第四讲 第四讲 MATLABMATLAB 语言语言 与现代科学计算 与现代科学计算

4.1 数值线性代数问题4.2 数值微积分4.3 数据插值与统计分析4.4 数学问题的解析运算与高

精度运算4.5 例子与习题

4.1 4.1 数值线性代数问题数值线性代数问题

一些 MATLAB 特殊矩阵

零矩阵： A=zeros(m, n); 其中 （ m, n ） 定义零矩阵维数大

小全 1 矩阵： A=ones(m, n); 其中 （ m, n ） 定义矩阵维数大

小单位矩阵： A=eye(m, n); 其中 （ m, n ） 定义零矩阵维数大

小随机元素矩阵： A=rand(m, n); ［ 0 ， 1 ］上均匀分布

A=randn(m, n); 正态分布

对角矩阵： A=diag(v); V 为对角向量

4.1 4.1 数值线性代数问题数值线性代数问题Hilbert 矩阵： A=hilb(n);

The elements of the Hilbert matrices are: H(i, j) = 1/(i+j-1)

伴随矩阵： A=compan(p); 其中 p 为多项式系数向量 多项式

对应的向量为 p=[ 1 2 7 6 9 8 ] ，它的伴随矩阵为 >> compan(p)

ans =

-2 -7 -6 -9 -8

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

89672 2345 xxxxxxf

4.1 4.1 数值线性代数问题数值线性代数问题Hankel 矩阵： A=hankel(c, r);

A Hankel matrix is a matrix that is symmetric and constant across the anti-diagonals, and has elements h(i,j) = p(i+j-1), where vector

p = [c r(2:end)] completely determines the Hankel matrix.

c = 1:3; r = 7:10;

h = hankel(c,r)

h =

1 2 3 8

2 3 8 9

3 8 9 10

p = [1 2 3 8 9 10]

4.1 4.1 数值线性代数问题数值线性代数问题Vandermonde 矩阵： A=vander(c, r);

A = vander(v) returns the Vandermonde matrix whose columns are powers of the vector V, that is A(i,j) = v(i)^(n-j).

>> c=1:5, v=vander(c)

c = 1 2 3 4 5

v =

1 1 1 1 1

16 8 4 2 1

81 27 9 3 1

256 64 16 4 1

625 125 25 5 1

4.1 4.1 数值线性代数问题数值线性代数问题

矩阵行列式： det(A)

矩阵的迹： trace(A) ( 即对角线元素之和）

矩阵的秩： rank(A) 即线性无关的列数或行数

矩阵的特征多项式： poly(A)

即 AsIsp det

矩阵的特征根 roots(poly(A))

4.1 4.1 数值线性代数问题数值线性代数问题

矩阵的范数 norm(A, p)p norm(A, p)

1 The 1-norm, or largest column sum of A, max(sum(abs((A)))

2 The largest singular value (same as norm(A))

inf The infinity norm, or largest row sum of A, max(sum(abs(A')))

‘fro’

The Frobenius-norm of matrix A, sqrt(sum(diag(A'*A)))

当 A 为向量时，范数定义稍有不同，如下表所示norm(A, p) Returns sum(abs(A).^p)^(1/p), for any

norm(A) Returns norm(A,2)

norm(A,inf) Returns max(abs(A))

norm(A,-inf) Returns min(abs(A))

p1

4.1 4.1 数值线性代数问题数值线性代数问题

矩阵的特征值与特征向量xxA

［ V, D]= eig(A) 矩阵 V 的各列为特征向量，矩阵 D 的对角元素为特征值

>> a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0]; [v,d]=eig(a)v = -0.2998 -0.7471 -0.2763 -0.7075 0.6582 -0.3884 -0.6400 -0.0931 0.8791d = 12.1229 0 0 0 -0.3884 0 0 0 -5.7345

4.1 4.1 数值线性代数问题数值线性代数问题

矩阵求逆与线性方程求解

B= inv(A) 求矩阵 A 的逆矩阵

>> a=[1 2 3;4 5 6; 7 8 0]; b=inv(a); c=a*b;d= b*a; [b c d]

ans =

-1.7778 0.8889 -0.1111 1.0000 0 -0.0000 1.0000 0.0000 0

1.5556 -0.7778 0.2222 -0.0000 1.0000 0 -0.0000 1.0000 0

-0.1111 0.2222 -0.1111 0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000

4.1 4.1 数值线性代数问题数值线性代数问题

面向矩阵各个元素的函数 B= 函数名 (A)

用命令 help elfun 可以查看这些命令列表，主要有

sin sinh asin asinh cos cosh acos acosh tan tanh atan atan2 atanh sec sech asec asech csc csch acsc acsch cot coth acot acoth exp log log10 log2 pow2 sqrt abs angle complex conj imag real unwrap isreal cplxpair fix floor ceil round mod rem sign

4.1 4.1 数值线性代数问题数值线性代数问题

对矩阵进行数值分析的函数 B= 函数名 (A)

用命令 help datafun 可以查看这些命令列表，主要有

max min mean median std var sort sortrows sum prod hist histc trapz cumsum cumprod cumtrapz diff gradient del2

corrcoef cov subspace

filter filter2 conv conv2 convn deconv detrend

fft fft2 fftn ifft ifft2 ifftn fftshift ifftshift

4.2 4.2 数值微积分数值微积分数值差分运算 dy=diff(y) ( 按列运算）

>> y=magic(6)y = 35 1 6 26 19 24 3 32 7 21 23 25 31 9 2 22 27 20 8 28 33 17 10 15 30 5 34 12 14 16 4 36 29 13 18 11>> diff(y)ans = -32 31 1 -5 4 1 28 -23 -5 1 4 -5 -23 19 31 -5 -17 -5 22 -23 1 -5 4 1 -26 31 -5 1 4 -5

4.2 4.2 数值微积分数值微积分数值积分 [y, n]=quad( F, a, b, tol);

[y, n]=quad8(F, a, b, tol);

[y, n]=quadl(F, a, b, tol);

其中 F 为被积函数， a, b 为积分上下限， tol 为误差限

y 为积分结果， n 为被积分函数的调用次数。tol 的缺省值对 quad 函数为 1e-3

对 quad8 和 quadl 函数为 1e-6

quad8 和 quadl 函数使用的算法比 quad 高得多

4.2 4.2 数值微积分数值微积分

例子：求无穷定积分 dxex 2/2

2

1

>> f=inline('1/sqrt(2*pi)*exp(-x.^2/2)','x');

>> [y,kk]=quad(f,-8,8)

y = 1.00000197533430

kk = 81

>> [y1,kk1]=quad8(f,-8,8)

y1 = 1.00000000000023

kk1 = 161

>> [y,kk]=quad(f,-15,15)

y = 0.99999920879563

kk = 89

>> [y1,kk1]=quad8(f,-15,15)

y1 = 0.99999999999999

kk1 = 769

该无穷定积分的理论值为 1

4.2 4.2 数值微积分数值微积分

例子：双重积分 dxdyyxex

22/1

1

2

2sin

2

12

用函数 dblquad(F, xmin, xmax, ymin, ymax, tol) 求双重积分

>> f=inline('exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y)','x','y');

>> y=dblquad(f,-2,2,-1,1)

y = 1.57450259485169

4.3 4.3 数据插值与统计分析数据插值与统计分析

一维插值用函数 y=interp1(x, y, x1, method)

x 和 y 两个向量分别表示给定的一组自变量和函数值数据，

x1 为一组新的插值点，而得出的 y1 是在这一组插值点处

的插值结果，插值方法有 ‘ linear’ 线性插值，‘ cubic’ 三

次插值，‘ spline’ 样条插值等。

多项式拟合函数 p=polyfit(x, y,n)

x 和 y 两个向量分别表示给定的一组自变量和函数值数据，

n 为预期的多项式的阶次，返回的 p 为插值多项式系数。

4.3 4.3 数据插值与统计分析数据插值与统计分析例：假设已知的数据点来自下面的函数

xexx x sin53 52

>> x=0:0.12:1; y=(x.^2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x);

>> x1=0:0.02:1; y0=(x1.^2-3*x1+5).*exp(-5*x1).*sin(x1);

>> y1=interp1(x,y,x1); y2=interp1(x,y,x1,'cubic');

>> y3=interp1(x,y,x1,'spline');

>> plot(x,y,x,y,'o');

>> hold on; plot(x1,[y1',y2',y3'],':',x,y,'o',x1,y0)

>> [max(abs(y0-y2)), max(abs(y0-y3))]

ans = 0.01765138386097 0.00861395506624

4.3 4.3 数据插值与统计分析数据插值与统计分析

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

4.3 4.3 数据插值与统计分析数据插值与统计分析数据统计分析

［ x, i ］ = max(X), 或 ［ x , i ］ = min(X)

返回矩阵 X 各列的最大值或最小值， i 为各列最大值或最小值所在位置的行号构成的向量

［ x, i ］ = sort(X) 对矩阵 X 各列排序

y= mean(X) 求矩阵 X 中各列向量的均值

y= std(X) 求矩阵 X 中各列向量的标准差

y= median(X) 求矩阵 X 中各列向量的中间值

y= cov(X) 求协方差

y= corrcoef(X) 求相关系数矩阵

4.3 4.3 数据插值与统计分析数据插值与统计分析例子 >> s=randn(10000, 5); M=mean(s), D=std(s), MD=median(s)

M = 0.0148 -0.0149 -0.0026 -0.0067 -0.0037

D = 0.9940 1.0024 1.0098 1.0044 1.0043

MD = 0.0250 -0.0104 0.0064 -0.0090 -0.0185

>> V=corrcoef(s)

V =

1.0000 0.0047 0.0100 0.0197 -0.0079

0.0047 1.0000 0.0219 -0.0062 0.0009

0.0100 0.0219 1.0000 0.0021 0.0081

0.0197 -0.0062 0.0021 1.0000 -0.0028

-0.0079 0.0009 0.0081 -0.0028 1.0000

4.4 4.4 数学问题的解析运算与高精度运算数学问题的解析运算与高精度运算

MATLAB 本身没有提供解析运算，即符号运算的能

力，但借助于著名的符号运算软件 MAPLE ， M

ATLAB 提供了一个符号运算工具箱，使得 MAT

AB 可以进行符号运算及进行高精度运算

syms 变量列表 定义符号变量

s=sym(A) 从 A 中定义符号对象 s 。

4.4 4.4 数学问题的解析运算与高精度运算数学问题的解析运算与高精度运算

观察下例 >> a=hilb(5), b=sym(hilb(5)),whosa = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111b =[ 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5] [ 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6] [ 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7] [ 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8] [ 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9]Name Size Bytes Classa 5x5 200 double arrayb 5x5 2478 sym object

4.4 4.4 数学问题的解析运算与高精度运算数学问题的解析运算与高精度运算可以用命令 help symbolic 查看 MATLAB 提供的符号运

算命令，可以看出有很多，我们只介绍少数几个命令。

>> a=sym(hilb(4)); b=inv(a); [ a b] ans = [ 1, 1/2, 1/3, 1/4, 16, -120, 240, -140][ 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, -120, 1200, -2700, 1680][ 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 240, -2700, 6480, -4200][ 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, -140, 1680, -4200, 2800] >> c=a*b c = [ 1, 0, 0, 0] [ 0, 1, 0, 0] [ 0, 0, 1, 0] [ 0, 0, 0, 1]

矩阵求逆 inv(A)

4.4 4.4 数学问题的解析运算与高精度运算数学问题的解析运算与高精度运算极限、微分、积分和 Taylor 级数展开 limit, diff, int, taylo

r >> syms x a t h; limit(sin(x)/x) ans =1 >> limit((x-2)/(x^2-4),2) ans =1/4 >> limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf) ans =exp(6*t) >> limit(1/x,x,0,'right') ans =inf >> limit(1/x,x,0,'left') ans =-inf >> limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0) ans =cos(x) >> v = [(1 + a/x)^x, exp(-x)];limit(v,x,inf,'left') ans =[ exp(a), 0]

4.4 4.4 数学问题的解析运算与高精度运算数学问题的解析运算与高精度运算极限、微分、积分和 Taylor 级数展开 limit, diff, int, taylo

r>> syms x t; diff(sin(x^2))

ans =2*cos(x^2)*x

>> [diff(t^6,1), diff(t^6, 2), diff(t^6, 3),diff(t^6, 4),diff(t^6, 5),diff(t^6, 6)]

ans =[ 6*t^5, 30*t^4, 120*t^3, 360*t^2, 720*t, 720]

>> syms x x1 alpha u t;

>> int(1/(1+x^2))

ans =atan(x)

>> int(sin(alpha*u),alpha)

ans =-1/u*cos(alpha*u)

>> int(x1*log(1+x1),0,1)

ans =1/4

4.4 4.4 数学问题的解析运算与高精度运算数学问题的解析运算与高精度运算

极限、微分、积分和 Taylor 级数展开 limit, diff, int, taylo

r>> taylor(exp(-x))

ans =1-x+1/2*x^2-1/6*x^3+1/24*x^4-1/120*x^5

>> taylor(log(x),6,1)

ans =x-1-1/2*(x-1)^2+1/3*(x-1)^3-1/4*(x-1)^4+1/5*(x-1)^5

>> taylor(sin(x),pi/2,6)

ans =1-1/2*(x-1/2*pi)^2+1/24*(x-1/2*pi)^4

>> taylor(x^t,3,t)

ans =1+log(x)*t+1/2*log(x)^2*t^2

4.4 4.4 数学问题的解析运算与高精度运算数学问题的解析运算与高精度运算

无穷级数求和 symsum

1 3

1

2

12n

nn

>> syms n k; symsum(2/2^n+2/3^n, n, 1, inf)

ans =3

>> symsum(k, 0, n-1)

ans =1/2*n^2-1/2*n

>> symsum(k^2,0,10)

ans =385

>> symsum(1/k^2,1,Inf)

ans =1/6*pi^2

4.4 4.4 数学问题的解析运算与高精度运算数学问题的解析运算与高精度运算

积分变换 laplace, ilaplace, fourier, ifourier, ztrans, iztrans

>> syms a s t w x

>> laplace(t^5)

ans =120/s^6

>> laplace(exp(a*s))

ans =1/(t-a)

>> laplace(sin(w*x),t)

ans =w/(t^2+w^2)

>> syms t v w x

>> fourier(exp(-x^2),x,t)

ans =pi^(1/2)*exp(-1/4*t^2)

>> fourier(exp(-t)*sym('Heaviside(t)'),v)

ans =1/(1+i*v)

>> fourier(diff(sym('F(x)')),x,w)

ans =i*w*fourier(F(x),x,w)

4.4 4.4 数学问题的解析运算与高精度运算数学问题的解析运算与高精度运算变精度运算 vpa(S, D) 。函数 vpa(S, D) 将符号结果 S 的

数值答案求到任意指定的有效位数 D ， D 的缺省值为16 。

>> vpa(pi, 60)

ans =3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494

>> vpa(sqrt(2), 80)

ans =

1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070

>> vpa(hilb(2),30)

ans =

[ 1., .500000000000000000000000000000]

[ .500000000000000000000000000000, .333333333333333333333333333333]

4.5 4.5 例子与习题例子与习题

例一、构造一个 11 阶的 Hilbert 矩阵，并得出该矩阵的条件

数，再用 inv 函数和 invhilb 函数求该矩阵的逆，并验证

得出的逆矩阵是否真的满足逆矩阵的条件

例二、求解下面的线性代数方程，并验证得出的解满足原方程

0

1

7

4

13231

51122

23159

2127

X

12

711

46

09

51122

23159

2127

13231

X

4.5 4.5 例子与习题例子与习题例三、求定积分

例四、调用 sort 函数按列对 magic(10) 的结果矩阵进行正序

排序与逆序排序，按行进行上述同样的排序

dxxx

dxx

x

2

0

1

0 22 604.09.0

1

01.03.0

1,

sin

例五、演示 symbolic 工具箱的例子。