• 全數的除法

• 國立台南大學數學教育系 • 謝 堅

•人們為什麼會發明除法？•發明除法對我們有那些幫助？

• 如何幫助學童理解並學會使用除法替代減法 ( 相同數字 ) 解決問題？

•除法問題的語意：

•就問題語意的觀點，除法問題可以區分為等分除問題及包含除問題。

•包含除問題：•已知總量及單位量，單位數未知。

•12(14) 個蘋果， 3個蘋果裝一盤，儘量裝完，可以裝成多少盤，剩下幾個蘋果？

•等分除問題：•已知總量及單位數，單位量未知。

•12(14) 個蘋果，平分裝成 3盤，儘量裝完，一盤可以裝多少個蘋果，剩下幾個蘋果？

•這兩種問題的題意是否相同？

•尚未引入除法計算之前，學童解這兩種問題的解題策略是否相同？

•為什麼這兩種問題的摘要記錄相同（都記成 12÷3＝ 4或 14÷3＝ 4….2 ）

•除法問題的記錄格式：

•就記錄格式觀點，除法問題可以區分為「儘量分完」及「全部分完」兩種記法。

•14 塊蔥油餅，平分給 3個人，每人分得幾塊？剩下幾塊？

•14 塊蔥油餅，每人分給 3塊，可以平分給幾個人？剩下幾塊？

•這兩個問題的題意是否明確 ?•為什麼大家都能正確的算出答案 ?

•14÷3＝ 3......5 •每人分到 3塊，剩下 5塊。•這個答案，你是否會給分 ?

•這個答案滿足題意嗎 ?•這個答案是約定俗成的共識嗎 ? •這個答案是日常生活中經常出現的分法嗎 ?

•14÷3＝ 4......2•請改寫問題，讓學童一定要寫出這個答案，否則不給分。

•命題時，應該將題意描述清楚，或題意不必清楚，只要在課堂形成約定俗成解題的共識即可。

•14 塊蔥油餅，平分給 3個人，每人最多分得幾塊？剩下幾塊？

•14÷3＝ 4......2 •每人最多分到 4塊，剩下 2塊。•加上最多，它就是合理的答案嗎？

•14÷3＝ 4.5......0.5•每人分到 4.5 塊，剩下 0.5 。•14÷3＝ 4.6......0.2•每人分到 4.6 塊，剩下 0.2 塊。

•它們的答案都比 3塊更多。•如何修改題目，要求學童必須以前面的算式當做答案 ?

•14÷3＝４ 2/3...…0•每人分到４又 2/3 塊，剩下 0塊。•14÷3 4.6≒•每人大約分到 4.6 塊。

•它們的答案都比 3塊更多。•如何修改題目，要求學童必須回答前面的算式當做答案 ?

•14 塊蔥油餅，平分給 3個人， 「儘量分完」，每人分得幾塊？ 剩下幾塊？

•14 塊蔥油餅平分給 3個人，每人可分得幾塊完整的蔥油餅？剩下幾塊？

•14÷3＝ 4......2 •每人分到 4塊，剩下 2塊。

•14 塊蔥油餅，平分給 3個人，每人分得幾塊？剩下多少塊蔥油餅？（商數算到小數一位並寫出餘數）

•14÷3＝ 4.6......0.2•每人分到 4.6 塊，剩下 0.2 塊。

•14 塊蔥油餅，平分給 3個人，每人分得幾塊？剩下多少塊蔥油餅？（用四捨五入法取概數，商數算到小數一位）

•14÷3 4.6≒•每人大約分到 4.6 塊。

•14 塊蔥油餅，平分給 3個人， 「全部分完」，每人分得幾塊？

•14÷3＝４ 2/3...…0•每人分到４又 2/3 塊。•因為要全部分完，所以剩下 0塊可以省略不記。

•14 塊蔥油餅，平分給 3個人，儘量分完，每人可分得幾塊？剩下多少塊？

•12 塊蔥油餅，平分給 3個人，全部分完，每人分得幾塊？

•有餘數的問題呈現「儘量分完」，•沒有餘數的問題呈現「全部分完」，•這樣的布題方式合理嗎？　

•解題之前不知道有沒有剩下。 •「儘量分完」及「全部分完」是記錄格式的要求，與除法問題的餘數是否為 0無關。

•教師必須與學童溝通「儘量分完」及「全部分完」的意義。

•12 （ 14 ）塊蔥油餅，平分給３個人，儘量分完，每人分得幾塊？

•12÷3＝ 4....0 •14÷3＝ 4....2

•剩下 0塊，也是題目中必須回答的重要條件。

•12 （ 14 ）塊蔥油餅，平分給 3個人，全部分完，每人分得幾塊？

•12÷3＝ 4 •14÷3＝４ 2/3

•因為要全部分完，所以不會有餘數，也不必記錄餘數。

•「儘量分完」的共識： 要求同時回答商數及餘數兩個未• 知量。 要求使用算式「 a÷b＝ q….r」來

• 記錄。•算式的等號只是得到答案的意思，不滿足等號的等價關係。

商數是整數，餘數要比除數小• （當商數是小數時，餘數的限制

• 要更嚴格）。 剩下 0個，不是沒有餘數，必須

• 將餘數是 0個記下來。

•「全部分完」的共識： 只有商數一個未知量。 使用「ａ÷ｂ＝ a/b 」來記錄。 沒有剩下，因此不記錄餘數。

•7÷3＝？•70÷30 ＝？•0.7÷0.3 ＝？　　　

•這三個問題的答案是否相同？

•題意是「儘量分完」時，答案不相同（商數相同，餘數不同）。

•題意是「全部分完」時，答案相同。•（只記錄商數，商數相同）

•使用「ａ÷ｂ＝ｑ ..ｒ」來記錄。•商數是整數，餘數要比除數小•（當商數是小數時，餘數的限制•要更嚴格）。

•當被除數、除數、商數是小數時，應注意那些事項？

•當被除數、除數、商數是小數時，有那些注意事項？

•□÷1.04 ＝ 1.7 ... 0.12 ，□＝？

•□＝ 1.04 × 1.7 ＋ 0.12 ＝ 1.888。

•1.888是正確的答案嗎 ?

• 1.0 4• × 1.7• 7 2 8 • ＋ 1 0 4 • 1.7 6 8 • ＋ 0.1 2 • 1.8 8 8

• 1.7 1.8

•1.04 )1.888 1.04)1.888• 1 04 1 04• 848 848• 728 832 • 0.120 0.016 •為什麼驗算出來的答案不正確 ?

• 　 4.66• 3 ) 14 00 14÷3=4….2• 12 0≦ 2 < 3• 2 0 14÷3=4.6….0.2 • 1 8 0≦ 0.2 < 0.3 • 20 14÷3=4.66….0.02 • 18 0≦ 0.02 < 0.03

• 2

•ａ÷ｂ＝ｑ .... ｒ， 商數ｑ是整數， 0≦ｒ <ｂ

•ｑ是一位小數， 0≦ｒ <ｂ×0.1•ｑ是二位小數， 0≦ｒ <ｂ×0.01

•……以此類推。

• ( ) ÷1.04 ＝ 1.7…….0.12•餘數大於除數的十分之一倍，也就是說，此題的數據不可能存在。

• ( ) ÷1.04 ＝ 1.7…….0.08•ｑ是一位小數， 0≦ｒ <ｂ×0.1 此題的數據存在，算出的答案驗算時也會成立。

•分三個階段引入除法運算：

•第一階段：引入除法算式之前。•第二階段：引入除法算式。•第三階段：引入除法算式以後。

•第一階段：引入除法算式之前。

•教學的重點是： 理解題意。 有用加、乘、減等方法成功解題

•　的經驗。 逐漸形成除法數學模型。

•第二階段：引入除法算式。

•教學的重點是： 形成除法數學模型。 掌握除法算式的意義。 掌握除法算式填充題（問題記錄）

• 的意義。

•第三階段：引入除法算式以後。

•教學的重點是： 提升解題效率。 引入除法算則。•何謂除法算則？

• 第一階段：引入除法算式前。

• 引入除法算式前，包含除問題與等分除問題是兩種不同的數學模型（解題活動類型）。

•包含除問題：•14 個蘋果， 3個蘋果裝一盤，儘量裝完，可以裝成多少盤，剩下幾個蘋果？

• 學童可能有那些解題策略？• 學童如何把做法記錄下來？

•累加策略：•3＋ 3 ＝ 6 3×2 ＝ 6 •6＋ 3 ＝ 9 3×3 ＝ 9 •9 ＋ 3 ＝ 12 3×4 ＝ 12•14－ 12 ＝ 2 14－ 12 ＝ 2

•3×4 ＝ 12 •14－ 12 ＝ 2

•累減策略：•14－ 3 ＝ 11 3×4 ＝ 12•11－ 3 ＝ 8 14－ 12 ＝ 2

• 8 － 3 ＝ 5• 5－ 3 ＝ 2

•「 3×4 ＝ 12 ， 14－ 12 ＝ 2」•累加及累減策略中都有這種記法，這兩種相同記法的解題方式是否相同，它們記錄了什麼？

•累加策略是由部份往整體運算。•累減策略是由整體往部份運算，把要減的數累積起來，再一次減去。

• 等分除問題：•14 個蘋果，平分裝成 3盤，儘量裝完，一盤可以裝幾個蘋果？剩下多少個蘋果？

• 學童可能有那些解題策略？• 學童如何把做法記錄下來？

「逐１」分策略：•　　　甲　　乙　　丙•　　「○」「○」「○」 　•　　「○」「○」「○」•　　「○」「○」「○」•　　「○」「○」「○」•　　「○」「○」

•學童只注意每一次分掉的那１個蘋果，不宜要求學童使用算式記錄解題過程。

•14－ 1 ＝ 13 ， 13－ 1 ＝ 12 ，•12－ 1 ＝ 11 ，…，上述記法沒有意義。

一次一盤分１個策略： 　　•　 　甲 　乙　　丙 　 　　•　 「○　　○　　○」 　 •　　「○　　○　　○」 　•　　「○　　○　　○」 •　　「○　　○　　○」 •　　「○」「○」

• 學童注意到每 1次所分掉的那 3個蘋果，可以要求使用減法算式記錄解題過程。

•14－ 3 ＝ 11•11－ 3 ＝ 8• 8 － 3 ＝ 5• 5－ 3 ＝ 2•題目中是 3盤，算式中是 3個。

• 一次一盤分一個策略涉及單位量及單位數角色的轉換，對低年級學童而言相當困難，必須透過經常練習，才能掌握其意義。

嘗試錯誤策略： 　

•學童先猜一盤有幾個蘋果，再判斷猜的蘋果數是否滿足題意。

•3×3＝ 9 　•4×3＝ 12•5×3＝ 15 　　 •4×3＝ 12 •14－ 12＝ 2

•「 4×3 ＝ 12 ， 14－ 12 ＝ 2」

•它描述了解題活動的過程嗎 ?•它只說明答案是正確的嗎 ?•它算是解題活動的記錄嗎 ?

• 嘗試錯誤是一種值得介紹給學童的解題策略嗎？

• 面對新的問題時，是一種很好的解題策略，但是面對經常遇到的問題時，不宜視為一種數學模型 ( 解題活動類型 ) 。

• 學童使用嘗試錯誤策略解題時，常只書寫最後正確的答案，需要要求學童將嘗試的過程也記錄下來嗎 ?

• 將解題過程記錄視為解題草稿（痕跡），不宜視為解題紀錄。　

• 第二階段：引入除法算式。

• 等分除與包含除是兩種不同的數學模型 ( 解題活動類型 ) ，如何引入除法算式（摘要記錄）？

•方式甲：•將等分除與包含除視為兩種不同的數學模型 ( 解題活動類型 ) ，使用兩個不相同的算式來記錄（等分除與包含除的摘要記錄不相同）。

•方式乙：•將等分除與包含除視為兩種不同的數學模型 ( 解題活動類型 ) ，但是只使用一個相同的算式來記錄，而這個算式同時代表兩種不同的數學模型（解題活動類型）。

•方式丙：•只使用一個相同的算式來記錄，而且這個算式只記錄了一種數學模型( 解題活動類型 ) ，但是透過轉換，將等分除與包含除視為相同的數學模型 ( 解題活動類型 ) 。

• 那一種引入除法算式的方式比較恰當？

• 數學模型或符號都只有一種意義，但是可以不斷的擴充它們的意義以及適用的範圍。

•如果方式丙比較恰當，選擇什麼問題當做除法的原始數學模型 (首次引入 )？

何者比較簡單？ 何者經常出現？ 誰轉換成誰比較容易？•數學上選擇包含除問題為除法算式的數學模型（原型）。

•如果方式丙比較恰當，如何引入除法算式？

•透過下面四個步驟引入除法算式。

•步驟一：•開放解題，等分除與包含除是兩種不同的問題類型，會有不同的解題策略以及記錄方式。

•步驟二：•限制解題策略，限制包含除問題使用連減策略，等分除問題使用一人一次分１元策略，透過都可以使用減法算式來記錄的特徵，幫助學童將等分除與包含除問題視為相同的數學模型 ( 解題活動類型 ) 。

•步驟三：•引入包含除問題的算式記錄（是首次引入的除法算式）

•將有減法算式的解題過程記錄　「 14－ 3 ＝ 11 ， 11－ 3 ＝ 8， 8－ 3 ＝ 5， 5－ 3 ＝ 2」摘要的記成除法算式　「 14÷3＝ 4....2 」。

•如何幫助學童學會除法算式 ?

•應注意溝通「儘量分完」的意義。•「÷3」記的是每次分掉 3 個。

•步驟四：•引入等分除問題的算式記錄（透過一次一盤分１個策略，將等分除問題轉換成包含除問題，借用包含除問題的摘要記錄來記錄等分除問題的解題活動）。

•引入算式時應注意溝通：•過程記錄中「－ 3 」的意義，•摘要記錄中「÷3」及商數「 4」的意義。

•包含除及等分除問題算式的意義•包含除問題：• 14 ÷ 3 　＝ 4 .... 2•解題 蘋果 蘋果　 次 蘋果•活動 •摘要 蘋果 蘋果 　盤 蘋果 •記錄•兩者的意義一致（原型）

•等分除問題：• 14 ÷ 3 　＝　 4....2•解題 蘋果 蘋果 盤 蘋果•活動 •摘要 蘋果 盤 蘋果 蘋果•記錄

•兩者的意義不一致 (透過轉換 )

•教師宜澄清：•「 3個蘋果」和「 3盤」互換關係。•「 4盤」和「 4個蘋果」互換關係。•一個數學模型或符號記錄兩種不同的問題（例如減法及除法），一定會產生意義轉換的問題。

•引入「儘量分完」記錄格式 （ａ÷ｂ＝ｑ .... ｒ）的流程：

•方式甲：直接引入除法算式。 •方式乙：分四階段引入除法算式。

•方式甲：直接引入除法算式

•教師只布一種除法問題（同時詢問商數及餘數），因此只有一種除　法算式（ａ÷ｂ＝ｑ ....r ）。

•方式乙：分四階段引入除法算式。•第一階段：•先布沒有餘數問題（不問餘數），引入沒有餘數的除法算式　　　　（ａ÷ｂ＝ｑ）。

•第二階段：•再布有餘數的除法問題，引入有餘數的除法算式（ａ÷ｂ＝ｑ ..ｒ）。

•第三階段：•重新溝通沒有餘數的除法問題　（餘０也算是有餘數），並改用有餘數的除法算式來記錄，　　　　將「ａ÷ｂ＝ｑ」的記法改寫成「ａ÷ｂ＝ｑ ....０」。

•第四階段：•形成除法算式記法的共識。•不論是否有餘數，都必須記成 （ａ÷ｂ＝ｑ… .ｒ）（儘量分完）。

•如何引入除法算式填充題 ?　　　儘量分完：ａ÷ｂ＝（ ）… .( )

•也可以仿照除法算式引入的方式，分四階段引入除法算式填充題的記法嗎 ?

•沒有餘數的除法算式填充題記成　「ａ÷ｂ＝（　）」。

•有餘數的除法算式填充題記成 「ａ÷ｂ＝（　） .... （　）」。

•這樣的記法合理嗎？

•算式填充題是解題前的問題記錄（解題計劃），解題前不可能知道是否有餘數。

•你喜歡那一種算式填充題的記法 ?「ａ÷ｂ＝（　）」。「ａ÷ｂ＝（　） .... （　）」。

•第三階段：引入除法算式後（強調解題效率）。

•包含除問題與等分除問題有那些解題策略 ?

•如何提升解題的效率 ?

•包含除問題的解題策略：

連減策略。 先乘後減策略。 有效率的先乘後減策略。 被除數及除數同時換單位策略。

•等分除問題目的解題策略：

•轉換為包含除問題策略。•被除數為多單位結構策略。

•包含除問題的解題策略及記錄格式：

•14 個蘋果， 3個蘋果裝一盤，儘量裝完，可以裝成多少盤，剩下幾個蘋果？

•連減策略 先乘後減策略

•14－ 3 ＝ 11 3×4 ＝ 12 　

•11－ 3 ＝ 8 14－ 12 ＝ 2• 8 － 3 ＝ 5• 5－ 3 ＝ 2

•橫式記錄 直式記錄• 1• 　　 1 4• 3 ) 14 　 　 3)14• 3 12• 11 2• 3• 8 ( 未完成 )

• 先乘後減策略是比較有效率的連減策略，這兩種策略都是以總量為出發點減去單位量，先乘後減策略只是透過乘法把要減的部份合起來，再一次減去。

•全部有 5983元，每人分得 72元，儘量分完，可以分給多少人，剩下多少元？

• 先乘後減策略 有效率的先乘後減策略

•72×80 ＝ 5760 (連減 80次 ) •5983－ 5760 ＝ 223•72×3 ＝ 216 (連減 3次 ) •223－ 216 ＝ 7………餘數 .

•(80＋ 3 ＝ 83)…………商數

•72×80 ＝ 5760 (連減 80次 ) •5983－ 5760 ＝ 223

•72×3 ＝ 216 (連減 3次 ) •223－ 216 ＝ 7 •72×83 ＝ 5976 (連減 83次 ) •5983－ 5976 ＝ 7

•先減幾十倍，再減幾倍，是比先乘後減策略更有效率的策略。

•如何幫助學童將橫式改用直式來記錄 ?

• 3• 80• 72)5983• 5760• 223• 216• 7

•被除數與除數同時轉換單位策略　•被除數與除數同時除以一數策略

•14000元，每人分 3000元，儘量分完，可以分給幾人，剩下幾元？

•因為原問題的數字太大，計算太麻煩（ 14000÷3000 ＝ ( )………( ) ），因此先將原問題改寫成數字較小的新問題「 14÷3＝ ( ) ……（ )」，再利用改寫後新問題的答案 「 14÷3＝ 4....2 」，推出原問題的答案「 14000÷3000＝ 4……2000 」。

•為什麼可以透過「 14÷3＝ 4....2 」，再加上口訣 「商數不變，餘數變回 1000倍」，就可以得到原問題的答案？

•被除數與除數同時除以 1000 策略：•原問題： 14000÷3000 ＝ｑ ....ｒ（ 0≦ｒ＜ 3000 ）

•新問題： 14÷3＝Ｑ ....Ｒ （ 0≦Ｒ＜ 3 ）

• 原問題與新問題是兩個不同的問題，要找出原問題、新問題間商數與餘數的關係，才能夠由新問題的答案推算出原問題的答案。

• 原問題是否可以兩邊同除 1000 ？• 原問題的等號只是「得到」的意思，等號兩邊並不滿足「一樣大」。

•改寫原問題：•14000 ＝ 3000×ｑ＋ｒ （ 0≦ｒ＜ 3000 ）

•改寫新問題：•14 ＝ 3×Ｑ＋Ｒ （ 0≦Ｒ＜ 3 ）

•原問題兩邊同除 1000 ，得到 14 ＝ 3×ｑ＋ 0.001×ｒ

•「ｑ及 0.001×ｒ」會是新問題 「 14÷3」的商數及餘數嗎？　

•14 ＝ 3×Ｑ＋Ｒ（ 0≦Ｒ＜ 3 ）•14 ＝ 3×ｑ＋ 0.001×ｒ （ 0≦0.001×ｒ＜ 3 ）

•它們的被除數及除數相同，餘數也滿足除法原理，所以它們是相同的除法問題，因此答案（商數及餘數）也會相同。

•14 ＝ 3×Ｑ＋Ｒ（ 0≦Ｒ＜ 3 ）•14 ＝ 3×ｑ＋ 0.001×ｒ （ 0≦0.001×ｒ＜ 3 ）

•ｑ＝Ｑ（商數不變）•0.001×ｒ＝Ｒ（ｒ＝ 1000×Ｒ）（原問題餘數是新問題的１千倍）

•高年級的學童能明白理由嗎？

• 被除數與除數同時轉換單位策略：• 原問題： 14000元，每人分 3千元，儘量分完可以分給幾人？剩下幾元？

• 改寫的問題： 14個千元；每人分 3個千元，儘量分完可以分給幾人剩下幾元？

• 它們是相同的問題，只是使用不同的單位來描述。

•原問題： 14000÷3000 ＝ｑ .... ｒ

•被除數與除數都是以 1元為單位。•改寫後的新問題： 14÷3＝ 4.…2 被除數與除數都是以１千元為單位。

•餘數「 2」是 2個千元，也就是 2000元。

•高年級的學童能明白理由嗎？

• 等分除問題解題策略及記錄格式

• 轉換為包含除問題策略：• 轉換為包含除問題後，又有連減策略、先乘後減策略、有效率的先乘後減策略、被除數與除數同時轉換單位策略等４種解題策略。

•多單位結構策略：•被除數視為 5個千 9個百 8個十 3個一

•除數視為平分成 72等份。•除法對加（減）法只滿足右分配律。•商數是 8個十 3 個一，不是 80 個一和 3 個一。

• 3 • 8• 72 ） 5983• － 576• 223• － 216• 7

•　　　　　 3 3• 　　 8 80• 72 ） 5983 　　　 72)5983• － 576 － 5760• 223 223• － 216 － 216• 7 7

• 現在社會上多數成人都使用多單位結構策略解題，也就是說，它是除法算則。

• 除數與商數，那一個數的數量範圍大小，會影響解題的難度？

•7095÷953 ＝（ ）…… ( )• 7095÷12 ＝（ ）…… ( )•那一題比較困難 ?

• 學童使用先乘後減策略解題時，商數愈大，解題的難度愈大。

• 學童使用多單位結構策略解題時，除數愈大，解題的難度愈大。

•0÷3＝（　）•3÷0＝（　）•0÷0＝（　）

•為什麼數學上規定 0不可以當除數 ?•為什麼數學上不規定 0不可以當被除數 ?

•3÷0＝（　）

無意義。 無限大。 無解。

•0÷0＝（　）

無意義。 無限大。 無解。 任意數。

•二元一次聯立方程式：•3x ＋ 0y＝ 5•4x ＋ 0y＝ 7

•3:4( )0:0•請填＝或≠。

•如果 3:4≠0:0•聯立方程式恰有一解•3x ＋ 0y＝ 5•4x ＋ 0y＝ 7

•但是此聯立方程式無解

•0÷3＝ x 0 ＝ 3x x＝ 0•3÷0＝ y 3 ＝ 0y y無解•0÷0＝ z 0 ＝ 0z z是任意數

•需要 (可以 )與國小學童溝通 0不可以當做除數的意義嗎 ?