資訊科學數學資訊科學數學 22::Basic Rules of CountingBasic Rules of Counting陳光琦助理教授 陳光琦助理教授 (Kuang-Chi Che(Kuang-Chi Chen)n)

chichen6@mail.tcu.edu.twchichen6@mail.tcu.edu.tw

Sum & ProductSum & Product1 1 和與積 和與積 (The Rules of Sum and Product)(The Rules of Sum and Product)1.1 1.1 和規則（和規則（ The rule of sumThe rule of sum ））• 第一個工作可以第一個工作可以 mm 種方法完成，而第二個工種方法完成，而第二個工作可以作可以 nn 種方法完成，若這兩工作不可同時種方法完成，若這兩工作不可同時被執行且這些方法皆不同，則執行任一工作被執行且這些方法皆不同，則執行任一工作可以可以 mm++nn 種方法中的任一種來完成。種方法中的任一種來完成。e.g., e.g., 咖啡咖啡 55 種種、、紅茶紅茶 77 種種，，任選一種飲料的選擇性…任選一種飲料的選擇性…

Examples of SumExamples of Sume.g.1,e.g.1, 某門課的期末報告參考文獻某門課的期末報告參考文獻：：題材題材 AA的的 mm 篇期刊文章，題材篇期刊文章，題材 BB 的的 nn 篇期刊文章，篇期刊文章，若只需寫一主題且這些文章皆不相同，則同若只需寫一主題且這些文章皆不相同，則同學可自由選擇學可自由選擇 mm++nn 篇文章中的任一篇來完成篇文章中的任一篇來完成，， i.e., i.e., 同學的選擇性有同學的選擇性有 mm++nn 種。種。e.g.2,e.g.2, 關於某門課關於某門課，， AA 老師有老師有 33 本參考書籍，本參考書籍，

BB 老師有老師有 55 本參考書籍，則本參考書籍，則 CC 老師可以向這老師可以向這兩位老師借兩位老師借 5 ~ 85 ~ 8 本書籍以供參考本書籍以供參考，， 因為因為 AA, , BB 兩位老師可能有相同的書籍。兩位老師可能有相同的書籍。

Definition of ProductDefinition of Product1.2 1.2 積規則（積規則（ The rule of productThe rule of product ））• 若一程序有兩階段，第一階段有若一程序有兩階段，第一階段有 mm 種可能作種可能作法，第二階段有法，第二階段有 nn 種作法，則依照順序，整種作法，則依照順序，整個程序共有個程序共有 mm××nn 種完成的方法。種完成的方法。e.g., e.g., 咖啡咖啡 55 種種、、紅茶紅茶 77 種種，各，各選一種飲料的選擇性…選一種飲料的選擇性…

Examples of ProductExamples of Producte.g.3, e.g.3, 某校戲劇社之春季公演試鏡，男主角有某校戲劇社之春季公演試鏡，男主角有33 人來試鏡，女主角有人來試鏡，女主角有 44 人來試鏡，在不考人來試鏡，在不考慮演技因素，導演有慮演技因素，導演有 3×43×4 種男女主角組合可種男女主角組合可供考慮。供考慮。e.g.4, e.g.4, 在設定三位數字密碼，若數字可以重複，在設定三位數字密碼，若數字可以重複，則有則有 10×10×1010×10×10 種組合可供考慮；種組合可供考慮； 若數字不可重複，則有若數字不可重複，則有 10×9×810×9×8 種組合；種組合； 若必須為百位數 若必須為百位數 (( 第一位數不為第一位數不為 0) 0) 且 數字且 數字可重複，則有可重複，則有 9×10×109×10×10 種組合。種組合。

Examples of Product Examples of Product (cont’d)(cont’d)

e.g.5, e.g.5, 電腦記憶體內的電路組合，每一個可儲電腦記憶體內的電路組合，每一個可儲存一個位元（存一個位元（ bitbit ），即二進位數字），即二進位數字 00 或或 11 。。這些儲存電路會被指定在有序八位元表列這些儲存電路會被指定在有序八位元表列（位元組（位元組 bytebyte ）的位址（）的位址（ addressaddress ），利），利用積規則，共有用積規則，共有 2×2×2×2×2×2×2×2 2×2×2×2×2×2×2×2 = 2= 288 = 256 = 256 個位元組可供儲存。個位元組可供儲存。• 若一般數位家電如微波爐，是由兩個連續的若一般數位家電如微波爐，是由兩個連續的位元組組成，因此共有位元組組成，因此共有 2288×2×288 = 63,536 = 63,536 個個可用位址來被記憶細胞儲存資料。可用位址來被記憶細胞儲存資料。

Example of Sum & Example of Sum & ProductProducte.g.6, e.g.6, 同時使用和與積的規則同時使用和與積的規則

• 某家咖啡店下午茶提供某家咖啡店下午茶提供 55 種蛋糕、種蛋糕、 33 種冰淇種冰淇淋、淋、 44 種冰飲、種冰飲、 33 種熱飲，搭配方式為一塊種熱飲，搭配方式為一塊蛋糕蛋糕 ++ 一杯冰飲 或 一球冰淇淋一杯冰飲 或 一球冰淇淋 ++ 一杯熱飲 一杯熱飲 兩種組合方式，請問有幾種選擇？兩種組合方式，請問有幾種選擇？Ans. 5×4 + 3×3 = 29 .Ans. 5×4 + 3×3 = 29 .

PermutationPermutation 2 2 排列（排列（ PermutationPermutation ））nn 個不同物體的任何線性安排 個不同物體的任何線性安排 (arrangemen(arrangement) t) ，這些安排稱為排列 ，這些安排稱為排列 (permutation)(permutation) 。。

Arrange, Order & Arrange, Order & FactorialFactorial

2.1 2.1 安排、順序與階乘（安排、順序與階乘（ Arrange, order anArrange, order and factoriald factorial ））• 線性安排強調順序（線性安排強調順序（ orderorder ））• 大於或等於大於或等於 00 的整數，的整數， nn 階乘 階乘 ((nn factorial factorial)) 為為 nn! = ! = nn×(×(nn – 1)× … ×2×1 – 1)× … ×2×1, for any , for any nn≥1≥1; ; 0! 0!

= 1= 1..※ ※ Recursive rule: Recursive rule: ((nn + 1)! = ( + 1)! = (nn + 1)× + 1)× n n!!

Definition of Definition of PermutationPermutation2.2 2.2 排列（排列（ PermutationPermutation ））

• nn 個不同物體的任何線性安排 個不同物體的任何線性安排 (arrangemen(arrangement)t) ，這些安排稱為，這些安排稱為排列 排列 (permutation)(permutation) 。 。

Examples of Examples of PermutationPermutatione.g.7, 4e.g.7, 4 家無線電視台先後招考晨間新聞主家無線電視台先後招考晨間新聞主

播播，，一經錄取則不得反悔一經錄取則不得反悔，， 1010 位記者同時位記者同時爭取，則共有幾種可能的結果？爭取，則共有幾種可能的結果？• 第一家可選擇的人數為第一家可選擇的人數為 1010 人，第二家可選人，第二家可選擇的人數為擇的人數為 99 人，第三家可選擇的人數為人，第三家可選擇的人數為 88人，第四家可選擇的人數為人，第四家可選擇的人數為 77 人，共有人，共有 1010×9×8×7×9×8×7 種可能的結果。種可能的結果。i.e., 10!/6! = 10! / (10 – 4)!i.e., 10!/6! = 10! / (10 – 4)!

Formula of Formula of PermutationPermutation2.2.1 2.2.1 nn 個不同物體的個不同物體的 rr 個線性安排：個線性安排： PP((nn, , rr)) ，，

• PP((nn, , rr) = ) = nn!/ (!/ (nn – – rr)! )! ，， for any for any 0≤ 0≤ rr ≤ ≤n n = = n n × (× (nn – 1) × … × ( – 1) × … × (nn – – rr + 1) + 1) 。 。 11stst位置位置 , 2, 2ndnd 位置位置 , … , , … , rrthth 位置位置

•當 當 rr = 0 = 0 ，， PP((nn, 0) = , 0) = nn!/ (!/ (nn – 0)! = 1 – 0)! = 1 ； ； 當 當 rr = = nn ，， PP((nn, , nn) = ) = nn!/ (!/ (nn – – nn)! = )! = nn!! 。。Note: Note: PP((nn, , rr)) 的排列的排列，物體是，物體是不可以重複的不可以重複的，，若是物體若是物體可以重複，則為可以重複，則為 nnrr 。（見。（見 e.g.4e.g.4 ））

Permutation 2Permutation 22.2.2 2.2.2 nn 個物體中有個物體中有 nn11 個為第一類型，個為第一類型， nn22 個第二類型，個第二類型，…，…， nnrr 個第個第 rr類型類型，， nn11 + + nn22 + … + + … + nnrr = = nn ，則，則 nn 個個物體的線性安排 物體的線性安排 nn!/ (!/ (nn11! ! nn22! … ! … nnrr!)!) 。。e.g.8, FASTe.g.8, FAST 這個字的字母總排列數為這個字的字母總排列數為 4! = 244! = 24 ； ； 若取其中若取其中 22 個字母排列，則排列數為 個字母排列，則排列數為 PP(4,(4, 2) = 4!/(4 – 2)! = 12 2) = 4!/(4 – 2)! = 12 。。• FAST, FATS, FSAT, FSTA, FTAS, FTSA, FAST, FATS, FSAT, FSTA, FTAS, FTSA, AFST, AFTS, ASFT, ASTF, ATFS, ATSF, AFST, AFTS, ASFT, ASTF, ATFS, ATSF, SFAT, SFTA, SAFT, SATF, STFA, STAF, TFAS, SFAT, SFTA, SAFT, SATF, STFA, STAF, TFAS, TFSA, TAFS, TASF, TSFA, TSAF;TFSA, TAFS, TASF, TSFA, TSAF;• FA, AF, FS, SF, FT TF, AS, SA, AT, TA, ST, TS.FA, AF, FS, SF, FT TF, AS, SA, AT, TA, ST, TS.

Example of Permu2Example of Permu2e.g.9, BEERe.g.9, BEER 這個字的字母總排列數不為這個字的字母總排列數不為 4!4! ，，因為其中因為其中 22 個字母相同（個字母相同（ nn11 = 1, = 1, nn22 = 2, = 2, nn33 = = 11 ），故其排列數為），故其排列數為 4!/2! = 124!/2! = 12 。。• BEER, BERE, BREE, BEER, BERE, BREE, EBER, EBRE, EEBR, EERB, ERBE, EBER, EBRE, EEBR, EERB, ERBE,

EREB, EREB, RBEE, REBE, REEB.RBEE, REBE, REEB.

Example of Permu2Example of Permu2e.g.10, FASTESTe.g.10, FASTEST 這個字的字母總排列數，這個字的字母總排列數， 因為其中因為其中 SS 與與 TT各有各有 22次重複出現（次重複出現（ nn11 = 1, = 1, nn22 = 1, = 1, nn33 = 2, = 2, nn44 = 2, = 2, nn55 = 1 = 1 ）， 故其排）， 故其排列數為列數為 7!/2!2! = 1,2607!/2!2! = 1,260 。。

Example of Permu2Example of Permu2

e.g.11, e.g.11, 在在 XY-XY- 格子平面上，由座標格子平面上，由座標 (1,0)(1,0)走至走至 (5,(5,4)4) 的最短路徑數，（只能往上或往右走，不能回的最短路徑數，（只能往上或往右走，不能回頭、繞路）。頭、繞路）。 (( 見圖見圖 11 的說明的說明 ))

Example of Permu2 Example of Permu2 (cont’d)(cont’d)

e.g.11 (e.g.11 (圖圖 1)1) 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5

Example of Permu2 Example of Permu2 (cont’d)(cont’d)

e.g.11 (cont’d)e.g.11 (cont’d)•圖圖 11 左的走法為左的走法為 (R, R, R, R, U, U, U, U) (R, R, R, R, U, U, U, U) ，，圖圖 11 右的走法為右的走法為 (R, U, U, U, R, R, R, U) (R, U, U, U, R, R, R, U) 。。• 由所列出之排列得知，最短路徑為由所列出之排列得知，最短路徑為 44 個個 RR 與與44 個個 UU 所組成，共有所組成，共有 4+44+4 步的移動，因此總步的移動，因此總排列數為 排列數為 8!/4!4! = 708!/4!4! = 70 。。

Example of Permu3Example of Permu32.2.3 2.2.3 圓型排列圓型排列e.g.12, e.g.12, 在方桌上的在方桌上的 44 個人，個人， A, B, C, DA, B, C, D，分別坐，分別坐在北東南西四個位置，在北東南西四個位置， 若北東南西四個位置代表不同的座位，則這四個若北東南西四個位置代表不同的座位，則這四個人的位置安排數為人的位置安排數為 4! = 124! = 12 ；； 若這四個位置沒有不同，只要四人彼此的順序不若這四個位置沒有不同，只要四人彼此的順序不變即視為一樣，則這四個人的位置安排數為 變即視為一樣，則這四個人的位置安排數為 4!/4 4!/4 = 3! = 6= 3! = 6 。。

Example of Permu3 Example of Permu3 (cont’d)(cont’d)

e.g.12 (e.g.12 (圖圖 2-1)2-1)(i) (ii) (iii)(i) (ii) (iii)

D

A

C

B

C

D

B

A

B

A

C

D

Example of Permu3 Example of Permu3 (cont’d)(cont’d)

e.g.12 (cont’d)e.g.12 (cont’d)• 在情況一，在情況一， (i) & (ii)(i) & (ii) 代表不同的安排；代表不同的安排；• 在情況二，在情況二， (i) & (ii)(i) & (ii) 代表相同的安排，而代表相同的安排，而 (ii(iii)i) 與與 (i) (& ii)(i) (& ii) 代表不同的安排。代表不同的安排。

Example of Permu3 Example of Permu3 (cont’d)(cont’d)

e.g.12 (e.g.12 (圖圖 2-2)2-2)(iv) (v) (vi)(iv) (v) (vi)

(vii)(vii) 六種組合分別為六種組合分別為 i, iii, iv, v, vi, viii, iii, iv, v, vi, vii

C

A

D

B

D

A

B

C

B

A

D

C

C

A

B

D

CombinationCombination3.1 3.1 選擇與組合（選擇與組合（ Selection and Selection and

CombinationCombination ））• 由由 nn 個不同物體中取出個不同物體中取出 rr 個物體，在不考慮順序個物體，在不考慮順序的情況下，有的情況下，有 CC((nn, , rr)) 種組合，種組合，• CC((nn, , rr) = ) = nn!/!/rr!(!(nn – – rr)! = )! = PP((nn, , rr)/)/rr!! ，， for anyfor any 0≤ 0≤ rr ≤≤nn 。。Note: Note: CC((nn, 0) = , 0) = CC((nn, , nn)) = 1 = 1 ；； CC((nn, 1) = , 1) = CC((nn, , nn–1) = –1) = nn 若若 0 ≤0 ≤nn < < rr ，則，則 CC((nn, , rr) = 0) = 0 。。

Examples of Examples of CombinationCombinatione.g.13, e.g.13, 由學校自助餐的由學校自助餐的 55 種菜色選取種菜色選取 33 種，種，其可能的組合數為 其可能的組合數為 CC(5, 3) = 5!/3!2! = 10(5, 3) = 5!/3!2! = 10 。。

e.g.14, e.g.14, 樂透彩係由樂透彩係由 1-491-49 的號碼中選取的號碼中選取 55 個個（與選取順序無關），及（與選取順序無關），及 1-421-42 中選中選 11 個特個特別碼，則可能的組合號碼為別碼，則可能的組合號碼為 CC(49, 5)×(49, 5)×CC(42, 1) = 80,089,128(42, 1) = 80,089,128 ，…，… … …. . 故中第一特獎的機率為故中第一特獎的機率為 1/80,089,1281/80,089,128 。。

Examples of CombinationExamples of Combinatione.g.15, e.g.15, 由撲克牌中選取由撲克牌中選取 55張，其中一張必須為紅張，其中一張必須為紅心，則可能組合為心，則可能組合為 CC(13, 1)×(13, 1)×CC(51, 4) = 13×249,900 = 3,248,700(51, 4) = 13×249,900 = 3,248,700 ？？？？ 錯！錯！

Examples of CombinationExamples of Combinatione.g.15 (cont’d)e.g.15 (cont’d)• CC(13, 1)×(13, 1)×CC(39, 4) + (39, 4) + CC(13, 2)×(13, 2)×CC(39, 3) + (39, 3) + CC(13, (13, 3)×3)×CC(39, 2) + (39, 2) + CC(13, 4)×(13, 4)×CC(39, 1) + (39, 1) + CC(13, 5)×(13, 5)×CC(39, 0) (39, 0) = = 2,023,203= = 2,023,203 。。5

13 395

1i i

i

C C

Binomial TheoremBinomial Theorem

3.2 3.2 二項式定理（二項式定理（ The binomial theoremThe binomial theorem ））若若 xx及及 yy 為變數，且為變數，且 nn 為一正整數，則為一正整數，則• ((xx + + yy))nn == = = Note: Note: CC((nn, , rr)) 被稱為二項式係數（被稱為二項式係數（ binomial coefficientbinomial coefficient ）） ..

( )

0

nn k n kk

k

C x y

0 ( 0) 1 ( 1) 1 1 00 1 1...n n n n n n n n

n nC x y C x y C x y C x y

Examples of BinomialExamples of Binomiale.g.16, e.g.16, 當當 nn = 4 = 4 的展開式為的展開式為 ((xx + + yy)()(xx + + yy)()(xx + +

yy)()(xx + + yy)) 的展開，其中的展開，其中 xx22yy22 為為 44 次方中，兩次方中，兩個為個為 xx ( ( 相同相同 )) ，兩個為，兩個為 yy ，故所形成的組合，故所形成的組合數數 4!/2!2! = 4!/2!2! = CC(4, 2) = 6(4, 2) = 6 。。•故當故當 nn = 7 = 7 的展開式，的展開式， xx55yy22 的係數為的係數為 CC(7, 5) = 7!/5!2! = (7, 5) = 7!/5!2! = CC(7, 2) = 21(7, 2) = 21 。。

Examples of BinomialExamples of Binomiale.g.17, (2e.g.17, (2aa + 3 + 3bb))33 的展開式，的展開式， aa22bb11 的係數為的係數為• CC(3, 2)(2(3, 2)(2aa))22(3(3bb))11 = 3×(2) = 3×(2)22(3)(3)aa22bb = 36 = 36aa

22bb ，， 故故 aa22bb 的係數為的係數為 3636 。。i.e., i.e., ((xx + + yy))nn 中，中， xx = 2 = 2aa ，， yy = 3 = 3bb 代入代入。。

Application of BinomialApplication of Binomial定理一：對每個整數定理一：對每個整數 nn > 0 > 0a) a) CC((nn, 0) + , 0) + CC((nn, 1) + , 1) + CC((nn, 2) + … + , 2) + … + CC((nn, , nn)) = 2= 2nn ，，b) b) CC((nn, 0) – , 0) – CC((nn, 1) + , 1) + CC((nn, 2) – , 2) – CC((nn, 3) + … , 3) + …

+ (-1) + (-1)nnCC((nn, , nn)) = 0= 0 。。

Proof of Theorem 1Proof of Theorem 1證明：證明：a) (a) (xx + + yy))nn 中，中， xx = 1 = 1 ，， yy = 1 = 1 代入代入， ， 右式等於 右式等於 CC((nn, 0) + , 0) + CC((nn, 1) + … + , 1) + … + CC((nn, , nn)) ， ， 左式等於 左式等於 22nn ；；

b) (b) (xx + + yy))nn 中，中， xx = -1 = -1 ，， yy = 1 = 1 代入 …。代入 …。

Multinomial TheoremMultinomial Theorem多項式定理（多項式定理（ The multinomial theoremThe multinomial theorem ））((xx11 + + xx22 + x + x33 + … + x + … + xkk))nn 的展開式的展開式