Урок ndash ПРЕЗЕНТАЦИЯпо геометрии в 9ordf классе

Тема Решение геометрических задач способомдополнительного построения

Учитель Конёва Г М

2008 год

S1 S2

װ װ

S1 = S2

װ װ װ

S1S2 S3

S1 = S2 = S3

Опорные устные задачи

Опорные устные задачи

S3 S4

S1=S2=S3=S4

S1 S2

А С

В

В1

С1А1

equiv

equiv

װװ

_

_ оα

αS1

S5

S3

S6

S2

S4

1Докажите что S1 = S6 S2 = S3 S4 = S6

2Докажите что S1 = S4 S3 = S6 S2 = S5

3Докажите что S1 = S2= S3 = S4 = S5 = S6

Решение геометрических задачметодом дополнительного построения

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Выполнили работу ученики 9 laquoАraquo Задорожный К и Килин М

Задача 1Задача 1

ЗАДАЧА 1

bull Найти медианы треугольника если известны стороны abc

A

B

CB1

D

mb

B2

B2

c

c

a

a

Решение

(2mb) +b =2(a +c )4mb =2a +2c -b mb = 2a +2c -bАналогично доказывается чтоma = 2b +2c -amc = 2a +2b -c

2 2 2 2

222

2 2 2

222

2 22

2

12

1212

Рациональное решение геометрической задачи

Выполнили

Асеева Мария Притупова Кристина Капустина Оля

Найти площадь треугольника по трем известным медианам 3 4 5

ЗАДАЧА 2

I способ 1) Выразим медианы

треугольника через стороны по известным

формулам 4mb=2a+2c-b 4ma=2b+2c-a 4mc=2a+2b-c

2) Решив эту систему найдем стороны треугольника АВС а затем по формуле Герона

найдем площадь треугольника

A

B

C

A 1

B1

C1

2 2 2

222

222

II способ I)Продолжим медиану ВК на расстояние

равное ОК II) Проведем прямые АP и СP

которые пересекутся в точке Р III) Рассмотрим 2 треугольника

ΔАОВ и Δ АОР

A

B

C

E DO

K

P

1) SΔ ABО = SΔ AOP = ⅓ ∙ SΔ ABC

CО=AP = ⅔ ∙ 5 = 3⅓ AО = ⅔ ∙ 4 = 2⅔ ОP = ⅔ ∙ 3 = 2 2)Найдем площадь треугольника АОР по формуле Герона SΔ AOP = radic p(p-a)(p-b)(p-c) p = (3⅓ + 2⅔ + 2) 2 = 4 SΔ AOP = radic 4∙(4-3⅓)(4-2⅔)(4-2)=radic4∙⅔∙1⅓∙2=2⅔ 3) SΔ ABC = 3 ∙2⅔ = 8

3 СПОСОБ

О

Дано ABC CC1=5 BB1=4 AA1=3

где СС1 ВВ1 и АА1 ndash медианыНайти SАВС

A

B

CB1

A1C1

P

D

EN

M

K

Построение и решение1 Продлить медианы АА1 ВВ1СС1 на 13

длины Получим точки ДРЕ2 Провести прямые АДВЕСР

Получим ∆ NMK длины которого равныNM= 2AA1

MK= 2BB1

NK = 2CC1 те NM=6 MK=8 NK=10

Так как 102=82+62 то ∆ NMK ndash прямоугольный

3 SABC = 13S NMK = 13 frac12 8 6=8

Ответ8

ЗАДАЧА 3

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны а сумма её оснований равна 10 см

Найти площадь трапеции

ПОДГОТОВИЛИ БАГАЕВ А АСАУЛЮК Д

ЛИПАТОВА Ж

DA

B C

E

1) Произведём параллельный перенос диагонали BD на вектор ВС

2) SABCD=SACE тк BC+AD=AE и СН - общая высота

Н

Дано ABCD-равнобедренная трапеция BC+AD=10 см

AC BD

РЕШЕНИЕ

3) АС=СЕ тк диагонали равнобедренной трапеции равны

4) Найдём АС

Пусть АС=х тогда по теореме Пифагора имеем

Х2 +Х2 =100

2Х2 =100

Х2 =50

Х=5

5)SACE=12(5 )2=1250=25

A

C

E

х х

Н

2

2

ОТВЕТ 25 см2

ЗАДАЧА 4

Найдите площадь равнобедренной трапеции у которой высота

равна h а диагонали взаимно перпендикулярны

А

В С

H D

h

EK

РЕШЕНИЕ1)Треугольник ACE-прямоугольный и

равнобедренный

2)CK- медиана биссектриса и высота

3)CK=AK=h

4)По теореме Пифагора AC= h2+h2=

h 2

5)Sтр ABCD=S ACE= h 2 h 2=h2

A

C

EK

1

2

Ответ h22

Задача 5

Диагонали трапеции равны 3 и 5 а отрезок соединяющий середины оснований равен 2 Найти площадь трапеции

Выполнили Петров В Куликов П Черных Р

A

B C

D

N

MK E

F H

Дано ABCD ndash трапеция CA=3BD=5NM=2BN = NCAM = MD НайтиSABCD

Решение

1) Выполним параллельный перенос диагонали CA на вектор CN и диагонали CA на вектор CN

2) Получим KNE где KE=BC+AD и NM-медиана KN =3 NE=5 NM=2

3) SKNE = SABCD

4) Рассмотрим KNE

K

N

E

R

M xx

3

3

2

2

5

5

KM = ME = x

(2x) + 4 = 2(3 + 5 )

4x + 16 = 68

x = 13 KE = 2 13

5) KNM-прямоугольный

тк ( 13 ) = 3 +2 =

KNM = 90 SKNM=

23 =3 = SKNE

=23=6

Ответ SABCD=6

1

2 2

2

2

2

22 2

Задача 6

bull В трапеции ABCD AC перпендикулярна BD АС=16 BD=12 Найти среднюю линию

bull ( Эта задача предлагалась на централизованном тестировании по геометрии 2002 г)

ВЫПОЛНИЛИ ДНЕПРОВСКИЙ А

ЗВЕРЬКОВ Е

Способ 1

А

В C

D

О

KH

Х y

12 - y16 ndash

x

Решение AO = x DO = y OC = 16 ndash x BO = 12 ndash y∆BOC подобен ∆DOA 12 - y ∕ y = 16 - x ∕ x 12x ndash xy = 16y ndash xy 3x = 4y y = frac34x3x = 4y y = frac34x Sтр = frac12x middot frac34x + frac12(16 ndash x)(12 - frac34x)+ +frac12(16 ndash x) middot frac34x + frac12x middot (12 - frac34x) = ⅜xsup2 + frac12(192 ndash 12x ndash -12x + frac34xsup2) + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = ⅜xsup2 + 96 ndash 6x ndash 6x ++ ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = 96ADsup2 = xsup2 + (frac34xsup2) = 2516 xsup2 AD = 54 xx middot frac34x = 54x middot OK OK = x middot frac34x ∕ 54x = 35x∆BHD подобен ∆OKD =gt BHOK = BDOD BH ∕ 35x == 12 ∕ frac34x =gt BH = 365x middot 43x = 96Sтр AD + BC ∕ 2 middot BH 54x + BC ∕ 2 middot 96 = 9654x + BC ∕ 2 = MNMN middot 96 = 96MN = 10

N M

Ответ MN = 10

А

В

D D1

Перенесём диагональ BD на вектор ВС Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD1 где гипотенуза AD1 равна сумме оснований трапеции ABCD тк DBCD1

параллелограмм где BC=DD1 BD=CD1 Из ACD1 ADsup21 =ACsup2+CDsup21ADsup21 = 16sup2+12sup2=256+144=400ADsup21=400AD1=20 Средняя линия треугольника равна половине суммы оснований те MN= AD12=202=10

12

оХ

16-х

y

12-y

Способ 2

С

N M

Ответ NM = 10

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Над задачами работали

ЗАДОРОЖНЫЙ КОНСТАНТИН СЕРГЕЕВИЧ

КИЛИН МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧЕРНЫХ РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

АСЕЕВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

ПРИТУПОВА КРИСТИНА ОЛЕГОВНА

КАПУСТИНА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

БАГАЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

АСАУЛЮК ДЕНИС ОЛЕГОВИЧ

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

ФАНДИКОВ ИВАН АНАТОЛЬЕВИЧ

ПЕТРОВ ВЯЧЕСЛАВ ИГОРЕВИЧ

КУЛИКОВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ДНЕПРОВСКИЙ АНДРЕЙ ЮРЬЕВИЧ

ЗВЕРЬКОВ ЕГОР ВЛАДИМИРОВИЧ

БОЛЬШОЕ СПОСИБО ЗА ПРЕДОСТАВЛЕННУЮ

ТЕХНИКУ

ЧАГДУРОВОЙ ЭЛЬВИРЕ ЦИДЕНОВНЕ

ППРАРПРАПРПАР

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27

S1 S2

װ װ

S1 = S2

װ װ װ

S1S2 S3

S1 = S2 = S3

Опорные устные задачи

Опорные устные задачи

S3 S4

S1=S2=S3=S4

S1 S2

А С

В

В1

С1А1

equiv

equiv

װװ

_

_ оα

αS1

S5

S3

S6

S2

S4

1Докажите что S1 = S6 S2 = S3 S4 = S6

2Докажите что S1 = S4 S3 = S6 S2 = S5

3Докажите что S1 = S2= S3 = S4 = S5 = S6

Решение геометрических задачметодом дополнительного построения

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Выполнили работу ученики 9 laquoАraquo Задорожный К и Килин М

Задача 1Задача 1

ЗАДАЧА 1

bull Найти медианы треугольника если известны стороны abc

A

B

CB1

D

mb

B2

B2

c

c

a

a

Решение

(2mb) +b =2(a +c )4mb =2a +2c -b mb = 2a +2c -bАналогично доказывается чтоma = 2b +2c -amc = 2a +2b -c

2 2 2 2

222

2 2 2

222

2 22

2

12

1212

Рациональное решение геометрической задачи

Выполнили

Асеева Мария Притупова Кристина Капустина Оля

Найти площадь треугольника по трем известным медианам 3 4 5

ЗАДАЧА 2

I способ 1) Выразим медианы

треугольника через стороны по известным

формулам 4mb=2a+2c-b 4ma=2b+2c-a 4mc=2a+2b-c

2) Решив эту систему найдем стороны треугольника АВС а затем по формуле Герона

найдем площадь треугольника

A

B

C

A 1

B1

C1

2 2 2

222

222

II способ I)Продолжим медиану ВК на расстояние

равное ОК II) Проведем прямые АP и СP

которые пересекутся в точке Р III) Рассмотрим 2 треугольника

ΔАОВ и Δ АОР

A

B

C

E DO

K

P

1) SΔ ABО = SΔ AOP = ⅓ ∙ SΔ ABC

CО=AP = ⅔ ∙ 5 = 3⅓ AО = ⅔ ∙ 4 = 2⅔ ОP = ⅔ ∙ 3 = 2 2)Найдем площадь треугольника АОР по формуле Герона SΔ AOP = radic p(p-a)(p-b)(p-c) p = (3⅓ + 2⅔ + 2) 2 = 4 SΔ AOP = radic 4∙(4-3⅓)(4-2⅔)(4-2)=radic4∙⅔∙1⅓∙2=2⅔ 3) SΔ ABC = 3 ∙2⅔ = 8

3 СПОСОБ

О

Дано ABC CC1=5 BB1=4 AA1=3

где СС1 ВВ1 и АА1 ndash медианыНайти SАВС

A

B

CB1

A1C1

P

D

EN

M

K

Построение и решение1 Продлить медианы АА1 ВВ1СС1 на 13

длины Получим точки ДРЕ2 Провести прямые АДВЕСР

Получим ∆ NMK длины которого равныNM= 2AA1

MK= 2BB1

NK = 2CC1 те NM=6 MK=8 NK=10

Так как 102=82+62 то ∆ NMK ndash прямоугольный

3 SABC = 13S NMK = 13 frac12 8 6=8

Ответ8

ЗАДАЧА 3

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны а сумма её оснований равна 10 см

Найти площадь трапеции

ПОДГОТОВИЛИ БАГАЕВ А АСАУЛЮК Д

ЛИПАТОВА Ж

DA

B C

E

1) Произведём параллельный перенос диагонали BD на вектор ВС

2) SABCD=SACE тк BC+AD=AE и СН - общая высота

Н

Дано ABCD-равнобедренная трапеция BC+AD=10 см

AC BD

РЕШЕНИЕ

3) АС=СЕ тк диагонали равнобедренной трапеции равны

4) Найдём АС

Пусть АС=х тогда по теореме Пифагора имеем

Х2 +Х2 =100

2Х2 =100

Х2 =50

Х=5

5)SACE=12(5 )2=1250=25

A

C

E

х х

Н

2

2

ОТВЕТ 25 см2

ЗАДАЧА 4

Найдите площадь равнобедренной трапеции у которой высота

равна h а диагонали взаимно перпендикулярны

А

В С

H D

h

EK

РЕШЕНИЕ1)Треугольник ACE-прямоугольный и

равнобедренный

2)CK- медиана биссектриса и высота

3)CK=AK=h

4)По теореме Пифагора AC= h2+h2=

h 2

5)Sтр ABCD=S ACE= h 2 h 2=h2

A

C

EK

1

2

Ответ h22

Задача 5

Диагонали трапеции равны 3 и 5 а отрезок соединяющий середины оснований равен 2 Найти площадь трапеции

Выполнили Петров В Куликов П Черных Р

A

B C

D

N

MK E

F H

Дано ABCD ndash трапеция CA=3BD=5NM=2BN = NCAM = MD НайтиSABCD

Решение

1) Выполним параллельный перенос диагонали CA на вектор CN и диагонали CA на вектор CN

2) Получим KNE где KE=BC+AD и NM-медиана KN =3 NE=5 NM=2

3) SKNE = SABCD

4) Рассмотрим KNE

K

N

E

R

M xx

3

3

2

2

5

5

KM = ME = x

(2x) + 4 = 2(3 + 5 )

4x + 16 = 68

x = 13 KE = 2 13

5) KNM-прямоугольный

тк ( 13 ) = 3 +2 =

KNM = 90 SKNM=

23 =3 = SKNE

=23=6

Ответ SABCD=6

1

2 2

2

2

2

22 2

Задача 6

bull В трапеции ABCD AC перпендикулярна BD АС=16 BD=12 Найти среднюю линию

bull ( Эта задача предлагалась на централизованном тестировании по геометрии 2002 г)

ВЫПОЛНИЛИ ДНЕПРОВСКИЙ А

ЗВЕРЬКОВ Е

Способ 1

А

В C

D

О

KH

Х y

12 - y16 ndash

x

Решение AO = x DO = y OC = 16 ndash x BO = 12 ndash y∆BOC подобен ∆DOA 12 - y ∕ y = 16 - x ∕ x 12x ndash xy = 16y ndash xy 3x = 4y y = frac34x3x = 4y y = frac34x Sтр = frac12x middot frac34x + frac12(16 ndash x)(12 - frac34x)+ +frac12(16 ndash x) middot frac34x + frac12x middot (12 - frac34x) = ⅜xsup2 + frac12(192 ndash 12x ndash -12x + frac34xsup2) + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = ⅜xsup2 + 96 ndash 6x ndash 6x ++ ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = 96ADsup2 = xsup2 + (frac34xsup2) = 2516 xsup2 AD = 54 xx middot frac34x = 54x middot OK OK = x middot frac34x ∕ 54x = 35x∆BHD подобен ∆OKD =gt BHOK = BDOD BH ∕ 35x == 12 ∕ frac34x =gt BH = 365x middot 43x = 96Sтр AD + BC ∕ 2 middot BH 54x + BC ∕ 2 middot 96 = 9654x + BC ∕ 2 = MNMN middot 96 = 96MN = 10

N M

Ответ MN = 10

А

В

D D1

Перенесём диагональ BD на вектор ВС Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD1 где гипотенуза AD1 равна сумме оснований трапеции ABCD тк DBCD1

параллелограмм где BC=DD1 BD=CD1 Из ACD1 ADsup21 =ACsup2+CDsup21ADsup21 = 16sup2+12sup2=256+144=400ADsup21=400AD1=20 Средняя линия треугольника равна половине суммы оснований те MN= AD12=202=10

12

оХ

16-х

y

12-y

Способ 2

С

N M

Ответ NM = 10

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Над задачами работали

ЗАДОРОЖНЫЙ КОНСТАНТИН СЕРГЕЕВИЧ

КИЛИН МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧЕРНЫХ РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

АСЕЕВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

ПРИТУПОВА КРИСТИНА ОЛЕГОВНА

КАПУСТИНА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

БАГАЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

АСАУЛЮК ДЕНИС ОЛЕГОВИЧ

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

ФАНДИКОВ ИВАН АНАТОЛЬЕВИЧ

ПЕТРОВ ВЯЧЕСЛАВ ИГОРЕВИЧ

КУЛИКОВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ДНЕПРОВСКИЙ АНДРЕЙ ЮРЬЕВИЧ

ЗВЕРЬКОВ ЕГОР ВЛАДИМИРОВИЧ

БОЛЬШОЕ СПОСИБО ЗА ПРЕДОСТАВЛЕННУЮ

ТЕХНИКУ

ЧАГДУРОВОЙ ЭЛЬВИРЕ ЦИДЕНОВНЕ

ППРАРПРАПРПАР

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27

Опорные устные задачи

S3 S4

S1=S2=S3=S4

S1 S2

А С

В

В1

С1А1

equiv

equiv

װװ

_

_ оα

αS1

S5

S3

S6

S2

S4

1Докажите что S1 = S6 S2 = S3 S4 = S6

2Докажите что S1 = S4 S3 = S6 S2 = S5

3Докажите что S1 = S2= S3 = S4 = S5 = S6

Решение геометрических задачметодом дополнительного построения

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Выполнили работу ученики 9 laquoАraquo Задорожный К и Килин М

Задача 1Задача 1

ЗАДАЧА 1

bull Найти медианы треугольника если известны стороны abc

A

B

CB1

D

mb

B2

B2

c

c

a

a

Решение

(2mb) +b =2(a +c )4mb =2a +2c -b mb = 2a +2c -bАналогично доказывается чтоma = 2b +2c -amc = 2a +2b -c

2 2 2 2

222

2 2 2

222

2 22

2

12

1212

Рациональное решение геометрической задачи

Выполнили

Асеева Мария Притупова Кристина Капустина Оля

Найти площадь треугольника по трем известным медианам 3 4 5

ЗАДАЧА 2

I способ 1) Выразим медианы

треугольника через стороны по известным

формулам 4mb=2a+2c-b 4ma=2b+2c-a 4mc=2a+2b-c

2) Решив эту систему найдем стороны треугольника АВС а затем по формуле Герона

найдем площадь треугольника

A

B

C

A 1

B1

C1

2 2 2

222

222

II способ I)Продолжим медиану ВК на расстояние

равное ОК II) Проведем прямые АP и СP

которые пересекутся в точке Р III) Рассмотрим 2 треугольника

ΔАОВ и Δ АОР

A

B

C

E DO

K

P

1) SΔ ABО = SΔ AOP = ⅓ ∙ SΔ ABC

CО=AP = ⅔ ∙ 5 = 3⅓ AО = ⅔ ∙ 4 = 2⅔ ОP = ⅔ ∙ 3 = 2 2)Найдем площадь треугольника АОР по формуле Герона SΔ AOP = radic p(p-a)(p-b)(p-c) p = (3⅓ + 2⅔ + 2) 2 = 4 SΔ AOP = radic 4∙(4-3⅓)(4-2⅔)(4-2)=radic4∙⅔∙1⅓∙2=2⅔ 3) SΔ ABC = 3 ∙2⅔ = 8

3 СПОСОБ

О

Дано ABC CC1=5 BB1=4 AA1=3

где СС1 ВВ1 и АА1 ndash медианыНайти SАВС

A

B

CB1

A1C1

P

D

EN

M

K

Построение и решение1 Продлить медианы АА1 ВВ1СС1 на 13

длины Получим точки ДРЕ2 Провести прямые АДВЕСР

Получим ∆ NMK длины которого равныNM= 2AA1

MK= 2BB1

NK = 2CC1 те NM=6 MK=8 NK=10

Так как 102=82+62 то ∆ NMK ndash прямоугольный

3 SABC = 13S NMK = 13 frac12 8 6=8

Ответ8

ЗАДАЧА 3

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны а сумма её оснований равна 10 см

Найти площадь трапеции

ПОДГОТОВИЛИ БАГАЕВ А АСАУЛЮК Д

ЛИПАТОВА Ж

DA

B C

E

1) Произведём параллельный перенос диагонали BD на вектор ВС

2) SABCD=SACE тк BC+AD=AE и СН - общая высота

Н

Дано ABCD-равнобедренная трапеция BC+AD=10 см

AC BD

РЕШЕНИЕ

3) АС=СЕ тк диагонали равнобедренной трапеции равны

4) Найдём АС

Пусть АС=х тогда по теореме Пифагора имеем

Х2 +Х2 =100

2Х2 =100

Х2 =50

Х=5

5)SACE=12(5 )2=1250=25

A

C

E

х х

Н

2

2

ОТВЕТ 25 см2

ЗАДАЧА 4

Найдите площадь равнобедренной трапеции у которой высота

равна h а диагонали взаимно перпендикулярны

А

В С

H D

h

EK

РЕШЕНИЕ1)Треугольник ACE-прямоугольный и

равнобедренный

2)CK- медиана биссектриса и высота

3)CK=AK=h

4)По теореме Пифагора AC= h2+h2=

h 2

5)Sтр ABCD=S ACE= h 2 h 2=h2

A

C

EK

1

2

Ответ h22

Задача 5

Диагонали трапеции равны 3 и 5 а отрезок соединяющий середины оснований равен 2 Найти площадь трапеции

Выполнили Петров В Куликов П Черных Р

A

B C

D

N

MK E

F H

Дано ABCD ndash трапеция CA=3BD=5NM=2BN = NCAM = MD НайтиSABCD

Решение

1) Выполним параллельный перенос диагонали CA на вектор CN и диагонали CA на вектор CN

2) Получим KNE где KE=BC+AD и NM-медиана KN =3 NE=5 NM=2

3) SKNE = SABCD

4) Рассмотрим KNE

K

N

E

R

M xx

3

3

2

2

5

5

KM = ME = x

(2x) + 4 = 2(3 + 5 )

4x + 16 = 68

x = 13 KE = 2 13

5) KNM-прямоугольный

тк ( 13 ) = 3 +2 =

KNM = 90 SKNM=

23 =3 = SKNE

=23=6

Ответ SABCD=6

1

2 2

2

2

2

22 2

Задача 6

bull В трапеции ABCD AC перпендикулярна BD АС=16 BD=12 Найти среднюю линию

bull ( Эта задача предлагалась на централизованном тестировании по геометрии 2002 г)

ВЫПОЛНИЛИ ДНЕПРОВСКИЙ А

ЗВЕРЬКОВ Е

Способ 1

А

В C

D

О

KH

Х y

12 - y16 ndash

x

Решение AO = x DO = y OC = 16 ndash x BO = 12 ndash y∆BOC подобен ∆DOA 12 - y ∕ y = 16 - x ∕ x 12x ndash xy = 16y ndash xy 3x = 4y y = frac34x3x = 4y y = frac34x Sтр = frac12x middot frac34x + frac12(16 ndash x)(12 - frac34x)+ +frac12(16 ndash x) middot frac34x + frac12x middot (12 - frac34x) = ⅜xsup2 + frac12(192 ndash 12x ndash -12x + frac34xsup2) + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = ⅜xsup2 + 96 ndash 6x ndash 6x ++ ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = 96ADsup2 = xsup2 + (frac34xsup2) = 2516 xsup2 AD = 54 xx middot frac34x = 54x middot OK OK = x middot frac34x ∕ 54x = 35x∆BHD подобен ∆OKD =gt BHOK = BDOD BH ∕ 35x == 12 ∕ frac34x =gt BH = 365x middot 43x = 96Sтр AD + BC ∕ 2 middot BH 54x + BC ∕ 2 middot 96 = 9654x + BC ∕ 2 = MNMN middot 96 = 96MN = 10

N M

Ответ MN = 10

А

В

D D1

Перенесём диагональ BD на вектор ВС Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD1 где гипотенуза AD1 равна сумме оснований трапеции ABCD тк DBCD1

параллелограмм где BC=DD1 BD=CD1 Из ACD1 ADsup21 =ACsup2+CDsup21ADsup21 = 16sup2+12sup2=256+144=400ADsup21=400AD1=20 Средняя линия треугольника равна половине суммы оснований те MN= AD12=202=10

12

оХ

16-х

y

12-y

Способ 2

С

N M

Ответ NM = 10

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Над задачами работали

ЗАДОРОЖНЫЙ КОНСТАНТИН СЕРГЕЕВИЧ

КИЛИН МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧЕРНЫХ РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

АСЕЕВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

ПРИТУПОВА КРИСТИНА ОЛЕГОВНА

КАПУСТИНА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

БАГАЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

АСАУЛЮК ДЕНИС ОЛЕГОВИЧ

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

ФАНДИКОВ ИВАН АНАТОЛЬЕВИЧ

ПЕТРОВ ВЯЧЕСЛАВ ИГОРЕВИЧ

КУЛИКОВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ДНЕПРОВСКИЙ АНДРЕЙ ЮРЬЕВИЧ

ЗВЕРЬКОВ ЕГОР ВЛАДИМИРОВИЧ

БОЛЬШОЕ СПОСИБО ЗА ПРЕДОСТАВЛЕННУЮ

ТЕХНИКУ

ЧАГДУРОВОЙ ЭЛЬВИРЕ ЦИДЕНОВНЕ

ППРАРПРАПРПАР

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27

А С

В

В1

С1А1

equiv

equiv

װװ

_

_ оα

αS1

S5

S3

S6

S2

S4

1Докажите что S1 = S6 S2 = S3 S4 = S6

2Докажите что S1 = S4 S3 = S6 S2 = S5

3Докажите что S1 = S2= S3 = S4 = S5 = S6

Решение геометрических задачметодом дополнительного построения

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Выполнили работу ученики 9 laquoАraquo Задорожный К и Килин М

Задача 1Задача 1

ЗАДАЧА 1

bull Найти медианы треугольника если известны стороны abc

A

B

CB1

D

mb

B2

B2

c

c

a

a

Решение

(2mb) +b =2(a +c )4mb =2a +2c -b mb = 2a +2c -bАналогично доказывается чтоma = 2b +2c -amc = 2a +2b -c

2 2 2 2

222

2 2 2

222

2 22

2

12

1212

Рациональное решение геометрической задачи

Выполнили

Асеева Мария Притупова Кристина Капустина Оля

Найти площадь треугольника по трем известным медианам 3 4 5

ЗАДАЧА 2

I способ 1) Выразим медианы

треугольника через стороны по известным

формулам 4mb=2a+2c-b 4ma=2b+2c-a 4mc=2a+2b-c

2) Решив эту систему найдем стороны треугольника АВС а затем по формуле Герона

найдем площадь треугольника

A

B

C

A 1

B1

C1

2 2 2

222

222

II способ I)Продолжим медиану ВК на расстояние

равное ОК II) Проведем прямые АP и СP

которые пересекутся в точке Р III) Рассмотрим 2 треугольника

ΔАОВ и Δ АОР

A

B

C

E DO

K

P

1) SΔ ABО = SΔ AOP = ⅓ ∙ SΔ ABC

CО=AP = ⅔ ∙ 5 = 3⅓ AО = ⅔ ∙ 4 = 2⅔ ОP = ⅔ ∙ 3 = 2 2)Найдем площадь треугольника АОР по формуле Герона SΔ AOP = radic p(p-a)(p-b)(p-c) p = (3⅓ + 2⅔ + 2) 2 = 4 SΔ AOP = radic 4∙(4-3⅓)(4-2⅔)(4-2)=radic4∙⅔∙1⅓∙2=2⅔ 3) SΔ ABC = 3 ∙2⅔ = 8

3 СПОСОБ

О

Дано ABC CC1=5 BB1=4 AA1=3

где СС1 ВВ1 и АА1 ndash медианыНайти SАВС

A

B

CB1

A1C1

P

D

EN

M

K

Построение и решение1 Продлить медианы АА1 ВВ1СС1 на 13

длины Получим точки ДРЕ2 Провести прямые АДВЕСР

Получим ∆ NMK длины которого равныNM= 2AA1

MK= 2BB1

NK = 2CC1 те NM=6 MK=8 NK=10

Так как 102=82+62 то ∆ NMK ndash прямоугольный

3 SABC = 13S NMK = 13 frac12 8 6=8

Ответ8

ЗАДАЧА 3

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны а сумма её оснований равна 10 см

Найти площадь трапеции

ПОДГОТОВИЛИ БАГАЕВ А АСАУЛЮК Д

ЛИПАТОВА Ж

DA

B C

E

1) Произведём параллельный перенос диагонали BD на вектор ВС

2) SABCD=SACE тк BC+AD=AE и СН - общая высота

Н

Дано ABCD-равнобедренная трапеция BC+AD=10 см

AC BD

РЕШЕНИЕ

3) АС=СЕ тк диагонали равнобедренной трапеции равны

4) Найдём АС

Пусть АС=х тогда по теореме Пифагора имеем

Х2 +Х2 =100

2Х2 =100

Х2 =50

Х=5

5)SACE=12(5 )2=1250=25

A

C

E

х х

Н

2

2

ОТВЕТ 25 см2

ЗАДАЧА 4

Найдите площадь равнобедренной трапеции у которой высота

равна h а диагонали взаимно перпендикулярны

А

В С

H D

h

EK

РЕШЕНИЕ1)Треугольник ACE-прямоугольный и

равнобедренный

2)CK- медиана биссектриса и высота

3)CK=AK=h

4)По теореме Пифагора AC= h2+h2=

h 2

5)Sтр ABCD=S ACE= h 2 h 2=h2

A

C

EK

1

2

Ответ h22

Задача 5

Диагонали трапеции равны 3 и 5 а отрезок соединяющий середины оснований равен 2 Найти площадь трапеции

Выполнили Петров В Куликов П Черных Р

A

B C

D

N

MK E

F H

Дано ABCD ndash трапеция CA=3BD=5NM=2BN = NCAM = MD НайтиSABCD

Решение

1) Выполним параллельный перенос диагонали CA на вектор CN и диагонали CA на вектор CN

2) Получим KNE где KE=BC+AD и NM-медиана KN =3 NE=5 NM=2

3) SKNE = SABCD

4) Рассмотрим KNE

K

N

E

R

M xx

3

3

2

2

5

5

KM = ME = x

(2x) + 4 = 2(3 + 5 )

4x + 16 = 68

x = 13 KE = 2 13

5) KNM-прямоугольный

тк ( 13 ) = 3 +2 =

KNM = 90 SKNM=

23 =3 = SKNE

=23=6

Ответ SABCD=6

1

2 2

2

2

2

22 2

Задача 6

bull В трапеции ABCD AC перпендикулярна BD АС=16 BD=12 Найти среднюю линию

bull ( Эта задача предлагалась на централизованном тестировании по геометрии 2002 г)

ВЫПОЛНИЛИ ДНЕПРОВСКИЙ А

ЗВЕРЬКОВ Е

Способ 1

А

В C

D

О

KH

Х y

12 - y16 ndash

x

Решение AO = x DO = y OC = 16 ndash x BO = 12 ndash y∆BOC подобен ∆DOA 12 - y ∕ y = 16 - x ∕ x 12x ndash xy = 16y ndash xy 3x = 4y y = frac34x3x = 4y y = frac34x Sтр = frac12x middot frac34x + frac12(16 ndash x)(12 - frac34x)+ +frac12(16 ndash x) middot frac34x + frac12x middot (12 - frac34x) = ⅜xsup2 + frac12(192 ndash 12x ndash -12x + frac34xsup2) + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = ⅜xsup2 + 96 ndash 6x ndash 6x ++ ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = 96ADsup2 = xsup2 + (frac34xsup2) = 2516 xsup2 AD = 54 xx middot frac34x = 54x middot OK OK = x middot frac34x ∕ 54x = 35x∆BHD подобен ∆OKD =gt BHOK = BDOD BH ∕ 35x == 12 ∕ frac34x =gt BH = 365x middot 43x = 96Sтр AD + BC ∕ 2 middot BH 54x + BC ∕ 2 middot 96 = 9654x + BC ∕ 2 = MNMN middot 96 = 96MN = 10

N M

Ответ MN = 10

А

В

D D1

Перенесём диагональ BD на вектор ВС Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD1 где гипотенуза AD1 равна сумме оснований трапеции ABCD тк DBCD1

параллелограмм где BC=DD1 BD=CD1 Из ACD1 ADsup21 =ACsup2+CDsup21ADsup21 = 16sup2+12sup2=256+144=400ADsup21=400AD1=20 Средняя линия треугольника равна половине суммы оснований те MN= AD12=202=10

12

оХ

16-х

y

12-y

Способ 2

С

N M

Ответ NM = 10

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Над задачами работали

ЗАДОРОЖНЫЙ КОНСТАНТИН СЕРГЕЕВИЧ

КИЛИН МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧЕРНЫХ РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

АСЕЕВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

ПРИТУПОВА КРИСТИНА ОЛЕГОВНА

КАПУСТИНА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

БАГАЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

АСАУЛЮК ДЕНИС ОЛЕГОВИЧ

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

ФАНДИКОВ ИВАН АНАТОЛЬЕВИЧ

ПЕТРОВ ВЯЧЕСЛАВ ИГОРЕВИЧ

КУЛИКОВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ДНЕПРОВСКИЙ АНДРЕЙ ЮРЬЕВИЧ

ЗВЕРЬКОВ ЕГОР ВЛАДИМИРОВИЧ

БОЛЬШОЕ СПОСИБО ЗА ПРЕДОСТАВЛЕННУЮ

ТЕХНИКУ

ЧАГДУРОВОЙ ЭЛЬВИРЕ ЦИДЕНОВНЕ

ППРАРПРАПРПАР

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27

Решение геометрических задачметодом дополнительного построения

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Выполнили работу ученики 9 laquoАraquo Задорожный К и Килин М

Задача 1Задача 1

ЗАДАЧА 1

bull Найти медианы треугольника если известны стороны abc

A

B

CB1

D

mb

B2

B2

c

c

a

a

Решение

(2mb) +b =2(a +c )4mb =2a +2c -b mb = 2a +2c -bАналогично доказывается чтоma = 2b +2c -amc = 2a +2b -c

2 2 2 2

222

2 2 2

222

2 22

2

12

1212

Рациональное решение геометрической задачи

Выполнили

Асеева Мария Притупова Кристина Капустина Оля

Найти площадь треугольника по трем известным медианам 3 4 5

ЗАДАЧА 2

I способ 1) Выразим медианы

треугольника через стороны по известным

формулам 4mb=2a+2c-b 4ma=2b+2c-a 4mc=2a+2b-c

2) Решив эту систему найдем стороны треугольника АВС а затем по формуле Герона

найдем площадь треугольника

A

B

C

A 1

B1

C1

2 2 2

222

222

II способ I)Продолжим медиану ВК на расстояние

равное ОК II) Проведем прямые АP и СP

которые пересекутся в точке Р III) Рассмотрим 2 треугольника

ΔАОВ и Δ АОР

A

B

C

E DO

K

P

1) SΔ ABО = SΔ AOP = ⅓ ∙ SΔ ABC

CО=AP = ⅔ ∙ 5 = 3⅓ AО = ⅔ ∙ 4 = 2⅔ ОP = ⅔ ∙ 3 = 2 2)Найдем площадь треугольника АОР по формуле Герона SΔ AOP = radic p(p-a)(p-b)(p-c) p = (3⅓ + 2⅔ + 2) 2 = 4 SΔ AOP = radic 4∙(4-3⅓)(4-2⅔)(4-2)=radic4∙⅔∙1⅓∙2=2⅔ 3) SΔ ABC = 3 ∙2⅔ = 8

3 СПОСОБ

О

Дано ABC CC1=5 BB1=4 AA1=3

где СС1 ВВ1 и АА1 ndash медианыНайти SАВС

A

B

CB1

A1C1

P

D

EN

M

K

Построение и решение1 Продлить медианы АА1 ВВ1СС1 на 13

длины Получим точки ДРЕ2 Провести прямые АДВЕСР

Получим ∆ NMK длины которого равныNM= 2AA1

MK= 2BB1

NK = 2CC1 те NM=6 MK=8 NK=10

Так как 102=82+62 то ∆ NMK ndash прямоугольный

3 SABC = 13S NMK = 13 frac12 8 6=8

Ответ8

ЗАДАЧА 3

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны а сумма её оснований равна 10 см

Найти площадь трапеции

ПОДГОТОВИЛИ БАГАЕВ А АСАУЛЮК Д

ЛИПАТОВА Ж

DA

B C

E

1) Произведём параллельный перенос диагонали BD на вектор ВС

2) SABCD=SACE тк BC+AD=AE и СН - общая высота

Н

Дано ABCD-равнобедренная трапеция BC+AD=10 см

AC BD

РЕШЕНИЕ

3) АС=СЕ тк диагонали равнобедренной трапеции равны

4) Найдём АС

Пусть АС=х тогда по теореме Пифагора имеем

Х2 +Х2 =100

2Х2 =100

Х2 =50

Х=5

5)SACE=12(5 )2=1250=25

A

C

E

х х

Н

2

2

ОТВЕТ 25 см2

ЗАДАЧА 4

Найдите площадь равнобедренной трапеции у которой высота

равна h а диагонали взаимно перпендикулярны

А

В С

H D

h

EK

РЕШЕНИЕ1)Треугольник ACE-прямоугольный и

равнобедренный

2)CK- медиана биссектриса и высота

3)CK=AK=h

4)По теореме Пифагора AC= h2+h2=

h 2

5)Sтр ABCD=S ACE= h 2 h 2=h2

A

C

EK

1

2

Ответ h22

Задача 5

Диагонали трапеции равны 3 и 5 а отрезок соединяющий середины оснований равен 2 Найти площадь трапеции

Выполнили Петров В Куликов П Черных Р

A

B C

D

N

MK E

F H

Дано ABCD ndash трапеция CA=3BD=5NM=2BN = NCAM = MD НайтиSABCD

Решение

1) Выполним параллельный перенос диагонали CA на вектор CN и диагонали CA на вектор CN

2) Получим KNE где KE=BC+AD и NM-медиана KN =3 NE=5 NM=2

3) SKNE = SABCD

4) Рассмотрим KNE

K

N

E

R

M xx

3

3

2

2

5

5

KM = ME = x

(2x) + 4 = 2(3 + 5 )

4x + 16 = 68

x = 13 KE = 2 13

5) KNM-прямоугольный

тк ( 13 ) = 3 +2 =

KNM = 90 SKNM=

23 =3 = SKNE

=23=6

Ответ SABCD=6

1

2 2

2

2

2

22 2

Задача 6

bull В трапеции ABCD AC перпендикулярна BD АС=16 BD=12 Найти среднюю линию

bull ( Эта задача предлагалась на централизованном тестировании по геометрии 2002 г)

ВЫПОЛНИЛИ ДНЕПРОВСКИЙ А

ЗВЕРЬКОВ Е

Способ 1

А

В C

D

О

KH

Х y

12 - y16 ndash

x

Решение AO = x DO = y OC = 16 ndash x BO = 12 ndash y∆BOC подобен ∆DOA 12 - y ∕ y = 16 - x ∕ x 12x ndash xy = 16y ndash xy 3x = 4y y = frac34x3x = 4y y = frac34x Sтр = frac12x middot frac34x + frac12(16 ndash x)(12 - frac34x)+ +frac12(16 ndash x) middot frac34x + frac12x middot (12 - frac34x) = ⅜xsup2 + frac12(192 ndash 12x ndash -12x + frac34xsup2) + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = ⅜xsup2 + 96 ndash 6x ndash 6x ++ ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = 96ADsup2 = xsup2 + (frac34xsup2) = 2516 xsup2 AD = 54 xx middot frac34x = 54x middot OK OK = x middot frac34x ∕ 54x = 35x∆BHD подобен ∆OKD =gt BHOK = BDOD BH ∕ 35x == 12 ∕ frac34x =gt BH = 365x middot 43x = 96Sтр AD + BC ∕ 2 middot BH 54x + BC ∕ 2 middot 96 = 9654x + BC ∕ 2 = MNMN middot 96 = 96MN = 10

N M

Ответ MN = 10

А

В

D D1

Перенесём диагональ BD на вектор ВС Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD1 где гипотенуза AD1 равна сумме оснований трапеции ABCD тк DBCD1

параллелограмм где BC=DD1 BD=CD1 Из ACD1 ADsup21 =ACsup2+CDsup21ADsup21 = 16sup2+12sup2=256+144=400ADsup21=400AD1=20 Средняя линия треугольника равна половине суммы оснований те MN= AD12=202=10

12

оХ

16-х

y

12-y

Способ 2

С

N M

Ответ NM = 10

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Над задачами работали

ЗАДОРОЖНЫЙ КОНСТАНТИН СЕРГЕЕВИЧ

КИЛИН МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧЕРНЫХ РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

АСЕЕВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

ПРИТУПОВА КРИСТИНА ОЛЕГОВНА

КАПУСТИНА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

БАГАЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

АСАУЛЮК ДЕНИС ОЛЕГОВИЧ

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

ФАНДИКОВ ИВАН АНАТОЛЬЕВИЧ

ПЕТРОВ ВЯЧЕСЛАВ ИГОРЕВИЧ

КУЛИКОВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ДНЕПРОВСКИЙ АНДРЕЙ ЮРЬЕВИЧ

ЗВЕРЬКОВ ЕГОР ВЛАДИМИРОВИЧ

БОЛЬШОЕ СПОСИБО ЗА ПРЕДОСТАВЛЕННУЮ

ТЕХНИКУ

ЧАГДУРОВОЙ ЭЛЬВИРЕ ЦИДЕНОВНЕ

ППРАРПРАПРПАР

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27

ЗАДАЧА 1

bull Найти медианы треугольника если известны стороны abc

A

B

CB1

D

mb

B2

B2

c

c

a

a

Решение

(2mb) +b =2(a +c )4mb =2a +2c -b mb = 2a +2c -bАналогично доказывается чтоma = 2b +2c -amc = 2a +2b -c

2 2 2 2

222

2 2 2

222

2 22

2

12

1212

Рациональное решение геометрической задачи

Выполнили

Асеева Мария Притупова Кристина Капустина Оля

Найти площадь треугольника по трем известным медианам 3 4 5

ЗАДАЧА 2

I способ 1) Выразим медианы

треугольника через стороны по известным

формулам 4mb=2a+2c-b 4ma=2b+2c-a 4mc=2a+2b-c

2) Решив эту систему найдем стороны треугольника АВС а затем по формуле Герона

найдем площадь треугольника

A

B

C

A 1

B1

C1

2 2 2

222

222

II способ I)Продолжим медиану ВК на расстояние

равное ОК II) Проведем прямые АP и СP

которые пересекутся в точке Р III) Рассмотрим 2 треугольника

ΔАОВ и Δ АОР

A

B

C

E DO

K

P

1) SΔ ABО = SΔ AOP = ⅓ ∙ SΔ ABC

CО=AP = ⅔ ∙ 5 = 3⅓ AО = ⅔ ∙ 4 = 2⅔ ОP = ⅔ ∙ 3 = 2 2)Найдем площадь треугольника АОР по формуле Герона SΔ AOP = radic p(p-a)(p-b)(p-c) p = (3⅓ + 2⅔ + 2) 2 = 4 SΔ AOP = radic 4∙(4-3⅓)(4-2⅔)(4-2)=radic4∙⅔∙1⅓∙2=2⅔ 3) SΔ ABC = 3 ∙2⅔ = 8

3 СПОСОБ

О

Дано ABC CC1=5 BB1=4 AA1=3

где СС1 ВВ1 и АА1 ndash медианыНайти SАВС

A

B

CB1

A1C1

P

D

EN

M

K

Построение и решение1 Продлить медианы АА1 ВВ1СС1 на 13

длины Получим точки ДРЕ2 Провести прямые АДВЕСР

Получим ∆ NMK длины которого равныNM= 2AA1

MK= 2BB1

NK = 2CC1 те NM=6 MK=8 NK=10

Так как 102=82+62 то ∆ NMK ndash прямоугольный

3 SABC = 13S NMK = 13 frac12 8 6=8

Ответ8

ЗАДАЧА 3

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны а сумма её оснований равна 10 см

Найти площадь трапеции

ПОДГОТОВИЛИ БАГАЕВ А АСАУЛЮК Д

ЛИПАТОВА Ж

DA

B C

E

1) Произведём параллельный перенос диагонали BD на вектор ВС

2) SABCD=SACE тк BC+AD=AE и СН - общая высота

Н

Дано ABCD-равнобедренная трапеция BC+AD=10 см

AC BD

РЕШЕНИЕ

3) АС=СЕ тк диагонали равнобедренной трапеции равны

4) Найдём АС

Пусть АС=х тогда по теореме Пифагора имеем

Х2 +Х2 =100

2Х2 =100

Х2 =50

Х=5

5)SACE=12(5 )2=1250=25

A

C

E

х х

Н

2

2

ОТВЕТ 25 см2

ЗАДАЧА 4

Найдите площадь равнобедренной трапеции у которой высота

равна h а диагонали взаимно перпендикулярны

А

В С

H D

h

EK

РЕШЕНИЕ1)Треугольник ACE-прямоугольный и

равнобедренный

2)CK- медиана биссектриса и высота

3)CK=AK=h

4)По теореме Пифагора AC= h2+h2=

h 2

5)Sтр ABCD=S ACE= h 2 h 2=h2

A

C

EK

1

2

Ответ h22

Задача 5

Диагонали трапеции равны 3 и 5 а отрезок соединяющий середины оснований равен 2 Найти площадь трапеции

Выполнили Петров В Куликов П Черных Р

A

B C

D

N

MK E

F H

Дано ABCD ndash трапеция CA=3BD=5NM=2BN = NCAM = MD НайтиSABCD

Решение

1) Выполним параллельный перенос диагонали CA на вектор CN и диагонали CA на вектор CN

2) Получим KNE где KE=BC+AD и NM-медиана KN =3 NE=5 NM=2

3) SKNE = SABCD

4) Рассмотрим KNE

K

N

E

R

M xx

3

3

2

2

5

5

KM = ME = x

(2x) + 4 = 2(3 + 5 )

4x + 16 = 68

x = 13 KE = 2 13

5) KNM-прямоугольный

тк ( 13 ) = 3 +2 =

KNM = 90 SKNM=

23 =3 = SKNE

=23=6

Ответ SABCD=6

1

2 2

2

2

2

22 2

Задача 6

bull В трапеции ABCD AC перпендикулярна BD АС=16 BD=12 Найти среднюю линию

bull ( Эта задача предлагалась на централизованном тестировании по геометрии 2002 г)

ВЫПОЛНИЛИ ДНЕПРОВСКИЙ А

ЗВЕРЬКОВ Е

Способ 1

А

В C

D

О

KH

Х y

12 - y16 ndash

x

Решение AO = x DO = y OC = 16 ndash x BO = 12 ndash y∆BOC подобен ∆DOA 12 - y ∕ y = 16 - x ∕ x 12x ndash xy = 16y ndash xy 3x = 4y y = frac34x3x = 4y y = frac34x Sтр = frac12x middot frac34x + frac12(16 ndash x)(12 - frac34x)+ +frac12(16 ndash x) middot frac34x + frac12x middot (12 - frac34x) = ⅜xsup2 + frac12(192 ndash 12x ndash -12x + frac34xsup2) + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = ⅜xsup2 + 96 ndash 6x ndash 6x ++ ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = 96ADsup2 = xsup2 + (frac34xsup2) = 2516 xsup2 AD = 54 xx middot frac34x = 54x middot OK OK = x middot frac34x ∕ 54x = 35x∆BHD подобен ∆OKD =gt BHOK = BDOD BH ∕ 35x == 12 ∕ frac34x =gt BH = 365x middot 43x = 96Sтр AD + BC ∕ 2 middot BH 54x + BC ∕ 2 middot 96 = 9654x + BC ∕ 2 = MNMN middot 96 = 96MN = 10

N M

Ответ MN = 10

А

В

D D1

Перенесём диагональ BD на вектор ВС Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD1 где гипотенуза AD1 равна сумме оснований трапеции ABCD тк DBCD1

параллелограмм где BC=DD1 BD=CD1 Из ACD1 ADsup21 =ACsup2+CDsup21ADsup21 = 16sup2+12sup2=256+144=400ADsup21=400AD1=20 Средняя линия треугольника равна половине суммы оснований те MN= AD12=202=10

12

оХ

16-х

y

12-y

Способ 2

С

N M

Ответ NM = 10

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Над задачами работали

ЗАДОРОЖНЫЙ КОНСТАНТИН СЕРГЕЕВИЧ

КИЛИН МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧЕРНЫХ РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

АСЕЕВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

ПРИТУПОВА КРИСТИНА ОЛЕГОВНА

КАПУСТИНА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

БАГАЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

АСАУЛЮК ДЕНИС ОЛЕГОВИЧ

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

ФАНДИКОВ ИВАН АНАТОЛЬЕВИЧ

ПЕТРОВ ВЯЧЕСЛАВ ИГОРЕВИЧ

КУЛИКОВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ДНЕПРОВСКИЙ АНДРЕЙ ЮРЬЕВИЧ

ЗВЕРЬКОВ ЕГОР ВЛАДИМИРОВИЧ

БОЛЬШОЕ СПОСИБО ЗА ПРЕДОСТАВЛЕННУЮ

ТЕХНИКУ

ЧАГДУРОВОЙ ЭЛЬВИРЕ ЦИДЕНОВНЕ

ППРАРПРАПРПАР

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27

A

B

CB1

D

mb

B2

B2

c

c

a

a

Решение

(2mb) +b =2(a +c )4mb =2a +2c -b mb = 2a +2c -bАналогично доказывается чтоma = 2b +2c -amc = 2a +2b -c

2 2 2 2

222

2 2 2

222

2 22

2

12

1212

Рациональное решение геометрической задачи

Выполнили

Асеева Мария Притупова Кристина Капустина Оля

Найти площадь треугольника по трем известным медианам 3 4 5

ЗАДАЧА 2

I способ 1) Выразим медианы

треугольника через стороны по известным

формулам 4mb=2a+2c-b 4ma=2b+2c-a 4mc=2a+2b-c

2) Решив эту систему найдем стороны треугольника АВС а затем по формуле Герона

найдем площадь треугольника

A

B

C

A 1

B1

C1

2 2 2

222

222

II способ I)Продолжим медиану ВК на расстояние

равное ОК II) Проведем прямые АP и СP

которые пересекутся в точке Р III) Рассмотрим 2 треугольника

ΔАОВ и Δ АОР

A

B

C

E DO

K

P

1) SΔ ABО = SΔ AOP = ⅓ ∙ SΔ ABC

CО=AP = ⅔ ∙ 5 = 3⅓ AО = ⅔ ∙ 4 = 2⅔ ОP = ⅔ ∙ 3 = 2 2)Найдем площадь треугольника АОР по формуле Герона SΔ AOP = radic p(p-a)(p-b)(p-c) p = (3⅓ + 2⅔ + 2) 2 = 4 SΔ AOP = radic 4∙(4-3⅓)(4-2⅔)(4-2)=radic4∙⅔∙1⅓∙2=2⅔ 3) SΔ ABC = 3 ∙2⅔ = 8

3 СПОСОБ

О

Дано ABC CC1=5 BB1=4 AA1=3

где СС1 ВВ1 и АА1 ndash медианыНайти SАВС

A

B

CB1

A1C1

P

D

EN

M

K

Построение и решение1 Продлить медианы АА1 ВВ1СС1 на 13

длины Получим точки ДРЕ2 Провести прямые АДВЕСР

Получим ∆ NMK длины которого равныNM= 2AA1

MK= 2BB1

NK = 2CC1 те NM=6 MK=8 NK=10

Так как 102=82+62 то ∆ NMK ndash прямоугольный

3 SABC = 13S NMK = 13 frac12 8 6=8

Ответ8

ЗАДАЧА 3

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны а сумма её оснований равна 10 см

Найти площадь трапеции

ПОДГОТОВИЛИ БАГАЕВ А АСАУЛЮК Д

ЛИПАТОВА Ж

DA

B C

E

1) Произведём параллельный перенос диагонали BD на вектор ВС

2) SABCD=SACE тк BC+AD=AE и СН - общая высота

Н

Дано ABCD-равнобедренная трапеция BC+AD=10 см

AC BD

РЕШЕНИЕ

3) АС=СЕ тк диагонали равнобедренной трапеции равны

4) Найдём АС

Пусть АС=х тогда по теореме Пифагора имеем

Х2 +Х2 =100

2Х2 =100

Х2 =50

Х=5

5)SACE=12(5 )2=1250=25

A

C

E

х х

Н

2

2

ОТВЕТ 25 см2

ЗАДАЧА 4

Найдите площадь равнобедренной трапеции у которой высота

равна h а диагонали взаимно перпендикулярны

А

В С

H D

h

EK

РЕШЕНИЕ1)Треугольник ACE-прямоугольный и

равнобедренный

2)CK- медиана биссектриса и высота

3)CK=AK=h

4)По теореме Пифагора AC= h2+h2=

h 2

5)Sтр ABCD=S ACE= h 2 h 2=h2

A

C

EK

1

2

Ответ h22

Задача 5

Диагонали трапеции равны 3 и 5 а отрезок соединяющий середины оснований равен 2 Найти площадь трапеции

Выполнили Петров В Куликов П Черных Р

A

B C

D

N

MK E

F H

Дано ABCD ndash трапеция CA=3BD=5NM=2BN = NCAM = MD НайтиSABCD

Решение

1) Выполним параллельный перенос диагонали CA на вектор CN и диагонали CA на вектор CN

2) Получим KNE где KE=BC+AD и NM-медиана KN =3 NE=5 NM=2

3) SKNE = SABCD

4) Рассмотрим KNE

K

N

E

R

M xx

3

3

2

2

5

5

KM = ME = x

(2x) + 4 = 2(3 + 5 )

4x + 16 = 68

x = 13 KE = 2 13

5) KNM-прямоугольный

тк ( 13 ) = 3 +2 =

KNM = 90 SKNM=

23 =3 = SKNE

=23=6

Ответ SABCD=6

1

2 2

2

2

2

22 2

Задача 6

bull В трапеции ABCD AC перпендикулярна BD АС=16 BD=12 Найти среднюю линию

bull ( Эта задача предлагалась на централизованном тестировании по геометрии 2002 г)

ВЫПОЛНИЛИ ДНЕПРОВСКИЙ А

ЗВЕРЬКОВ Е

Способ 1

А

В C

D

О

KH

Х y

12 - y16 ndash

x

Решение AO = x DO = y OC = 16 ndash x BO = 12 ndash y∆BOC подобен ∆DOA 12 - y ∕ y = 16 - x ∕ x 12x ndash xy = 16y ndash xy 3x = 4y y = frac34x3x = 4y y = frac34x Sтр = frac12x middot frac34x + frac12(16 ndash x)(12 - frac34x)+ +frac12(16 ndash x) middot frac34x + frac12x middot (12 - frac34x) = ⅜xsup2 + frac12(192 ndash 12x ndash -12x + frac34xsup2) + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = ⅜xsup2 + 96 ndash 6x ndash 6x ++ ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = 96ADsup2 = xsup2 + (frac34xsup2) = 2516 xsup2 AD = 54 xx middot frac34x = 54x middot OK OK = x middot frac34x ∕ 54x = 35x∆BHD подобен ∆OKD =gt BHOK = BDOD BH ∕ 35x == 12 ∕ frac34x =gt BH = 365x middot 43x = 96Sтр AD + BC ∕ 2 middot BH 54x + BC ∕ 2 middot 96 = 9654x + BC ∕ 2 = MNMN middot 96 = 96MN = 10

N M

Ответ MN = 10

А

В

D D1

Перенесём диагональ BD на вектор ВС Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD1 где гипотенуза AD1 равна сумме оснований трапеции ABCD тк DBCD1

параллелограмм где BC=DD1 BD=CD1 Из ACD1 ADsup21 =ACsup2+CDsup21ADsup21 = 16sup2+12sup2=256+144=400ADsup21=400AD1=20 Средняя линия треугольника равна половине суммы оснований те MN= AD12=202=10

12

оХ

16-х

y

12-y

Способ 2

С

N M

Ответ NM = 10

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Над задачами работали

ЗАДОРОЖНЫЙ КОНСТАНТИН СЕРГЕЕВИЧ

КИЛИН МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧЕРНЫХ РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

АСЕЕВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

ПРИТУПОВА КРИСТИНА ОЛЕГОВНА

КАПУСТИНА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

БАГАЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

АСАУЛЮК ДЕНИС ОЛЕГОВИЧ

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

ФАНДИКОВ ИВАН АНАТОЛЬЕВИЧ

ПЕТРОВ ВЯЧЕСЛАВ ИГОРЕВИЧ

КУЛИКОВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ДНЕПРОВСКИЙ АНДРЕЙ ЮРЬЕВИЧ

ЗВЕРЬКОВ ЕГОР ВЛАДИМИРОВИЧ

БОЛЬШОЕ СПОСИБО ЗА ПРЕДОСТАВЛЕННУЮ

ТЕХНИКУ

ЧАГДУРОВОЙ ЭЛЬВИРЕ ЦИДЕНОВНЕ

ППРАРПРАПРПАР

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27

Решение

(2mb) +b =2(a +c )4mb =2a +2c -b mb = 2a +2c -bАналогично доказывается чтоma = 2b +2c -amc = 2a +2b -c

2 2 2 2

222

2 2 2

222

2 22

2

12

1212

Рациональное решение геометрической задачи

Выполнили

Асеева Мария Притупова Кристина Капустина Оля

Найти площадь треугольника по трем известным медианам 3 4 5

ЗАДАЧА 2

I способ 1) Выразим медианы

треугольника через стороны по известным

формулам 4mb=2a+2c-b 4ma=2b+2c-a 4mc=2a+2b-c

2) Решив эту систему найдем стороны треугольника АВС а затем по формуле Герона

найдем площадь треугольника

A

B

C

A 1

B1

C1

2 2 2

222

222

II способ I)Продолжим медиану ВК на расстояние

равное ОК II) Проведем прямые АP и СP

которые пересекутся в точке Р III) Рассмотрим 2 треугольника

ΔАОВ и Δ АОР

A

B

C

E DO

K

P

1) SΔ ABО = SΔ AOP = ⅓ ∙ SΔ ABC

CО=AP = ⅔ ∙ 5 = 3⅓ AО = ⅔ ∙ 4 = 2⅔ ОP = ⅔ ∙ 3 = 2 2)Найдем площадь треугольника АОР по формуле Герона SΔ AOP = radic p(p-a)(p-b)(p-c) p = (3⅓ + 2⅔ + 2) 2 = 4 SΔ AOP = radic 4∙(4-3⅓)(4-2⅔)(4-2)=radic4∙⅔∙1⅓∙2=2⅔ 3) SΔ ABC = 3 ∙2⅔ = 8

3 СПОСОБ

О

Дано ABC CC1=5 BB1=4 AA1=3

где СС1 ВВ1 и АА1 ndash медианыНайти SАВС

A

B

CB1

A1C1

P

D

EN

M

K

Построение и решение1 Продлить медианы АА1 ВВ1СС1 на 13

длины Получим точки ДРЕ2 Провести прямые АДВЕСР

Получим ∆ NMK длины которого равныNM= 2AA1

MK= 2BB1

NK = 2CC1 те NM=6 MK=8 NK=10

Так как 102=82+62 то ∆ NMK ndash прямоугольный

3 SABC = 13S NMK = 13 frac12 8 6=8

Ответ8

ЗАДАЧА 3

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны а сумма её оснований равна 10 см

Найти площадь трапеции

ПОДГОТОВИЛИ БАГАЕВ А АСАУЛЮК Д

ЛИПАТОВА Ж

DA

B C

E

1) Произведём параллельный перенос диагонали BD на вектор ВС

2) SABCD=SACE тк BC+AD=AE и СН - общая высота

Н

Дано ABCD-равнобедренная трапеция BC+AD=10 см

AC BD

РЕШЕНИЕ

3) АС=СЕ тк диагонали равнобедренной трапеции равны

4) Найдём АС

Пусть АС=х тогда по теореме Пифагора имеем

Х2 +Х2 =100

2Х2 =100

Х2 =50

Х=5

5)SACE=12(5 )2=1250=25

A

C

E

х х

Н

2

2

ОТВЕТ 25 см2

ЗАДАЧА 4

Найдите площадь равнобедренной трапеции у которой высота

равна h а диагонали взаимно перпендикулярны

А

В С

H D

h

EK

РЕШЕНИЕ1)Треугольник ACE-прямоугольный и

равнобедренный

2)CK- медиана биссектриса и высота

3)CK=AK=h

4)По теореме Пифагора AC= h2+h2=

h 2

5)Sтр ABCD=S ACE= h 2 h 2=h2

A

C

EK

1

2

Ответ h22

Задача 5

Диагонали трапеции равны 3 и 5 а отрезок соединяющий середины оснований равен 2 Найти площадь трапеции

Выполнили Петров В Куликов П Черных Р

A

B C

D

N

MK E

F H

Дано ABCD ndash трапеция CA=3BD=5NM=2BN = NCAM = MD НайтиSABCD

Решение

1) Выполним параллельный перенос диагонали CA на вектор CN и диагонали CA на вектор CN

2) Получим KNE где KE=BC+AD и NM-медиана KN =3 NE=5 NM=2

3) SKNE = SABCD

4) Рассмотрим KNE

K

N

E

R

M xx

3

3

2

2

5

5

KM = ME = x

(2x) + 4 = 2(3 + 5 )

4x + 16 = 68

x = 13 KE = 2 13

5) KNM-прямоугольный

тк ( 13 ) = 3 +2 =

KNM = 90 SKNM=

23 =3 = SKNE

=23=6

Ответ SABCD=6

1

2 2

2

2

2

22 2

Задача 6

bull В трапеции ABCD AC перпендикулярна BD АС=16 BD=12 Найти среднюю линию

bull ( Эта задача предлагалась на централизованном тестировании по геометрии 2002 г)

ВЫПОЛНИЛИ ДНЕПРОВСКИЙ А

ЗВЕРЬКОВ Е

Способ 1

А

В C

D

О

KH

Х y

12 - y16 ndash

x

Решение AO = x DO = y OC = 16 ndash x BO = 12 ndash y∆BOC подобен ∆DOA 12 - y ∕ y = 16 - x ∕ x 12x ndash xy = 16y ndash xy 3x = 4y y = frac34x3x = 4y y = frac34x Sтр = frac12x middot frac34x + frac12(16 ndash x)(12 - frac34x)+ +frac12(16 ndash x) middot frac34x + frac12x middot (12 - frac34x) = ⅜xsup2 + frac12(192 ndash 12x ndash -12x + frac34xsup2) + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = ⅜xsup2 + 96 ndash 6x ndash 6x ++ ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = 96ADsup2 = xsup2 + (frac34xsup2) = 2516 xsup2 AD = 54 xx middot frac34x = 54x middot OK OK = x middot frac34x ∕ 54x = 35x∆BHD подобен ∆OKD =gt BHOK = BDOD BH ∕ 35x == 12 ∕ frac34x =gt BH = 365x middot 43x = 96Sтр AD + BC ∕ 2 middot BH 54x + BC ∕ 2 middot 96 = 9654x + BC ∕ 2 = MNMN middot 96 = 96MN = 10

N M

Ответ MN = 10

А

В

D D1

Перенесём диагональ BD на вектор ВС Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD1 где гипотенуза AD1 равна сумме оснований трапеции ABCD тк DBCD1

параллелограмм где BC=DD1 BD=CD1 Из ACD1 ADsup21 =ACsup2+CDsup21ADsup21 = 16sup2+12sup2=256+144=400ADsup21=400AD1=20 Средняя линия треугольника равна половине суммы оснований те MN= AD12=202=10

12

оХ

16-х

y

12-y

Способ 2

С

N M

Ответ NM = 10

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Над задачами работали

ЗАДОРОЖНЫЙ КОНСТАНТИН СЕРГЕЕВИЧ

КИЛИН МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧЕРНЫХ РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

АСЕЕВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

ПРИТУПОВА КРИСТИНА ОЛЕГОВНА

КАПУСТИНА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

БАГАЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

АСАУЛЮК ДЕНИС ОЛЕГОВИЧ

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

ФАНДИКОВ ИВАН АНАТОЛЬЕВИЧ

ПЕТРОВ ВЯЧЕСЛАВ ИГОРЕВИЧ

КУЛИКОВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ДНЕПРОВСКИЙ АНДРЕЙ ЮРЬЕВИЧ

ЗВЕРЬКОВ ЕГОР ВЛАДИМИРОВИЧ

БОЛЬШОЕ СПОСИБО ЗА ПРЕДОСТАВЛЕННУЮ

ТЕХНИКУ

ЧАГДУРОВОЙ ЭЛЬВИРЕ ЦИДЕНОВНЕ

ППРАРПРАПРПАР

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27

Рациональное решение геометрической задачи

Выполнили

Асеева Мария Притупова Кристина Капустина Оля

Найти площадь треугольника по трем известным медианам 3 4 5

ЗАДАЧА 2

I способ 1) Выразим медианы

треугольника через стороны по известным

формулам 4mb=2a+2c-b 4ma=2b+2c-a 4mc=2a+2b-c

2) Решив эту систему найдем стороны треугольника АВС а затем по формуле Герона

найдем площадь треугольника

A

B

C

A 1

B1

C1

2 2 2

222

222

II способ I)Продолжим медиану ВК на расстояние

равное ОК II) Проведем прямые АP и СP

которые пересекутся в точке Р III) Рассмотрим 2 треугольника

ΔАОВ и Δ АОР

A

B

C

E DO

K

P

1) SΔ ABО = SΔ AOP = ⅓ ∙ SΔ ABC

CО=AP = ⅔ ∙ 5 = 3⅓ AО = ⅔ ∙ 4 = 2⅔ ОP = ⅔ ∙ 3 = 2 2)Найдем площадь треугольника АОР по формуле Герона SΔ AOP = radic p(p-a)(p-b)(p-c) p = (3⅓ + 2⅔ + 2) 2 = 4 SΔ AOP = radic 4∙(4-3⅓)(4-2⅔)(4-2)=radic4∙⅔∙1⅓∙2=2⅔ 3) SΔ ABC = 3 ∙2⅔ = 8

3 СПОСОБ

О

Дано ABC CC1=5 BB1=4 AA1=3

где СС1 ВВ1 и АА1 ndash медианыНайти SАВС

A

B

CB1

A1C1

P

D

EN

M

K

Построение и решение1 Продлить медианы АА1 ВВ1СС1 на 13

длины Получим точки ДРЕ2 Провести прямые АДВЕСР

Получим ∆ NMK длины которого равныNM= 2AA1

MK= 2BB1

NK = 2CC1 те NM=6 MK=8 NK=10

Так как 102=82+62 то ∆ NMK ndash прямоугольный

3 SABC = 13S NMK = 13 frac12 8 6=8

Ответ8

ЗАДАЧА 3

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны а сумма её оснований равна 10 см

Найти площадь трапеции

ПОДГОТОВИЛИ БАГАЕВ А АСАУЛЮК Д

ЛИПАТОВА Ж

DA

B C

E

1) Произведём параллельный перенос диагонали BD на вектор ВС

2) SABCD=SACE тк BC+AD=AE и СН - общая высота

Н

Дано ABCD-равнобедренная трапеция BC+AD=10 см

AC BD

РЕШЕНИЕ

3) АС=СЕ тк диагонали равнобедренной трапеции равны

4) Найдём АС

Пусть АС=х тогда по теореме Пифагора имеем

Х2 +Х2 =100

2Х2 =100

Х2 =50

Х=5

5)SACE=12(5 )2=1250=25

A

C

E

х х

Н

2

2

ОТВЕТ 25 см2

ЗАДАЧА 4

Найдите площадь равнобедренной трапеции у которой высота

равна h а диагонали взаимно перпендикулярны

А

В С

H D

h

EK

РЕШЕНИЕ1)Треугольник ACE-прямоугольный и

равнобедренный

2)CK- медиана биссектриса и высота

3)CK=AK=h

4)По теореме Пифагора AC= h2+h2=

h 2

5)Sтр ABCD=S ACE= h 2 h 2=h2

A

C

EK

1

2

Ответ h22

Задача 5

Диагонали трапеции равны 3 и 5 а отрезок соединяющий середины оснований равен 2 Найти площадь трапеции

Выполнили Петров В Куликов П Черных Р

A

B C

D

N

MK E

F H

Дано ABCD ndash трапеция CA=3BD=5NM=2BN = NCAM = MD НайтиSABCD

Решение

1) Выполним параллельный перенос диагонали CA на вектор CN и диагонали CA на вектор CN

2) Получим KNE где KE=BC+AD и NM-медиана KN =3 NE=5 NM=2

3) SKNE = SABCD

4) Рассмотрим KNE

K

N

E

R

M xx

3

3

2

2

5

5

KM = ME = x

(2x) + 4 = 2(3 + 5 )

4x + 16 = 68

x = 13 KE = 2 13

5) KNM-прямоугольный

тк ( 13 ) = 3 +2 =

KNM = 90 SKNM=

23 =3 = SKNE

=23=6

Ответ SABCD=6

1

2 2

2

2

2

22 2

Задача 6

bull В трапеции ABCD AC перпендикулярна BD АС=16 BD=12 Найти среднюю линию

bull ( Эта задача предлагалась на централизованном тестировании по геометрии 2002 г)

ВЫПОЛНИЛИ ДНЕПРОВСКИЙ А

ЗВЕРЬКОВ Е

Способ 1

А

В C

D

О

KH

Х y

12 - y16 ndash

x

Решение AO = x DO = y OC = 16 ndash x BO = 12 ndash y∆BOC подобен ∆DOA 12 - y ∕ y = 16 - x ∕ x 12x ndash xy = 16y ndash xy 3x = 4y y = frac34x3x = 4y y = frac34x Sтр = frac12x middot frac34x + frac12(16 ndash x)(12 - frac34x)+ +frac12(16 ndash x) middot frac34x + frac12x middot (12 - frac34x) = ⅜xsup2 + frac12(192 ndash 12x ndash -12x + frac34xsup2) + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = ⅜xsup2 + 96 ndash 6x ndash 6x ++ ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = 96ADsup2 = xsup2 + (frac34xsup2) = 2516 xsup2 AD = 54 xx middot frac34x = 54x middot OK OK = x middot frac34x ∕ 54x = 35x∆BHD подобен ∆OKD =gt BHOK = BDOD BH ∕ 35x == 12 ∕ frac34x =gt BH = 365x middot 43x = 96Sтр AD + BC ∕ 2 middot BH 54x + BC ∕ 2 middot 96 = 9654x + BC ∕ 2 = MNMN middot 96 = 96MN = 10

N M

Ответ MN = 10

А

В

D D1

Перенесём диагональ BD на вектор ВС Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD1 где гипотенуза AD1 равна сумме оснований трапеции ABCD тк DBCD1

параллелограмм где BC=DD1 BD=CD1 Из ACD1 ADsup21 =ACsup2+CDsup21ADsup21 = 16sup2+12sup2=256+144=400ADsup21=400AD1=20 Средняя линия треугольника равна половине суммы оснований те MN= AD12=202=10

12

оХ

16-х

y

12-y

Способ 2

С

N M

Ответ NM = 10

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Над задачами работали

ЗАДОРОЖНЫЙ КОНСТАНТИН СЕРГЕЕВИЧ

КИЛИН МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧЕРНЫХ РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

АСЕЕВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

ПРИТУПОВА КРИСТИНА ОЛЕГОВНА

КАПУСТИНА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

БАГАЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

АСАУЛЮК ДЕНИС ОЛЕГОВИЧ

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

ФАНДИКОВ ИВАН АНАТОЛЬЕВИЧ

ПЕТРОВ ВЯЧЕСЛАВ ИГОРЕВИЧ

КУЛИКОВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ДНЕПРОВСКИЙ АНДРЕЙ ЮРЬЕВИЧ

ЗВЕРЬКОВ ЕГОР ВЛАДИМИРОВИЧ

БОЛЬШОЕ СПОСИБО ЗА ПРЕДОСТАВЛЕННУЮ

ТЕХНИКУ

ЧАГДУРОВОЙ ЭЛЬВИРЕ ЦИДЕНОВНЕ

ППРАРПРАПРПАР

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27

Найти площадь треугольника по трем известным медианам 3 4 5

ЗАДАЧА 2

I способ 1) Выразим медианы

треугольника через стороны по известным

формулам 4mb=2a+2c-b 4ma=2b+2c-a 4mc=2a+2b-c

2) Решив эту систему найдем стороны треугольника АВС а затем по формуле Герона

найдем площадь треугольника

A

B

C

A 1

B1

C1

2 2 2

222

222

II способ I)Продолжим медиану ВК на расстояние

равное ОК II) Проведем прямые АP и СP

которые пересекутся в точке Р III) Рассмотрим 2 треугольника

ΔАОВ и Δ АОР

A

B

C

E DO

K

P

1) SΔ ABО = SΔ AOP = ⅓ ∙ SΔ ABC

CО=AP = ⅔ ∙ 5 = 3⅓ AО = ⅔ ∙ 4 = 2⅔ ОP = ⅔ ∙ 3 = 2 2)Найдем площадь треугольника АОР по формуле Герона SΔ AOP = radic p(p-a)(p-b)(p-c) p = (3⅓ + 2⅔ + 2) 2 = 4 SΔ AOP = radic 4∙(4-3⅓)(4-2⅔)(4-2)=radic4∙⅔∙1⅓∙2=2⅔ 3) SΔ ABC = 3 ∙2⅔ = 8

3 СПОСОБ

О

Дано ABC CC1=5 BB1=4 AA1=3

где СС1 ВВ1 и АА1 ndash медианыНайти SАВС

A

B

CB1

A1C1

P

D

EN

M

K

Построение и решение1 Продлить медианы АА1 ВВ1СС1 на 13

длины Получим точки ДРЕ2 Провести прямые АДВЕСР

Получим ∆ NMK длины которого равныNM= 2AA1

MK= 2BB1

NK = 2CC1 те NM=6 MK=8 NK=10

Так как 102=82+62 то ∆ NMK ndash прямоугольный

3 SABC = 13S NMK = 13 frac12 8 6=8

Ответ8

ЗАДАЧА 3

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны а сумма её оснований равна 10 см

Найти площадь трапеции

ПОДГОТОВИЛИ БАГАЕВ А АСАУЛЮК Д

ЛИПАТОВА Ж

DA

B C

E

1) Произведём параллельный перенос диагонали BD на вектор ВС

2) SABCD=SACE тк BC+AD=AE и СН - общая высота

Н

Дано ABCD-равнобедренная трапеция BC+AD=10 см

AC BD

РЕШЕНИЕ

3) АС=СЕ тк диагонали равнобедренной трапеции равны

4) Найдём АС

Пусть АС=х тогда по теореме Пифагора имеем

Х2 +Х2 =100

2Х2 =100

Х2 =50

Х=5

5)SACE=12(5 )2=1250=25

A

C

E

х х

Н

2

2

ОТВЕТ 25 см2

ЗАДАЧА 4

Найдите площадь равнобедренной трапеции у которой высота

равна h а диагонали взаимно перпендикулярны

А

В С

H D

h

EK

РЕШЕНИЕ1)Треугольник ACE-прямоугольный и

равнобедренный

2)CK- медиана биссектриса и высота

3)CK=AK=h

4)По теореме Пифагора AC= h2+h2=

h 2

5)Sтр ABCD=S ACE= h 2 h 2=h2

A

C

EK

1

2

Ответ h22

Задача 5

Диагонали трапеции равны 3 и 5 а отрезок соединяющий середины оснований равен 2 Найти площадь трапеции

Выполнили Петров В Куликов П Черных Р

A

B C

D

N

MK E

F H

Дано ABCD ndash трапеция CA=3BD=5NM=2BN = NCAM = MD НайтиSABCD

Решение

1) Выполним параллельный перенос диагонали CA на вектор CN и диагонали CA на вектор CN

2) Получим KNE где KE=BC+AD и NM-медиана KN =3 NE=5 NM=2

3) SKNE = SABCD

4) Рассмотрим KNE

K

N

E

R

M xx

3

3

2

2

5

5

KM = ME = x

(2x) + 4 = 2(3 + 5 )

4x + 16 = 68

x = 13 KE = 2 13

5) KNM-прямоугольный

тк ( 13 ) = 3 +2 =

KNM = 90 SKNM=

23 =3 = SKNE

=23=6

Ответ SABCD=6

1

2 2

2

2

2

22 2

Задача 6

bull В трапеции ABCD AC перпендикулярна BD АС=16 BD=12 Найти среднюю линию

bull ( Эта задача предлагалась на централизованном тестировании по геометрии 2002 г)

ВЫПОЛНИЛИ ДНЕПРОВСКИЙ А

ЗВЕРЬКОВ Е

Способ 1

А

В C

D

О

KH

Х y

12 - y16 ndash

x

Решение AO = x DO = y OC = 16 ndash x BO = 12 ndash y∆BOC подобен ∆DOA 12 - y ∕ y = 16 - x ∕ x 12x ndash xy = 16y ndash xy 3x = 4y y = frac34x3x = 4y y = frac34x Sтр = frac12x middot frac34x + frac12(16 ndash x)(12 - frac34x)+ +frac12(16 ndash x) middot frac34x + frac12x middot (12 - frac34x) = ⅜xsup2 + frac12(192 ndash 12x ndash -12x + frac34xsup2) + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = ⅜xsup2 + 96 ndash 6x ndash 6x ++ ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = 96ADsup2 = xsup2 + (frac34xsup2) = 2516 xsup2 AD = 54 xx middot frac34x = 54x middot OK OK = x middot frac34x ∕ 54x = 35x∆BHD подобен ∆OKD =gt BHOK = BDOD BH ∕ 35x == 12 ∕ frac34x =gt BH = 365x middot 43x = 96Sтр AD + BC ∕ 2 middot BH 54x + BC ∕ 2 middot 96 = 9654x + BC ∕ 2 = MNMN middot 96 = 96MN = 10

N M

Ответ MN = 10

А

В

D D1

Перенесём диагональ BD на вектор ВС Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD1 где гипотенуза AD1 равна сумме оснований трапеции ABCD тк DBCD1

параллелограмм где BC=DD1 BD=CD1 Из ACD1 ADsup21 =ACsup2+CDsup21ADsup21 = 16sup2+12sup2=256+144=400ADsup21=400AD1=20 Средняя линия треугольника равна половине суммы оснований те MN= AD12=202=10

12

оХ

16-х

y

12-y

Способ 2

С

N M

Ответ NM = 10

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Над задачами работали

ЗАДОРОЖНЫЙ КОНСТАНТИН СЕРГЕЕВИЧ

КИЛИН МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧЕРНЫХ РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

АСЕЕВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

ПРИТУПОВА КРИСТИНА ОЛЕГОВНА

КАПУСТИНА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

БАГАЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

АСАУЛЮК ДЕНИС ОЛЕГОВИЧ

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

ФАНДИКОВ ИВАН АНАТОЛЬЕВИЧ

ПЕТРОВ ВЯЧЕСЛАВ ИГОРЕВИЧ

КУЛИКОВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ДНЕПРОВСКИЙ АНДРЕЙ ЮРЬЕВИЧ

ЗВЕРЬКОВ ЕГОР ВЛАДИМИРОВИЧ

БОЛЬШОЕ СПОСИБО ЗА ПРЕДОСТАВЛЕННУЮ

ТЕХНИКУ

ЧАГДУРОВОЙ ЭЛЬВИРЕ ЦИДЕНОВНЕ

ППРАРПРАПРПАР

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27

I способ 1) Выразим медианы

треугольника через стороны по известным

формулам 4mb=2a+2c-b 4ma=2b+2c-a 4mc=2a+2b-c

2) Решив эту систему найдем стороны треугольника АВС а затем по формуле Герона

найдем площадь треугольника

A

B

C

A 1

B1

C1

2 2 2

222

222

II способ I)Продолжим медиану ВК на расстояние

равное ОК II) Проведем прямые АP и СP

которые пересекутся в точке Р III) Рассмотрим 2 треугольника

ΔАОВ и Δ АОР

A

B

C

E DO

K

P

1) SΔ ABО = SΔ AOP = ⅓ ∙ SΔ ABC

CО=AP = ⅔ ∙ 5 = 3⅓ AО = ⅔ ∙ 4 = 2⅔ ОP = ⅔ ∙ 3 = 2 2)Найдем площадь треугольника АОР по формуле Герона SΔ AOP = radic p(p-a)(p-b)(p-c) p = (3⅓ + 2⅔ + 2) 2 = 4 SΔ AOP = radic 4∙(4-3⅓)(4-2⅔)(4-2)=radic4∙⅔∙1⅓∙2=2⅔ 3) SΔ ABC = 3 ∙2⅔ = 8

3 СПОСОБ

О

Дано ABC CC1=5 BB1=4 AA1=3

где СС1 ВВ1 и АА1 ndash медианыНайти SАВС

A

B

CB1

A1C1

P

D

EN

M

K

Построение и решение1 Продлить медианы АА1 ВВ1СС1 на 13

длины Получим точки ДРЕ2 Провести прямые АДВЕСР

Получим ∆ NMK длины которого равныNM= 2AA1

MK= 2BB1

NK = 2CC1 те NM=6 MK=8 NK=10

Так как 102=82+62 то ∆ NMK ndash прямоугольный

3 SABC = 13S NMK = 13 frac12 8 6=8

Ответ8

ЗАДАЧА 3

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны а сумма её оснований равна 10 см

Найти площадь трапеции

ПОДГОТОВИЛИ БАГАЕВ А АСАУЛЮК Д

ЛИПАТОВА Ж

DA

B C

E

1) Произведём параллельный перенос диагонали BD на вектор ВС

2) SABCD=SACE тк BC+AD=AE и СН - общая высота

Н

Дано ABCD-равнобедренная трапеция BC+AD=10 см

AC BD

РЕШЕНИЕ

3) АС=СЕ тк диагонали равнобедренной трапеции равны

4) Найдём АС

Пусть АС=х тогда по теореме Пифагора имеем

Х2 +Х2 =100

2Х2 =100

Х2 =50

Х=5

5)SACE=12(5 )2=1250=25

A

C

E

х х

Н

2

2

ОТВЕТ 25 см2

ЗАДАЧА 4

Найдите площадь равнобедренной трапеции у которой высота

равна h а диагонали взаимно перпендикулярны

А

В С

H D

h

EK

РЕШЕНИЕ1)Треугольник ACE-прямоугольный и

равнобедренный

2)CK- медиана биссектриса и высота

3)CK=AK=h

4)По теореме Пифагора AC= h2+h2=

h 2

5)Sтр ABCD=S ACE= h 2 h 2=h2

A

C

EK

1

2

Ответ h22

Задача 5

Диагонали трапеции равны 3 и 5 а отрезок соединяющий середины оснований равен 2 Найти площадь трапеции

Выполнили Петров В Куликов П Черных Р

A

B C

D

N

MK E

F H

Дано ABCD ndash трапеция CA=3BD=5NM=2BN = NCAM = MD НайтиSABCD

Решение

1) Выполним параллельный перенос диагонали CA на вектор CN и диагонали CA на вектор CN

2) Получим KNE где KE=BC+AD и NM-медиана KN =3 NE=5 NM=2

3) SKNE = SABCD

4) Рассмотрим KNE

K

N

E

R

M xx

3

3

2

2

5

5

KM = ME = x

(2x) + 4 = 2(3 + 5 )

4x + 16 = 68

x = 13 KE = 2 13

5) KNM-прямоугольный

тк ( 13 ) = 3 +2 =

KNM = 90 SKNM=

23 =3 = SKNE

=23=6

Ответ SABCD=6

1

2 2

2

2

2

22 2

Задача 6

bull В трапеции ABCD AC перпендикулярна BD АС=16 BD=12 Найти среднюю линию

bull ( Эта задача предлагалась на централизованном тестировании по геометрии 2002 г)

ВЫПОЛНИЛИ ДНЕПРОВСКИЙ А

ЗВЕРЬКОВ Е

Способ 1

А

В C

D

О

KH

Х y

12 - y16 ndash

x

Решение AO = x DO = y OC = 16 ndash x BO = 12 ndash y∆BOC подобен ∆DOA 12 - y ∕ y = 16 - x ∕ x 12x ndash xy = 16y ndash xy 3x = 4y y = frac34x3x = 4y y = frac34x Sтр = frac12x middot frac34x + frac12(16 ndash x)(12 - frac34x)+ +frac12(16 ndash x) middot frac34x + frac12x middot (12 - frac34x) = ⅜xsup2 + frac12(192 ndash 12x ndash -12x + frac34xsup2) + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = ⅜xsup2 + 96 ndash 6x ndash 6x ++ ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = 96ADsup2 = xsup2 + (frac34xsup2) = 2516 xsup2 AD = 54 xx middot frac34x = 54x middot OK OK = x middot frac34x ∕ 54x = 35x∆BHD подобен ∆OKD =gt BHOK = BDOD BH ∕ 35x == 12 ∕ frac34x =gt BH = 365x middot 43x = 96Sтр AD + BC ∕ 2 middot BH 54x + BC ∕ 2 middot 96 = 9654x + BC ∕ 2 = MNMN middot 96 = 96MN = 10

N M

Ответ MN = 10

А

В

D D1

Перенесём диагональ BD на вектор ВС Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD1 где гипотенуза AD1 равна сумме оснований трапеции ABCD тк DBCD1

параллелограмм где BC=DD1 BD=CD1 Из ACD1 ADsup21 =ACsup2+CDsup21ADsup21 = 16sup2+12sup2=256+144=400ADsup21=400AD1=20 Средняя линия треугольника равна половине суммы оснований те MN= AD12=202=10

12

оХ

16-х

y

12-y

Способ 2

С

N M

Ответ NM = 10

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Над задачами работали

ЗАДОРОЖНЫЙ КОНСТАНТИН СЕРГЕЕВИЧ

КИЛИН МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧЕРНЫХ РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

АСЕЕВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

ПРИТУПОВА КРИСТИНА ОЛЕГОВНА

КАПУСТИНА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

БАГАЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

АСАУЛЮК ДЕНИС ОЛЕГОВИЧ

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

ФАНДИКОВ ИВАН АНАТОЛЬЕВИЧ

ПЕТРОВ ВЯЧЕСЛАВ ИГОРЕВИЧ

КУЛИКОВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ДНЕПРОВСКИЙ АНДРЕЙ ЮРЬЕВИЧ

ЗВЕРЬКОВ ЕГОР ВЛАДИМИРОВИЧ

БОЛЬШОЕ СПОСИБО ЗА ПРЕДОСТАВЛЕННУЮ

ТЕХНИКУ

ЧАГДУРОВОЙ ЭЛЬВИРЕ ЦИДЕНОВНЕ

ППРАРПРАПРПАР

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27

II способ I)Продолжим медиану ВК на расстояние

равное ОК II) Проведем прямые АP и СP

которые пересекутся в точке Р III) Рассмотрим 2 треугольника

ΔАОВ и Δ АОР

A

B

C

E DO

K

P

1) SΔ ABО = SΔ AOP = ⅓ ∙ SΔ ABC

CО=AP = ⅔ ∙ 5 = 3⅓ AО = ⅔ ∙ 4 = 2⅔ ОP = ⅔ ∙ 3 = 2 2)Найдем площадь треугольника АОР по формуле Герона SΔ AOP = radic p(p-a)(p-b)(p-c) p = (3⅓ + 2⅔ + 2) 2 = 4 SΔ AOP = radic 4∙(4-3⅓)(4-2⅔)(4-2)=radic4∙⅔∙1⅓∙2=2⅔ 3) SΔ ABC = 3 ∙2⅔ = 8

3 СПОСОБ

О

Дано ABC CC1=5 BB1=4 AA1=3

где СС1 ВВ1 и АА1 ndash медианыНайти SАВС

A

B

CB1

A1C1

P

D

EN

M

K

Построение и решение1 Продлить медианы АА1 ВВ1СС1 на 13

длины Получим точки ДРЕ2 Провести прямые АДВЕСР

Получим ∆ NMK длины которого равныNM= 2AA1

MK= 2BB1

NK = 2CC1 те NM=6 MK=8 NK=10

Так как 102=82+62 то ∆ NMK ndash прямоугольный

3 SABC = 13S NMK = 13 frac12 8 6=8

Ответ8

ЗАДАЧА 3

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны а сумма её оснований равна 10 см

Найти площадь трапеции

ПОДГОТОВИЛИ БАГАЕВ А АСАУЛЮК Д

ЛИПАТОВА Ж

DA

B C

E

1) Произведём параллельный перенос диагонали BD на вектор ВС

2) SABCD=SACE тк BC+AD=AE и СН - общая высота

Н

Дано ABCD-равнобедренная трапеция BC+AD=10 см

AC BD

РЕШЕНИЕ

3) АС=СЕ тк диагонали равнобедренной трапеции равны

4) Найдём АС

Пусть АС=х тогда по теореме Пифагора имеем

Х2 +Х2 =100

2Х2 =100

Х2 =50

Х=5

5)SACE=12(5 )2=1250=25

A

C

E

х х

Н

2

2

ОТВЕТ 25 см2

ЗАДАЧА 4

Найдите площадь равнобедренной трапеции у которой высота

равна h а диагонали взаимно перпендикулярны

А

В С

H D

h

EK

РЕШЕНИЕ1)Треугольник ACE-прямоугольный и

равнобедренный

2)CK- медиана биссектриса и высота

3)CK=AK=h

4)По теореме Пифагора AC= h2+h2=

h 2

5)Sтр ABCD=S ACE= h 2 h 2=h2

A

C

EK

1

2

Ответ h22

Задача 5

Диагонали трапеции равны 3 и 5 а отрезок соединяющий середины оснований равен 2 Найти площадь трапеции

Выполнили Петров В Куликов П Черных Р

A

B C

D

N

MK E

F H

Дано ABCD ndash трапеция CA=3BD=5NM=2BN = NCAM = MD НайтиSABCD

Решение

1) Выполним параллельный перенос диагонали CA на вектор CN и диагонали CA на вектор CN

2) Получим KNE где KE=BC+AD и NM-медиана KN =3 NE=5 NM=2

3) SKNE = SABCD

4) Рассмотрим KNE

K

N

E

R

M xx

3

3

2

2

5

5

KM = ME = x

(2x) + 4 = 2(3 + 5 )

4x + 16 = 68

x = 13 KE = 2 13

5) KNM-прямоугольный

тк ( 13 ) = 3 +2 =

KNM = 90 SKNM=

23 =3 = SKNE

=23=6

Ответ SABCD=6

1

2 2

2

2

2

22 2

Задача 6

bull В трапеции ABCD AC перпендикулярна BD АС=16 BD=12 Найти среднюю линию

bull ( Эта задача предлагалась на централизованном тестировании по геометрии 2002 г)

ВЫПОЛНИЛИ ДНЕПРОВСКИЙ А

ЗВЕРЬКОВ Е

Способ 1

А

В C

D

О

KH

Х y

12 - y16 ndash

x

Решение AO = x DO = y OC = 16 ndash x BO = 12 ndash y∆BOC подобен ∆DOA 12 - y ∕ y = 16 - x ∕ x 12x ndash xy = 16y ndash xy 3x = 4y y = frac34x3x = 4y y = frac34x Sтр = frac12x middot frac34x + frac12(16 ndash x)(12 - frac34x)+ +frac12(16 ndash x) middot frac34x + frac12x middot (12 - frac34x) = ⅜xsup2 + frac12(192 ndash 12x ndash -12x + frac34xsup2) + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = ⅜xsup2 + 96 ndash 6x ndash 6x ++ ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = 96ADsup2 = xsup2 + (frac34xsup2) = 2516 xsup2 AD = 54 xx middot frac34x = 54x middot OK OK = x middot frac34x ∕ 54x = 35x∆BHD подобен ∆OKD =gt BHOK = BDOD BH ∕ 35x == 12 ∕ frac34x =gt BH = 365x middot 43x = 96Sтр AD + BC ∕ 2 middot BH 54x + BC ∕ 2 middot 96 = 9654x + BC ∕ 2 = MNMN middot 96 = 96MN = 10

N M

Ответ MN = 10

А

В

D D1

Перенесём диагональ BD на вектор ВС Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD1 где гипотенуза AD1 равна сумме оснований трапеции ABCD тк DBCD1

параллелограмм где BC=DD1 BD=CD1 Из ACD1 ADsup21 =ACsup2+CDsup21ADsup21 = 16sup2+12sup2=256+144=400ADsup21=400AD1=20 Средняя линия треугольника равна половине суммы оснований те MN= AD12=202=10

12

оХ

16-х

y

12-y

Способ 2

С

N M

Ответ NM = 10

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Над задачами работали

ЗАДОРОЖНЫЙ КОНСТАНТИН СЕРГЕЕВИЧ

КИЛИН МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧЕРНЫХ РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

АСЕЕВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

ПРИТУПОВА КРИСТИНА ОЛЕГОВНА

КАПУСТИНА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

БАГАЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

АСАУЛЮК ДЕНИС ОЛЕГОВИЧ

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

ФАНДИКОВ ИВАН АНАТОЛЬЕВИЧ

ПЕТРОВ ВЯЧЕСЛАВ ИГОРЕВИЧ

КУЛИКОВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ДНЕПРОВСКИЙ АНДРЕЙ ЮРЬЕВИЧ

ЗВЕРЬКОВ ЕГОР ВЛАДИМИРОВИЧ

БОЛЬШОЕ СПОСИБО ЗА ПРЕДОСТАВЛЕННУЮ

ТЕХНИКУ

ЧАГДУРОВОЙ ЭЛЬВИРЕ ЦИДЕНОВНЕ

ППРАРПРАПРПАР

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27

3 СПОСОБ

О

Дано ABC CC1=5 BB1=4 AA1=3

где СС1 ВВ1 и АА1 ndash медианыНайти SАВС

A

B

CB1

A1C1

P

D

EN

M

K

Построение и решение1 Продлить медианы АА1 ВВ1СС1 на 13

длины Получим точки ДРЕ2 Провести прямые АДВЕСР

Получим ∆ NMK длины которого равныNM= 2AA1

MK= 2BB1

NK = 2CC1 те NM=6 MK=8 NK=10

Так как 102=82+62 то ∆ NMK ndash прямоугольный

3 SABC = 13S NMK = 13 frac12 8 6=8

Ответ8

ЗАДАЧА 3

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны а сумма её оснований равна 10 см

Найти площадь трапеции

ПОДГОТОВИЛИ БАГАЕВ А АСАУЛЮК Д

ЛИПАТОВА Ж

DA

B C

E

1) Произведём параллельный перенос диагонали BD на вектор ВС

2) SABCD=SACE тк BC+AD=AE и СН - общая высота

Н

Дано ABCD-равнобедренная трапеция BC+AD=10 см

AC BD

РЕШЕНИЕ

3) АС=СЕ тк диагонали равнобедренной трапеции равны

4) Найдём АС

Пусть АС=х тогда по теореме Пифагора имеем

Х2 +Х2 =100

2Х2 =100

Х2 =50

Х=5

5)SACE=12(5 )2=1250=25

A

C

E

х х

Н

2

2

ОТВЕТ 25 см2

ЗАДАЧА 4

Найдите площадь равнобедренной трапеции у которой высота

равна h а диагонали взаимно перпендикулярны

А

В С

H D

h

EK

РЕШЕНИЕ1)Треугольник ACE-прямоугольный и

равнобедренный

2)CK- медиана биссектриса и высота

3)CK=AK=h

4)По теореме Пифагора AC= h2+h2=

h 2

5)Sтр ABCD=S ACE= h 2 h 2=h2

A

C

EK

1

2

Ответ h22

Задача 5

Диагонали трапеции равны 3 и 5 а отрезок соединяющий середины оснований равен 2 Найти площадь трапеции

Выполнили Петров В Куликов П Черных Р

A

B C

D

N

MK E

F H

Дано ABCD ndash трапеция CA=3BD=5NM=2BN = NCAM = MD НайтиSABCD

Решение

1) Выполним параллельный перенос диагонали CA на вектор CN и диагонали CA на вектор CN

2) Получим KNE где KE=BC+AD и NM-медиана KN =3 NE=5 NM=2

3) SKNE = SABCD

4) Рассмотрим KNE

K

N

E

R

M xx

3

3

2

2

5

5

KM = ME = x

(2x) + 4 = 2(3 + 5 )

4x + 16 = 68

x = 13 KE = 2 13

5) KNM-прямоугольный

тк ( 13 ) = 3 +2 =

KNM = 90 SKNM=

23 =3 = SKNE

=23=6

Ответ SABCD=6

1

2 2

2

2

2

22 2

Задача 6

bull В трапеции ABCD AC перпендикулярна BD АС=16 BD=12 Найти среднюю линию

bull ( Эта задача предлагалась на централизованном тестировании по геометрии 2002 г)

ВЫПОЛНИЛИ ДНЕПРОВСКИЙ А

ЗВЕРЬКОВ Е

Способ 1

А

В C

D

О

KH

Х y

12 - y16 ndash

x

Решение AO = x DO = y OC = 16 ndash x BO = 12 ndash y∆BOC подобен ∆DOA 12 - y ∕ y = 16 - x ∕ x 12x ndash xy = 16y ndash xy 3x = 4y y = frac34x3x = 4y y = frac34x Sтр = frac12x middot frac34x + frac12(16 ndash x)(12 - frac34x)+ +frac12(16 ndash x) middot frac34x + frac12x middot (12 - frac34x) = ⅜xsup2 + frac12(192 ndash 12x ndash -12x + frac34xsup2) + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = ⅜xsup2 + 96 ndash 6x ndash 6x ++ ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = 96ADsup2 = xsup2 + (frac34xsup2) = 2516 xsup2 AD = 54 xx middot frac34x = 54x middot OK OK = x middot frac34x ∕ 54x = 35x∆BHD подобен ∆OKD =gt BHOK = BDOD BH ∕ 35x == 12 ∕ frac34x =gt BH = 365x middot 43x = 96Sтр AD + BC ∕ 2 middot BH 54x + BC ∕ 2 middot 96 = 9654x + BC ∕ 2 = MNMN middot 96 = 96MN = 10

N M

Ответ MN = 10

А

В

D D1

Перенесём диагональ BD на вектор ВС Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD1 где гипотенуза AD1 равна сумме оснований трапеции ABCD тк DBCD1

параллелограмм где BC=DD1 BD=CD1 Из ACD1 ADsup21 =ACsup2+CDsup21ADsup21 = 16sup2+12sup2=256+144=400ADsup21=400AD1=20 Средняя линия треугольника равна половине суммы оснований те MN= AD12=202=10

12

оХ

16-х

y

12-y

Способ 2

С

N M

Ответ NM = 10

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Над задачами работали

ЗАДОРОЖНЫЙ КОНСТАНТИН СЕРГЕЕВИЧ

КИЛИН МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧЕРНЫХ РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

АСЕЕВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

ПРИТУПОВА КРИСТИНА ОЛЕГОВНА

КАПУСТИНА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

БАГАЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

АСАУЛЮК ДЕНИС ОЛЕГОВИЧ

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

ФАНДИКОВ ИВАН АНАТОЛЬЕВИЧ

ПЕТРОВ ВЯЧЕСЛАВ ИГОРЕВИЧ

КУЛИКОВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ДНЕПРОВСКИЙ АНДРЕЙ ЮРЬЕВИЧ

ЗВЕРЬКОВ ЕГОР ВЛАДИМИРОВИЧ

БОЛЬШОЕ СПОСИБО ЗА ПРЕДОСТАВЛЕННУЮ

ТЕХНИКУ

ЧАГДУРОВОЙ ЭЛЬВИРЕ ЦИДЕНОВНЕ

ППРАРПРАПРПАР

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27

Построение и решение1 Продлить медианы АА1 ВВ1СС1 на 13

длины Получим точки ДРЕ2 Провести прямые АДВЕСР

Получим ∆ NMK длины которого равныNM= 2AA1

MK= 2BB1

NK = 2CC1 те NM=6 MK=8 NK=10

Так как 102=82+62 то ∆ NMK ndash прямоугольный

3 SABC = 13S NMK = 13 frac12 8 6=8

Ответ8

ЗАДАЧА 3

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны а сумма её оснований равна 10 см

Найти площадь трапеции

ПОДГОТОВИЛИ БАГАЕВ А АСАУЛЮК Д

ЛИПАТОВА Ж

DA

B C

E

1) Произведём параллельный перенос диагонали BD на вектор ВС

2) SABCD=SACE тк BC+AD=AE и СН - общая высота

Н

Дано ABCD-равнобедренная трапеция BC+AD=10 см

AC BD

РЕШЕНИЕ

3) АС=СЕ тк диагонали равнобедренной трапеции равны

4) Найдём АС

Пусть АС=х тогда по теореме Пифагора имеем

Х2 +Х2 =100

2Х2 =100

Х2 =50

Х=5

5)SACE=12(5 )2=1250=25

A

C

E

х х

Н

2

2

ОТВЕТ 25 см2

ЗАДАЧА 4

Найдите площадь равнобедренной трапеции у которой высота

равна h а диагонали взаимно перпендикулярны

А

В С

H D

h

EK

РЕШЕНИЕ1)Треугольник ACE-прямоугольный и

равнобедренный

2)CK- медиана биссектриса и высота

3)CK=AK=h

4)По теореме Пифагора AC= h2+h2=

h 2

5)Sтр ABCD=S ACE= h 2 h 2=h2

A

C

EK

1

2

Ответ h22

Задача 5

Диагонали трапеции равны 3 и 5 а отрезок соединяющий середины оснований равен 2 Найти площадь трапеции

Выполнили Петров В Куликов П Черных Р

A

B C

D

N

MK E

F H

Дано ABCD ndash трапеция CA=3BD=5NM=2BN = NCAM = MD НайтиSABCD

Решение

1) Выполним параллельный перенос диагонали CA на вектор CN и диагонали CA на вектор CN

2) Получим KNE где KE=BC+AD и NM-медиана KN =3 NE=5 NM=2

3) SKNE = SABCD

4) Рассмотрим KNE

K

N

E

R

M xx

3

3

2

2

5

5

KM = ME = x

(2x) + 4 = 2(3 + 5 )

4x + 16 = 68

x = 13 KE = 2 13

5) KNM-прямоугольный

тк ( 13 ) = 3 +2 =

KNM = 90 SKNM=

23 =3 = SKNE

=23=6

Ответ SABCD=6

1

2 2

2

2

2

22 2

Задача 6

bull В трапеции ABCD AC перпендикулярна BD АС=16 BD=12 Найти среднюю линию

bull ( Эта задача предлагалась на централизованном тестировании по геометрии 2002 г)

ВЫПОЛНИЛИ ДНЕПРОВСКИЙ А

ЗВЕРЬКОВ Е

Способ 1

А

В C

D

О

KH

Х y

12 - y16 ndash

x

Решение AO = x DO = y OC = 16 ndash x BO = 12 ndash y∆BOC подобен ∆DOA 12 - y ∕ y = 16 - x ∕ x 12x ndash xy = 16y ndash xy 3x = 4y y = frac34x3x = 4y y = frac34x Sтр = frac12x middot frac34x + frac12(16 ndash x)(12 - frac34x)+ +frac12(16 ndash x) middot frac34x + frac12x middot (12 - frac34x) = ⅜xsup2 + frac12(192 ndash 12x ndash -12x + frac34xsup2) + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = ⅜xsup2 + 96 ndash 6x ndash 6x ++ ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = 96ADsup2 = xsup2 + (frac34xsup2) = 2516 xsup2 AD = 54 xx middot frac34x = 54x middot OK OK = x middot frac34x ∕ 54x = 35x∆BHD подобен ∆OKD =gt BHOK = BDOD BH ∕ 35x == 12 ∕ frac34x =gt BH = 365x middot 43x = 96Sтр AD + BC ∕ 2 middot BH 54x + BC ∕ 2 middot 96 = 9654x + BC ∕ 2 = MNMN middot 96 = 96MN = 10

N M

Ответ MN = 10

А

В

D D1

Перенесём диагональ BD на вектор ВС Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD1 где гипотенуза AD1 равна сумме оснований трапеции ABCD тк DBCD1

параллелограмм где BC=DD1 BD=CD1 Из ACD1 ADsup21 =ACsup2+CDsup21ADsup21 = 16sup2+12sup2=256+144=400ADsup21=400AD1=20 Средняя линия треугольника равна половине суммы оснований те MN= AD12=202=10

12

оХ

16-х

y

12-y

Способ 2

С

N M

Ответ NM = 10

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Над задачами работали

ЗАДОРОЖНЫЙ КОНСТАНТИН СЕРГЕЕВИЧ

КИЛИН МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧЕРНЫХ РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

АСЕЕВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

ПРИТУПОВА КРИСТИНА ОЛЕГОВНА

КАПУСТИНА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

БАГАЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

АСАУЛЮК ДЕНИС ОЛЕГОВИЧ

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

ФАНДИКОВ ИВАН АНАТОЛЬЕВИЧ

ПЕТРОВ ВЯЧЕСЛАВ ИГОРЕВИЧ

КУЛИКОВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ДНЕПРОВСКИЙ АНДРЕЙ ЮРЬЕВИЧ

ЗВЕРЬКОВ ЕГОР ВЛАДИМИРОВИЧ

БОЛЬШОЕ СПОСИБО ЗА ПРЕДОСТАВЛЕННУЮ

ТЕХНИКУ

ЧАГДУРОВОЙ ЭЛЬВИРЕ ЦИДЕНОВНЕ

ППРАРПРАПРПАР

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27

ЗАДАЧА 3

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны а сумма её оснований равна 10 см

Найти площадь трапеции

ПОДГОТОВИЛИ БАГАЕВ А АСАУЛЮК Д

ЛИПАТОВА Ж

DA

B C

E

1) Произведём параллельный перенос диагонали BD на вектор ВС

2) SABCD=SACE тк BC+AD=AE и СН - общая высота

Н

Дано ABCD-равнобедренная трапеция BC+AD=10 см

AC BD

РЕШЕНИЕ

3) АС=СЕ тк диагонали равнобедренной трапеции равны

4) Найдём АС

Пусть АС=х тогда по теореме Пифагора имеем

Х2 +Х2 =100

2Х2 =100

Х2 =50

Х=5

5)SACE=12(5 )2=1250=25

A

C

E

х х

Н

2

2

ОТВЕТ 25 см2

ЗАДАЧА 4

Найдите площадь равнобедренной трапеции у которой высота

равна h а диагонали взаимно перпендикулярны

А

В С

H D

h

EK

РЕШЕНИЕ1)Треугольник ACE-прямоугольный и

равнобедренный

2)CK- медиана биссектриса и высота

3)CK=AK=h

4)По теореме Пифагора AC= h2+h2=

h 2

5)Sтр ABCD=S ACE= h 2 h 2=h2

A

C

EK

1

2

Ответ h22

Задача 5

Диагонали трапеции равны 3 и 5 а отрезок соединяющий середины оснований равен 2 Найти площадь трапеции

Выполнили Петров В Куликов П Черных Р

A

B C

D

N

MK E

F H

Дано ABCD ndash трапеция CA=3BD=5NM=2BN = NCAM = MD НайтиSABCD

Решение

1) Выполним параллельный перенос диагонали CA на вектор CN и диагонали CA на вектор CN

2) Получим KNE где KE=BC+AD и NM-медиана KN =3 NE=5 NM=2

3) SKNE = SABCD

4) Рассмотрим KNE

K

N

E

R

M xx

3

3

2

2

5

5

KM = ME = x

(2x) + 4 = 2(3 + 5 )

4x + 16 = 68

x = 13 KE = 2 13

5) KNM-прямоугольный

тк ( 13 ) = 3 +2 =

KNM = 90 SKNM=

23 =3 = SKNE

=23=6

Ответ SABCD=6

1

2 2

2

2

2

22 2

Задача 6

bull В трапеции ABCD AC перпендикулярна BD АС=16 BD=12 Найти среднюю линию

bull ( Эта задача предлагалась на централизованном тестировании по геометрии 2002 г)

ВЫПОЛНИЛИ ДНЕПРОВСКИЙ А

ЗВЕРЬКОВ Е

Способ 1

А

В C

D

О

KH

Х y

12 - y16 ndash

x

Решение AO = x DO = y OC = 16 ndash x BO = 12 ndash y∆BOC подобен ∆DOA 12 - y ∕ y = 16 - x ∕ x 12x ndash xy = 16y ndash xy 3x = 4y y = frac34x3x = 4y y = frac34x Sтр = frac12x middot frac34x + frac12(16 ndash x)(12 - frac34x)+ +frac12(16 ndash x) middot frac34x + frac12x middot (12 - frac34x) = ⅜xsup2 + frac12(192 ndash 12x ndash -12x + frac34xsup2) + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = ⅜xsup2 + 96 ndash 6x ndash 6x ++ ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = 96ADsup2 = xsup2 + (frac34xsup2) = 2516 xsup2 AD = 54 xx middot frac34x = 54x middot OK OK = x middot frac34x ∕ 54x = 35x∆BHD подобен ∆OKD =gt BHOK = BDOD BH ∕ 35x == 12 ∕ frac34x =gt BH = 365x middot 43x = 96Sтр AD + BC ∕ 2 middot BH 54x + BC ∕ 2 middot 96 = 9654x + BC ∕ 2 = MNMN middot 96 = 96MN = 10

N M

Ответ MN = 10

А

В

D D1

Перенесём диагональ BD на вектор ВС Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD1 где гипотенуза AD1 равна сумме оснований трапеции ABCD тк DBCD1

параллелограмм где BC=DD1 BD=CD1 Из ACD1 ADsup21 =ACsup2+CDsup21ADsup21 = 16sup2+12sup2=256+144=400ADsup21=400AD1=20 Средняя линия треугольника равна половине суммы оснований те MN= AD12=202=10

12

оХ

16-х

y

12-y

Способ 2

С

N M

Ответ NM = 10

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Над задачами работали

ЗАДОРОЖНЫЙ КОНСТАНТИН СЕРГЕЕВИЧ

КИЛИН МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧЕРНЫХ РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

АСЕЕВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

ПРИТУПОВА КРИСТИНА ОЛЕГОВНА

КАПУСТИНА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

БАГАЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

АСАУЛЮК ДЕНИС ОЛЕГОВИЧ

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

ФАНДИКОВ ИВАН АНАТОЛЬЕВИЧ

ПЕТРОВ ВЯЧЕСЛАВ ИГОРЕВИЧ

КУЛИКОВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ДНЕПРОВСКИЙ АНДРЕЙ ЮРЬЕВИЧ

ЗВЕРЬКОВ ЕГОР ВЛАДИМИРОВИЧ

БОЛЬШОЕ СПОСИБО ЗА ПРЕДОСТАВЛЕННУЮ

ТЕХНИКУ

ЧАГДУРОВОЙ ЭЛЬВИРЕ ЦИДЕНОВНЕ

ППРАРПРАПРПАР

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27

DA

B C

E

1) Произведём параллельный перенос диагонали BD на вектор ВС

2) SABCD=SACE тк BC+AD=AE и СН - общая высота

Н

Дано ABCD-равнобедренная трапеция BC+AD=10 см

AC BD

РЕШЕНИЕ

3) АС=СЕ тк диагонали равнобедренной трапеции равны

4) Найдём АС

Пусть АС=х тогда по теореме Пифагора имеем

Х2 +Х2 =100

2Х2 =100

Х2 =50

Х=5

5)SACE=12(5 )2=1250=25

A

C

E

х х

Н

2

2

ОТВЕТ 25 см2

ЗАДАЧА 4

Найдите площадь равнобедренной трапеции у которой высота

равна h а диагонали взаимно перпендикулярны

А

В С

H D

h

EK

РЕШЕНИЕ1)Треугольник ACE-прямоугольный и

равнобедренный

2)CK- медиана биссектриса и высота

3)CK=AK=h

4)По теореме Пифагора AC= h2+h2=

h 2

5)Sтр ABCD=S ACE= h 2 h 2=h2

A

C

EK

1

2

Ответ h22

Задача 5

Диагонали трапеции равны 3 и 5 а отрезок соединяющий середины оснований равен 2 Найти площадь трапеции

Выполнили Петров В Куликов П Черных Р

A

B C

D

N

MK E

F H

Дано ABCD ndash трапеция CA=3BD=5NM=2BN = NCAM = MD НайтиSABCD

Решение

1) Выполним параллельный перенос диагонали CA на вектор CN и диагонали CA на вектор CN

2) Получим KNE где KE=BC+AD и NM-медиана KN =3 NE=5 NM=2

3) SKNE = SABCD

4) Рассмотрим KNE

K

N

E

R

M xx

3

3

2

2

5

5

KM = ME = x

(2x) + 4 = 2(3 + 5 )

4x + 16 = 68

x = 13 KE = 2 13

5) KNM-прямоугольный

тк ( 13 ) = 3 +2 =

KNM = 90 SKNM=

23 =3 = SKNE

=23=6

Ответ SABCD=6

1

2 2

2

2

2

22 2

Задача 6

bull В трапеции ABCD AC перпендикулярна BD АС=16 BD=12 Найти среднюю линию

bull ( Эта задача предлагалась на централизованном тестировании по геометрии 2002 г)

ВЫПОЛНИЛИ ДНЕПРОВСКИЙ А

ЗВЕРЬКОВ Е

Способ 1

А

В C

D

О

KH

Х y

12 - y16 ndash

x

Решение AO = x DO = y OC = 16 ndash x BO = 12 ndash y∆BOC подобен ∆DOA 12 - y ∕ y = 16 - x ∕ x 12x ndash xy = 16y ndash xy 3x = 4y y = frac34x3x = 4y y = frac34x Sтр = frac12x middot frac34x + frac12(16 ndash x)(12 - frac34x)+ +frac12(16 ndash x) middot frac34x + frac12x middot (12 - frac34x) = ⅜xsup2 + frac12(192 ndash 12x ndash -12x + frac34xsup2) + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = ⅜xsup2 + 96 ndash 6x ndash 6x ++ ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = 96ADsup2 = xsup2 + (frac34xsup2) = 2516 xsup2 AD = 54 xx middot frac34x = 54x middot OK OK = x middot frac34x ∕ 54x = 35x∆BHD подобен ∆OKD =gt BHOK = BDOD BH ∕ 35x == 12 ∕ frac34x =gt BH = 365x middot 43x = 96Sтр AD + BC ∕ 2 middot BH 54x + BC ∕ 2 middot 96 = 9654x + BC ∕ 2 = MNMN middot 96 = 96MN = 10

N M

Ответ MN = 10

А

В

D D1

Перенесём диагональ BD на вектор ВС Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD1 где гипотенуза AD1 равна сумме оснований трапеции ABCD тк DBCD1

параллелограмм где BC=DD1 BD=CD1 Из ACD1 ADsup21 =ACsup2+CDsup21ADsup21 = 16sup2+12sup2=256+144=400ADsup21=400AD1=20 Средняя линия треугольника равна половине суммы оснований те MN= AD12=202=10

12

оХ

16-х

y

12-y

Способ 2

С

N M

Ответ NM = 10

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Над задачами работали

ЗАДОРОЖНЫЙ КОНСТАНТИН СЕРГЕЕВИЧ

КИЛИН МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧЕРНЫХ РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

АСЕЕВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

ПРИТУПОВА КРИСТИНА ОЛЕГОВНА

КАПУСТИНА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

БАГАЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

АСАУЛЮК ДЕНИС ОЛЕГОВИЧ

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

ФАНДИКОВ ИВАН АНАТОЛЬЕВИЧ

ПЕТРОВ ВЯЧЕСЛАВ ИГОРЕВИЧ

КУЛИКОВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ДНЕПРОВСКИЙ АНДРЕЙ ЮРЬЕВИЧ

ЗВЕРЬКОВ ЕГОР ВЛАДИМИРОВИЧ

БОЛЬШОЕ СПОСИБО ЗА ПРЕДОСТАВЛЕННУЮ

ТЕХНИКУ

ЧАГДУРОВОЙ ЭЛЬВИРЕ ЦИДЕНОВНЕ

ППРАРПРАПРПАР

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27

3) АС=СЕ тк диагонали равнобедренной трапеции равны

4) Найдём АС

Пусть АС=х тогда по теореме Пифагора имеем

Х2 +Х2 =100

2Х2 =100

Х2 =50

Х=5

5)SACE=12(5 )2=1250=25

A

C

E

х х

Н

2

2

ОТВЕТ 25 см2

ЗАДАЧА 4

Найдите площадь равнобедренной трапеции у которой высота

равна h а диагонали взаимно перпендикулярны

А

В С

H D

h

EK

РЕШЕНИЕ1)Треугольник ACE-прямоугольный и

равнобедренный

2)CK- медиана биссектриса и высота

3)CK=AK=h

4)По теореме Пифагора AC= h2+h2=

h 2

5)Sтр ABCD=S ACE= h 2 h 2=h2

A

C

EK

1

2

Ответ h22

Задача 5

Диагонали трапеции равны 3 и 5 а отрезок соединяющий середины оснований равен 2 Найти площадь трапеции

Выполнили Петров В Куликов П Черных Р

A

B C

D

N

MK E

F H

Дано ABCD ndash трапеция CA=3BD=5NM=2BN = NCAM = MD НайтиSABCD

Решение

1) Выполним параллельный перенос диагонали CA на вектор CN и диагонали CA на вектор CN

2) Получим KNE где KE=BC+AD и NM-медиана KN =3 NE=5 NM=2

3) SKNE = SABCD

4) Рассмотрим KNE

K

N

E

R

M xx

3

3

2

2

5

5

KM = ME = x

(2x) + 4 = 2(3 + 5 )

4x + 16 = 68

x = 13 KE = 2 13

5) KNM-прямоугольный

тк ( 13 ) = 3 +2 =

KNM = 90 SKNM=

23 =3 = SKNE

=23=6

Ответ SABCD=6

1

2 2

2

2

2

22 2

Задача 6

bull В трапеции ABCD AC перпендикулярна BD АС=16 BD=12 Найти среднюю линию

bull ( Эта задача предлагалась на централизованном тестировании по геометрии 2002 г)

ВЫПОЛНИЛИ ДНЕПРОВСКИЙ А

ЗВЕРЬКОВ Е

Способ 1

А

В C

D

О

KH

Х y

12 - y16 ndash

x

Решение AO = x DO = y OC = 16 ndash x BO = 12 ndash y∆BOC подобен ∆DOA 12 - y ∕ y = 16 - x ∕ x 12x ndash xy = 16y ndash xy 3x = 4y y = frac34x3x = 4y y = frac34x Sтр = frac12x middot frac34x + frac12(16 ndash x)(12 - frac34x)+ +frac12(16 ndash x) middot frac34x + frac12x middot (12 - frac34x) = ⅜xsup2 + frac12(192 ndash 12x ndash -12x + frac34xsup2) + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = ⅜xsup2 + 96 ndash 6x ndash 6x ++ ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = 96ADsup2 = xsup2 + (frac34xsup2) = 2516 xsup2 AD = 54 xx middot frac34x = 54x middot OK OK = x middot frac34x ∕ 54x = 35x∆BHD подобен ∆OKD =gt BHOK = BDOD BH ∕ 35x == 12 ∕ frac34x =gt BH = 365x middot 43x = 96Sтр AD + BC ∕ 2 middot BH 54x + BC ∕ 2 middot 96 = 9654x + BC ∕ 2 = MNMN middot 96 = 96MN = 10

N M

Ответ MN = 10

А

В

D D1

Перенесём диагональ BD на вектор ВС Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD1 где гипотенуза AD1 равна сумме оснований трапеции ABCD тк DBCD1

параллелограмм где BC=DD1 BD=CD1 Из ACD1 ADsup21 =ACsup2+CDsup21ADsup21 = 16sup2+12sup2=256+144=400ADsup21=400AD1=20 Средняя линия треугольника равна половине суммы оснований те MN= AD12=202=10

12

оХ

16-х

y

12-y

Способ 2

С

N M

Ответ NM = 10

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Над задачами работали

ЗАДОРОЖНЫЙ КОНСТАНТИН СЕРГЕЕВИЧ

КИЛИН МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧЕРНЫХ РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

АСЕЕВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

ПРИТУПОВА КРИСТИНА ОЛЕГОВНА

КАПУСТИНА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

БАГАЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

АСАУЛЮК ДЕНИС ОЛЕГОВИЧ

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

ФАНДИКОВ ИВАН АНАТОЛЬЕВИЧ

ПЕТРОВ ВЯЧЕСЛАВ ИГОРЕВИЧ

КУЛИКОВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ДНЕПРОВСКИЙ АНДРЕЙ ЮРЬЕВИЧ

ЗВЕРЬКОВ ЕГОР ВЛАДИМИРОВИЧ

БОЛЬШОЕ СПОСИБО ЗА ПРЕДОСТАВЛЕННУЮ

ТЕХНИКУ

ЧАГДУРОВОЙ ЭЛЬВИРЕ ЦИДЕНОВНЕ

ППРАРПРАПРПАР

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27

ЗАДАЧА 4

Найдите площадь равнобедренной трапеции у которой высота

равна h а диагонали взаимно перпендикулярны

А

В С

H D

h

EK

РЕШЕНИЕ1)Треугольник ACE-прямоугольный и

равнобедренный

2)CK- медиана биссектриса и высота

3)CK=AK=h

4)По теореме Пифагора AC= h2+h2=

h 2

5)Sтр ABCD=S ACE= h 2 h 2=h2

A

C

EK

1

2

Ответ h22

Задача 5

Диагонали трапеции равны 3 и 5 а отрезок соединяющий середины оснований равен 2 Найти площадь трапеции

Выполнили Петров В Куликов П Черных Р

A

B C

D

N

MK E

F H

Дано ABCD ndash трапеция CA=3BD=5NM=2BN = NCAM = MD НайтиSABCD

Решение

1) Выполним параллельный перенос диагонали CA на вектор CN и диагонали CA на вектор CN

2) Получим KNE где KE=BC+AD и NM-медиана KN =3 NE=5 NM=2

3) SKNE = SABCD

4) Рассмотрим KNE

K

N

E

R

M xx

3

3

2

2

5

5

KM = ME = x

(2x) + 4 = 2(3 + 5 )

4x + 16 = 68

x = 13 KE = 2 13

5) KNM-прямоугольный

тк ( 13 ) = 3 +2 =

KNM = 90 SKNM=

23 =3 = SKNE

=23=6

Ответ SABCD=6

1

2 2

2

2

2

22 2

Задача 6

bull В трапеции ABCD AC перпендикулярна BD АС=16 BD=12 Найти среднюю линию

bull ( Эта задача предлагалась на централизованном тестировании по геометрии 2002 г)

ВЫПОЛНИЛИ ДНЕПРОВСКИЙ А

ЗВЕРЬКОВ Е

Способ 1

А

В C

D

О

KH

Х y

12 - y16 ndash

x

Решение AO = x DO = y OC = 16 ndash x BO = 12 ndash y∆BOC подобен ∆DOA 12 - y ∕ y = 16 - x ∕ x 12x ndash xy = 16y ndash xy 3x = 4y y = frac34x3x = 4y y = frac34x Sтр = frac12x middot frac34x + frac12(16 ndash x)(12 - frac34x)+ +frac12(16 ndash x) middot frac34x + frac12x middot (12 - frac34x) = ⅜xsup2 + frac12(192 ndash 12x ndash -12x + frac34xsup2) + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = ⅜xsup2 + 96 ndash 6x ndash 6x ++ ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = 96ADsup2 = xsup2 + (frac34xsup2) = 2516 xsup2 AD = 54 xx middot frac34x = 54x middot OK OK = x middot frac34x ∕ 54x = 35x∆BHD подобен ∆OKD =gt BHOK = BDOD BH ∕ 35x == 12 ∕ frac34x =gt BH = 365x middot 43x = 96Sтр AD + BC ∕ 2 middot BH 54x + BC ∕ 2 middot 96 = 9654x + BC ∕ 2 = MNMN middot 96 = 96MN = 10

N M

Ответ MN = 10

А

В

D D1

Перенесём диагональ BD на вектор ВС Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD1 где гипотенуза AD1 равна сумме оснований трапеции ABCD тк DBCD1

параллелограмм где BC=DD1 BD=CD1 Из ACD1 ADsup21 =ACsup2+CDsup21ADsup21 = 16sup2+12sup2=256+144=400ADsup21=400AD1=20 Средняя линия треугольника равна половине суммы оснований те MN= AD12=202=10

12

оХ

16-х

y

12-y

Способ 2

С

N M

Ответ NM = 10

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Над задачами работали

ЗАДОРОЖНЫЙ КОНСТАНТИН СЕРГЕЕВИЧ

КИЛИН МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧЕРНЫХ РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

АСЕЕВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

ПРИТУПОВА КРИСТИНА ОЛЕГОВНА

КАПУСТИНА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

БАГАЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

АСАУЛЮК ДЕНИС ОЛЕГОВИЧ

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

ФАНДИКОВ ИВАН АНАТОЛЬЕВИЧ

ПЕТРОВ ВЯЧЕСЛАВ ИГОРЕВИЧ

КУЛИКОВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ДНЕПРОВСКИЙ АНДРЕЙ ЮРЬЕВИЧ

ЗВЕРЬКОВ ЕГОР ВЛАДИМИРОВИЧ

БОЛЬШОЕ СПОСИБО ЗА ПРЕДОСТАВЛЕННУЮ

ТЕХНИКУ

ЧАГДУРОВОЙ ЭЛЬВИРЕ ЦИДЕНОВНЕ

ППРАРПРАПРПАР

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27

А

В С

H D

h

EK

РЕШЕНИЕ1)Треугольник ACE-прямоугольный и

равнобедренный

2)CK- медиана биссектриса и высота

3)CK=AK=h

4)По теореме Пифагора AC= h2+h2=

h 2

5)Sтр ABCD=S ACE= h 2 h 2=h2

A

C

EK

1

2

Ответ h22

Задача 5

Диагонали трапеции равны 3 и 5 а отрезок соединяющий середины оснований равен 2 Найти площадь трапеции

Выполнили Петров В Куликов П Черных Р

A

B C

D

N

MK E

F H

Дано ABCD ndash трапеция CA=3BD=5NM=2BN = NCAM = MD НайтиSABCD

Решение

1) Выполним параллельный перенос диагонали CA на вектор CN и диагонали CA на вектор CN

2) Получим KNE где KE=BC+AD и NM-медиана KN =3 NE=5 NM=2

3) SKNE = SABCD

4) Рассмотрим KNE

K

N

E

R

M xx

3

3

2

2

5

5

KM = ME = x

(2x) + 4 = 2(3 + 5 )

4x + 16 = 68

x = 13 KE = 2 13

5) KNM-прямоугольный

тк ( 13 ) = 3 +2 =

KNM = 90 SKNM=

23 =3 = SKNE

=23=6

Ответ SABCD=6

1

2 2

2

2

2

22 2

Задача 6

bull В трапеции ABCD AC перпендикулярна BD АС=16 BD=12 Найти среднюю линию

bull ( Эта задача предлагалась на централизованном тестировании по геометрии 2002 г)

ВЫПОЛНИЛИ ДНЕПРОВСКИЙ А

ЗВЕРЬКОВ Е

Способ 1

А

В C

D

О

KH

Х y

12 - y16 ndash

x

Решение AO = x DO = y OC = 16 ndash x BO = 12 ndash y∆BOC подобен ∆DOA 12 - y ∕ y = 16 - x ∕ x 12x ndash xy = 16y ndash xy 3x = 4y y = frac34x3x = 4y y = frac34x Sтр = frac12x middot frac34x + frac12(16 ndash x)(12 - frac34x)+ +frac12(16 ndash x) middot frac34x + frac12x middot (12 - frac34x) = ⅜xsup2 + frac12(192 ndash 12x ndash -12x + frac34xsup2) + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = ⅜xsup2 + 96 ndash 6x ndash 6x ++ ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = 96ADsup2 = xsup2 + (frac34xsup2) = 2516 xsup2 AD = 54 xx middot frac34x = 54x middot OK OK = x middot frac34x ∕ 54x = 35x∆BHD подобен ∆OKD =gt BHOK = BDOD BH ∕ 35x == 12 ∕ frac34x =gt BH = 365x middot 43x = 96Sтр AD + BC ∕ 2 middot BH 54x + BC ∕ 2 middot 96 = 9654x + BC ∕ 2 = MNMN middot 96 = 96MN = 10

N M

Ответ MN = 10

А

В

D D1

Перенесём диагональ BD на вектор ВС Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD1 где гипотенуза AD1 равна сумме оснований трапеции ABCD тк DBCD1

параллелограмм где BC=DD1 BD=CD1 Из ACD1 ADsup21 =ACsup2+CDsup21ADsup21 = 16sup2+12sup2=256+144=400ADsup21=400AD1=20 Средняя линия треугольника равна половине суммы оснований те MN= AD12=202=10

12

оХ

16-х

y

12-y

Способ 2

С

N M

Ответ NM = 10

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Над задачами работали

ЗАДОРОЖНЫЙ КОНСТАНТИН СЕРГЕЕВИЧ

КИЛИН МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧЕРНЫХ РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

АСЕЕВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

ПРИТУПОВА КРИСТИНА ОЛЕГОВНА

КАПУСТИНА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

БАГАЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

АСАУЛЮК ДЕНИС ОЛЕГОВИЧ

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

ФАНДИКОВ ИВАН АНАТОЛЬЕВИЧ

ПЕТРОВ ВЯЧЕСЛАВ ИГОРЕВИЧ

КУЛИКОВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ДНЕПРОВСКИЙ АНДРЕЙ ЮРЬЕВИЧ

ЗВЕРЬКОВ ЕГОР ВЛАДИМИРОВИЧ

БОЛЬШОЕ СПОСИБО ЗА ПРЕДОСТАВЛЕННУЮ

ТЕХНИКУ

ЧАГДУРОВОЙ ЭЛЬВИРЕ ЦИДЕНОВНЕ

ППРАРПРАПРПАР

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27

РЕШЕНИЕ1)Треугольник ACE-прямоугольный и

равнобедренный

2)CK- медиана биссектриса и высота

3)CK=AK=h

4)По теореме Пифагора AC= h2+h2=

h 2

5)Sтр ABCD=S ACE= h 2 h 2=h2

A

C

EK

1

2

Ответ h22

Задача 5

Диагонали трапеции равны 3 и 5 а отрезок соединяющий середины оснований равен 2 Найти площадь трапеции

Выполнили Петров В Куликов П Черных Р

A

B C

D

N

MK E

F H

Дано ABCD ndash трапеция CA=3BD=5NM=2BN = NCAM = MD НайтиSABCD

Решение

1) Выполним параллельный перенос диагонали CA на вектор CN и диагонали CA на вектор CN

2) Получим KNE где KE=BC+AD и NM-медиана KN =3 NE=5 NM=2

3) SKNE = SABCD

4) Рассмотрим KNE

K

N

E

R

M xx

3

3

2

2

5

5

KM = ME = x

(2x) + 4 = 2(3 + 5 )

4x + 16 = 68

x = 13 KE = 2 13

5) KNM-прямоугольный

тк ( 13 ) = 3 +2 =

KNM = 90 SKNM=

23 =3 = SKNE

=23=6

Ответ SABCD=6

1

2 2

2

2

2

22 2

Задача 6

bull В трапеции ABCD AC перпендикулярна BD АС=16 BD=12 Найти среднюю линию

bull ( Эта задача предлагалась на централизованном тестировании по геометрии 2002 г)

ВЫПОЛНИЛИ ДНЕПРОВСКИЙ А

ЗВЕРЬКОВ Е

Способ 1

А

В C

D

О

KH

Х y

12 - y16 ndash

x

Решение AO = x DO = y OC = 16 ndash x BO = 12 ndash y∆BOC подобен ∆DOA 12 - y ∕ y = 16 - x ∕ x 12x ndash xy = 16y ndash xy 3x = 4y y = frac34x3x = 4y y = frac34x Sтр = frac12x middot frac34x + frac12(16 ndash x)(12 - frac34x)+ +frac12(16 ndash x) middot frac34x + frac12x middot (12 - frac34x) = ⅜xsup2 + frac12(192 ndash 12x ndash -12x + frac34xsup2) + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = ⅜xsup2 + 96 ndash 6x ndash 6x ++ ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = 96ADsup2 = xsup2 + (frac34xsup2) = 2516 xsup2 AD = 54 xx middot frac34x = 54x middot OK OK = x middot frac34x ∕ 54x = 35x∆BHD подобен ∆OKD =gt BHOK = BDOD BH ∕ 35x == 12 ∕ frac34x =gt BH = 365x middot 43x = 96Sтр AD + BC ∕ 2 middot BH 54x + BC ∕ 2 middot 96 = 9654x + BC ∕ 2 = MNMN middot 96 = 96MN = 10

N M

Ответ MN = 10

А

В

D D1

Перенесём диагональ BD на вектор ВС Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD1 где гипотенуза AD1 равна сумме оснований трапеции ABCD тк DBCD1

параллелограмм где BC=DD1 BD=CD1 Из ACD1 ADsup21 =ACsup2+CDsup21ADsup21 = 16sup2+12sup2=256+144=400ADsup21=400AD1=20 Средняя линия треугольника равна половине суммы оснований те MN= AD12=202=10

12

оХ

16-х

y

12-y

Способ 2

С

N M

Ответ NM = 10

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Над задачами работали

ЗАДОРОЖНЫЙ КОНСТАНТИН СЕРГЕЕВИЧ

КИЛИН МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧЕРНЫХ РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

АСЕЕВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

ПРИТУПОВА КРИСТИНА ОЛЕГОВНА

КАПУСТИНА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

БАГАЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

АСАУЛЮК ДЕНИС ОЛЕГОВИЧ

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

ФАНДИКОВ ИВАН АНАТОЛЬЕВИЧ

ПЕТРОВ ВЯЧЕСЛАВ ИГОРЕВИЧ

КУЛИКОВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ДНЕПРОВСКИЙ АНДРЕЙ ЮРЬЕВИЧ

ЗВЕРЬКОВ ЕГОР ВЛАДИМИРОВИЧ

БОЛЬШОЕ СПОСИБО ЗА ПРЕДОСТАВЛЕННУЮ

ТЕХНИКУ

ЧАГДУРОВОЙ ЭЛЬВИРЕ ЦИДЕНОВНЕ

ППРАРПРАПРПАР

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27

Задача 5

Диагонали трапеции равны 3 и 5 а отрезок соединяющий середины оснований равен 2 Найти площадь трапеции

Выполнили Петров В Куликов П Черных Р

A

B C

D

N

MK E

F H

Дано ABCD ndash трапеция CA=3BD=5NM=2BN = NCAM = MD НайтиSABCD

Решение

1) Выполним параллельный перенос диагонали CA на вектор CN и диагонали CA на вектор CN

2) Получим KNE где KE=BC+AD и NM-медиана KN =3 NE=5 NM=2

3) SKNE = SABCD

4) Рассмотрим KNE

K

N

E

R

M xx

3

3

2

2

5

5

KM = ME = x

(2x) + 4 = 2(3 + 5 )

4x + 16 = 68

x = 13 KE = 2 13

5) KNM-прямоугольный

тк ( 13 ) = 3 +2 =

KNM = 90 SKNM=

23 =3 = SKNE

=23=6

Ответ SABCD=6

1

2 2

2

2

2

22 2

Задача 6

bull В трапеции ABCD AC перпендикулярна BD АС=16 BD=12 Найти среднюю линию

bull ( Эта задача предлагалась на централизованном тестировании по геометрии 2002 г)

ВЫПОЛНИЛИ ДНЕПРОВСКИЙ А

ЗВЕРЬКОВ Е

Способ 1

А

В C

D

О

KH

Х y

12 - y16 ndash

x

Решение AO = x DO = y OC = 16 ndash x BO = 12 ndash y∆BOC подобен ∆DOA 12 - y ∕ y = 16 - x ∕ x 12x ndash xy = 16y ndash xy 3x = 4y y = frac34x3x = 4y y = frac34x Sтр = frac12x middot frac34x + frac12(16 ndash x)(12 - frac34x)+ +frac12(16 ndash x) middot frac34x + frac12x middot (12 - frac34x) = ⅜xsup2 + frac12(192 ndash 12x ndash -12x + frac34xsup2) + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = ⅜xsup2 + 96 ndash 6x ndash 6x ++ ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = 96ADsup2 = xsup2 + (frac34xsup2) = 2516 xsup2 AD = 54 xx middot frac34x = 54x middot OK OK = x middot frac34x ∕ 54x = 35x∆BHD подобен ∆OKD =gt BHOK = BDOD BH ∕ 35x == 12 ∕ frac34x =gt BH = 365x middot 43x = 96Sтр AD + BC ∕ 2 middot BH 54x + BC ∕ 2 middot 96 = 9654x + BC ∕ 2 = MNMN middot 96 = 96MN = 10

N M

Ответ MN = 10

А

В

D D1

Перенесём диагональ BD на вектор ВС Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD1 где гипотенуза AD1 равна сумме оснований трапеции ABCD тк DBCD1

параллелограмм где BC=DD1 BD=CD1 Из ACD1 ADsup21 =ACsup2+CDsup21ADsup21 = 16sup2+12sup2=256+144=400ADsup21=400AD1=20 Средняя линия треугольника равна половине суммы оснований те MN= AD12=202=10

12

оХ

16-х

y

12-y

Способ 2

С

N M

Ответ NM = 10

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Над задачами работали

ЗАДОРОЖНЫЙ КОНСТАНТИН СЕРГЕЕВИЧ

КИЛИН МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧЕРНЫХ РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

АСЕЕВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

ПРИТУПОВА КРИСТИНА ОЛЕГОВНА

КАПУСТИНА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

БАГАЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

АСАУЛЮК ДЕНИС ОЛЕГОВИЧ

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

ФАНДИКОВ ИВАН АНАТОЛЬЕВИЧ

ПЕТРОВ ВЯЧЕСЛАВ ИГОРЕВИЧ

КУЛИКОВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ДНЕПРОВСКИЙ АНДРЕЙ ЮРЬЕВИЧ

ЗВЕРЬКОВ ЕГОР ВЛАДИМИРОВИЧ

БОЛЬШОЕ СПОСИБО ЗА ПРЕДОСТАВЛЕННУЮ

ТЕХНИКУ

ЧАГДУРОВОЙ ЭЛЬВИРЕ ЦИДЕНОВНЕ

ППРАРПРАПРПАР

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27

A

B C

D

N

MK E

F H

Дано ABCD ndash трапеция CA=3BD=5NM=2BN = NCAM = MD НайтиSABCD

Решение

1) Выполним параллельный перенос диагонали CA на вектор CN и диагонали CA на вектор CN

2) Получим KNE где KE=BC+AD и NM-медиана KN =3 NE=5 NM=2

3) SKNE = SABCD

4) Рассмотрим KNE

K

N

E

R

M xx

3

3

2

2

5

5

KM = ME = x

(2x) + 4 = 2(3 + 5 )

4x + 16 = 68

x = 13 KE = 2 13

5) KNM-прямоугольный

тк ( 13 ) = 3 +2 =

KNM = 90 SKNM=

23 =3 = SKNE

=23=6

Ответ SABCD=6

1

2 2

2

2

2

22 2

Задача 6

bull В трапеции ABCD AC перпендикулярна BD АС=16 BD=12 Найти среднюю линию

bull ( Эта задача предлагалась на централизованном тестировании по геометрии 2002 г)

ВЫПОЛНИЛИ ДНЕПРОВСКИЙ А

ЗВЕРЬКОВ Е

Способ 1

А

В C

D

О

KH

Х y

12 - y16 ndash

x

Решение AO = x DO = y OC = 16 ndash x BO = 12 ndash y∆BOC подобен ∆DOA 12 - y ∕ y = 16 - x ∕ x 12x ndash xy = 16y ndash xy 3x = 4y y = frac34x3x = 4y y = frac34x Sтр = frac12x middot frac34x + frac12(16 ndash x)(12 - frac34x)+ +frac12(16 ndash x) middot frac34x + frac12x middot (12 - frac34x) = ⅜xsup2 + frac12(192 ndash 12x ndash -12x + frac34xsup2) + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = ⅜xsup2 + 96 ndash 6x ndash 6x ++ ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = 96ADsup2 = xsup2 + (frac34xsup2) = 2516 xsup2 AD = 54 xx middot frac34x = 54x middot OK OK = x middot frac34x ∕ 54x = 35x∆BHD подобен ∆OKD =gt BHOK = BDOD BH ∕ 35x == 12 ∕ frac34x =gt BH = 365x middot 43x = 96Sтр AD + BC ∕ 2 middot BH 54x + BC ∕ 2 middot 96 = 9654x + BC ∕ 2 = MNMN middot 96 = 96MN = 10

N M

Ответ MN = 10

А

В

D D1

Перенесём диагональ BD на вектор ВС Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD1 где гипотенуза AD1 равна сумме оснований трапеции ABCD тк DBCD1

параллелограмм где BC=DD1 BD=CD1 Из ACD1 ADsup21 =ACsup2+CDsup21ADsup21 = 16sup2+12sup2=256+144=400ADsup21=400AD1=20 Средняя линия треугольника равна половине суммы оснований те MN= AD12=202=10

12

оХ

16-х

y

12-y

Способ 2

С

N M

Ответ NM = 10

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Над задачами работали

ЗАДОРОЖНЫЙ КОНСТАНТИН СЕРГЕЕВИЧ

КИЛИН МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧЕРНЫХ РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

АСЕЕВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

ПРИТУПОВА КРИСТИНА ОЛЕГОВНА

КАПУСТИНА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

БАГАЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

АСАУЛЮК ДЕНИС ОЛЕГОВИЧ

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

ФАНДИКОВ ИВАН АНАТОЛЬЕВИЧ

ПЕТРОВ ВЯЧЕСЛАВ ИГОРЕВИЧ

КУЛИКОВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ДНЕПРОВСКИЙ АНДРЕЙ ЮРЬЕВИЧ

ЗВЕРЬКОВ ЕГОР ВЛАДИМИРОВИЧ

БОЛЬШОЕ СПОСИБО ЗА ПРЕДОСТАВЛЕННУЮ

ТЕХНИКУ

ЧАГДУРОВОЙ ЭЛЬВИРЕ ЦИДЕНОВНЕ

ППРАРПРАПРПАР

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27

4) Рассмотрим KNE

K

N

E

R

M xx

3

3

2

2

5

5

KM = ME = x

(2x) + 4 = 2(3 + 5 )

4x + 16 = 68

x = 13 KE = 2 13

5) KNM-прямоугольный

тк ( 13 ) = 3 +2 =

KNM = 90 SKNM=

23 =3 = SKNE

=23=6

Ответ SABCD=6

1

2 2

2

2

2

22 2

Задача 6

bull В трапеции ABCD AC перпендикулярна BD АС=16 BD=12 Найти среднюю линию

bull ( Эта задача предлагалась на централизованном тестировании по геометрии 2002 г)

ВЫПОЛНИЛИ ДНЕПРОВСКИЙ А

ЗВЕРЬКОВ Е

Способ 1

А

В C

D

О

KH

Х y

12 - y16 ndash

x

Решение AO = x DO = y OC = 16 ndash x BO = 12 ndash y∆BOC подобен ∆DOA 12 - y ∕ y = 16 - x ∕ x 12x ndash xy = 16y ndash xy 3x = 4y y = frac34x3x = 4y y = frac34x Sтр = frac12x middot frac34x + frac12(16 ndash x)(12 - frac34x)+ +frac12(16 ndash x) middot frac34x + frac12x middot (12 - frac34x) = ⅜xsup2 + frac12(192 ndash 12x ndash -12x + frac34xsup2) + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = ⅜xsup2 + 96 ndash 6x ndash 6x ++ ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = 96ADsup2 = xsup2 + (frac34xsup2) = 2516 xsup2 AD = 54 xx middot frac34x = 54x middot OK OK = x middot frac34x ∕ 54x = 35x∆BHD подобен ∆OKD =gt BHOK = BDOD BH ∕ 35x == 12 ∕ frac34x =gt BH = 365x middot 43x = 96Sтр AD + BC ∕ 2 middot BH 54x + BC ∕ 2 middot 96 = 9654x + BC ∕ 2 = MNMN middot 96 = 96MN = 10

N M

Ответ MN = 10

А

В

D D1

Перенесём диагональ BD на вектор ВС Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD1 где гипотенуза AD1 равна сумме оснований трапеции ABCD тк DBCD1

параллелограмм где BC=DD1 BD=CD1 Из ACD1 ADsup21 =ACsup2+CDsup21ADsup21 = 16sup2+12sup2=256+144=400ADsup21=400AD1=20 Средняя линия треугольника равна половине суммы оснований те MN= AD12=202=10

12

оХ

16-х

y

12-y

Способ 2

С

N M

Ответ NM = 10

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Над задачами работали

ЗАДОРОЖНЫЙ КОНСТАНТИН СЕРГЕЕВИЧ

КИЛИН МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧЕРНЫХ РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

АСЕЕВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

ПРИТУПОВА КРИСТИНА ОЛЕГОВНА

КАПУСТИНА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

БАГАЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

АСАУЛЮК ДЕНИС ОЛЕГОВИЧ

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

ФАНДИКОВ ИВАН АНАТОЛЬЕВИЧ

ПЕТРОВ ВЯЧЕСЛАВ ИГОРЕВИЧ

КУЛИКОВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ДНЕПРОВСКИЙ АНДРЕЙ ЮРЬЕВИЧ

ЗВЕРЬКОВ ЕГОР ВЛАДИМИРОВИЧ

БОЛЬШОЕ СПОСИБО ЗА ПРЕДОСТАВЛЕННУЮ

ТЕХНИКУ

ЧАГДУРОВОЙ ЭЛЬВИРЕ ЦИДЕНОВНЕ

ППРАРПРАПРПАР

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27

Задача 6

bull В трапеции ABCD AC перпендикулярна BD АС=16 BD=12 Найти среднюю линию

bull ( Эта задача предлагалась на централизованном тестировании по геометрии 2002 г)

ВЫПОЛНИЛИ ДНЕПРОВСКИЙ А

ЗВЕРЬКОВ Е

Способ 1

А

В C

D

О

KH

Х y

12 - y16 ndash

x

Решение AO = x DO = y OC = 16 ndash x BO = 12 ndash y∆BOC подобен ∆DOA 12 - y ∕ y = 16 - x ∕ x 12x ndash xy = 16y ndash xy 3x = 4y y = frac34x3x = 4y y = frac34x Sтр = frac12x middot frac34x + frac12(16 ndash x)(12 - frac34x)+ +frac12(16 ndash x) middot frac34x + frac12x middot (12 - frac34x) = ⅜xsup2 + frac12(192 ndash 12x ndash -12x + frac34xsup2) + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = ⅜xsup2 + 96 ndash 6x ndash 6x ++ ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = 96ADsup2 = xsup2 + (frac34xsup2) = 2516 xsup2 AD = 54 xx middot frac34x = 54x middot OK OK = x middot frac34x ∕ 54x = 35x∆BHD подобен ∆OKD =gt BHOK = BDOD BH ∕ 35x == 12 ∕ frac34x =gt BH = 365x middot 43x = 96Sтр AD + BC ∕ 2 middot BH 54x + BC ∕ 2 middot 96 = 9654x + BC ∕ 2 = MNMN middot 96 = 96MN = 10

N M

Ответ MN = 10

А

В

D D1

Перенесём диагональ BD на вектор ВС Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD1 где гипотенуза AD1 равна сумме оснований трапеции ABCD тк DBCD1

параллелограмм где BC=DD1 BD=CD1 Из ACD1 ADsup21 =ACsup2+CDsup21ADsup21 = 16sup2+12sup2=256+144=400ADsup21=400AD1=20 Средняя линия треугольника равна половине суммы оснований те MN= AD12=202=10

12

оХ

16-х

y

12-y

Способ 2

С

N M

Ответ NM = 10

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Над задачами работали

ЗАДОРОЖНЫЙ КОНСТАНТИН СЕРГЕЕВИЧ

КИЛИН МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧЕРНЫХ РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

АСЕЕВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

ПРИТУПОВА КРИСТИНА ОЛЕГОВНА

КАПУСТИНА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

БАГАЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

АСАУЛЮК ДЕНИС ОЛЕГОВИЧ

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

ФАНДИКОВ ИВАН АНАТОЛЬЕВИЧ

ПЕТРОВ ВЯЧЕСЛАВ ИГОРЕВИЧ

КУЛИКОВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ДНЕПРОВСКИЙ АНДРЕЙ ЮРЬЕВИЧ

ЗВЕРЬКОВ ЕГОР ВЛАДИМИРОВИЧ

БОЛЬШОЕ СПОСИБО ЗА ПРЕДОСТАВЛЕННУЮ

ТЕХНИКУ

ЧАГДУРОВОЙ ЭЛЬВИРЕ ЦИДЕНОВНЕ

ППРАРПРАПРПАР

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27

Способ 1

А

В C

D

О

KH

Х y

12 - y16 ndash

x

Решение AO = x DO = y OC = 16 ndash x BO = 12 ndash y∆BOC подобен ∆DOA 12 - y ∕ y = 16 - x ∕ x 12x ndash xy = 16y ndash xy 3x = 4y y = frac34x3x = 4y y = frac34x Sтр = frac12x middot frac34x + frac12(16 ndash x)(12 - frac34x)+ +frac12(16 ndash x) middot frac34x + frac12x middot (12 - frac34x) = ⅜xsup2 + frac12(192 ndash 12x ndash -12x + frac34xsup2) + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = ⅜xsup2 + 96 ndash 6x ndash 6x ++ ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 + 6x - ⅜xsup2 = 96ADsup2 = xsup2 + (frac34xsup2) = 2516 xsup2 AD = 54 xx middot frac34x = 54x middot OK OK = x middot frac34x ∕ 54x = 35x∆BHD подобен ∆OKD =gt BHOK = BDOD BH ∕ 35x == 12 ∕ frac34x =gt BH = 365x middot 43x = 96Sтр AD + BC ∕ 2 middot BH 54x + BC ∕ 2 middot 96 = 9654x + BC ∕ 2 = MNMN middot 96 = 96MN = 10

N M

Ответ MN = 10

А

В

D D1

Перенесём диагональ BD на вектор ВС Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD1 где гипотенуза AD1 равна сумме оснований трапеции ABCD тк DBCD1

параллелограмм где BC=DD1 BD=CD1 Из ACD1 ADsup21 =ACsup2+CDsup21ADsup21 = 16sup2+12sup2=256+144=400ADsup21=400AD1=20 Средняя линия треугольника равна половине суммы оснований те MN= AD12=202=10

12

оХ

16-х

y

12-y

Способ 2

С

N M

Ответ NM = 10

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Над задачами работали

ЗАДОРОЖНЫЙ КОНСТАНТИН СЕРГЕЕВИЧ

КИЛИН МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧЕРНЫХ РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

АСЕЕВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

ПРИТУПОВА КРИСТИНА ОЛЕГОВНА

КАПУСТИНА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

БАГАЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

АСАУЛЮК ДЕНИС ОЛЕГОВИЧ

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

ФАНДИКОВ ИВАН АНАТОЛЬЕВИЧ

ПЕТРОВ ВЯЧЕСЛАВ ИГОРЕВИЧ

КУЛИКОВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ДНЕПРОВСКИЙ АНДРЕЙ ЮРЬЕВИЧ

ЗВЕРЬКОВ ЕГОР ВЛАДИМИРОВИЧ

БОЛЬШОЕ СПОСИБО ЗА ПРЕДОСТАВЛЕННУЮ

ТЕХНИКУ

ЧАГДУРОВОЙ ЭЛЬВИРЕ ЦИДЕНОВНЕ

ППРАРПРАПРПАР

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27

А

В

D D1

Перенесём диагональ BD на вектор ВС Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD1 где гипотенуза AD1 равна сумме оснований трапеции ABCD тк DBCD1

параллелограмм где BC=DD1 BD=CD1 Из ACD1 ADsup21 =ACsup2+CDsup21ADsup21 = 16sup2+12sup2=256+144=400ADsup21=400AD1=20 Средняя линия треугольника равна половине суммы оснований те MN= AD12=202=10

12

оХ

16-х

y

12-y

Способ 2

С

N M

Ответ NM = 10

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Над задачами работали

ЗАДОРОЖНЫЙ КОНСТАНТИН СЕРГЕЕВИЧ

КИЛИН МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧЕРНЫХ РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

АСЕЕВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

ПРИТУПОВА КРИСТИНА ОЛЕГОВНА

КАПУСТИНА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

БАГАЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

АСАУЛЮК ДЕНИС ОЛЕГОВИЧ

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

ФАНДИКОВ ИВАН АНАТОЛЬЕВИЧ

ПЕТРОВ ВЯЧЕСЛАВ ИГОРЕВИЧ

КУЛИКОВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ДНЕПРОВСКИЙ АНДРЕЙ ЮРЬЕВИЧ

ЗВЕРЬКОВ ЕГОР ВЛАДИМИРОВИЧ

БОЛЬШОЕ СПОСИБО ЗА ПРЕДОСТАВЛЕННУЮ

ТЕХНИКУ

ЧАГДУРОВОЙ ЭЛЬВИРЕ ЦИДЕНОВНЕ

ППРАРПРАПРПАР

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27

Главный руководитель

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

Над задачами работали

ЗАДОРОЖНЫЙ КОНСТАНТИН СЕРГЕЕВИЧ

КИЛИН МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧЕРНЫХ РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

АСЕЕВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

ПРИТУПОВА КРИСТИНА ОЛЕГОВНА

КАПУСТИНА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

БАГАЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

АСАУЛЮК ДЕНИС ОЛЕГОВИЧ

КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА

ФАНДИКОВ ИВАН АНАТОЛЬЕВИЧ

ПЕТРОВ ВЯЧЕСЛАВ ИГОРЕВИЧ

КУЛИКОВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ДНЕПРОВСКИЙ АНДРЕЙ ЮРЬЕВИЧ

ЗВЕРЬКОВ ЕГОР ВЛАДИМИРОВИЧ

БОЛЬШОЕ СПОСИБО ЗА ПРЕДОСТАВЛЕННУЮ

ТЕХНИКУ

ЧАГДУРОВОЙ ЭЛЬВИРЕ ЦИДЕНОВНЕ

ППРАРПРАПРПАР

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27