二次函數 的應用問題
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二次函數 的應用問題. 製作人 姚谷樺. 例 1. 例 2. 例 3. 例 4. 動動腦. 例 5. 例 6. 例 7. 例 8. 例 9. 例 10. 例 11. 例 12. 例 13. 例 15. 例 14. = -(x-6) +36. 例 1. 如何把 12 分成兩數,使 兩數的乘積 為最大?. ( 解 ) :. 列式. 思考. ?. 設. 兩數為 x , 12-x. 問. ?. 兩數乘積為 y. 想求兩數乘積. 所以 y=x(12-x). 先把乘積假設出來. y. 求兩數最大乘積. ≦36. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
二次函數的應用問題
製作人 姚谷樺
例1. 例2. 例3. 例4.
例5. 例6. 例7.
例8. 例9. 例 10. 例11.
例12. 例13. 例14. 例 15.
動動腦
如何把 12 分成兩數,使兩數的乘積為最大?
( 解 ) :
思考 列式 問 設兩數為 x , 12-
x 想求兩數乘積 先把乘積假設出來
兩數乘積為 y
所以 y=x(12-x)
求兩數最大乘積 即求 y=x(12-x) 的最大值
y = -(x-6) +36 2
≦36
當 x=6 時, y=36 為最大值 因此 兩數為 6 , 6 時,乘積 36 為
最大 首頁
??
例 1.
如何將 15 分成三數之和,其中二數須為連續整數,而使此三數的平方和為最小?
( 解 ) :
思考 列式 問 設 三數為 x ,
想求三數的平方和先把平方和假設出來
三數的平方和為 y
求三數最小平方和
首頁
?
?
例 2.
x+1, 15-x-(x+1)=14-2x
所以 y = x +(x+1) +(14-2x) 2 22
即求 y = x +(x+1) +(14-2x) 的最小值
2 22
一位農夫想用 60 公尺長的籬笆圍成一個矩形的菜圃,問如
何才能圍出最大的面積?這最大的面積為多少平方公尺? ( 解 ) :
思考 列式
問 設矩形菜圃長 x 公尺
寬 (30-x) 公尺
想求面積 先找長、寬 面積為 y 平方公尺
再把面積假設出來
籬笆總長 60 公尺 矩形菜圃的長 + 寬 =30 公尺
所以 y=x(30-x) 求最大面積
即求 y=x(30-x) 的最大值
y2
= -(x-15) +225
≦225
首頁
?
?
例 3.
黃金旅行社為提高休閒生活品質,例 4. 特舉辦兩天一夜的黃金旅遊,
預定人數為 30 人,每人只收 5000元; 但為響應政府週休二日,
只要人數達 30 人以後,特別優待: 每增加一人,就每人減收100元。
問應增加多少人,這旅行社才能收到最多的錢? 最多共收到多少錢呢?
參加人數 每人所需費用
30 5000
31=30+1 5000-100
32=30+2 5000-100 2‧35=30+5 5000-100 5‧41=30+11 5000-100 11‧
30+x 5000-100x
解
首頁
( 解 ) :
思考 列式
問 設 增加 x人
想求先把錢數假設出來
可收到 y 元
還可知道 則人數為 (x+30)人 每人收 (5000-100x)元 且 y=(5000-100x)(x+30)
??
想求即求 y=(5000-100x)(x+30)的最大值
# 動動腦:
要如何修改例 1 中,黃金旅行社的廣告詞,才不會造成「旅遊不必付錢」的問題?
Answer: 先反向思考 若「旅遊不必付錢」
則每人所收的錢 (5000-100x) =0
即 x=50
故若增加 50 人時,不必付錢
也就是人數為 30+50=80 人時,不必付錢 ( 預定人數 30人 )
故旅行團應規定: 額滿人數為 79 人 (80 人時剛好不必付錢 )
?
首頁
一果園中種了 25 棵橘樹,每棵平均可生產橘子 450 個;
例 5.
若在此園中,每加種1棵,則每棵平均生產量減少10個, 問應加種幾棵,能使此園的產量達到最大?
最大產量是多少? 所種棵數 每棵平均產量
解
25 450
26=25+1 450-10
27=25+2 450-10 2‧30=25+5 450-10 5‧36=25+11 450-10 11‧
25+x 450-10x
首頁
( 解 ) :
思考 列式
問 設 加種 x棵
想求先把產量假設出來
產量 y 個
還可知道 則棵數為 (x+25)棵 每棵樹平均生長 (450-10x) 顆橘子
且 y=(x+25)(450-10x)
??
想求即求 y=(x+25)(450-10x)的最大值
例 6.
A 、 B 為數線上兩點,他們的座標分別為 7 、 2 , 試在數線上求一點 P ,使 + 的值為最小。 PA
22
PB
( 解 ) :
思考 列式
要 設 P 點座標為x ?
想要
PA2 2
PB先將 + 表示出來
PA22
PB +
= 2 2
+ 7x 2x22
(x-7) + (x-2) =
再算最小值
首頁
例7.
將一顆棒球以 256 呎 / 秒的速率,垂直往上拋,如果經過 t 秒後,棒球的高度是 S(t)=256t-16t 。問:
(1) 此顆球所能達到的最大高度是多少呎?
(2) 經過幾秒鐘後,球會落到地面? ( 解 ) :
思考 列式 (1) 要求
= -16(t-8) +1024 2
S(t) = 256t-16t 2
≦1024
即求 S(t) 的最大值
所以最大高度是 1024 公尺 (2) 要求
先想球落到地面時有何條件 ?落到地面時高度為0
S(t) = 0
此時 t =16 或 0
( 不合 )
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= x 公尺 AB
( 解 ) :
思考 列式
問
設
想求面積 先找長、寬 又設面積為 y 平方公尺
想求面積 , 就把面積假設出來
∴y=(100-2x)(x+20) 求即求 y(100-2x)(x+20)的最大值
首頁
?
例 8.
A
B
C D
E20亂太郎以長 120m 的鐵絲網在河
邊圍一個矩形的菜園。如右圖,虛線部分為河邊,不圍鐵絲網,且∠ EAB=90∘ , =20m ,則菜園 ( 矩形 ACDE) 的面積最大為多少平方公尺?
AB
= +20 DE BC
=120 - - CD BC DE則寬 =(x+20) 公尺 且長 =(100-2x) 公尺
DE
CD
亦可設 =x DE
其中一平台的邊長為x 公尺
( 解 ) :
思考 列式
問
設
又設全部費用為 y元
先假設建築費用且求其最小值
想
首頁
例 9.
霧丸想沿魚池的岸邊,搭建一個伸入池中 6m 的平台,形狀為兩個相連的正方形,如右圖。若平台高度一定且建築費為每平方公尺 100 元,問平台的邊長多少公尺才能使建築費用最低?
則另一平台邊長為(6-x) 公尺
而
∴y=100[x +(6-x) ] 2 2
岸邊
6m
A 、 B 兩正方形面積和為 y 平方公尺
( 解 ) :
思考 列式
想求 設
首頁
例 10.
一條繩子長 100m ,現在想把它切成兩段分別圍出正方形 A與 B ,當切出的一段長 x 時, A 、 B 面積之和最小,求出此時之 x及面積和之最小值。
問
A B
x 100-x
而 A 的邊長為
B 的邊長為 4
x
4
100 x∴y = 22 )4
100()
4(
xx
即求 y = 的最小值
22 )4
100()
4(
xx
例 11.
如右圖, =16 , =12 的長方形 ABCD 的邊上,各取一點 M 、 N 、 P 、 Q ,使 = = = =x
AB BC
AM
BN CP DQ
(1) 試以 x 表示四邊形 MNPQ 的面積。 (2) 問 x 等於多少時, MNPQ 的面積最小?
x 16-xx
12-x
M
N
P
Q
A B
CD(3) 求四邊形 MNPQ 面積的最小值。 ( 解 ) :
思考
(1)
列式 MNPQ=ABCD – 4 個直角三角形
MNPQ 的面積=16 12 – ‧ ΔMBN=ΔPDN= x (16-x) ‧ 2
1
ΔMAQ=ΔPCN= x (12-x) ‧ 21
2
12
12[ x (16-x) + x (12-x)] ‧ ‧
=2x - 28x+192 2
(2) 問 則利用配方法即可
2x - 28x+192 2
2=2(x-7) +94 ≧94
(3)
MNPQ 面積的最小值為 94 首頁
例 12.
A B
C
DE
P
(1) 試以 x 表示 ΔAPC與正方形 PBDE 的面積和 (2) 求 ΔAPC與正方形 PBDE 面積和的最小值 ( 解 ) :
思考 列式
ΔABC 面積 = ‧底‧高 2
1(1)
2
1= x x ‧ ‧
正方形 PBDE 面積 =( 邊長 )
2
2= PB2=( - ) AB AP
2=(12-x)
2
1 2 2面積和 = x +(12-x) 2= x -24x+144
2
3
(2) 問 2
2
3即求 x -24x+144 的最小值
2 x -24x+1442
3
= (x-8) +48 2
3 2 ≧48
首頁
的長為 12 , P 點在 上移動,以 為一邊做等腰直角 ΔAPC ,其中∠A=90 度,又以 為一邊作正方形 PBDE ,如右圖,設 =x
AB AB
AP
AP
PB
例 13. 設 a : b = 1 : 2 且 b : c = 3 : 4 ,求:
(1) a : b : c
(2) ab – bc + ca + c 的最大值 ( 解 ) :
思考 列式 (1) a : b : c = 3 : 6 : 8
(2) 想求 ab – bc + ca + c 的最大值,
根據以往經驗,
須將未知數化簡成只有一個,再配方 由 (1) a : b : c = 3 : 6 : 8 的提示
設 a=3k , b=6k ,c=8k (k≠0)
ab – bc + ca + c
=18k -48k +24k +8k 2 2 2
配方後即可得最大值首頁
例 14.
( 解 ) :
思考 列式 想求 即用配方法求最大值
(1)
設 a代表一個確定的數,且 a≠0 ,若二次函數 f(x) = ax +3ax – a +2 的最大值為 -5 ,試求:
(1) 此二次函數圖形的頂點座標
(2)a 的值
2
2
f(x) = ax +3ax – a +2 2 2
2 2=a(x+ ) –a – a +2 2
3
4
9
且最大值為 -5
∴頂點座標為 (- ,-5) 2
3
(2) 從 (1) 的配方法中可看出最大值為
∵最大值為 -5 2 ∴ -a – a +2= -5
4
9
∴a= -4 或 4
7 ( 不合 )( a<0∵ 才會有最大值 )
首頁
例 15.
(1) 矩形 OCPD 的面積表示成 x 的二次函數為何? (2) 當 P 點座標為多少時,矩形 OCPD 的面積為最大,其值又為何?
( 解 ) :
思考 列式 (1)
∵P 在 2x+3y=5上
2x+3y=5
(2) 問 即求 f(x) 的最大值
設 P
則矩形 OCPD 的面積為
首頁
如右圖,過 A 、 B 兩點直線方程式為 2x+3y=5 ,且 P 點為 上任一點,求
ABP
x
y
O
A
B
C
D2x+3y=5
想求
須先知道 的長度即 P 點座標
CDPC、 ∴3
25 xy
)3
25,(
xx
f(x)=x ‧3
25 xxx
3
5
3
2 2