动.
6. 长为 l 的理想传输线,远端开路.先把传输线充电到电位差 0v ,然后把近端短路.求解线上电压 ( )txv , .
7. 长为 l 的杆, 上端固定在电梯天花板,杆身竖直,下端自由.电梯下降,当速度为 0v 时突然停止.求解杆
的振动. 8.在铀块中,除了中子的扩散运动以外,还进行着中子的增殖过程,每秒钟在单位体积中产生的中子数正
比于该处的中子浓度u ,从而可表为 uβ (β是表示增殖快慢的常数).研究厚度为 l 的层状铀块.求临界厚
度.(铀块厚度超过临界厚度,则中子浓度将随时间而增长以致铀块爆炸.原子弹里就是这么回事.) 9.求解薄膜的恒定表面浓度扩散问题.薄膜厚度为 l ,杂质从两面进入薄膜.由于薄膜周围气氛中含有充
分的杂质,薄膜表面上的杂质浓度得以保持为恒定的 N0,对于较大的 t ,把所得答案简化.
10.把上题改为限定源扩散.这是说,薄膜两面的表层已含有一定的杂质,比方说,每单位表面积总量 0Φ ,
但此外不再有杂质进入薄膜.
11.在矩形区域 0< x < a ,0< by < 上求解拉普拉斯方程 0=Δu 使满足边界条件 ),(0
ybAyux
−==
.0,sin,00
=π
===== byyax
uaxBuu
12.均匀的薄板占据区域 0< x < a ,0< ∞<y .边界上的温度 ,00=
=xu .0lim,,0 00
===∞→==uuuu
yyax求
解板的稳定温度分布.
19
13.在带状区域 0< x < a ,0< by < 上求解 0=Δu 使 ,00=
=xu .0lim),1(,0
0=−==
∞→==u
axAuu
yyax
14.矩形膜,边长为 1l 和 2l ,边缘固定.求它的本征振动模式.
15.细圆环,半径为 0ρ ,初始温度分布已知为 ϕϕ),(f 是以环心为极点的极角.环的表面是绝热的.求解环
内温度变化情况.
16.在圆形域内求解 0=Δu 使满足边界条件① ϕ=ρ=ρ
cos0
Au ,② ϕ+=ρ=ρ
sin0
BAu .
17.半圆形薄板,半径为 0ρ ,板面绝热,边界直径上温度保持零度,圆周上保持 0u .求稳定状态下的板上温
度分布. 18.把例 4 的导体圆柱换为介质圆柱,介质的介电常数为 ε .求解柱内外的电场.[提示:柱内电势必须有限.在柱面上,电势连续,电位移的法向分量连续.] 19.半径为 a ,表面熏黑了的均匀长圆柱,在温度为零度的空气中受着阳光照射.阳光垂直于柱轴,热流强
度为 0q .试求柱内稳定温度分布.[提示:泛定方程为 0=Δu ,边界条件为 )(),(|)( ϕϕ=+ =ρρ ffHuku a 是热流
强度的法向分量.如取极轴垂直于阳光,则( )( )⎩
⎨⎧
<<<<
=πϕπ
πϕϕ2.0
0,sin)(
qxf
20.在以原点为心,以 1ρ 和 2ρ 为半径的两个同心圆所围成的环域上求解 0=Δu 使满足边界条件
).(),( 2121
ϕ=ϕ=ρ=ρρ=ρ
fufu
21.求解绕圆柱的水流问题.在远离圆柱因而未受圆柱干扰处的水流是均匀的,流速为 0v .圆柱半径为 a .
22.长为 l 的理想传输线,一端接于电动势为 tv ωsin0 的交流电源,另一端短路.求解线上的稳恒电振荡
并计算输入阻抗.
23. 长为 l 的理想传输线,一端接于交流电源 tv ωsin0 ,另一端通过阻抗元件 R0,L0 和 C0 而相接.求解线
上的稳恒电振荡.在怎样的条件下不存在反射波(这叫作匹配)?
24. 长为 l 的均匀杆,一端固定,另一端在纵向力 tFtF ω= sin)( 0 长期作用下.求解杆的稳恒振动.
25.长为 l 的均匀弦两端固定,在 0x 点有一集中的横向力 tAtF ωcos)( = 一直作用着,求解弦的恒定
横振动
26.一长为 l 的均匀导热细杆,杆上有热源,单位长度上的热源强度为 0),0.( =>βρβ xuc 端绝热, lx =
端保持摄氏零度,初始温度分布为 )(0 lxxu − ,试求杆上各处温度如何随时间变化的?其中 c为杆的比热,ρ为
杆的线密度, 0u 为常数,侧面绝热.
27.一圆环形区域 ,内外环半径分别为 1ρ 和 2ρ ,内环上保持温度为 ϕ21 cosu ,外环上保持温度为
20
ϕ21 cosu ,外环上保持温度为 ϕsin2u .求此圆环区域内的稳定温度分布.
28.一长为 l ,截面积为 S 的均匀细杆,今将 0=x 端保持为摄氏零度, lx = 端按牛顿冷却定律向温度为
零的媒介散热,侧面绝热,原先杆的温度为 0u ,求在冷却过程中各处温度的变化.
§8.2 非齐次振动方程和输运方程 上一节研究了齐次方程的定解问题.本节要研究非齐次振动方程和运输方程的定解问题. 我们仍然限于齐次的边界条件.关于非齐次边界条件的处理请看§8.3. 本节先介绍傅里叶级数法,它直接求解非齐次方程的定解问题.按着是冲量定理法,它把非齐次方程的定
解问题转化为齐次方程的定解问题后求解. (一)傅里叶级数法 §8.1 中求解两端固定的弦的齐次振动方程定解问题,得到的解(8.1.14)具有傅里叶正弦级数的形式,而
且其系数 An和 Bn决定于初始条件 ( )xϕ 和 ( )xψ 的傅里叶正弦级数(8.1.15).至于采取正弦级数而不是一般傅
里叶级数的形式,则完全是由于边界条件 00=
=xu 和 .0=
=lxu
分离变数得出的这些结果给出提示:不妨把所求的解本身展开为傅里叶级数,即
( ) ∑=n
nn xXtTtxu ).()(, ( )1.2.8
傅里叶级数(8.2.1)的基本函数族 ( )xXn 为该定解问题齐次方程在所给齐次边界条件下的本征函数.
由于解是自变数 x 和 t 的函数,因而 ( )txu , 的傅里叶系数不是常数,而是时间 t 的函数,把它记作 ( )tTn .将
待定解(8.2.1)代入泛定方程,尝试分离出 )(tTn 的常微分方程,然后求解.
例 1 求解定解问题
;sincos2 tlxAuau xxtt ωπ
=− ( )2.2.8
;0,00
==== lxxxx uu ( )3.2.8
( ) ( ) ( )lxxuxuttt
<<ψ=ϕ===
0.,00
( )4.2.8
解 级数展开的基本函数应是相应的齐次泛定方程 02 =− xxtt uau 在所给边界条件 00=
=xu 和
0==lx
u 下的本征函数.我们已经熟悉这些本征函数,它们是 ).,2,1(cos =π nlxn
这样,试把所求的解展开
为傅里叶正弦级数
.cos)()(0∑∞
=
π=
nn l
xntTxu
为了求解 )(tTn ,尝试把这个级数代入泛定方程(8.2.2)
.sincoscos0
2
222
tlxA
lxnT
lanT
nnn ω
π=
π⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ π+′′∑
∞
=
21
等式左边是傅里叶正弦级数,这提示我们把右边也展开为傅里叶正弦级数.其实,右边已经是傅里叶正弦
级数,它只有一个单项即 1=n 的项.于是,比较两边的系数,分离出 )(tTn 的常微分方程
,sin12
22
1 tATlaT ω=
π+′′ )1.(02
222
≠=π
+′′ nTl
anT nn
又把 ( )txu , 的傅里叶正弦级数代入初始条件,得
( ) ,coscos)0(00
xl
nxxl
nTn
nn
nπ
ϕ=ϕ=π ∑∑
∞
=
∞
=
( )5.2.8
( ) .coscos)0(00
xl
nxxl
nTn
nn
nπ
ψ=ψ=π′ ∑∑
∞
=
∞
=
( )6.2.8
其中 nϕ 、 nψ 分别为 ( )xϕ 和 ( )xψ 的傅里叶正弦级数[以 )/cos( lxnπ 为基本函数族]的第 n 个傅里叶系数.等
式(8.2.5)、(8.2.6)两边都是傅里叶正弦级数.由于基本函数族 )/cos( lxnπ 的正交性,等式两边对应同一基本
函数的傅里叶系数必然相等,于是得 )(tTn 的非零值初始条件
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
ξξψ=ψ=′
ξξϕ=ϕ=
∫
∫l
l
dl
T
dl
T
000
000
;1)0(
,1
( )7.2.8
( )
( ))0(
;cos2)0(
,cos2
0
0≠
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
ξπξ
ξψ=ψ=′
ξπξ
ξϕ=ϕ=
∫
∫n
dl
nl
T
dl
nl
T
l
nn
l
nn
)(tTn 的常微分方程在初始条件 ( )7.2.8 下的解是
( ) ,000 ttT ψϕ += ( )8.2.8
,sincos)sinsin(/
1)( 1122221 lat
al
latt
lat
lat
laaAltT π
ψπ
+π
ϕ+ωπ
−π
ωπ−ωπ
= ( )9.2.8
)1,0(.sincos)( ≠π
ψπ
+π
ϕ= nlatn
anl
latntT nnn , ( )10.2.8
(8.2.9)的第一项为 )(1 tT 的非齐次常微分方程的特解,满足零值初始条件.(8.2.9)的后两项之和及(8.2.10)分别
为 )(1 tT 和 ( ) )1,0( ≠ntTn 的齐次常微分方程的解,满足非零值初始条件(8.2.7).
这样,所求的解是
22
( )11.2.8.cos)sincos(
cos)sinsin(/
1),(
1
002222
lxn
latn
anl
latn
tlxt
la
lat
laaAltxu
nn
nππ
ψπ
+π
ϕ+
ψ+ϕ+π
ωπ
−π
ωπ−ω
•π
=
∑∞
=
尝试成功了.这个方法叫做傅里叶级数法.很明显,这个方法的关键在于分离出 )(tTn 的常微分方程,其中
不可混杂着另一自变数 x ,这是怎样做到的呢?原来,这个级数展开的基本函数 )/cos( lxnπ 正是相应齐次方
程、齐次边界条件下用分离变数法求得的本征函数,这才得以分离出 )(tTn 的常微分方程.
齐次振动方程和齐次输运方程问题当然也可以用傅里叶级数法(结合分离变数法)求解,这时得到的
)(tTn 的常微分方程为齐次方程,求解更容易,建议读者用这样的方法重新求解上节的定解问题(8.1.1)~
(8.1.3)以及例 1 和例 2,这里就不赘述了。 综上所述,可以看出,对于振动和输运问题,不论齐次还是非齐次方程定解问题,傅里叶级数结合分
离变数法均可运用,如仅用分离变数法,则只能用于齐次方程边界条件定解问题。 (二)冲量定理法 求解非齐次振动方程和输运方程定解问题还可以用冲量定理法,这里仍然考虑边界条件是齐次的。应
用冲量定理法有一个前提,即初始条件均取零值。这其实无损于一般性。现以两端固定弦的受迫振动为例,
如果初始条件是非零值,则定解问题为
),,(2 txfuau xxtt =−
,0,00
==== lxx
uu
( ).),(00
xuxuttt
ψ=ϕ===
由于泛定方程和定解条件都是线性的,可以利用叠加原理,把 u 分解为Iu 和
∏u 之和,即
).,(),(),( txutxutxu I ∏+=
并令Iu 、
∏u 分别满足
( ) ( ).,
;0,0
,0
0
0
2
xuxu
uu
uau
t
Itlx
I
lx
I
x
I
xxItt
ψ=ϕ=
==
=−
==
==
∏
0,0
0,0
);,(
00
0
2
==
==
=−
=
∏
=
∏
=
∏
=
∏
∏∏
ttt
lxx
xxtt
uu
uu
txfuau
把竖线两边对应的式子相叠加,正好是原来的定解问题。这样,问题转化为求解Iu 和
∏u . Iu 的初始
条件是非零值,但方程是齐次的,可用上节方法求解; ∏u 的方程是非齐次的,但初始条件已化为零值,符合冲
量定理所提出的要求. 现在用冲量定理法来研究弦的非齐次振动方程定解问题
),(2 txfuau xxtt =− ( )12.2.8
23
,0,00
==== lxx
uu ( )13.2.8
.0,000==
== tttuu ( )14.2.8
(1) 冲量定理法的物理思想
首先,在物理上,非齐次泛定方程(8.2.12)表明,作用在每单位长弦上的外力 ( ) ),(, txftxF ρ= .它从时刻零
持续作用到时刻 t ,我们求解的是 ),( txF 作用下,在时刻 t 的各处位移 ),( txu .
冲量定理法的基本思想是把持续作用力看成许许多多前后相继的“瞬时”力,把持续作用力引起的振动
看作所有“瞬时”力引起的振动的叠加.根据(5.3.9),持续作用的力 ),( txF 可以表示成
ττ−δτρ=
ρ=ττ−δτ=
∫∫
dtxf
txfdtxFtxFt
l
)(),(
),()(),(),(
0
0 ( )15.2.8
其中 ( ) ττ−δτ dtxF )(, 为作用在很短的时间区间 ( )τ+ττ d, 上而冲量为 ττ dxF ),( 的“瞬时”力。把该瞬时
力引起的振动记为( ) ),( txu τ
,则( ) ),( txu τ
的定解问题为
( ) ( ) ( ) ττδτττδρτττ dtxfdtxFuau xxtt )(),(,2)( −=−=− ( )16.2.8
( ) ,0,00
)( ===
τ
=
τ
lxxuu ( )17.2.8
( ) ( ) .0,000==
=
τ
=
τ
tttuu ( )18.2.8
由于瞬时力 ( ) ττ−δτ dtxF )(, 作用在时间区间 ( )τ+ττ d, 上,从时刻零直到时刻 0−τ .它尚未起作用,
弦仍然是静止的( ) ( ) .0,0
00==
−τ=
τ
−τ=
τ
tttuu 时刻 τ ,该瞬时力开始作用,至时刻 τ+τ d 结束.由于 τd 很短,弦
上各质点“来不及”位移,故在时刻 τ+τ d ,位移 0)( =τ+τ=
τ
dtu .再看时刻 τ+τ d 的速度
( )τtu ,根据冲量定理,
从 0−τ 时刻到 τ+τ d 时刻,单位长度弦的动量变化等于瞬时力 ( ) ττ−δτ dtxF )(, 的冲量,故有
( ) ( ) ττρ=ττ=ρ−ρ−τ=
τ
τ+τ=
τ dxfdxFuuttdtt ),(),(
0
从而得到
ττ=τ+τ=
τ dxfudt
),()(
如果改取 τ+τ d 时刻作为初始时刻 ,考察瞬时力 ( ) ττ−δτ dtxF )(, 在 τ+τ d 时刻以后引起的振动
( ) ),( txu τ ,由于该瞬时力已经作用过了,弦上不受外力, ( ) ),( txu τ满足齐次方程,其定解问题为
( ) ( ) ,02 =− ττxxtt uau ( )19.2.8
24
( ) ,0,00
)( ===
τ
=
τ
lxxuu ( )17.2.8
0)( =τ+τ=
τ
dtu , ττ=
τ+τ=
τ dxfudt
),()( . ( )20.2.8
定解问题(8.2.19)~(8.2.20)与定解问题(8.2.16)~(8.2.18)是等价的.从(8.2.20)可以看出( )τu 必含有因
子 τd ,若记( ) ττ=τ dtxvtxu );,(),( ,则 );,( τtxv 满足定解问题
)(),(2 τ−δτ=− txfvav xxtt ( )21.2.8
,0,00
==== lxx
vv ( )22.2.8
.0,000==
== tttvv ( )23.2.8
即
,02 =− xxtt vav ( )24.2.8
,0,00
==== lxx
vv ( )22.2.8
0=τ=t
v , ),( τ=ττ=
xfvt
. ( )25.2.8
由于 τd 很短,在(8.2.25)中已将 τ+τ d 时刻记为 τ时刻.定解问题(8.2.24)~(8.2.25)为齐次方程问题,可
用前面的分离变数法或傅里叶级数法求解.只是要注意,前面两种方法中初始时刻为零时刻,这里初始时刻
为 τ时刻,因此前二方法解中的 t (表示距初始时刻的时间间隔),在这里应换成 τ−t . 定解问题(8,2,12)~(8.2.14)是线性的,适用叠加原理,既然外加力是一系列瞬时力的叠加,则定解问
题(8,2,12)~(8.2.14)的解也应是瞬时力所引起的振动的叠加.计及所有瞬时力的影响,就有
( )∑ ∫
=τ
τ ττ==t t
dtxvtxutxu0
0);,(),(),( , ( )26.2.8
( )txu , 就是定解问题 (8,2,12)~(8.2.14)的解.这就从物理上给出了求解非齐次振动方程定解问题
(8,2,12)~(8.2.14)的方法,因为利用了冲量定理,故称为冲量定理法.
回顾一下求解步骤,为了求解非齐次振动方程定解问题(8,2,12)~(8.2.14),把持续作用的力 ),( txfρ
看作一系列前后相继的脉冲力 ττ−δτρ dtxf )(),( ,改为求解脉冲力 ττ−δτρ dtxf )(),( 从 τ时刻起引起的振
动 );,(,);,( τττ txvdtxv 满足齐次振动方程定解问题(8,2,12)~(8.2.14),解出 );,( τtxv 后,代入(8.2.26),对
τ积分,就能得到所求的解.
( )txu , 和( ) ),( txu τ
的量纲为 [ ]x , );,( τtxv 的量纲为 [ ] [ ]tx / .只要注意 ( )τ−δ t 的量纲为 [ ]t1 ,不难检
验,方程(8.2.16)中每一项的量纲均为[x]/[t]2,而方程(8.2.21)中每一项的量纲同是[x]/[t]
3.因此,从量
纲来分析,方程(8.2.12)、(8.2.16)、(8.2.19)、(8.2.21)和(8.2.24)在物理上都是正确的,这从另一个
侧面,证明冲量定理法在物理上是行得通的.
(2)冲量定理法的数学验证
25
这里要验证,由满足齐次振动方程定解问题(8.2.24)、(8.2.22)、(8.2.25)的解 );,( τtxv 通过积分
(8.2.26)得到的 ( )txu , 是非齐次振动方程定解问题(8,2,12)~(8.2.14)的解.
首先验证边界条件.由于 ,0,00
==== lxx
vv 因此,
∫ ∫ =τ==τ=====
t t
lxlxxxdvudvu
0 000.0,0
( )txu , 满足齐次边界条件(8.2.13).
其次验证初始条件.由(8.2.26),知初始位移
.00
0 00=τ= ∫ ==
dvutt
为验证初始速度,需利用积分号下求导的公式
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,];[];[;;dt
tdttgdt
tdttgdttgdtg
dtd t
t
t
t
αα−
ββ+τ
∂τ∂
=ττ ∫∫β
α
β
α )27.2.8(
这个公式在微积分教本中可以找到.把这个公式应用于(8.2.26),有
( )∫ τ+ττ=t
tt txvdtxvtxu0
;,);,(),( .
按(8.2.25), ).0(,0);,( ttxv ≤τ≤=τ 所以
∫ ττ=t
tt dtxvtxu0
,);,(),( ( )28.2.8
.00
0 00=τ= ∫ ==
dvuttt
(8.2.14)中的两个零值初始条件均成立. 最后验证非齐次方程.对(8.2.28)应用求导公式(8.2.27),
).;,();,(0
τττ txvdtxvu t
t
tttt += ∫
按(8.2.25), ).0(),();,( txfxvt ≤τ≤τ=ττ 所以,
).,();,(0
txfdtxvut
tttt +ττ= ∫ )29.2.8(
以(8.2.26)和(8.2.29)代入非齐次方程(8.2.12)的左边,则
∫ ∫ =+τ=+τ−=−t t
xxttxxtt txftxfdtxfdvavuau0 0
22 ),,(),(0),()(
非齐次方程(8,2,12)得以满足,其中利用了 v的齐次方程(8.2.24). 数学验证全部完成,冲量法在数学上成立.这里还应指出一点:边界条件(8.2.13)不必限于第一类齐
次边界条件,也可以是第二类或第三类齐次边界条件,甚至 0=x 端与 lx = 端的边界条件还可以是不同类的,只要边界条件(8.2.22)的类型与(8.2.13)相同就行. 例 2 将例 1 中的初始条件改为零值,用冲量定理法求解,即求解定解问题
;sincos2 tlxAuau xxtt ωπ
=−
;0,00
==== lxxxx uu
26
.0,000==
== tttuu
解 应用冲量定理法,先求解
;02 =− xxtt vav
;0,00
==== lxxxx vv
.sincos,000
ωτπ
==+τ=+τ= l
xAvvttt
参照边界条件,试把解 v展开为傅里叶余弦级数
∑∞
=
πτ=τ
0
cos),();,(n
n lxntTtxv
把这余弦级数代入泛定方程,
.0cos0
2
222
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+′′∑
∞
= lxnT
lanT
nnn
ππ
由此分离出 nT 的常微分方程
Tl
anTn 2
222π+′′ =0.
这个常微分方程的解是
( ) )()();( 000 τ−τ+τ=τ tBAtT
)0.()(sin)()(cos)();( ≠τ−π
τ+τ−π
τ=τ nltanB
ltanAtT nnn
这样,解 v的傅里叶余弦级数是
( ) .cos])(sin)()(cos)([)()();,(1
00 lxn
ltanB
ltanAtBAtxv
nnn
πτ−πτ+
τ−πτ+τ−τ+τ=τ ∑
∞
=
至 于 系 数
)(τnA 和 )(τnB 则由初始条件确定.为此,把上式代入初始条件,
( ) ,0cos)(1
0 =π
τ+τ ∑∞
= lxnAA
nn
∑∞
=
ωτπ
=π
τ+τ1
0 .sincoscos)()(n
n lxA
lxnBB
右边的 ωτπ sincoslxA 也是傅里叶余弦级数,它只有一个单项即 n =1 的项.比较两边系数,得
( ) ( ) ( ).10)(,sin,0 1 ≠=τωτπ
=τ=τ nBalABA nn
到此,已求出 ( ),;, τtxv
27
( ) .cossinsin);,(
lx
lta
alAtxv πτ−π
ωτπ
=τ
按照(8.2.26),得出答案
∫=t
dtxvtxu0
);,(),( ττ ∫ ττ−π
ωτπ
π=
td
lta
lx
aAl
0
)(sinsincos
.cossinsin/
12222 l
xtlat
la
laaAl π
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ω
π−
πω
π−ωπ=
输运问题,如泛定方程是非齐次的,完全可以仿照冲量定理加以处理,比如,研究定解问题
);,(2 txfuau xxt =− ( )30.2.8
;0,00
==== lxxxx uu ( )31.2.8
.00=
=tu ( )32.2.8
非齐次泛定方程(8.2.30)表明,每单位长度上的热源强度为 ( )txfc ,ρ .这热源从时刻零一直延续到时刻 t,现在
求解的是热源强度 ( )txfc ,ρ 的影响下,在时刻 t 的温度分布.
仿照冲量定理对非齐次振动方程定解问题的处理,这里按照(5.3.9),将持续作用的热源看作许许多
多前后相继的“瞬时”热源 ( ) ( ) ττ−δτρ dtxfc , 的叠加,“瞬时”热源 ( ) ( ) ττ−δτρ dtxfc , 作用于时间区间
( )τ+ττ d, ,提供的热量为 ( ) ττρ dxfc , ,记它所产生的温度分布为 ττ dtxv );,( ,类似地可导出
( ),),(2 τ−δτ=− txfvav xxt ( )33.2.8
,0,00
==== lxxxx vv ( )34.2.8
.00=
=tv ( )35.2.8
直到 0−τ 时刻 , 瞬时热源尚未起作用 , 从初始条件 00=
=tv 得 .0
0=
−τ=tv τ 时刻 , 瞬时热源
( ) ( ) ττ−δτρ dtxfc , 开始起作用,至 τ+τ d 时刻,作用结束,瞬时热源放出热量,使 τ+τ d 时刻的温度增加到
τ+τ= dtv ,于是
,),()(0
ττρ=τ−ρ−τ=τ+τ=
dxfcdvvctdt
从而
).,( τ=τ+τ=
xfvdt
这是 τ+τ d 时刻的温度分布,如果把 τ+τ d 时刻作为初始时刻,研究瞬时热源在 τ+τ d 时刻以后产生的温度
分布 ττ dtxv );,( ,则 );,( τtxv 的定解问题为
,02 =− xxt vav ( )36.2.8
28
,0,00
==== lxxxx vv ( )34.2.8
).,( τ=τ=
xfvt
( )37.2.8
因为瞬时热源已经作用过了,故(8.2.36)为齐次方程.由于 τd 很短,(8.2.37)中将初始时刻 τ+τ d 记为 τ时刻,定解问题(8.2.36)、(8.2.34)、(8.2.37)与定解问题(8.2.33)~(8.2.35)等价,已是齐次泛定方程、齐次边界
条件,可用分离变数法或傅里叶级数法求解,不过要注意,原来求解公式中的 t 这里应换位 τ−t .
定解问题(8.2.30)~(8.2.32)是线性的,叠加原理也适用.考虑所有瞬时热源产生的影响,把这些影
响叠加起来,就得到此定解问题的解 ( )txu , ,于是有
∫ ττ=t
dtxvtxu0
);,(),( , (8.2.38)
同样,可以数学上验证这些得到的 ( )txu , 确实满足定解问题(8.2.30)~(8.2.32),请读者去完成,这
里不赘述了.
例 3 求解定解问题
,sin2 tAuau xxt ω=−
,0,00
==== lxxxx uu
.00=
=tu
解 首先应用(8.2.38)
∫ ττ=t
dtxvtxu0
);,(),( ,
而 );,( τtxv 则需从下述定解问题
,02 =− xxt vav
,0,00
==== lxxxx vv
ωτ=τ=
sinAvt
求解,这可仿照上节例 2,用分离变数法解出
∑∞
=
τ−π+
− π+=τ
0
)()
21(
.)
21(
sin);,( 2
222
n
tl
an
n xl
neCtxv
其中系数
∫ ξξπ+
ωτ=l
n dl
nA
lC
0
)21(
sinsin2
l
l
n
n
ll
A
0
)21(
cos)
21(
sin2
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ξπ+
−π+
•ωτ
= .)
21(
sin2
π+
ωτ=
n
A
这样,
29
( )
.21
sin)
21(
1sin2);,(0
21
2
222
xl
ne
n
Atxvn
tl
an π⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+πωτ
=τ ∑∞
=
τ−π⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−
从而
∫ ττ=t
dtxvtxu0
);,(),( ∑ ∫∞
=
τπ+π+−
τωτπ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+π=
00
)21()
21(
sin21
sin)
21(
12 2
222
2
222
n
tl
an
l
tan
deel
xn
n
A
.cossin)
21(
/21
121
sin)
21(
12 2
222
21
2
222
24444
0
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−+
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
•⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−∞
=∑
tl
an
nett
l
an
lanl
xn
n
Aπ
ωωωωπ
ωπ
π
π
习 题
1.长为 l 的均匀细杆两端固定 ,杆上单位长度受有纵向外力 tlxf ωπ cos)/2sin(0 ,初始位移为
[ ]2)/sin( lxπ ,初始速度为零,求解杆的纵振动.
2.求解热传导问题
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
ϕ=
==
ω=−
=
==
).(
,0,0,sin
0
0
2
xu
uutAuau
t
lxxx
xxt
3.两端固定的弦,原来静止不动,单位长度所受横向外力为 txtxf ωΦρ=ρ sin)(),( ,求解弦的振动,研
究共振的可能性,并求共振的解.
4.两端固定弦在点 0x 受谐变力 tftf ωρ=ρ sin)( 0 作用而振动,求解振动情况.[提示:外加的线密度可表
为 ).(sin),( 00 xxttxf −δωρ=ρ ]
5.求解振动问题
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<<ψ=ϕ=
==
=−
==
==
lxxuxu
uutxfuau
ttt
lxxx
xxt
0).(),(
,0,0),,(
00
0
2
6.求解输运问题
30
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<<ϕ=
==
−=−
=
==
lxxu
uubbuuau
t
lxxx
xxxt
0).(
,0,0,
0
0
2 为常数
能否用傅里叶级数法求解?如果不能,要说明原因;如果能,将 ),( txu 解出来.
7.均匀细导线,每单位度的电阻为 R,通过恒定的电流 I,导线表面跟周围温度为零度的介质进行热量交换,试解线上温度变化,设初始温度和两端温度都是零度.
§8.3 非齐次边界条件的处理 在§8.1 和§8.2 两节中,不管是齐次还是非齐次振动方程和输运方程,它们的定解问题的解法都有一个
前提:边界条件是齐次的. 但是,在实际问题中,常有非齐次边界条件出现,那么,这样的定解又如何求解呢?由于定解问题是线性的,
处理的原则是利用叠加原理,把非齐次边界条件问题转化为零一个未知函数的齐次边界条件问题.请看例题. (一) 一般处理方法 例 1 自由振动问题
,02 =− xxtt uau ( )1.3.8
( ) ( ),,0
tutulxx
νμ ====
( )2.3.8
( ) ( )xuxutt
ψϕ ==== 00
, . ( )3.3.8
边界条件(8.3.2)是非齐次的.
选取一个函数 ),( txv ,使其满足非齐次边界条件(8.3.2),为了简单起见,不妨取 ),( txv 为线性函数,即
( ) ).()(, tBxtAtxv += )4.3.8(
将(8.3.4)代入(8.3.2),解得
).()]()([),( txl
tttxv μμν+
−= ( )5.3.8
利用叠加原理,令 ).,(),(),( txtxvtxu ω+= (8.3.6)
将(8.3.5)、(8.3.6)代入定解问题(8.3.1)~(8.3.3),得 ( )tx,ω 的定解问题
),()]('')([22 tttlxvava xxttxxtt μνμωω ′′−−′′=+−=− ( )7.3.8
,0,00
==== lxx
ωω ( )8.3.8
( ) ( ) ),0()]0()0([100
μνμϕϕω −−+=−===
xl
xvxtt
( ) ( ) ).0()]0(')0([100
μνμψψω ′−−′+=−===
xl
xvxttt
( )9.3.8
虽然 ( )tx,ω 的方程(8.3.7)一般是非齐次的,但是,定解问题(8.3.7)~(8.3.9)具有齐次边界条件,可按§
8.2 求解.
31
这里还要特别说一下 0=x 和 lx = 两端都是第二类非齐次边界条件 ( ) ( )tutulxx
νμ ====
,0
的情况.
如果仍按(8.3.4),取 x 的线性作为 v ,则代入非齐次边界条件得 )(),()(0
tvttAvlxxxx νμ ===
==.
除非 )()( tt νμ = ,否则这两式互相矛盾.这时不妨改试
( ) xtBxtAtxv )()(, 2 += ( )10.3.8
(二) 特殊处理方法 例 2 弦的 0=x 端固定, lx = 端受迫作谐振动 tA ωsin ,弦的初始位移和初始速度都是零,求弦的振
动.这个定解问题是
)0(,02 lxuau xxtt <<=− ( )11.3.8
,sin,00
tAuulxx
ω====
( )12.3.8
.0,000==
== tttuu ( )13.3.8
lx = 端为非齐次边界条件.
如果按上述一般处理方法,应取 xltAtxv )/sin(),( ω= ,但是,相应的 ( )tx,ω 的定解问题中泛定方程
为 tlxAvava xxttxxtt ωω=+−=ω−ω sin)/()( 222,是非齐次方程,求解麻烦.能否有较为简便的方法呢?
由于求解的是弦在 lx = 端受迫谐振动 tA ωsin 情况下的振动,它一定有一个特解 ),( txv ,满足齐次方
程(8.3.11)、非齐次边界条件(8.3.12),且跟 lx = 端同步振动,即其时间部分的函数亦为 tωsin ,就是说,特
解具有分离变数的形式
( ) txXtxv ω= sin)(, , ( )14.3.8
将(8.3.14)代入(8.3.11)、(8.3.12),得
( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ω+′′
16.3.8)(,0)0(
15.3.802
AlXX
Xa
X
将 常 微 分 方 程 (8.3.15) 的 解 )/sin()/cos()( axDaxCxX ω+ω= 代 入 (8.3.16), 由 此 确 定
)/sin()]/sin(/[)( axalAxX ωω= ,从而
.sinsinsin
),( tax
al
Atxv ωω
ω= ( )17.3.8
于是令 ),,(),(),( txtxvtxu ω+= ( )18.3.8
将(8.3.17)、(8.3.18)代入(8.3.11)~(8.3.13),得 ),( txω 的定解问题
0)( 22 =−−=ω−ω xxxxxxtt vava , (8.3.19)
32
,0,00
=ω=ω== lxx
(8.3.20)
./sin/sin,0
00 alaxA
ttt ωω
ω−=ω=ω==
(8.3.21)
定解问题(8.3.19)~(8.3.21)为齐次方程、齐次边界条件,可用分离变数法求解,其一般解由(8.1.14)给出,
因此,
,sinsincos),(0
xl
ntlanBt
lanAtx
nnn
π⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+π
=ω ∑∞
=
其中系数 An和 Bn可按(8.3.16)计算,得 0=nA ,
.//
12)1(
//1
//1)1(
//)/sin(
//)/sin(
)/sin(
)//(2)//sin(
)//(2)//sin(
)/sin(2
sin)/sin()/sin(2
22222
0
0
lnaalA
lnalnaanA
lnanal
lnanal
alanA
lnalna
lnalna
alanA
dl
nalaA
anB
n
n
l
l
n
πωω
πωπωπω
πωπω
πωπω
ωπω
πωξπω
πωξπω
ωπω
ξπξωωξω
π
−•−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−
+−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−
−+
+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
+++
−−
=
−= ∫
这样
( ) ∑∞
=
πππ−ω
ω=ω
122222 sinsin
//12,
n lxn
latn
lnaalAtx ,
( ) ∑∞
=
πππ−ω
ω+ω
ωω
=1
22222 .sinsin//
12sin)/sin()/sin(,
n lxn
latn
lnaalAt
alaxAtxu
习 题
1.求解细杆导热问题.杆长 l ,初始温度均为 0u ,两端分别保持温度 1u 和 2u .
2. 求解细杆导热问题.初始温度为零,一端 lx = 保持零度,另一端 0=x 的温度为 At (A 是常数,t 代表
时间).
3.求解均匀杆的纵振动,杆长 l ,一端固定,另一端受纵向力 tFtF ω= sin)( 0 作用,初始位移和速度分别
是 ( )xϕ 和 ( )xψ .
4.长为 l 的柱形管,一端封闭,另一端放开.管外空气中含有某种气体,其浓度为 0u ,向管内扩散.求解该气
体在管内的浓度 ( )txu , .
5.把弹簧上端 0=x 加以固定,在静止弹簧的下端 lx = 轻轻地挂上质量为m 的物体,求解弹簧的纵振
33
动.弹簧本身的重量可忽略不计.
§8.4 泊松方程
泊松方程 ),,( zyxfu =Δ
可说是非齐次的拉普拉斯方程.它与时间无关,显然不适用冲量定理法. 我们可以采用特解法.先不管边界条件,任取这泊松方程的一个特解 v ,然后令 ω+= vu .这就把问题转
化为求解ω ,而 0=−Δ=Δ−Δ=ωΔ fuvu ,
这不再是泊松方程而是拉普拉斯方程.在一定边界条件下求解拉普拉斯方程是§8.1 研究过的问题.
例 1 在圆域 0ρ<ρ 上求解泊松方程的边值问题
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
−+=Δ
ρ=ρ.
),(
0
22
cuyxbau
解 先设法找泊松方程的一个特解 . 显然 , ( ) ( ) aayaax =Δ=Δ 2/,2/ 22 , 为对称起见 , 取
( ) 4/22 yxa + .又, ( ) ( ) 2424 12/,12/ bybybxbx =Δ=Δ .这样,找到一个特解
.2cos124
))((124
)(12
)(4
42222224422 ϕρ+ρ=−++ρ=−++=bayxyxbayxbyxav
令 ω+ϕρ+ρ=ω+= 2cos124
42 bavu ,
就把问题转化为ω定解问题,
⎪⎩
⎪⎨⎧
ϕρ−ρ−=ω
=ωΔ
ρ=ρ.2cos
124
,0
40
20
0
bac
在极坐标系中用分离变数法求解拉普拉斯方程的一般结果见(8.1.68)即
( ) ∑ ∑∞
=
∞
=
− ϕ+ϕρ+ϕ+ϕρ+ρ+=ϕρω1 1
00 ).sincos()sincos(ln,m m
mmm
mmm mDmCmBmADC
ω 在 圆 内 应 当 处 处 有 限 . 但 上 式 的 ρln 和m−ρ 在 圆 心 为 无 限 大 , 所 以 应 当 排 除 , 就 是
说, 0,0,00 === mm DCD .于是,
( ) ∑∞
=
ϕ+ϕρ=ϕρω0
)sincos(,m
mmm mBmA .
把上式代入边界条件,
∑∞
=
ϕρ−ρ−=ϕ+ϕρ0
40
200 2cos
124)sincos(
mmm
m bacmBmA .
比较两边系数,得
.0);2,0(0,12
,4
202
200 =≠=ρ−=ρ−= mm BmAbAacA
34
这样,所求解是
ϕρ−ρρ+ρ−ρ+=ω+= 2cos)(12
)(4
20
2220
2 bacvu .
例 2 在矩形域 byax ≤≤≤≤ 0,0 上求解泊松方程的边值问题
22 −=Δ u ,
,0,00
==== axx
uu ( )1.4.8
.0,0 ==== byoy
uu ( )2.4.8
解 先找泊松方程的一个特解 v .显然, 2xv −= 满足 2−=Δv .其实, 212 cxcxv ++−= ( 1c 和 2c 是两
个积分常数 )也满足 2−=Δv .我们打算选择适当的 1c 和 2c ,使 v 满足齐次边界条件 (8.4.1).容易看
出, .0, 21 == cac 这样,
( ) )(, xaxyxv −= .
令 ( ) ),,()(, yxxaxvyxu ω+−=ω+=
把上式代入u 的定解问题,就把它转化为ω的定解问题
,0=ωΔ ( )3.4.8
,0,00
=ω=ω== axx
( )4.4.8
)(),(0
axxaxxbyy
−=ω−=ω==
( )5.4.8
仿照§8.1 例 3,满足(8.4.3)和(8.4.4)的解可表为
∑∞
=
π−
π π+=ω
1sin)(),(
n
ayn
nayn
n axneBeAyx . ( )6.4.8
为确定系数 nA 和 nB ,以(8.4.6)代入边界条件(8.4.5),
∑
∑∞
=
π−
π
∞
=
−=π
+
−=π
+
1
1
).(sin)(
),(sin)(
n
abn
nabn
n
nnn
axxaxneBeA
axxaxnBA
( )7.4.8
将(8.4.7)的右边也展为傅里叶正弦级数:
∑∞
=
π=−
1
,sin)(n
n axnCaxx ( )8.4.8
其中
35
∫ −−π
=π
−=a n
n nadx
axnaxx
aC
0 33
22 ].1)1[(4sin)(2
以(8.4.8)代入(8.4.7)的右边,比较左右两边的傅里叶级数,
nnn CBA =+
.nabn
nabn
n CeBeA =+π
−π
由此解得
,
)2/cosh(
)(1
2/
2/2/
2/
//
2/2/2/
//
/
n
abn
nabnabn
abn
nabnabn
abnabnabn
nabnabn
abn
n
Cabn
eCee
e
Cee
eeeCee
eA
π=
+=
−−
=−
−=
π−
π−π
π−
π−π
π−ππ−
π−π
π−
.
)2/cosh(
)(1
2/
2/2/
2/
//
2/2/2/
//
/
n
abn
nabnabn
abn
nabnabn
abnabnabn
nabnabn
abn
n
Cabn
eCee
e
Cee
eeeCee
eB
π=
+=
−−
=−−
=
π
π−π
π
π−π
π−ππ
π−π
π
于是代回(8.4.6)成为
axnC
abnabynyx n
n
ππ−π
=ω ∑∞
=
sin)/cosh(
]/)2/(cosh[),(1
.
我们又知道,对于 ;0),,2,1(,2 === nCkkn 对于
332 )12/(8),,2,1(12 π−−==−= kaCkkn n .
这样,
∑∞
=
π−π−−
−π−π
−=ω1
33
2 )12(sin]2/)12cosh[()12(
]/)2/()12cosh[(8),(k a
xkabkk
abykayx
把 ( )yx,ω 加上 )( axx − 就是所求的 ( )yxu , .
习 题
1.在圆域 a<ρ 上求解 4−=Δu ,边界条件是 0==ρ a
u .
2. 在圆域 a<ρ 上求解 xyu −=Δ ,边界条件是 0==ρ a
u .
3.在矩形域 2/2/,0 bybax <<−<< 上求解 2−=Δu ,且u 在边界上的值为零.
4. 在矩形域 2/2/,0 bybax <<−<< 上求解 yxu 2−=Δ ,且u 在边界上的值为零.
§8.5 小 结 在掌握了分离变数法,傅里叶级数法,冲量定理法和非齐次边界条件的处理方法以后,就能求解最一
36
般的有界问题:泛定方程和边界全是非齐次的,同时,初始条件是非零值.作为本章的小结,下面以一般的一维
有界振动问题和二维有界稳定温度分布问题为例,说明含时问题(波动和运输问题)和不含时问题(稳定场问
题)不同的求解步骤和最有效的解法. (—)一般有界波动和输运问题 以有界弦的一般振动问题为例.其定解问题是
),,(2 txfuau xxtt =− ( )1.5.8
( ) ( ),,0
tutulxx
υ=μ===
( )2.5.8
( ) ( ).,00
xuxuttt
ψ=ϕ===
( )3.5.8
弦既受外力作用,又受一定的初始位移和初始速度,而且弦的两个端点位置还按已知规律随时间变化,因此,振动方程和边界条件都是非齐次的,初始条件是非零值.不过,方程、边界条件和初始条件都是线性的,叠加
原理适用,前述解法和非齐次边界条件的处理法均可应用.为了方便、有效,可采用如下求解步骤: (1) 边界条件化为齐次
取 ( )txv , 满足非齐次边界条件(8.5.2),例如
).()]()([1),( txttl
txv μ+μ−υ=
令
),(),(),( txtxvtxu ω+=
代入定解问题(8.5.1)~(8.5.3),得 ),( txω 的定解问题
( ),,),(2 txgvtxfa ttxxtt ≡−=ω−ω
,0,00
=ω=ω== lxx
( ) ( ) ( ) ( )xvxxvxttttt
ψ≡−=Φ≡−===== 0000
, ψωϕω .
其中把函数00
)(,)(,),(==
−ψ−ϕ−tttt vxvxvtxf 分别记为 )(),(),,( xxtxg ψΦ .边界条件已是齐次,这定解
问题可用傅里叶级数法直接求解(见§8.2 例 1).但是,这将导致求解时间函数 )(tTn 的二阶非齐次常系数常微
分方程,且初值条件 )0(),0( nn TT ′ 不为零.不如利用叠加原理,化成两个定解问题,分别用分离变数法和冲量定
理法直接求解,见下面(2). (2) 利用叠加原理化成两个简单的定解问题
令 ),,(),(),( txtxtx I ω+ω=ω
Iω 和ω 分别满足定解问题
37
( );),(
,0,0
,0
0
0
2
xx
a
lt
Itt
I
lx
I
x
I
Ixx
Itt
ψ=ωΦ=ω
=ω=ω
=ω−ω
==
==
0,0
,0,0
),,(
0
0
2
=ω=ω
=ω=ω
=ω−ω
==
==
lttt
lxx
xxtt txga
Iω 的定解问题为齐次方程、齐次边界条件,可用分离变数法求解;而ω 的定解问题仅方程是非齐次的,可用
冲量定理法求解. 对于一般的一维有界运输问题,例如定解问题
),,(2 txfuau xxt =−
( ) ( ),,0
tutulxx
υ=μ===
( )..0
xut
ϕ==
其求解步骤跟上述振动问题完全相同,首先利用叠加原理将边界条件化成齐次. 对于二维、三维的有界波动和运输问题的求解也可仿此进行. (二) 一般的有界稳定场问题 今以二维矩形域稳定温度分布问题为例,其定解问题是
),,( yxfuu yyxx =+ ( )4.5.8
( ) ( ),,0
yuyuaxx
υ=μ===
( ) ( ).,00
xuxuyy
ψ=ϕ===
稳定分布问题与时间 t 无关,求解步骤跟含时的波动和运输问题不同,首先处理的不是非齐次边界条件,而非
齐次方程.虽然这里两组边界条件都是非 齐次的,但上节的特解法在这里仍然适用.其求解步骤是: (1) 用特解法,将非齐次方程问题化成齐次方程问题
取非齐次方程(8.5.4)的一个特解 ),( yxv ,有 ),( yxfvv yyxx =+ .令
),(),(),( yxyxvtxu ω+= ,
于是 ),( yxω 满足定解问题
0=ω+ω yyxx ( )5.5.8
),,()(),,0()(0
yavyyvyaxx
−υ=ω−μ=ω==
).,()(),0,()(0
bxvxxvxbyy
−ψ=ω−ϕ=ω==
(8.5.5)已是齐次方程 (2) 用叠加原理,化成两个可直接求解的定解问
令 ),,(),(),( yxyxyx I ω+ω=ω
38
Iω 、ω 的定解问题分别是
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−ψ=ω−ϕ=ω
=ω=ω
=ω+ω
==
==
),,()(),0,()(
,0,0
0
0
0
bxvxxvxby
I
y
I
ax
I
x
I
Iyy
Ixx
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=ω=ω
−υ=ω−μ=ω
=ω+ω
==
==
.0,0
),,()(),0()(
,0
0
0
byy
axx
yyxx
yavyyvy
这两个定解问题都是齐次方程和一组非齐次边界条件,可用分离变数或傅里叶级数法直接求解. 以上与分离变数法相关的求解原则,不仅仅适用于一维、二维直角坐标系有界区域定解问题,页可用于三
维和其他坐标系的有界区域定解问题,部分求解原则甚至可用于无界区域定解问题。详细情况见第十、第
十一、第十二、第十三、第十四章。 本章研究的全是定义在有界区域的定解问题,且可用分离变数(傅里叶级数)法求解,容易使人产生误解,似乎任何有界的线性的定解问题都能用分离变数法求解.其实不是这样,例如,下列并不很复杂的变系数的线
性偏微分方程
,02 =− xxtt xuau ( )6.5.8
,02 =− xxtt tuau ( )7.5.8
.0)(2 =+− xxtt utxau ( )8.5.8
(8.5.6)、(8.5.7)是可以分离变数的,而(8.5.8)就不能分离变数.这其实不难理解,因为方程(8.5.8)根本不
存在分离变数形式的解 )()(),( tTxXtxu =
,自然,分离变数法对它不适用.