ล ำดับ และอนุกรม - rath centerrathcenter.com/sheet/seqfin.pdf · ล...
TRANSCRIPT
ล ำดบ และอนกรม
16 May 2017
สารบญ
ล ำดบ ........................................................................................................................................................................................ 1
ล ำดบเลขคณต ......................................................................................................................................................................... 6
ตวกลำงเลขคณต .................................................................................................................................................................. 16
ล ำดบเรขำคณต ..................................................................................................................................................................... 18
ตวกลำงเรขำคณต ................................................................................................................................................................. 28
ล ำดบเวยนเกด ...................................................................................................................................................................... 31
อนกรม ................................................................................................................................................................................... 35
สญลกษณซกมำ.................................................................................................................................................................... 38
อนกรมเลขคณต .................................................................................................................................................................... 43
อนกรมเรขำคณต................................................................................................................................................................... 53
ล ำดบ และอนกรม 1
ล ำดบ
ล ำดบ คอ กำรน ำสงตำงๆ (ซงมกจะเปนตวเลข) มำเรยงอยำงมล ำดบ เชน 8 , 3 , 4 , 1 , 3 , 12
โดยเรำจะเรยกแตละตวในล ำดบวำ “พจน” เชน ล ำดบ 5 , 2 , 10 , 12 , 8 จะม พจนท 1 คอ 5 , พจนท 2 คอ 2 , พจนท 4 คอ 12 เปนตน
และ เรำนยมใชตวแปร 𝑎 แทนแตละพจนในล ำดบ โดย พจนท 1 จะแทนดวย 𝑎1
พจนท 2 จะแทนดวย 𝑎2
…
พจนท 𝑛 จะแทนดวย 𝑎𝑛
เชน ล ำดบ 5 , 7 , 9 , 11 , … , 41 จะม 𝑎1 = 5 , 𝑎2 = 7 , 𝑎5 = 13 , 𝑎8 = 19
บำงท เรำอำจเจอล ำดบทมพจน “ตอไปเรอยๆ ไมมทสนสด” เชน 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , …
ล ำดบพวกน จะม “…” ตอทำยเพอบอกวำมพจนตอทำยไปเรอยๆ
เรำจะเรยกล ำดบประเภทนวำ “ล ำดบอนนต” แตถำในล ำดบ มจ ำนวนพจน เปนจ ำนวนจ ำกด เรำจะเรยกวำเปน “ล ำดบจ ำกด” เชน 1 , 2 , 3 , 4 , … เปนล ำดบอนนต 3 , 5 , 7 เปนล ำดบจ ำกด
2 , 4 , 6 , … , 200000 เปนล ำดบจ ำกด
ในกรณทตวเลขในล ำดบเรยงอยำงมระเบยบ เรำมกจะสำมำรถเดำ “สตร” ส ำหรบหำพจนทเรำตองกำรได
โดยเรำจะเรยกสตรดงกลำววำ “สตรพจนทวไป” เชน ล ำดบ 5 , 7 , 9 , 11 , … , 41 จะมสตรพจนทวไป คอ 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 3
ถำมสตรน เรำจะหำพจนไหนทตองกำรกได เชน 𝑎5 = (2)(5) + 3 = 13 𝑎8 = (2)(8) + 3 = 19
𝑎1 = (2)(1) + 3 = 5 𝑎2 = (2)(2) + 3 = 7 ในท ำนองกลบกน เรำใชสตรพจนทวไป หำวำตวเลขทก ำหนด เปนพจนทเทำไหรได โดยกำรแกสมกำรยอนกลบ
เชน ล ำดบ 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 3 ถำอยำกรวำ 29 เปนพจนทเทำไหร ใหแกสมกำร
ถำอยำกรวำ 19 เปนพจนทเทำไหร ใหแกสมกำร
ถำอยำกรวำล ำดบ 5 , 7 , 9 , 11 , … , 41 มกพจน ใหแกสมกำร
29 = 2𝑛 + 3 26 = 2𝑛 13 = 𝑛
19 = 2𝑛 + 3 16 = 2𝑛 8 = 𝑛
41 = 2𝑛 + 3 38 = 2𝑛 19 = 𝑛
2 ล ำดบ และอนกรม
บำงท เรำนยมเขยนล ำดบเปน เซตของคล ำดบ (𝑥, 𝑦) โดยให 𝑥 แทน “ล ำดบท” และให 𝑦 แทน “พจน” เชน ล ำดบ 2 , 4 , 6 , 8 , … สำมำรถเขยนอกแบบไดเปน { (1, 2) , (2, 4) , (3, 6) , (4, 8) , … }
หรอเขยนเปนแบบบอกเงอนไขไดเปน { (𝑥, 𝑦) | 𝑥 ∈ I+ ∧ 𝑦 = 2𝑥} ดงนน บำงทเรำอำจกลำววำ “ล ำดบ คอ ควำมสมพนธทมโดเมนเปนจ ำนวนเตมบวก” กได
แบบฝกหด
1. จงหำ 4 พจนแรกของล ำดบ ซงมสตรพจนทวไปดงตอไปน
1. 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 1 2. 𝑎𝑛 = 3𝑛 − 1
3. 𝑎𝑛 = 𝑛2 4. 𝑎𝑛 = (𝑛 + 1)2
5. 𝑎𝑛 = 2𝑛 6. 𝑎𝑛 = 10𝑛
2. ล ำดบหนง มสตรพจนทวไป คอ 𝑎𝑛 = 5𝑛 − 3 จงหำวำ 32 เปนพจนทเทำไรของล ำดบน
3. ล ำดบหนง มสตรพจนทวไป คอ 𝑎𝑛 = 4𝑛 + 3 จงหำวำล ำดบน มบำงพจนเทำกบ 29 หรอไม
4. ถำพจนสดทำยของล ำดบ 𝑎𝑛 = 3𝑛 + 2 มคำ 56 จงหำวำล ำดบนมกพจน
ล ำดบ และอนกรม 3
5. จงหำวำ พจนสดทำยทมคำนอยกวำ 100 ของล ำดบ 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 5 คอพจนทเทำใด
6. ล ำดบหนง มสตรพจนทวไป คอ 𝑎𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1) จงหำวำ ล ำดบนมกพจนทมคำนอยกวำ 110
7. จงหำวำล ำดบ 𝑎𝑛 = 35 − 2𝑛 มกพจนทมำกกวำ 0
8. จงหำวำใน 20 พจนแรกของล ำดบ 𝑎𝑛 = 𝑛 + 2 มกพจนทเปนเลขค
9. จงหำวำใน 30 พจนแรกของล ำดบ 𝑎𝑛 = (−1)𝑛 มกพจนทเปนจ ำนวนเตมบวก
4 ล ำดบ และอนกรม
10. จงหำวำใน 40 พจนแรกของล ำดบ 𝑎𝑛 = 𝑛 + (−1)𝑛 มกพจนทเปนเลขค
11. จงหำสตรพจนทวไปของล ำดบตอไปน
1. 1 , 2 , 3 , 4 , … 2. 3 , 3 , 3 , 3 , …
3. 1 , 4 , 9 , 16 , … 4. 4 , 9 , 16 , 25 , …
5. 2 , 4 , 8 , 16 , … 6. −1 , 1 , −1 , 1 , …
7. 10 , 100 , 1000 , 10000 , … 8. 9 , 99 , 999 , 9999 , …
12. ถำ 𝑎𝑛 = 2𝑛−1
3𝑛−2 แลวขอใด ผด [O-NET 58/22]
1. 𝑎1 = 1 2. 𝑎2 = 3
4 3. 𝑎3 = 1
4. 𝑎4 = 7
10 5. 𝑎5 =
31
13
ล ำดบ และอนกรม 5
13. ถำ 𝑎𝑛 = 2−(−1)𝑛𝑛
2𝑛+3 แลวขอใดถก [O-NET 57/19]
1. 𝑎1 = 1
5 2. 𝑎2 =
4
7 3. 𝑎3 = −
1
9 4. 𝑎4 =
2
11 5. 𝑎5 =
7
13
14. ใน 40 พจนแรกของล ำดบ 𝑎𝑛 = 3 + (−1)𝑛 มกพจน ทมคำเทำกบพจนท 40 [O-NET 53/21]
15. พจนท 8 ของล ำดบ 4
5 , 8
9 , 16
13 , 32
17 , 64
21 , … เทำกบเทำใด [O-NET 59/20]
6 ล ำดบ และอนกรม
ล ำดบเลขคณต
ล ำดบเลขคณต คอ ล ำดบทเพมหรอลดอยำงคงท โดยกำรบวก
ตวอยำงล ำดบเลขคณต เชน 5 , 8 , 11 , 14 , 17 1 , 1.5 , 2 , 2.5 , 3
4 , 1 , −2 , −5 , −8 1
3 ,
2
3 , 1 ,
4
3 ,
5
3 , 2
แต 2 , 4 , 8 , 16 ไมเปนล ำดบเลขคณต เพรำะบวกเพมไมคงท
เรำเรยกคำคงท ทน ำมำบวก วำ “ผลตำงรวม” ซงแทนดวยสญลกษณ 𝑑 เชน 5 , 8 , 11 , 14 → 𝑑 = 3 1 , 3 , 5 , 7 → 𝑑 = 2
5 , 3 , 1 , −1 → 𝑑 = −2 5 , 5 , 5 , 5 → 𝑑 = 0
1 , 3
2 , 2 ,
5
2 → 𝑑 =
1
2
จะเหนวำ ถำเอำสองพจนทอยตดกนในล ำดบเลขคณต มำลบกน (พจนขวำ ลบ พจนซำย) จะไดผลลพธเทำกบ 𝑑 เสมอ เชน ล ำดบเลขคณต 5 , 8 , 11 , 14 , … จะเหนวำ 8 − 5 = 11 − 8 = 14 − 11 = 3 = 𝑑
ตวอยำง ถำล ำดบ 𝑥 , 2𝑥 − 1 , 𝑥 + 8 เปนล ำดบเลขคณตแลว จงหำผลตำงรวมของล ำดบน วธท ำ เนองจำกล ำดบนเปนล ำดบเลขคณต ดงนน พจนทอยตดกน ลบกน ตองเทำกนทกค
จะได
แทนคำ 𝑥 ลงในล ำดบ จะได 5 , 9 , 13 ดงนน ผลตำงรวม (𝑑) = 9 − 5 = 4 #
ตวอยำง ล ำดบเลขคณตชดหนง มผลบวกและผลคณของสำมพจนแรก เทำกบ 9 และ 15 ตำมล ำดบ จงหำสำมพจนแรกของล ำดบน
วธท ำ ขอน เรำจะใชวธสมมต 𝑥 สรำงสมกำร แลวแกสมกำร ในโจทยประเภทน เรำนยมใชเทคนค “สมมตให 𝑥 แทนพจนกลำง” เพอควำมสมดลในกำรตดเลข
แตละพจนในล ำดบเลขคณต ตองหำงกน 𝑑 ดงนน จะไดสำมพจนน คอ 𝑥 − 𝑑 , 𝑥 , 𝑥 + 𝑑 สำมพจนแรก บวกกนได 9 ดงนน
แทนคำ 𝑥 จะได สำมพจนน คอ 3 − 𝑑 , 3 , 3 + 𝑑
สำมพจนน คณกนได 15 ดงนน
แทนคำ 𝑑 = 2 จะได สำมพจนน คอ 1 , 3 , 5
𝑑 = −2 จะได สำมพจนน คอ 5 , 3 , 1 (ม 2 ค ำตอบ) #
(2𝑥 − 1) − (𝑥) = (𝑥 + 8) − (2𝑥 − 1) 2𝑥 − 1 − 𝑥 = 𝑥 + 8 − 2𝑥 + 1 2𝑥 = 10 𝑥 = 5
(𝑥 − 𝑑) + (𝑥) + (𝑥 + 𝑑) = 9 3𝑥 = 9 𝑥 = 3
(3 − 𝑑)(3)(3 + 𝑑) = 15 9 − 𝑑2 = 5 4 = 𝑑2 2 , −2 = 𝑑
ล ำดบ และอนกรม 7
สตรแรกทตองจ ำใหขนใจ คอ สตรพจนทวไปของล ำดบเลขคณต
ตวอยำง จงหำพจนท 21 ของล ำดบเลขคณต 100 , 97 , 94 , 91 , … , 10 และจงหำวำล ำดบนมกพจน วธท ำ จำกล ำดบทให จะเหนวำ 𝑎1 = 100 และ 𝑑 = −3
ดงนน สตรพจนทวไปของล ำดบน คอ
ดงนน พจนท 21 = 𝑎21 = −3(21) + 103 = −63 + 103 = 40
และ ถำตองกำรหำวำล ำดบนมกพจน ตองแกสมกำร
ดงนน ล ำดบนม 31 พจน #
ตวอยำง ล ำดบเลขคณตชดหนง ม 𝑎4 = 20 และ 𝑎10 = 38 จงหำสตรพจนทวไปของล ำดบน วธท ำ จำกสตร 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑
แทน 𝑛 = 4 จะได 𝑎4 = 𝑎1 + (4 − 1)𝑑 20 = 𝑎1 + 3𝑑 (1)
แทน 𝑛 = 10 จะได 𝑎10 = 𝑎1 + (10 − 1)𝑑 38 = 𝑎1 + 9𝑑 (2)
(2) − (1) : 38 − 20 = (𝑎1 + 9𝑑) − (𝑎1 + 3𝑑)
18 = 𝑎1 + 9𝑑 − 𝑎1 − 3𝑑
18 = 6𝑑
𝑑 = 3
แทน 𝑑 = 3 ใน (1) 20 = 𝑎1 + 3(3)
𝑎1 = 20 − 9 = 11 ดงนน จะไดสตรพจนทวไปคอ 𝑎𝑛 = 11 + (𝑛 − 1)(3)
= 11 + 3𝑛 − 3 = 8 + 3𝑛 #
ตวอยำง จงหำวำตงแต 100 ถง 500 มจ ำนวนทหำรดวย 7 ลงตว ทงหมดกจ ำนวน วธท ำ ตวแรกตงแต 100 ขนไป ทหำรดวย 7 ลงตว คอ 105 ตวถดไปคอ 112 , 119 , 126 , …
และตวสดทำยทหำรดวย 7 ลงตว คอ 497
ค ำตอบของขอน คอ “จ ำนวนพจน” ในล ำดบ 105 , 112 , 119 , 126 , … , 497 จะเหนวำล ำดบนเปนล ำดบเลขคณต ม 𝑎1 = 105 และ 𝑑 = 7
ดงนน จะไดสตรพจนทวไปของล ำดบน คอ 𝑎𝑛 = 105 + (𝑛 − 1)(7)
= 105 + 7𝑛 − 7
= 98 + 7𝑛
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑
𝑎𝑛 = 100 + (𝑛 − 1)(−3) = 100 + −3𝑛 + 3 = −3𝑛 + 103
10 = −3𝑛 + 103 3𝑛 = 93 𝑛 = 31
8 ล ำดบ และอนกรม
เรำสำมำรถหำวำล ำดบนมกพจน โดยกำรหำวำตวสดทำยของล ำดบน คอพจนทเทำไหร
โดยกำรแทน 𝑎𝑛 ดวย 497 แลวแกหำคำ 𝑛 : 497 = 98 + 7𝑛
399 = 7𝑛
𝑛 =399
7= 57
จะไดวำ 497 คอพจนท 57 ดงนน ล ำดบนม 57 พจน
นนคอ ตงแต 100 ถง 500 มจ ำนวนทหำรดวย 7 ลงตวทงสน 57 จ ำนวน #
แบบฝกหด
1. จงพจำรณำวำ ล ำดบในขอใดตอไปน เปนล ำดบเลขคณต พรอมทงหำผลตำงรวม
1. 3 , 5 , 7 , 9 , … 2. 1 , 4 , 9 , 16 , …
3. 3 , 6 , 9 , 12 , … 4. 12 , 22 , 32 , 42 , …
5. 3 , 1 , −1 , −3 , … 6. −3 , 5 , −7 , 9 , …
7. 1 , 2 , 3 , 2 , 1 , 2 , 3 , … 8. 1
3 ,
2
3 , 1 ,
4
3 , …
9. 2 , 4 , 8 , 16 , … 10. 1 , 1 , 3 , 3 , 5 , 5 , …
11. 𝑥 , 𝑥 + 2 , 𝑥 + 4 , … 12. 𝑎 , 2𝑎 , 3𝑎 , 4𝑎 , …
2. ถำล ำดบ 𝑥 + 1 , 2𝑥 + 1 , 4𝑥 − 2 เปนล ำดบเลขคณตแลว จงหำคำ 𝑥
ล ำดบ และอนกรม 9
3. ล ำดบเลขคณตชดหนง มผลบวก 3 พจนแรก เทำกบ 3 และผลคณ 2 พจนแรก เทำกบ −2 จงหำผลตำงรวม
4. ล ำดบเลขคณตชดหนง มผลบวก 5 พจนแรก เทำกบ 20 ถำพจนทส มำกกวำพจนทสอง อย 6 จงหำพจนท 4
5. จงหำสตรพจนทวไปของล ำดบเลขคณต 3 , 5 , 7 , 9 , …
6. จงหำสตรพจนทวไปของล ำดบเลขคณต 3 , 5
2 , 2 ,
3
2 , …
7. จงหำสตรพจนทวไปของล ำดบเลขคณต 16 ,
1
3 ,
1
2 , …
10 ล ำดบ และอนกรม
8. จงหำพจนท 30 ของล ำดบ 1 , 4 , 7 , 10 , …
9. จงหำวำล ำดบ 2 , 6 , 10 , … , 42 มกพจน
10. จงหำวำล ำดบ 100 , 97 , 94 , 91 , … มกพจน ทเปนจ ำนวนเตมบวก
11. ล ำดบเลขคณตชดหนง ม 𝑎1 = 5 และ 𝑎5 = 13 จงหำสตรพจนทวไปของล ำดบน
12. ล ำดบเลขคณตชดหนง ม 𝑎3 = 11 และ 𝑎8 = 21 จงหำสตรพจนทวไปของล ำดบน
ล ำดบ และอนกรม 11
13. ล ำดบเลขคณตชดหนง ม 𝑎2 = 1 และ 𝑎5 = 10 จงหำคำของ 𝑎8
14. ล ำดบเลขคณตชดหนง ม 𝑎5 − 𝑎2 = 30 จงหำคำผลตำงรวม
15. ล ำดบเลขคณตชดหนง ม 𝑎15 − 𝑎4 = 22 ถำ 𝑎10 = 21 จงหำสตรพจนทวไปของล ำดบชดน
16. จงหำวำ ระหวำง 200 กบ 300 มกจ ำนวนท
1. หำรดวย 3 ลงตว 2. หำรดวย 5 ลงตว
12 ล ำดบ และอนกรม
3. หำรดวย 3 และ 5 ลงตว 4. หำรดวย 3 หรอ 5 ลงตว
5. หำรดวย 3 ไมลงตว 6. หำรดวย 5 เหลอเศษ 2
17. จงหำวำ ตงแต 150 ถง 450 มจ ำนวนทหลกหนวยลงทำยดวย 8 ทงหมดกจ ำนวน
18. นำยด ำก เงนมำจ ำนวนหนง โดยจำยคนเดอนแรก 200 บำท และในเดอนถดไป นำยด ำตองจำยเพมขนทกๆเดอน โดยจะตองจำยคนมำกขนเดอนละ 50 บำท หลงจำกช ำระหมด พบวำในเดอนสดทำย นำยด ำจำยคน 950 บำท จงหำวำนำยด ำ จำยเงนคนทงสน กเดอน
ล ำดบ และอนกรม 13
19. นำย ก มเงนในกระปก 20 บำท และจะหยอดกระปกวนละ 3 บำททกๆวน นำย ข มเงนในธนำคำร 300 บำท และจะฝำกเพมวนละ 20 บำททกๆวน ในวนท นำย ก มเงนในกระปก 44 บำท นำย ข จะมเงนในธนำคำรเทำไร
20. ล ำดบเลขคณตในขอใดตอไปนมบำงพจนเทำกบ 40 [O-NET 52/17]
1. 𝑎𝑛 = 1 − 2𝑛 2. 𝑎𝑛 = 1 + 2𝑛
3. 𝑎𝑛 = 2 − 2𝑛 4. 𝑎𝑛 = 2 + 2𝑛
21. ก ำหนดให 32 , 1 ,
1
2 , … เปนล ำดบเลขคณต ผลบวกของพจนท 40 และ พจนท 42 เทำกบเทำใด
[O-NET 53/20]
22. พจนท 31 ของล ำดบเลขคณต −1
20, −
1
30, −
1
60, … เทำกบเทำใด [O-NET 51/13]
14 ล ำดบ และอนกรม
23. ล ำดบ –24 , –15 , –6 , 3 , 12 , 21 , … , 1776 มกพจน [O-NET 56/21]
24. ก ำหนดให 𝑥 เปนจ ำนวนจรง ถำ 5 − 7𝑥 , 3𝑥 + 28 , 5𝑥 + 27 , … , 2𝑥3 − 3𝑥 + 1 เปนล ำดบเลขคณต
แลวล ำดบนมกพจน [O-NET 57/21]
25. ให 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … เปนล ำดบเลขคณต ถำ 𝑎4 = 5𝑎1 และ 𝑎10 = 39 แลว 𝑎1 เทำกบเทำใด [O-NET 59/21]
26. ถำพจนท 5 และ พจนท 10 ของล ำดบเลขคณตเปน 14 และ 29 ตำมล ำดบ แลวพจนท 99 เทำกบเทำใด
[O-NET 56/20]
ล ำดบ และอนกรม 15
27. ถำ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … เปนล ำดบเลขคณต ซง 𝑎30 − 𝑎10 = 30 แลว ผลตำงรวมของล ำดบเลขคณตน มคำเทำกบเทำใด [O-NET 50/12]
28. ถำผลบวกและผลคณของสำมพจนแรกของล ำดบเลขคณตทม 𝑑 เปนผลตำงรวม เทำกบ 15 และ 80 ตำมล ำดบ แลว 𝑑2 มคำเทำกบเทำใด [O-NET 49/1-12]
29. ล ำดบเลขคณต −43, −34, −25, … มพจนทมคำนอยกวำ 300 อยกพจน [O-NET 54/31]
30. ปำจ เรมขำยขนมครกในวนท 3 มกรำคม ในวนแรกขำยไดก ำไร 100 บำท และในวนตอๆไปจะขำยไดก ำไรเพมขนจำกวนกอนหนำวนละ 10 บำททกวน จงหำวนทของเดอนมกรำคมทปำจขำยไดก ำไรเฉพำะในวนนน 340 บำท
[O-NET 49/1-11]
16 ล ำดบ และอนกรม
ตวกลำงเลขคณต
“ตวกลำงเลขคณต” ระหวำง 𝑎 กบ 𝑏 หำไดจำกสตร 𝑎+𝑏
2
จะเหนวำ ถำ 𝑥 เปนตวกลำงเลขคณตระหวำง 𝑎 กบ 𝑏 แลว จะไดวำ ล ำดบ 𝑎 , 𝑥 , 𝑏 เปนล ำดบเลขคณตเสมอ
เชน ตวกลำงเลขคณต ระหวำง 23 กบ 91 คอ
ซงจะเหนวำ 23 , 57 , 91 เรยงกนเปนล ำดบเลขคณต ทมผลตำงรวม คอ 34
ตวกลำงเลขคณต “𝑘 จ ำนวน” ระหวำง 𝑎 กบ 𝑏 คอ ตวเลข 𝑘 ตว ทแทรกระหวำง 𝑎 กบ 𝑏 แลวไดล ำดบเลขคณต
โดยแตละคทอยตดกน จะมผลตำงรวม 𝑑 =𝑏−𝑎
𝑘+1
เชน ถำจะหำตวกลำงเลขคณต 3 จ ำนวน ระหวำง 23 กบ 91 จะไดแตละตวตำงกน 𝑑 = 91−23
3+1 = 17
ดงนน ตวกลำงเลขคณต 3 จ ำนวน ระหวำง 23 กบ 91 คอ 40 , 57 , 74
ซงจะเหนวำ 23 , 40 , 57 , 74 , 91 เปนล ำดบเลขคณต ทมผลตำงรวม คอ 17
แบบฝกหด
1. จงหำตวกลำงเลขคณต ระหวำง 12 และ 38
2. จงหำตวกลำงเลขคณต ระหวำง −3 และ 9
3. ถำตวกลำงเลขคณตระหวำง 2 กบ 𝑥 คอ 13 แลว จงหำคำ 𝑥
4. จ ำนวนคหนง มตวกลำงเลขคณตคอ 10 ถำจ ำนวนคนหำงกน 6 แลว จงหำจ ำนวนคน
ล ำดบ และอนกรม 17
5. จงหำตวกลำงเลขคณต 4 จ ำนวน ระหวำง 17 กบ 32
6. จงหำตวกลำงเลขคณต 3 จ ำนวน ระหวำง 1 กบ 25
7. จงหำตวกลำงเลขคณต 4 จ ำนวน ระหวำง −8 กบ 17
8. ถำตวกลำงเลขคณต 2 จ ำนวน ระหวำง 𝑎 และ 𝑏 คอ 12 และ 20 แลว จงหำ 𝑎 และ 𝑏
18 ล ำดบ และอนกรม
ล ำดบเรขำคณต
ในหวขอทแลว เรำเรยนล ำดบเลขคณต ซงเปนล ำดบทเพมหรอลด อยำงคงท โดยกำร “บวก” ในหวขอน จะพดถง ล ำดบเรขำคณต ซงเปนล ำดบทเพมหรอลด อยำงคงท โดยกำร “คณ” ตวอยำงล ำดบเรขำคณต เชน 2 , 6 , 18 , 54
3 , −6 , 12 , −24
10 , 5 , 5
2 ,
5
4 , …
แต 1 , 4 , 9 , 16 ไมใชล ำดบเรขำคณต เพรำะคณเพมไมคงท
เรำเรยกคำคงท ทน ำมำคณ วำ “อตรำสวนรวม” ซงแทนดวยสญลกษณ 𝑟 เชน 2 , 6 , 18 , 54 → 𝑟 = 3 3 , −6 , 12 , −24 → 𝑟 = −2
5, 5, 5, 5 → 𝑟 = 1 10, 5, 5
2 ,
5
4 → 𝑟 = 1
2
1, √2 , 2 , 2√2 → 𝑟 = √2
จะเหนวำ ถำเอำสองพจนทอยตดกนในล ำดบเรขำคณต มำหำรกน
โดยเอำพจนขวำเปนตวตง หำรดวย พจนซำยทอยตดกน จะไดผลลพธเทำกบ 𝑟 เสมอ เชน ในล ำดบเรขำคณต 2 , 6 , 18 , 54 , … จะเหนวำ 6
2 =
18
6 =
54
18 = 3 = 𝑟
ตวอยำง ปจจบน คนสำมคน มอำย 5 , 17 , 47 ป จงหำวำอกกป อำยของคนทงสำมจงจะเรยงเปนล ำดบเรขำคณต วธท ำ เมอผำนไป 𝑥 ป อำยของคนทงสำม จะกลำยเปน 5 + 𝑥 , 17 + 𝑥 , 47 + 𝑥 ป ตำมล ำดบ
ล ำดบนจะเปนล ำดบเรขำคณต เมอ
นนคอ อก 3 ป อำยของคนทงสำมจงจะเรยงเปนล ำดบเรขำคณต #
ตวอยำง ล ำดบเรขำคณตชดหนง มผลบวกและผลคณของสำมพจนแรก เทำกบ 13 และ 27 ตำมล ำดบ จงหำสำมพจนแรกของล ำดบน
วธท ำ ขอน เรำจะใชวธสมมต 𝑥 สรำงสมกำร แลวแกสมกำร ในโจทยประเภทน เรำนยมใชเทคนค “สมมตให 𝑥 แทนพจนกลำง” เพอควำมสมดลในกำรตดเลข
แตละพจนในล ำดบเรขำคณต ตองหำงกนเปนทวคณของ 𝑟 ดงนน จะไดสำมพจนน คอ 𝑥𝑟 , 𝑥 , 𝑥𝑟
สำมพจนแรก คณกนได 27 ดงนน
แทนคำ 𝑥 จะได สำมพจนน คอ 3𝑟 , 3 , 3𝑟
(𝑥
𝑟) (𝑥)(𝑥𝑟) = 27
𝑥3 = 27 𝑥 = 3
17+𝑥
5+𝑥 =
47+𝑥
17+𝑥
(17 + 𝑥)(17 + 𝑥) = (47 + 𝑥)(5 + 𝑥)
289 + 34𝑥 + 𝑥2 = 235 + 52𝑥 + 𝑥2
54 = 18𝑥
3 = 𝑥
ล ำดบ และอนกรม 19
สำมพจนน บวกกนได 13 ดงนน
แทนคำ 𝑟 = 3 จะได สำมพจนน คอ 1 , 3 , 9
𝑟 = 1
3 จะได สำมพจนน คอ 9 , 3 , 1 (ม 2 ค ำตอบ) #
สตรถดมำทตองจ ำใหขนใจ คอ สตรพจนทวไปของล ำดบเรขำคณต
ตวอยำง จงหำพจนท 10 ของล ำดบเรขำคณต 1 , √2 , 2 , 2√2 , …
วธท ำ จะเหนวำล ำดบนม 𝑎1= 1 และ 𝑟 = √2 ดงนน สตรพจนทวไป คอ 𝑎𝑛 = (1)∙ (√2)𝑛−1
ดงนน พจนท 10 = 𝑎10 = (1)∙ (√2)10−1
= (√2)9
= 16√2 #
ตวอยำง ล ำดบเรขำคณตชดหนง ม 𝑎3 = 2 และ 𝑎7 = 2592 จงหำสตรพจนทวไปของล ำดบน วธท ำ จำกสตร 𝑎𝑛 = 𝑎1𝑟𝑛−1 แทน 𝑛 = 3 จะได
แทน 𝑛 = 7 จะได (2) ÷ (1) :
แทน 𝑟 = ±6 ใน (1) :
ดงนน สตรพจนทวไป คอ 𝑎𝑛 = 1
18∙ 6𝑛−1 กบ 𝑎𝑛 =
1
18∙ (−6)𝑛−1 (สองค ำตอบ) #
𝑎𝑛 = 𝑎1𝑟𝑛−1
3
𝑟+ 3 + 3𝑟 = 13
3 + 3𝑟 + 3𝑟2 = 13𝑟 3𝑟2 − 10𝑟 + 3 = 0 (𝑟 − 3)(3𝑟 − 1) = 0
𝑟 = 3 , 1
3
𝑎3 = 𝑎1𝑟3−1 2 = 𝑎1𝑟2 (1)
𝑎7 = 𝑎1𝑟7−1 2592 = 𝑎1𝑟6 (2)
2592
2 =
𝑎1𝑟6
𝑎1𝑟2
1296 = 𝑟4
±√12964
= 𝑟 ±6 = 𝑟
8 ) 1296 9 ) 162 9 ) 18
2
1296 = 8 × 9 × 9 × 2 = 23 × 32 × 32 × 2 = 24 × 34
√12964
= √24 × 344
= 2 × 3 = 6
2 = 𝑎1(±6)2
𝑎1 = 2
36 =
1
18
20 ล ำดบ และอนกรม
ตวอยำง ลกบอลตกจำกทสง 6400 เมตร เมอตกถงพน ลกบอลจะกระดอนกลบขนไปไดสงเปนครงหนงของควำมสงทตกลงมำเสมอ ถำปลอยใหลกบอลกระดอนตอไปเรอยๆ จงหำวำหลงจำกกำรตกถงพนครงท 10 ลกบอล จะกระดอนกลบขนไปไดสงเทำไหร
วธท ำ ในกำรกระดอนครงแรก ลกบอลจะขนไปไดสง 3200 เมตร ในกำรกระดอนครงทสอง ลกบอลจะขนไปไดสง 1600 เมตร ในกำรกระดอนครงทสำม ลกบอลจะขนไปไดสง 800 เมตร จะเหนวำ ควำมสงของลกบอลกระดอนกลบ เรยงกนเปนล ำดบเรขำคณต ทม 𝑎1 = 3200 และ 𝑟 =
1
2
จะไดสตรพจนทวไปของล ำดบน คอ 𝑎𝑛 = 3200∙ (1
2)
𝑛−1
ดงนน ครงท 10 ลกบอลจะกระดอนสง = 3200∙ (1
2)
10−1 =
3200
29 = 6.25 เมตร #
แบบฝกหด
1. จงพจำรณำวำ ล ำดบในขอใดตอไปน เปนล ำดบเรขำคณต พรอมทงหำอตรำสวนรวม
1. 2 , 4 , 6 , 8 , … 2. 1 , 4 , 16 , 64 , …
3. 1 , 10 , 100 , 1000 , … 4. 625 , 125 , 25 , 5 , …
5. 0.8 , 0.08 , 0.008 , … 6. 5 , 5 , 5 , 5 , …
7. √1 , √2 , √3 , √4 , … 8. 1 , −1 , 1 , −1 , …
9. 24 , 8 , 8
3 ,
8
9 , … 10. 3 , 3√3 , 9 , 9√3
11. 81 , −27 , 9 , −3 12. 8 , −4√2 , 4 , −2√2
13. 𝑥 , 2𝑥 , 3𝑥 , 4𝑥 , … 14. 𝑥 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , … เมอ 𝑥 ≠ 0
2. จงหำสตรพจนทวไปของล ำดบตอไปน
1. 5 , 15 , 45 , … 2. 48 , 24 , 12 , …
3. 2 , 2√2 , 4 , 4√2 , … 4. 1 , −1
2 ,
1
4 , −
1
8 , …
ล ำดบ และอนกรม 21
3. จงหำพจนท 7 ของล ำดบ 2 , 4 , 8 , …
4. ก ำหนดล ำดบ 162 , −54 , 18 , … จงหำคำของ 𝑎7
5. ก ำหนดล ำดบ 1
27 ,
1
9√3 ,
1
9 ,
1
3√3 , … จงหำคำของ 𝑎10
6. จงหำวำ 243 เปนพจนทเทำไร ของล ำดบ 1 , √3 , 3 , …
7. จงหำวำล ำดบ 5 , 5√2 , 10 , … , 40 มกพจน
8. ล ำดบเรขำคณตชดหนง มผลบวกและผลคณของสำมพจนแรก เทำกบ 6 และ −64 ตำมล ำดบ จงหำสำมพจนแรกของล ำดบน
22 ล ำดบ และอนกรม
9. ถำล ำดบ 𝑥 − 1 , 𝑥 + 3 , 2𝑥 เปนล ำดบเรขำคณต แลว จงหำคำ 𝑥
10. เดก 3 คน มอำย 1 , 5 และ 13 ป จงหำวำอกกป อำยของเดกทงสำมจงจะเรยงกนเปนล ำดบเรขำคณต
11. ล ำดบเรขำคณตชดหนง ม 𝑎5 = 24 และ 𝑎7 = 96 จงหำ 𝑟
12. ล ำดบเรขำคณตชดหนง ม 𝑎1 = 2 และ 𝑎3 = 50 จงหำสตรพจนทวไป
13. ล ำดบเรขำคณตชดหนง ม พจนท 10 มคำเปน 9 เทำของพจนท 6 ถำ 𝑎3 = 3 แลว จงหำ 𝑎5
ล ำดบ และอนกรม 23
14. ล ำดบเรขำคณตชดหนง ม 𝑎4 = 24 และ 𝑎7 = −192 จงหำสตรพจนทวไป
15. ล ำดบเรขำคณตชดหนง ม 𝑎2 = 15 และ 𝑎7 = 3645 จงหำสตรพจนทวไป
16. เลยงแบคทเรยชนดหนงไว 10 ตว พบวำเมอใหอำหำร แบคทเรยจะเพมจ ำนวนเปน 2 เทำ ทกๆนำท (เชน นำทท 1 เพมเปน 20 ตว , นำทท 2 เพมเปน 40 ตว , นำทท 3 เพมเปน 80 ตว) จงหำสตรส ำหรบค ำนวณจ ำนวนแบคทเรย เมอเวลำผำนไป 𝑘 นำท พรอมทงหำจ ำนวนแบคทเรย เมอเวลำผำนไป 5 นำท
17. ลกเหมนกอนหนง หนก 1000 กรม พบวำลกเหมนจะระเหดเลกลง 10% ทกๆ 1 นำท (เชน นำทท 1 เหลอ 900 กรม , นำทท 2 เหลอ 810 กรม , นำทท 3 เหลอ 729 กรม เปนตน) จงหำสตรส ำหรบค ำนวณน ำหนกของลกเหมน หลงผำนไป 𝑘 นำท
24 ล ำดบ และอนกรม
18. เลยงไวรสชนดหนงไว 1000 ตว พบวำเมอใหอำหำร ไวรสจะเพมจ ำนวนขน 10% ทกๆนำท (เชน นำทท 1 เพมเปน 1100 ตว , นำทท 2 เพมเปน 1210 ตว , นำทท 3 เพมเปน 1331 ตว) จงหำสตรส ำหรบค ำนวณจ ำนวนไวรส เมอเวลำผำนไป 𝑘 นำท
19. ฝำกเงน 1000 บำท กบธนำคำรแหงหนง ซงใหดอกเบย 10% ตอปแบบทบตน จงหำสตรส ำหรบค ำนวนจ ำนวนเงนฝำกเมอเวลำผำนไป 𝑘 ป
20. ล ำดบเรขำคณตในขอใดตอไปน มอตรำสวนรวมอยในชวง (0.3, 0.5) [O-NET 49/1-8]
1. 3, 5
4,
25
48, … 2. 2,
4
3,
8
9, …
3. 4, 3, 9
4, … 4. 5, 4,
16
5, …
21. ล ำดบในขอใดตอไปน เปนล ำดบเรขำคณต [O-NET 50/13]
1. 𝑎𝑛 = 2𝑛 ∙ 32𝑛 2. 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 4𝑛
3. 𝑎𝑛 = 3𝑛2 4. 𝑎𝑛 = (2𝑛)𝑛
ล ำดบ และอนกรม 25
22. ก ำหนดให 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 เปนล ำดบเรขำคณต โดยท 𝑎1 = 2 และ 𝑎3 = 200
ถำ 𝑎2 คอคำในขอใดตอไปนแลว ขอดงกลำวคอขอใด [O-NET 52/18]
1. −20 2. −50 3. 60 4. 100
23. พจนท 10 ของล ำดบเรขำคณต √3 , √6 , … ตรงกบเทำใด [O-NET 57/24]
24. พจนท 16 ของล ำดบเรขำคณต 1
625,
1
125√5,
1
125, … เทำกบเทำใด [O-NET 50/31]
25. ถำพจนท 4 และพจนท 7 ของล ำดบเรขำคณตเปน 54 และ 1458 ตำมล ำดบ แลว พจนแรกเทำกบเทำใด
[O-NET 56/38]
26. ถำพจนท 5 และ พจนท 8 ของล ำดบเรขำคณตเปน 12 และ − 1
16 ตำมล ำดบ แลวพจนท 4 เทำกบเทำใด
[O-NET 57/23]
26 ล ำดบ และอนกรม
27. ล ำดบเรขำคณตล ำดบหนงมผลบวกและผลคณของ 3 พจนแรกเปน 13 และ 27 ตำมล ำดบ ถำ 𝑟 เปนอตรำสวนรวม
ของล ำดบนแลว 𝑟 + 1
𝑟 มคำเทำกบเทำใด [O-NET 54/16]
28. ถำ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … เปนล ำดบเลขคณตและผลตำงรวมไมเปนศนย แลว ขอใดผด [O-NET 57/20] 1. |𝑎10 − 𝑎11| = |𝑎21 − 𝑎20|
2. 𝑎9 + 𝑎14 = 𝑎11 + 𝑎12
3. 𝑎15−𝑎12
𝑎7−𝑎4 = 1
4. ถำ 𝑏𝑛 = 𝑎𝑛 − 5 ทกๆ 𝑛 แลว 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, … เปนล ำดบเลขคณต
5. ถำ 𝑐𝑛 = 5𝑛𝑎𝑛 ทกๆ 𝑛 แลว 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, … เปนล ำดบเรขำคณต
29. ถำ 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … เปนล ำดบเรขำคณต แลว ขอใด ผด [O-NET 58/21]
1. 5𝑎1 , 5𝑎2 , 5𝑎3 , … เปนล ำดบเรขำคณต
2. 𝑎12 , 𝑎2
2 , 𝑎32 , … เปนล ำดบเรขำคณต
3. 𝑎1 , 𝑎22 , 𝑎3
3 , … เปนล ำดบเรขำคณต
4. 𝑎1𝑎2 , 𝑎2𝑎3 , 𝑎3𝑎4 , … เปนล ำดบเรขำคณต
5. 𝑎1
𝑎2 , 𝑎2
𝑎3 , 𝑎3
𝑎4 , … เปนล ำดบเรขำคณต
30. ก ำหนดให 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … เปนล ำดบเรขำคณต
จงพจำรณำวำล ำดบในขอใดตอไปนเปนล ำดบเรขำคณต [O-NET 51/28]
1. 𝑎1 + 𝑎3, 𝑎2 + 𝑎4, 𝑎3 + 𝑎5, …
2. 𝑎1𝑎2, 𝑎2𝑎3, 𝑎3𝑎4, …
3. 1
𝑎1,
1
𝑎2,
1
𝑎3, …
ล ำดบ และอนกรม 27
31. พจำรณำล ำดบของรปสเหลยมจตรสทมดำนยำวดำนละ 1 หนวยตอไปน
พนทของบรเวณแรเงำในรปท 10 มคำเทำกบกตำรำงหนวย [O-NET 58/25]
32. ก ำหนดให 𝑎 , 𝑎𝑟 , 𝑎𝑟2 , … , 𝑎𝑟𝑛−1 เปนล ำดบเรขำคณตทม 𝑛 พจน ซงผลรวมของ 3 พจนสดทำยเปน 4 เทำของผลรวมของ 3 พจนแรก ถำพจนท 3 คอ 22 แลว พจนสดทำยมคำเทำใด [O-NET 59/22]
33. บรษทแหงหนงซอเครองจกรมำในรำคำ 𝐴 บำท คดคำเสอมรำคำคงท 15% ตอป กลำวคอ รำคำเครองจกรจะลดลง 15% ของมลคำคงเหลอในแตละปทกป ถำใชเครองจกรผำนไป 𝑡 ป แลว มลคำคงเหลอของเครองจกรนเทำกบเทำใด [O-NET 59/23]
1 1 1 1
, รปท 1 รปท 2 รปท 3 รปท 4
, , , …
28 ล ำดบ และอนกรม
ตวกลำงเรขำคณต
ตวกลำงเรขำคณต ระหวำง 𝑎 กบ 𝑏 หำไดจำกสตร ±√𝑎𝑏 ซงถำ 𝑥 เปนตวกลำงเรขำคณตระหวำง 𝑎 กบ 𝑏 แลว จะไดวำ ล ำดบ 𝑎 , 𝑥 , 𝑏 เปนล ำดบเรขำคณตเสมอ เชน ตวกลำงเรขำคณต ระหวำง 7 กบ 175 คอ ±√7 ∙ 175 = ±√7 ∙ 175 = ±√7 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 7
= ±35
ซงจะเหนวำ 7 , ±35 , 175 เรยงกนเปนล ำดบเรขำคณต ทมอตรำสวนรวม คอ 5 และ −5
ตวกลำงเรขำคณต 𝑘 จ ำนวน ระหวำง 𝑎 กบ 𝑏 คอ ตวเลข 𝑘 จ ำนวน ทแทรกระหวำง 𝑎 กบ 𝑏 แลวไดล ำดบเรขำคณต
โดยล ำดบเรขำคณตดงกลำว จะมอตรำสวนรวมสอดคลองกบสมกำร 𝑟𝑘+1 =𝑏
𝑎
สงทตองระวงในกำรแกสมกำรหำ 𝑟 คอ ถำ 𝑘 + 1 เปนเลขค จะหำ 𝑟 ไดเฉพำะกรณท 𝑏𝑎
≥ 0 เทำนน
และ ถำ 𝑘 + 1 เปนเลขค คำ 𝑟 จะเปนไดทงบวกและลบ (เพรำะ บวก หรอ ลบ ยกก ำลงค กไดบวกเทำกน)
ตวอยำง จงหำตวกลำงเรขำคณต 5 จ ำนวน ระหวำง 4 กบ 108 วธท ำ ตองหำจ ำนวน 5 จ ำนวน ทแทรกระหวำง 4 กบ 108 แลวไดล ำดบเรขำคณต
กอนอน หำ 𝑟 โดยแกสมกำร
ดงนน ตวกลำง 5 จ ำนวนนน คอ 4 , 4√3 , 12 , 12√3 , 36 , 36√3 , 108
หรอ 4 , −4√3 , 12 , −12√3 , 36 , −36√3 , 108 กได #
แบบฝกหด 1. จงหำตวกลำงเรขำคณตระหวำงจ ำนวนตอไปน
1. 4 และ 36 2. −5 และ −20
3. 15 และ 45 4. 𝑎 และ 𝑎5
2. ถำตวกลำงเรขำคณต ระหวำง 3 กบ 𝑥 คอ ±15 แลว จงหำคำ 𝑥
𝑟5+1 = 108
4
𝑟6 = 27
𝑟6 = 33
𝑟 = ±√336 = ±3
(3
6) = ±3
(1
2) = ±√3
ล ำดบ และอนกรม 29
3. จ ำนวนคหนง มตวกลำงเรขำคณตคอ ±10 ถำจ ำนวนคนหำรกนได 4 แลว จงหำจ ำนวนคน
4. จงหำตวกลำงเรขำคณต 2 จ ำนวน ระหวำง 6 กบ 48
5. จงหำตวกลำงเรขำคณต 2 จ ำนวน ระหวำง 8 และ 27
6. จงหำตวกลำงเรขำคณต 3 จ ำนวน ระหวำง −5 กบ −405
7. จงหำตวกลำงเรขำคณต 4 จ ำนวน ระหวำง 3 กบ 384√2
30 ล ำดบ และอนกรม
8. ถำตวกลำงเรขำคณต 3 จ ำนวน ระหวำง 𝑎 และ 𝑏 คอ 2 , 4 , 8 แลว จงหำ 𝑎 และ 𝑏
9. ถำตวกลำงเรขำคณต 2 จ ำนวน ระหวำง 𝑎 และ 𝑏 คอ 6 และ 9 แลว จงหำ 𝑎 และ 𝑏
ล ำดบ และอนกรม 31
ล ำดบเวยนเกด
ในหวขอกอนหนำ เรำไดรจกค ำวำ “สตรพจนทวไป” ไปแลว
สตรพจนทวไป คอ สตรทใชค ำนวณพจนไหนกได โดยแทน 𝑛 ในสตรดวยเลขพจนทเรำตองกำร ตวอยำงสตรพจนทวไป เชน 𝑎𝑛 = 𝑛2 + 1 , 𝑎𝑛 = 3 − 4𝑛 , 𝑎𝑛 = (𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) เปนตน
อยำงไรกตำม มสตรพจนทวไปอกแบบหนง ทตวสตร “ตองใชพจนกอนหนำในกำรค ำนวณ” เชน 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 1 → จะหำคำ 𝑎𝑛 ได ตองรคำ 𝑎𝑛−1 กอน เชน จะหำ 𝑎4 ได ตองร 𝑎3
จะหำ 𝑎3 ได ตองร 𝑎2 เปนตน 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2 → จะหำคำ 𝑎𝑛 ได ตองร 𝑎𝑛−1 กบ 𝑎𝑛−2 กอน
เชน จะหำ 𝑎10 ได ตองร 𝑎9 กบ 𝑎8
จะหำ 𝑎9 ได ตองร 𝑎8 กบ 𝑎7 เปนตน เรำจะเรยกล ำดบพวกนวำ “ล ำดบเวยนเกด” จะเหนวำล ำดบประเภทนยงยำก เพรำะสดทำย เรำมกตอง “ไลหำตงแต 𝑎1 ขนมำ” จนกวำจะถงพจนทเรำตองกำร
ตวอยำง ก ำหนดให 𝑎𝑛 เปนพจนทวไปของล ำดบ ซงม 𝑎1 = 1 และ 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 + 1 ส ำหรบ 𝑛 = 2 , 3 , 4 , … จงหำคำของ 𝑎4 วธท ำ กอนอน โจทยบอก 𝑎1 = 1 เรำจะใชคำนเปนจดเรมตน
แทน 𝑛 = 2 ในสตร 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 + 1 จะได 𝑎2 = 2𝑎1 + 1 = 2(1) + 1 = 3
แทน 𝑛 = 3 ในสตร 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 + 1 จะได 𝑎3 = 2𝑎2 + 1 = 2(3) + 1 = 7
แทน 𝑛 = 4 ในสตร 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 + 1 จะได 𝑎4 = 2𝑎3 + 1 = 2(7) + 1 = 15
ดงนน จะได 𝑎4 = 15 #
ตวอยำง ก ำหนดให 𝑎𝑛 เปนพจนทวไปของล ำดบ ซงม 𝑎1 = 5 , 𝑎𝑛 = −1
𝑎𝑛−1 เมอ 𝑛 ≥ 2 จงหำคำของ 𝑎300
วธท ำ ขอน จะใหไลหำตงแต 𝑎2 ไปถง 𝑎300 คงไมไหว เรำจะหำตวแรกๆ แลวสงเกตแนวโนมดกอน แทน 𝑛 = 2 จะได 𝑎2 = −
1
𝑎1 = −
1
5
แทน 𝑛 = 3 จะได 𝑎3 = −1
𝑎2 = −
1
−1
5
= −1 ∙ (−5
1) = 5 จะเหนวำ 𝑎3 วนกลบมำเทำกบ 𝑎1
แทน 𝑛 = 4 จะได 𝑎4 = −1
𝑎3 = −
1
5
⋮
จะเหนวำ คำของพจน จะสลบ 5 , −1
5 , 5 , −
1
5 , 5 , −
1
5 , …
ดงนน จะไดสตรพจนทวไป แบบไมองกบพจนกอนหนำ คอ 𝑎𝑛 = {5 เมอ 𝑛 เปนเลขค
−1
5เมอ 𝑛 เปนเลขค
เนองจำก 300 เปนเลขค ดงนน 𝑎300 = −1
5 #
32 ล ำดบ และอนกรม
ตวอยำง ก ำหนดให 𝑎𝑛 เปนพจนทวไปของล ำดบ ซงม 𝑎1 = 3 , 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 เมอ 𝑛 ≥ 2 จงหำ 𝑎50 พรอมทงหำสตรพจนทวไปของ 𝑎𝑛 แบบไมตองใชพจนกอนหนำในกำรค ำนวณ
วธท ำ ขอน จะใชวธ “ไลจำก 𝑎1 ขนมำ” หรอจะ “แตกจำก 𝑎𝑛 ลงไป” กได ถำจะไลจำก 𝑎1 ขนมำ เรำจะลองหำพจนตำงๆ แลวสงเกตลกษณะของตวเลข ดงน
จำกแนวโนมน จะไดวำ 𝑎50 = 249 ∙ 3
และจะไดสตรพจนทวไปคอ 𝑎𝑛 = 2𝑛−1 ∙ 3 #
ถำจะแตกจำก 𝑎𝑛 ลงไป เนองจำก 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 ดงนน พจนใดๆกตำม จะเทำกบ สองเทำของพจนกอนหนำ
ดงนน
ดงนน เรำจะแตก 𝑎𝑛 ลงไปหำ 𝑎1 ไดดงน
สงทตองระวงคอ ตองนบดๆ วำแถวสดทำย ม 2 คณกนทงหมดกตว
จะเหนวำแถวลำงสดเปน 𝑎1 แตแถวบนสดเปน 𝑎𝑛−1 ดงนน มทงหมด 𝑛 − 1 แถว
ดงนน จะไดสตรพจนทวไป คอ 𝑎𝑛 = 2𝑛−1 ∙ 𝑎1 = 2𝑛−1 ∙ 3 #
แบบฝกหด 1. ก ำหนดให 𝑎𝑛 เปนพจนทวไปของล ำดบ ซงม 𝑎1 = 2 และ 𝑎𝑛 = −𝑎𝑛−1 ส ำหรบ 𝑛 = 2 , 3 , 4 , … จงหำคำ
ของ 𝑎20
2. ก ำหนดให 𝑎𝑛 เปนพจนทวไปของล ำดบ ซงม 𝑎1 = 3 และ 𝑎𝑛 = 3𝑎𝑛−1 เมอ 𝑛 ≥ 2 จงหำ 𝑎60 พรอมทงหำสตรพจนทวไปของ 𝑎𝑛 แบบไมตององกบพจนกอนหนำ
𝑎𝑛−1 = 2𝑎𝑛−2 𝑎𝑛−2 = 2𝑎𝑛−3 𝑎𝑛−3 = 2𝑎𝑛−4
⋮
𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 = 2 ∙ 2𝑎𝑛−2 = 2 ∙ 2 ∙ 2𝑎𝑛−3 ⋮ = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ … ∙ 2 𝑎1
𝑎1 = 3 𝑎2 = 2𝑎1 = (2)(3) = 21 ∙ 3 𝑎3 = 2𝑎2 = (2)(21 ∙ 3) = 22 ∙ 3 𝑎4 = 2𝑎3 = (2)(22 ∙ 3) = 23 ∙ 3
⋮
ล ำดบ และอนกรม 33
3. ก ำหนดให 𝑎𝑛 เปนพจนทวไปของล ำดบ ซงม 𝑎1 = 1 และ 𝑎𝑛 = −2𝑎𝑛−1 เมอ 𝑛 ≥ 2 จงหำ 𝑎35 พรอมทงหำสตรพจนทวไปของ 𝑎𝑛 แบบไมตององกบพจนกอนหนำ
4. ก ำหนดให 𝑎𝑛 เปนพจนทวไปของล ำดบ ซงม 𝑎1 = 3 และ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1
2 เมอ 𝑛 ≥ 2 จงหำ 𝑎50 สตรพจน
ทวไปของ 𝑎𝑛 แบบไมตององกบพจนกอนหนำ
5. ถำ 𝑎𝑛 เปนพจนทวไปของล ำดบซงม 𝑎5 = 9 และ 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 − 2 แลว 𝑎11 เทำกบเทำใด
[O-NET 58/23]
6. ถำ 𝑎1 = 2 , 𝑎2 = 1 และ 𝑎𝑛+2 = 𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛 เมอ 𝑛 = 1, 2, 3, … แลว 𝑎11 เทำกบเทำใด
[O-NET 56/22]
34 ล ำดบ และอนกรม
7. ก ำหนดให 𝑎𝑛 เปนพจนท 𝑛 ของล ำดบ ซงม 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑛 เมอ 𝑛 = 1, 2, …
ถำ 𝑎4 = 26 แลว 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 เทำกบเทำใด [O-NET 59/37]
8. ถำ 𝑎𝑛 เปนพจนทวไปของล ำดบซงม 𝑎3 = 4 และ 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 = 𝑛 แลว 𝑎1 + 𝑎7 เทำกบเทำใด
[O-NET 58/36]
ล ำดบ และอนกรม 35
อนกรม อนกรม คอ กำรน ำตวเลขในล ำดบมำบวกกน
เชน ถำมล ำดบ 4 , 9 , 16 , 25 , 36 จะไดอนกรมของล ำดบน คอ 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 90
ปกต โจทยจะไมไดใหเรำบวกทกตว สวนใหญมกจะใหเรำบวกแค “𝑛 ตวแรก” เชน ในอนกรม 4 + 9 + 16 + 25 + 36 ผลบวก 3 ตวแรกของอนกรมน คอ 4 + 9 + 16 = 29
ผลบวก 4 ตวแรกของอนกรมน คอ 4 + 9 + 16 + 25 = 54
ผลบวก 1 ตวแรกของอนกรมน คอ 4
เรำนยมใชสญลกษณ 𝑆𝑛 แทน “ผลบวก 𝑛 ตวแรก ของอนกรม” ดงนน ในอนกรมน จะไดวำ 𝑆3 = 29 , 𝑆4 = 54 และ 𝑆1 = 4 เปนตน
ในท ำนองกลบกน ถำเรำม 𝑆 หลำยๆตว เรำจะยอนกลบไปหำคำของแตละตวในล ำดบได เชน ถำเรำรวำ 𝑆3 = 22 และ 𝑆4 = 28 เรำจะหำ 𝑎4 ได เพรำะ 𝑆3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3
𝑆4 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4
ดงนน 𝑎4 = 𝑆4 − 𝑆3 = 28 − 22 = 6
ถำเรำรวำ 𝑆56 = 430 และ 𝑆57 = 418 เรำจะหำ 𝑎57 ได เพรำะ 𝑆57 = 𝑎1 + … + 𝑎56 + 𝑎57
𝑆56 = 𝑎1 + … + 𝑎56
ดงนน 𝑎57 = 𝑆57 − 𝑆56 = 418 − 430 = −12
ถำเรำรวำ 𝑆90 = 105 และ 𝑆93 = 120 เรำจะหำ 𝑎91 + 𝑎92 + 𝑎93 ได
เพรำะ 𝑆90 = 𝑎1 + … + 𝑎90 𝑆93 = 𝑎1 + … + 𝑎90 + 𝑎91 + 𝑎92 + 𝑎93
ดงนน 𝑎91 + 𝑎92 + 𝑎93 = 𝑆93 − 𝑆90 = 120 − 105 = 15
ตวอยำง ก ำหนด 𝑆𝑛 = 3𝑛2 + 1 จงหำ 𝑎5 + 𝑎6 วธท ำ 𝑎5 + 𝑎6 จะหำไดจำก 𝑆6 − 𝑆4 เพรำะ 𝑆6 = 𝑎1 + … + 𝑎4 + 𝑎5 + 𝑎6
𝑆4 = 𝑎1 + … + 𝑎4 ลบกน จะหกกน เหลอ 𝑎5 + 𝑎6 ขอน ใหสตร 𝑆𝑛 มำ แปลวำเรำจะหำ 𝑆 อะไรกได นนคอ 𝑆6 = 3 ∙ 62 + 1 = 109
𝑆4 = 3 ∙ 42 + 1 = 49
ดงนน 𝑎5 + 𝑎6 = 𝑆6 − 𝑆4 = 109 − 49 = 60 #
36 ล ำดบ และอนกรม
แบบฝกหด
1. ก ำหนดล ำดบ 2 , 5 , 8 , 11 จงหำ
1. 𝑆2 2. 𝑆4
2. ก ำหนดให 𝑎𝑛 = 𝑛2 + 1 จงหำ 1. 𝑆1 2. 𝑆3
3. ก ำหนดให 𝑆𝑛 = 𝑛(𝑛+1)
2 จงหำ
1. 𝑎1 2. 𝑎10
3. 𝑎15 4. 𝑎6 + 𝑎7 + 𝑎8
4. ก ำหนดให 𝑆𝑛 = 35 − 𝑛2 จงหำ 1. 𝑎4 2. 𝑎8
3. 𝑎6 + 𝑎7 4. 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3
ล ำดบ และอนกรม 37
5. ผลบวก 3 พจนแรกของล ำดบ 𝑎𝑛 = (−1)𝑛+1𝑛
𝑛+1 เทำกบเทำใด [O-NET 56/25]
6. ถำผลบวกของ 𝑛 พจนแรกของอนกรมหนง คอ 𝑆𝑛 = 3𝑛2 + 2 แลว พจนท 10 ของอนกรมนมคำเทำกบเทำใด
[O-NET 49/1-9]
38 ล ำดบ และอนกรม
สญลกษณซกมำ หวขอน จะพดถงกำรใชสญลกษณ ∑ (อำนวำ “ซกมำ”) เพอเขยน “หลำยๆตวบวกกน” ใหอยในรปสนๆ
สญลกษณ b
ai จะหมำยถงกำรน ำกอน มำบวกซ ำๆกน หลำยๆกอน
โดยกอนแรก ให 𝑖 = 𝑎 และ กอนถดไป ใหเพม 𝑖 ขนทละ 1 ไปเรอยๆ จนจบกอนสดทำยท 𝑖 = 𝑏
25
6i
= + + + … +
เชน 6
3i
𝑖2 + 1 = (32 + 1) + (42 + 1) + (52 + 1) + (62 + 1)
= 10 + 17 + 26 + 37 = 80
5
3i
2𝑖 − 𝑖 = (23 − 3) + (24 − 4) + (25 − 5)
= 5 + 12 + 27 = 44
5
1i
𝑖 = (1) + (2) + (3) + (4) + (5)
= 15
12
9i
4𝑖 = (4 × 9) + (4 × 10) + (4 × 11) + (4 × 12)
= 36 + 40 + 44 + 48 = 168
4
1i
𝑖(𝑖 + 1) = (1)(1 + 1) + (2)(2 + 1) + (3)(3 + 1) + (4)(4 + 1)
= 2 + 6 + 12 + 20 = 40
5
1i
4 = (4) + (4) + (4) + (4) + (4)
= 20
ในทำงกลบกน เรำตองสำมำรถรวบ “หลำยๆตวบวกกน” ใหเปนรป ∑ ไดดวย
โดยค ำตอบจะอยในรป
k
i 1
(สตรพจนทวไป ทเปลยน 𝑛 เปน 𝑖) เมอ 𝑘 คอจ ำนวนพจนทมำบวกกน
ตวอยำง จงเขยน 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 ใหเปนรป ∑
วธท ำ จะรวบ ∑ ตองหำ 2 อยำง คอ “สตรพจนทวไป” กบ “จ ำนวนพจน” จะเหนวำล ำดบนไมใชทงล ำดบเลขคณต หรอ ล ำดบเรขำคณต จงใชสตรไมได ตองเดำสตรพจนทวไปเอง เดำสตรพจนทวไป จะได 𝑎𝑛 = 𝑛2
จ ำนวนพจน หำไดโดยแกสมกำร 36 = 𝑛2 (หรอจะนบเอำเลยกได) จะไดวำอนกรมน ม 6 พจน
เอำสตรพจนทวไป เปลยน 𝑛 เปน 𝑖 วำงหลง ∑ และใสจ ำนวนพจน จะได 6
1i
𝑖2 #
จดเรมตน
จดสนสด กอนทจะบวกซ ำๆ
ตววง 𝑖 = 6 𝑖 = 7 𝑖 = 8 𝑖 = 25
ล ำดบ และอนกรม 39
ตวอยำง จงเขยน 5 + 8 + 11 + … + 38 ใหอยในรป ∑ วธท ำ จะเหนวำล ำดบนเปนล ำดบเลขคณต ทม 𝑎1 = 5 และ 𝑑 = 3
ดงนน จะไดสตรพจนทวไป คอ
ถดมำ หำจ ำนวนพจนทมำบวกกน โดยกำรแกสมกำร
ดงนน 5 + 8 + 11 + … + 38 = 12
1i
3𝑖 + 2 #
ตวอยำง จงเขยน 3 + 6 + 12 + … + 1536 ใหอยในรป ∑ วธท ำ จะเหนวำล ำดบนเปนล ำดบเรขำคณต ทม 𝑎1 = 3 และ 𝑟 = 2
ดงนน จะไดสตรพจนทวไป คอ 𝑎𝑛 = 3 ∙ 2𝑛−1
ถดมำ หำจ ำนวนพจนทมำบวกกน โดยกำรแกสมกำร
ดงนน 3 + 6 + 12 + … + 1536 = 10
1i
3 ∙ 2𝑖−1 #
สมบตทส ำคญของ ∑ มดงน ถำหลง ∑ เปนคำคงท ใหเอำคำคงทคณจ ำนวนพจนทน ำมำบวกกนไดเลย
เชน 4
1i
7 = 7 × 4 = 28 8
1i
5 = 5 × 8 = 40
10
1i
−3 = −3 × 10 = −30 9
3i
−2 = −2 × 7 = −14
ดง “คำคงท” ทคณหรอหำรอย ออกมำคณหรอหำร นอก ∑ ได
เชน 5
1i
4𝑖 = 4 5
1i
𝑖 9
1i
−2𝑖2 = −2 9
1i
𝑖2
12
9i
𝑖
3 =
1
3
12
9i
𝑖 6
1i
−3𝑖3
4 = −
3
4
6
1i
𝑖3
𝑎𝑛 = 5 + (𝑛 − 1)(3) = 5 + 3𝑛 − 3 = 3𝑛 + 2
38 = 3𝑛 + 2 36 = 3𝑛 12 = 𝑛
1536 = 3 ∙ 2𝑛−1 512 = 2𝑛−1 29 = 2𝑛−1 9 = 𝑛 − 1 10 = 𝑛
512 = 8 × 8 × 8 = 23 × 23 × 23 = 29
8 ) 512 8 ) 64
8
40 ล ำดบ และอนกรม
∑ กระจำยในกำรบวกลบได แตกระจำยในกำรคณหำรไมได
เชน 5
3i
2𝑖 − 𝑖 = 5
3i
2𝑖 −
5
3i
𝑖
แต 4
3i
𝑖(𝑖 + 1) ≠
4
3
4
31
iiii
ถำจะกระจำย 4
3i
𝑖(𝑖 + 1) เรำตองเปลยน 𝑖(𝑖 + 1) ใหอยในรปของกำรบวกลบกอน
เชน 4
3i
𝑖(𝑖 + 1) = 4
3i
𝑖2 + 𝑖
= 5
3i
𝑖2 +
5
3i
𝑖
แบบฝกหด
1. จงเขยนผลบวกในแตละขอตอไปน ใหอยในรปทไมม ∑
1. 10
1i
3𝑖 2. 6
2i
−𝑖
3. 5
1i
𝑖3 4. 7
1i
𝑖
𝑖+1
5. 7
3i
6 6. 4
1i
𝑖𝑖
7. 4
2i
−𝑖 ∙ 2𝑖 8. 10
1i
1 + (−1)𝑖
9. 10
1i
(−1)𝑖 ∙ 𝑖 10. 5
1i
2𝑎𝑖 + 1
ล ำดบ และอนกรม 41
2. จงเขยนผลบวกในแตละขอตอไปน ใหอยในรป ∑ 1. 2 + 4 + 6 + … + 10 2. 1 + 3 + 5 + … + 21
3. 1
2 +
3
4 +
5
6 + … +
19
20 4. 1
2 +
1
4 +
1
8 + … +
1
64
5. 1
2 +
3
4 +
5
8 + … +
11
64 6. 1 + 2 + 4 + … + 64
7. 4 + 9 + 16 + … + 121 8. (1)(2) + (2)(3) + (3)(4) + … + (8)(9)
42 ล ำดบ และอนกรม
9. 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎10 10. 2 + 4 + 6 + … + 2𝑛
3. ถำ 5
1
i
𝑥𝑖 = −10 และ 5
1
i
𝑥𝑖2 = 135 แลว )1(
5
1
iii
xx ใกลเคยงกบจ ำนวนเตมใดมำกทสด
[O-NET 59/5]
ล ำดบ และอนกรม 43
อนกรมเลขคณต
อนกรมเลขคณต คอ อนกรมทเกดจำกล ำดบเลขคณต
ตวอยำงอนกรมเลขคณต เชน 5 + 8 + 11 + ... + 38
16 + 13 + 10 + … + 4
1 − 2 − 5 − … − 17 → 1 + (−2) + (−5) + … + (−17) แต 2 + 4 + 8 + … + 64 ไมใชอนกรมเลขคณต เพรำะ 2 , 4 , 8 , … , 64 ไมใชล ำดบเลขคณต
สมบตทส ำคญของล ำดบเลขคณต คอ เรำสำมำรถ “จบคใหผลบวกเทำกน” ได
เชน 10 + 12 + 14 + ... + 32 + 34 + 36 = (10 + 36) + (12 + 34) + (14 + 32) + …
= 46 + 46 + 46 + …
18 + 13 + 8 + … + −2 + −7 + −12 = (18 + −12) + (13 + −7) + (8 + −2) + …
= 6 + 6 + 6 + …
และจำกสมบตดงกลำว จะท ำใหไดสตรส ำหรบหำผลบวกของอนกรมเลขคณต ทตองทอง จะม 2 สตร ดงน
เมอ 𝑆𝑛 คอ ผลบวกของอนกรม 𝑎1 คอพจนแรก , 𝑎𝑛 คอพจนสดทำย
𝑛 คอจ ำนวนพจนทน ำมำบวก
𝑑 คอผลตำงรวมในล ำดบเลขคณต
ตวอยำง จงหำคำของ 2 + 6 + 10 + … + 38 วธท ำ โจทยขอนเปนอนกรมเลขคณต และเนองจำกเรำรพจนสดทำย 𝑎𝑛 = 38 ดงนน เรำจะใชสตรแรก
และจะได 𝑎1 = 2 , 𝑑 = 4 แตจะเหนวำสตรแรกยงตองใช 𝑛 อกตว 𝑛 คอ จ ำนวนพจนในล ำดบ ตองหำโดยแกสมกำรสตรพจนทวไป วำ 38 เปนพจนทเทำไหร เนองจำก 𝑎1 = 2 , 𝑑 = 4 ดงนน สตรพจนทวไป คอ
หำ 𝑛 ไดจำกกำรแกสมกำร
ดงนน 2 + 6 + 10 + … + 38 = 𝑛
2(𝑎1 + 𝑎𝑛)
= 10
2[2 + 38] = 200 #
𝑆𝑛 = 𝑛
2(𝑎1 + 𝑎𝑛) (1)
𝑆𝑛 = 𝑛
2[2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑] (2)
สตรแรก จะใชเมอเรำรพจนสดทำย
นอกนน ใชสตรทสอง
𝑎𝑛 = 2 + (𝑛 − 1)(4) = 2 + 4𝑛 − 4 = 4𝑛 − 2
38 = 4𝑛 − 2 40 = 4𝑛 10 = 𝑛
44 ล ำดบ และอนกรม
ตวอยำง จงหำผลบวก 12 พจนแรก ของอนกรม 4 + 1 + (−2) + (−5) + ... วธท ำ ขอน เรำไมรพจนสดทำย ดงนน เรำจะใชสตรทสอง
แทนคำ 𝑎1 = 4 , 𝑑 = −3 , 𝑛 = 12 จะได
ดงนน ผลบวก 12 พจนแรก = −150 #
ตวอยำง แทงไมกองหนง ชนบนสดมไม 5 แทง ชนถดลงมำมไมเพมขนชนละ 2 แทง ถำกองนมแทงไมทงหมด 285 แทง จงหำวำไมกองนมกชน
วธท ำ ไมเพมชนละ 2 แทง ดงนน ชนทสองมไม 7 แทง , ชนทสำมม 9 แทง , ชนทสม 11 แทง , …
เนองจำกทงกอง ม 285 แทง หมำยควำมวำ 5 + 7 + 9 + 11 + … = 285
จะเหนวำเปนอนกรมเลขคณต ทม 𝑎1 = 5 , 𝑑 = 2 , 𝑆𝑛 = 285
ขอน ไมรพจนสดทำย ดงนน เรำจะใชสตรทสอง
เนองจำก 𝑛 คอจ ำนวนชน เปนลบไมได ดงนน 𝑛 เปน −19 ไมได ดงนน ไมกองนมทงหมด 15 ชน #
แบบฝกหด
1. จงหำคำของอนกรมตอไปน
1. 2 + 4 + 6 + … + 80 2. 11 + 18 + 25 + … + 109
𝑆𝑛 = 𝑛
2[2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑]
285 = 𝑛
2[2(5) + (𝑛 − 1)(2)]
285 = 𝑛
2[10 + 2𝑛 − 2]
285 = 𝑛
2[8 + 2𝑛]
285 = 4𝑛 + 𝑛2 0 = 𝑛2 + 4𝑛 − 285 0 = (𝑛 − 15)(𝑛 + 19) 𝑛 = 15 , −19
𝑆𝑛 = 𝑛
2[2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑]
= 12
2[2(4) + (12 − 1)(−3)]
= 6[8 + (−33)] = 6(−25) = −150
ล ำดบ และอนกรม 45
3. 40 + 37 + 34 + … + 1 4. ผลบวก 12 พจนแรก ของ 3 + 5 + 7 + …
5. ผลบวก 8 พจนแรก ของ 7 + 4 + 1 + … 6. 10
1i
3𝑖 − 1
2. ล ำดบชดหนง ม 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 1 จงหำคำของ 𝑆10
3. ล ำดบชดหนง ม 𝑎𝑛 = 3𝑛 − 1 จงหำคำของ 𝑎6 + 𝑎7 + … + 𝑎20
4. ล ำดบเลขคณตชดหนง ม 𝑎5 = 17 และ 𝑎9 = 33 จงหำคำของ 𝑆7
46 ล ำดบ และอนกรม
5. ล ำดบเลขคณตชดหนง ม 𝑎1 = 3 และ 𝑆10 = 210 จงหำคำของ 𝑎8
6. ล ำดบเลขคณตชดหนง ม 𝑆4 = 10 และ 𝑆9 = 90 จงหำคำของ 𝑎5
7. จงหำวำ จะตองบวกอนกรม 2 + 7 + 12 + … ไปกพจน จงจะไดผลบวกเทำกบ 87
8. จงหำวำ จะตองบวกอนกรม 50 + 43 + 36 + … ไปกพจน จงจะไดผลบวกเปนจ ำนวนลบ
9. อนกรมเลขคณตชดหนง ม 𝑆12 = 60 จงหำคำของ 𝑎1 + 𝑎12
ล ำดบ และอนกรม 47
10. อนกรมเลขคณตชดหนง ม 𝑆16 = 120 จงหำคำของ 𝑎2 + 𝑎15
11. อนกรมเลขคณตชดหนง ม 𝑆10 = 100 จงหำคำของ 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎9 + 𝑎10
12. อนกรมเลขคณตชดหนง ม 𝑆8 = 16 จงหำคำของ 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + … + 𝑎7
13. จงหำผลบวกของจ ำนวนทมคำตงแต 30 ถง 100 ทหำรดวย 3 ลงตว
14. นำยด ำก เงนมำจ ำนวนหนง โดยจำยคนเดอนแรก 200 บำท และในเดอนถดไป นำยด ำตองจำยเพมขนทกๆเดอน โดยจะตองจำยคนมำกขนเดอนละ 50 บำท หลงจำกช ำระหมด พบวำในเดอนสดทำย นำยด ำจำยคน 950 บำท จงหำวำนำยด ำ จำยเงนคนรวมทงสนกบำท
48 ล ำดบ และอนกรม
15. นำย ก เรมเกบเงนตงแตวนท 10 ก.ค. เพอซอของรำคำ 1900 บำท โดยวนแรก เกบได 100 บำท วนตอมำเกบไดมำกขน วนละ 20 บำท จงหำวำนำย ก เกบเงนไดครบในวนทเทำไรของเดอน ก.ค.
16. วนท 3 ม.ค. นำย ก เรมขจกรยำนจำก กรงเทพ ไป จนทบร โดยวนแรก ขได 50 กโลเมตร วนตอมำเรมเหนอย จงขไดนอยลงทกวน วนละ 2 กโลเมตร
1. จงหำระยะทำงท นำย ก จะเดนทำงได หลงสนวนท 10 ม.ค.
2. นำย ข เรมขจกรยำนพรอม นำย ก โดยวนแรก ขได 10 กโลเมตร และวนตอมำเรมฮดส จงขไดมำกขนทกวน วนละ 2 กโลเมตร จงหำวำ นำย ข จะเดนทำงไดมำกกวำ 200 กโลเมตรไดในวนทเทำไรของเดอน ม.ค.
3. นำย ข จะเดนทำงทนนำย ก ไดในวนทเทำไรของเดอน ม.ค.
ล ำดบ และอนกรม 49
4. นำย ค เรมขจกรยำนพรอมนำย ข แตขจำกจนทบร ไปกรงเทพ โดยวนแรกขได 20 กโลเมตร วนตอมำขไดมำกขนวนละ 3 กโลเมตร ถำจนทบร อยหำงจำกกรงเทพ 255 กโลเมตร จงหำวำ นำย ค จะเดนทำงมำพบกบนำย ข ในวนทเทำไรของเดอน ม.ค.
17. คำของ 1 + 6 + 11 + 16 + ⋯ + 101 เทำกบเทำใด [O-NET 52/24]
18. ถำอนกรมเลขคณตมพจนแรกเปน −8 และมผลบวกของ 50 พจนแรกเปน 3275 แลวผลตำงรวมมคำเทำกบเทำใด
[O-NET 57/36]
19. ถำอนกรมเลขคณตมผลบวก 9 พจนแรกเปน 261 และพจนท 9 ของอนกรมนคอ 61
แลว ผลบวก 4 พจนแรกของอนกรมนมคำเทำใด [O-NET 58/24]
50 ล ำดบ และอนกรม
20. ก ำหนดให
แลว ในรปท 10 มจ ำนวนจดกจด [O-NET 59/24]
21. กมลศกดขยำยพนธตนกหลำบโดยกำรตอนกงเพอจ ำหนำย ในวนแรกเขำตอนกงได 20 กง ในวนถดๆไปเขำท ำไดเรวขนโดยเขำสำมำรถตอนกงไดมำกกวำวนกอนหนำนน 5 กง เมอครบ 7 วน แลวเขำตอนกงกหลำบไดทงหมดกกง
[O-NET 59/26]
22. ในสวนปำแหงหนง เจำของปลกตนยคำลปตสเปนแถวดงน แถวแรก 12 ตน แถวทสอง 14 ตน แถวทสำม 16 ตน โดยปลกเพมเชนน ตำมล ำดบเลขคณต ถำเจำของปลกตนยคำลปตสไวทงหมด 15 แถว จะมตนยคำลปตสในสวนปำนทงหมดกตน [O-NET 53/38]
23. ซงกองหนงวำงเรยงซอนกนเปนชนๆ โดยชนบนจะมจ ำนวนนอยกวำชนลำงทอยตดกน 3 ตนเสมอ ถำชนบนสดม 49
ตน และชนลำงสดม 211 ตน แลว ขอใดตอไปนถกตองบำง [O-NET 57/22] 1. ซงกองนม 56 ชน 2. ชนท 8 (นบจำกบนลงลำง) มซง 70 ตน
3. ซงกองนมทงหมด 7,150 ตน
รปท 1 รปท 2 รปท 3 รปท 4
ล ำดบ และอนกรม 51
24. เกษตรกรคนหนงซอรถกระบะโดยผอนช ำระเปนเวลำ 4 ป ทำงผขำยก ำหนดใหผอนช ำระเดอนแรก 5,500 บำท และเดอนถดๆไปใหผอนช ำระเพมขนทกเดอนๆละ 400 บำท จนครบก ำหนด ถำ 𝑥 คอจ ำนวนเงนทเขำตองช ำระในเดอนสดทำย และ 𝑦 คอจ ำนวนเงนทเขำช ำระไปใน 2 ปแรก (หนวย : บำท) แลว จงหำคำ 𝑥 และ 𝑦 [O-NET 56/26]
25. เดกชำยคนหนงตองกำรออมเงนเพอซอรถจกรยำนรำคำ 1,700 บำท โดยเกบเงนเดอนละ 100 บำท และพอสญญำวำจะสมทบเงนใหทกเดอน เรมเดอนแรกให 10 บำท เดอนทสองให 20 บำท เดอนทสำมให 30 บำท และสมทบเงนใหมำกขนทกเดอนๆละ 10 บำท เขำตองออมเงนอยำงนอยกเดอนจงจะมเงนมำกพอซอรถจกรยำน
[O-NET 58/26]
26. ก ำหนดให 𝑆𝑛 เปนผลบวก 𝑛 พจนแรกของล ำดบเลขคณต 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 , ... ถำ 𝑆5 = 90 และ 𝑆10 = 5 แลว 𝑎11 มคำเทำกบเทำใด [O-NET 54/17]
27.
50
1k
(1 + (−1)𝑘)𝑘 มคำเทำกบเทำใด [O-NET 49/1-10]
52 ล ำดบ และอนกรม
28. ถำ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … เปนล ำดบเลขคณต ซง 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎9 = 100 แลว
𝑆10 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎10 มคำเทำกบเทำใด [O-NET 51/27]
29. ก ำหนดให 𝑆 = {101, 102, 103, … , 999} ถำ 𝑎 เทำกบผลบวกของจ ำนวนคทงหมดใน 𝑆 และ 𝑏 เทำกบผลบวกของจ ำนวนคทงหมดใน 𝑆 แลว 𝑏 − 𝑎 มคำเทำกบเทำใด [O-NET 50/32]
30. ถำพจนท 𝑛 ของอนกรมคอ 3𝑛 − 10 แลว ผลบวก 23 พจนแรกของอนกรมนเทำกบเทำใด [O-NET 56/23]
ล ำดบ และอนกรม 53
อนกรมเรขำคณต
อนกรมเรขำคณต คอ อนกรมทเกดจำกล ำดบเรขำคณต
ตวอยำงอนกรมเรขำคณต เชน 6 + 12 + 24 + … + 384
2 + 2√3 + 6 + … + 18
2 − 4 + 8 − 16 + … − 64
6 + 2 + 2
3 + … +
2
27
แต 12 + 22 + 32 + … + 82 ไมใชอนกรมเรขำคณต เพรำะ 12 , 22 , 32 , … , 82 ไมใชล ำดบเรขำคณต
สตรส ำหรบหำผลบวกของอนกรมเรขำคณต ทตองทอง จะม 2 สตร ดงน
เมอ 𝑆𝑛 คอ ผลบวกของอนกรม 𝑎1 คอพจนแรก , 𝑎𝑛 คอพจนสดทำย
𝑛 คอจ ำนวนพจนทน ำมำบวก
𝑟 คออตรำสวนรวมในล ำดบเรขำคณต
ตวอยำง จงหำคำของ 6 + 12 + 24 + … + 384 วธท ำ โจทยขอนเปนอนกรมเรขำคณต และเนองจำกเรำรพจนสดทำย 𝑎𝑛 = 384 ดงนน เรำจะใชสตรแรก
แทนคำ 𝑎1 = 6 , 𝑎𝑛 = 384 , 𝑟 = 2 จะได
ดงนน จะได 6 + 12 + 24 + … + 96 = 762 #
ตวอยำง จงหำผลบวก 10 พจนแรก ของอนกรม 1 +1
2+
1
4+ …
วธท ำ ขอน เรำไมรพจนสดทำย ดงนน เรำจะใชสตรทสอง
แทนคำ 𝑎1 = 1 , 𝑟 = 1
2 , 𝑛 = 10 จะได
ดงนน จะไดผลบวก 10 พจนแรก = 1023
512 #
𝑆𝑛 = 𝑎1−𝑎𝑛𝑟
1−𝑟 (1)
𝑆𝑛 = 𝑎1(1−𝑟𝑛)
1−𝑟 (2)
สตรแรก จะใชเมอเรำรพจนสดทำย
นอกนน ใชสตรทสอง
𝑆𝑛 = 𝑎1−𝑎𝑛𝑟
1−𝑟
= 6−(384)(2)
1−2
= 6−768
−1 = 762
𝑆𝑛 = 𝑎1(1−𝑟𝑛)
1−𝑟
= (1)(1−(
1
2)
10)
1−1
2
= 1−
1
10241
2
= 1023
1024∙
2
1 =
1023
512
54 ล ำดบ และอนกรม
ตวอยำง จงหำคำของ 7
1i
2 ∙ 3𝑖 − 3 ∙ 2𝑖
วธท ำ 7
1i
2 ∙ 3𝑖 − 3 ∙ 2𝑖 = (2 ∙ 31 − 3 ∙ 21) + (2 ∙ 32 − 3 ∙ 22) + … + (2 ∙ 37 − 3 ∙ 27)
= (2 ∙ 31 + 2 ∙ 32 + … + 2 ∙ 37) − (3 ∙ 21 + 3 ∙ 22 + … + 3 ∙ 27)
= (2)(31 + 32 + … + 37) − (3)(21 + 22 + … + 27)
= (2) ( 31−(37)(3)
1−3 ) − (3) (
21−(27)(2)
1−2 )
= (2) ( 3−6561
−2 ) − (3) (
2−256
−1 )
= 6558 − 762
= 5796 #
ตวอยำง นำย ก ก เงน จำก นำย ข โดยท ำสญญำวำจะจำยคนในเดอนแรก 1 บำท และในเดอนถดไป จะจำยเพมเปนสองเทำของเดอนกอนหนำ จนครบ 10 เดอน จงหำวำนำย ก จำยเงนรวมทงสน กบำท
วธท ำ จะไดเดอนทสองจำย 2 บำท , เดอนทสำมจำย 4 บำท , เดอนทสจำย 8 บำท , … จนครบ 10 เดอน จะเหนวำเปนอนกรมเรขำคณต ทม 𝑎1 = 1 , 𝑟 = 2 , 𝑛 = 10
เนองจำกไมรพจนสดทำย ดงนน ใชสตร
ดงนน นำย ก ตองจำยเงนทงสน 1023 บำท #
แบบฝกหด
1. จงหำผลบวกของอนกรมตอไปน
1. 1 + 2 + 4 + … + 128 2. 2 + 6 + 18 + … + 486
3. 3 − 6 + 12 − 24 + … + 192 4. 243 + 162 + 108 + … + 32
𝑎1 = 31 𝑎𝑛 = 37 𝑟 = 3
𝑎1 = 21 𝑎𝑛 = 27 𝑟 = 2
𝑆𝑛 = 𝑎1(1−𝑟𝑛)
1−𝑟
= (1)(1−210)
1−2
= 1−1024
−1 = 1023
ล ำดบ และอนกรม 55
5. ผลบวก 6 พจนแรก ของ 4 + 8 + 16 + … 6. ผลบวก 8 พจนแรก ของ 512 + 256 + 128 + …
7. 10
1i
5 ∙ 2𝑖−1 8. 5
1i
(2
3)
𝑖−1
2. ล ำดบชดหนง ม 𝑎𝑛 = (−2)𝑛 จงหำคำของ 𝑆9
3. ล ำดบชดหนง ม 𝑎𝑛 = 288
2𝑛 จงหำคำของ 𝑆5
4. ล ำดบเรขำคณตชดหนง ม 𝑎3 = 24 และ 𝑎6 = −192 จงหำคำของ 𝑆5
56 ล ำดบ และอนกรม
5. ล ำดบเรขำคณตชดหนง ม 𝑟 = −2 และ 𝑆6 = 42 จงหำคำของ 𝑆10
6. ล ำดบเรขำคณตชดหนง ม 𝑎3 = 9 และ 𝑆4 − 𝑆2 = −18 จงหำคำของ 𝑆5
7. จงหำวำ จะตองบวกอนกรม 1 − 2 + 4 + … ไปกพจน จงจะไดผลบวกเทำกบ −85
8. นำย ก เรมเกบเงนวนท 5 ม.ค. เปนจ ำนวน 1 บำท วนถดมำ จะเกบเพมเปน 3 เทำของวนแรก
1. เมอสนวนท 10 ม.ค. นำย ก จะมเงนเกบเทำไร
ล ำดบ และอนกรม 57
2. นำย ข เรมเกบเงนพรอม นำย ก โดยวนท 5 ม.ค. นำย ข เรมเกบ 5 บำท และวดถดมำ นำย ข จะเกบเพมเปน 2 เทำของวนแรก ถำ นำย ก ยงเกบเงนแบบเกำ ในวนท นำย ก มเงนเกบ 1093 บำท นำย ข จะมเงนเกบเทำไร
9. ขอใดตอไปนเปนอนกรมเรขำคณตทม 100 พจน [O-NET 52/23]
1. 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑛 − 1) + ⋯ + 199
2. 1 +1
3+
1
5+ ⋯ +
1
(2𝑛−1)+ ⋯ +
1
199
3. 1 + 2 + 4 + ⋯ + (2𝑛−1) + ⋯ + 2199
4. 1
5+
1
125+
1
3125+ ⋯ +
1
52𝑛−1 + ⋯ +1
5199
10. ผลบวกของอนกรมเรขำคณต 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ + 256 เทำกบเทำใด [O-NET 51/14]
11. ถำอนกรมเรขำคณตม 𝑎1 = 1
2 และ 𝑎10 = 256 แลว ผลบวก 10 พจนแรกของอนกรมนเทำกบเทำใด
[O-NET 57/25]
58 ล ำดบ และอนกรม
12. ก ำหนดให 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … เปนล ำดบเรขำคณต ถำ 𝑎2 = 8 และ 𝑎5 = −64 แลว ผลบวกของ 10 พจนแรกของล ำดบนเทำกบเทำใด [O-NET 53/22]
13. ถำ 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … เปนล ำดบเรขำคณตซงม 𝑎1 = 2 และ 𝑎4 = 1
4
แลว 1
𝑎1+
1
𝑎2+
1
𝑎3+ … +
1
𝑎10 เทำกบเทำใด [O-NET 58/37]
14. ก ำหนดให 𝑆𝑛 เปนผลบวก 𝑛 พจนแรกของอนกรมเรขำคณต ซงมอตรำสวนรวมเทำกบ 2
ถำ 𝑆10 − 𝑆8 = 32 แลว พจนท 9 ของอนกรมน เทำกบเทำใด [O-NET 51/15]
15. ถำอนกรมเรขำคณตมผลบวก 10 พจนแรกเปน 3069 และมอตรำสวนรวมเปน 2
แลว พจนท 3 ของอนกรมนเทำกบเทำใด [O-NET 56/24]
ล ำดบ และอนกรม 59
16. ส ำหรบ 𝑛 = 2, 3, 4, … ก ำหนดให 𝑎𝑛 = (2)𝑛−2 (1
3)𝑛
ถำ 𝐴𝑛 = 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎𝑛 แลว 729𝐴6 เทำกบเทำใด [O-NET 59/25]
17. ถำ 𝑎 เปนจ ำนวนจรงลบ และ 𝑎20 + 2𝑎 − 3 = 0 แลว 1 + 𝑎 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎19 มคำเทำกบเทำใด
[O-NET 49/1-24]
60 ล ำดบ และอนกรม
ล ำดบ
1. 1. 3, 5, 7, 9 2. 2, 5, 8, 11 3. 1, 4, 9, 16 4. 4, 9, 16, 25
5. 2, 4, 8, 16 6. 10, 100, 1000, 10000
2. 7 3. ไมม 4. 18 5. 47
6. 9 7. 17 8. 10 9. 15
10. 20
11. 1. 𝑎𝑛 = 𝑛 2. 𝑎𝑛 = 3 3. 𝑎𝑛 = 𝑛2 4. 𝑎𝑛 = (𝑛 + 1)2
5. 𝑎𝑛 = 2𝑛 6. 𝑎𝑛 = (−1)𝑛 7. 𝑎𝑛 = 10𝑛 8. 𝑎𝑛 = 10𝑛 − 1
12. 4 13. 5 14. 20 15. 512
33
ล ำดบเลขคณต
1. 1. เปน (𝑑 = 2) 2. ไมเปน 3. เปน (𝑑 = 3) 4. ไมเปน
5. เปน (𝑑 = −2) 6. ไมเปน 7. ไมเปน 8. เปน (𝑑 = 1
3)
9. ไมเปน 10. ไมเปน 11. เปน (𝑑 = 2) 12. เปน (𝑑 = 𝑎) 2. 3 3. 3 4. 7 5. 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 1
6. 𝑎𝑛 = −𝑛+7
2 7. 𝑎𝑛 =
𝑛
6 8. 88 9. 11
10. 34 11. 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 3 12. 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 5 13. 19
14. 10 15. 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 1
16. 1. 33 2. 19 3. 6 4. 46
5. 66 6. 20
17. 30 18. 16 19. 460 20. 4
21. −37 22. 9
20 23. 201 24. 11
25. 3 26. 296 27. 1.5 28. 9
29. 39 30. 27
ตวกลำงเลขคณต
1. 25 2. 3 3. 24 4. 7, 13
5. 20, 23, 26, 29 6. 7, 13, 19 7. −3, 2, 7, 12 8. 4, 28
ล ำดบเรขำคณต
1. 1. ไมเปน 2. เปน (𝑟 = 4) 3. เปน (𝑟 = 10) 4. เปน (𝑟 = 1
5)
5. เปน (𝑟 = 1
10) 6. เปน (𝑟 = 1) 7. ไมเปน 8. เปน (𝑟 = −1)
9. เปน (𝑟 = 1
3) 10. เปน (𝑟 = √3) 11. เปน (𝑟 = −
1
3) 12. เปน (𝑟 = −
√2
2)
ล ำดบ และอนกรม 61
13. ไมเปน 14. เปน (𝑟 = 𝑥)
2. 1. 𝑎𝑛 = 5 ∙ 3𝑛−1 2. 𝑎𝑛 = 48 ∙ (1
2)
𝑛−1 3. 𝑎𝑛 = 2 ∙ √2
𝑛−1 4. 𝑎𝑛 = (−1
2)
𝑛−1
3. 128 4. 2
9 5. 3√3 6. 11
7. 7 8. 2, −4, 8 กบ 8, −4, 2 9. −1 , 9
10. 3 11. ±2 12. 𝑎𝑛 = 2 ∙ 5𝑛−1 กบ 𝑎𝑛 = 2 ∙ (−5)𝑛−1
13. 9 14. 𝑎𝑛 = (−3)(−2)𝑛−1 15. 𝑎𝑛 = 5 ∙ 3𝑛−1 16. 20 ∙ 2𝑘−1 ; 320
17. 900 ∙ (0.9)𝑘−1 18. 1100 ∙ (1.1)𝑘−1 19. 1100 ∙ (1.1)𝑘−1 20. 1
21. 1 22. 1 23. 16√6 24. 125√5
25. 2 26. −1 27. 10
3 28. 5
29. 3 30. 1, 2, 3 31. 1
512 32. 88
33. (0.85)𝑡𝐴
ตวกลำงเรขำคณต
1. 1. ±12 2. ±10 3. 15√3 4. ±𝑎3
2. 75
3. ±5 , ±20
ใหจ ำนวนคนนคอ 𝑎 และ 𝑏 จำกสตรตวกลำงเรขำคณต จะได ±√𝑎𝑏 = ±10
ยกก ำลงสองทง 2 ขำง จะได 𝑎𝑏 = 100 …(1) และ จ ำนวนคนหำรกนได 4 แสดงวำ 𝑏𝑎
= 4 …(2)
(1) × (2) จะได 𝑎𝑏 ×𝑏
𝑎 = 400 → 𝑏2 = 400 → 𝑏 = ±20 แทนใน (1) จะได 𝑎 = ±5
4. 12, 24 5. 12, 18 6. ∓15, −45, ∓135
7. 6√2, 24, 48√2 192 8. 1 , 16 9. 4 , 27
2
ล ำดบเวยนเกด
1. −2 2. 360 , 𝑎𝑛 = 3𝑛 3. (−2)34 , 𝑎𝑛 = (−2)𝑛−1
4. 3
249 , 𝑎𝑛 = 3
2𝑛−1 5. −3 6. 123 7. 64
8. 23
อนกรม
1. 1. 7 2. 26
2. 1. 2 2. 17
3. 1. 1 2. 10 3. 15 4. 21
4. 1. −7 2. −15 3. −24 4. 26
5. 7
12 6. 57
62 ล ำดบ และอนกรม
สญลกษณซกมำ
1. 1. 3 + 6 + 9 + … + 30 2. (−2) + (−3) + (−4) + … + (−6)
3. 13 + 23 + 33 + 43 + 53 4. 1
2 +
2
3 +
3
4 + … +
7
8
5. 6 + 6 + 6 + 6 + 6 6. 11 + 22 + 33 + 44
7. (−2 ∙ 22) + (−3 ∙ 23) + (−4 ∙ 24) 8. 0 + 2 + 0 + 2 + … + 0 + 2
9. (−1) + 2 + (−3) + 4 + … +(−9) + 10 10. (2𝑎1 + 1) + (2𝑎2 + 1) + … + (2𝑎5 + 1)
2. 1. 5
1i
2𝑖 2. 11
1i
2𝑖 − 1 3. 10
1i
2𝑖−1
2𝑖 4.
6
1i
1
2𝑖
5. 6
1i
2𝑖−1
2𝑖 6. 7
1i
2𝑖−1 7. 10
1i
(𝑖 + 1)2 8. 8
1i
𝑖(𝑖 + 1)
9. 10
1i
𝑎𝑖 10. n
i 1 2𝑖
3. 12
อนกรมเลขคณต
1. 1. 1640 2. 900 3. 287 4. 168
5. −28 6. 155
2. 120 3. 570 4. 91 5. 31
6. 10 7. 6 8. 16 9. 10
10. 15 11. 40 12. 12 13. 1548
14. 9200 15. 19
16. 1. 344 2. 13 3. 23 4. 8
17. 1071 18. 3 19. 36 20. 55
21. 245 22. 390 23. 2, 3 24. 24300, 242400
25. 11 26. −38 27. 1300 28. 125
29. −550 30. 598
อนกรมเรขำคณต
1. 1. 255 2. 728 3. 129 4. 665
5. 252 6. 1020 7. 5115 8. 211
81
2. −342 3. 279 4. 66 5. 682
6. 61 7. 8
8. 1. 364 2. 635
9. 4 10. 171 11. 511.5 12. 1364
13. 511.5 14. 32
3 15. 12 16. 211
ล ำดบ และอนกรม 63
17. −2
เครดต
ขอบคณ คณ Jam Geejee
คณครเบรด จำก กวดวชำคณตศำสตรครเบรด ยำนบำงแค 081-8285490
คณ Theerat Piyaanangul ทชวยตรวจสอบควำมถกตองของเอกสำรครบ