3. 面積分ex.3-2 2 0 1 0 (x y)2dxdy...
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-
3. 面積分
-
積分の心
�43
�13
-
積分の心
�84
�89
-
積分の心S(h) = h2�（ の個数）S̄(h) = h2�（ の個数 + の個数）
地図にかぶせた格子の正方形の一辺を とする．h
S(h) � S � S̄(h)本当の北海道の面積を とするとSh� 0 のとき となるだろう．S̄(h)� S(h)⇥ 0S = lim
h�0S(h) = lim
h�0S̄(h)
S(h) = h2�（ の個数 + の個数 / 2） は よりS(h), S̄(h)良い近似を与えることが期待できるので，有限の を用いて を近似をするときはこの を用いる．
h
S S(h)
Ex. 3-1前ページの図から北海道の面積の近似値を求めよ．
-
1変数関数の積分
x
y
面積 S
a b
y = f(x) � 0直線 と直線 で囲ま
y = f(x) xx = a x = b
グラフ と 軸，および
れる図形の面積 S
x
y
a b
（無限に）微小な底辺 と高さ を持つ長方形の面積
それを から まで 足し合わせたものが面積！
-
２変数関数の積分
グラフ と 平面，z = f(x, y) xy
V
および４つの側面x = a, x = b y = c, y = d
で囲まれる立体の体積 は？
x
y
z
体積 V
z = f(x, y) � 0
底面は長方形 [a, b]� [c, d]
-
長方形上の積分
=� b
a
� d
cf(x, y)dydx
=� d
c
� b
af(x, y)dxdy
内側が先
V =� d
cS1(y)dy
yS1(y)
V =� b
aS2(x)dx
微小厚み を持つスライスの体積
dy
微小厚み を持つスライスの体積
dx
S2(x)
内側が先
S1(y) =� b
af(x, y)dx断面積
S2(x) =� d
cf(x, y)dy断面積
-
長方形上の積分
Ex.3-2
� 2
0
� 1
0(x� y)2dxdy
以下の長方形上の積分を計算し，積分の順序を交換しても結果が同じになることを確かめよ．
(1) (2)� 1
0
� 1
0x2y3dxdy
V =� d
c
� b
af(x, y)dxdy =
� b
a
� d
cf(x, y)dydx
積分の順序は交換可能x
y
z
体積 V
z = f(x, y) � 0
-
長方形上の積分Ex.3-2 の解答
(2) ⇤ 1
0(x� y)2dx =
�13(x� y)3
⇥1
x=0
=13(1� y)3 � 1
3(�y)3 = 1
3� y + y2
⇤ 2
0
⇤ 1
0(x� y)2dxdy =
⇤ 2
0
�13� y + y2
⇥dy=
�13y � 1
2y2 +
13y3
⇥2
y=0
=43
⇤ 2
0(x� y)2dy =
��1
3(x� y)3
⇥2
y=0
= �13(x� 2)3 + 1
3x3 = 2x2 � 4x + 8
3⇤ 1
0
⇤ 2
0(x� y)2dydx =
⇤ 1
0
�2x2 � 4x + 8
3
⇥dx =
�23x3 � 2x2 + 8
3x
⇥1
0=
43
(1)� 1
0
� 1
0x2y3dxdy =
� 1
0x2dx
� 1
0y3dy =
13
· 14
=112
=� 1
0y3
� 1
0x2dxdy
積分が積の形に分離するので明らかに積分の順序交換可能
-
長方形上の積分
x
y
dx
dy
a b
c
d� d
c
� b
af(x, y)dxdy
� b
a
� d
cf(x, y)dydx
であれ
であれ
このような柱体は必ずしも微小な長方形が底面である必要はない．積分領域も必ずしも長方形である必要はない．
どちらの方向に先にスライスしたかの違いだけ
結局，微小な底面積 と高さを持つ四角柱の集合体によって求める体積を近似している．
dxdy
-
面積分
dS
z = f(x, y)
z
x
y
�
関数 の積分を考える．領域 上で � f
� を微小領域に分解し，そのそれぞれの微小領域を底面とし高さ を持つ柱体を考える．
f
この柱体の(符号も込めた)体積は fdS微小領域の面積を と書けばdS
面積要素
�
�fdS
これらを領域 で全部足し合わせたものを，関数 の
領域 上での面積分といい と表す．
� f
�
もちろん は領域 の面積である．�
-
いろいろな図形上の面積分
=� 1
0
� 1�y
0f(x, y)dxdy
�
TfdS
=� 1
0
� 1�x
0f(x, y)dydx
y
1� y x
y
1
1
0 x
1� x
T
x
y
1
1
0
T
例．三角形 上の積分T = {(x, y) | x + y � 1, x, y ⇥ 0}
�
�fdS面積分 の計算は適当な座標軸に沿った２回の積分を実行
することによって行う．
Ex.3-3上の例で，次の について を2通りの方法で求めよ．
(1) (2)
�
TfdS
-
Ex.3-3 の解答
(1)
T = {(x, y) | x + y � 1, x, y ⇥ 0}
(2)
は の面積 !
-
いろいろな図形上の面積分
Ex.3-4 の解答
x
y1
1�1 0
Ty
1� yy � 1
�
T(x + y)dS =
� 1
0
� 1�y
�(1�y)(x + y)dxdy
なので
� 1�y
�(1�y)(x + y)dx = 2y(1� y) = 2y � 2y2
⇤
T(x + y)dS =
⇤ 1
0(2y � 2y2)dy =
�y2 � 2
3y3
⇥1
0
=13
Ex.3-4
を求めよ．
T = {(x, y) | x + y ⇥ 1, x� y ⇤ �1, y ⇤ 0} とするとき�
T(x + y)dS
-
いろいろな図形上の面積分Ex.3-5
を求めよ．
とするとき
Ex.3-5 の解答
x
y
1
10
x
y
1
10
y
-
Exercises
(1)
(2) � = {(x, y) | 0 � x � 1, x2 � y � 1}, f(x, y) = x
� = {(x, y) | 0 � x � 2, 0 � y � 12x}, f(x, y) = ex(3)
� = {(x, y) | 0 � x � 1, 0 � y � 1}, f(x, y) = x sin�y
Ex.3-6次の関数 と領域 に対し，面積分 を求めよ．f(x, y) �
�
�fdS
Ex.3-6 の解答(1)
�
�x sin�ydS =
� 1
0
� 1
0x sin�ydxdy =
� 1
0xdx
� 1
0sin�ydy =
1�
(2) �
�xdS =
� 1
0
� �y
0xdxdy =
� 1
0
12ydy =
14
(3) �
�exdS =
� 2
0
� x2
0exdydx =
12
� 2
0xexdx =
12(e2 + 1)
-
いろいろな図形上の面積分
x
例．単位円 上の積分D
Ex.3-7
を求めよ．
とする．�
DdS
D = {(x, y) | x2 + y2 � 1, y ⇥ 0}
y
y
1
1�1
�1
�1� y2�
�1� y2
D
�
DfdS =
� 1
�1
� �1�y2
��
1�y2f(x, y)dxdy
軸に平行なスライスを考えると
-
Ex.3-7 の解答
�
DdS =
� 1
0
� �1�y2
��
1�y2dxdy = 2
� 1
0
⇥1� y2dy
= 2� �
2
0
⇥1� sin2 � cos �d� = 2
� �2
0cos2 �d�
=� �
2
0(1 + cos 2�)d� =
�
2
�
DdS は領域 の面積であることに注意．D
この場合は半径１の半円の面積だから明らかに�
2
丸いものを四角く計算していてセンスが悪い．丸いものは丸く計算したい．
-
直交座標と極座標
�x = r cos �y = r sin �
(x, y) (r, �): 直交座標 : 極座標
には の整数倍の不定性がある．� 2��⇥ < � ⇥ ⇥ 0 � � < 2⇥または に制限
x
y
(x, y)r
�O
原点 では対応する は定義できない．(r = 0)�O
�r =
⇥x2 + y2
� = arg(x, y) : 偏角関数
-
座標曲線(r, �)極座標系
x
y
を固定し を動かして得られる曲線を 曲線という．x xyx yを固定し を動かして得られる曲線を 曲線という．yを固定し を動かして得られる曲線を 曲線という．� r rを固定し を動かして得られる曲線を 曲線という．� �r
(x, y)直交座標系
x
y
座標曲線
曲線r曲線�
曲線y
曲線x
-
2変数関数と極座標
極座標は，円領域や円環領域での現象を記述する場合や，回転対称な現象を記述する場合に便利．
例えば という式で表される関数を極座標で表すと となる．
z = x2 + y2
z = r2
z = f(x, y) z = f(r cos �, r sin �)
Ex. 3-8
(1)
次の関数を極座標で書け．z = x� y3 (2) z = (x2 + y2) 32
Ex. 3-8 の解答(1) (2)z = r cos � � r3 sin3 � z = r3
-
極座標の面積要素
= rdrd�
極座標の座標曲線dS
d�dr
(r, �)
O
：面積要素
dS = rdrd� 極座標での面積要素の表式
は扇形の面積の差で書ける．dS
dS =12(r + dr/2)2d� � 1
2(r � dr/2)2d�
Ex. 3-9 の解答面積要素 を を用いて表せ．dS
Ex. 3-9
-
例
極座標による面積分の計算に対し を求める．単位円板
に対して例えば
を極座標で書くと
を極座標で書いておいて
を計算する．
-
面積分の計算Ex.3-10次の関数 と領域 に対し，面積分 を求めよ．
(1)
f(x, y) ��
�fdS
(2)
(3)
� = {(x, y) | x2 + y2 � 1, x, y ⇥ 0}, f(x, y) = y� = {(x, y) | x2 + y2 � 1, y ⇥ 0}, f(x, y) = 1
� = {(x, y) | 1 � x2 + y2 � 4}, f(x, y) = x2 + y2
Ex.3-10 の解答�
�dS =
� �
0
� 1
0rdrd�(1) =
� 1
0rdr
� �
0d� =
12
· ⇥ = ⇥2
(2) �
�ydS =
� �2
0
� 1
0r2 sin �drd� =
� 1
0r2dr
� �2
0sin �d� =
13
(3) �
�(x2 + y2)dS =
� 2�
0
� 2
1r3drd� =
� 2
1r3dr
� 2�
0d� =
15�2
-
半径 の薄い円盤がある． を面密度（単位面積あたりの質量）とする．ただし は円盤の中心からの距離とする．
Ex.3-11
Rr
� = �(r)
�(r) = �0�
1 +r2
R2
⇥であるときこの円盤の総質量 を求めよ．M
面積分の応用
Ex.3-12
半径 の球の体積 を面積分を使って求めてみよ．R Vヒント：半球の体積を求めて2倍すればよい．
-
V
2=
�
D
⇥R2 � x2 � y2dS =
� 2�
0
� R
0
⇥R2 � r2 rdrd�
= 2���1
3(R2 � r2) 32
⇥R
0
=23�R3 よって V = 43�R
3
Ex.3-12 の解答のグラフと 平面で挟まれた領域は
半径 の半球である． とおくと
z =�
R2 � x2 � y2 xy
R D = {(x, y) | x2 + y2 � R2}
Ex.3-11の解答D = {(x, y) | x2 + y2 � R2} とおくと
M =�
D�dS =
⇤ 2�
0
⇤ R
0⇥0
�1 +
r2
R2
⇥rdrd�
= 2�⇥0⇤ R
0
�r +
r3
R2
⇥dr = 2�⇥0
�12r2 +
r4
4R2
⇥R
0
=3�2
⇥0R2
-
面積分の応用
を第１象限として を考える．
この面積分を直交座標と極座標の２通りで計算することによって，次の公式を導出することができる．
��
�e�(x
2+y2)dS
� ⇥
�⇥e�x
2dx =
��
例
Ex.3-13これを確認せよ．
-
=� �
2
0d�
� ⇥
0re�r
2dr
=�
2
��1
2e�r
2⇥⇥
0=
�
4
�
�e�(x
2+y2)dS =� �
2
0
� ⇥
0e�r
2rdrd�
一方，極座標で計算すると
� ⇥
0e�x
2dx =
��
2
� ⇥
�⇥e�x
2dx =
��ゆえに であり， が従う．
面積分の応用
=� ⇥
0
� ⇥
0e�x
2e�y
2dxdy
=� ⇥
0e�y
2� ⇥
0e�x
2dxdy =
� ⇥
0e�x
2dx
� ⇥
0e�y
2dy =
�⇤ ⇥
0e�x
2dx
⇥2
�
�e�(x
2+y2)dS =� ⇥
0
� ⇥
0e�(x
2+y2)dxdy
この面積分を直交座標で計算すると
Ex.3-13 の解答