§3 空间解析几何

§3 §3 空间空间解析几何解析几何

1 空间直角坐标系 2 两矢量和在轴上的投影3 矢量积的分配律的证明 4 混合积的几何意义 5 一般柱面 F(x,y)=0 6 一般柱面 F(y,z)=0 7 椭圆柱面 8 双曲柱面 9 抛物柱面 10 旋转面的方程11 双叶旋转双曲面 12 单叶旋转双曲面 13 旋转锥面 14 旋转抛物面15 环面 16 椭球面 17 椭圆抛物面 18 双曲抛物面 19 双曲面的渐近锥面 20 单叶双曲面是直纹面 21 双曲抛物面是直纹面 22 一般锥面23 空间曲线——圆柱螺线 24 空间曲线在坐标面上的投影25 空间曲线作为投影柱面的交线 (1)26 空间曲线作为投影柱面的交线 (2)

27 作出平面 y=0 , z=0 ， 3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6 所围成的立体图形

主目录主目录 ( 1— 30 )( 1— 30 )

28

图形

所围立体作出曲面 0,0,0,222222 zyxazxyx ，a

29

形在第一卦限所围立体图平面 azyx,az,ay,ax

30

.

1 1 2222 所围立体图形和作出曲面 zyxyxz

15. 环面环面y

xor

R

)0() 222 rRryRx（圆绕 y 轴旋转所成曲面

15. 环面环面

z

绕 y 轴旋转所成曲面y

xo

.

)0() 222 rRryRx（圆

15. 环面环面

z

绕 y 轴旋转所成曲面

22222 )( ryRzx 环面方程 .

生活中见过这个曲面吗？y

xo

)(4)( 222222222 zxRrRzyx 或.

.

)0() 222 rRryRx（圆

救生圈救生圈

.

15. 环环面面

1 2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

截痕法用 z = h 截曲面

用 y = m 截曲面用 x = n 截曲面 a

b

c

y

x

z

o

16. 椭球面椭球面

x

z

y0

截痕法用 z = a 截曲面

用 y = b 截曲面用 x = c 截曲面

17. 椭圆抛物面椭圆抛物面

zq

y

p

x2

2

2

2

2

x

z

y0

截痕法用 z = a 截曲面

用 y = b 截曲面用 x = c 截曲面

17. 椭圆抛物面椭圆抛物面

.

zq

y

p

x2

2

2

2

2

用 z = a 截曲面

用 y = 0 截曲面用 x = b 截曲面

x

z

y

0

zq

y

p

x

2

2

2

2

截痕法

（马鞍面）

18. 双曲抛物面

截痕法

.

18. 双曲抛物面

（马鞍面）

x

z

y

0

用 z = a 截曲面

用 y = 0 截曲面用 x = b 截曲面

zq

y

p

x

2

2

2

2

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

单叶：

双叶：

y

x

z

o 在平面上，双曲线有渐进线。相仿，单叶双曲面和双叶双曲面有渐进锥面。用 z=h 去截它们，当 |h| 无限增大时，双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。

渐进锥面：

19. 双曲面的渐进双曲面的渐进锥面面

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

直纹面在建筑学上有意义直纹面在建筑学上有意义含两个直母线系含两个直母线系

例如，储水塔、电视塔等建筑都有用这种结构的。

.

20. 单叶双曲面是直纹面单叶双曲面是直纹面

zb

y

a

x

2

2

2

2

含两个直母线系含两个直母线系

21. 双曲抛物面是直纹面双曲抛物面是直纹面

n 次齐次方程 F(x,y,z)= 0 的图形是以原点为顶点的锥面；

方程 F(x,y,z)= 0 是 n 次齐次的： ).,,(),,( zyxFttztytxF n若

准线

顶点

n 次齐次方程 F(x,y,z)= 0.反之，以原点为顶点的锥面的方程是锥面是直纹面

x

0

z

y

t 是任意数22. 一般锥面面

23. 空间曲线空间曲线————圆柱螺线

P

同时又在平行于 z 轴的方向等速地上升。其轨迹就是圆柱螺线。

圆柱面 222 ayx

y

z

0

x

a

x = y =z =

acos t

bt

M(x,y,z)

asin t

t

M螺线从点 P Q

当 t 从 0 2 ，

bPQ 2 叫螺距N

.

Q

（移动及转动都是等速进行，所以 z 与 t 成正比。 )

点 P 在圆柱面上等速地绕 z 轴旋转；

。平面的投影在的交线及求曲面 2 2222 xoyLyxzyxz

22

222 yxz

yxz

1

.

11

22

zyx

解

yx

z

o

得交线 L ：

24. 空间曲线在坐标面上的投空间曲线在坐标面上的投影影

由

z =0

.

2

1

11

22

zyx

yx

z

o

解

122 yx

L

所求投影曲线为

122 yx

0

1

22

z

yx ...

得交线 L ：

24. 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影

.

投影柱面

22

222 yxz

yxz由

。平面的投影在的交线及求曲面 2 2222 xoyLyxzyxz

1283

442

22

22

xzy

zxzy

将其换成

L:

x

z

y0

( )

投影柱面的交线

25. 空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线 (1)(1)

消去 zy2 = – 4x

y2 = – 4x

1283

442

22

22

xzy

zxzy

将其换成

L:

x

z

y0

( )


消去 z

( 消去 x )


.

y2+(z – 2)2 = 4

y2+(z – 2)2 = 4

y2 = – 4x

y2 = – 4x

1283

442

22

22

xzy

zxzy

将其换成

L ：

L:

x

z

y0

L

转动坐标系，有下页图

( )


转动坐标系，有下页图

.

消去 z

( 消去 x )

.

y2+(z – 2)2 = 4

y2 = – 4x

y2+(z – 2)2 = 4

y2 = – 4x


L ：

L

x

z

y

0

y2+(z – 2)2 = 4

y2 = – 4x ( 消去 z)

y 2 + (z – 2)2 = 4 ( 消去 x)

y2 = – 4x


6

6

6

x+y+z=6

3x+y=6

2

27. 作图练习

x

0

z

y

平面 y=0 , z=0 ， 3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z =6 所围成的立体图

6

6

6

x+y+z=6

3x+y=6

2.

x

0

z

y


27. 作图练习

3x+y=6

3x+2y=12

x+y+z=6

.

6

6

6x

0

z

y

4

2


27. 作图练习

4

2

x+y+z=6

.

x

0

z

y6

6

6


27. 作图练习

4

2.

x

0

z

y6

6

6


27. 作图练习

a

a

所围立体图作出曲面 z,y,x,azxayx ，

x

z

y0

28. 作图练习

z = 0

y = 0

x = 0

a

ax

z

y0

所围立体图作出曲面 z,y,x,azxayx ， 28. 作图练习

.

a

a

x

z

y0

学画草图学画草图所围立体图作出曲面 z,y,x,azxayx ，

28. 作图练习

.

a

所围立体图形和作出曲面 zyxyxz

1

–1

1y

x

0

29. 作图练习

z

在第一卦限所围立体图平面 azyx,az,ay,ax

a2

3

a2

3

a2

3

0

x

z

y

a

a

a

30. 作图练习

a2

3

a2

3

a2

3

0

x

z

y

a

a

a


30. 作图练习

.

z=0

x=0

y=0

a2

3

a2

3

a2

3

a

a

a


30. 作图练习

.

0

x

z

y

问题：问题：这是个怎样的立体？这是个怎样的立体？这是个七面体这是个七面体

谢谢使

谢谢使

用用

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.

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