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8/18/2019 20142ILN250V003_Pauta_Certamen_N°2_GIO_2°S_201

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UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA

DEPARTAMENTO DE INDUSTRIAS

CASA CENTRAL

PAUTA CERTAMEN N°2 - SEGUNDO SEMESTRE 2014GESTION DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Instrucciones: Tiempo máximo: 120 minutos. No están permitidos equipos de audio ni celulares. Sincuadernos o apuntes. Una pregunta por hoja. El Certamen es individual. Sólo está permitido el uso de

calculadora básica. SIN CONSULTAS. NO DESCORCHETEAR EL CERTAMEN. La copia será penalizada connota 0. Demuestre y justifique sus respuestas.

Pregunta N°1 (30 Puntos): Considere el siguiente problema de Programación Lineal:

5 + 4

6 + 4 ≤ 24

+ 2 ≤ 6 + ≤ 1 ≤ 2 ≥ 0 ≥ 0 Luego de llevar a la forma estándar el modelo anterior, agregando , , comovariables de holgura de las restricciones 1, 2, 3 y 4, respectivamente, y aplicar las

iteraciones necesarias del Método Simplex, se alcanza la siguiente tabla final:

1 0 1/4 -1/2 0 0 30 1 -1/8 3/4 0 0 3/2

0 0 3/8 -5/4 1 0 5/2

0 0 1/8 -3/4 0 1 1/2

0 0 3/4 1/2 0 0 21

En relación a lo anterior responda las siguientes preguntas a través del Análisis deSensibilidad en Programación Lineal (sin reoptimizar). Cada pregunta es independientede la anterior (Ayuda: A continuación se presentan algunas fórmulas que pueden

resultar de utilidad)


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a) (6 Puntos) Determine si cambia la base óptima si el vector de lados derechos es

ahora ̅ =20,8,1,2.

= −̅ = 1/4 1/2 0 01/8 3/4 0 03/8 5/4 1 01/8 3/4 0 1 20812 = 17/23/23/2 Dado que y son menores a cero entonces cambia la actual base óptima. (6Puntos)

b) (6 Puntos) Determine cuánto puede variar el coeficiente asociado a la variable en la función objetivo de modo de conservar la actual solución óptima. ¿Cuáles el nuevo valor óptimo si el coeficiente asociado a la variable

en la función

objetivo ahora es 7/2?

{ 3/41/8} ≤ ∆ ≤ {1/23/4} 6 ≤ ∆ ≤2/3

Por tanto puede variar entre 4 6 , 4 + ==>[ ,10] en función objetivo demaximización y se conserva la actual solución óptima. (4 Puntos)

El nuevo valor óptimo si el coeficiente asociado a la variable en la función objetivoahora es 7/2: ̅ = 53 + ∗1,5=20,25. (2 Puntos)


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c) (6 Puntos) Comente “Si el lado derecho de la restricción 2 disminuye de 6 a 5 se

conserva tanto la base óptima como la solución óptima?.

{3/23/4 } ≤ ∆ ≤ {

31/2 ;

5/25/4 ;

1/23/4}

2 ≤ ∆ ≤2/3 Por tanto puede variar entre 6 2 , 6 + ==>[4, ] y se conserva la actual baseóptima. Luego si ̅ =5[4, ] se conserva la base óptima. (4 Puntos) No obstante cambia la solución óptima, siendo ésta: (2 Puntos)

= −̅ = 1/4 1/2 0 01/8 3/4 0 03/8 5/4 1 01/8 3/4 0 1 24512 = 7/23/415/45/4 d) (6 Puntos) Se desea evaluar la conveniencia de fabricar un nuevo producto con

beneficio unitario neto de $6 en la función objetivo (maximización), que hace

uso de 3, 5/2 y 3/2, unidades de los recursos asociados a las restricciones 1, 2 y

3, respectivamente. Sin reoptimizar determine si es conveniente su fabricación.

= − = 6 5 4 0 0 1/4 1/2 0 01/8 3/4 0 03/8 5/4 1 01/8 3/4 0 1 35/23/20 (2 Puntos)

= − = 6 5 4 0 0 1/23/21/23/2

= − = 6 ( 72) = 52 < 0 (2 Puntos)

Debido a que < 0 entonces el nuevo producto ingresa a la base (es conveniente sufabricación) y por tanto cambia la actual solución óptima. (2 Puntos)


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e) (6 Puntos) Determine si cambia la solución óptima si se considera una nueva

función objetivo del tipo 2 +10.

= − = 0 0 2 1 0 0 0 1/4 1/2

1/8 3/43/8 5/41/8 3/4 (2 Puntos) = − = 3/4 13/2

= 3/4 13/2 (2 Puntos)

Por tanto

entra a la base, determinando que cambia la actual solución óptima. (2

Puntos)


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Pregunta N°2 (30 Puntos): Consideremos el siguiente diagrama donde los númerosasignados a cada uno de los arcos representan la distancia en kilómetros de un nodo a

otro. Se desea encontrar la ruta con la distancia mínima para ir del nodo 1 al nodo 8.

Por ejemplo la ruta 1-2-4-8 tiene una distancia total de 19[km].

Formule un modelo de Programación Entera que permite encontrar el camino más

corto entre el nodo 1 al nodo 8. Defina claramente las variables de decisión, función

objetivo y restricciones.

Variables de Decisión: (5 Puntos)

Función Objetivo: (5 Puntos)

8 + 3 + 8 + 3 +12 + 4 + 3 + 5 +12 +14+ 8 +21 + 7 Restricciones:

+ = 1 (3 Puntos) = + (2 Puntos) = + (2 Puntos) = + (2 Puntos) + = + + (4 Puntos) + = (2 Puntos) + = (2 Puntos) + + = 1 (3 Puntos)


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Pregunta N°3 (25 Puntos): Resolver el siguiente problema de optimización no linealmediante las condiciones de optimalidad del Teorema de Karush Kuhn Tucker:

,

,

, … ,

=

+ 2

+ 3

+ ⋯ +

.. + + + ⋯ + =

Asuma que > 0 y justifique su respuesta. ¿La solución encontrada es soluciónóptima del problema que impone como restricciones + + + ⋯ + ≥ y ≥ 0 para = 1, … , ?. Dar la solución explícita para = 2 y = 1 0.

(1 Punto)

(2 Puntos)

(5 Puntos)

(6 Puntos)


7/8

(5 Puntos)

(5 Puntos)

(6 Puntos)

Observación: Si un alumno desarrolla todo bien pero únicamente para el casoparticular n=2 y K=10 dar un puntaje máximo de 10 Puntos.


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Pregunta N°4 (15 Puntos): Una determinada empresa comercial se dedica a la ventade un cierto tipo de producto no perecible. Para administrar el nivel de stock del

producto, la empresa ha dispuesto el siguiente sistema de manejo de inventario. Al

final de cada día se revisa el nivel del inventario, si el nivel es menor o igual a 2

unidades, entonces se ordena una reposición de exactamente 3 unidades, las cuales se

supone que siempre estarán disponibles al comienzo del día siguiente. En casocontrario, no se ordena ninguna reposición.

El sistema parte con 4 unidades en stock. Asuma que la demanda no satisfecha es

demanda perdida y que la distribución de probabilidades de la demanda diaria a que

se ve enfrentada la empresa no cambia en el tiempo y viene dada por:

P(D = 0) = 0.1 P(D = 1) = 0.1 P(D = 2) = 0.3

P(D = 3) = 0.2 P(D = 4) = 0.2 P(D ≥ 5) = 0.1

Defina una Cadena de Markov en Tiempo Discreto que permita conocer el nivel deinventario al inicio de un día. Determine la matriz de probabilidades de transición en

una etapa. ¿Cuál es la probabilidad de que después de transcurridos tres días, se

tengan en inventario 5 unidades?

Sea Xn: Número de unidades en inventario al inicio del día n (1 Punto) Xn ε {3,4,5} (1 Punto)

P(3,3) = P(D=0) + P(D>=3) = 0,6 P(3,4) = P(D=2) = 0,3 P(3,5) = P(D=1) = 0,1 P(4,3) = P(D=1) + P(D>=4) = 0,4 P(4,4) = P(D=0) + P(D=3) = 0,3 P(4,5) = P(D=2) = 0,3 P(5,3) = P(D=2) + P(D>=5) = 0,4 P(5,4) = P(D=1) + P(D=4) = 0,3 P(5,5) = P(D=0) + P(D=3) = 0,3

= 0,6 0,3 0,10,4 0,3 0,30,4 0,3 0,3 (9 Puntos)

= = 0,6 0,4 0,40,3 0,3 0,30,1 0,3 0,3 010 =

0,40,30,3

= = 0,6 0,4 0,40,3 0,3 0,30,1 0,3 0,3 0,40,30,3 = 0,480,300,22 = = 0,6 0,4 0,40,3 0,3 0,30,1 0,3 0,3

0,480,300,22 = 0,4960,3000,204

La probabilidad de que después de transcurridos tres días, se tengan en inventario 5

unidades es de un 20,4%1. (4 Puntos)

1 Si se arrastra un error desde la matriz P pero se desarrolla de forma correcta el procedimiento para

estimar dado el conocimiento de , asignar 2 de 4 puntos posibles.

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