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1 政治大學國務院國安碩專班選修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰

政治大學國務院國安碩專班選修課課程名稱：社會科學研究方法（量化分析）

授課老師：黃智聰授課內容：

簡單線性迴歸模型：非線性模型、異質變異、自我相關

參考書目： Hill, C. R., W. E. Griffiths, and G. G. Judge, (2001), Undergraduate Econometrics. New York: John Wiley & Sons

日期： 2011 年 5 月 12 日


非線性模型第一類模型 : 變數為非線性的，但未知參數是

線性的。

Y=αLβK γ lnY=δ+βln(L)+γln(K)


多項式和互動變數迴歸模型中的斜率為連續性的變化。 TC=α1+α2Q+α3Q

2+α4Q3+e

PIZZA=β1+β2AGE+β3Y+e

= β2 : 在某一個所得水準之下，預期比薩的支出會隨著年齡增加一歲而變動 β2 的量。

PIZZAAGE


= β3 : 在某一年齡之下，所得每增加＄1 預期比薩支出會增加 β3 。

例 : 隨著一個人年齡的增長，他們對於比薩的邊際偏好會減少。

這是一個所得的影響決定於年齡的例子 AGE × Y

PIZZA=β1+β2AGE+β3Y+β4(AGE×Y) +e

PIZZA Y


=β2+β4 Y

AGE 的影響取決於所得。

=β3+β4 Age

受到所得影響下預期比薩的支出，則決定於 AGE 。

E(PIZZA) AGE

E(PIZZA) Y


下列兩條式子有何不同 Pizza=342.8848***-7.5756***AGE+0.0024***Y Pizza=161.4654-2.9774AGE+0.0091**Y-0.00016*

*(Y×AGE) AGE 本身不再是個顯著的解釋因素。這表示 AGE 會透過與所得的互動來影響比薩的

支出 --- 也就是它會影響比薩的邊際支出傾向估計 AGE 的邊際影響


異質變異（ Heteroskedasticity ）ttt exy 21

0)( teE 2)( teVAr 0),( ji eeCov

問題 : 2)()( tt eVaryVar

放寬這個假設 : 2)()( ttt eVaryVar

然後我們稱這樣的情形為異質變異在使用橫斷面換資料（ cross-sectional data ）時常會遇到變異數不同或質變異性，這樣的情形也同樣會發生在時間序列資料（ time-series data ）。


最小平方估計式仍然是線性且不偏的估計式，但它不再是最佳線性不偏估計式 (BLUE) 。

通常以最小平方估計式所計算出的標準誤是不正確的。使用這些不正確的標準誤會誤導假設檢定。

異質變異對最小平方估計式的影響


1. 殘差圖（ Residual Plots ）如果誤差是同質變異的，在殘差裡不應該會有

任何種類的類型（ patterns ）。然而，當我們有一個以上的解釋變數時，估計

的最小平方函數不容易被畫在一張圖上。我們可以做的是畫出最小平方殘差相對於各解

釋變數的圖。

檢測異質變異性


2. The Goldfeld-Quandt 檢定 H0: homoskedasticity a. 將樣本分為大小大約相等的兩個子樣本。若我們相信變異數與 Xt 有關，則應根據 Xt 大

小將觀察值分為兩類。 b. 計算每個子樣本的估計誤差變異數及

。若兩個樣本之變異數相同的虛無假設不是真

的 , 那麼預期會很大。

21̂ 2

2̂

22

21

ˆˆ


c. 計算 GQ= 若 GQ ＞ Fc (T1-K, T2-K)

拒絕變異數相同的虛無假設若樣本一分為二 , 則 T1=T2=T /2 。

22

21 ˆ/ˆ


一般化最小平方ti exxy 22110 2

1)( ieVar i=1,…,13

ti exxy 22110 22)( ieVar i=14,…,26

(1)

(2)

11

22

1

11

1

0

1

ii exxy

, for i=1,…13

22

22

2

11

2

0

2

ii exxy

, for i=14,…,26

1)()(21

ii eVar

eVar

經由模型轉換的一般化最小平方


∴ 估計 LSE (1)(2) 可得到 21̂ 2

2̂,然後計算

j

y

j

x

1

j

x

2

, ,其中 σj 不是 σ1 就是 σ2 , 決定於選取的那一半觀察值。然後應用最小平方在轉換整個變數

ii XXY 22110

1iy

2iy

1

1

x

2

2

x

1

1

x

2

2

x

檢定變異數假設


自我相關（ Autocorrelation ）橫斷面資料（ Cross-section data ） : 隨機樣本

誤差項彼此間互不相關。時間序列資料（ Time-series data ） : 相鄰發生

的誤差是有可能會彼此相關。當相鄰發生的誤差項互為相關時，稱為自

我相關（ autocorrelation ）。


tttt exxy 2,21,10

0)( teE 2)( teVar0),( st eeCov for t≠ s

but if 0),( st eeCov for t≠ s 自我相關例 :

ttt lPA )ln()ln( 10

ttt exy 10

tt xy 971.0111.6ˆ (0.169) (0.111)

R2=0.706

(SE)

從課本的表和圖中可知 :負的殘差值傾向於跟隨負的殘差值，而正的殘差值則傾向於跟隨正的殘差值。


一階自我迴歸模型 AR(1)

ttt ee 1 0)( tE

若 ρ 由前一期帶到下一期的影響越大，衝擊擴散的速度也越慢。

2)( tVar 0),( stCov for t≠ s

(1)-1＜ ρ＜ 1 ，若＞ 1 Then will ∞ , as t ∞ te

(3) 2

22

1)(

eteVar et 也是同質變異的，因為 σe

2

不隨時間而改變。

一階自我迴歸誤差

AR(1) 誤差的統計性質

(2)E(et )=0


(4) kektt eeCov 2),( k＞ 0

因為＜ 1 ∴ 0),( ktt eeCov As t ∞


對最小平方估計式的影響一個具有自我相關的方程式，若是忽略或沒有

察覺到這一點，就會發生下列情形：最小平方估計式仍然是線性不偏估計式，但它

不再是最佳的。最小平方估計式的標準誤不再是正確的使用

這些標準誤會誤導假設檢定。


一般化最小平方（ GLS ）會比最小平方提供給我們一個更窄、可透露多資訊的信賴區間。

ttt eXY 10

ttt Vee 1

tttt VeXY 110

11011 ttt XYe

11011 ttt XYe

ttttt VXXYY )()1( 1101

tttt VXXY *2,1

*1,0

*


只計算 (T-1) 個變數，忽略第一個觀察值≠ >不偏

估計 ρ 轉換第一個觀察值

12*

1 )1( YY )1( 2*11 X 1

2*12 )1( XX

1*

ttt YYY 1*1tX 1

*2 ttt XXX

ttt eXY 10 ttt XbbYe 10

ˆˆ ttt Vee ˆˆˆ 1 先估然後重新估計 β0,β1 => 在考慮 AR下。tt XY 10


Durbin Watson 檢定

The Bound Test

ttt Vee 1)ˆ1(2 d

H0: ρ= 0， H1:ρ> 0

dLc < d < dUc

若 d < dLc 拒絕 H0: ρ= 0 ，接受 H1:ρ> 0

若 d > dUc 無法拒絕 H0: ρ= 0

若 dLc < d < dUc 這個檢定是不具決定性的。

T=34 ( 觀察值個數 ) K=2( 參數個數 ) β0、 β1

自我相關的檢定


H0: ρ= 0 ， H1:ρ≠0

若 DW 檢定與 LM 檢定不一致時？ DW 檢定導致型 I錯誤。 LM 檢定導致型 II錯誤。

ttt VeXY 1110 ˆ

Lagrange 乘數檢定(Lagrange Mulitipler Test)


注意 :

1.Yt=β0+β1X1+ρet-1+νt ，但 t=1,……,T

e0=? (1) 設定 e0=0

(2)忽略 e0

2.DW 檢定在有限樣本的情況下較精確。 LM 檢定適用在近似於大樣本的情況下。 3. 若其中一個解釋變數為延遲變數 Yt-1 ，則不適合

用 DW 檢定。但 LW 檢定仍然可以用在這種情形之下。

4. 在越多時間延遲的情況下，更適合用 LM 檢定。


YT+1=β0+β1XT+1+eT+1

YT+1=β0+β1XT+1+ρeT+νT+1

TTT eXY ~ˆˆˆˆ1101 TTT XYe 10

ˆˆ~

Th

hT eX ~ˆˆ1 0ˆ hTy +

若我們假設 XT+h=value

則我們就可以預測 h 期 !

用 AR(1) 誤差做預測

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