1

第2章 電阻電路分析

此章,介紹基礎電路分析之基本觀念與定律

學習目標

•歐姆定律( OHM’S LAW) – 定義最簡單之被動元件: 電阻器

•克希荷夫定律(KIRCHHOFF’S LAWS) – 基本電路守恆定律-克希荷夫電流定律(KCL)與克希荷夫電壓定律(KVL)

•學習分析最簡單之電路•單迴路 -分壓器(VOLTAGE DIVIDER)•單節點對 – 分流器(CURRENT DIVIDER)

• 串聯/並聯電阻 組合 –簡化複雜電路之技巧

• 含相依電源之電路

• WYE(Y) – DELTA(Δ) 轉換– 化簡一般非串並聯連接電阻之技巧

2

2.1歐姆定律(OHM’s Law)

−+ )(tv

)(ti

電阻器為被動元件,其特性可由跨其兩端之電壓與通過電流之代數關係來說明

電阻器之一般模式 ))(()( tiFtv =

線性電阻器 OHM’s Law

)()( tRitv =

常數,R,稱為元件之電阻,單位為 Ohm

)(Ω

從因次之觀點Ohms 所推求之單位為 Volt/Amp

)10(Ohm Kilo )10(Ohm Mega

10Ohm

3

6

ΩΩ

ΩΩ

kM

的倍率之標準

ΩkmAVolt

電阻單位為

通常出現

電導

OHM’slaw 可寫成

vR

i 1=

因為方程式為代數 (algebraic)可省略時間相關 (time dependence)

GviR

G

=

= 寫為為元件之電導定義 , 1

電導之單位Siemens

3

部份實際之電阻器

符號

4

R−

+v

i

ation Represent Circuit

注意被動符號之慣例兩個特殊電阻

CircuitShort

CircuitOpen

−=

+0v

0=i

∞==

GR 0

0=∞=

GR

線性 近似

實際 v-I 關係

線性範圍

v

i

5

OHM’S LAW 問題求解 提示

Law) sOHM'(GviRiv

歐姆定理

==

Given current and resistanceFind the voltage

AI 2=Ω= 5R

−=

+][10 VV

注意,使用被動符號之慣例

Given Current and VoltageFind Resistance

−

+][20 V

][4 AI =IVR =

Ω= 5R

Given Voltage and ResistanceCompute Current

−

+][12 V Ω=3R

RVI =

][4 AI =

求解電流之方向,使用

被動符號之慣例

Table 1 Keeping Units Straight

Voltage Current Resistance

Volts Amps Ohms

Volts mA kΩ

mV A mΩ

mV mA Ω

RIV =

6

單位 ?

電導為 SIEMENS, 電壓為 VOLTS, 電流為 AMPERES

][8)( Ati =

Ω

已知電壓與電導

參考方向符合, 被動符號之慣例

)t(Gv)t(i = OHM’S LAW

−

+

)()( tRitv =][2)()()2(][4 AtitiV −=⇒Ω=−

+

−

)t(Ri)t(v

−=

7

電阻器與電功率(power)

電阻器為吸收能量之被動元件.結合 Ohm’s law與功率之表示式,可以推求幾個有用之表示式

Law) s(Ohm' Gvi or ,Riv(Power) viP

===

ivR

iPv

iP

== ,

,Given R,vGiven

RvviP

Rvi

2, ===

Ri,Given

2RiviP

,Riv

==

=

RP ,Given

PRRiv

,RPi

==

=

如果不是已知, 可以選擇電壓與電流之參考方向, 其他可由被動符號之慣例求得

單位

mAikR 2, 40 : =Ω=例

基本策略是以SI 單位表示全部已知之變數

V80)A10*2(*)10*40(

v33

=

=−Ω

(W)10*160

)A10*2(*)10*40(

RiP

3-

233

2

=

=

=−Ω

8

求解電流與電阻器吸收之功率

−

+

mA6=

RVRIVIP

22 ===

(mW) 72))mA(6)()V(12(P

==

(範例 2.1)

9

RVP S

2=

)106.3)(1010( 332 WVS−×Ω×=

][6 VVS =

Ω==

kV

RVI

10][6][6.0 mA

(範例 2.2)

10

GIVIRV SS =⇒= 10(V)]S[1050

]A[105.0V 63

S =××

= −−

GIRIP

22 ==

?=P

( ) 5(mW)(W)100.5)S(1050)A(105.0P 2-6

23

=×=××

= −−

(範例 2.3)

11

RIP 2=

( )Ωk 5

A104

)W(1080R 23

3

=×

×=

−

−IVP S=

5(V))mA(4)mW(80VS ==

(範例 2.4)

12

+-

−

+

V12HALOGEN燈泡

WP 60=燈泡之電阻 __________

經過燈泡之電流 ________

由電池供給1 min________

樣本 問題

認知此類問題:此為 Ohm’s Law之應用已知功率與電壓.求解電阻( Resistance), 電流(Current)與電荷(Charge)

可能用得上之關係

I = P/V = 5A

R = V/I = 2.4 Ohms

∫= currentqQ=5*60[C]

IRV

RIR

VVIP

=

=== 22

13

2.2克希荷夫電流定律(KIRCHHOFF CURRENT LAW)

電機工程中,基本守恆定理之一

“電荷無法創造,亦無法毀損”(CHARGE CANNOT BE CREATED NOR DESTROYED)

14

節點(NODES), 分支(BRANCHES), 迴路(LOOPS)

NODE: 兩個或以上之元件連接處(例, node 1)

LOOP: 封閉路徑,在某一節點從未經過兩次(例, 藍線路徑)

BRANCH: 兩節點間連接之元件 (例, 元件 R4)

紅線路徑並非loop

一個節點可連接許多元件.但,其不擁有任何電荷.

所有流進節點之電流必須相等於流出節點之電流

(電荷之守恆定理)

NODE

15

克希荷夫電流定律(KCL)

流進節點之電流和必須相等於流出節點之電流和

A5 ≡ A5−

node the ofout flowingnegative the to equivalent is

node a into flowingcurrent A

電流流入一個節點之代數和為零

電流流出一個節點之代數和為零

16

一個Node為兩個或以上之元件連接處,其可為視覺所需,伸展或緊縮,不過,其仍僅是一個Node.

17

節點為電路之一部份,該處並無累積電荷

...或,我們亦可集合節點,而形成超節點 (SUPERNODE)

0:3 node0:2 node

7542

461

=+−+−=−+

iiiiiii

離開

離開

0:3 & 2 76521 =++−− iiiii加

電流流出節點2與3之代數和為零

我們可將NODES 2與3整個包圍在內,並將之視為超節點 (SUPERNODE)

18

問題求解提示: KCL 可求解未知之電流

A5

A3

?=XI

a

b

c

d

電流流進節點之代數和為零

0)3(5 =−++ AIA XAI X 2−=

?43

,2

==−=

=

be

bd

cb

ab

IAIAI

AINODES: a,b,c,d,eBRANCHES: a-b,c-b,d-b,e-b

ba

c

d

e2A

-3A 4A

Ibe = ?

0)2()]3([4 =−+−−++ AAAIbe

19

寫出全部之 KCL方程式( EQUATIONS)

第五個方程式為前面4個方程式之和,因此其為多餘方程式

1 2 3( ) ( ) ( ) 0i t i t i t− + + =

1 4 6( ) ( ) ( ) 0i t i t i t− + =

3 5 8( ) ( ) ( ) 0i t i t i t− + − =

(範例 2.5)

20

求解未知電流

KCL 僅與電路之連接架構(拓樸)有關, 而與相連接之元件種類無關

(範例 2.6)

21

寫出電路全部之 KCL方程式( EQUATIONS)

•出現相依電源並不影響KCL之應用,KCL僅與電路之拓樸有關

•最後之方程式與前3式線性相依

(範例 2.7)

22

0)( =之電流和塗色區域離開超節點0602030404 =−−−+ mAmAmAmAI mAI 704 =

電流 I5 在超節點內,在上述求解中,其並無作用

(範例 2.8)

23

A

B

C

D E

F

G

AIDE 10=AIEG 4=

EFIA5

xI

=xI__ to __ from flowscurrent BD On

=EFI__ to __ from flowscurrent EF On

A3

此問題測試 KCL 與電流之慣例,以求解電流

電流流出節點之代數和為零= 0

010)3()5( =++−+ AAAI X

-8AB D

0104 =−+ AAIEF

6AE F

24

克希荷夫電壓定律(KIRCHHOFF VOLTAGE LAW)

電機工程中,基本守恆定理之一

此為能量守恆定理

“能量無法創造,亦無法毀損”“ENERGY CANNOT BE CREATE NOR DESTROYED”

25

克希荷夫電壓定律(KVL)

一個正電荷,當它移動到較高電位之處,其獲得能量,而當它移動到較低電位之處,其釋放(或損失)能量

+AV

BBV)( AB VVqW −=Δ

q

−+ abVa b

+q

abqVW =Δ LOSES

+− cdVc d

+q

cdqVW =Δ GAINS

+

AV

BBV

q

CV

−

+ABV −

+BC

V−+ CAV

ABqVW =Δ

BCqVW =Δ

CAqVW =Δ

如果電荷回到先前之初始點,其淨獲得能量必定為零(守恆網路)

0)( =++ CDBCAB VVVqKVL: 圍繞任何迴路之電壓降代數和必為零

A B+− V ≡

A B−−+ )( V

電壓升為負的電壓降

26

求解問題提示: KVL 有用於求解電壓- 尋求含未知電壓之迴路

0321=+++− RRRS VVVV

VVR 181 =

VVR 122 =

LOOP abcdefa

此迴路不須為實際路徑

−

+

beV

0][3031

=−++ VVVV RbeR

be

R3R1

V V,V :

求解電壓

為已知例

(範例 2.9)

27

背景: 當討論 KCL時 並非所有KCL方程式均是獨立(INDEPENDENT).KVL亦是如此

第三個方程式為其他兩個之和!

線性獨立方程式之數目

例: 若某電路 N = 6, B = 7. 則僅有2個 獨立KVL 方程式

(範例 2.10)

分支數

節點數

於電路定義

BN

方程式線性獨立

方程式線性獨立

KVL )1( KCL 1

−−−

NBN

28

ecae VV , 求解電壓有相依電源之處理情形亦同先前

(範例 2.11) (範例 2.12)

29

2.3 單迴路電路

分壓: 最簡易情形

使用KVL 於此迴路

ab c

def

1

2 3

4

56

6 branches6 nodes1 loop

ALL ELEMENTS IN SERIESONLY ONE CURRENT

30

)(21

11

tvRR

RvR +=

基本分壓(VOLTAGE DIVIDER)之摘要

ΩΩ k30R,k90R,V9V :EXAMPLE 21S ===

⇒= Ωk15R1

聲音控制

(範例 2.13)

?P ; ?V2 ==

31

等效電路之觀念

+-

1R

2R

Sv

i

21 RRvi S+

=

+-Sv 21 RR +

i

兩電路是等效的

1R 2R≡

21 RR +

SERIES COMBINATION OF RESISTORS

電路連接與實際佈局之差異

上述,電阻均為串接

32

+-

+-

+-

+ -

+-

+ -

多重電源(MULTIPLE SOURCES)

i(t)

KVL

01542321 =−+++−+ vvvvvvv RR集合所有電源於一側

( ) 2154321 RR vvvvvvv +=−−+− ( ) 21 RReq vvv +=

eqv

1R

2R

1R

2R

−+ 1Rv

−

+

2Rv

−

+

1v

−+ 2v

+

−

3v

+− 4v

+

−

5v

33

多重電阻(MULTIPLE RESISTORS

使用 KVL於此迴路

⇒= iRv iRi

使用 KVL於此迴路

bdV FOR LOOP

V10V KVL)(0I]k[2012V bdbd =⇒=−− Ω

mW30.)10*30()A10(RIP30k

3242 =Ω−==

Ω−

之功率於

(範例 2.15)

34

分壓之反求解+-

1R

2RSV−

+

OV

SO VRRRV

21

2

+=

VOLTAGE DIVIDER

OS VRRRV

2

21 +=

"INVERSE" DIVIDER

SV 計算

(範例 2.16)

Ω=+

= kVS 5003.45822020220

分壓之反求解

35

2.4 單節點對電路(SINGLE NODE-PAIR CIRCUITS)

−

+V

−

+V

EXAMPLE OF SINGLE NODE-PAIR

此元件不動作 (短路)

36

基本分流器

應用 KCL

分流

mAI 1)5(41

11 =+= )5(51

412 +=−= III)()(

)(1)(

21

21 tiRR

RRtv

tvR

tip

+=

=

pR

37

O21 V ,I ,I 求解

2*80 Ik=V24

(範例 2.17)

38

學習評量E2.10 – 分流

汽車音響與電路模型

mA215 mA215

每個喇叭之功率

)16(40120

1201 +=I

016 12 =−+ II :KCL

mAI 121 = mW , mA ,k

RI : 2

功率單位以所以

電流單位以

電阻單位以

功率

Ω W76.5mW40*144P

==

mAI 4)16(40120

402 −=+

−=

使用分流

(範例 2.18)

39

多重電源(MULTIPLE SOURCES)

)()(

)(1)(

21

21 tiRR

RRtv

tvR

ti

O

pO

+=

=

定義 “並聯電阻”

等效電源

pR

40

多重電阻(MULTIPLE RESISTORS)

)t(iRR

)t(iR

)t(v)t(i

)t(iR)t(vO

k

pK

kk

OP=⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=

41

求解電流LI

合併電源

合併電阻

注意,負號

mA1

(範例 2.19)

42

k3

k3

k6

k6A

B

C

mA9A

B

C

k6

k6

k3

k3mA9

k6

k3

k6

k3

A

CB

9mA

I1 I2I mA mA

I I

1

2 1

39

9 3= =

= −

[ ]

I1

I2

I1

I2

以不同面向,呈現相同電路

43

k3k3 k6k6

A

B

C

mA9

k6

k3

k6

k3

A

BC

mA9

I1 I2

I1

I2

重繪電路,有時對電路之了解有幫助

44

k2 k4 k3mA20

求解電源供給之功率

kRp

kkkkRp

1312

12436

31

41

211

=

++=++=

2)20(* mARpP =

WP

AP

13800.4

][)10*20(*10*1312 233

=

Ω= −

+

V_

45

2.5-2.7 電阻串並聯組合(SERIES PARALLEL RESISTOR COMBINATIONS)

串聯(SERIES)

並聯(PARALLEL)

NN

N21p

1/RG

G...GG)(G

=

+++=電導

46

練習電阻合併

6k||3k

(10K,2K)串聯

SERIES

k3

kkk 412||6 =

k12k3Ωk5

(範例 2.20)

47

範例 SERIES-PARALLEL 組合

k9

kkk 69||18 =

kkk 1066 ++

若電阻有相同電流經過,為串聯

若電阻有兩個共同之節點,為並聯

48

“反 串-並聯 組合”

電阻是可行的僅

當並定為

1.0 )3 ( 600mV

Ω= AIVR

⇒Ω== 2.036. AVR需 ΩΩ 1.01.0R +=

電阻器是可用的僅

當並定為

1.0 )9 600mV(

Ω= AIVR

⇒Ω== 0667.096. AVR需

R

已知結果,求解適當之組合

(範例 2.21)

49

電阻容忍度之效應

10% :2.7k :

電阻器容忍度

標稱電阻值 Ω

求解電流與功率之範圍 ?

mAI

mAI

115.47.29.0

10 :

367.37.21.1

10 :

max

min

=×

=

=×

=

最大值

最小值

mAI 704.37.2

10 : ==−

標稱電流 ( )_

mWP 04.377.2

10 :2

==標稱功率

15.41 :67.33 :)(VImin

mWmW

最大值

最小值

(範例 2.22)

50

首先,簡化成單迴路電路k12kk 12||4

k6

kk 6||6

kVI

1212

1 = )12(93

3+

=aV

其次: 應用 KVL, KCL OHM’S

kVI a62

= :SOHM' 0321 =−− III :KCL

3*3 IkVb = :SOHM'

3I

4

34

*4124

12

IkV

II

b =+

=

5

345

*30

IkVIII

C ==−+

:SOHM' :KCL

(範例 2.24)

51

由後向前追蹤(backtracking)之範例

4*6 IkVb =

kVI b33

=

mA1

432 III +=

mA5.1=

2*2 IkVa =

V3

V3

baxz VVV +=

VVxz 6=

kVI xz45

=

mA5.1=

521 III +=

mAI 31 =

11 *4*6 IkVIkV xzO ++=

VVO 36=

mA5.0=

(範例 2.25)

52

)TIONS(TRANSFORMA 轉換Δ−Y

IF INSTEADOF THIS

Y 型∆ 型

53

Y→Δbaab RRR +=

)(|| 312 RRRRab +=

321

312 )(RRR

RRRRR ba +++

=+

321

213 )(RRR

RRRRR cb +++

=+

321

321 )(RRR

RRRRR ac +++

=+

Δ→Y

54

Δ−

++=

++=

++=

YR

RRRRRRR

RRRRRRRR

RRRRRRRR

a

accbba3

c

accbba2

b

accbba1

YRRR

RRR

RRRRRR

RRRRRR

c

b

a

→Δ++

=

++=

++=

321

13

321

32

321

21

55

SI 求

( ) k10)k6k2(||k9k3k6REQ =+++=

kkkkk18612

612++

×=

mA2.1k01V12IS ==

也可以這樣算

(範例 2.26)

56

+− AVOV 求解

2.8 含相依電源之電路(CIRCUITS WITH DEPENDENT SOURCES)

1*2 IkVA =

XD IV α=−+

CONTROLLINGVARIABLE

DEPENDENTVARIABLE

): ( II Siemens):( VI

): ( VV

XD

XD

XD

純量

純量

其他相依電源

ββγγββ

===

mA :mAV2,IV XD

假設電流單位

另外一種敘述

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡== αα

KVL

0*5*312 11 =+−+− IkVIk A :KVL

mAI 21 =

1*5 IkVO = V10=

(範例 2.27)

57

替換 I0 可得

6056/* =⇒ SVk

VVkk

kV SO )12(32

244

=+

=

OV 求解

(範例 2.28)

58

OV 求解KVL 應用於此迴路

相依電源為電壓控制電壓源

(範例 2.29)

59

KVL

KVL

KCL

0R

)t(v)t(vgL

Ogm =+

KCL

)()(

tvtvG

i

O=求解(範例 2.30)