注重试题研究 提高复习效率 —— 数学学业考试压轴题评析

例 1(09 衢州第 24 题 ) ：如图，已知点 A(-4 ， 8) 和 点 B(2 ， n) 在抛物线　　　上．　 (1) 求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标， 并在 x 轴上找一点 Q ，使得 AQ+QB 最短， 求出点 Q 的坐标； (2) 平移抛物线　　　，记平移后点 A 的对应点为 A′ ， 点 B 的对应点为 B′ ，点 C(-2 ， 0) 和点 D(-4 ， 0) 是 x 轴上的两 个定点． ① 当抛物线向左平移到某个位置时， A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函

数解析式； ② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形　　　　的

周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

4 x2

2

A8

-2 O-2

-4

y

6

BCD

-4

4

2y ax

2y ax

A B CD

考点分析：① 会用代数式表示简单问题的数量关系 (c) ；② 能根据已知条件确定一次函数表达式 (c) ；③ 能用一次函数解决实际问题 (c) ；④ 能通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式

(c) ；⑤ 能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后

的图形 (c) ；⑥ 能探索平移的基本性质，理解平移中的对应点连线平

行且相等的性质 (c) ；⑦ 能作出简单图形平移后的图形 (b) ； ⑧ 能利用图形的相似解决一些实际问题 (c) ；⑨ 能在同一坐标系中感受图形变换后点的坐标变化 (b);

⑩ 能由点的位置写出它的坐标 (c).

例 1(09 衢州第 24 题 ) ：如图，已知点 A(-4 ，8) 和点 B(2 ， n) 在抛物线　　　 上．　 (1) 求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标，并在 x 轴上找一点 Q ，使得 AQ+QB 最短，求出点 Q 的坐标；

2y ax

直线 AP 的解析式是 5 4

3 3y x

点 Q 的坐标是 ( ， 0) ． 4

5

1

2a P(2,-2)

解题分析：

(2) 平移抛物线　　　，记平移后点 A 的对应点为 A′ ，点 B 的对应点为 B′ ，点 C(-2 ， 0) 和点 D(-4 ， 0) 是x 轴上的两个定点． ① 当抛物线向左平移到某个位置时， A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；

2y ax

解法 1 ： CQ= ︱ -2- ︱ = 4

514

5

21 14( )2 5

y x

解法 2 ：设将抛物线向左平移 m个单位，则 A′(-4-m ， 8) 和 B′(2-m ， 2) ， A′′(-4-m ， -8) ．直线 A′′B′ 的解析式为

5 5 4

3 3 3y x m

14

5m 21 14

( )2 5

y x

(2) 平移抛物线 　　，记平移后点 A 的对应点为 A′ ，点 B 的对应点为 B′ ，点 C(-2 ， 0) 和点 D(-4 ， 0) 是x 轴上的两个定点． ② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形　　　 : 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

2y ax

A B CD

解法 1 ：设抛物线向左平移了 b 个单位，则 A′(-4-b ， 8) B′(2-b ， 2) ． B′′(-b ， 2) ， A′′(-4-b ， -8) ，直线 A′′B′′ 的解析式为 ． 5 5

22 2

y x b

16

5b 21 16

( )2 5

y x

(2) 平移抛物线　　　，记平移后点 A 的对应点为 A′ ，点 B 的对应点为 B′ ，点 C(-2 ， 0) 和点 D(-4 ， 0) 是 x轴上的两个定点． ② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形　　　　的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

2y ax

A B CD

21 16( )2 5

y x

B′(0 ， 2) B′′(0 ， -2) ，

直线 AB′′ 的解析式为 22

5 xy

P( ,0)5

4 DP=

5

16

解法 2 ：

还可以根据如下图所示的基本图形，利用相似三角形的性质求线段长度，进而得出平移的距离。

　　　 上例是基于如下“最短距离”问题构造而成：

A

B

lC

图①′

A

B

l

C

图②′

A′

A

B

l

图③′

C D

A′

B′

A

B

l

C

图①

A

B

l

C

图② 图③

A

B

l

C D

( 第 24题 )

4 x2

2

A 8

-2 O-2

-4

y

6

BCD

-4

4

编制分析

变式 1 ：如图，已知点 A(-4 ， 8) 和 点 B(2 ， n) 在抛物线　　　上．　 (1) 求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标，并在 x 轴上 找一点 Q ，使得 AQ+QB 最短， 求出点 Q 的坐标； (2) 平移抛物线　　　，记平移后点 A 的对应点为 A′ ，点 B 的对应点为 B′ ，点 C 和点 D 是 x 轴上的两个动点，且 CD=2 ． ① 若抛物线向左平移 个单位时， A′C+CB′ 最短，求此时点 C 的坐标 ； ② 当抛物线向左平移 个单位时，是否存在某个位置，使四边形　　

　　的周长最短？若存在，求出此时点 C 、 D 的坐标 ；若不存在，请说明理由．

2y ax

2y ax

A B CD

5

9

5

16

变式 2 ：如图，抛物线 y ＝ x 2 － 6x ＋ 8 与 x 轴交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），直线 y ＝ x ＋ 2 交 y 轴于点 C ，且过点 D （ 8 ， m ）．左右平移抛物线 y ＝ x 2 －6x ＋ 8 ，记平移后点 A 的对应点为 A′ ，点 B 的对应点为B′ ．（ 1 ）求线段 AB 、 CD 的长；（ 2 ）当抛物线向左或右平移到某个位置时， CA′ ＋ DA′最小，试确定此时抛物线的表达式；（ 3 ）是否存在某个位置，使四边形 A′B′DC 的周长最小？若存在，求出此时抛物线的表达式和四边形 A′B′DC 的周长最小值；若不存在，请说明理由．

变式 3 ：在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A 、 B 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，OA ＝ 3 ， OB ＝ 4 ， D 为边 OB 的中点．（Ⅰ）若 E 为边 OA 上的一个动点，当△ CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标；（Ⅱ）若 E 、 F 为边 OA 上的两个动点，且 EF ＝ 2 ，当四边形 CDEF 的周长最小时，求点 E 、 F 的坐标．

变式 4 ：如图，已知点 A(-4 ， 8) 和点 B(2 ， n)在抛物线 上．(1) 求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标，并在 x 轴上找一点 Q ，使得︱ AQ-BQ ︱最大， 求出点 Q 的坐标；(2) 平移抛物线 ，记平移后点 A 的对应点为 A′ ，点 B 的对应点为 B′ ，点 C(-2 ， 0) 和点 D(-4 ， 0) 是 x 轴上的两个定点． ① 当抛物线向左平移到某个位置时，使︱ A′C-CB′ ︳最大，求此时抛物线的函数解析式； ② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使︱ A′D -CB′ ︳最大？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

2y ax

2y ax

2 3例 2.(2010 衢州第 24 题 )△ABC 中，∠ A=∠B=30° ， AB= ．把△ ABC 放在平面直角坐标系中，使 AB 的中点位于坐标原点 O( 如图 ) ，△ ABC 可以绕点 O 作任意角度的旋转． (1) 　当点 B 在第一象限，纵坐标是 时，求点 B 的横坐标；(2) 　如果抛物线 (a≠0) 的对称轴经过点 C ，请你探究：

① 　当 ， ， 时，A ， B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；② 　设 b=-2am ，是否存在这样的 m 的值，使 A ， B 两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由．

6

2

5

4a

1

2b 3 5

5c

2y ax bx c

考点分析：

① 会根据公式确定二次函数图像的顶点、开口方向和对称轴 (b) ；

② 会用二次函数知识解决简单的实际问题 (c) ；③ 会探索并掌握等腰三角形的性质 (c) ；④ 能作出简单平面图形旋转后的图形 (c) ；⑤ 能利用图形的相似解决一些实际问题 (c) ；⑥ 能运用三角函数知识解决与直角三角形有关的简单

实际问题 (c) ；⑦ 能在同一坐标系中感受图形变换后点的坐标变化 (b);⑧ 能由点的位置写出它的坐标 (c) ；

2 3例 2.(2010 衢州第 24 题 )△ABC 中，∠ A=∠B=30° ， AB= ．把△ ABC 放在平面直角坐标系中，使 AB 的中点位于坐标原点 O( 如图 ) ，△ ABC 可以绕点 O 作任意角度的旋转． (1) 　当点 B 在第一象限，纵坐标是 时，求点 B 的横坐标；(2) 　如果抛物线 (a≠0) 的对称轴经过点 C ，请你探究：

① 　当 ， ， 时，A ， B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；② 　设 b=-2am ，是否存在这样的 m 的值，使 A ， B 两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由．

6

2

5

4a

1

2b 3 5

5c

2y ax bx c

2 3例 2. (10 衢州第 24 题 ) △ABC 中，∠ A=∠B=30° ， AB= ．把△ ABC 放在平面直角坐标系中，使 AB 的中点位于坐标原点 O( 如图 ) ，△ ABC 可以绕点 O 作任意角度的旋转． (2) 　如果抛物线 (a≠0) 的对称轴经过点 C ，请你探究： ① 　当 ， ， 时， A ， B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；

5

4a

1

2b 3 5

5c

解题分析：

本小题抛物线已知，点 C的横坐标可求出，“ A、 B两点是否都在这条抛物线上”，只要求出 A、 B两点的坐标，根据点 C在坐标系中的位置，画出适合题意的图形，本题应分两种情况讨论：情况 1：设点 C在第一象限时；情况 2：设点 C在第四象限时 . 然后可利用解直角三角形和相似三角形及对称知识即可解决。

2y ax bx c

2 3例 2. (10 衢州第 24 题 ) △ABC 中，∠ A=∠B=30° ， AB= ．把△ ABC 放在平面直角坐标系中，使 AB 的中点位于坐标原点O( 如图 ) ，△ ABC 可以绕点 O 作任意角度的旋转． ② 　设 b=-2am ，是否存在这样的 m 的值，使 A ， B 两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由．

∵

∴ a

bm

2

amb 2

又因为这条抛物线的对称轴经过点 C，所以 -1≦m≦1。 要使 A， B两点不可能同时在这条抛物线上，从图形看，只要 A， B两点都在 y轴上，此时得出 m=±1 。

解题分析：

本题在编制中涉及以下两个基本图形和抛物线的一个性质：

编制分析

变式 1 ：△ ABC 中，∠ A=∠B=30° ， AB= ．把△ ABC 放在平面直角坐标系中，使 AB 的中点位于坐标原点 O( 如图 ) ，△ ABC 可以绕点 O 作任意角度的旋转．(1) 　当点 B 在第一象限，纵坐标是 时，求点 B 的横坐标；(2) 　如果抛物线 (a≠0) 经过 A,B 两点且对称轴经过点C ，已知点 C 的坐标为 ( ， ) ，求点 A 、 B 的坐标和这条抛物线的函数解析式。（ 3 ）在（ 2 ）条件下，若把△ ABC 绕点 O 旋转 90° 得到△ A′ B′ C′ ，请你探究此时点 A′ 、 B′ 点是否都在这条抛物线上？并说明理由；

2 3

6

22y ax bx c

5

5 2 5

5

变式 2 ：△ ABC 中，∠ A=∠B=45° ， AB=2 ．把△ ABC放在平面直角坐标系中，使 AB 的中点位于坐标原点 O( 如图 ) ，△ ABC 可以绕点 O 作任意角度的旋转．(1) 　当点 B 在第一象限，纵坐标是 时，求点 B 的横坐标；(2) 　如果抛物线 (a≠0) 的对称轴经过点 C ， 请你探究：① 　当 ， ， 时， A ， B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；② 　设 b=-2am ，是否存在这样的 m 的值，使 A ， B 两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由．

2

6

22y ax bx c

6

6a

3

3b

4

6c

变式 3 ：△ ABC 中，∠ A=∠B=60° ， AB= ．把△ ABC放在平面直角坐标系中，使 AB 的中点位于坐标原点 O( 如图 ) ，△ ABC 可以绕点 O 作任意角度的旋转．(1) 　当点 B 在第一象限，纵坐标是 时，求点 B 的横坐标；(2) 　如果抛物线 (a≠0) 的对称轴经过点 C ， 请你探究：① 　当 ， ， 时， A ， B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；② 　设 b=-2am ，是否存在这样的 m 的值，使 A ， B 两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由．

2y ax bx c

2 3

6

12

5a

2

1b

5

5c

2 3变式 4 ：在菱形 ABCD中，∠ DAB=60° ， AB= ．把菱形ABCD 放在平面直角坐标系中，使 AB 的中点位于坐标原点 O( 如图 ) ，菱形 ABCD 可以绕点 O 作任意角度的旋转． (1) 　当点 C 在第一象限，纵坐标是 时，求点 C 的横坐标；(2) 　如果抛物线 (a≠0) 的对称轴经过点 B ，请你探究：

① 　当 ， ， 时 ，A ， C 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；② 　设 b=-2am ，是否存在这样的 m 的值，使 A ， C 两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由．

6

2

5

4a 1

2b

3 5

5c

2y ax bx c

今年“压轴题”命题的趋势和方向预测 09年、 10年衢州卷两道压轴题形式：都是由三小题组成，第一小题为基础题，第二小题为中上难度问题，第三小题为试卷中最难的问题。 它们的本质特征：都是在初中主干知识的交汇处命题，内容都赋予运动的背景（图形的平移和旋转），涉及的知识点多，覆盖面广；条件隐蔽，思路难觅，方法灵活，渗透重要的思想方法，体现较高的思维能力。

综合以上对 09年、 10年衢州卷（省卷）压轴题的分析，认为 2011年数学中考压轴题将会是以几何图形或二次函数为载体，几何与函数相结合，体现运动变换（轴对称、旋转、平移、相似）、数形结合思想和分类讨论思想等的创新题。综合考查学生的各种数学能力，难度较高，具有良好的区分度，既关注不同数学水平学生的解题需要，又突出选拔功能。

今年“压轴题”命题的趋势和方向预测

压轴题教学启示：

1 、重视知识的综合，尤其是横向联系，教学要有深度；

2 、重视合情推理能力、动手实践能力和创新意识的培养；

3 、突出数学思想与解题方法。

谢 谢！