高 等 数 学梅挺 主编

中国水利水电出版社

第 5 章 多元函数微积分主要内容 :

一、空间几何简介 二、多元函数 三、偏导数与全微分 四、多元复合函数与隐函数求导法则 五、多元函数极值 六、二重积分

一、空间几何简介

过空间一定点 O作三条相互垂直的数轴

（一般单位相同），称点O为原点，三条轴分

别称为 zyx ,, 或（横、纵、竖）轴，其位置任

意．

1 、空间直角坐标系

规定：

如右图，将 yx, 轴置于

水平面，z为竖直线，且它们

的正向符合右手规则：

通常：

右手握住 z轴，四指由 x

正向绕2

转向 y轴的正向时，

大拇指为 z轴正向． x

y

z

O

2

每两个轴确定一个平面，分别称为 xoy

平面， yoz平面， zox平面；

规定：

这三个平面将空间分成八个部分，称为

八个卦限.

包含 zyx ,, Ⅰ轴正向的卦限为 卦限，在

xoy Ⅰ Ⅱ面上部俯视以逆时针序分别为 ， ，

Ⅲ Ⅳ， 卦限，对应的在 xoy平面下部的分别

Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ为 ， ， ， 卦限．

另外

如下图：

Ⅱ

Ⅲ

Ⅷ

Ⅵ

Ⅶ

y

z

Ⅰ

Ⅳ

Ⅴ

O

x

坐标面 xOy

坐标面 yOz

坐标面zO

x

设M是空间任一点，过M作垂直于 zyx ,, 轴的

平面分别交于P，Q， R

设 RQP ,, 的坐

标分别为 zyx ,,

这样，按 zyx ,,

轴的顺序，M 点就

确定了一个有序数

组（ zyx ,, ）．

x

y

z

Q

R

M

O

Px

y

z

点的坐标

任给一个有序数组（ zyx ,, ）， 分别在 zyx ,, 轴取点 RQP ,, 使其坐标为 zyx ,, .

过 RQP ,, 作三坐标

的垂直平面，则必有且

仅有一个公共交点M ，

我们称点 M 为 ),,( zyx

所确定的点． 所以点M与有序数

组 zyx ,, 一一对应，称

zyx ,, 为点M的坐标，记为 zyxM ,, .

x

y

z

Q

R

M

O

Px

y

z

反之，

将zyx,,分别称为点M在zyx,,轴上的坐标。

原点 )0,0,0( ，x轴上 0,0,x ， y轴上 0,,0 y ，z轴上 z,0,0 ；

各卦限的符号：

Ⅰ （ + ， + ，+ ）Ⅱ （ - ， + ，+ ）Ⅲ （ - ， - ，+ ）Ⅳ （ + ， - ，+ ）

Ⅴ （ + ，+ ， - ）Ⅵ （ + ， - ，+ ）Ⅶ（ - ， - ， - ）Ⅷ（ + ， - ， - ）

规律：

2 、空间任意两点间的距离定义了空间点的坐标，就可以利用坐标计算空间任意两点间的距离 .

已知 ),,( 1111 zyxP 和 ),,( 2222 zyxP 为空间任意两点，

为了用坐标表示两点间的距离，过 1P 、 2P 分别作垂直

于三条坐标轴的平面，这六个平面围成一个以 21PP 为

对角线的长方体。如下图：

A B

P1

P2

x

y

z由图： 2

2

22

121 BPABAPPP

,212

2

1 xxAP ,212

2yyAB

212

2

2 zzBP

212

212

21221 zzyyxxPP

根据平面上两点间的距离公式可知：

从而有：

此即为空间任意两点间的距离公式 .

222 zyxOP

),,( zyxP )0,0,0(O特别地，任一点 与原点 的距离为：

证明：

证明：以 )3,2,5(),2,1,7(),1,3,4( 321 MMM 三点为

顶点的三角形的等腰三角形．

22221 123147 MM 14

22232 231275 MM 6

22213 312354 MM 6

1332 MMMM

所以 321 MMM 为等腰三角形．

例 1

解

在 z轴上求一点，使之到 7,1,4A 和 2,5,3 B

的距离相等．

设 zM ,0,0 为所求的点，依题意有：

MBMA

即： 222 71040 z

222 20503 z

解方程得：9

14z )

9

14,0,0(M点

例 2

定义：若曲面 z与一个三元方程 F x y z( , , ) 0满足：

1)曲面 z上的点的坐标是 F x y z( , , ) 0的解

2) 0),,( zyxF 解都

在曲面 z上

称 F x y z( , , ) 0为

曲面 z的方程，称 z为

F x y z( , , ) 0的曲面． x y

z

O

3 、曲面与方程

例 3 )1,2,1(1P )3,1,2(2P求与两定点 和 等距离点的轨迹方程 .

222

222

312

121

zyx

zyx

PPPP 21

和 等距离的点为

，由空间两点间的距离公式得：

1P 2P ),,,( zyxP解：设与点 依题意有

042 zyx化简得：

可以证明，所有空间平面都可以用三元一

次方程表示； 反过来，任何一个三元一次方程的图形

都是空间的一个平面。 由此称三元一次方程：

0 DCzByAx

为平面的一般式方程。

几种常见的曲面方程：

220

20

20 Rzzyyxx

),,( 0000 zyxM以点 为球心，以 R 为半径的球面方程为：

1 ）球面方程：

2 ）椭圆柱面：方程 1

2

2

2

2

b

y

a

x 表示椭圆柱面，当 a=b=R 时， 222 Ryx 中不含 z ，即 z 可任取，在空间直角

坐标系中该方程表示母线平行于 z 轴的圆柱面 .

3 ）椭圆抛物面： 22 yxz

4 ）圆锥面：

5 ）双曲抛物面：

6 ）双曲柱面：

7 ）抛物柱面：

222 yxz

22 yxz

12

2

2

2

b

y

a

x

022 pyx

二、多元函数1 、多元函数的概念

长方体的体积 abcV

理想气体的压强V

kTP

力 F所作的功 SFW

定义 5.2设有三个变量 x、 y和 z，如果变量 x、 y

在允许范围内任意取定一对值时，变量 z按照一定

的规律，总存在惟一确定的值与之相对应，就称变

量 z是变量 x、 y的二元函数，记为：

yxfz ,

yx, ——自变量 z ——因变量

自变量的取值称为定义域；对应的函数值的集合称为值域。

可定义三元函数 zyxfu ,, ，

n元函数 nxxxfy ,...,, 21 .

1）由实际意义所确定；

2）由算式的意义所确定．

类似地，

由于三元及三元以上函数的许多性质及其微分法与二元函数完全相似，所以，在此主要研究二元函数。并先介绍一些相关概念。

其定义域：★ 注意

区域：由平面上一条曲线或多条曲线围成的 一部分平面称为区域 .边界：围成区域的曲线称为边界 .

邻域：

),( 000 yxp 0

),( yxp

0p ),( 0 pN

把以点 为圆心， 为半径的组成的区域称为点

的邻域，记为圆内所有的点

内点：若点 p 的某个邻域内的点都属于区域 D ， 则称点 p 为区域 D 的内点 .

外点：若点 p 的某个邻域内的点都不属于区域 D ，则称点 p 为区域 D 的外点 .

边界点：若点 p 的任一个邻域内的点，既有属 于区域 D 的点，又有不属于区域 D 的 点，则称点 p 为区域 D 的边界点 .

闭区域：由所有内点和以闭曲线为边界的所有 边界点组成的区域称为闭区域 .开区域：只有内点组成的区域称为开区域 .

求函数2

1

yxz 的定义域 . 例 4

解：欲使函数 z 有意义，自变量 x ， y 必须满足 不等式：

02 yx

2 xy即：

所以，其定义域 D 为：

2, xyyxD

例 5 求函数的定义域 .

)arcsin()ln( 22 yxyxz

解：欲使函数 z 有意义，自变量 x ， y 必须满足 不等式组：

1

022 yx

yx

所以，其定义域 D 为：

1,0, 22 yxyxyxD

求函数 8),( xyeyxfz yx 在

点 0,0 和 aln,0 处的函数值.

例 6

解：函数 z 在点 0,0 处的函数值为：

函数 z 在点 aln,0 处的函数值为：

9800)0,0( 00 ef

88ln0)ln,0( ln0 aaeaf a

设 yxfz , 的定义 域为D，则任取 yxP ,

D ，有 yxfz , 与之 对应．这样，以 x为横坐 标， y为纵坐标， z为竖 坐标就确定了空间的一个 点 zyxM ,, ．从而当 yx, 取遍D内的一切点，则可得 到一个空间点集 Dyxyxfzzyx ,,,|,, ，称之为二元函数 yxfz , 的图形．

即:二元函数表示空间的一个曲面．

xy

z

x

y

z

O

M

P

二元函数的几何意义：

与一元函数情况类似，二元函数 ),( yxfz

的极限就是研究当 00 , yyxx ，即：

),(, 000 yxPyxP 时，对应函数值 ),( yxf

的变化趋势。

2 、二元函数的极限与连续性1 ）二元函数的极限

其中： 20

20 yyxx 。

定义 5.3 设二元函数 ),( yxfz 在点 ),( 000 yxP 的某一

邻域内有定义(点 0P 可以除外)， yxP , 是该邻域内异于

0P 的任一点，如果当点P以任何方式趋近于点 0P 时，对

应的函数值 ),( yxf 都趋近于一个确定的常数 A，那么称

A为函数 ),( yxfz ，当 0xx ， 0yy 时的极限，

记为： Ayxfyyxx

),(lim

0

0

或 Ayxf

),(lim0

1 ）上述极限的定义实际上是一元函数极限定义的推广，所以有关一元函数的极限运算法则同样可以推广到二元函数 .

★ 注意

2） 0PP 指的是 020

200 yyxxPP 且方

式任意 00 , yyxx 且方式任意；故 0PP 有无穷多种方式．但 0PP 的任何一种方式都有相同的极限． 3 ）上述极限定义不能用以求二元函数的极限，但可以用该定义判定二元函数的极限不存在，即：只要有两条路径极限不同，该函数极限就不存在 .

求 .11

lim00

xy

xy

yx

例 7

解：一元函数求极限的方法中有分子 ( 母 ) 有理化的方法，该方法也适用于二元函数求极限的运算。

2

11lim

11

11lim

11lim

00

00

00

xy

xy

xyxy

xy

xy

yx

yx

yx

证明函数yx

yxyxz

22

，当 ,0x

0y 时的极限不存在.

例 8

证明：取 yx, 趋近 )0,0( 的特殊路径，令 yx,

沿着直线 kxy 趋近 )0,0( ，得：

kxx

xkxkxx

yx

yxyx

yx

yx

222

00

22

00

limlim

k

k

k

xkk

yx

1

1

1

)1(1lim

2

00 （待续）

当 k取不同的值(即：路径不同)时，函数

趋近于不同的常数，若取 0k 函数 z趋近于 1；

因此可以判定yx

yxyx

yx

22

00

lim 不存在.

若取 1k ，函数 z趋近于 0

（续）

yx

yxyxz

22

2 ）二元函数的连续性定义 5.4 二元函数 ),( yxfz 在点 ),( 000 yxP 的

某一邻域内有定义，且：

则函数 ),( yxfz 在点 ),( 000 yxP 处连续.

),(),(lim 00

0

0

yxfyxfyyxx

如果函数 ),( yxfz 在定义域D内的每一点

都连续，则称函数 ),( yxfz 在D内连续。

二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质，

如连续函数的和、差、积、商、复合仍是连续函

数；多元初等函数在其定义域内是连续函数等。

因此，要求多元初等函数在其定义域内任一点处

的极限值，只需要求出函数在该点的函数值即可。

求极限 .32lim 22

21

yxyxyx

例 9

解：

12

322121

32lim

22

22

21

yxyxyx

点可以是一些孤立的点，也可以是一条曲线。

在例 8中函数在点 0,0 处极限不存在，所以该

点是函数的间断点。

函数不连续的点称为间断点。二元函数的间断

的间断点是一条抛物线 2yx .

2yx

xyz

再如函数：

三、偏导数与全微分1 、偏导数定义 5.5 设函数 z yxf , 在点 00 , yx 的某一邻域内

有定义，当 y固定在 0y 而 x在 0x 处有增量 x 时，相应

的函数有增量： 00 , yxxfzx f 00 , yx

若x

zxx

0lim存在，则称此极限为z yxf,在点

00,yx处对x的偏导数．

记为：00

xxyy

x

z

，

00

xxyy

x

f

， 0

0

xxyy

xz

， xf 00 , yx

若 z yxf , 在定义区域内的每一点 yx, 对 x的

偏导数都存在，那么这个偏导数也是 yx, 的函数，称

之为 yxfz , 的偏导函数．

记为：x

z

，

x

f

， yxfz xx ,,

在不混淆的情况下，有时也叫其为偏导数．

类似地可定义对自变量 y的偏导数及更多元函

数的偏导数． 记为：y

z

，

y

f

， yxfz yy ,,

即： xf 00 , yx

x

yxfyxxfx

0000

0

,),(lim

求函数 z yxf , 的偏导数，实际上是求指定

变量的导数，其它的自变量视为常数进行计算．

计算方法：

一元函数的求导法则及其公式同样适用于多元

函数求偏导数。

显然，

求 223 yxxyz 在点 2,1 处的偏导数．

法一，用定义 解

x

fxf

x

zx

yx

2,12,1lim

021

x

xxx

4164116lim

2

0

8

例 10

（待续）

y

fyf

y

zy

yx

2,12,1lim

021

法二

y

yyy

4162123lim

2

0

7

先求导函数的方法

将 y视为常数，得： yxx

z32

将 x视为常数，得： yxy

z23

将 2,1 yx 代入上式即得： 821

yxx

z， 7

21

yxy

z

（续）

解

求 xyxz 2sin2 的偏导数．

xxyxy

z22cos2

xyx 2cos2 3

yxyxxyxx

z22cos2sin2 2

xyyxxyx 2cos22sin2 2

例 11

★ 注意

x

z

dx

dy等为一整体记号，不象 可视为分子分母之商．

解

求 yxz yxx ,0 的偏导数，并验证：

zy

z

xx

z

y

x2

ln

1

．

1 yyxx

z， xx

y

z y ln

代入上式左端得：

y

z

xx

z

y

x

ln

1xx

xyx

y

x yy lnln

11

yy xx z2

例 12

x

y

z

O

yxfz ,0M

0y

0, yxfz

xT

0x

yT

yxfz ,0

几何意义

几何意义：设 00000 ,,, yxfyxM 为曲面 yxfz , 上

一点，过 0M 作平面 0yy 截曲面得一曲线，则此曲

线在 0yy 上的方程为 0, yxfz ，则 00 , yxf x 就是

该曲线在点 0M 处切线 xMT 对 x 轴的斜率，而

00 , yxf y 则表示曲面被平面 0xx 截得的曲线在 0M

处的切线 yMT 的斜率．

过点0M的切线有无穷多条，即一个平面，在这里仅两个方向的切线．

★ 注意

因为：

多元函数的偏导数存在不一定连续，连续时偏

导数也不一定存在．两者之间没有必然的联系．

0Pf x ， 0Pf y 存在只能保证点P沿 x或 y轴方

向趋于 0P 时有 0PfPf ，而不能保证任何方

向，任何方式下都有： 0PfPf

可导与连续的关系：

又如：

函数 yxf , =

00

0

22

2222

yx

yxyx

xy

在点 0,0 处间断．

但： 0,0000

lim0,00

yx

x fx

f

且 000

lim0,00

y

fx

y 0,0xf

函数 xyz 在 1,0 处连续但却不可导．

如：

对于二元函数 yxfz , ，由于其偏导数

仍是 yx, 的函数，如果它们仍然对 yx, 可导，则称其

为函数 yxfz , 的二阶偏导数．

定义：

按 yx, 的顺序，有如下四种形式：

,,2

2

xxxx zyxfx

z

x

z

x

yyyy zyxf

y

z

y

z

y

,2

2

xyxy zyxfyx

z

x

z

y

,2

,,2

yxyx zyxfxy

z

y

z

x

其中后两种形式称为混合偏导数．

2 、高偏导数

解

设 23 323 xyxyyxz ，求函数 z的二阶

偏导数及3

3

x

z

．

yyyxx

z

322 33 xxyyx

y

z

23 92

2

2

x

z

26xy

xy

z

2

196 22 yyx

yx

z

2

196 22 yyx2

2

y

z

xyx 182 3

3

3

x

z

26y

例 13

例 14 求函数 xyxyz ln2 的二阶偏导数 .

,12

xy

x

z

yxy

y

z 12

,1

22

2

xx

z

y

yx

z2

2

,1

222

2

yx

y

z

yxy

z2

2

解：

若 yxfz , 的混合偏导数在区域D

内连续，则在该区域内必相等，即：

定理 5.1 ：

对于更多元或更高阶仍然成立 .yx

z

2

xy

z

2

由上例，两个混合偏导数虽然求导次序不同，其结果却相等，但是并非在所有情况下这个结论都成立。关于混合偏导数，有以下定理：

设 22ln yxz ，则 02

2

2

2

y

z

x

z.

证明 因为 22ln2

1yxz ，

所以22 yx

x

x

z

，

22 yx

y

y

z

2

2

x

z

222

22 2

yx

xxyx

222

22

yx

xy

2

2

y

z

222

22 2

yx

yyyx

222

22

yx

yx

例 15

所以： 02

2

2

2

y

z

x

z

设函数 yxfz , 在点 yx, 的某邻域有定义，

且 x 有增量 x ， y 有增量 y ，则称

),(),( yxfyyxxf 为函数 ),( yxf 在点

yx, 处对应于自变量增量 x 、 y 的全增量，

记为：

全增量：

z yxfyyxxf ,,

3 、全微分

若函数 yxfz , 在点 yx , 处的全增量可表示

为： OyBxAz （其中 BA, 为不依赖于 yx , 常数， 为到点

yx, 的距离，即： 22 yx ）

则称函数 yxfz , 在点 yx, 处可微．

yBxA 称为函数 yxfz , 在点 yx, 处的

全微分， 记为： dz 即： dz yBxA

若函数在区域D内每一点都可微分，称函数在D

内可微．

解求 22 yyxz 的全微分.

因为 xyx

z2

， yx

y

z22

所以 dyyxxydxdz 22 2

求 xyez 在 1,2 处的全微分.

因为 xyxy yeyex

z

， xyxe

y

z

2

12

ex

z

yx

， 2

12

2ey

z

yx

dyedxedzyx

22

1,22:

所以

例 17

解

例 16

例 18

解

求 yzey

xu 2

sin 的全微分．

因为 1

x

u ， yzze

y

y

u

2cos

2

1，

yzyez

u

所以

dzyedyzey

dxdu yzyz

2cos

2

1

对于函数 yxfz , ，因为 Odzz ，

从而当 yx , 较小时有：

yyxfxyxfyxfyyxxf yx ),(),(),(),(

应用全微分进行近似计算：

yyxfxyxfyxfyyxxf yx ,,,,

dzz (1)

(2)

(3)

这三个是常用的近似计算公式 .

解

求 02.204.1 的近似值.

设 yxyxf , ，

取 ,1x ,2y ,04.0x 02.0y

由于 ,12,1 f ,1 yx yxf ,ln xxf y

y

02,1,22,1 ff x

所以 02.2,04.104.1 02.2 f

02.0004.021

08.1

例 19

四、多元复合函数与隐函数求导法则定义 5.8 设函数 ),( vufz 是变量 vu, 的函数，

如果函数 ),( yxuu ， ),( yxvv 的值域与函数

),(),,( yxvvyxuu u和 v若是变量 yx, 的函数，则：

),( vufz 的定义域有公共部分，则称二元函数

成的、以 yx, 为自变量的二元复合函数。

)],(),,([ yxvyxufz 是通过中间变量 vu, 复合

若函数 tvtu,在点t可导， vufz,在点t对应点 vu,具有连续偏导数，则复合函数 ttfz ,在点t可导，且： 定理

dt

dv

v

z

dt

du

u

z

dt

dz

zu

vt

1 、多元复合函数求导法则——链法则

若函数 )(,, twwtvvtuu 在点t可导，

wvufz ,,在点t对应点 wvu,,具有连续偏导数，则复合函数 )(,, twtvtufz 在点t可导，且

有：

zu

vtw

dt

dw

w

z

dt

dv

v

z

dt

du

u

z

dt

dz

dt

dw

w

z

dt

dv

v

z

dt

du

u

z

dt

dz

这里，自变量只有一个，而中间变量有多个，因

此称其导数为全导数．

同理

设 vufz , ， yxuu , ， yxvv , ，则其复合函数 yxvyxufz ,,, 的偏导数有：

zu

v

x

y

x

v

v

z

x

u

u

z

x

z

y

v

v

z

y

u

u

z

y

z

求u

z

时，u视为常数，

x

u

x

v

, 时 y视为常数．

其计算过程仍是一元函数的求导过程．

推广

★ 注意

答：

设 yxuu , ， yxvv , ， yxww , ，写

出复合函数 yxwyxvyxufz ,,,,, 的偏导数.

z

u

vx

yw

x

w

w

z

x

v

v

z

x

u

u

z

x

z

y

w

w

z

y

v

v

z

y

u

u

z

y

z

练习

答：

设 vufz , ， nmuu , ， nmvv , ，

yxmm , ， yxnn , ，写出其复合函数 z的偏

导数y

z

x

z

, ． x

y

m

z

u

v n

x

m

m

u

u

z

x

z

x

n

n

u

u

z

x

m

m

v

v

z

x

n

n

v

v

z

y

m

m

u

u

z

y

z

y

n

n

u

u

z

y

m

m

v

v

z

y

n

n

v

v

z

练习：

答：

设 yxufz ,, ， yxuu , ，写出其复合函

数 z的偏导数y

z

x

z

, ．

x

yz

u

x

u

u

z

x

z

x

f

y

u

u

z

y

z

y

f

记号在右边用f—对应关系，而不用z以免混淆．

练习：

★ 注意

解设 yxvxyuvez u ,,sin ，求

y

z

x

z

, .

x

v

v

z

x

u

u

z

x

z

1cossin veyve uu

yxyxye xy cossin

y

v

v

z

y

u

u

z

y

z

1cossin vexve uu

yxyxxe xy cossin

zu

v

x

y

例 20

解设 yxzezyxfu zyx sin,,, 2222

，求y

u

x

u

,

x

z

z

u

x

u

x

f

yxze zyx sin22222

222

2 zyxxe

yxyxeyxx2422 sin22 sin212

y

z

z

u

y

u

y

f

yxze zyx cos2 2222

222

2 zyxye

yxyxeyyxy2422 sin4 cossin2

x

yu

z例 21

解设 tveutuvz t cos,,sin ，求

dt

dz.

t

z

dt

dv

v

z

dt

du

u

z

dt

dz

ttuve t cossin

ttete tt cossincos

ttte t cossincos

zu

vt

例 22

解

设 xyzzyxfw , ， f 具有二阶连续偏

导数，求zx

w

x

w

2

, .

设 zyxu ， xyzv ，则 vufw ,

记 ,,,2

2

2221 u

ff

v

ff

u

ff

所以x

v

v

f

x

u

u

f

x

w

21 fyzf

wu

v

x

y

z

例 23

续 21

2

fyzfzzx

w

z

fyzfy

z

f

2

21

因为 21, ff 仍旧是复合函数（其复合关系与 f 相

同）故: z

u

u

f

z

f

11

z

v

v

f

1

1211 fxyf

z

u

u

f

z

f

22

z

v

v

f

2

2221 fxyf

所以： 222

2121211

2

fzxyfyzfyfxyfzx

w

1211 fzxyf 2222 fyfzxy

解

设 yxuyxfw ,,, ， f 具有二阶连续

偏导数，求yx

w

x

w

2

2

2

, . x

yw

u

x

f

x

u

u

w

x

w

x

u

u

f

xx

w2

2

x

f

x

x

u

u

f

x

x

u

xu

f

x

f

x

例 24

续x

u

xu

f

x

u

u

f

2

2

2

2

2

x

u

u

f

2

22

x

f

x

u

ux

f

x

u

u

f

yyx

w2

x

f

y

x

u

u

f

y

x

u

yu

f

x

f

y

x

u

yu

f

y

u

u

f

2

2

2

yx

u

u

f 2

yx

f

y

u

ux

f 22

对于函数 vufz , 有：

若 vu, 又是 yx, 的函数 yxu , ， yxv ,

则： dyy

zdx

x

zdz

dxx

v

v

z

x

u

u

z

dyy

v

v

z

y

u

u

z

dvv

zdu

u

zdz

dyy

udx

x

u

u

z

dyy

vdx

x

v

v

z

dvv

zdu

u

z

全微分形式的不变性

从上面可见，无论 z是自变量 vu, 的函数，还

是中间变量 vu, ，自变量 yx, 的函数，其全微分总等

于函数对各自变量的偏导数乘以相应自变量的微

分，形式上完全一致，这一性质称为全微分形式的

不变性．

即： dyy

zdx

x

zdz

dvv

zdu

u

zdz

解

设 yxvxyuvez u ,,sin ，利用全微分形式

不变性求 dz．

veddz u sin vdvevdue uu cossin

又 xyddu xdyydx yxddv , dydx

所以 xdyydxvedz u sin dydxveu cos

dxvevye uu cossin dyvevxe uu cossin

即： dyy

zdx

x

z

dxyxyxye xy cossin

dyyxyxxe xy cossin

例 25

多元隐函数求偏导数与一元函数求导数方法类似，其实质都是应用复合函数的求导法则。

2 、多元隐函数求导方法

0 xyze z求由方程 所确定的隐函数

),( yxfz .,y

z

x

z

的偏导数

例 26

下面通过实例来求多元隐函数的偏导数。

x

zxyyz

x

ze z

xye

yz

x

zz

xye

xz

y

zz

所以

同理可得

解：在方程 0 xyze z 两边同时对 x求偏导数，由于 z

是 x和 y的函数，所以 ze 是 x和 y的复合函数，先利用

复合函数求导法则求 ze 对 x的偏导数，有

例 27 04222 zzyx求由 确定的函数

),( yxfz y

z

x

z

,的偏导数

0422

x

z

x

zzx

z

x

x

z

2

z

y

y

z

2

求偏导数得：x解：方程两边同时对

所以：

同理可得：

五、多元函数极值

函数的极值对于许多实际问题有着重要的意义，在一元函数微分学中，用导数来求函数的极值。现在将借助于偏导数来讨论多元函数的极值问题。由于三元以上的多元函数的极值与二元函数类似，为此只讨论二元函数的极值问题。

1 、极值定义 5.9：若 yxfz , 在 00 , yxP 的某一邻域 PU

内 有 定 义 ， 且 对 PUyx 0, 总 有 ：

00 ,, yxfyxf （ 或 00 ,, yxfyxf ） ， 称

yxfz , 在点 00 , yxP 处取得极大值（或极小值）．

极大值与极小值统称为极值．

若 Pfz 在 n维空间点 0P 的某一邻域 PU 内

有定义，且对 00 PUP 总有： 0PfPf （或

0PfPf ），称 Pfz 在点 0P 处取得极大值（或极小值）．

可定义 n元函数的极值．

xy

z

O

xy

z

O

类似地，

(必要条件) 若 yxfz , 在 00 , yx 有偏

导数且取得极值，则 xf 00 , yx 0 且 yf 00 , yx =0.

证明

称使得 xf 00 , yx 0 且 yf 00 , yx =0的点 00 , yx

为 yxfz , 的驻点.

不妨设 yxfz , 在 00 , yx 取得极大值，

则对 PUyx 0, 有 00 ,, yxfyxf

特别地：取 0yy ， 则恒有： 000 ,, yxfyxf

由一元函数极值存在的必要条件有： xf 00,yx 0．

同理有： yf 00 , yx =0

定理 5.3

若 yxfz , 在 00 , yx 的某一邻域内，

A．连续且有一阶二阶连续偏导数；

B． xf 00 , yx 0 且 yf 00 , yx =0；

C． Ayxfxx 00, ， Byxfxy 00, ， Cyxfyy 00, ，

则 1）当 02 BAC 时， yxfz , 在 00 , yx 处取得

极值．且当 0A 时，取得极小值； 0A 时，取

得极大值．

2）当 02 BAC 没有极值．

3）当 02 BAC 时该定理无法判定．

定理 5.4 (充分条件 )

1）求函数的定义域；

2）求函数的一阶、二阶偏导数；

3）解方程组

0

0

y

x

f

f求得函数的驻点；

4）求驻点处 CBA ,, 的值；

5）由定理判定极值的存在性．

从上述定理得求极值的步骤：

解求函数 22 46, yyxxyxf 的极值．

函数的定义域为整个 xOy面；

2426 yyxf x yxxf y 246 2

由

0

0

y

x

f

f得： 0,0、 4,0、 2,3、 0,6、 4,6

又 242 yyf xx yxf xy 234,

262 xxf yy

在点 0,0 处， 0xxf 24, xyf 0, yyf ，

02422 BAC ，所以 0,0f 不是极值；

例 28

续 在点 4,0 处， 0xxf 24, xyf 0, yyf ，

02422 BAC ，所以 4,0f 不是极值；

在点 2,3 处， 8xxf 0, xyf 18, yyf ，

01882 BAC ，又 0A ，所以函数有

极大值 362,3 f ；

在点 0,6 处， 0xxf 24, xyf 0, yyf ，

02422 BAC ，所以 0,6f 不是极值；

在点 4,6 处， 0xxf 24, xyf 0, yyf ，

02422 BAC ，所以 4,6f 不是极值．

解

求 xyxyxyxf 933, 2233 的极值．

由方程组

063

09632

2

yyf

xxf

y

x 得函数驻点：

0,1、 2,1、 0,3、 2,3

又 66 xf xx ， 0xyf ， 66 yfyy

在点 0,1 处， 12xxf 0, xyf 0, yyf ，

06122 BAC ，且 012 A ，所以函数在点

0,1 处有极小值 50,1 f ；

例 28

续

在点 0,3 处， 12xxf 0, xyf 6, yyf ，

06122 BAC ，所以 0,3f 不是极值；

在点 2,3 处， 12xxf 0, xyf 6, yyf ，

06122 BAC ，且 012 A ，所以函

数在点 2,3 处取得极大值 312,3 f .

解题的步骤和判定的方法★ 注意：

在点 2,1 处， 12xxf 0, xyf 6, yyf ，

06122 BAC ，所以 2,1f 不是极值；

若函数在有界闭区域D内连续，则必有最值，

且可能是内点或边界点．若不是界点，则必为内

点．而极值点为局部之最值，因而也一定是驻点，

若函数仅有有限个驻点，则我们可用以下方法求得

最值． A．令

0

0

y

x

f

f求得区域内的驻点；

B．求边界上的驻点（一般是低一元的函数的

最值问题）；

C．比较两类驻点的函数值即可求得．

2 、最值

解

将一长为 a的木杆据成三段，如何据可使

三段乘积最大．

设其中两段长分别为 yx, ，则第三段为 yxa ，

设 yxaxyyxf , 22 xyyxaxy ，

则函数的定义域为 0,0|, yxyx

由方程组：

02

022

2

xxyaxf

yxyayf

y

x

得定义域内的驻点为：

3,

3

aa ；

例 29

续

所以 0333

2

3

2 222

aaaaBAC ，

且 03

2

aA

从而函数在点

3,

3

aa 处取得最大值．

即当平分三段长度时其三段乘积最大．

又 xfyxafyf yyxyxx 2,22,2

引例 曲顶柱体：以 xOy面的闭

区域D为底，以D的边界曲

线为准线，母线平行于 z轴

的柱面为侧面，顶为曲面

z f x y , , ( f x y, 0且

在D上连续）的立体称为曲

顶柱体（D具有有限面积）． x

O yD

z),( yxfz 曲顶柱体的体积

六、二重积分

x

O yD

z),( yxfz

i

用一组曲线网将

区域 D分为 n个小区

域 1 2, ,...., n，

以这 n个小区域的边

界曲线为准线，母线平

行于 z轴的柱面为侧

面的柱面将该立体分

为n个小曲顶柱体.

Ⅰ、分割（化整为零）

若小闭区域的直径（内部

任意两点之间距离的最大值）

很小，又 f x y, 连续，故在

该小区域内 f x y, 变化不

大，可将其视为小区域内任一

点的高度为高的平顶柱体，在

每个 i内任取一点

( i i, )，则该小曲顶柱体有：

V fi i i i , x

O yD

z),( yxfz

i

Ⅱ、取近似（不变代变）

将n个小立体的近似

体积相加可得到曲顶柱体

体积的近似值

V f i i ii

n

,

1

x

O yD

z),( yxfz

i

Ⅲ、求和（积零为整）

设 max {小闭区域

的直径}，且 0时上述和

的极限存在，便称该极限为

曲顶柱体的体积V ，即：

V f i i ii

n

lim ,

01

x

O yD

z),( yxfz

Ⅳ、取极限（无限逼近）

设 f x y, 是有界闭区域D上的有界函数，将D

分为 n个小闭区域 1 2, ,...., n（其中 i表示

第 i个小闭区域，也表示其面积），在 i上任取一

点（ i i, ），作乘积 f i i i , ( i 1 2 3, , ,)，

再作和式 f i i ii

n

,

1

，若各个小区域直径的最

大值 0时，上述和的极限存在且与区域的分法

和点（ i i, ）的取法无关，则称此极限为函数 f x y,

在闭区域D上的二重积分．

定义 5.10

记为： f x y dD

,

f xydD

, = lim ,

0

1

f i i ii

n

( max , , , , i i 1 2 3 )

其中: f x y, ——被积函数

f x y d, ——被积表达式 d ——面积元素

x y, ——积分变量 D——积分区域

f i i ii

n

,

1

——积分和

即：

★ 理解

1)这里的 d与 i相对应，由于划分D的任意性，

故在直角坐标系下常取平行于坐标轴的直线网来划

分区域D，这样除少量包含边界的小区域外，均是小

矩形区域，设其边为 x yi i, ，则 i x yi i，从

而在直角坐标系下 d记为dxdy即把二重积分记为：

f x yD

, dxdy，称dxdy为直角坐标系上的面积元素．

3)由定义，以上二实例中由于 f x y, 0， x y, 0

故有：

D

dyxfV 0, D

dyxM 0,

2)若 f x y, 在闭区域 D上连续，和式极限必定存

在，即二重积分存在．

当 f x y, 0时， f x y, 可认为是点 x y, 的竖坐标，故二重积分就是曲顶柱体的体积．

当 f x y, 0时，曲顶柱体在 xoy面下方，二重积分为负，其绝对值仍为曲顶柱体的体积．

所以，二重积分在几何上表示以D为底， f x y,

为曲顶的曲顶柱体在 xoy面上下方的体积之差．

几何意义：

类似于定积分，二重积分有如下一些性质：

1. kf x y dD

, = k f x y dD

, k为常数

2. ( , , ) , ,f x y g x y d f x y d g x y dD D D

3.若D D D 1 2，则：

f x y d f x y d f x y dD D D

, , , 1 2

4.若 f x y, 1，则 S f x y dD

D

,

二重积分的性质：

5.（不等式性质）

若在D上有 f x y x y, , ，则有：

f x y d x y dD D

, ,

特例：

因为 f x y f x y f x y, , ,

所以， f x y d f x y d f x y dD D D

, , ,

故： f x y d f x y dD D

, ,

DD

dyxfdyxf ,,

6.（估值定理）

若 m f x y M SD , , ，则

MdyxfmD

,

7．（中值定理）

若 f x y, 在D上连续， SD 则至少存在一点

i i D, ，使得：

ii

D

fdyxf ,,

称之

为 X型区域．

设二重积分 f x y dD

, 存在， f x y, 连续，

其D若可表示为 a x b , xyx 21 ,

x

y

O a

x1

x2

b x

y

O

x1

x2

a b

二重积分的计算：

x

y

O

y2 y1

d

c

x

y

O

y2 y1

d

c

下面先讨论 f x y, 0 , D为 X 型区域时的二重

积分 f x y dD

, 的计算法：

D可表示为 c y d , 1 2y x y

称之为Y型区域.

若

z

x

y

O

yxfz ,

a b0x

x1

x2

0xA

在区间 a b, 内任取一点 x0，作平行于 yoz平面

的 截 面 得 一 以 区 间 0201 , xx 为 底 ，

z f x y 0 , 为曲边的曲边梯形.

01 x

02 x

yxfz ,0如图：

02

01

,00

x

xdyyxfxA

由 x0的任意性，过区间 a b, 上任一点 x的截面面积为：

x

xdyyxfxA

2

1

,

又由已知平行截面面积的立体体积的计算法得：

b

adxxAV

b

a

x

xdxdyyxf

2

1

,

即：

b

a

x

xD

dxdyyxfdyxf2

1

,,

由定积分的定义知，其面积为：

同理

先将 x视为常数，对 y积分,其结果是 x的函数，

然后再对 x积分，故称之为先 y后 x的积分，也记为：

b

a

x

xdyyxfdx

2

1

,

若D为Y型区域，则有：

f x y dD

,

d

c

y

ydxyxfdy

2

1

,

d

c

y

ydydxyxf

2

1

,

称之为先 x后 y的二次积分．

积分过程：

对 X型区域，采用先 y后 x的积分顺序；

对Y型区域则采用先 x后 y的积分顺序．

y2

x

y

O

y1

d

c

x

y

O a

x1

x2

b

X 型区域

Y 型区域

由此可知：

若既非 X型区域，又非Y型区域，则通过划分

成部分的 X型区域或Y型区域进行计算．

x

y

O

1D

3D

2DD

x

y

O既 X 又 Y 型区域 非 X非 Y 型区

域

D既是 X型区域，又是Y型区域，则选取可

积分的且积分较简单的一种顺序；

若

1)对 X型区域，穿过D且平行于 x轴的直线与D有

且仅有两个交点．

2)对Y型区域，穿过D且平行于 y轴的直线与 D有

且仅有两个交点．

3)同一积分式中要么只用 X型区域，要么只用Y型

区域．一般不要混用．

4)积分次序的选择主要是依据积分区域和被积函数的特点。

★ 注意

解法一，将其视为 X型区域

计算 xydD

，其中D由 y x y x 1 2, , 围成．

x

y

O

xy

2

1

1

xydD

2

1dx

2

11

2

2dx

yx

x

2

1

3

22dx

xx

2

1

24

48

xx8

9

xxydy

1

例 30

解法二，将其视为 Y型区域

2

2

1dy

2

1

22

2dy

xy

y

2

1

3

22 dy

yy

2

1

42

8

yy

8

9

xydD

2

yxydx

x

y

O

xy

2

1

解，如图

求 xydD

，其中D由 y x y x2 2 , 围成．

由

2

2

xy

xy

得二交点为： 2,4,1,1

将其视为Y型有：

xydD

2

1dy

2

1

22

2dyy

xy

y

2

1

5222

1dyyyy

x

y

O

xy 2

2xy

2 1,1

2,4

1

2

2yx

2

2

y

yxydx

2yx

例 31

续2

1

623

4

62

3

4

42

1

yyy

y

8

45 x

y

O

xy 2

2xy

2 1,1

2,4

1

2

2yx

2yx

续

x

y

O

xy

2xy

2

1D2D

将其视为 X 型区域时， 则必须将D分为两部分：

xyx

xyxD

,10|,1

xyx

xyxD

2

,41|,2

从而：

xydD

21 DD

xydxyd

x

xxydydx

1

0

x

xxydydx

2

4

1复杂

xy

，由积分

dy f x y dxy

y

0

2 2

2 , 知

积分区域D为：

解 如图

x

y

O

交换 dy f x y dxy

y

0

2 2

2 , 的积分次序．

2

4

yxy

yyx

2

,20|,2

此区域D也可表示为：

xy

xxyx

2,40|,

交换积分次序有： dy f x y dxy

y

0

2 2

2 , x

x dyyxfdx2

4

0,

A

例 32