آموزش تحقیق در عملیات (برنامه ریزی خطی) - بخش دوم

آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)

faradars.org/fvor94072

:مدرس

ستاره عطاردی کارشناس ارشد مهندسی صنایع

تحقیق در عملیاتبرنامه ریزی خطی

«روشهای حل»

1

فرادرس

FaraDars.org



تعاریف

:(solution)جواب

.شودمینامیدهجوابتصمیممتغیرهایبهشدهدادهاختصاصمقدارمجموعههر

feasible)موجهجواب solution):

.کندصدقهامحدودیتتمامدرکهجوابی

optimal)بهینهجواب solution):

.میرسدخودجواببهترینبههدفتابعآنازاءبهکهموجهجوابی

2

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072تعاریف

Feasible)موجهیمنطقه Region):

.دهندمیتشکیلراموجهیموجه،منطقهجوابهایمجموعه

Corner)ایگوشهجواب Point Solution):

.دآیمیبدستهامحدودیتمعادالتتقاطعطریقازکهتصمیممتغیرهایمقادیر

3

فرادرس

FaraDars.org



روش ترسیمی

مختصاتییناحیهتعیین•

محدودیتهرحدیمعادالترسم•

حدیمعادلههرقبولموردسطحنمودنمشخص•

موجهمنطقهتعیین•

4

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072روش ترسیمی

هدفتابعرسم•

zکاهشیاافزایشجهتدرخودموازاتبههدفتابعخطحرکت•

بهینهینقطهتعیین•

هدفتابعیبهینهمقدارتعیین•

5

فرادرس

FaraDars.org



چند نکته مهم

در صورتی که متغیرهای تصمیم غیر منفی باشند منطقه ی موجه در ربع اول قرار دارد .

جواب بهینه حداقل بر روی یک نقطه ی گوشه ی موجه قرار دارد.

استهرگاه یک نقطه ی گوشه ی موجه از نقاط گوشه ی موجه مجاورش بهتر باشد آن نقطه،نقطه ی بهینه.

تعداد جوابهای گوشه ای موجه در هر مسئله برنامه ریزی خطی همواره محدود است.

6

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072مثال

𝑀𝐴𝑋 𝑍 = 2𝑋1+𝑋2

𝑋1+𝑋2 ≤ 4 → 𝑋1+𝑋2=4

𝑋1-𝑋2 ≤2→ 𝑋1-𝑋2=2

𝑋1, 𝑋2 ≥ 0

7

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072ادامه ی مثال

:ایگوشهنقاط

1-(0,0) →z= 2(0) +0 = 0

2-(2,0) → z=2(2) +0 = 4

3-(0,4) → z=2(0) +4 = 4

4-(3,1)

{𝑋1 + 𝑋2-4= 𝑋1-𝑋2-2 →2𝑋2=2→𝑋2=1, 𝑋1=3} →

2(3) +1 = 7 بهینهجواب

8

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072طبقه بندی محدودیت ها

.داردقرارآنحدییمعادلهرویبربهینهینقطه:فعالمحدودیت•

منطقهآنحذفواستضروریموجهمنطقهتشکیلبرای:(مؤثر)مستقلمحدودیت•.میدهدتغییرراموجه

9

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072حاالت خاص روش ترسیمی

هدفتابعبافعالیهامحدودیتازیکیحداقلبودنموازی:چندگانهجواب-1

:مثال𝑀𝑎𝑥 𝑧 = 5𝑥1+ 𝑥2

10𝑥1+ 2𝑥2≤ 11

نباشدچندگانهجواباستممکنهدفتابعباغیرفعالمحدودیتبودنموازیدرصورت.

10

2

1

10

5فرادرس

FaraDars.org



لهمعاددوازبیشتقاطعازایگوشهینقطهیکدوبعدییمسئلهدریک:تبهگنجواب-2.باشدآمدهبوجودحدی

:مثال

11

فرادرس

FaraDars.org



متغیرهاازیکیجهتدرحداقلجوابفضایبودنبیکران:بیکرانجواب-3

𝑀𝑎𝑥 𝑧 = 4𝑥1 +2𝑥2

𝑥1 ≥ 2

𝑥1 − 𝑥2 ≥ 3

𝑥1, 𝑥2 ≥ 0

12

فرادرس

FaraDars.org



هامحدودیتجوابفضایبینمشترکفضایوجودعدم:جواببدون-4

:مثال

𝑀𝑎𝑥 𝑧 = 5𝑥1 − 3𝑥2

2𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 2

4𝑥1 + 4𝑥2 ≥ 7

𝑥1, 𝑥2 ≥ 0

13

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072آنالیز روش ترسیمی

.شودبهترنمیتواندبهینهجوابقبولقابلجوابفضایکاهش:1اصل

.شودبدترمیتواندنبهینهجوابقبولقابلجوابفضایافزایش:2اصل

14

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072تغییرات ممکن در روش ترسیمی

اثرات نوع تغییرات

احتمال کاهش فضای جواب تعداد محدودیت افزایش تغییر تعداد محدودیت ها

افزایش فضای جواب حذف محدودیت موثر

احتمال بهتر شدن -فضای جوابافزایش یک بعد به افزایش تعداد متغیرها تعداد متغیرهاتغییر

ای احتمال بدتر شدن فض-یک بعد از فضای جوابکاهشجواب

حذف متغیرها

15

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072تغییرات ممکن در روش ترسیمی

احتمال بهبود جواب بهینه

ضریب تابع افزایشهدف

Maxتابع هدف

تابعتغییر در ضرایبهدف

بدترشدن جواب احتمالبهینه

کاهش ضریب تابع هدف

احتمال بدترشدن جواب بهینه

افزایش ضریب تابع هدفMinتابع هدف

هجواب بهیناحتمال بهبود کاهش ضریب تابع هدف

16

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072روش سیمپلکس

:گام های حل مسائل به روش سیمپلکس معمولی

انتقال متغیرهای تابع هدف به سمت چپ تساوی-1

تبدیل کردن محدودیتها به تساوی-2

رسم جدول سیمپلکس و درج متغیرها و ضرایب در جدول-3

( zمنفی ترین مقدار در سطر )انتخاب متغیر ورودی به پایه -4

:تعیین متغیر اساسی که باید غیر اساسی شود-5

17

ab

ij

i 0aij

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072روش سیمپلکس

.چهارمگامبهبرگشتولوالستونکردنیکهوجدیداساسیمتغیرورودوبعدیجدولرسم-6

داشتخواهندصفرضریبمعادالتبقیهدرو+(1)ضریبخودیمعادلهدراساسیمتغیرهای:نکته

.(یکهبردار)

ه،آمدبدستموجهاساسیجواب.باشندمنفیغیرصفرسطرمقادیرتمامتافوقهایگامیادامه-7

.باشدمیبهینه

18

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072جدول سیمپلکس

متغیرهای اساسی شماره سطر اسامی همه ی متغیرهاZ x1 x2...xn

s1…sm

اعداد سمت راست

حداکثرها

z 0 ضرایب متغیرها در تابع هدف cj

مقدار سمت راستتابع هدف

-

mاساسیمتغیر 12::m

متغیرها در محدودیت ضرایبها

مسئله جوابbj

چه متغیری خروجی است

19

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072مثال

20

0,

5

1

25

21

1

21

21

xx

x

xx

xxMaxZ

0,,,

5

1

025

2121

21

121

21

ssxx

sx

sxx

xxMaxZ

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072جدول حل مثال

متغیر اساسی

شماره سطر

Z X1 X2 S1 S2 R.H.S حداکثرها

Z 0 1 -5 -2 0 0 0

S1 1 0 1 1 1 0 10 10

S2 2 0 1 0 0 1 5 5

Z 0 1 0 -2 0 5 25

S1 1 0 0 1 1 -1 5 5

X1 2 0 1 0 0 1 5

Z 0 1 0 0 2 3 35

X2 1 0 0 1 1 -1 5

X1 2 0 1 0 0 1 521

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072حل مثال

:بهینهجواب𝑍 = 35

:ایپایهمتغیرهای𝑋1= 5 , 𝑥2= 5

22

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072سیمپلکس دو مرحله ای

:اولیمرحله

=و≥هایمحدودیتبهمصنوعیمتغیرهایکردناضافهومسئلهاستانداردسازی-1گام

مصنوعیمتغیرهایکمکبهجدیدهدفتابعتعریف-2گام

𝑀𝑖𝑛 𝑅 = 𝑅𝑖→ 𝑀𝑎𝑥 −𝑅 + 𝑅𝑖=0

آندرهادادهورودوسیمپلکسجدولتشکیل-3گام

جدولدراساسیمتغیرهایکردنیکه-4گام

23

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072سیمپلکس دو مرحله ای

مصنوعیمتغیرهایهمهشدنصفرصورتدراولمرحلهپایان-5گام

:دوممرحله

سیمپلکسجدولآخریندرzهدفتابعکردنجایگزین-6گام

مصنوعیمتغیربهمربوطهایستونحذف-7گام

جدولحلیادامهواساسیمتغیرهایکردنیکه-8گام

24

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072موارد استفاده از سیمپلکس دو مرحله ای

قبولقابلیاولیهجوابنبودندسترسدر

یا≥محدودیتیکحداقلوجود=

جوابفضایدرمختصاتمبداوجودعدم

25

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072تجزیه و تحلیل سیمپلکس دو مرحله ایمرحله دوم مرحله اول

نداردقبولقابلجواباصلیمسئله R≠0بهینهجدولدر

جواب)مسئلهیادامهواصلیمسئلهبرایقبولقابلپایهجوابیکوجود

(محدودنایامحدود

مصنوعیمتغیرهایتماموR=0بهینهجدولدر

.اندپایهغیر

.میشودحذفجدولازدوممرحلهشروعدروبودهزائدمربوطهمحدودیت متغیریکحداقلوجودوR=0بهینهجدولدر

مامیتبودنصفروپایهدرصفرمقداربامصنوعی

مصنوعیهایستونجزبهمقادیر

مسئلهحلیادامهوپایهبهغیرپایهمتغیرهایازیکیورود متغیریکحداقلوجودوR=0بهینهجدولدر

نبودنصفروپایهدرصفرمقداربامصنوعی

مصنوعیهایستونجزبهمقادیرتماامی 26

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072 روشMبزرگ

ضریببامدلدرموجودمصنوعیمتغیرهایتمامکردناضافهMهدفتابعبه

مسئلهنمودناستاندارد

جدولدرمصنوعیمتغیرهایبردارنمودنیکه

معمولیسیمپلکسمانندجدولحل

27

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072 تجزیه و تحلیل روشMبزرگ

پایهدرمصنوعیمتغیروجودعدموبهینهجوابآمدنبدست

صفرمقدارباپایهدرمصنوعیمتغیریکحداقلوجودوآمدهبدستبهینهجواب

طقهمنوجودپایه،عدمدرمثبتمقداربامصنوعیمتغیریکحداقلوجودوآمدهبدستبهینهجواب

موجه

نداردوجودخروجیمتغیرولیآمدهبدستبهینهجدول.

28

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072بررسی حاالت خاص روش سیمپلکس

چندگانهبهینهجواب:

هدفتابعسطردرغیرپایهمتغیرهایازیکیبودنصفر

تبهگنحالت:

سیمپلکسمراحلازیکیراستسمتدرصفرعددوجود

خروجیمتغیرانتخاببراییکسانحالتوجود

راستسمتبردارباورودیمتغیرستونیبرداربودنموازی

29

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072حاالت خاص روش سیمپلکس

بیکرانموجهمنطقه:

خروجیمتغیروجودعدموورودیمتغیروجود

مسئلهبودنجواببدون:

نهاییپایهدرمثبتمقداربامصنوعیمتغیروجود

هامحدودیتدرتناقض

اولیناحیهازغیردرجوابیناحیهوجود

30

فرادرس

FaraDars.org



این اسالید ها بر مبنای نکات مطرح شده در فرادرس« (برنامه ریزی خطی)آموزش تحقیق در عملیات »

.تهیه شده است

.برای کسب اطالعات بیشتر در مورد این آموزش به لینک زیر مراجعه نمایید


فرادرس

FaraDars.org

آموزش تحقیق در عملیات (برنامه ریزی خطی) - بخش دوم

Education