第 9 章 统计预测

统计预测

直线模型

曲线模型

统计预测模型

基本预测方法

朴素模型

长期趋势模型

回归模型

周期变动模型

半数平均法

最小二乘法

9—1 统计预测概述

统计预测概念和作用

统计预测的种类

统计预测的步骤

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统计预测的概念

所谓统计预测就是根据统计资料或相关的定性资料 , 通过统计分析 ,应用统计模型 , 对未来不确定事件的数量方面 , 或数量方面的未来前景所作的预测。

统计预测的作用主要表现在以下几个方面：

它为编制计划，加强计划指导提供依据

为管理决策科学化提供依据

推动了统计科学、统计工作的发展

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统计预测的种类

统计预测

按预测对象范围

按预测方法属性

预测时期长短

宏观预测 微观预测 定性预测 定量预测 短期预测 中期预测 长期预测

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宏观预测是对整个国民经济，或地区、部门、行业等大范围发展前景所作的统计预测。例如，对国民经济发展速度进行的预测，对全国城镇居民生活消费水平趋势进行的预测等等。

微观预测，是指对企业等基层单位小范围发展前景所作的预测。例如，对某企业产品市场占有率进行的预测，对某商场商品销售额进行的预测等等。

定性预测是指通过调查研究的方式进行的一种直观预测。该预测主要用于对预测对象发展方向、程度作出判断，而非推算具体数值。例如投资方向预测，消费者需求倾向预测等等。

定量预测是对预测对象未来发展规模、水平、速度等数量方面做出的预测。例如，某地区国民收入预测，某商店商品销售利润预测等等。

短期预测是指对预测对象未来一至二

年的预测。

中期预测是指对预测对象未来三至五年的

预测。长期预测是指对预测对象未来五年以上的预测。

统计预测的步骤

搜集、审核、整理资料

选择预测模型和预测方法

进行预测

分析预测误差和改进预测

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9—2 统计预测模型与基本预测方法

统计预测模型

基本预测方法

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统计预测模型

（一）简单预测模型

（二）长期趋势模型

（三）周期性变动模型

（四）回归模型

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简单预测模型

观测值预测模型

固定平均数预测模型

移动平均数预测模型

增减量预测模型

平均增（减）量预测模型

增减速度预测模型

平均发展速度预测模型

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观测值预测模型

这种模型是把最近一期的观测值，直接作为下一期预测值使用，即假定下期值仍等于本期值，没有增减变化，用公式表示：

这种模型适用于预测对象处于稳定状态或没有明显的增减变动趋势的情形。显然，该模型虽然简单，但是它只能给出粗略的估计值。

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固定平均数预测模型

这种模型是把研究时期的各期观测值的简单平均数，作为下一期的预测值。其公式是：

该模型只适用于预测对象无明显增减变动趋势，或时间数各期的变动，呈现有增有减的随机波动的情形。也同样，该模型虽然简单，但预测精度较差。

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移动平均数预测模型

这种模型是以一个数列的局部资料的平均数作为下期预测值。它分为以下两种：

（ 1 ）简单移动平均数预测模型：

式中， N 为移动平均的项数，即移动的时期数， N≤t 。

（ 2 ）加权移动平均数模型：

式中，

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加权移动平均数预测模型中，一般常用的、简单的形式是：

考虑到近期数据对预测值的影响较大，于是对近期的数据，应给于较大的权数；对远期的数据，应给于较小的权数。因此，一般来说，加权移动平均数预测模型，优于将远、近期对预测值的影响等同看待的简单移动平均数预测模型。

移动平均数预测模型适用于预测对象数据短期有波动，但长期稳定的情形。

移动平均数预测模型

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增减量预测模型

这种模型是把本期观测值与本期增减量之和，作为下一期的预测值。其公式为：

该模型适用于预测对象在预测前后逐期增减量相同的情形。

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平均增（减）量预测模型

这种模型是用本期观测值与以前逐期平均增减量之和，作为下一期的预测值。其公式为：

该模型适用于预测对象时间数列预测期增减量同于全时期平均增减量的情形。

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增减速度预测模型

这种模型是把本期观测值与本期增减速度之积与本期观测值之和，作为下一期的预测值。其公式为：

该模型适用于预测对象各期增减的绝对量虽不等，但却存在相对稳定的增减速度的情形。

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平均发展速度预测模型

这种模型是把本期观测值与时间数列全时期的平均发展速度之积，作为下一期的预测值。其公式为：

式中 b 为平均发展速度。

该模型适用于预测对象存在相对稳定的平均发展速度的情形。

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长期趋势模型

长期趋势模型是根据预测对象时间数列中存在的长期趋势而进行的外推预测模型。它是一种应用很广的统计预测模型，可分为线性趋势模型和非线性趋势模型两大类。

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周期性变动模型

周期性变动通常包括季节变动与循环变动。周期性变动模型是用于测定一定周期性变动，主要是季节变动的外推预测模型。由于季节变动模型在前面已经阐述，

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回归模型

回归模型，是根据两个或两个以上变量数据变动关系建立回归方程式，以用于外推预测的模型。它通常可分为一元回归模型与多元回归模型、线性回归模型和非线性回归模型等等。利用回归模型进行预测。

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基本预测方法

半数平均法

最小二乘法

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半数平均法

当预测对象的时间数列资料呈线性分布趋势时，可采用半数平均法配以直线，进行外推预测。

设所配的线性模型为

设预测对象时间数列有 2m 项数据，将它们分成前后两半，分别计算算术平均值，并将对应的平均值看作所配直线前半段和后半段上两点。再通过求解方程组：

得到 a ， b ，便估计出预测模型的参数，从而便确定了所配直线。如果预测对象时间数列有奇数项数据，通常是将数列的第一项去掉，以便使前后两半段有相等的项数。

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半数平均法（例题分析）

【例 9-3 】某企业 1993 ～ 2000 年工业增减值资料如下：

单位：百万元

试以半数平均法确定预测方程，并预测该企业 2001 年工业增加值。

年 份 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

年 次 t 1 2 3 4 5 6 7 8

工业增加值 y 16.1 19.7 25.3 29.1 36.6 37.3 43.6 45.9

半数平均法（例题分析）

解：若绘以散点图，可知该企业工业增加值随年次呈现线性增长，故配以线性模型。计算算术平均值得：

解方程组

得： a=11.1125 b=4.5750

故所求的线性预测方程为

该企业 2001 年工业增加值为：

（百万元）

最小二乘法 ( 最小平方法 )

最小二乘法是实际应用中最为广泛的一种预测方法。它使通过使实际值与预测值误差平方和达到最小值， 即：

最小值来估计预测模型中的未知参数的方法。

根据最小二乘法可以得出求解直线趋势方程式未知参数的标准方程组为 :

解得 :

( 实例见下节内容 )

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9—3 长期趋势模型预测

直线趋势预测

二次曲线趋势预测

指数曲线趋势预测

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直线趋势预测

如果预测对象的时间数列资料各项逐期增减量大致相同，或将时间数列绘以散点图，散点图上显示出观测值围绕某条直线上下波动，则宜配合 直线预测模型外推预测。

对于直线趋势预测，预测模型中的未知参数可以采用半数平均法、最小二乘法进行估计（见下面的举例）。

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直线趋势预测（例题分析）【例】某地区历年来的粮食产量资料如下表：

单位：万吨

试配合一条恰当的趋势模型，并对 2010 年的粮食产量进行预测。

年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005

粮食产量 85.6 91.0 96.1 101.2 107.0 112.2

直线趋势预测（例题分析）

解：若绘以散点图，可知该地区粮食产量随年次呈现线性增长，故配以线性模型。设所配合的直线趋势模型为

列表计算有关指标资料如下：

年份 时间代码 t 粮食产量 y t2 ty

2000

2001

2002

2003

2004

2005

1

2

3

4

5

6

85.6

91.0

96.1

101.2

107.0

112.2

1

4

9

16

25

36

85.6

182.0

288.3

404.8

535.0

673.2

合计 21 593.1 91 2168.9

直线趋势预测（例题分析）

将表中计算出的结果代入下列计算参数的公式得 :

因此，所配合的趋势方程为

将 t=11 代入方程，可以预测出 2010 年该地区的粮食产量为 138.84 万吨

二次曲线趋势预测

如果预测对象的时间数列的各逐期二次增长量大致相等，或将时间数列绘以散点图，其图形显示出有一个先升后降，或先降后升的转变，即是一条有一个弯曲的曲线，则可配合二次曲线模型进行外推预测。

在用二次曲线模型进行预测时，待定参数有 a ， b ， c 三个，预测模型中的未知参数通常可以采用最小二乘法进行估计。

根据最小二乘法的要求，要用下列三个标准方程求解 a ， b ， c 。

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二次曲线趋势预测

为简化计算，以时间数列中间一项为原点。则上述方程组可简化为：

解此方程组，可得到三个待定参数 a ， b ， c 。 从而可确定二次曲线趋势模型

二次曲线趋势预测（例题分析）

【例】某地区 1990 ～ 2002 年农副产品收购额资料如下： 单位：万元

试配合二次曲线趋势预测模型，并预测 2007 年的农副产品收购额。

解：设所配合的二次曲线趋势预测模型为：

某地区农副产品收购额二次曲线趋势方程计算表如下

年份 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

收购额 347 369 377 436 446 479 470 495 558 714 842 955 1050

二次曲线趋势预测（例题分析）

年份 时间代码 t 收购额 y t2 ty t4 t2y

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

－ 6

—5

—4

—3

—2

—1

0

1

2

3

4

5

6

347

369

377

436

446

479

470

495

558

714

842

955

1050

36

25

16

9

4

1

0

1

4

9

1 6

25

36

—2082

—1845

—1508

—1308

—892

—479

0

495

1116

2142

3368

4775

6300

1296

625

256

81

16

1

0

1

16

81

256

625

1296

12496

9225

6032

3924

1784

479

0

49 5

2232

6426

13472

23875

37800

合计 0 7059 182 10082 4550 118236

二次曲线趋势预测（例题分析）

将上表计算的有关数值代入方程组：

得：

解得 a=407.2 b=55.4 c=9.7

所以 将 t=8 代入上式，可得 2007 年

农副产品收购额为 1471.2 万元的（万元）

指数曲线趋势预测

如果预测对象的时间数列资料各项环比发展速度大致相等，或将时间数列绘以散点图，散点图上显示出观测值围绕一指数曲线上下波动，则可配合指数曲线预测模型 进行外推预测。

进行指数曲线配合，必须先将指数曲线化为直线的形式。

对方程式 两边取对数，转化为直线模型：

Y=A+Bt

其中 ， ， 。

于是可以按直线配合的方法确定所需的指数曲线。

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指数曲线趋势预测（例题分析）

【例】某地区 2000—2005 年人口增长速度大体一样，试以最小二乘法配合指数曲线方程，并对该地区 2007 年的人口进行预测。资料如下表。

某地区 2000—2005 年人口发展情况资料

年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005

人口（万人） 85.50 86.48 87.46 88.47 89.46 90.44

指数曲线趋势预测（例题分析）

解：下面列表计算所需的有关数据

最小二乘法计算表

年份 人口 y 递增速度（ % ） 时间代码 t t2 Y =lgy tY

2000

2001

2002

2003

2004

2005

85.50

86.48

87.46

88.47

89.46

90.44

——

15

13

15

12

10

　１

　２

　３

　４

　５

　６

　１

　４

　９

16

25

36

1.9320

1.9369

1.9418

1.9468

1.9516

1.9564

1.9320

3.8738

5.8254

7.7872

9.7580

11.7384

合计 —— 　—— ２１ 91 11.6655 40.9418

指数曲线趋势预测（例题分析）

利用该表中的有关数据，有：

则 : a=84.547 b=1.0113 因此所配合的指数曲线方程为 :

2007 年的预测值为