10.1.1.125.6317

8/7/2019 10.1.1.125.6317

1/12

M o r p h o l o g i c a l A r e a O p e n i n g s a n d C l o s i n g s

f o r G r e y s c a l e I m a g e s

?

L u c V i n c e n t

X e r o x I m a g i n g S y s t e m s , 9 C e n t e n n i a l D r i v e , P e a b o d y M A 0 1 9 6 0 , U S A

P r o c . N A T O S h a p e i n P i c t u r e W o r k s h o p , D r i e b e r g e n , T h e N e t h e r -

l a n d s , S p r i n g e r - V e r l a g , p p . 1 9 7 2 0 8 , S e p t e m b e r 1 9 9 2 .

A b s t r a c t . T h e l t e r t h a t r e m o v e s f r o m a b i n a r y i m a g e t h e c o m p o n e n t s w i t h

a r e a s m a l l e r t h a n a p a r a m e t e r i s c a l l e d a r e a o p e n i n g . T o g e t h e r w i t h i t s d u a l ,

t h e a r e a c l o s i n g , i t i s r s t e x t e n d e d t o g r e y s c a l e i m a g e s . I t i s t h e n p r o v e d t o

b e e q u i v a l e n t t o a m a x i m u m o f m o r p h o l o g i c a l o p e n i n g s w i t h a l l t h e c o n n e c t e d

s t r u c t u r i n g e l e m e n t s o f a r e a g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o . T h e s t u d y o f t h e r e l a -

t i o n s h i p s b e t w e e n t h e s e l t e r s a n d i m a g e e x t r e m a l e a d s t o a v e r y e c i e n t a r e a

o p e n i n g c l o s i n g a l g o r i t h m . G r e y s c a l e a r e a o p e n i n g s a n d c l o s i n g s c a n b e s e e n a s

t r a n s f o r m a t i o n s w i t h a s t r u c t u r i n g e l e m e n t w h i c h l o c a l l y a d a p t s i t s s h a p e t o t h e

i m a g e s t r u c t u r e s , a n d t h e r e f o r e h a v e v e r y n i c e l t e r i n g c a p a b i l i t i e s . T h e i r e e c t

i s c o m p a r e d t o t h a t o f m o r e s t a n d a r d m o r p h o l o g i c a l l t e r s . S o m e a p p l i c a t i o n s

i n i m a g e s e g m e n t a t i o n a n d h i e r a r c h i c a l d e c o m p o s i t i o n a r e a l s o b r i e y d e s c r i b e d .

K e y w o r d s : a l g o r i t h m , a r e a o p e n i n g , e x t r e m a , l t e r i n g , o p e n i n g a n d c l o s i n g ,

m a t h e m a t i c a l m o r p h o l o g y , s h a p e .

1 I n t r o d u c t i o n

A c l a s s i c i m a g e a n a l y s i s p r e p r o c e s s i n g p r o b l e m c o n s i s t s o f l t e r i n g o u t s m a l l

l i g h t r e s p e c t i v e l y d a r k p a r t i c l e s f r o m g r e y s c a l e i m a g e s w i t h o u t d a m a g i n g t h e

r e m a i n i n g s t r u c t u r e s . O f t e n , s i m p l e m o r p h o l o g i c a l o p e n i n g s r e s p e c t i v e l y c l o s -

i n g s 1 0 , 1 1 w i t h d i s k s o r a p p r o x i m a t i o n s o f d i s k s l i k e s q u a r e s , h e x a g o n s , o c -

t a g o n s , e t c . , a r e g o o d e n o u g h f o r t h i s t a s k . H o w e v e r , w h e n t h e s t r u c t u r e s t h a t

n e e d t o b e p r e s e r v e d a r e e l o n g a t e d o b j e c t s , t h e y c a n b e e i t h e r c o m p l e t e l y o r

p a r t l y r e m o v e d b y s u c h a n o p e r a t i o n .

L e t u s c o n s i d e r f o r e x a m p l e F i g . 1 a , r e p r e s e n t i n g a m i c r o s c o p y i m a g e o f a

m e t a l l i c a l l o y . I t i s c o r r u p t e d " b y s o m e b l a c k n o i s e t h a t o n e m a y w i s h t o r e m o v e

n o t e t h a t p a r t o f w h a t i s c a l l e d n o i s e h e r e i s t h e i n t r a - g r a i n t e x t u r e ! . A s s h o w n

i n F i g . 1 b , a c l o s i n g o f t h i s i m a g e w i t h r e s p e c t t o t h e e l e m e n t a r y b a l l o f t h e

8 - c o n n e c t e d m e t r i c i . e . a s q u a r e o f 9 p i x e l s s e v e r e l y d a m a g e s m o s t o f t h e i n t e r -

g r a i n l i n e s , w h i l e s t i l l p r e s e r v i n g s o m e o f t h e l a r g e s t s b i t s o f n o i s e l i k e t h e b l o b s

i n t h e b o t t o m r i g h t a n d l e f t c o r n e r s .

?

T h e a u t h o r i s g r a t e f u l t o H e n k H e i j m a n s , C h r i s t i a n L a n t u e j o u l , B e n W i t t n e r , a n d

G i l l e s L e b o r g n e f o r s e v e r a l u s e f u l s u g g e s t i o n s a n d f r u i t f u l d i s c u s s i o n s .

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2/12

2 L . V i n c e n t

a b

F i g . 1 . M i c r o s c o p i c i m a g e o f a m e t a l l i c a l l o y a a n d i t s m o r p h o l o g i c a l c l o s i n g b y a n

e l e m e n t a r y 9 p i x e l s s q u a r e b .

T h i s i s t h e r e a s o n w h y , i n t h i s c o n t e x t , o p e n i n g s a n d c l o s i n g s w i t h l i n e s e g -

m e n t s a r e w i d e l y u s e d . I n t h i s p a p e r , t h e m o r p h o l o g i c a l o p e n i n g a n d c l o s i n g

b y a s t r u c t u r i n g e l e m e n t B a r e d e n o t e d b y

B

a n d

B

r e s p e c t i v e l y s e e , e . g . ,

1 0 , 1 1 , 1 2 . D e n o t e a l s o b y l

0

n

l

1

n

l

2

n

l

3

n

t h e l i n e s e g m e n t s o f l e n g t h n a n d

r e s p e c t i v e o r i e n t a t i o n 0

4 5

9 0

a n d 1 3 5

. T h e f o l l o w i n g o p e r a t i o n s

,

n

= _

i 2 0 3

i

n

a n d

n

=

i 2 0 3

i

n

a r e r e s p e c t i v e l y a n a l g e b r a i c o p e n i n g a n d a n a l g e b r a i c c l o s i n g 1 0 , 1 1 , 1 2 . T h e y

t e n d t o p r e s e r v e e l o n g a t e d s t r u c t u r e s b e t t e r t h a n t h e i r d i s k - b a s e d c o u n t e r p a r t s

s e e a l s o 1 1 , p p . 1 1 0 1 1 2 . H o w e v e r , t h e y a r e s t i l l f a r f r o m b e i n g i d e a l : i n -

d e e d , t h e y a r e r s t v e r y c o m p u t a t i o n a l l y i n t e n s i v e , s i n c e t h e y i n v o l v e a s e r i e s

o f e x p e n s i v e o p e r a t i o n s . F u r t h e r m o r e , a s i l l u s t r a t e d b y F i g . 2 , t h e y m a y r e m a i n

u n s a t i s f a c t o r y i n s o m e c a s e s ; w h e n n i s s m a l l , s o m e o f t h e n o i s e f r a g m e n t s a r e

s t i l l p r e s e n t , a n d w i t h i n c r e a s i n g v a l u e s o f n , t h e i n t e r - g r a i n l i n e s t e n d t o b e

d a m a g e d .

T h e r e m e d y t o t h i s l a s t p r o b l e m i s t o i n c r e a s e t h e n u m b e r o f o r i e n t a t i o n s o f

t h e u s e d l i n e s e g m e n t s , b u t t h i s i n t u r n i n c r e a s e s t h e c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y

o f t h e a l g o r i t h m . I n a d d i t i o n , e v e n w i t h a l a r g e n u m b e r o f o r i e n t a t i o n s , v e r y t h i n

l i n e s m i g h t s t i l l e n d u p b r o k e n . A s w i l l b e s e e n i n S e c t . 4 , t h e c l a s s i c s o l u t i o n

t o t h i s i n v o l v e s a t r a n s f o r m a t i o n c a l l e d g r e y s c a l e r e c o n s t r u c t i o n 4 , 2 , 1 6 , 1 7 . I n

t h i s p a p e r , a n e v e n b e t t e r a n d m o r e s y s t e m a t i c t e c h n i q u e i s p r o p o s e d : u s e a l l

p o s s i b l e c o n n e c t e d s t r u c t u r i n g e l e m e n t s o f a g i v e n s i z e n u m b e r o f p i x e l s . T h i s

w i l l l e a d t o t h e i n t r o d u c t i o n o f t h e a r e a o p e n i n g s a n d c l o s i n g s .

T h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s : i n t h e n e x t s e c t i o n , a r e a o p e n i n g s a n d

c l o s i n g s a r e d e n e d a n d s o m e o f t h e i r p r o p e r t i e s a r e r e v i e w e d . T h e i r r e l a t i o n s

w i t h i m a g e e x t r e m a a r e s t u d i e d a n d a r e a t t h e b a s i s o f a v e r y e c i e n t a l g o r i t h m .

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3/12

M o r p h o l o g i c a l A r e a O p e n i n g s a n d C l o s i n g s f o r G r e y s c a l e I m a g e s 3

a b c

F i g . 2 . M a x i m a o f l i n e a r o p e n i n g s o f i n c r e a s i n g s i z e o f F i g . 1 a .

L a s t l y , S e c t . 4 i l l u s t r a t e s t h e i r u s e f u l n e s s f o r s o m e l t e r i n g , s e g m e n t a t i o n , a n d

h i e r a r c h i c a l d e c o m p o s i t i o n a p p l i c a t i o n s .

2 A r e a O p e n i n g s a n d C l o s i n g s : D e n i t i o n s a n d P r o p e r t i e s

2 . 1 D e n i t i o n i n T e r m s o f A r e a s

T h r o u g h o u t t h e p a p e r , t h e s e t s X u n d e r s t u d y w i l l b e c o n s t r a i n e d t o b e s u b s e t s

o f a c o n n e c t e d c o m p a c t s e t M I R

2

c a l l e d t h e m a s k " . A l l t h e n o t i o n s a n d

a l g o r i t h m s i n t r o d u c e d e a s i l y g e n e r a l i z e t o a r b i t r a r y d i m e n s i o n s .

T h e d e n i t i o n s p r o p o s e d b e l o w f o r a r e a o p e n i n g s a n d c l o s i n g s a r e b a s e d o n

t h e s o - c a l l e d c o n n e c t e d o p e n i n g s 1 1 , 1 2 :

D e n i t i o n 1 c o n n e c t e d o p e n i n g . T h e c o n n e c t e d o p e n i n g C

x

X o f a s e t

X M a t p o i n t x 2 M i s t h e c o n n e c t e d c o m p o n e n t o f X c o n t a i n i n g x i f x 2 X

a n d ; o t h e r w i s e .

O n b i n a r y t w o - d i m e n s i o n a l i m a g e s i . e . , o n s u b s e t s o f t h e m a s k M , t h e a r e a

o p e n i n g

a

i s d e n e d a s f o l l o w s :

D e n i t i o n 2 b i n a r y a r e a o p e n i n g . L e t X M a n d 0 . T h e a r e a o p e n -

i n g o f p a r a m e t e r o f X i s g i v e n b y

a

X = f x 2 X A r e a C

x

X g 1

M o r e i n t u i t i v e l y , i f X

i

i 2 I

d e n o t e s t h e c o n n e c t e d c o m p o n e n t s o f X , i t b e c o m e s

c l e a r t h a t

a

X i s e q u a l t o t h e u n i o n o f t h e c o n n e c t e d c o m p o n e n t s o f X w i t h

a r e a g r e a t e r t h a n

a

X =

f X

i

i 2 I A r e a X

i

g 2

B y a r e a i s m e a n t t h e L e b e s g u e m e a s u r e i n I R

2

O b v i o u s l y ,

a

i s i n c r e a s i n g , i d e m p o t e n t , a n d a n t i - e x t e n s i v e . I t i s t h e r e f o r e

l e g i t i m a t e t o c a l l i t a n o p e n i n g 7 , 1 1 , 1 2 . B y d u a l i t y , t h e b i n a r y a r e a c l o s i n g

c a n b e d e n e d a s f o l l o w s :

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4 L . V i n c e n t

D e n i t i o n 3 . T h e a r e a c l o s i n g o f p a r a m e t e r 0 o f X M i s g i v e n b y :

a

X =

a

X

C

C

w h e r e X

C

d e n o t e s t h e c o m p l e m e n t o f X i n M , i . e . t h e s e t M n X n d e n o t i n g

t h e s e t d i e r e n c e o p e r a t o r . A s t h e d u a l o f t h e a r e a o p e n i n g , t h e a r e a c l o s i n g

l l s i n t h e h o l e s o f a s e t w h o s e a r e a s a r e s t r i c t l y s m a l l e r t h a n t h e s i z e p a r a m e t e r

T h e g r o w t h o f t h e s e t r a n s f o r m a t i o n s m a k e s i t p o s s i b l e t o e x t e n d t h e m s t r a i g h t -

f o r w a r d l y t o g r e y s c a l e i m a g e s 1 2 , i . e . , t o m a p p i n g s f r o m M t o I R :

D e n i t i o n 4 g r e y s c a l e a r e a o p e n i n g . F o r a m a p p i n g f M , ! I R , t h e

a r e a o p e n i n g

a

f i s g i v e n b y :

a

f x = s u p f h f x A r e a

x

T

h

f g 3

= s u p f h f x x 2

a

T

h

f g 4

I n t h i s d e n i t i o n , T

h

f s t a n d s f o r t h e t h r e s h o l d o f f a t v a l u e h , i . e :

T

h

f = f x 2 M f x h g 5

I n o t h e r w o r d s , t o c o m p u t e t h e a r e a o p e n i n g o f f , a l l t h e p o s s i b l e t h r e s h o l d s

T

h

f o f f a r e r s t c o n s i d e r e d a n d t h e i r a r e a o p e n i n g s

a

T

h

f a r e f o u n d . S i n c e

a

i s i n c r e a s i n g , Y X =

a

Y

a

X . T h u s , t h e f

a

T

h

f g

h 2 I R

a r e

a d e c r e a s i n g s e q u e n c e o f s e t s w h i c h b y d e n i t i o n c o n s t i t u t e t h e t h r e s h o l d s e t s o f

t h e t r a n s f o r m e d m a p p i n g

a

f

B y d u a l i t y , o n e s i m i l a r l y e x t e n d s t h e c o n c e p t o f a r e a c l o s i n g t o m a p p i n g s

f r o m M t o I R . T h e s e a r e a o p e n i n g s a n d c l o s i n g s f o r g r e y s c a l e i m a g e s a r e t y p i c a l

e x a m p l e s o f a t i n c r e a s i n g m a p p i n g s a l s o c a l l e d s t a c k m a p p i n g s 1 2 , 1 9 , 1 3 .

T h e i r g e o m e t r i c i n t e r p r e t a t i o n i s r e l a t i v e l y s i m p l e : a g r e y s c a l e a r e a o p e n i n g b a -

s i c a l l y r e m o v e s f r o m t h e i m a g e a l l t h e l i g h t s t r u c t u r e s w h i c h a r e s m a l l e r " t h a n

t h e s i z e p a r a m e t e r , w h e r e a s t h e a r e a c l o s i n g h a s t h e s a m e e e c t o n d a r k s t r u c -

t u r e s . I t i s s t r e s s e d t h a t t h e w o r d s i z e e x c l u s i v e l y r e f e r s h e r e t o a n a r e a o r

n u m b e r o f p i x e l s i n t h e d i s c r e t e c a s e . T h e o r e m 1 0 b e l o w w i l l p r o v i d e a m o r e

r e n e d i n t e r p r e t a t i o n o f t h i s i n t u i t i v e i n t e r p r e t a t i o n .

2 . 2 S e c o n d A p p r o a c h t o A r e a O p e n i n g s a n d C l o s i n g s

I n t h i s s e c t i o n , i t i s s h o w n t h a t a r e a o p e n i n g s c a n b e o b t a i n e d t h r o u g h m a x i m a

o f c l a s s i c m o r p h o l o g i c a l o p e n i n g s w i t h c o n n e c t e d s t r u c t u r i n g e l e m e n t s . R e c a l l

t h a t

B

d e n o t e s t h e m o r p h o l o g i c a l o p e n i n g b y s t r u c t u r i n g e l e m e n t B

L e m m a 5 . L e t B M

B

a

i f a n d o n l y i f B i s a n i t e u n i o n o f c o n n e c t e d

c o m p o n e n t s o f a r e a g r e a t e r o r e q u a l t o

P r o o f . I f B =

n

i = 1

B

i

w i t h 8 i 2 1 n B

i

c o n n e c t e d a n d A r e a B

i

, t h e n f o r

a n y i

B

i

a

. T h u s ,

B

a

. C o n v e r s e l y , i f

B

a

, t h e n

B

B

a

B

i . e . B

a

B . S i n c e

a

i s a n t i - e x t e n s i v e , t h i s i m p l i e s t h a t B =

a

B . T h u s ,

b y d e n i t i o n o f

a

, t h i s i m p l i e s t h a t e v e r y c o n n e c t e d c o m p o n e n t o f B i s o f a r e a

. S i n c e w e o p e r a t e i n d o m a i n M t h e s e c o m p o n e n t s a r e i n n i t e n u m b e r . ut

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5/12


T h e f o l l o w i n g t h e o r e m c a n n o w b e s t a t e d :

T h e o r e m 6 . D e n o t i n g b y A

t h e c l a s s o f t h e s u b s e t s o f M w h i c h a r e c o n n e c t e d

a n d w h o s e a r e a i s g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o , t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n h o l d s :

a

=

B 2 A

B

6

P r o o f .

a

b e i n g a t r a n s l a t i o n - i n v a r i a n t a l g e b r a i c o p e n i n g , a f a m o u s r e s u l t b y

M a t h e r o n 7 s t a t e s t h a t i t i s t h e s u p r e m u m o f a l l t h e m o r p h o l o g i c a l o p e n i n g s

B

t h a t a r e s m a l l e r t h a n o r e q u a l t o

a

a

=

f

B

B

m o r p h o l o g i c a l o p e n i n g

B

a

g

T h u s , a p p l y i n g l e m m a 5 ,

a

=

f

B

B =

S

n

i = 1

B

i

B

i

c o n n e c t e d , A r e a B

i

g

O b v i o u s l y , f o r e a c h o f t h e s e B s

B

B

i

8 i . T h e a b o v e u n i o n c a n t h u s b e

r e d u c e d t o t h e c o n n e c t e d s e t s B o f a r e a

a

=

f

B

B c o n n e c t e d A r e a B g

w h i c h c o m p l e t e s t h e p r o o f . ut

S i m i l a r l y , i t c a n b e p r o v e d t h a t t h e a r e a c l o s i n g o f p a r a m e t e r i s e q u a l t o t h e

i n m u m o f a l l t h e c l o s i n g s w i t h c o n n e c t e d s t r u c t u r i n g e l e m e n t s o f a r e a g r e a t e r

o r e q u a l t o

I n t h e d i s c r e t e d o m a i n , a n y c o n n e c t e d s e t o f a r e a g r e a t e r o r e q u a l t o 2 I N

c o n t a i n s a c o n n e c t e d s e t o f a r e a e q u a l t o . T h e t h e o r e m c a n t h u s b e m a d e m o r e

s p e c i c a s f o l l o w s :

C o r o l l a r y 7 . L e t Z Z

2

b e t h e d i s c r e t e p l a n e e q u i p p e d w i t h e . g . , 4 - o r 8 - c o n n e c t i v i t y .

F o r X 2 Z Z

2

M a n d 2 I N

a

X =

f

B

X B 2 Z Z

2

c o n n e c t e d A r e a B = g

T h e o r e m 6 c a n n o w b e e x t e n d e d t o g r e y s c a l e :

P r o p o s i t i o n 8 . L e t f M , ! I R , b e a n u p p e r s e m i - c o n t i n u o u s m a p p i n g 1 0 ,

p p . 4 2 5 4 2 9 . T h e a r e a o p e n i n g o f f i s g i v e n b y :

a

f =

_

S 2 A

S

f 7

N o t e t h a t t o e x t e n d t h e o r e m 6 t o g r e y s c a l e , w e n e e d t o a p p l y i t t o t h e t h r e s h o l d

s e t s T

h

f . T h e y t h u s h a v e t o b e c o m p a c t , a n d t h i s i s w h y u p p e r s e m i - c o n t i n u i t y

o f f i s r e q u i r e d . A d u a l p r o p o s i t i o n c a n b e s t a t e d f o r g r e y s c a l e a r e a c l o s i n g s ,

w h i c h n o w r e q u i r e s l o w e r s e m i - c o n t i n u i t y f o r f

T h e p r e v i o u s p r o p o s i t i o n l e a d s t o a d i e r e n t u n d e r s t a n d i n g o f a r e a o p e n i n g s

r e s p e c t i v e l y c l o s i n g s . A s a m a x i m u m o f o p e n i n g s w i t h a l l p o s s i b l e c o n n e c t e d

e l e m e n t s o f a m i n i m a l s i z e , i t c a n b e s e e n a s a d a p t i v e : a t e v e r y l o c a t i o n , t h e

s t r u c t u r i n g e l e m e n t a d a p t s i t s s h a p e 1 t o t h e i m a g e s t r u c t u r e s o a s t o r e m o v e

a s l i t t l e a s p o s s i b l e " .

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6/12

6 L . V i n c e n t

3 R e l a t i o n w i t h E x t r e m a , A l g o r i t h m

T h i s s e c t i o n e x c l u s i v e l y d e a l s w i t h o p e n i n g s , t h e d u a l c a s e o f t h e c l o s i n g s b e i n g

e a s y t o d e r i v e f r o m t h e r e s u l t s . W e r s t r e c a l l t h e n o t i o n o f m a x i m u m o n a

m a p p i n g 1 0 , p a g e 4 4 5 .

D e n i t i o n 9 r e g i o n a l m a x i m u m . L e t f b e a n u p p e r s e m i - c o n t i n u o u s u . s . c .

m a p p i n g f r o m M t o I R . A r e g i o n a l m a x i m u m o f f a t l e v e l h 2 I R i s a c o n n e c t e d

c o m p o n e n t M o f T

h

f s u c h t h a t

8 h h ; T

h

M = ; 8

T h e f o l l o w i n g t h e o r e m c a n n o w b e s t a t e d :

T h e o r e m 1 0 . L e t f b e a u . s . c . m a p p i n g f r o m M t o I R 0 . D e n o t i n g M

t h e c l a s s o f t h e u . s . c . m a p p i n g s g M , ! I R s u c h t h a t a n y m a x i m u m M o f g i s

o f a r e a g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o

a

f = s u p f g f g 2 M

g 9

P r o o f . L e t g 2 M

g f , a n d l e t h 2 I R . L e t A b e a n a r b i t r a r y c o n n e c t e d

c o m p o n e n t o f T

h

g . S i n c e g i s u . s . c . , A i s a c o m p a c t s e t a n d t h e r e f o r e , t h e r e

e x i s t s x 2 A s u c h t h a t g x = m a x f g y y 2 A g . L e t h = g x a n d B =

C

x

T

h

g B i s o b v i o u s l y a m a x i m u m o f g a t a l t i t u d e h . I n d e e d , i f t h e r e e x i s t e d

a y 2 B s u c h t h a t g y h , w e w o u l d h a v e y 62 A t h e m a x i m a l v a l u e o f g

o n A i s h , a n d t h u s A A B T

h

g . F u r t h e r m o r e , A B i s c o n n e c t e d

a s t h e u n i o n o f t w o c o n n e c t e d s e t s w i t h n o n - e m p t y i n t e r s e c t i o n , w h i c h w o u l d

b e i n c o n t r a d i c t i o n w i t h t h e f a c t t h a t A i s a c o n n e c t e d c o m p o n e n t o f T

h

g B

i s t h e r e f o r e a m a x i m u m a t a l t i t u d e h o f g a n d B A . S i n c e b y h y p o t h e s i s ,

A r e a B , w e t h e r e f o r e h a v e A r e a A

T h u s , f o r e v e r y h 2 I R

a

T

h

g = T

h

g . B e s i d e s , T

h

g T

h

f . T h e r e -

f o r e , b y g r o w t h o f

a

a

T

h

g = T

h

g

a

T

h

f . T h i s b e i n g t r u e f o r e v e r y

t h r e s h o l d , w e c o n c l u d e t h a t g

a

f

C o n v e r s e l y , 8 h 2 I R , a n y c o n n e c t e d c o m p o n e n t A o f T

h

a

f i s o f a r e a

T h u s , a l l t h e m a x i m a o f

a

f a r e o f a r e a . I t f o l l o w s t h a t

a

f 2 M

a n d

a n t i - e x t e n s i v i t y

a

f f , w h i c h c o m p l e t e s t h e p r o o f . ut

T h i s t h e o r e m p r o v i d e s a t h i r d i n t e r p r e t a t i o n o f g r e y s c a l e a r e a o p e n i n g s u s e f u l

f o r i m p l e m e n t a t i o n p u r p o s e s . I n d e e d :

O b v i o u s l y , a p p l y i n g d e n i t i o n 2 a n d c o m p u t i n g

a

I f o r e v e r y t h r e s h o l d o f

t h e o r i g i n a l g r e y s c a l e i m a g e I t h e n p i l i n g u p " t h e r e s u l t i n g b i n a r y i m a g e s

i s a m u c h t o o c o m p u t a t i o n a l l y e x p e n s i v e o p e r a t i o n .

S i m i l a r l y , c o m p u t i n g a l l t h e p o s s i b l e o p e n i n g s w i t h a l l t h e p o s s i b l e c o n n e c t e d

s t r u c t u r i n g e l e m e n t s o f p i x e l s s e e S e c t . 2 . 2 b e c o m e s a n i m p o s s i b l e t a s k a s

s o o n a s i s g r e a t e r t h a n 4 o r 5 . I n d e e d , t h e n u m b e r o f p o s s i b l e s t r u c t u r i n g

e l e m e n t s b e c o m e s t r e m e n d o u s ! N o t e h o w e v e r t h a t a n a p p r o x i m a t e a l g o r i t h m

b a s e d o n s u c h p r i n c i p l e s h a s b e e n p r o p o s e d f o r 8 1 . I t i s h o w e v e r s t i l l

v e r y s l o w a n d i n a c c u r a t e , a n d t h e c o n s t r a i n t 8 d o e s n o t l e a v e e n o u g h

l t e r i n g p o w e r f o r m o s t a p p l i c a t i o n s .

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7/12


T h e a l g o r i t h m d e v e l o p e d f o r t h i s s t u d y i s b a s e d o n t h e o r e m 1 0 a n d c o r o l -

l a r y 7 . I t s r s t s t e p i s t o e x t r a c t a n d l a b e l t h e r e g i o n a l m a x i m a o f i m a g e I

u n d e r s t u d y f o r t h i s s t e p , r e f e r t o 1 5 , 1 8 , 2 . T h e n , t o e a c h m a x i m u m a r e

p r o g r e s s i v e l y a d d e d i t s n e i g h b o r i n g p i x e l s , s t a r t i n g w i t h t h o s e w i t h l a r g e s t v a l u e

i n o t h e r w o r d s , t h e l o c a l t h r e s h o l d a r o u n d t h e m a x i m u m i s p r o g r e s s i v e l y l o w -

e r e d . A s s o o n a s t h e a r e a o f t h e c u r r e n t b r o a d e n e d m a x i m u m b e c o m e s l a r g e r

t h a n , t h e p r o c e s s s t o p s a n d v a l u e v i s a s s i g n e d t o a l l p i x e l s o f t h e b r o a d e n e d

m a x i m u m . T h e n e x t m a x i m u m i s t h e n c o n s i d e r e d , e t c . I m p l e m e n t a t i o n o f t h i s

p r o c e d u r e o n a S u n S p a r c S t a t i o n 2 a l l o w s u s t o c o m p u t e a r e a o p e n i n g s o f s i z e

1 0 0 o n a 2 5 6 2 5 6 i m a g e i n l e s s t h a n 3 s e c o n d s o n a v e r a g e ! A d a p t i n g i t t o a r e a

c l o s i n g s i s s t r a i g h t f o r w a r d .

4 A p p l i c a t i o n s

4 . 1 G r a i n s I m a g e F i l t e r i n g P r o b l e m R e v i s i t e d

I t w a s m e n t i o n e d i n t h e i n t r o d u c t i o n t h a t g r e y s c a l e r e c o n s t r u c t i o n h e l p s i n t h i s

i m a g e l t e r i n g t a s k . A s i l l u s t r a t e d b y F i g . 3 a , d u a l r e c o n s t r u c t i o n r e f e r t o 1 5 ,

1 6 , 1 7 o f F i g . 1 a f r o m t h e m i n i m u m o f c l o s i n g s o f F i g . 2 c y i e l d s a v e r y c l e a n

i m a g e . H o w e v e r , t h e a r e a c l o s i n g i n t r o d u c e d i n t h i s p a p e r p e r f o r m s e v e n b e t t e r :

F i g . 3 b r e p r e s e n t s a n a r e a c l o s i n g o f s i z e 4 0 o f F i g . 1 a .

a b

F i g . 3 . a A f t e r d u a l r e c o n s t r u c t i o n o f F i g . 1 a f r o m F i g . 2 c . b A r e a c l o s i n g o f F i g . 1 a .

O n e c a n s e e t h a t , w h i l e t h e o v e r a l l c l e a n l i n e s s i s r e l a t i v e l y s i m i l a r i n F i g . 3 a

a n d F i g . 3 b , t h e l a t t e r d o e s a b e t t e r j o b o f p r e s e r v i n g t h e i n t e r - g r a i n s e p a r a t i o n s ,

e s p e c i a l l y t h o s e w h o s e o r i e n t a t i o n i s n o t o n e o f t h e f o u r o r i e n t a t i o n s u s e d i n t h e

o r i g i n a l m i n i m u m o f c l o s i n g s w i t h l i n e s e g m e n t s . T h i s i s i l l u s t r a t e d b y F i g . 4 ,

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8/12

8 L . V i n c e n t

w h i c h i s t h e t h r e s h o l d e d a l g e b r a i c d i e r e n c e b e t w e e n F i g . 3 a a n d F i g . 3 b . N o t e

t h a t o n t h e c o n t r a r y t o c l a s s i c m o r p h o l o g i c a l o p e n i n g s a n d c l o s i n g s , b o t h t h e

r e c o n s t r u c t i o n m e t h o d a n d t h e p r e s e n t a r e a o p e n i n g s c l o s i n g s y i e l d l t e r e d i m -

a g e s w h e r e n o r o u g h n e s s d u e t o t h e s h a p e o f t h e c h o s e n s t r u c t u r i n g e l e m e n t s

m a y b e o b s e r v e d .

F i g . 4 . A r e a s w h e r e t h e a r e a c l o s i n g p e r f o r m s s u b s t a n t i a l l y b e t t e r t h a n t h e l t e r o f

F i g . 3 a a t p r e s e r v i n g t h e t h i n d a r k l i n e s b e t w e e n g r a i n s .

4 . 2 U s e f o r I m a g e S e g m e n t a t i o n

J u s t a s w i t h c l a s s i c o p e n i n g s a n d c l o s i n g s , o n e c a n v e r y w e l l p e r f o r m t o p - h a t s

8 w i t h a r e a o p e n i n g s a n d c l o s i n g s . T h i s a l l o w s t h e s t r a i g h t f o r w a r d e x t r a c t i o n

o f s m a l l l i g h t o r d a r k s t r u c t u r e s r e g a r d l e s s o f t h e i r s h a p e . A s a n e x a m p l e , l e t u s

c o n s i d e r F i g . 5 a , a n i m a g e o f e y e b l o o d v e s s e l s w h e r e m i c r o a n e u r i s m s h a v e t o b e

d e t e c t e d . T h e s e a r e s m a l l l i g h t s t r u c t u r e s w h i c h a r e

, d i s c o n n e c t e d f r o m t h e n e t w o r k o f t h e b l o o d v e s s e l s ,

, p r e d o m i n a n t l y l o c a t e d o n t h e d a r k a r e a s o f t h e i m a g e , i . e . h e r e , t h e c e n t r a l

r e g i o n .

A d i r e c t a r e a o p e n i n g o f s i z e l a r g e r t h a n a n y p o s s i b l e a n e u r i s m y i e l d s F i g . 5 b

a n d i t s s u b t r a c t i o n f r o m t h e o r i g i n a l i m a g e a r e a t o p - h a t i s s h o w n i n F i g . 6 a .

T h e a n e u r i s m s a r e c l e a r l y v i s i b l e b u t s o m e o t h e r s m a l l s t r u c t u r e s n o t l o c a t e d o n

t h e d a r k i m a g e a r e a s a r e a l s o p r e s e n t .

N o w , b y c o m p u t i n g a n o p e n i n g o f F i g . 5 a w i t h r e s p e c t t o a l a r g e s q u a r e ,

w e b a s i c a l l y r e m o v e a l l t h e l i g h t s t r u c t u r e s a n d e n d u p w i t h a n i m a g e o f t h e

b a c k g r o u n d " s e e F i g . 6 b . A f t e r i n v e r t i n g t h i s i m a g e a n d c o m p u t i n g a p i x e l w i s e

m u l t i p l i c a t i o n o f t h e r e s u l t w i t h F i g . 6 a , w e g e t F i g . 7 a w h e r e t h e a n e u r i s m s

r e a l l y s t a n d o u t . A s i m p l e t h r e s h o l d i n g o f t h i s i m a g e t h e n p r o v i d e s a n a c c u r a t e

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9/12


a b

F i g . 5 . a O r i g i n a l i m a g e a n g i o g r a p h y o f e y e b l o o d v e s s e l s w i t h m i c r o a n e u r i s m s ; b

a r e a o p e n i n g o f s i z e 6 0 .

d e t e c t i o n s e e F i g . 7 b . N o t e t h a t a n a l t e r n a t i v e s o l u t i o n t o t h i s m i c r o a n e u r i s m

d e t e c t i o n p r o b l e m i s g i v e n i n 1 6 , 1 7 .

4 . 3 A r e a A l t e r n a t i n g S e q u e n t i a l F i l t e r s , H i e r a r c h i c a l I m a g e

D e c o m p o s i t i o n

H a v i n g a f a s t a r e a o p e n i n g c l o s i n g a l g o r i t h m a t o u r d i s p o s a l a l l o w s u s t o u s e

t h e s e t r a n s f o r m a t i o n s i n m o r e c o m p l e x l t e r s . I n p a r t i c u l a r , s i n c e t h e f

a

g

2 I N

a n d t h e f

a

g

2 I N

o b v i o u s l y c o n s t i t u t e a s i z e d i s t r i b u t i o n a n d a n a n t i - s i z e d i s t r i -

b u t i o n 7 , t h e y c a n b e u s e d i n a l t e r n a t i n g s e q u e n t i a l l t e r s A S F 1 4 , 1 1 , 1 2 .

I n m o s t p r a c t i c a l c a s e s h o w e v e r , t h e r e i s a l m o s t n o d i e r e n c e b e t w e e n t h e

f o l l o w i n g A S F

a

k

a

k

a

k 1

a

k 1

a

1

a

1

a n d t h e s i m p l e o p e n - c l o s e l t e r

a

k

a

k

! T h i s s t a t e m e n t w o u l d b e w r o n g i n t h e

c a s e o f w e i r d n e s t e d s t r u c t u r e s . B e s i d e s , t h e l a t t e r i s a l s o e x t r e m e l y c l o s e t o t h e

c l o s e - o p e n l t e r

a

k

a

k

. I t l t e r s d a r k s a n d l i g h t s e q u a l l y w e l l a n d i s v e r y g o o d

a t r e m o v i n g i m p u l s e n o i s e w h i l e p r e s e r v i n g t h e s h a p e o f t h e u n d e r l y i n g i m a g e

s t r u c t u r e s , a s i l l u s t r a t e d b y F i g . 8 .

W i t h i n c r e a s i n g s i z e s o f a r e a A S F o r s i m p l y o p e n - c l o s e , o n e p r o g r e s s i v e l y

g e t s i m a g e s w i t h m o r e a n d m o r e a t p l a t e a u " a r e a s , o r i g i n a l l y c o r r e s p o n d i n g

t o m i n i m a a n d m a x i m a . A s i l l u s t r a t e d b y F i g . 9 , t h i s p r o c e s s p r o d u c e s a s e r i e s

o f i m a g e s o f d e c r e a s i n g c o m p l e x i t y o r l e v e l o f d e t a i l a n d c o u l d t h e r e f o r e b e

u s e d i n a h i e r a r c h i c a l i m a g e d e c o m p o s i t i o n s c h e m e .

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10/12

1 0 L . V i n c e n t

a b

F i g . 6 . a P i x e l w i s e a l g e b r a i c d i e r e n c e b e t w e e n F i g . 5 a a n d F i g . 5 b a r e a t o p - h a t ;

b m o r p h o l o g i c a l o p e n i n g o f F i g . 5 a b y a l a r g e s q u a r e .

C o n c l u s i o n s

I n t h i s p a p e r , g r e y s c a l e m o r p h o l o g i c a l a r e a o p e n i n g s a n d c l o s i n g s h a v e b e e n i n -

t r o d u c e d , a n d t h e i r p r o p e r t i e s s t u d i e d . I t h a s b e e n p r o v e d t h a t t h e a r e a o p e n i n g

o f s i z e i s e q u i v a l e n t t o a s u p r e m u m o f m o r p h o l o g i c a l o p e n i n g s w i t h c o n n e c t e d

s t r u c t u r i n g e l e m e n t s o f a r e a . W e c o n j e c t u r e t h a t , i n f a c t , t h i s i s t r u e w i t h

c o n n e c t e d s t r u c t u r i n g e l e m e n t s o f a r e a e x a c t l y e q u a l t o . T h i s l a t t e r r e s u l t i s

t r u e a n y w a y i n t h e d i s c r e t e c a s e a n d e s t a b l i s h e s t h e c o n n e c t i v i t y - p r e s e r v i n g b e -

h a v i o r o f t h e s e o p e n i n g s a n d c l o s i n g s . I t h a s b e e n s h o w e d t h a t t h e s e o p e r a t o r s

a r e i d e a l f o r m a n y d i c u l t i m a g e l t e r i n g t a s k s . M o r e o v e r , t h e y c a n b e o f g r e a t

i n t e r e s t i n i m a g e s e g m e n t a t i o n a n d d e c o m p o s i t i o n a p p l i c a t i o n s . A f a s t a l g o r i t h m

d e r i v e d f r o m t h e r e s u l t s o f t h i s p a p e r h a s b e e n o u t l i n e d a n d w i l l b e d e t a i l e d i n

f u t u r e p u b l i c a t i o n s . H o p e f u l l y t h e s e n e w a r e a o p e n i n g s a n d c l o s i n g s w i l l b e u s e f u l

f o r s o l v i n g a v a r i e t y o f i m a g e a n a l y s i s p r o b l e m s .

R e f e r e n c e s

1 . C h e n g , F . , V e n e t s a n o p o u l o s , A . N . 1 9 9 1 . F a s t , a d a p t i v e m o r p h o l o g i c a l d e c o m p o -

s i t i o n f o r i m a g e c o m p r e s s i o n , P r o c . 2 5 t h A n n u a l C o n f . o n I n f o r m a t i o n S c i e n c e s

a n d S y s t e m s , p p . 3 5 4 0 .

2 . G r i m a u d , M . 1 9 9 2 . A n e w m e a s u r e o f c o n t r a s t : d y n a m i c s , P r o c . S P I E V o l . 1 7 6 9 ,

I m a g e A l g e b r a a n d M o r p h o l o g i c a l P r o c e s s i n g I I I , S a n D i e g o C A .

3 . K n u t h , D . E . 1 9 7 3 . T h e A r t o f C o m p u t e r P r o g r a m m i n g , V o l . 3 : S o r t i n g a n d

S e a r c h i n g , A d d i s o n W e s l e y .

4 . L a n t u e j o u l , C h . , M a i s o n n e u v e , F . 1 9 8 4 G e o d e s i c m e t h o d s i n i m a g e a n a l y s i s ,

P a t t e r n R e c o g n i t i o n , V o l . 1 7 , p p . 1 1 7 1 8 7 .

8/7/2019 10.1.1.125.6317

11/12

M o r p h o l o g i c a l A r e a O p e n i n g s a n d C l o s i n g s f o r G r e y s c a l e I m a g e s 1 1

a b

F i g . 7 . a p i x e l w i s e m u l t i p l i c a t i o n o f i n v e r t e d i m a g e 6 b w i t h F i g . 6 a ; b m i c r o a -

n e u r i s m s d e t e c t e d a f t e r s t r a i g h t f o r w a r d t h r e s h o l d i n g .

5 . L a y , B . 1 9 8 7 . R e c u r s i v e A l g o r i t h m s i n M a t h e m a t i c a l M o r p h o l o g y , A c t a S t e r e o -

l o g i c a , V o l . 6 I I I , P r o c . 7 t h I n t . C o n g r e s s F o r S t e r e o l o g y , p p . 6 9 1 6 9 6 .

6 . M a r a g o s . P . , S c h a f e r , R . W . 1 9 8 7 . M o r p h o l o g i c a l l t e r s | p a r t I I : t h e i r r e l a t i o n s

t o m e d i a n , o r d e r - s t a t i s t i c s , a n d s t a c k l t e r s , I E E E T r a n s a c t i o n s o n A c o u s t i c s ,

S p e e c h , a n d S i g n a l P r o c e s s i n g , V o l . 3 5 8 , p p . 1 1 7 0 1 1 8 4 .

7 . M a t h e r o n , G . 1 9 7 5 . R a n d o m S e t s a n d I n t e g r a l G e o m e t r y , J . W i l e y & S o n s , N e w

Y o r k .

8 . M e y e r , F . 1 9 7 9 . I t e r a t i v e i m a g e t r a n s f o r m a t i o n s f o r t h e a u t o m a t i c s c r e e n i n g o f

c e r v i c a l s m e a r s , J . H i s t o c h e m . a n d C y t o c h e m . , V o l . 2 7 , p p . 1 2 8 1 3 5 .

9 . M e y e r , F . 1 9 9 0 . A l g o r i t h m e o r d o n n e d e l i g n e d e p a r t a g e d e s e a u x , T e c h . R e p o r t

C M M , S c h o o l o f M i n e s , P a r i s .

1 0 . S e r r a , J . 1 9 8 2 . I m a g e A n a l y s i s a n d M a t h e m a t i c a l M o r p h o l o g y , A c a d e m i c P r e s s ,

L o n d o n .

1 1 . S e r r a , J . e d . 1 9 8 8 . I m a g e A n a l y s i s a n d M a t h e m a t i c a l M o r p h o l o g y , P a r t I I :

T h e o r e t i c a l A d v a n c e s , A c a d e m i c P r e s s , L o n d o n .

1 2 . S e r r a , J . , V i n c e n t , L . 1 9 9 2 . A n o v e r v i e w o f m o r p h o l o g i c a l l t e r i n g , C i r c u i t s ,

S y s t e m s , a n d S i g n a l P r o c e s s i n g , V o l . 1 1 1 , p p . 4 7 1 0 8 .

1 3 . S o i l l e , P . , S e r r a , J . , R i v e s t , J - F . 1 9 9 2 . D i m e n s i o n a l m e a s u r e m e n t s a n d o p e r a t o r s

i n m a t h e m a t i c a l m o r p h o l o g y , P r o c . S P I E V o l . 1 6 5 8 N o n l i n e a r I m a g e P r o c e s s i n g

I I I , p p . 1 2 7 1 3 8 .

1 4 . S t e r n b e r g , S . R . 1 9 8 6 . G r a y s c a l e m o r p h o l o g y , C o m p u t e r V i s i o n , G r a p h i c s , a n d

I m a g e P r o c e s s i n g , V o l . 3 5 , p p . 3 3 3 3 5 5 .

1 5 . V i n c e n t , L . 1 9 9 0 . A l g o r i t h m e s M o r p h o l o g i q u e s a B a s e d e F i l e s d ' A t t e n t e e t d e

L a c e t s . E x t e n s i o n a u x G r a p h e s , P h D d i s s e r t a t i o n , S c h o o l o f M i n e s , P a r i s .

1 6 . V i n c e n t , L . 1 9 9 2 . M o r p h o l o g i c a l g r a y s c a l e r e c o n s t r u c t i o n ; d e n i t i o n , e c i e n t

a l g o r i t h m , a n d a p p l i c a t i o n s i n i m a g e a n a l y s i s , P r o c . I E E E C o n f . o n C o m p u t e r

V i s i o n a n d P a t t e r n R e c o g n i t i o n , C h a m p a i g n I L , p p . 6 3 3 6 3 5 .

8/7/2019 10.1.1.125.6317

12/12

1 2 L . V i n c e n t

a b

F i g . 8 . a A r a d a r i m a g e w i t h i m p u l s e n o i s e a n d s p e c k l e ; b i t s a r e a o p e n - c l o s e l t e r

o f s i z e 9 .

F i g . 9 . A r e a o p e n - c l o s e l t e r s o f i n c r e a s i n g s i z e o f F i g . 8 a .

1 7 . V i n c e n t , L . 1 9 9 3 . M o r p h o l o g i c a l g r a y s c a l e r e c o n s t r u c t i o n i n i m a g e a n a l y s i s : a p -

p l i c a t i o n s a n d e c i e n t a l g o r i t h m s , I E E E T r a n s . o n I m a g e P r o c e s s i n g , t o a p p e a r

i n A p r i l .

1 8 . V i n c e n t , L . 1 9 9 2 . M o r p h o l o g i c a l a l g o r i t h m s . I n : D o u g h e r t y , E . e d . , M a t h e m a t -

i c a l M o r p h o l o g y i n I m a g e P r o c e s s i n g , M a r c e l - D e k k e r , N e w Y o r k .

1 9 . W e n d t , P . D . , C o y l e , E . J . , G a l l a g h e r , N . C . 1 9 8 6 . S t a c k l t e r s , I E E E T r a n s a c t i o n s

o n A c o u s t i c s S p e e c h , a n d S i g n a l P r o c e s s i n g , V o l . 3 4 4 , p p . 8 9 8 9 1 1 .

10.1.1.125.6317

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