问题探究如图，是一块直角三角形余料，∠ C=90° ，工人

师傅要把它加工成一个正方形零件，使点 C 为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB、 BC、 AC 边上．你有什么办法吗？

双流中学实验学校 朱春烨

还记得角平分线上的点有什么性质吗 ?你是怎样得到的 ?

用心想一想

角平分线上的点到角两边的距离相等．

已知：如图， OC是∠ AOB的平分线，点 P 在 OC上，PD OA⊥ ， PE OB⊥ ，垂足分别为 D 、 E．

求证： PD=PE．

证明：∵∠ 1= 2∠ ， OP=OP，

∠PDO= PEO=90°∠ ，

在△ PDO 和△ PEO 中，

∠1= 2 ∠

∠PDO= PEO ∠

OP=OP

∴△PDO PEO(AAS)≌△ ．

∴ PD=PE(全等三角形的对应边相等 )

21

E

D

CP

O

B

A

角平分线的性质定理

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

21

E

D

CP

O

B

A

如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必 在这个角的平分线上．

你能写出这个定理的逆命题吗 ?

用心想一想，马到功成

角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．

这是一个真命题吗 ?

已知：在∠ AOB内部有一点 P，且 PD OA⊥ ， PE OB⊥ ，D 、 E为垂足且 PD=PE，

求证：点 P在∠ AOB的角平分线上．

用心想一想，马到功成

证明：∵ PD OA⊥ ， PE OB⊥ ，

∴∠ PDO= PEO=90°∠ ．

在 Rt ODP△ 和 Rt OEP△ 中

OP=OP，

PD=PE

∴ Rt ODP Rt OEP(HL)△ ≌ △ ．

∴∠ 1= 2(∠ 全等三角形对应角相等 )．

21

E

D

CP

O

B

A

角平分线的判定定理

在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．

• 例 1 ：在 △ ABC 中，∠ BAC = 60° ，点 D 在 BC 上， AD = 10 ， DE AB⊥ ， DF AC⊥ ，垂足分别为 E ， F ，且 DE = DF ，求 DE 的长 .

用心做一做，马到功成

问题解决如图，是一块直角三角形余料，∠ C=90° ，工人

师傅要把它加工成一个正方形零件，使点 C 为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB、 BC、 AC 边上．你有什么办法吗？

课堂小结 , 畅谈收获：

( 一 )角平分线的性质定理

角平分线上的点到角两边的距离相等．

( 二 ) 角平分线的判定定理

在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．