13 de octubre series de fourier
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ANALISIS DE SEALES
Series de Fourier
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Representacidominio tiemp
frecuencia. Anliespectr
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Funciones Peridicas
Una Funcin Peridicaf(t) cumple la siguiente propiedad para todvalor de t.
f(t)=f(t+)
A la constante m!nima para la cual se cumple lo anterior se le llamelperiodode la funcin
Repitiendo la propiedad se puede o"tener#f(t)=f(t+n)$ donde n=%$&$ '$ $...
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Funciones Peridicas
ACTIVIDAD 1# ncontrar el periodo de las siguientes funciones$ si es *ue speridicas#
&) f(t) = sen(nt)$ donde n es un entero.
') f(t)= sen'('t)
) f(t)= sen(t)+sen(t+/2)
) f(t)= sen(&t)+cos('t)
,) f(t)= sen(' t)
-) f() = tg (&/')
0)
1)
2) &%)
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Funciones Peridicas
Ejemplo# 34ul es el per!odo de la funcin
5olucin.6 5i f(t) es peridica se de"e cumplir#
Pero como se sa"e cos(+'7)=cos() para cual*uier enteroentonces para *ue se cumpla la igualdad se re*uiere *ue
/='7&$ /='7'
s decir$
= -7& = 17'
8onde 7&y 7'son enteros$
l valor m!nimo de se o"tiene con 7&=$ 7'=$ es decir$=
co)cos(f(t)3t +=
)cos()cos(T)f(t4Tt
3Tt ++ +=+ )cos()cos(f(t)
4t
3t +==
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Funciones Peridicas
9rfica de la funcin
0 50 100 150 200-3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
t
f(t)
24
T
)cos()cos(f(t)4t
3t +=
-
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Funciones Peridicas
Podr!amos pensar *ue cual*uier suma de funciones seno y coseno produceuna funcin peridica.
sto no es as!$ por e:emplo$ consideremos la funcin
f(t) = cos(&t)+cos('t).
Para *ue sea peridica se re*uiere encontrar dos enteros m$ n tales *ue
&= 'm$ '='n
8e donde
s decir$ la relacin &/ 'de"e ser un n;mero racional.
n
m
2
1 =
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Funciones Peridicas
Ejemplo# la funcin cos(t)+cos(+)t no es peridica$ ya *ue es un n;mero racional.
0 5 10 15 20 25 30-2
-1
0
1
2 f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t)
t
f(t)
+=
3
3
2
1
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5erie rigonom
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4omponentes y armnicas
As!$ una funcin peridica f(t) se puede escri"ir como la suma de
componentes sinusoidalesde diferentes frecuencias n=n%.
A la componente sinusoidal de frecuencia n%# 4ncos(n%t+n) se le llama l
ensima armnicade f(t).
A la primera armnica (n=&) se le llama la componente fundamentaly superiodo es el mismo *ue el de f(t)
A la frecuencia %='f%='/ se le llamafrecuenciaangular fundamental.
4 i
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4omponentes y armnicas
A la componente de frecuencia cero 4%$ se le llama componente de corri
directa(cd) y corresponde al valor promedio de f(t) en cada periodo.
>os coeficientes 4ny los ngulos nson respectiva6mente las amplitudes
ngulos de fasede las armnicas.
4 t i
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4omponentes y armnicas
Ejemplo# >a funcin
4omo ya se mostr tiene un periodo ='$ por lo tanto su frecuenciafundamentales %=&/&' rad/seg.
4omponente fundamentales de la forma#
%?cos(t/&').
ercer armnico#
cos(t/&')=cos(t/)
4uarto armnico#
4os(t/&')=cos(t/)
0 50 100 150 2-3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
t
f(t)
24
)cos()cos(f(t)4t
3t +=
4 t i
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4omponentes y armnicas
Ejemplo# 4omo puede verse$ la funcin anterior tiene tantas partes positicomo negativas$ por lo tanto su componente de cd es cero$ en cam"io
0 50 100 150 2-3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=1+cos(t/3)+cos(t/4
t
f(t)
24
Tiene tantas partes
arriba como abajo
de 1 por lo tanto,su componente de
cdes 1.
)cos()cos(1f(t)4t
3t ++=
4l l d l fi i t d l 5 i
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4lculo de los coeficientes de la 5erie
8ada una funcin peridica f(t) 3cmo se o"tiene su serie de Fourier@
"viamente$ el pro"lema se resuelve si sa"emos como calcular loscoeficientes a%$a&$a'$...$"&$"'$...
])tn(senb)tncos(a[a)t(f1n
0n0n021 ++=
=
4lculo de los coeficientes de la 5erie
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4lculo de los coeficientes de la 5erie
Bultiplicando am"os miem"ros por cos(n%t) e integrando de C/' a /'$
o"tenemos#
5imilarmente$ multiplicando por sen(n%t) e integrando de C/' a /'$
o"tenemos#
5imilarmente$ integrando de C/' a /'$ o"tenemos#
,...3,2,1,0ndt)tncos()t(fa2T
2T0T
2n = =
,...3,2,1ndt)tn(sen)t(fb2T
2T0T
2n = =
=
2T
2TT2
0 dt)t(fa
4lculo de los coeficientes de la 5erie
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4lculo de los coeficientes de la 5erie
Ejemplo# ncontrar la 5erie de Fourier para la siguiente funcin de period
5olucin# >a epresin para f(t) en C/'DtD/'es
1f(t)
t. . . -T/
2
0
T/2
T . . .
!1
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4lculo de los coeficientes de la 5erie
4oeficientesan# =
2T
2T0T
2n dt)tncos()t(fa
+ =
2T
00
0
2T0T
2 dt)tncos(dt)tncos(
+= 0
2T
002T
0
00
T
2
)tn(senn
1
)tn(senn
1
0npara0 =
4lculo de los coeficientes de la 5erie
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4lculo de los coeficientes de la 5erie
4oeficientea%#=
2T
2TT2
0 dt)t(fa
+=
2T
0
0
2TT2 dtdt
+= 0
2T
2T
0
T
2
tt
0=
4lculo de los coeficientes de la 5erie
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4lculo de los coeficientes de la 5erie
4oeficientes "n#
=
2T
2T0T
2n dt)tn(sen)t(fb
+ =
2T
00
0
2T0T
2 dt)tn(sendt)tn(sen
=
0
2T
0
02T
0
0
0T2 )tncos(
n
1)tncos(
n
1
[ ])1)n(cos())ncos(1(n
1
=
[ ] 0npara))1(1n
2 n
=
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4lculo de los coeficientes de la 5erie
5erie de Fourier# Finalmente la 5erie de Fourier *ueda como
n la siguiente figura se muestran# la componente fundamental yarmnicos $ , y 0 as! como la suma parcial de estos primeros cut
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4lculo de los coeficientes de la 5erie
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Componentes de la Serie de Fourier
t
C
omponentes
Suma
fundamental
tercer armnico
quinto armnico
septimo armnico
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:ercicios.Ealle la serie de Fourier de cada una de las siguientes funciones.
&'
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