考纲解读 1 .了解平面向量的基本定理及其意义. 2...
DESCRIPTION
考纲解读 1 .了解平面向量的基本定理及其意义. 2 .掌握平面向量的坐标表示. 3 .会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4 .理解用坐标表示的平面向量共线的条件.. 考向预测 1 .平面向量的坐标运算及用坐标表示平面向量共线的条件,是高考考查的重点,也是历年高考的热点. 2 .以选择题、填空题的形式进行考查,以中低档题为主. 3 .向量的坐标运算及共线条件,常与三角、解析几何等知识结合,在知识的交汇点处命题,以解答题形式出现,属中档题.. 知识梳理 1 . 平面向量基本定理及坐标表示 (1) 平面向量基本定理 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
• 考向预测• 1.平面向量的坐标运算及用坐标表示平面向量共线的条件,是高考考查的重点,也是历年高考的热点.
• 2.以选择题、填空题的形式进行考查,以中低档题为主.
• 3.向量的坐标运算及共线条件,常与三角、解析几何等知识结合,在知识的交汇点处命题,以解答题形式出现,属中档题.
• 知识梳理• 1.平面向量基本定理及坐标表示• (1)平面向量基本定理• 定理:如果 e1, e2是同一平面内的两个
向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只有一对实数 λ1, λ2,使 a= λ1e1+ λ2e2.
• 其中,不共线的向量 e1, e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 .
不共线
基底
• (2)平面向量的正交分解
• 把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量正交分解.
• (3)平面向量的坐标表示
• ①在平面直角坐标系中,分别取与 x轴、 y轴方向相同的两个单位向量 i, j作为基底,对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数 x, y,使 a= xi+ yj,把有序数对 叫做向量 a的坐标,记作 a= ,其中 叫 a
在 x轴上的坐标, 叫 a在 y轴上的坐标.②设OA→ =xi+yj,则 就是终点 A的坐标,即若OA→
=(x,y),则 A点坐标为 ,反之亦成立.(O是坐标原点)
互相垂直
(x, y)
(x, y) x
y(x, y)
(x, y)
• 2.平面向量的坐标运算• (1)加法、减法、数乘运算.• (2)向量坐标的求法
• (3)平面向量共线的坐标表示• 设 a= (x1, y1), b= (x2, y2),其中 b≠0,则 a与 b共线⇔ a= λb⇔ .
已知 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB→=(x2-x1,y2-y1),即
一个向量的坐标等于其 的相应坐标减去 的相
应坐标.
x1y2- y1x2= 0
终点 起点
3.平面向量的坐标运算
(1)已知点 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB→= ,
|AB→ |= x2-x12+y2-y12.
(2)已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b= ,
a-b= ,λa= ,a∥ b的充要条件
是 .
(3)非零向量 a的单位向量为±1|a|a.
(x2- x1, y2- y1)
(x1+ x2, y1+ y2)
(x1- x2, y1- y2) (λx1, λy1)
x1y2- x2y1= 0
• A. 2 B. 3
• C. 4 D. 5
• [答案 ] B
基础自测
1.(2010·湖北理)已知 ΔABC和点 M满足MA→ +MB→ +MC→
=0.若存在实数 m使得AB→+AC→ =mAM→ 成立,则 m=( )
[解析] 由MA→ +MB→ +MC→ =0 可知,M 为△ ABC 的重
心,故AM→ =23×
12(AB→+AC→ )=
13(AB→+AC→ ),所以AB→+AC→ =
3AM→ ,即 m=3.
• 2. (教材改编题 )下列各组向量中,可以作为基底的是
• ( )
• A. e1= (0,0), e2= (2,- 3)
• B. e1= (2,- 3), e2= (5,7)
• C. e= (1,- 2), e2= (- 2,4)
• [答案 ] B
• [解析 ] 根据基底的定义知,非零且不共线的两个向量才能可以作为平面内的一组基底.A中显然 e1∥e2;C中 e2=- 2e1,所以 e1∥e2;D中 e1=- 2e2,所以e1∥e2.
D.e1=
2,32,e2=
-1,-34
• 3. (2011·广东汕头模拟 )若向量 a= (1,1),b= (- 1,1), c= (4,2),则 c= ( )
• A. 3a+ b B. 3a- b• C.- a+ 3b D. a+ 3b• [答案 ] B• [解析 ] 设 c= λa+ μb,则 (4,2)= (λ-μ, λ+ μ),
即 λ-μ=4,λ+μ=2,
解得 λ=3,μ=-1,
∴ c=3a-b.
• [答案 ] D
4.(2011·福建泉州模拟)已知向量OM→ =(3,-2),ON→ =
(-5,-1),则12MN→ 等于( )
A.(8,1) B.(-8,1)
C.
4,-12 D.
-4,12
[解析] 12MN→ =
12(ON→ -OM→ )=
12[(-5,-1)-(3,-2)]
=
-4,12 .
5.已知点 A(1,-2),若点 A、B的中点坐标为(3,1),
且AB→与向量 a=(1,λ)共线,则 λ=________.
[答案] 32
[解析] 由 A、B的中点坐标为(3,1)可知 B(5,4),
∴ AB→=(4,6),
又∵ AB→ ∥ a,∴ 4λ-1× 6=0,
∴ λ=32.
• [答案 ] 30°
6. (2011·海南模拟 )设向量 a=
1
2,sinα , b=
3
2 ,cosα,且 a与 b共线,则锐角 α=________.
[解析] ∵ a与 b共线,∴12cosα-
32 sinα=0,
∴ sin(30°-α)=0,∴ 锐角 α=30°
• 7.已知向量 a= (1,2), b= (x,1), u=a+ 2b, v = 2a- 2b,且 u∥v ,求 x.
• [解析 ] u= (1,2)+ 2(x,1)= (2x+ 1,4),• v = 2(1,2)- (x,1)= (2- x,3).• ∵ u∥v ,•∴由向量平行的充要条件得• (2x+ 1)·3- 4(2- x)= 0,
解得 x=12
[解析] 设OM→ =ma+nb(m,n∈ R),
则AM→ =OM→ -OA→ =(m-1)a+nb,
AD→ =OD→ -OA→ =12b-a=-a+
12b.
因为 A,M,D三点共线,所以m-1-1=n12
,即 m+2n=1.
而CM→ =OM→ -OC→ =(m-14)a+nb,
[分析] 先用平面向量基本定理设出OM→ =ma+nb,
再利用共线向量的条件列出方程组,确定 m,n的值.
CB→ =OB→ -OC→ =b-14a=-
14a+b,
因为 C,M,B 三点共线,所以m-
14
-14
=n1,即 4m+n
=1.
由 m+2n=1
4m+n=1,解得
m=17
n=37
,所以OM→ =17a+
37b.
[解析] ∵ G是△ ABO的重心,
∴ OG→ =23OC→ =
13(OA→ +OB→ )=
13(a+b),
∴ GP→ =OP→ -OG→ =ma-13(a+b)=
m-13 a-
13b,
GQ→ =OQ→ -OG→ =nb-13(a+b)=-
13a+
n-13 b,
又GP→ ∥ GQ→ ,∴
m-13
n-13=
19,
∴13(m+n)=mn,即
1m+
1n=3.
• [分析 ] 根据题意可设出点 C、D的坐标,然后利用已知的两个关系式列方程组,求出坐标.
[例 2] 已知点 A(-1,2),B(2,8)以及AC→ =13AB→,DA→ =
-13BA→,求点 C、D的坐标和CD→ 的坐标.
[解析] 设点 C、D 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
由题意得AC→ =(x1+1,y1-2),AB→=(3,6),DA→ =(-1-x2,2
-y2),BA→=(-3,-6).
因为AC→ =13AB→,DA→ =-
13BA→,
所以有 x1+1=1,y1-2=2
和 -1-x2=1,2-y2=2,
解得
x1=0,y1=4
和 x2=-2,y2=0,
所以点 C、D的坐标分别是(0,4),(-2,0),
从而CD→ =(-2,-4).
已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且CM→ =3CA→ ,
CN→ =2CB→ ,求 M、N及MN→ 的坐标.
[解析] ∵ A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),
∴ CA→ =(1,8),CB→ =(6,3),
∴ CM→ =3CA→ =(3,24),CN→ =2CB→ =(12,6).
设M(x,y),则CM→ =(x+3,y+4)=(3,24),
∴ x+3=3,y+4=24.
∴ x=0,y=20.
,
• [例 3] 平面内给定三个向量 a= (3,2), b= (- 1,2), c= (4,1).
• (1)若 (a+ kc)∥(2b- a),求实数 k;• (2)设 d= (x, y),满足 (d- c)∥(a+ b),且 |d- c|= 1,求 d.
• [分析 ] (1)由两向量平行的条件得出关于k的方程,从而求出实数 k的值.
• (2)由两向量平行及 |d- c|= 1得出关于x, y的两个方程,解方程组即可得出 x, y的值,从而求出 d.
• [解析 ] (1)∵(a+ kc)∥(2b- a),• 又 a+ kc= (3+ 4k,2+ k), 2b- a= (- 5,2),
∴ 2× (3+4k)-(-5)× (2+k)=0,∴ k=-1613.
(2)∵ d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),
又(d-c)∥ (a+b)且|d-c|=1,
∴ 4x-4-2y-1=0,x-42+y-12=1,
• [点评 ] 1.解决向量平行有关的问题,一般考虑运用向量平行的充要条件.
• 2.向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法,也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法.
• 提醒:利用共线向量证明三点共线,有坐标时,只需使三点构成的两个向量的坐标对应成比例或利用共线向量定理.
• (2009·广东理 )若平面向量 a, b满足 |a+ b|= 1, a+ b平行于 x轴, b= (2,- 1),则 a= ________.
• [答案 ] (- 3,1)或 (- 1,1)
• [解析 ] 考查平面向量的线性运算、共线、模及数量积的坐标表示等.
• 设 a= (x, y),则 a+ b= (x+ 2, y- 1),• ∵ |a+ b|= 1,∴ (x+ 2)2+ (y- 1)2= 1①
• 又∵ a+ b平行于 x轴,∴ a+ b与 e1= (1,0)或 e2= (-
1, 0)共线,∴ y- 1= 0,∴ y= 1.
• 代入①中得 x=- 3或- 1,∴ a= (- 3,1)或 (- 1,1).
• (1)t为何值时, P在 x轴上?在 y轴上? P在第二象限?
• (2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的 t值;若不能,请说明理由.
• [分析 ] 利用向量相等,建立点 P(x, y)与已知向量之间的关系,表示出 P点的坐标,然后根据实际问题确定 P点坐标的符号特征,从而解决问题.
[例 4] 已知 O(0,0),A(1,2),B(4,5)及OP→ =OA→ +tAB→,
试问:
[解析] (1)∵ O(0,0),A(1,2),B(4,5),
∴ OA→ =(1,2),AB→=(3,3),
∴ OP→ =OA→ +tAB→=(1+3t,2+3t).
若 P在 x轴上,则 2+3t=0,解得 t=-23;
若 P在 y轴上,则 1+3t=0,解得 t=-13;
若 P在第二象限,则 1+3t<0,2+3t>0,
解得-23<t<-
13.
(2)∵ OA→ =(1,2),PB→=PO→ +OB→ =(3-3t,3-3t),
若四边形 OABP为平行四边形,则OA→ =PB→,
而 3-3t=1
3-3t=2,无解,
∴ 四边形 OABP不能成为平行四边形.
[解析] 方法一:设 P(x,y),则OP→ =(x,y),
∵ OP→ ,OB→ 共线,OB→ =(4,4),
∴ 4x-4y=0.①
又CP→ =(x-2,y-6),CA→ =(2,-6),
且向量CP→ ,CA→ 共线,
∴ -6(x-2)-2(6-y)=0.②
解由①②组成的方程组,得 x=3,y=3,
∴ 点 P的坐标为(3,3).
方法二:设OP→ =tOB→ =t(4,4)=(4t,4t),则AP→=OP→ -OA→
=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t),
AC→ =(2,6)-(4,0)=(-2,6).
由AP→,AC→ 共线的充要条件知
(4t-4)× 6-4t× (-2)=0,
解得 t=34,∴ OP
→ =(4t,4t)=(3,3),
∴ P点坐标为(3,3).
• 1.平面向量基本定理• (1)平面向量基本定理的作用• 平面向量基本定理是建立向量坐标的基础,它保证了以原点为始点的向量与坐标是一一对应的,在应用时,构成两个基底的向量是不共线向量.
• (2)用向量证明几何问题的一般思路• 先选择一组基底,并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来证明.
• 特别提醒: (1)零向量不能作为基底.• (2)两个非零向量共线时不能作为平面的一组基底.
• 2.对向量 a= (x, y)的理解• (1)a= xe1+ ye2(e1, e2分别是 x轴、 y轴正方向上的单位向量 );
• (2)若向量 a的始点是原点,则 (x, y)就是其终点的坐标.
• 3.平面向量共线的坐标表示• (1)需注意的几点
①若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥ b的充要条件不
能表示成x1
x2=y1
y2,因为 x2,y2有可能等于 0,所以应表示
为 x1y2-x2y1=0.同时,若 a=(x1,y1),b=(x1,y2),则 a
∥ b 的充要条件也不能错记为:x1x2-y1y2=0,x1y1-x2y2
=0等.
• ②若 a= (x1, y1), b= (x2, y2),则 a∥b(b≠0)
的充要条件是 a= λb,这与 x1y2- x2y1= 0在本质上是没有差异的,只是形式上不同.
• (2)三点共线的判断方法• 判断三点是否共线,先求每两点对应的向量,然后再按两向量共线进行判定,即已知A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3),
则AB→=(x2-x1,y2-y1),AC→ =(x3-x1,y3-y1),
若(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0,
则 A、B、C三点共线.