zad_12

7/21/2019 ZAD_12

http://slidepdf.com/reader/full/zad12 1/5

Pojam afinog prostora. Potprostori afinog prostora

1. Ispitajte je li (A, V , v) afini prostor ako je

a) A = R2, V = R

2, v((x1, y1), (x2, y2)) = (y1 − y2, x1 − x2),

b) A = R3, V = R2, v((x1, y1, z 1), (x2, y2, z 2)) = (2x2 − 2x1, y2 − y1),

c) A = R2, V = R

3, v((x1, y1), (x2, y2)) = (x2 − x1, y2 − y1, 0),

d) A = R3, V = R

2, v((x1, y1, z 1), (x2, y2, z 2)) = (x2 − x1 + y2 − y1, z 2 − z 1),

e) A je skup svih neprekidnih funkcija s [0, 1] u R, V = R, v(f, g) = f (0) − g(0), za svef, g ∈ A.

Svoje tvrdnje opravdajte.

Rjesenje: U a) i b) (A, V , v) je afini prostor. U c) svojstvo (A1) ne vrijedi za svaki vektorx ∈ V , a u d) i e) za svaku tocku A ∈ A i vektor x ∈ V posto ji beskonacno mnogo tocakaB koje zadovoljavaju (A1).

2. Neka su π1 i π2 disjunktne ravnine afinog prostora An. Dokazite da vrijedi

π1 π2 ⇐⇒ dim(π1 + π2) = max(dim π1, dim π2) + 1

Rjesenje: Ako je π1 π2 onda je W 1 ≤ W 2 ili W 2 ≤ W 1, gdje je W i smjer od πi, i = 1, 2.Neka je npr. dim(π1) ≤ dim(π2). Onda je

dim(π1 + π2) = dim(π1) + dim(π2) + 1 − dim(W 1) = dim(π2) + 1.

Obratno, iz dim(π1 + π2) = dim(π2) + 1, slijedi da je dim(W 1) = dim(W 1 ∩ W 2), pa jeW 1 ≤ W 2 i π1 π2.

3. Dokazite da su u afinom prostoru An svake dvije k−dimenzinalne ravnine koje su paralelnes istom k−dimenzinalnom ravninom takoder medusobno paralelne.

Rjesenje: Neka su k-ravnine π1 i π2 paralelne k-ravnini π. Onda za njihove smjerovevrijedi da je W 1 = W i W 2 = W . Stoga je zbog W 1 = W 2 i π1 π2.

4. Neka je A afini prostor te neka su π1 i π2 ravnine u A sa smjerovima W 1 i W 2. Neka jeπ1 ∩ π2 = ∅ te W 1 ≤ W 2. Dokazite da je π1 ⊆ π2.

Rjesenje: Ravnina π1∩π2 je ravnina nekom tockom A iz π1∩π2 sa smjerom W 1∩W 2 = W 1.Dakle, π1 ∩ π2 = π1, tj. π1 ⊆ π2.

5. Neka su π1 i π2 ravnine dimenzija k1 i k2 (resp.) afinog prostora An takve da je k1 ≤ k2 iπ1 ∩ π2 = ∅. Dokazite da su ravnine π1 i π2 paralelne ako i samo ako vrijedi da je

dim(π1 + π2) = k2 + 1.

Rjesenje: Ako je π1π2, onda je W 1 ≤ W 2, pa je dim(W 1 ∩ W 2) = dim(W 1) = k1. Stoga,dim(π1 + π2) = k1 + k2 + 1 − k1 = k2 + 1.Obratno, iz dim(π1 + π2) = k2 + 1 slijedi da je dim(W 1 ∩ W 2) = k1, pa je W 1 ≤ W 2. Dakle,π1π2.

1

7/21/2019 ZAD_12


6. U afinom prostoru An ravnine π1, π2 imaju redom smjerove W 1, W 2 i vrijedi π1 ∩ π2 = ∅.Za m = dim(W 1 ∩ W 2), neka je πm ravnina paralelna s obje ravnine π1, π2, te πn−1 takvahiperravnina da vrijedi πm ⊂ πn−1 i πm ∩ πn−1 = ∅. Dokazite jednakost

dim(πm ∩ πn−1) = dim(π1) + dim(π2) − dim(π1 + π2).

Rjesenje: Iz dim(π1 + π2) = dim(π1)+dim(π2) + 1 − m slijedi da je dim(π1)+dim(π2) −

dim(π1+π2) = m −1. S druge strane je n = dim(πm+πn−1

) = m +n−1−dim(πm∩πn−1

),pa je dim(πm ∩ πn−1) = m − 1.

7. Neka je A3 afini prostor nad vektorskim prostorom V 3 nad poljem F sto ima tocno dvaelementa. Odredite broj pravaca i ravnina u A3 koji prolaze istom tockom.

Rjesenje: Polje F = {0, 1}. Uocimo da je u ovom polju 1+ 1 = 0. Neka je {a1, a2, a3} bazavektorskog prostora V 3. Tada je skup svih vektora iz V 3 jednak skupu {θ, a1, a2, a3, a1 +a2, a1+a3, a2+a3, a1+a2+a3}. Stoga zadanom tockom ima 7 pravaca i 7·6

2 = 21 2-ravnina.

8. Za ravnine πk i πl afinog prostora An ciji su smjerovi W k i W l te dim(W k ∩ W l) = m,vrijedi k + l ≥ m + n. Dokazite da je πk ∩ πl = ∅.

Rjesenje: Pretpostavimo suprotno, tj. πk ∩ πl = ∅. Tada je

dim(πk + πl) = k + l + 1 − m ≥ m + n + 1 − m = n + 1,

sto je proturjecje.

9. Mimosmjerne ravnine πk, πl ⊂ An imaju redom smjerove W k, W l, dim(W k ∩ W l) = m ileze u nekoj s−ravnini. Dokazite da je k + l ≤ s + m − 1.

Rjesenje: Kako je πk + πl ⊆ πs, to je i dim(πk + πl) = k + l + 1 − m ≤ s.

10. Dokazite da za bilo kojih m tocaka Ai, i = 1, 2, · · · , m − 1, m, realnog afinog prostoraAn postoji jedinstvena tocka O ∈ An sa svojstvom da je

m

i=1

−−→OAi = θ.

Rjesenje: Buduci da je −−→OAi =

−−→OA1 +

−−−→A1Ai, jednakost

m

i=1

−−→OAi = θ je ekvivalentna

jednakosti

−−→A1O =

1

m

m

i=2

−−−→A1Ai.

Prema svojstvu afinog prostora (A1), za tocku A1 i vektor 1

m

m

i=2

−−−→A1Ai postoji jedin-

stvena tocka O koja zadovoljava trazenu jednakost.

11. Dvije razlicite p−ravnine π p1, π p2 ⊂ An leze u istoj ( p + 1)−ravnini.

Odredite dim(π p1 ∩ π p

2) ako je π p

1 ∩ π p2 = ∅.

Rjesenje: Nuzno vrijedi da je π p1 + π p

2 = π p+1. Stoga je p + 1 = dim(π p1 + π p

2) = p + p −dim(π p

1 ∩ π p2). Dakle, dim(π p

1 ∩ π p2) = p − 1.

12. U afinom prostoru An dane su dvije disjunktne ravnine πi ciji je presjek smjerova trivijalan. Dokazite da za svaku tocku T ∈ π1 ∪ π2 postoji najvise jedan pravac tockom T kojisijece obje ravnine π1 i π2. U A5 navedite primjere kada takav pravac postoji, odnosnone postoji.

2

7/21/2019 ZAD_12


Rjesenje: Pretpostavimo suprotno, tj. da postoje barem dva razlicita pravca p1 i p2tockom T koja sijeku ravnine π1 i π2. Neka je pi ∩ π1 = {Ai} i pi ∩ π2 = {Bi}, zai = 1, 2. Ravnina p1 + p2 = π2 je 2-ravnina jer se pravci p1 i p2 sijeku u tocki T . Nadalje,π1∩π2 = A1A2 i π2∩π2 = B1B2. Vrijedi da je π2 = A1A2+B1B2 i dim(A1A2+B1B2) = 3, jer su pravci A1A2 ⊂ π1 i B1B2 ⊂ π2 disjunktni, pa smo dobili kontradikciju.

Pr.1 Neka su π21

i π22

dvije mimosmjerne 2 ravnine takve da je W 1 ∩ W 2 = {Θ} u A5.

(U terminima ranga taj slucaj odgovara situaciji r(M ) = 5 i r(M p) = 6.) Neka jeT /∈ π1 ∪ π2 proizvoljna. Vrijedi da je π21

+ T 3-ravnina. Ravnine π21

+ T i π22

senuzno sijeku u tocki Q. T Q je trazeni pravac.

Pr.2 Neka su π21 (dim(π2

1) = 2) i π12 (dim(π1

2) = 1) dvije mimosmjerne ravnine u A5 cijismjerovi imaju trivijalan presjek. Neka je π1

1 ⊂ π21 proizvoljan pravac i T ∈ π2

1 tockakoja ne lezi na pravcu π1

1. Ocito je π2

1 = π1

1 + T . Nadalje, ocito je da se tockom T

ne moze povuci pravac koji sijece oba pravca π11 i π1

2. Dakle, pravci π11 i π1

2 i tockaT predstavljaju slucaj kada trazeni pravac ne postoji.

13. U afinom prostoru presjek dviju ravnina π1 i π2 nije prazan ako i samo ako postoje takve

tocke T 1 ∈ π1 i T 2 ∈ π2 da vektor

−−→

T 1T 2 pripada sumi smjerova tih ravnina. Dokazite.Rjesenje: Ako je π1 ∩ π2 = ∅, onda postoji T ∈ π1 ∩ π2. Za T 1 ∈ π1 (odnosno T 2 ∈ π2) je−−→T 1T ∈ W 1 ≤ W 1 + W 2 (odnosno

−−→T 2T ∈ W 2 ≤ W 1 + W 2).

Obratno, pretpostavimo da postoje tocke T 1 ∈ π1 i T 2 ∈ π2 da vektor −−→T 1T 2 ∈ W 1 + W 2.

Neka skupovi {a1, . . . , ak} i {b1, . . . , bl} predstavljaju baze za smjerove W 1 i W 2. Tada je W 1 + W 2 razapet skupom {a1, . . . , ak, b1, . . . , bl} (koji nije nuzno baza za W 1 + W 2).

Vektor −−→T 1T 2 mozemo prikazati (ne nuzno jedinstveno) kao linearnu kombinaciju

−−→T 1T 2 =

α1a1+ · · · + αkak + β 1b1 + · · · + β lbl. Prema svojstvu afinog prostora (A1) za tocku T 1 ∈ π1

i vektor α1a1 + · · · + αkak ∈ W 1 postoji jedinstvena tocka Q1 ∈ π1 takva da je −−−→T 1Q1 =

α1a1 + · · · + αkak. Analogno, postoji Q2 ∈ π2 takva da je −−−→T 2Q2 = −(β 1b1 + · · · + β lbl).

Stoga je −−→T 1T 2 =

−−−→T 1Q1 +

−−−→Q2T 2, odnosno

−−−→T 1Q2 =

−−−→T 1Q1. Otuda je Q1 = Q2, pa smo dokazali

eqzistenciju tocke Q1 = Q2 iz π1 ∩ π2.

14. Neka su πk1 i πl

2, k ≤ l dvije disjunktne ravnine u afinom prostoru An sa svojstvom da je πk

1 + π l

2 = An . Ako je πs ravnina maksimalne dimenzije s koja je sadrzana u πk

1 i

paralelna s πl2,odredite s.

Rjesenje: Vrijedi da je k + l + 1 − dim W k1 ∩ W l2 = n. Maksimalna dimenzija ravnine koja je sadrzana u πk

1 i paralelna s πl2 je dim W k1 ∩ W l2 = k + l + 1 − n.

15. Ispitajte refleksivnost, simetricnost i tranzitivnost relacijea)mimosmjernosti,

b)paralelnosti.Ukoliko neko od svojstava ne vrijedi, navedite protuprimjer.

Rjesenje: Relacija biti mimosmjeran je simetricna, ali nije refleksivna ni tranzitivna. Pro-

tuprimjer za tranzivnost : Neka je ABCDA1B1C 1D1 kocka. Pravac AB je mimosmjerans DD1, pravac DD1 je mimosmjeran s A1B1, ali ABA1B1.Relacija paralelnosti je refleksivna, ali u uzem smislu (tj. kad su ravnine i disjunktne) nijerefleksivna. Nadalje, ova je relacija je simetricna, ali nije tranzitivna. Protuprimjer za

tranzivnost : Neka je ABCDA1B1C 1D1 kocka. Ravnina ABCD je paralelna pravcu C 1D1,pravac C 1D1 je paralelan ravnini ABB1A1, a ravnine ABCD i ABB1A1 nisu paralelne, jer se sijeku po pravcu AB.

16. Neka je A n-dimenzionalni afini prostor, k ∈ {0, . . . , n} te neka je S skup svih k-ravninau A. Dokazite da je relacija paralelnosti na S relacija ekvivalencije.

3

7/21/2019 ZAD_12


Rjesenje: Jasno je da je relacija paralelnosti refleksivna i simetricna. Pretpostavimo da je πk

1πk2

i πk2πk

3. Tada je W 1 = W 2 i W 2 = W 3. Zaista, ako je W 1 ≤ W 2 i dim(W 1) =

dim(W 2), onda je nuzno W 1 = W 2. Stoga je W 1 = W 3 i πk1πk

3.

17. Zadane su ravnine π1, π2, π3, pri cemu je poznato da se ravnine π2 i π3 sijeku. Ispitajtekoja od sljedecih inkuzija vrijedia) π1 + (π2 ∩ π3) ⊆ (π1 + π2) ∩ (π1 + π3),

b) π1 + (π2 ∩ π3) ⊇ (π1 + π2) ∩ (π1 + π3).Nevazecu inkluziju popratite protuprimjerom.

Rjesenje: a) Buduci da je π2 ∩ π3 ⊆ π2 i π2 ∩ π3 ⊆ π3, to je π1 + (π2 ∩ π3) ⊆ π1 + π2 iπ1 + (π2 ∩ π3) ⊆ π1 + π3, pa je i π1 + (π2 ∩ π3) ⊆ (π1 + π2) ∩ (π1 + π3).b) Ova inkuzija opcenito ne vrijedi. Neka je ABCDA1B1C 1D1 kocka 3-dimenzionalnomprostoru. Neka je π1 = C C 1, π2 = AB i π3 = AD. Onda je π2 ∩ π3 = {A} i π1 + (π2 ∩ π3) je ravnina AA1C 1C , a (π1 + π2) ∩ (π1 + π3) je citav prostor.

18. U afinom prostoru An zadane su mimosmjerne ravnine π1 i π2 sa smjerovima W 1 i W 2.Neka je dim(W 1 ∩ W 2) = 2, te neka obje ravnine leze u nekoj 5-ravnini. Odredite kojihsve dimenzija mogu biti ravnine π1 i π2.

Rjesenje: Vrijedi da je

dim(π1 + π2) = dim(π1) + dim(π2) + 1 − 2 ≤ 5,

pa jedim(π1 + π2) ≤ 6.

Buduci da su ravnine π1 i π2 mimosmjerne nuzno vrijedi da je dim(πi) > 2 za i = 1, 2.Zaista, ako bi bilo da je dim π1 = 2, onda bi W 1 ≤ W 2, a to znaci da su ravnine paralelne.Stoga je jedino moguce da je dim(π1) = dim(π2) = 3.

19. Ako su p1, ..., pk pravci realnog afinog prostora koji prolaze istom tockom T , dokazite da je unija tih pravaca ravnina ako i samo ako je p1 = . . . = pk.

Rjesenje: Pretpostavimo da je ∪ki=1

pi ravnina te da postoje i i j takvi da je pi = p j.Neka je T ∈ πi\{T } i T ∈ π j\{T }. Ocito, tada pravac T T ne sadrzi tocku T . Buducida je S ravnina i da su T , T ∈ S , to je svaka tocka X ∈ T T u S . Medutim, pravci p1, ..., pk sijeku pravac T T u konacno mnogo tocaka A1, ..., Am, m ≤ k, pa tockaX ∈ T T \{A1, . . . , Am} nije u skupu S .

20. Neka su πn−k i πk+1 ravnine afinog prostora An takve da im je suma citav prostor. Odred-ite u kojim se sve polozajima mogu naci ove dvije ravnine. Nadalje, konkretno rijesiteovaj zadatak za n = 5 i razne k.

Rjesenje: Ukoliko πn−k ∩ πk+1 = ∅, onda iz n = dim(πn−k + πk+1) slijedi da je dim(πn−k ∩πk+1) = 1 (tj. sijeku se po pravcu). U A5 su moguci sljedeci sluca jevi: π5 i π1, π4 i π2, teπ3 i π3.Ako se ravnine πn−k i πk+1 ne sijeku, onda im je presjek smjerova nuzno dimenzije 2. U A5

moguc je slucaj ravnina π4 i π2 koje su paralelne i ravnina π3 i π3 koje su mimosmjerne.

21. Neka su π1 i π2 razlicite k–ravnine istog smjera W k u afinom prostoru An, te neka jeπ3 k–ravnina smjera W k3 = W k. Neka je dim(W k ∩ W k3 ) = l. Za n = 4 odredite svemogucnosti za k, l i u ovisnosti od njih dim((π1 + π2) ∩ π3) i dim((π1 + π2) + π3).

Rjesenje: Ravnine π1 i π2 su paralelne pa je dim(π1 + π2) = k + 1.

k = 1, l = 0: (π11 + π1

2) ∩ π13 = ∅ i dim((π1

1 + π12) + π1

3) = 4 ili dim(π11 + π1

2) ∩ π13) = 0 i dim((π1

1 +π12

) + π13

) = 3,

4

7/21/2019 ZAD_12


zad_12

Documents