单击此处编辑母版标题样式

• 单击此处编辑母版文本样式– 第二级

• 第三级– 第四级

» 第五级

‹日期/时间› ‹页脚› ‹#›

左海涛

问题：

1. 判断平面与平面平行有几种方法

2. 平面与平面平行的判定定理内容

3. 你对判定定理的理解

复习：1. 直线与平面平行的判定定理内容

2. 你对判定定理的理解

1.1. 两个平面平两个平面平行的定义是什么？行的定义是什么？

复习引入：

2.2. 如果两个平面平行，那么在其中一个平面内的直线如果两个平面平行，那么在其中一个平面内的直线与另一个平面具有怎样的位置关系呢与另一个平面具有怎样的位置关系呢 ??

α

β

a

b

注意：这两个平面内的所有直线并不一定互相平行，注意：这两个平面内的所有直线并不一定互相平行，它们可能是平行直线也可能是异面直线，但不可能是它们可能是平行直线也可能是异面直线，但不可能是相交直线相交直线 . . 为什么？为什么？

思考题：思考题：如图，在正方体如图，在正方体 ABCD——AABCD——A11BB11CC11DD11

中，中， EE 、、 FF 分别是棱分别是棱 BCBC 与与 CC11DD11 的中点。 的中点。 求证： 求证： EF//EF// 平面平面 BDDBDD11BB11..

C1D1

B1A1

CD

A B

F

E

G

另解：取另解：取 BB11CC11 中点中点 GG，，

连结连结 FGFG，， EGEG，，

若可证得若可证得

面面 EFG∥EFG∥面面 BDDBDD11BB11

则推出：则推出：

EF ∥EF ∥面面 BDDBDD11BB11

探究：平面 α 内有一条直线平行于平面 β,

则 α β∥ 吗 ?

问题 1 ：

问题 2 ：平面 α 内有两条直线平行于平面 β, 则α β∥ 吗 ? 无数条呢 ?

C'

B'

D'

A'

CD

A B

C'

B'

D'

A'

CD

A B

C'

B'

D'

A'

CD

A BF

E

平面与平面平行的判定定理：平面与平面平行的判定定理：

　　一个平面内有两条　　一个平面内有两条相交相交直线与另一个平面平直线与另一个平面平行行 ,, 则这两个平面平行则这两个平面平行 ..

简述为：简述为：线面平行线面平行面面平行面面平行

α

β

a b A

//β

即： a b

b// β

a// β

a∩ b=A

线不在多，重在线不在多，重在相交相交

对判定定理的再认识：

它是证明平面与平面平行最常用最简易的方法；

应用定理时，应注意五个条件是缺一不可的；

要证明平面与平面平行，只要证明两条相交直线与平面平行，把证明面面问题转化为证明线面问题．

α

β

a b A

//β

回顾：回顾：如图，在正方体如图，在正方体 ABCD——AABCD——A11BB11CC11DD

11 中，中， EE 、、 FF 分别是棱分别是棱 BCBC 与与 CC11DD11 的中点。的中点。求证：面求证：面 EFG//EFG// 平面平面 BDDBDD11BB11..

C1D1

B1A1

CD

A B

F

E

G

分析：由分析：由 FG B∥FG B∥ 11DD11

易得易得 FG∥FG∥ 平面平面 BDDBDD11BB11

同理同理 GE ∥GE ∥ 平面平面 BDDBDD11BB11

∵∵FGFG∩∩GEGE ＝＝ GG

故得面故得面 EFG//EFG// 平面平面 BDDBDD11

BB11

练习 . 判断正误 , 并说明理由 : (1) (1) 平面平面 αα 内有两条直线平行于另一平面内有两条直线平行于另一平面 β,β, 则 则 α∥β;α∥β;(2) (2) 平面平面 αα 内有无数条直线平行于另一平面内有无数条直线平行于另一平面 β,β, 则则 α∥β;α∥β;(3) (3) 如果直线如果直线 a∥a∥ 平面平面 α,α, 直线直线 a∥a∥ 平面平面 β,β, 则则 α∥β;α∥β;(4) (4) 平面平面 α∥α∥ 平面平面 γ,γ, 平面平面 β∥β∥ 平面平面 γ,γ, 则则 α∥β.α∥β.

(5(5 ）平面）平面 αα 内的两相交直线分别平行于另一平面内的两相交直线分别平行于另一平面ββ 内的两相交直线内的两相交直线 ,, 则则 α∥βα∥β

例例 11、已知正方体、已知正方体 ABCD-AABCD-A11BB11CC11DD11 ，，

求证：平面求证：平面 ABAB11DD11∥∥平面平面 CC11BD.BD.

分析：在四边形分析：在四边形 ABCABC11DD11 中，中，

AB C∥AB C∥ 11DD11 且且 ABAB ＝＝ CC11DD11

故四边形故四边形 ABCABC11DD11 为平行四为平行四边形边形 ..

即即 ADAD11 BC∥BC∥ 11

D1

B1A1

C1

CD

A B

证明：证明：∵∵ABCD-AABCD-A11BB11CC11DD11 是正方体是正方体 ,,

∴∴DD11CC11//A//A11BB11 ，， DD11CC11=A=A11BB11, ,

AB//AAB//A11BB11 ，， AB=AAB=A11BB11,,

∴∴DD11CC11//AB//AB ，， DD11CC11=AB,=AB,

∴∴ 四边形四边形 DD11CC11BABA 为平行四边形为平行四边形 ,,

∴ ∴ DD11A//CA//C11B,B,

又又 DD11A A 平面平面 CC11BDBD ，， CC11B B 平面平面 CC11BDBD ，，∴∴DD11A//A// 平面平面 CC11BD,BD,

同理 D1B1// 平面 C1BD,

又 D1A D1B1=D1,

D1A 平面 AB1D1 ,

D1B1 平面 AB1D1,

∴ 平面 AB1D1// 平面 C1BD.

例例 11、已知正方体、已知正方体 ABCD-AABCD-A11BB11CC11DD11 ，，

求证：平面求证：平面 ABAB11DD11∥∥平面平面 CC11BD.BD.

变式变式 11 、、已知正方体已知正方体 ABCD-AABCD-A11BB11CC11DD11 ，，

P,Q, R,P,Q, R, 分别为分别为 AA11A,AB,ADA,AB,AD 的中点 的中点

求证：平面求证：平面 PQR∥PQR∥ 平面平面 CBCB11DD11..

P

QR

分析：连结分析：连结 AA11BB，，

PQ A∥PQ A∥ 11BB

AA11B CD∥B CD∥ 11

故故 PQ CD∥PQ CD∥ 11

同理可得，……同理可得，……

11 、证明、证明线面平行线面平行时，注意有三个条件时，注意有三个条件

线面平行与面面平行的小结：线面平行与面面平行的小结：

33 、证明、证明面面平行面面平行时，注意条件是时，注意条件是线面平行线面平行，，

而不是线线平行而不是线线平行

44 、证明、证明面面平行面面平行时，转化成证明时，转化成证明线面平行线面平行，，

而证明线面平行，又转化成证明而证明线面平行，又转化成证明线线平行线线平行

22 、证明面面平行时，有、证明面面平行时，有 55 个条件个条件，缺一不可，缺一不可 ..

例例 2 2 在三棱锥在三棱锥 B-ACDB-ACD 中中 ,, 点点MM 、、 NN 、、 GG 分别△分别△ ABCABC 、 、 △△ ABDABD 、 △、 △ BCDBCD 的重心的重心 ,,

求证求证 :: 平面平面 MNG//MNG// 平面平面 ACDACDG

NM

A

C

D

B

E

证明证明 :: 连接连接 AN,AN, 交交 BDBD 于点于点 EE

由已知得点由已知得点 EE 是边是边 BDBD 的中点的中点连接连接 CE,CE, 则则 CECE 必经过点必经过点 GG

∵∵ 点点 NN 、、 GG 分别是△分别是△ ABDABD和△和△ BCDBCD 的重心，的重心，

∴∴NENE ：： NA=1NA=1 ：： 22

GEGE ：： GC=1GC=1 ：： 22

∴∴NG//ACNG//AC

又又 NG NG 平面平面 ACDACD

AC AC 平面平面 ACDACD

∴∴NG//NG// 平面平面 ACDACD

同理同理 MG//MG// 平面平面 ACDACD

又又 NG MG=G,NG MG=G,

NG NG 平面平面 MNG,MNG,

MG MG 平面平面 MNG,MNG,

∴∴ 平面平面 MNG//MNG// 平面平面 ACD.ACD.

N

M

F

ED

C

B

A

H

1 如图所示，平面 ABCD∩平面 EFCD = CD ，

M 、 N 、 H 分别是 DC 、 CF 、 CB 的中点，

求证 平面 MNH // 平面 DBF

练习

2 ，已知 : 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 , E 、 F 分别是 CC1 、 AA1 的中点，求证 : 平面 BDE// 平面 B1D1F

A

D1

D C

B

A1 B1

C1

E

F G

2.2. 应用应用判定定理判定面面平行时应注意判定定理判定面面平行时应注意 ::

两条相交直线两条相交直线

小结：小结：1.1. 平面与平面平行的判定：平面与平面平行的判定：(1) 运用定义；(2) 运用判定定理：线线平行线线平行线面平行线面平行

面面平行面面平行

3.3. 应用应用判定定理判定面面平行的关键是判定定理判定面面平行的关键是找平行线找平行线方法一：三角形的中位线定理；方法一：三角形的中位线定理；方法二：平行四边形的平行关系。方法二：平行四边形的平行关系。