-Derivative （導函數） -Chapter 3

朝陽科技大學資訊管理系李麗華 教授

2

3-1 前言

1. 導函數主要是利用極限觀念求函數 對 的變化率古人在有了數學後，對數學的運算雖可知其平均值及統計值，但在”變化”或”速度”之議題有許多未解之處，自從牛頓及萊布尼茲提出微積分相關文章，終於大家可以理解並求出”變化率”及速度。 ( 以下就幾何層面來看切線與斜率 )

( )f x x

3

3-1 前言

2. 為切過圈上一點 的切線，可是到底我們畫在這個點上了嗎？點有多大？

1

1 p

p

4

3-1 前言

• 古人並無法得知 這個點到底為哪一點，故均採割線 ( 即 ) 由內向外移動，直到 為止，故需利用逼近法。

• 當 這條直線 ( 若命名為 ) 為此圖或曲線的切線 (tangent line) 而曲線在 點的斜率即為直線 的斜率。

PQ P Q

P Q T T

PT

P

(secant line)

Q

P

5

3-1 前言

• 通過 點有無限多條線與曲線相交，但只有一條 ( 即 ) 才能找出曲線在 點的斜率。

PT P

圖示：

P T

曲線

6

3-1 前言

3. 由上頁圖示的引述可知，要求得變化率 (rate of change) 再任意曲線下可以利用割線 (secant line)來逼近成切線 (tangent line)

P Q

( )y f x

x x xx當 P Q

切線的斜率 (即 2點取一直線的斜率 )

tan0

( ) ( )limx

f x x f xm

x

,0x 則

7

Tangent Line 範例

Determine the slope of the line tangent to the

graph of 2( )f x x

Sol ： tan0

( ) ( )limx

f x x f xm

x

2 2

0

( )limx

x x x

x

2 2 2

0

2 ( ) ( )limx

x x x x x

x

2

0

2 ( ) ( )limx

x x x

x

0

(2 )lim 2x

x x xx

x

EX ：

1 2 3

-1-2

∴當 at point (-2,4) is 2(-2)= -4x

8

3-1 前言

• 由上述可知，斜率即為函數 在某一點 的變化率，亦稱為導數 (derivative) 用 來表示。

f x'( )f x

0

( ) ( )'( ) lim

x

f x x f xf x

x

也可寫成

0limx

dy y

dx x

provided the limit exists

9

3-1 前言

• When the derivative exists, the function is said to be differential

• To differentiate a function means to determine its derivative

• 有關微分的寫法及念法如下

'( )f x 'ydy

dx( )df x

dx xD y

葉布尼茲的寫法

( )xD f x, , , , ,

10

Derivative 範例

求 的導數，即對 微分，求 。

3( )f x x ( )f x '( )f x

Sol ：0

( ) ( )'( ) lim

x

f x x f xf x

x

3 3

0

( )limx

x x x

x

3 2 2 3 3

0

3 3limx

x x x x x x x

x

2 2 3

0

3 3limx

x x x x x

x

2 2

0

(3 3 )limx

x x x x x

x

2 2 2

0lim 3 3 3x

x x x x x

2'( ) 3f x x

EX ：

11

Derivative 練習2( ) 2 2 4f x x x

2( ) 3 2f x x x 2( ) 4 1 8f x x x

( ) 5 5f x x

( ) 3 4 3f x x

①

②

③

④

⑤

12

Derivative 練習

'( )f x , 1( )f x

xIf thenEX ： ( )1x

0

( ) ( )'( ) lim

x

f x x f xf x

x

Sol ：

1 1

0lim x x x

x x

1 1

0

( )( ) ( )( )lim

( )( )x x x

x

x x x x x x

x x x x

0 0

1lim lim

( )( ) ( )( )x x

x

x x x x x x x

2 20

1 1limx x x x x

( )2x

13

3-2 Basic Rule for Differentiation

( )0

d c

dx

1( )n nd xnx

dx

c ： constant

( )f x c

c

( ( )) ( )d dc f x c f x

dx dx

1n ndc x n cx

dx

[ ( ) ( )] ( ) ( )d d df x g x f x g x

dx dx dx

[ ( ) ( )] ( ) ( )d d df x g x f x g x

dx dx dx

1.1

2.1

1.

2.

3.

4.

14

Basic Rule for Differentiation 範例

( ) 15f x

( ) 6f x

5( )f x x

2( ) 3 4f x x

( )f x x

2

1( )f t

t

, ( ) 15 0d df x

dx dx

, ( ) ( 6) 0d df x

dx dx

1.1 若

1.2 若

2.1 若

2.2 若

2.3 若

2.3 若

,

,

,

,

5 4( ) 5d df x x x

dx dx

'( ) 6f x

1 12 2

1 1'( ) ( )

2 2f x x x

x

2 33

2'( ) 2( )f t t t

t

15

上台練習

• 求 (a) (b) (c)dy

dx64y x

3

5

xy

3

2y

x

16

上台練習

• 求導數 derivative3

2( )f x x

( ) 30f x x

3( ) 10f x x5 4

( ) 12 33 3

f x x x

3 2

6( ) 1f x

x

(a)

(e)

(d)

(c)

(b)

17

3-3 Rates of Change ( 變化率 )

1. 前面已提到導函數 (derivative) 可由函數上的一條切線來找到，即 。若由圖形 (9graph) 的角度來看，可看出函數 在某一點的變化率 (rate of change) 即為導函數的值。

tan0

( ) ( )limx

f x x f xm

x

( )f x

( )f x

x

( )f x x

( )f x

18

3-3 Rates of Change ( 變化率 )

2. 變化率在日常生活中隨處可見，例如速度即為一種距離對時間的變化率，又例如學費每年成長的變化率，股市的變化率和匯率等。

19

Rates of Change 範例

若由山下走到學校的距離 (s) 為 500 公尺，阿華 走了 25 分鐘，則阿華的平均速度 (average speed) 為何？

若 Amtrak 公司 83-88 年的收入由 8 億增至 13 億， 則五年內的平均收益為何？

Sol ：Average speed =

( 距 )

( 時 )=

500

25= min20 m

Sol ：Average revenue =

st

( 收益量 )

( 時 )=R

t13 8

88 83

=5

5= 1( 億 )

EX ：

EX ：

20

Rates of Change 範例

同上面的題型，可延伸出任一個函數 ，變 化率由 代表

( )f xy

x

例如：若 ，欲求 在 到 的變化率，2( )f x x ( )f x 1x 5x

則可由 求得：y

x

y

x

=(5) (1)

5 1

f f

=25 1

5 1

=24

4= 6

EX ：

21

3-3 Rates of Change ( 變化率 )

3. 事實上在第一章已學過， 即為斜率 (m) ，所以斜率亦代表變化率。而當 的變化量逼近 0時 ( )，即代表欲求得 那一點的變化量 ，正好這個公式即為導函數 ( 微分 ) 。故我們可以說導函數 是 在 這一點的變化量，即

is the instantaneous rate of change of y with respect to x, or instantaneous rate of change of with respect to x

y

x

x

0xx 0

limx

y

x

'( )f x y x

y

x

( )f x

22

3-3 Rates of Change 範例

若一球自山頂掉下的距離公式為 ，求

2( ) 16s t t

(a) 前三秒的平均速度？

(b) 在第三秒的速度為何？

Sol ：2 2(3) (0) 16(3) ( 16(0) ) 144

483 0 3 3

s s s

t

(a)

(b)第三秒的速度，即在第三秒的變化量，即求 在 的微分 ( 導函數 )( )s t 3t

'( ) 32s t t '(3) 32(3) 96s

EX ：

23

上台練習

若 ，求當 的 rate of change

賽車前 6 秒的距離公式為 ( ) ， 求第四秒後的速度

若細菌生長的公式為 ，問一開 始的細菌數為何？ 3 小時後的細菌成長率為 何？

3 2 8 1y x x x 3x

2 3114

3s t t 0 6t

21000 20n t t

EX1 ：

EX2 ：

EX3 ：

24

3-4 Marginal Analysis ( 邊際分析 )

1. 若函數 是生產 個產品的成本函數，則 稱為邊際成本 (marginal cost) 。即再生產一個產品的成本 ( 即一個量的變化率 )

( )c x x '( )c x

'( ) ( 1) ( )c x c x c x

0

( 1) ( ) ( ) ( )( 1) ( ) lim '( )

1 x

c x c x c x x c xc x c x c x

x

說明：

25

Marginal Analysis 範例

Suppose ( )determine the marginal cost when

2( ) 100 30c x x x 0 12x 9x

Sol ： '( ) 30 2c x x

'(9) 30 18 12c ( 即生產到第 9 個，其邊際成本約為 12元 )

'(10) 30 20 10c

'(11) 30 22 8c

( 生產到第 10 個，其邊際成本約為 10元 )

︰

︰

EX ：

26

Marginal Analysis 範例

Suppose . The company determine to stop producing table when the

marginal cost reaches $100. How many table will be mode?

2( ) 0.1 80 100c x x x

Sol ：'( ) 0.02 80c x x ( 邊際成本 )

已知 110 0.02 80x

0.02 30x 1500x

∴這個公司會生產到 1500 個桌子後停止生產

EX ：

27

3-4 Marginal Analysis ( 邊際分析 )

2. 除了 Marginal cost ，其他類似的邊際分析亦可同理來解它，例如 Marginal revenue 或 Marginal profit

(回顧第一章已知 )

( )R x( )P x

( ) ( ) ( )P x R x c x

28

Marginal Analysis 範例

( ) 4000 70 0.01 2C x x x 2( ) 105 0.02R x x x ,

① 求 marginal cost (MC) ， marginal revenue (MR)

② 求 MR(5)

③ 求 marginal profit (MP)

④ 求 , 當 MC=MRx

Sol ： ① '( ) 70 0.02MC c x x

② '( ) 105 0.04MR R x x

③ 2 2( ) ( ) ( ) (105 0.02 ) (4000 70 0.01 )P x R x c x x x x x

'( ) 35 0.02MP P x x

④ 70 0.02 105 0.04x x 0.02 35x 1750x MC RC

EX ：若

29

3-5 The Product ( 積 ) & Quotient Rule (商 )

1. 由於函數與函數間的 +、 -、 、 /、冪次等諸多變化，茲將微分的法則分割介紹。

2. 已在前面學了和，差法則即然而積與商法則卻不是可以分開帶入計算的。

[ ( ) ( )] ( ) ( )d d df x g x f x g x

dx dx dx

EX ：

2( )f x x , ( )g x x , 則[ ( ) ( )]' '( ) ( )f x g x f x g x

3 2( ) ' 3x x 2 1 2x x

30

3-5 The Product ( 積 ) & Quotient Rule (商 )

3. Product Rule ：Let ( )u u x , ( )v v x then ( ) ' '

du v u v u v

dx

( ) ' 'df g f g f g

dx 或 即 f(x) [ ( )] [ ( )] ( )

d dg x f x g x

dx dx

31

3-5 The Product ( 積 ) & Quotient Rule (商 )

:proof 已知0

( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] lim

x

d u x x v x x u x v xu x v x

dx x

加入一個

[ ( ) ( ) ( ) ( )]u x v x x u x v x x

加入項

0

( ( ) ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( ))limx

u x x v x x u x v x x u x v x x u x v x

x

拆 2項

0

( ) ( ) ( ) ( )limx

u x x v x x u x v x x

x

0

( ) ( ) ( ) ( )limx

u x v x x u x v x

x

提出共同項

0

( )[ ( ) ( )]limx

v x x u x x u x

x

0

( )[ ( ) ( )]limx

u x v x x v x

x

拆

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )lim lim ( ) lim ( )x x x

u x x u x v x x v xv x x u x

x x

'( ) ( ) ( ) '( )u x v x u x v x 得証

32

Product Rule 範例

2'( ) (3 5)( 7 )f x x x x , 求 '( )f x

1( ) (2 1)(1 )f x x

x , 求 '( )f x

Sol ： 2 2'( ) (3 5) ( 7 ) ' (3 5) ' ( 7 )f x x x x x x x 2(3 5) (2 7) (3) ( 7 )x x x x

2 26 21 35 10 3 21x x x x x 29 32 35x x

Sol ： 1 1'( ) (2 1) '(1 ) (2 1)(1 ) 'f x x x

x x

212(1 ) (2 1) ( )x x

x

2 2

2 2 2

2 2 1 2 2 2 1 2 12

x x x x x

x x x x

EX ：

EX ：

33

上台練習3 2( ) ( 1)( 3)f x x x

3 2( ) (1 )(1 )f x x x

2( 5)(1 2 )y x x 1

(4 1)(1 )y xx

EX 1 ：

EX 2 ：

EX 3 ：

EX 4 ：

34

3-5 The Product ( 積 ) & Quotient Rule (商 )

4. Quotient Rule

( )d u

dx v 2

' 'u v uv

v

35

Quotient Rule 範例

5 1( )

1 2

xf x

x

find the derivative of , ( )f x

Sol ：2

(5 1) '(1 2 ) (5 1)(1 2 ) ''( )

(1 2 )

x x x xf x

x

2 2

5 10 10 2 7

(1 2 ) (1 2 )

x x

x x

1( )

4 3

xf x

x

, find '( )f x

Sol ： 2

( 1) ' (4 3) ( 1)(4 3) ''( )

(4 3)

x x x xf x

x

2 2

4 3 4 4 7

(4 3) (4 3)

x x

x x

EX ：

EX ：

36

上台練習24

( )2

t ts t

4 2( )

3

tf x

t

12

4 1( )

xf x

x

2

3 1( )

2

xf x

x x

EX 1 ：

EX 2 ：

EX 3 ：

EX 4 ：