浙江省舟山市南海实验学校郑伟君13515800518

基础 方法 能力 --- 数学教育教学感悟

数学解题教学的建议 ——基础 +方法

1. 重视问题的分析——高效的启发

2. 直观化教学策略 ----- 数形结合

3. 重视总结解题的规律和方法

4. 我们何时需要”讲”5. 深刻理解数学概念促使问题转化

例 1 、如图，已知△ ABC 中，∠ A=60° ，BD ， CE 分别平分∠ ABC ，∠ ACB ，且交点为 O 。求证： OE=OD

三角形中内角、外角的有关性质

角平分线的有关性质DE O

B C

A

1. 重视问题的分析——高效的启发

证明线段相等的基本知识和方法

对“角平分线”概念的理解 从定义角度理解：∠ 1 ＝∠ 2 ＝ 1/2 A∠

OB 从性质角度理解：角平分线上的点到解的

两边距离相等； 从对称性角度理解：角是轴对称图形，

平分线所在的直线是对称轴。A

BO1 2

C

432

1

DE O

B C

A

例 1 、如图，已知△ ABC 中，∠ A=60° ，BD ， CE 分别平分∠ ABC ，∠ ACB ，且交点为 O 。求证： OE=OD

分析 1 ：由已知你可以得到什么结论？你还可以得到什么结论？启发：点 O 有什么特殊性质？结合结论只需证明什么？

△OME≌△OND

所以，只需证明∠ OEM=∠ODN ！

M

N

Q

432

1

DE O

B C

A 分析 2 ：由已知你可以得到什么结论？

你还可以得到什么结论？

启发：直线 BO 有什么特殊性质？

结合结论只需证明什么？

△OMC≌△ODC

所以，只需证明∠ MOC=∠DOC ！

M直线 BO 是对称轴，所以取 BM=BE 时可得： OE=OM 。

小结：对角平分线概念从不同的角度进行理解就是知识基础；分析的过程（要经常用分析思路图，体现“两头凑”思考的过程），启发语句的运用等就是方法。

1. 重视问题的分析——高效的启发例 2 、如图， E 、 F 分别是△ ABC 的边 A

B 、 AC 上的两定点，在 BC 上求一点M ，使△ MEF 的周长最短。

E

F

CB

A考试结果 11 班有 24 个 学生作出了 EF 的中垂线与 BC 的点，占 50% ，我班有12 人

理解问题 在 BC 上求一点 M ，使△ MEF 的周长最短，即 EF+FM+ME 最小（可画草图分析）。

制订计划 因为 E 、 F 为定点，所以 EF 为定值，所以只要 FM+ME 最小，问题转化为在 BC 上求一点 M ，使点 M 到两定点 E 、 F 的距离之和最小。（转化为一个常见问题）3 、执行计划 作点 E 或 F 关于 BC 的对称点……4 、回顾

M

E

F

CB

A

例 3 ，已知：如图，平行四边形 ABCD 中， G为 DC 延长线上一点， AG 交 BD 于 E ，交 BC于 F ，求证： AE ： EF=EG ： AE

理解问题 正确观察图形，并联想有关性质，联想与结论有关的性质。

制订计划 采用“两头凑”的分析方法。 AE ： EF 可进行怎样的转化……（ DE ： EB 或 AD ： FB ）， EG ： AE 可转化为……（ DE ： EB 或 DG ： AB ），都等于 DE ： EB ，成功！（也可采用箭头法）

3 、执行计划 用演绎法表述推理过程 4 、回顾 特别是前两步的思考方法。

G

F

E

D C

BA

A(F)

ED

C

B

例 4. 如图，三角形 ABC 和 DEF 都是正三角形（ A 与 F 重合， D 、 A 、 C 在一条直线上） ，AC=5 ， DF= ，把三角形 DEF 沿 AC 方向平移，当三角形 AEC 是等腰三角形时，求平移的距离。

32

先充分理解题意 , 找到在移动过程中变与不变的”元素” , 弄清问题中图形的变化规律 , 在此基础上进行归纳和抽象( 改变问题 ).

注意不要急于用媒体展示变化过程 !

A(F)

ED

C

BB

C

D E

F

A

E

E

三角形 ACE 是等腰三角形有下面三种可能①若 AC=AE ，以 A为圆心 AC 为半径作圆得点 E1；②若 AC=CE ，以 C为圆心 CA 为半径作圆得点 E2和 E3 ；③若 AE=CE ，作 AC 的垂直平分线得点 E4 。移动距离只要求垂足之间的距离 HH2 即可。

H2

H

E4

E3

E2

E1

C

A

E

E

重视启发引导

案例：这样讲题目更好例 3 ：如图，把正三角形 ABC 的外接圆对折，使点 A 落在弧 BC 的中点 A1 ，若 BC=5 ，则折痕在△ ABC 内的部分 EF 的长为 。师：我们先来感觉一下这个图形的特点，你感觉这个图形中的哪些线段比较特殊？生 1 ：我感觉线段 AA1 是直径。

A

B C

E F

A1

OM N

G

理解教学——让学生参与分析题意寻求解题思路的过程

师：为什么？ 生 1 ：连结 BA1 ，因为 A1 是弧 BC 的中点，所以 AA1 是 BAC

的 平分线，所以∠ BAA1=30° ，∠ BA1A= C=60°∠ ， 所以∠ A1BA=90° ， AA1 是直径。 生 2 ：我是这样想的，因为△ ABC 是正三角形，所以弧 BA= 弧

AC ， A1 是弧 BC 的中点，所以由垂径定理， AA1 是直径。 生 3 ：因为△ ABC 是正三角形，所以弧 BA= 弧 AC ，所以弧 B

A 是弧 BAC 的一半，同理弧 BA1 是弧 BA1C 的一半，所以弧 ABA1 是半圆，所以 AA1 是直径。

师：三个同学用三种不同的说法说 明了 AA1 是直径，说明大家很会动 脑筋，知识的应用很灵活，学得很 有效果，希望大家继续有好的表现。

A

B C

E F

A1

OM N

G

理解教学——让学生参与分析题意寻求解题思路的过程

生 4 ：我感觉 MN 是直径，因为 MN 是对称轴，而圆的对称轴过圆心，所以 MN 是直径。

生 5 ：我感觉 MN 和 EF 是平行的，因为他们都垂直于 AA1 。

生 6 ：那么△ AEF 是正三角形了。 师：很好，现在同学们对这个图形已经有了比较全面和深入的了解，下面可以考虑该如何求 EF 的长度的问题了。生 1 ：在△ ABA1 中， AB=5 ，∠AA1B=60° ，所以， ，所以 EO=5/3所以 EF=10/3 。

A

B C

E F

A1

OM N

G

3

3101 AA

3

35AO

理解教学——让学生参与分析题意寻求解题思路的过程

生 7 ：我不用求出直径也可以求 EF 的长。因为∠ A1=60° ，所以△ A1OB 是正三角形，又 BC A1O⊥ ，所以 OG=1/2OB=1/2OA ，所以 EF ： BC=AO ： AG=2 ： 3 ，所以 EF=10/3

生 8 ：我用相交弦定理，更简单。设 EF=x ，那么， ，因为 AE×EB=ME×EN所以

解得 x=EF=10/3 生 9 ：我还有另一种解法。说着他走到前面在黑板上很自信地写下：

师：请你说明你的思路。

A

B C

E F

A1

OM N

G

xAO2

3

xxxxxx

2

1

2

3

2

1

2

35

60sin52

160sin5)5(

2

160sin

2

1 22 xxx

理解教学——让学生参与分析题意寻求解题思路的过程

这时，下面出现了议论声，并且越来越响，我感觉有事情了，果然，

生 8 ：老师，我怎么用他的方法解不出 EF 的值呢？化简后的等式没有 x 了呀。

老师在黑板上演算后，发现真的出现了不含 x 的恒等式了，同学们感到很迷惑。

师：请大家思考，怎么会出现这种情况，你能发现其中的原因吗？

同学们展开了热烈的讨论，不一会， 生 7 ：这个等式中的 EF 不管在什么位置都能够使这

个等式成立，所以求不出 EF 的具体数值了。

理解教学——让学生参与分析题意寻求解题思路的过程

师：生 7 讲得很好，事实上不论 EF 的位置如何，只要它平行于 BC ，都有生 9 的等式成立，也就是 EF 的值不能确定了。那么这个思路是否一定不对吗？我们是否可以做些改正呢？

又一轮讨论开始了，约一分钟后，生 9 有了答案。 生 9 ：只要把

改为 就可以了。 师：为什么这样就行了？ 生 9 ：梯形的高是 AO 的一半， 这样就确定了 EF 的位置， 所以一定是对的。 教室里很安静，但马上就出现了大家对生 9 的赞叹声。

60sin552

1xx

xx2

3

2

15

2

1

A

B C

E F

A1

OM N

G

2. 直观化教学策略 ----- 数形结合 美国数学家斯蒂恩 : 如果一个特定的问题可以被转化为一

个图形 , 那么思想就整体地把握了问题 , 并且能创造性地思索问题的解法 .

图形表征不仅能够明确展现问题各个组成部分的拓扑关系和几何关系 ,而且图形表征的相关信息通常处于邻近的位置 , 这就使得人们易于识别模式、搜索信息和展开推导。

华罗庚曾精辟地说过 : 数缺形时少直观 , 形缺数时难入微 ,两者结合万般好 , 隔离分家万事休 .

研究表明，文本信息在有图形描述时比没有图形描述时能够记得更加深刻。

学生的问题：为什么要学习函数图象？ x------ 图象 ------y 函数、方程和不等式之间的联系

教法 1:示意编码法 这种教法多见于课本 . 教法 2: 图形编码法 将 (a+b) 和 (c+d)看成长方形的长 和宽 ,利用大长方形的面积等于四 个小长方形的面积之和 . 这种教法多见于情境创设中 . 教法 3:标签编码法 （前 + 后） × （前 + 后） = 前前 + 前后 + 后前 +后后 口诀：前加后乘以前加后，等于前前、前后、后前、后后的和。

经过实验，图形编码的学习效果最好。

bdbcadacdcba

bd

bc

ad

ac

d

c

ba

例 : 公式 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 的教学

例 1. 已知点 A(a,b),O 为坐标原点 ,连结 OA, 将线段 OA绕点 O按逆时针方向旋转 90°得到 OA1,则点 A1 的坐标为 ( )A.(-a,b) B.(a,-b) C.(-b,a) D.(b,-a)

1.建议画一个符合题意的一般图形 (方法 );

2. 怎样确定点 A1 的坐标呢 ?

3. 思考坐标的本来意义是什么 ?(知识 );

4. 过点 A 和 A1 向坐标轴作垂线 !(方法 )

(也可用特殊的数代替a,b, 其实质是一样的 )

A(a,b)

A1(-a,b)

O B

C

a

b

ab

例 2.二次函数 y=x2-x+a(a>0),当 x 取m时 ,y<0,问 x 取m-1 时 ,y 取正数还是负数还是 0?1.满足题意的图不容易画出 ;( 注意到 : 开口向上 ,对称轴为 x=1/2,与 y轴交

点在正半轴上 )2. 由图可知 0＜m＜ 1;3. 所以m-1＜ 0, 又由图得 y取正数

1/2 1O ·

渗透数形结合思想方法、深入理解函数的意义，掌握具体的方法 .------ 画示意图

例 2’. 一个二次函数的图象 ,三位同学分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线 x=4 的直线；乙：与 x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与 y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为 3 。请写出满足上述全部特点的一个二次函数。1.通过画图可知 ,这个三角形的底 AB 和高OC 的长度都是整数 ,且 AB·OC=6;

2. 由抛物线的对称性可知 ,AB=2 或 6;

3.y=±1/5(x-3)(x-5)或 y=±1/7(x-1)(x-7)

例例 3. 3. 方程 实数解的个数为 ( ) A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个x

x1

12

-1

O

-1

O

-1

O

1.设 y1=x2-1,y2=1/x, 利用图象 ,看它们的交点情况 .

2.注意符合题意的图形应是下面的哪一个呢 ?

渗透数形结合思想方法、深入理解函数的意义，掌握具体的方法 .------ 画示意图

例 4 、函数 y1=-2/x, y2=-x-1,当 x 何值时， y1<y2 。

1.函数值的大小反映在图象上就是图象位置的高和低 ;

2.函数图象交点 (-2,1)和 (1,-2)的意义 ?

3.注意 x≠0,结合图象就可确定 y1<y2 时 ,x的取值范围是 x ＜ -2 或 0＜ x＜ 1

例 5. 若一元二次方程 ax2+bx+c=0 的系数满足a + b + c ＜ 0, a – b + c=2,则该方程 ( ) A. 必有两个不相等的实数根；

B. 必有两个相等的实数根； C. 必无实数根； D. 无法确定 .

3. 重视总结解题的规律和方法例 1. 如图，函数y=ax2+bx+c的图象经过点（ -1 ， 2 ），且与 x轴的交点的横坐标分别为， x1 ， x2 ，其中 -2< x1 <-1,0< x2 <1,下列结论①abc>0;②4a-2b+c<0;③2a-b<0;.其中正确的有（ ）A. 0 个， B. 1 个， C.2 个， D.3 个

o

2

-2 -1 1

例 2.(09 黄石 )函数 y=ax2+bx+c的图象(a ≠0)的图象如图所示，下列结论① abc>0;②2a+b<0;③4a-2b+ c<0;④a+c>0.其中正确的个数有（ ）A. 4 个， B.3 个， C.2 个， D.1 个

o-2 -1 1

① 错②对③对 , 难点是第④ a+c>0, 可从 a 和 c 的意义角度考虑 ,当二次函数的开口方向和大小确定时 ,a 的值也随之确定 , 再通过平移图象改变 c 值的大小 . 所以a+c 的值有取正、负、 0 的情况，如当交点为 x1=-0.2,x2=2.1 时， a+c ＜ 0 。选 C

这类问题最近几年较普遍地出现在各类考题中，它能较全面地考查函数基本性质，充分发挥函数图象在研究函数性质中的作用，如增减性与图象的特征，突出了利用函数图象沟通自变量与函数值这两个量之间的对应关系，函数图象与解析式的关系，正确运用函数图象信息的能力等都有较高要求。具有较强的综合性。

这样的问题其实是巩固函数知识的很好载体教学中要引起足够的重视。

回忆巩固基础知识：函数图象能清楚地反映出函数中两个量之间的对应关系，这种关系在解析式中的表现就是关于系数的方程或者不等式

提炼归纳解决问题的方法： 这类问题中的结论可分为三类， 一是利用图象或已知条件中的信息（图象经过点（ -1 ，

2 ）），可直接得出的结论，如系数 a， c， b2-4ac，等的符号或满足的等式。

二是利用这些符号或不等式可以进一步得出的结论，如 b的符号，本题中③ 2a-b<0 等。此时 ,所用的方法是很重要的 !如本题中增加一个判断不等式 2b-3c+8<0 是否成立，这可由② 4a-2b+c<0 和图象经过点（ -1 ， 2 ）得到的等式 a-b+c=2 ，消去 a 得到。

三是象例 2 的④判断 a+c>0 ，可以根据系数 a,c的本质特征结合题意得到解决。

例 3 ．已知 D ， E 分别是△ ABC 的边 BC ， CA上的点，且 BD=4 ， DC=1 ， AE=5 ， EC=2 。连结 AD 和 BE ，它们交于点 P 。过 P 分别作 PQ∥CA ， PR∥CB ，它们分别与边 AB 交于点 Q ，R ，则△ PQR 的面积与△ ABC 的面积的比是 ________ 。

RQ

PE D

C

BA Q R

作 EF∥AD 交 BC 于 F ，则 DF ： DC=AE ： AC ，求得 FD=5/7，所以 BP ： BE=BD ： BF=28： 33 ，即 PQ ： AE=BP ： EP=28： 33 ，所以 PQ=140/33 ，则△ PQR 的面积与△ ABC 的面积的比是 _400 ： 1089_____ 。

A B

C

DE F

提炼归纳解决问题的方法： 如图中，点 D 、 E 、 F 把线段 BC 、 AC 、 AD 、BE 分成的比中，只要已知其中的两个比，就可以添加平行线利用相似三角形的性质求得其它线段的比或线段的长度！向学生讲透求比的方法比多做题更有效果！

A B

C

DE F

例 4. 已知：如图一次函数 y ＝ x＋ 1 的图象与 x 轴交于点 A ，与 y轴交于点 B；二次函数 y ＝ x2＋bx＋ c的图象与一次函数 y ＝ x＋ 1 的图象交于 B 、 C 两点，与 x 轴交于 D 、 E 两点且 D 点坐标为 (1 ， 0)

(1)求二次函数的解析式； (2)求四边形 BDEC 的面积 S；(3) 在轴上是否存在点 P ，使得△ PBC 是以 P 为直角顶

点的直角三角形？若存在 ,求出所有的点 P；若不存在 ,请说明理由．

(4) 在直线 BC下方的抛物线上是否存在一点 H, 使△ HBC 的面积最大 ? 若存在 ,请求出H点的坐标；若不存在 ,请说明理由．

（ 第 24题）

(4) 在直线 BC下方的抛物线上是否存在一点 H, 使△ HBC 的面积最大 ? 若存在 ,请求出H点的坐标；若不存在 ,请说明理由．

（ 第 24题）

总结规律 :第 4 小题，抛物线上求一点使面积最大（小），转化为坐标系中已知三角形三个点的坐标，求这个三角形的面积最值问题，这类通常有 3种不同的思考途径：一是补成矩形减直角三角形，二是把三角形分为两个三角形，即面积 =1/2×水平长×铅垂高，三是平行与三角形一边的直线与抛物线有唯一交点……。

浙江省舟山市南海实验初中 郑伟君

4 、如图 ,在等腰△ ABC 中 , ∠BAC=90°,AB=AC=1,点 D 是 BC 边上的一个动点(不与 B 、 C 重合），在 AC上取一点 E ，使∠ ADE=45° ，设 BD=x， AE=y，求 y关于x的函数关系式及自变量 x的取值范围 ;

E

D CB

A

变式：如图 ,在等腰△ ABC中 , ∠BAC=90°,AB=AC ，点 D 是 BC 边上的中点，∠ EDF=45° ，交 AB 于 M ，交 AC 于 N ，（ 1 ）问：图中有相似三角形吗？请说明理由。

（ 2 ）连结 MN ，则图中又增加了几对相似三角形？

E

DCB

A F

MN

变式：如图 ,在等腰△ ABC中 , ∠BAC=90°,AB=AC ，点 D 是 BC 边上的中点，∠ EDF=45° ，

E

DCB

A

F

M

N

（ 3 ）当∠ EDF绕着点 D旋转，使得 DE 与 BA 的延长线交于点 M ， DF 与 AC 交于点 N ，问：图中还存在刚才的几对相似三角形吗？请说明理由。

练习：如图， M 为线段 AB 的中点， AE 与 BD 交于点 C ，∠DME ＝∠ A ＝∠ B ＝ α，且DM 交 AC 于 F ， ME 交 BC 于G．（ 1 ） 写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（ 2 ） 连结 FG ，如果 α＝ 45° ，AB ＝ ， AF ＝ 3 ，求 FG 的长．

24

M

GF

E

D

C

BA

5. 正方形边长为 4, M 、 N 分别是 BC 、 CD 上的两个动点，当 M 点在 BC 上运动时，保持 AM 和MN 垂直。

（ 1 ）证明： Rt△ABM∽Rt△MCN ；（ 2 ） 当 M 点运动到什么位置时， Rt△ABM∽Rt

△AMN．

N

M

D

CB

A

三、拓展提高

对于 (2):如果结论成立 ,应该有什么条件呢 ?比如哪两个角应该相等 ? ……

如果结论成立 ,应该有什么条件呢 ?比如哪些边会成比例呢 ? ……

思考方法 :如果问题的结论成立 ,应该具有什么条件 ? …

值得思考的问题值得思考的问题

1. 有关三角形相似的判定方法及性质等知识你得到加深了吗 ?

2. 你能提炼问题中的基本图形并会运用它解决问题吗 ?

3. 你知道数学问题常用的分析方法和策略应该是怎样的吗 ?

1. 回顾了三角形相似的四个判定方法及性质的简单应用；特别是前两种常用在平行型和相交型这种基本图形中。

三、归纳总结三、归纳总结

A

B C

D E

A

B C

D E

B C

A

DE

A

B C

DE

2、解决了一类如图所示的一条直线上有三角相等称为“一线三等角”的图形，这种图形往往会有相似的结论。

E

D CB

A

N

M

D

CB

A

┓ ┏┓

3.简单学习了数学问题常用的分析方法和策略：从已知和求证出发经过观察、思考、推理… ,探求结论成立的“两头凑”方法 . 感悟到分类讨论等数学思想方法在解题中的指导作用，比如最后一题可以这样思考：如果结论成立，必须要具有什么条件，而这个条件的成立又应该具备怎样的条件呢……要学会从不同的角度来分析。

4. 我们何时需要”讲” 在学生理解肤浅时 ; 在学生思路受阻时 ; 在学生理解有误时…… 苏霍姆林斯基认为 ,探究问题”能增强学生对周围实际现象的兴趣 , 发展他们看出多种事物和现象之间的相互联系的能力” .课堂教学需要学生探究 , 当探究困难问题时学生的思路往往受阻 ,出现”断路” ,这时就需要教师的帮助 ,而有效的帮助需要教师了解学生思路”卡壳”的原因 ,因势利导进行启发 ,这样才能延续和激发学生的思维 ,而不能直接告诉学生答案了事 .

例 1. 已知点 A(-1,0) 和点 B(1,2), 在坐标轴上确定点 P, 使得△ ABP 为直角三角形 , 那么满足这样条件的 P共有 ( )A.2 个 B.4 个 C.6个 D.7个

A(-1,0)

B(1,2)

-1

1

1X

Y

2

O

解析 :分类讨论 , 当点 A 为直角顶点时过点 A做 AB 的垂线与 y轴负半轴有一个点 P1,同理 , 当点 B 为直角顶点时 , 可得 P2 和 P3 两个所求的点 .

当 P 为直角顶点时 , 学生产生了困难 , 教师应当如何帮助 ?

可思考一个问题 :对一条线段的张角等于 90°,这样的点有什么规律 ?

P 6

P 5

P 4

P 3

P 2

P 1

O

2

Y

X1

1

-1

B(1,2)

A(-1,0)

例，已知 a+b=2 ， ab=-12 ，求下列各式的值。

这类问题分析时，应告诉学生根据已知条件和要求的代数式，可以联想到什么公式？（完全平方公式），（思考方法）。

进一步，可作如下的提炼和归纳：其实在 中，涉及到了 这 4 个（或 6 个）代数式之间的关系，并且已知其中的 2 个，就可以就出其余的几个。

baba ;22

222 2)( bababa abbababa ;)(; 222 或

1. 已知抛物线 y=x2+(b-1)x+c经过点 P(-1,-2b).b>3,过点 P作直线 PA⊥y轴 ,交点为 A,交抛物线于另一点 B,且 BP=2PA,求这条抛物线所对应的二次函数关系式 .

渗透数形结合思想方法、深入理解函数的意义，掌握具体的方法 .------画示意图

BAP

C

y

X

例．如图，在△ ABC 中， AB = AC, AD⊥BC, CG∥AB, BG 分别交 AD,AC 于 E,F. 若 EF ： BE=a:b，那么 GE:BE 等于 .

分析 1 ：不添加辅助线，利用平行线与比例线段的关系进行转化，比较复杂；

分析 2 ：注意到四条线段 EF 、 BE 、 GE 、 BE 且 BE=CE ，考虑三角形 EFC 和 ECG ，相似！

分析 3 ：考虑 AD 是对称轴，有更简单的解法。连接 CE并延长交 AB 于点 H ，则 GE ： BE=CE ： BH=BE ： EF=b:a.

H

例 3 。等腰三角形 ABC ， AB=AC=８，∠ BAC=120° ， P 为 BC 的中点，小慧拿着含 30° 角的透明三角板，使 30° 角的顶点落在点 P ，三角板绕 P 点旋转．

（ 1 ）如图（ 1 ），当三角板的两边分别交 AB 、 AC 于点E 、 F 时．问△ BPE 与△ CFP 是否相似，请说明理由；

（ 2 ）操作：将三角板绕点 P旋转到图（ 2 ）情形时，三角板的两边分别交 BA 的延长线、边 AC 于点 E 、 F．

① 探究１：△ BPE 与△ CFP还相似吗？（只需写出结论） ② 探究２：连结 EF ，△ BPE 与△ PFE 是否相似？请说明

理由； ③ 设 EF=m ，△ EPF 的面积为 S ，试用 m 的代数式表示 S．

(1)P

FE

CB

A

(2)

A

B C

E

F

P

② 探究２：连结 EF ，△ BPE 与△ PFE 是否相似？请说明理由；③ 设 EF=m，△ EPF 的面积为 S，试用m的代数式表示 S．

对于探究２，只要说明 EP ：BE=PF ： BP ，但由于（ 1 ）成立，可得 EP ： BE=PF ： PC又 BP=PC ，所以得证。

对于探究 3 ，注意到∠ EPF=30° ， S=0.5PE×PF×sin30° ，又可求得 BP= ，接下来，很多同学就不知道怎样解了，实际上由上题可知， PE ：EF=BP ： PF ，即 PE×PF=EF×BP ，所以 S=

34

(2)

A

B C

E

F

P

3

对于探究 3 需要有较强的分析能力和必要的表述方法，教学时对于这样的“细节”要予以重视！