7

3

RS22

الصفحة

1

3

3

3

2.5

4

3.5

01

ln

1022-

RS22 الصفحة

2 3

املوضـوع

5.5 التمرين األول

5.00 IR2 2 3 0x x

1 IR3

2 0xxe

e

15IR1 0x xe e

4 التمرين الثاني

10C26 18 0z z

5 , ,O u vAB

3 3a i 3 3b i

5.0 ab

5 70 'b'BBOA6

1'

'

b bi

a b

'AB B'B

5 70 'OAB B

( 3.5) الثالث التمرين

( )n

u0

1u 1

6

1 15

n

n

n

uu

u

nIN

5.00 1

11 3

3 15 1

n

n

n

uu

u

nIN

5.0 1

3n

u nIN

1.05( )n

v1

13

n

n

vu

nIN

( )n

v1

6n

vn

1 31

3 26

1n n

u

nINlim nn

u

(01) رابعالالتمرين

1022-

RS22 الصفحة

3 3

Ig0,I ( ) 1 lng x x x

5.00 1

'( )x

g xx

xI

5.0 gI

15( ) 0g x 1, ( ) 0g x 0,1 (1) 0g

II fI1

( ) lnx

f x xx

( )Cf , ,O i j1cm

5.700 00

lim ( )xx

f x

1 lim ( )x

f x

( )

lim 0x

f x

x

( ) 1 lnf x x x

x x x

x I

5.0( )C

15 2

( )'( )

g xf x

xx I

5.0f1, 0,1

5..0fI

13( )C( )C 1,52

5.0 4 2

(ln )1

:2

xH xln

:x

h xx

I

5 70 1

ln 1

2

e xdx

x

1 1

1lne

dxx

5..05 lnln

( ) xx

xf x xI

5.0 ( )C

1x x e2cm0.5

2011أجوبة امتحان الدورة االستدراكة 𝟏𝟐𝟎 :الصفحة 2013رمضان ( ): من إعداد األستاذ بدر الدن الفاتح

:التمرن األول

𝑥2: المعادلة ℝلنحل ف − 2𝑥 − 3 = 0 =∆: لدنا −2 2 − 4 −3 = 16

:𝑥1 و 𝑥2المعادلة تقبل حلن حققن : إذن

𝑒2𝑥: عن − 2𝑒𝑥 − 3 = 0

𝑡: نضع = 𝑒𝑥 . إذن المعادلة تصبح :𝑡2 − 2𝑡 − 3 = 0

.3 و 1−حل هذه المعادلة هما : أن ( أ (1و نعلم حسب السؤال

𝑡: إذن = 𝑡 أو 1− = 3

𝑒𝑥: عن = 𝑒𝑥 أو 1− = 3

; 𝑥𝜖ℝ∀ : نعلم أن 𝑒𝑥 > 0

𝑒𝑥إذن المعادلة = 𝑒𝑥: و بالتال . ℝ ال تقبل حلوال ف 1− = 3

= ln 𝑒𝑥: عن ln 𝑥: أي 3 = ln 3

ln و هو العدد الحقق ℝالمعادلة تقبل حال وحدا ف : و بالتال 3.

𝑒𝑥+1: المتراجحة ℝلنحل ف − 𝑒−𝑥 ≥ 0

𝑒−𝑥 𝑒2𝑥+1: بعد تعمل الطرف األسر نحصل على − 1 ≥ 0

𝑒2𝑥+1 نالحظ أن إشارة الطرف األسر تتعلق فقط بإشارة − 1

; 𝑥𝜖ℝ∀ : و ذلك ألن 𝑒−𝑥 > 0

𝑒2𝑥+1لنحل أوال المعادلة − 1 = 𝑒2𝑥+1: الت تعن . 0 = 1

2𝑥: إذن + 1 = ln 2𝑥 أي 1 + 1 = 𝑥 أي 0 =−1

2

: و بذلك نستنتج جدول اإلشارة التال

𝑥 𝜖 ∀: من خالل الجدول −1

2; +∞ ; 𝑒−𝑥 𝑒2𝑥+1 − 1 ≥ 0

𝑆: مجموعة حلول المتراجحة ه 𝑆 إذن = −1

2; +∞

:التمرن الثان

𝑧2: المعادلة ℂلنحل ف مجموعة األعداد العقدة − 6𝑧 + 18 = 0

=∆: لدنا −6 2 − 4 18 = −36 = 6𝑖 2

: معرفن بما ل 𝑧1 و 𝑧2إذن المعادلة تقبل حلن عقدن

: لدنا

𝑎𝑓𝑓 𝐴 = 𝑎 = 3 + 3𝑖 = 3 2𝑒𝑖𝜋

4

𝑎𝑓𝑓 𝐵 = 𝑏 = 3 − 3𝑖 = 3 2𝑒−𝑖𝜋

4

𝑎𝑓𝑓 𝐵′ = 𝑏′

= 𝑡𝑂𝐴 𝐵: لدنا 𝐵′

= ′𝐵𝐵: حسب التعرف المتجه لإلزاحة نكتب : إذن 𝑂𝐴

:و باستعمال التعابر العقدة نكتب

𝑎𝑓𝑓 𝐵′ − 𝑎𝑓𝑓 𝐵 = 𝑎𝑓𝑓 𝐴 − 𝑎𝑓𝑓 𝑂

′𝑏: عن − 𝑏 = 𝑎 عن :𝑏′ − 3 + 3𝑖 = 3 + 3𝑖

′𝑏: عن = 3 + 3𝑖 + 3− 3𝑖 = = ′𝑎𝑓𝑓 𝐵: و بالتال 6 6

: لدنا

′𝐵 متساوي الساقن رأسه ′𝐴𝐵𝐵و من هاتن النتجتن نستنتج أن المثلث

.′𝐵و كذلك قائم الزاوة ف نفس النقطة

𝑥1 =2− 16

2= 𝑥2 و 1− =

2 + 16

2= 3

𝑒𝑥 : المعادلة ℝلنحل ف −3

𝑒𝑥− 2 = 0

: بعد توحد المقام نحصل على 𝑒2𝑥 − 3− 2𝑒𝑥

𝑒𝑥= 0

𝑧1 =6− 6𝑖

2= 3 1− 𝑖 و 𝑧2 =

6 + 6𝑖

2= 3 1 + 𝑖

→ 𝒫 : معرفة بما ل 𝑡و لدنا كذلك اإلزاحة 𝒫 𝑀 → 𝑀′ = 𝑡𝑂𝐴 𝑀

𝑏 − 𝑏′

𝑎 − 𝑏′=

3− 3𝑖 − 6

3 + 3𝑖 − 6=−3 𝑖 + 1

−3 1− 𝑖 =𝑖 + 1

1− 𝑖

= 𝑖 + 1 1 + 𝑖

1− 𝑖 1 + 𝑖 =

2𝑖

12 − 𝑖2=

2𝑖

1− −1 =

2𝑖

2= 𝑖

: و بالتال 𝑏 − 𝑏′

𝑎 − 𝑏′= 𝑖

: عن 𝑏 − 𝑏′ = 𝑎 − 𝑏′

𝐵′𝐴 ;𝐵′𝐵

≡𝜋

2 2𝜋

: عن 𝐵′𝐵 = 𝐵′𝐴

𝐵′𝐴 ;𝐵′𝐵

≡𝜋

2 2𝜋

−1

2 −∞

+

+∞ 𝒙

𝒆−𝒙 e2𝒙+1 − 1

e2𝒙+1 − 1

𝒆−𝒙

−

−

+

+

+

0

0

𝑎 = 3 + 3𝑖 = 3 1 + 𝑖

= 3 2 2

2+ 𝑖

2

2

= 3 2 cos𝜋

4+ 𝑖 sin

𝜋

4

= 3 2𝑒𝑖𝜋4

𝑏 = 3− 3𝑖 = 3 1− 𝑖

= 3 2 2

2− 𝑖

2

2

= 3 2 cos𝜋

4− 𝑖 sin

𝜋

4

= 3 2𝑒−𝑖𝜋

4

= 3 2 cos−𝜋

4− 𝑖 sin

−𝜋

4

: و منه نستنتج أن

𝑏 − 𝑏′

𝑎 − 𝑏′ = 1

arg 𝑏 − 𝑏′

𝑎 − 𝑏′ ≡

𝜋

2 2𝜋

أ 1

ب 1

1

أ 2

ب 2

2

ج 2

2011أجوبة امتحان الدورة االستدراكة 𝟏𝟐𝟏 :الصفحة 2013رمضان ( ): من إعداد األستاذ بدر الدن الفاتح

:التمرن الثالث

: لدنا

𝑂𝐴 = 𝑧𝐴 − 𝑧𝑂 = 𝑎 = 3 2𝑒

𝑖𝜋

4 = 3 2

𝐴𝐵′ = 𝑧𝐵′ − 𝑧𝐴 = 6− 3− 3𝑖 = 3− 3𝑖 = 3 2

𝐵′𝐵 = 𝑧𝐵 − 𝑧𝐵′ = 3− 3𝑖 − 6 = 3 2

𝐵𝑂 = 𝑧𝑂 − 𝑧𝐵 = −3 + 3𝑖 = 3 2

𝑂𝐴: نستنتج إذن أن = 𝐴𝐵′ = 𝐵′𝐵 = 𝐵𝑂 . معن ألن جمع أضالعه متقاسة 𝑂𝐴𝐵′𝐵و منه فإن الرباع

.( زاوة قائمة حسب نتجة السؤال ج ′𝐵و بما أن الزاوة

. مربع ألنه معن و إحدى زوااه قائمة 𝑂𝐴𝐵′𝐵فإن الرباع

∶ 𝑃𝑛 : التالة 𝑃𝑛 لنبرهن على صحة العبارة ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛 >1

3

𝑢0: لدنا = 1 >1

3 . صححة 𝑃0 إذن العبارة .

; 𝑛𝜖ℕ∀ : نفترض أن 𝑢𝑛 >1

3

𝑢𝑛 : إذن −1

315𝑢𝑛 و + 1 > 6 > 0

; 𝑛𝜖ℕ∀ : ∗ و منه حسب النتجة 𝑢𝑛+1 −1

3> 0

; 𝑛𝜖ℕ∀ : أي 𝑢𝑛+1 >1

3

. صححة 𝑃𝑛+1 و هذا عن أن العبارة

; 𝑛𝜖ℕ∀ : و بالتال حسب مبدأ الترجع 𝑢𝑛 >1

3

: لدنا . ℕ عنصرا من المجموعة 𝑛لكن

; 𝑛𝜖ℕ∀ : و بالتال 𝑣𝑛+1 =1

6 𝑣𝑛

متتالة هندسة أساسها 𝑣𝑛 𝑛𝜖ℕ إذن 1

6.

كتب على الشكل التال 𝑣𝑛 𝑛𝜖ℕ و منه فإن الحد العام للمتتالة :

∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑣𝑛 = 𝑣0 1

6 𝑛−0

𝑣0: لدنا = 1−1

3𝑢0= 1−

1

3=

2

3

; 𝑛𝜖ℕ∀ : إذن 𝑣𝑛 = 2

3

1

6 𝑛

; 𝑛𝜖ℕ∀ : (2لدنا حسب السؤال 𝑣𝑛 = 2

3

1

6 𝑛

; 𝑛𝜖ℕ∀ : و نعلم أن 𝑣𝑛 = 1−1

3𝑢𝑛

نالحظ أن 1

6 𝑛

متتالة هندسة أساسها 1

6 .1 و هو عدد حقق أصغر من

𝐼 عنصرا من المجال 𝑥لكن = 0; +∞ .

= 𝑔 𝑥: لدنا 𝑥 − 1 + ln 𝑥

𝑥: إذن . 𝐼 عنصرا من المجال 𝑥لكن > 0

𝑥: و منه + 1 > 1 > 0

; 𝑥𝜖𝐼∀ : عن 𝑔′ 𝑥 > 0

.𝐼 تزادة قطعا على المجال 𝑔أي أن الدالة

:التمرن الرابع

𝑢𝑛+1 : لدنا . ℕ عنصرا من 𝑛لكن =6𝑢𝑛

1 + 15𝑢𝑛

𝑢𝑛+1 : إذن −1

3=

6𝑢𝑛1 + 15𝑢𝑛

−1

3

𝑢𝑛+1 : عن −1

3=

18𝑢𝑛 − 1 + 15𝑢𝑛

3 1 + 15𝑢𝑛

𝑢𝑛+1 : عن −1

3=

3𝑢𝑛 − 1

3 1 + 15𝑢𝑛

𝑢𝑛+1 : إذن −1

3=

𝑢𝑛 −13

1 + 15𝑢𝑛

; 𝑛𝜖ℕ∀ : عن 𝑢𝑛 −

13

15𝑢𝑛 + 1> 0

موجبة قطعا ألنها خارج كمتن موجبتن قطعا و منه فإن الكمة

.

𝑢𝑛 −13

15𝑢𝑛 + 1

; 𝑛𝜖ℕ∀ : إذن 𝑣𝑛 = 2

3

1

6 𝑛

; 𝑛𝜖ℕ∀ : عن 𝑣𝑛 = 1−1

3𝑢𝑛

; 𝑛𝜖ℕ∀ : عن 1−1

3𝑢𝑛=

2

3

1

6 𝑛

lim : إذن 𝑛∞

1

6 𝑛

= 0

lim : و منه 𝑛∞

𝑢𝑛 = lim𝑛∞

1

3− 2 16 𝑛 =

1

3− 2 × 0=

1

3

= 𝑔′ 𝑥 : إذن 1 +1

𝑥=𝑥 + 1

𝑥

; 𝑥𝜖𝐼∀ : إذن 𝑔′ 𝑥 =𝑥 + 1

𝑥

; 𝑥𝜖𝐼∀ : إذن 𝑥 + 1

𝑥> 0

; 𝑛𝜖ℕ∀ : عن 1− 2

3

1

6 𝑛

=1

3𝑢𝑛

∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢𝑛 =1

3− 2 16

𝑛 : و بالتال

𝑣𝑛+1 = 1−1

3𝑢𝑛+1= 1−

1

3

1 + 15𝑢𝑛6𝑢𝑛

= 1 −1 + 15𝑢𝑛

18𝑢𝑛

=18− 1 + 15𝑢𝑛

18𝑢𝑛=

3𝑢𝑛 − 1

18𝑢𝑛=𝑢𝑛 −

13

6𝑢𝑛

=1

6 𝑢𝑛 −

13

𝑢𝑛 =

1

6𝑣𝑛

أ 1

3

د 2

ب 1

أ 1

1 ب2

I

I

∗

lim : و بالتال 𝑛∞ 𝑢𝑛 =

1

3

2011أجوبة امتحان الدورة االستدراكة 𝟏𝟐𝟐 :الصفحة 2013رمضان ( ): من إعداد األستاذ بدر الدن الفاتح

;1 عنصرا من المجال 𝑥لكن 𝑥: إذن . ∞+ ≥ 1

𝑔(𝑥): و منه ≥ 𝑔(1) ألن 𝑔 دالة تزادة قطعا على 𝐼

= 𝑔 1: و لدنا 1− 1 + ln 1 = 0

;𝑥 𝜖 1 ∀: إذن +∞ ; 𝑔(𝑥) ≥ 0

;0 عنصرا من المجال 𝑥لكن 𝑥: إذن . 1 ≤ 1

≥ 𝑔 𝑥: و منه 𝑔 1 ألن 𝑔 دالة تزادة على 𝐼.

= 𝑔 1: و لدنا 0

;𝑥 𝜖 0 ∀: إذن 1 ; 𝑔(𝑥) ≤ 0

نستنتج أن المنحنى قبل فرعا شلجما ف 𝟐 و 𝟏 من النهاتن

.∞+اتجاه محور األفاصل بجوار

: إذن

: إذن

;1 عنصرا من المجال 𝑥لكن +∞ .

𝐼 : 𝑔(𝑥)) 2)إذن حسب نتجة السؤال ≥ 0

: عن 𝑔(𝑥)

𝑥2 ≥ 𝑥: ألن ) 0 > 0 )

;𝑥 𝜖 1 ∀: و منه +∞ ; 𝑓 ′(𝑥) ≥ 0

;1 عن أن الدالة تزادة على المجال +∞

;0 عنصرا من المجال 𝑥لكن 1 .

𝐼 : 𝑔(𝑥)) 2)إذن حسب نتجة السؤال ≤ 0

: عن 𝑔(𝑥)

𝑥2 ≤ 𝑥: ألن ) 0 > 0 )

;𝑥 𝜖 0 ∀: و منه 1 ; 𝑓 ′(𝑥) ≤ 0

;0 تناقصة على المجال 𝑓عن أن الدالة 1

.𝐼 على المجال 𝑕 دالة أصلة للدالة 𝐻إذن الدالة

= 𝑓 𝑥 : لدنا . 𝐼 عنصرا من المجال 𝑥لكن 𝑥 − 1

𝑥 ln 𝑥

و تأولها الهندس هو أن المستقم ذو المعادلة : إذن

𝑥 = مقارب عمودي للمنحنى بجوار الصفر (محور األراتب ) 0

.على المن

lim𝑥→0+

𝑓(𝑥) = +∞

lim : إذن 𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = +∞

lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥)

𝑥= lim

𝑥→+∞ 𝑥 − 1

𝑥

ln𝑥

𝑥= lim

𝑥→+∞ 1 −

1

𝑥

ln𝑥

𝑥

= 1 −1

+∞ 0 = 1− 0 0 = 0

= 𝑓 𝑥 : لدنا . 𝐼 عنصرا من المجال 𝑥لكن 𝑥 − 1

𝑥 ln 𝑥

𝑓 ′ 𝑥 = 𝑥 − 1

𝑥 ′

ln𝑥 + ln𝑥 ′ 𝑥 − 1

𝑥

= 𝑥 − 𝑥 − 1

𝑥2 ln 𝑥 +1

𝑥 𝑥 − 1

𝑥

=ln𝑥 + 𝑥 − 1

𝑥2=𝑔(𝑥)

𝑥2

∀𝑥𝜖ℝ ; 𝑓 ′(𝑥) =𝑔(𝑥)

𝑥2

= 𝐻 𝑥 : لدنا . 𝐼 عنصرا من المجال 𝑥لكن ln 𝑥 2

2

= 𝐻′ 𝑥 : إذن 2 ln𝑥 ∙ 1

𝑥

2=

ln𝑥

𝑥= 𝑕(𝑥)

ln𝑥

𝑥𝑑𝑥

𝑒

1

= ln 𝑥 2

2

1

𝑒

= ln 𝑒 2

2− ln 1 2

2=

1

2

𝒙 1

0

0

𝑓

− 𝑓′(𝑥) 0 +

+∞

+∞ +∞

𝟏

𝟏𝟏𝟐 C

= lim𝑥→0+

1−1

𝑥 ln𝑥 = 1 −

1

0+ −∞

= 1−∞ −∞ = −∞ −∞ = +∞

lim : إذن 𝑥→0+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→0+

𝑥 − 1

𝑥 ln𝑥

lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = lim𝑥→+∞

𝑥 − 1

𝑥 ln𝑥 = lim

𝑥→+∞ 1−

1

𝑥 ln 𝑥

= 1 −1

+∞ +∞ = 1 − 0 +∞ = +∞

lim : إذن 𝑥→+∞

𝑓(𝑥)

𝑥= 0

ب 2 2

أ 1

ج 2

ب 1

3

ج 1

أ 2 أ 4

ب 4

I II

II

II

II

II

II

II II

II

𝟏

𝟏𝟏𝟐 C

0

+∞

𝟏

𝟐

𝟏

𝟏𝟏𝟐 C

2011أجوبة امتحان الدورة االستدراكة 𝟏𝟐𝟑 :الصفحة 2013رمضان ( ): من إعداد األستاذ بدر الدن الفاتح

: لدنا . 𝐼 عنصرا من المجال 𝑥لكن

و محور مساحة الحز من المستوى المحصور بن المنحنى 𝒜لتكن

𝑥األفاصل و المستقمن اللذن معادلتاهما = 𝑥 و 1 = 𝑒.

.نعلم أن التكامل قس دائما طول أو مساحة أو حجم

.𝐼 على 𝑓 قمة دنوة للدالة 0 أن 𝑓نالحظ حسب جدول تغرات الدالة

; 𝑥𝜖𝐼∀ : عن 𝑓(𝑥) ≥ 0

; 𝑥𝜖𝐼∀ : و منه 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥)

ln𝑥 𝑑𝑥𝑒

1

= 1 𝑢′

∙ ln𝑥 𝑣

𝑑𝑥𝑒

1

= 𝑢𝑣 1𝑒 − 𝑢𝑣′𝑑𝑥

𝑒

1

= 𝑥 ln𝑥 1𝑒 − 𝑥 ∙

1

𝑥

𝑒

1

𝑑𝑥 = 𝑥 ln𝑥 1𝑒 − 1

𝑒

1

𝑑𝑥

= 𝑥 ln𝑥 1𝑒 − 𝑥 1

𝑒 = 𝑥 ln𝑥 − 𝑥 1𝑒

= 𝑒 ln 𝑒 − 𝑒 − 1 ln 1− 1 = 0− −1 = 1

𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1

𝑥 ln 𝑥 = 1−

1

𝑥 ln𝑥 = ln 𝑥 −

ln𝑥

𝑥

; 𝑥𝜖ℝ∀ : إذن 𝑓 𝑥 = ln𝑥 −ln𝑥

𝑥

𝒜 : إذن = 𝑓(𝑥) 𝑒

1

𝑑𝑥

𝟏

𝟏𝟏𝟐 C

𝓐

𝒜 : إذن = 𝑓(𝑥) 𝑒

1

𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑒

1

𝑑𝑥 = ln𝑥 −ln𝑥

𝑥

𝑒

1

𝑑𝑥

= ln𝑥𝑒

1

𝑑𝑥 − ln𝑥

𝑥

𝑒

1

𝑑𝑥

= 1−1

2=

1

2 𝑢𝑛𝑖𝑡é 2

=1

2 1 𝑐𝑚 2 = 0,5 𝑐𝑚2

ج 4

أ 5

ب 5

II

II

II

𝟏

𝟏𝟏𝟐 C