o

y

x

P

M A

TN

授课人 : 陆 梅

复习引入1. 三角函数的定义：

(1) 正弦： (4) 余割 :

(2) 余弦： (5) 正割 :

(3) 正切： (6) 余切 :

sinα=y/r;

cosα=x/r;tanα=y/x;

2. 任意角 α的三角函数的符号：一全二正弦，三切四余弦

cscα=r/y

secα=r/x

cotα=y/x

sinα=y/r, r>0, 所以 , sinα 和 cscα 的符号由 y 决定 第一象限和第二象限为正，第三象限和第四象限为负；

cosα=x/r ,r>0, 所以， cosα 和 secα 的符号由 x 决定第一象限和第四象限为正，第二象限和第三象限为负；

tanα=y/x, 所以， tanα 和 cotα 的符号由 y 与 x 的同号与否决定 ;

第一象限和第三象限为正，第二象限和第四象限为负

新课讲授

例题 : 大观览车在转动的过程

中，座椅离地面的高度随

着转动角度的变化而变

化，二者之间有怎样的相

依关系呢？

新课讲授

设 P 是转轮边缘上的一点，

它表示座椅的位置，记∠ xoP 为 α,

请同学们列出 α 的

正弦、余弦、正切的表达式

以观览车转轮中心为原点，

以水平线为 x 轴，

以转轮半径为单位长

建立直角坐标系（如图）α

P

o

y

xM

N

A

T

新课讲授

一、单位圆： 1 、定义：一般地，我们把半径为 1 的圆称为单位圆。

o

y

x

P

M

N

α

2 、单位圆与 x 轴的交点：

单位圆与 y 轴的交点：

（ 1 ， 0 ）和（ -1 ，0 ）（ 0 ， 1 ）和（ 0 ， -1 ）

3 、正射影：过 P 作 PM 垂直 X 轴于点 M ， PN 垂直 Y 轴于点 N ，则点 M 、 N 分别 是点 P 在 X 轴、 Y 轴上的正射影

A

T

新课讲授

4 、单位圆与角 α 终边的交点： P(cosα,sinα) 其中， cosα=OM , sinα=ON 角 α 的余弦和正弦分别等于角α 终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。

y

o x

P

M

N

α

o

y

x

P

M

N

Y’

Ao

y

x

P

M

N

Y’

A

新课讲授

o

y

x

P

M

N

α

Y’

A o

y

x

P

M

N

α

Y’

A

α 终边在第一象限 α 终边在第二象限

α 终边在第三象限α 终边在第四象限

符号

（ 1 ）（ 2 ， 3)

T

T

T

T

新课讲授

o

y

xM

α 终边在 x 轴正半轴

o

y

xP

M

o

y

x

P N

o

y

x

P N

Y’

Y’Y’

Y’

A

A

AA

PN

α 终边在 x 轴负半轴

α 终边在 y 轴正半轴α 终边在 y 轴负半轴

符号

（ 1 ）

（ 2 ， 3 ）

新课讲授

Ao

y

α

P

M

T'

x

N

Y'

3. 三角函数线(1) 正弦线：轴上向量 ON 叫做 α 的正弦线

(2) 余弦线：轴上向量 OM 叫做 α 的余弦线

(3) 正切线：轴上向量 AT(AT’) 叫做 α 的正切线

（以 A 为原点建立 y’ 轴与 y 轴同向，

y’ 轴与 α 的终边或反向延长线

交于点 T （ T’), 则 tanα=AT(AT’))

例练讲解

例 1 、分别作出 2π/3 和 -3π/4 的正弦线、余弦线和正切线

y

O X

解：在直角坐标系中做单位圆

P2

T2

M2

N2

P1以 OX 轴为始边作 2π/3 的终边

与单位圆交于 P1 点

作 P1M1⊥OX 轴，垂足为 M1 ，由单位圆与 OX 正方向的交点 A 作 OX 轴的垂线与OP 的反向延长线交于 T1 点

T1

M1

N1

A

Y’

则 Sin(2π/3)=M1P1=ON1,

Cos(2π/3)=OM1, Tan(2π/3)=AT1

新课讲授

注意： 1 、正弦线、余弦线、正切线

是三角函数的几何意义表现形式

Ao

y

α

P

M

T

x

N

Y'

2 、正弦线、余弦线、正切线

与三角函数符号的关系

3 、特殊的三角函数值

与三角函数线的关系

例： sin α=1/2, 求 α

cos α= ，求 α2

2

例练讲解

例 2 设 α 是任意角，作 α 的正弦线、余弦线、正切线，

由图证明下列各等式 :

（ 1 ） sin²α ＋ cos²α ＝ 1 ；

Ao

y

α

P

M

T

x

N证明：（ 1 ）若角 α 终边落在象限内，由

图可知 sin²α ＋ cos²α

=ON²+OM²=PM²+OM²

=OP²=1

若角 α 的终边落在轴上

则 |sinα| 和 |cosα| 必有一个为 1 ，

另一个为 0 ， sin²α ＋ cos²α ＝ 1

象限角

轴角

例练讲解

Ao

y

α

P

M

T

x

N

证明： tanα=MP/OM

=sinα/cosα

（ 2 ） tanα=sinα/cosα ；（ α 是锐角）

（ 3 ） |sinα|+|cosα|≥1

证明：若角 α 终边落在象限内， 由图可知，∆OPM 中 |MP|+|OM| 〉 |OP|=1 ( 三角形两边之和大于第三边） 若角 α 终边落在轴上， |MP| 和 |OM| 必有一个为 1 ，另一个为 0 |MP|+|OM|=1而 |MP|=|ON|=| sinα| ， |OM|=| cosα|故 |sinα|+|cosα|≥1

象限角（ 2 ）

象限角（ 3 ）

轴角（ 3 ）

课堂练习

若 π/4 ＜ θ ＜ π/2 ，则下列成立的不等式是

A ． sinθ ＞ cosθ ＞ tanθ;

　 B ． cosθ ＞ tanθ ＞ sinθ; 　　　

C ． tanθ ＞ sinθ ＞ cosθ;

　 D ． sinθ ＞ tanθ ＞ cosθ.

Ao

y

θ

P

M

T

x

N

解：∵ 0 ＜ θ ＜ π/2 时， sinθ ＜ tanθ　 ∴ A 、 D 不成立　　又由三角函数线的意义知，

当 π/4 ＜ θ ＜ π/2 时

　根据大角对大边的道理知

　 sinθ ＞ cosθ 所以，应选择 C

课堂小结

1 、单位圆：半径为单位长度的圆

2 、三角函数线：

（ 1 ）正弦线

（ 2 ）余弦线

（ 3 ）正切线

3 、三角函数线的应用

布置作业

课本： P22 练习 A 1 、

P23 练习 B 2

基础训练：本节内容