50005 jelfeldolgozÁs diszkrÉt fourier … · 1· matematikai dokumentÁciÓ l type 50005...
TRANSCRIPT
1· MATEMATIKAI DOKUMENTÁCIÓ l
TYPE 50005
JELFELDOLGOZÁS DISZKRÉT FOURIER·
, , TRANSZ FORMAC lOVA L
·•·
ELEKTRONIKUS M~RŐKÉSZÜL~KEK GYÁRA
1163, Budapest, Cziróky u. 26-32.
Telefon: 837-950 Telex: 22-45-35
1979. F. k.: Kiss jovák józsef
MATEMATIKAI DOKl.ll<TENTÁCIÓ
JELFELDOLGOZÁS DISZKRÉT FOURIER-TRANSZFO~CIÓVAL
/PROORAMllliNDSZElV
T Y P E 5 o o o 5
A 71666 programozható asztúli számológJpb-51, a 71668 tárbővitő kártyából, a 79831 plotter illesz
tó egy~égből és a 79811 vagy 79812 XY-rajzolóból
álló rendszer diszl~ét Fourier-transzformációs
szubrntincsomagja
Készitette a Hal'X Károly Közgazdaságtudományi
Egyetem Matematikai és SzáMitástechnikai Intézete
Témafelelós: dr. Hegedlis Milclós
ELEKTRONIKUS MÉRÓKÉSZÜLÉKEK GYÁRA
3
TARTALOMJEGYZÉK
1. Az N=lOO alappontban adott fügGvény diszkrét Fourier-transz-
formációja • • • • • • • . . . . • • • • • • . . . . . • • • . . • . • • • . . . . • • . . . • • • • • • • • • . • 7
2o Az N•lOO alappontban adott függvány diszkrét Fourier-transz
formációjának kiszámitása halmozott hiba nélkül, tárolt
konstansokkal •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••·• :1
2.1 A transzforreáció valós része ••·••••••••••••••••••••••••••• 22 2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4
2.1.5
A gyorsitás kérdése e~y A(n) kiszámitása esatén ••••• ~4 Gyorsitás páratlan sorindexek esetén ••••••••••••••• 28
Gyorsitás páros sorindexek esetán ••••••••••••••••oo 31
Gyorsitás néegyel osztható sorindexek esetén ••o•••• 11 ..... Gyorsitás néggyel nem osztható páros sorindexek
esetén ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• )6
2.1.6 Összefoglalás ••••••••••••'"••••••••••••••••••••••••• 38 Az A(n) együtthaták &lapvetó szimmetriatulajdonsága 39
Speciális t(n) -ek •••••••••••••••••••••••••••••••• 40
2 .1.9 J... páratlan n indexü A (n) együtthaték további fel-
bontása •.•.......••.•....•...... • •. • • • • • • • • • • • • • · • • 41
2.1.10 Az "A" eset real.izációja •••••••••••••••••••••••••• 4~ 2ololl
2.1.12
A "B" eset realizációja
A páros indexü, 50 alatti
........................... A (n) együtthaték kizzá-
.~6
Z'á tás a •••.•......•......••............. · • • · . • · . · · • ~·7
2.2 A transzformáció képzetes része ••••••·•·•·•••••••••••••••• ~l
2.2.8
A gyorsitás kérdése ogy B(n) kiszálDitása esetén u 52
Gyo.rsi tás páros sor:i.ndexek eset én •• o •••••••••••••• 53
Gyo.rsitás kérdése páratlan sorindexek esetén ••o••• 54
Gyorsitás kérdése 4-el osztható sorindexek esetén •• 55
Gyorsitás páros, de néggyel nem osztható sorindexek
esetén ..•.•... • ..............•.... • • • • .. • · .. · • · • • • 56
Összefoglalás I. •••••••••••••••••••••••••••••••••• 57 Alapvető szimmetriatulajdonságok a B(n) együttha-
ték között •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 58
Speciális B(n) eg,ütthatók oo••••••••••••••••••••• 59
5
3.
2.2.9 Páratlan n indexU BÚl) együtthat6k felbontása •••• 59 20 2 ol O Összefoglalás II.. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 62
2.2.11 Az "A" eset realizációja ·••••••••••••••••••••••••• 64
A "B" eset realizációja ••••••••••••••••••••••••••• 65 A páros sorindexü 50 alatti B(n) egyUtthat6k kiszá-
mitása .................. t·~, .•••••••••••••••••••••••• 66
Az inverz Fourier-transzformáció ••••••••••••o•••••••••••••••• 69
Az inverz transzformáció valós esetban ••••••••••••••••••• 70
3.2 Az eredeti /mért/ adatok visszaállitása a Fourier-transz-
formáltból • • • • • . . . . • • • • . . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 72
.3 • .3 Az inverztranszformáció visszavezetése az előre irányuló
transzforrnáci óra ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 79
3.4 Az inverztranszformáció realizálása •••••••••••••••••••••• 83
Fourier transzf0rmáci6 kiszámitása Horner-elrendezéssel •••••• 89
4.1 A Horner-elrendezés ••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 89
4.2 A diszkrét Fourier-transzformáció és a Horner-elrendezés 92
4.3 Alapvető gyorsitási lehetőségek ••••••••••••••••••••••••• 93
6
!! N = lOO alappontban adott függvé~y diszkrét Fourier lransz
formációja
f(O), f{l} ••••t f{99)
minta diszkrét Fourier traaszformációja az
(l) A(n) = l
100
99
[ -ink l.1t f(k) e
100
k=O
egyenletekkel van értelmezve.
Első lépésben azt mutatjuk meg, hogy a 100 alappontban adott
függvépy diszkrét Fourier transzfor.mációja hogyan vezethető visz
sza 10 alappontban adott függvény Fourier transzformációjárat
Vezessük be a
jelölést. Ezzel a jelöléasel az (l) transzformáció az alábbi alak
ba irható:
99
(2) A(n) = 1~0 L t(k) ~o k-0
7
Egyenlóre tekintsUnk el az l/lOo-as faktortól és tekintsUk
az
99 -(2' J .A{n) • 2 :f(k J W:o tn • 0,1, ••• , 99)
k.O
egyenleteket.
Irjuk át a {21) -t az alábbi alakbaa
Végezzük el az alábbi átalakitásta
...n (l O k+j) -in {10 k+j) ib'ó = .-ink i~ -iJQ ~~ "100 = e • 8 •
Vezessük be az
(o': ~. k~ 9)
ahonnan
8
,_L (·~ ) (4) A(n) • 2_ ~o L_ fj(k) ~ •
j=O k-0
vezessük be az
9 -Aj(n) = ~ fj(k) \~ ln • 0,1, ••• ,99 1 j=O,l, ••• ,9)
k•O
jelöléseketo Ezzel a jelöléasel (4) az alábbi alakÚ:
9
(5) A(n). = ) A3
(n) ~0 j•O
Tekintsük az Ajln) értékeket, Megmutatjuk, hogy
(n= o,t, ••• ,9; n. 0,1, ••• ,9)
Ugyanis 9
·L k=O
9 --= '> fj(k)~ L_ k•O
És mivel wigtk = l, ezért l6) valóban teljesül.
Ezt felhasználva az (5) -öt az alábbi alakba irhatjuk:
9
(7) A[ lOe + n) • L Aj (n) wgg t+n);J l e.o,l, ••• ,9.Jl>OO,l, ••• ,9)
j=O
Végezzük el a követkazó átalakitást:
'9
w Q.o e +n}~ 100
-ij (10 e +n) ~la -ij e ~; -ijn ~! ee ee .e •
Ezt helyettesitsUk a (7) -bea
9
(s) - 1
A(lO e+ n) • ,> Ajt n) wi~ . wi~ j•O
VezessUk be az
jelölésta ekkor a ts) az alábbi alakba irbatóa
9 ·-
(9) J "' • _:ie A ( lOt. + n) = L Aj (nJ Wj_0
j=O
Végül még vezessUk be az alábbi jelölésekata
Ezekkel a j elölésekkel (9) az alábbi - most már végleges - alak-
ba irhatóa
9
(10) ~(G)· \~(j) w{03 L j ..O
l O
.. ,
(e- o,1, ••• ,9. n-a,1, ••• ,9)
Ebből az összefüggésből most már világos, hogy az N = 100
pontos Fourier-transzformáeiét két egymást követő N = 10 pon-
tos Fourier-transzformációval kapjuk' nevezetesens
I/ Először kiszámítjuk a l4K\ alatti Aj(n) értékeketo
/Ez 10 db. 10 pontos transzformáció/
II/ Ezek után generáljuk az ~(j) értékeket.
III/ VégUl kiszámítjuk az ~(e\= A(.,lO l.+ n értékeket,
/amely ugyancsak 10 dbo 10 pontos transzformációo/
A számítások elrendezésére a következő "négyzetestt eljárás ja-
vasolt:
ll
o. AZ INDULO ALLAPOT
INPUT
f(o) ll A ) f(l) f< 3) {(t~) {(5) f(') f<~) f(t) f<') f~o) 4l-4A) {(A2.) {(43 ) {(4~) ft~s-) fl'') .f{ll) *') f<_,,)
f{2.o) 4(2.A) f(22.) J(23) fl2~) {(15) {(26) {(21) {~t) ~')
fbo) f(aA ) t(s1) {(33) f~~) f~s) f(s') .f{3;r) ft.#) .J{.s9)
f('io ~ {('l,f) f{ll.t) f(lf3) {(11'1) f('f.;) ~lf') fl~t;t) R• t) fl n)
f<so) f(so~) f(5l) f(5"3) {l.tlf) f(ss) ~(.56) ks~) ~(61) {(s,)
.ft'o) «'4) f('2) f('3) f(f>it) f('s) {l'') {(ef) ,{('• l «'•) ~(~o) f{1-4) f(~2) f(~J) 4l~lf) f~r) ~l~') f(~f) f(!t) {l' 9)
.fl1o) .f{t,f) f(11} f(r3) f(t't) f(kr) f(cr') {(li) fl'-') f(19)
fl'0 ) f{94) fl9~) {(CJJ) flCJtt) fltr) f('') {l'') {('') f(") t
. 12
A. L E PEs ( D FT OSZLOPOK SZERI NT, HEL'IBEN)
AJ•) AAlo) J\(o) A5(o) A"(o) A,(o) A,(o) A,{o) A,(e) A (o)
' A0{4) A,.(~) ~(A) A1{l) A"(A) A,.{') A,{.f) A,{_.) A,(A) ~,(1)
Aolt) A4(~) J\(2-) AJ{ 2.) A (~.) If
A,t~) A,{a.) A,( a.) A~(a) A,(t)
Aols) A.l3) Aal3) A1{3) A11(3) As-{.3) A,(!) A'" ls) A (3) l
A,(,)
A0
{&e) A..l Af) t\(~) A,( If) A" l~) A,.('t) A,(~) A,('~) A,(41) A,(~)
A0(s) J\ tr) A~. t~ j A, tr) A (.r)
." A,.(s) A,(".) A,(r) A,(r) A,(r-)
A.{') A l') .. Aa.{') AJ{') A" t,) ~(') A,(') A~(') A,(,) A,(t)
A. (:J) A4(-:,) A1.(1) AJ(~) A., l~) A,.(f) A,(~) A,{i-) A,(•) A,( :t)
A.(a_) A ta) ;f A~.{ a) AJ(B) A"(t) A,.(,) A,(l) A"flt) A,(r) A,(t)
A l') o A., t') A1l') AJ(') A" l') A,.(,) A, t,) A~t•) A,(9) A,(,)
lJ
2.LEPE5 (TÜKRÖZ.ES AFÖotAGONALISRA)
A0{o) A0(A) A
0(1) A.(3) Ao( 'i) Aotr) A.(') Ao(:,) A.(t) A<'> •
AA(o) A4t~) A,.{ 2.) A_.{3) A l li) ... A_.(5) A,. l') A1(~) A,.(l) A_,<'>
A~.( o} A~.l ~) Al2-) 2.
A1(3 ) A2.{Lf) AJ.(s) A2.(') A4
{1) A._{r) A~( CJ >
A,(o) A,(~ l AJ(1.) A3(3) AJl'l) A3
(r) A3t') AJ( "l) AJ(t) AJ<')
A 41( o) A"t -t ) A (2.) ., A"u l A.,('l) A.,(s) A.,t,) A"(~) A., ta) A..,(,)
AS'(o) As-(~) A \l.) S"
A.r-{3) As-l~) As-(s) As-l6) A~(':#) A,.ta) A~t' >
A,(o) A,t1) A ,t 2. l A,t3) A,('l) A,ts) A,(,) A,('f) A,ta) A,(,)
A~(o) A~l1) A~(1.) A~l3) A-1-(~) A=1-(s) A:f(') A~(~) A:J-(1) A~<'>
AB{o) A 8( 1) AR{l.) A"t3) A,( 'l) A, l .r) A,(,) A,(:,.) A.( a) A,( 9)
A9{o) A9 t 1) Ag(2.) A,(3) A,('f) A,{~) A,(,) A,(~) A,<t) A,(,)
14
AZ. ,.. ' ' l ' ' f~<J>-K GENERALASANAK TABLA2~íA
o wo wo wo wo wo wo wo wo w wo
wo ~.., ~ w 3 vr/' w 5' \Kl' wi w 8 w 9 w
wo 1. w'~ w' w 8 \K/to w n w'~ w'' w'' w
wo w l ' w' w u \(/ff vvl' w u wztt wz1 w
wo w" w' A 2 J( wl.o 1/f Z (l la. \t'l3' w w w w w
wo WG w"o WJr w&o w zs vvl o w lS' w·~ w 41 r
wo w'- w"L. '«118 w 2" w'o w'' w"2. w"' w~"
wo w =J. w .. " ~f w 2& wss- \Vf2 w"' $'' 'l w w
wo wa w/' w2• 32. w"o VI/'' S"6 w'' w"2 w w
w 9 41 Z. :J w 3' w"r S"lf ,,
.}2. w'4 wo w w w w w
['vJ:oo , W~00 ···LV.,~] vekf:or egyes komponenseivet rendre vegigszororruk a sorokat l majd. az
osr.lopokot.
15
9 t
(,1't (•)'t ( ')tt (r,)' t ( 6)st ({,)''t (')rt ( ,)tt ( ')•t (,)ot v v ..., v v v v v v v
(')'t ( r)•t (1)'} (a)' r (l).st (f)''± (8)fJ ( a)~t ( 1) •t (s)·t v v ~ v ..,
.;J v v v ~
(t:)'t (-t)'f (~)1:t (t:)' t ( t)~t {-t)"t ('t) 't ( f: )T t (~)·t (t)•t .., ~ v ..,
~ v v v v v
(,)'t (')'t (,)tt (')'t ( ,ys t (')"t (,)~t (,)~t ( ,)•t {,)ot v v .., v v v v ~ v v
(J)'t ( .s)' t (.s)tt (.s)'t ( s).s t ( s) "f (s)[f (.s)~t ( s)tf ( s)•t v v v v v v v .., .., ..,
(lr)'t (")'t (")t t (")'t (Ir ).st (")"± (k) 't (17\lt < hYt (hY't v .., .., .." .., ...,
~ .;;/ .., ~
{l)'t <•l't (()tt ~~)'t t ,).st (')"t (t)'} ( t)~i ( ~)~± <t rt v .." v v v v v ..., ..., ..,
(~)'t (~J' t (Y)tt (~)'t (~)~t (l)"t ("t)'} ( -e)~t (~)~± <~tt v v v v v v v ,y v
(~)'t (">'t ( ")tt (•)'t ( t)Jt (t)" 1 ( r)sJ ( t)~f ( ~)'t (~)·t v v ..., v v v v v v v
(~'t (o J'! ( o)tf (o)' f ( o)s t (o)"f ( o)ft ( o)'t {~)·t (o)'} v v v v v v v .., "
-- ......
(~t 9 ..L 1 z~ ~>107~ -L :1 a 1 ~o zr a oti::IH tt ) ~~d~, "E l , ,, l ' '
Ll. LE PE~ (A HASOD.SZORI D f:T 0.)ZL0POI<. SZERI NT)
OUTPUI
A to) A(_.) A( l.) A( 3) A<~) A(.>) A l') A ( -1) A(e) A C9l
A~o) A l_.•) Alu) A( n) A (1") A (.1r) A {It:) A(t~) A <u~) A&'>
A(a.o) A (2A) A(2z) At21) A(z~) A(zr) A(z') A(H) A~~ A~>
A(lo) A(.H) A(l~') A(JJ) A(n) A(lr) A(J,) A(z~) Al!J) A ~9)
Al~ro) A("_,) A(+z) A(trl) A (it~t) AC+ r) A(~) A&;~) A~cr) A (t,)
A{s-o) A lr.t) A(n ) A(r.J ) A (c") A(rr) A (r')- A (r1)- A<f1) A 61> l
A('o) A-(,.,) A('z) A('J) A (C'f) A(cr) A('') A(,~) A('r) A~'~) i
A (;to) A~~) A(-12) Al1-1) A(~" l A(~r) A~) A(~) ACfJ>) 1 A~)
A<!o) A(tl) A(tz) A (h) A (14-) A (J>r) A (1',) A(81) A {fr) A(ag)
A~o) A (CJA) A(92) A(9J) A('") A(9r) A {:16) A<?,) A (JI) A(99)
17
Az eddigiekből kiderJl, hogy kulcsfeladat egy olyan DFT el-
készitése, mely N = 10 alappontban adott függvény spektrumát
késziti el.
A 10 a 10 = 2 • 5, illetve 10 = 5 • 2 módon faktoriz~
tó, és mint az ismeretea mindkét eset egy-egy megvalósitási
utat jelent.
Mindkét út mellett és ellen lehet érveket felhozni. M1 a 10•5 • 2
utat választjuk, azaz az N = 10 alappontban adott fUggvány Pouri
er-transzformációját visszavezetjük N = 5 alappontban adott fUgg-
vény transzformációjára.
. A visszavezetés a következő egyszerU meggondolásokon alapul.
9
tlO) A(n) • 2 f(J<)
k-0
2'\i -ink 10
e tn = 01 1, ••• ,9) •
Irjuk át ezt az alábbi alakbaa
9
(ll) A(n) = L f{k) ~ (n = 0,1, ••• ,9)
k=O
Csoportositsuk ezt az összeget az alábbi módona
4 4
(12) Aln) ~~ f{2k) ~á2k)+ 2 :r(2k+l) ~á2k+l) •
k=O k•O
4 4
=L f(2k) \~ + \~0 ~ f(2k+l) ~ •
k=O k::aO
18
•
4 4
• } fo(k) wf +~o L fl(k) wf = k•O
Összefoglalvas
(1.3) A~n} l ' n A1tn) =A' n'+ wlO O\ J
ahol 4
A0 (n) = \ folk) wf /__ k=O
4 -~(.n) = 2_ fl(k) wf •
k=O
Megmutatható, hogy
(n= 0,1,2,.3,4)
Ezt figyelembe véve a (lJ) az alábbi alakba irhatóa
A számitásokat az alábbi módon rendezhetjUk el:
19
ft o) 'MA( o}
fl 2.) DFT :MA t~)
ft'f) N=S A (2.)
ft') MA(1)
fta) NA('I)
ft .. ) ... AlS)
ft3> DFT a-At')
f(s) N-=5 a.. A·(:, )
f(:J} .a..Att)
fl') ..-A(9)
20
2,
Az N = 100 alappontban adott függvény diszkrét Fourier transz
formációjának kiszámitása_halmozott hiba nélkül, tárolt konstansok-
Az alábbiakban az N • lOO pontban adott függvény egy olyan disz-
krét Fourier transzformációját ismertetjük, amely kikilszöböli az
lo pontban ismertetett eljárásnál elkerUlhetetlen halmazott hibá-
kat, és azzal összehasonlitható idejü futási idővel bir,
Ugyanitt megadnak egy eljárást, mely az inverz Fourier transzfer-
máoió realizálására szo1gál.
(l) f(O) 1 f(l) ,,,,, f(99)
alappontokban adott sorozat diszkrét /vagy véges/ Fourier transz
formáltján a
(2) Z(O) 1 Z(l) 1 oeo 1 Z (99)
sorozatot értjük, ahol
99
Z(n) • 1~ L f(k)
k=O
Itt osak azzal a speoiális eset·tel foglalkozunk, amikor a minta
sorozat elemei valós számoko Tehát a fent definiált diszkrét transz
formáció az (l) valós sorozatot /vagy vektort/ a (2) komplex so~o
zatba /vagy vektorbal viszi áto
21
A (J' képlete t a Fourier /integrál-/ transzformáció elmélet é-
ból úgy kapjuk meg, hogy az integrál-transzformációban szerepló
integrált a közönséges ntéglányösszeg" módszerrel számitjuk ki
nwnerikusano
Felhasznál va, hogy·
ii' .1 'l
e = oos-r + i sin 1 a (.3) egyenletet a következő alakba irhatjuk át:
Z(n) = Atn) - i • Btn) ,
ahol 99
l\ A(n) = 1o0
1!._
99 -
f ( k \ 1 nk 2 ·u ) ' ' cos, 100
B(n) = 1~0 )_ f(k) sin (nk ~~ )
k=O
és n = O,l, ••• ,99o
Az alapfeladat a fenti egyenlőségekkel definiált egyUtthatók
gyors és halmazot·t hl.ba nélküli realizáoiója.
2 ol A trans.zf~rmáoió
A transzformáció valós rés.zét z
99
(l'; ALn) =L 2 f'k\ oosl-loo ' · \ ---:.._.
(n = 0,1, ••• ,99)
k=O
egyenlet definiálja.
22
,.
A szokásos mátrixmüvelettel kifejezvet
Í A(O) cos(O • o .d.) cos (o • l od..) ••• OOSlO • 99 o·~) f'(O)
A{l) cos(l o o .~) cos(l • l .~) o•o cos( l o 99 .,j.) fll)
A(2) cos(2 • o .-:l.) cos l 2 o l .~) OOO oos\2 o 99 .o() f(2)
AlJ) cos(J • o .d..) cos b • l .9() ... cos lJ o 99 . _,) f\3)
• •
• o
• o
,_Al 991 eos (99 o O or.j,) cos \99 .l.•)() • • • cos (99 .99 .d.. ) f (99)
ahol d..= 21\ 100 •
A fenti felirásból jól látszik, hogy egy "direkt" módszerrel
történő kiszámitás esetén főleg a nagy számú szorzás és oosi-
nus függvény számitás miatt, meglehetősen időigényes feladat-
tal állunk szemben, olyannyira, hogy egy ilyen "direkt" módszer
használata kis számitógépeken lehetetlenné válik.
Irjuk át a (7) egyenletet az alábbi alakba:
A=.flto:f.o
Ó , f ) , ,.. • , .a. , J l latszik a ~7 felirasbel V1SZont meg az is, hogy azv~mat-
rix redundanciája számitástechnikai szempontból igen nagy,. tehát
egy elfogadható időn belül futó eljárás kulosa az Jt mátrix tu
lajdonságainak a közelebbi vizsgálatában rejlik~
K/ Könnyen belátható, hogy az .. Aimátrix 10.,.000 eleme mindössze 25 különbözó értékból származtatható.
23
2,l,lo A gyorsitás kérdése egy Aln) kiszámitása esetén-'
Tekintsük az
99
(2) l ~ . A(n) • ~ l f(k) cos (n • k o 21[ )
100 A-
k•O
egyenletet, ahol n rHgzitett (O~ n; 99) •
A képlet illo az A(n) direkt kiszámitása esetán a következő
mUveletekre van szükség~
Az argumentum kiszámitására a 3 sz orzás
Az f~k) • cos (.n • k i~ ) -hoza l szorzás
összesenz 4 sz orzás
egyes k = 0,1, ••• ,99 -re összesen 1 400 szorzás
z összeg kiszámitásához 100 összeadás
A cosinus szubrutin használata 100 alkalom
Ez összesen kbo 22 másodpercet igényelo /Innen következik, hogy
a valós részhez 2200 másodperc, azaz kb. 37 perc szükaéses,
RJA továbbiakban a feladatunknak megfelelő N • 100 esetet tárgyaljuk, bár azt lényegesen nem használjuk ki, igy az állitásaink általános érvényüek.
KKÓsak a minden n azerinti lépésben ismétlődő mUveleteket tekintjük •
...;Ez az EMG 666 számitógépén /átlagot számitva/
szorzás 1 400 • 4 ms = 1600 ma összeadása 100 • 0,4 ms = 40 ms cos x 1 100 • 200 ma = 20000 ms
összesen : 21640 ma~ 22 seo
24
ha a járulékos utasitásokhoz illo számitásokhoz szükséges
időt nem számitjuk. Tehát a teljes Fourier-transzformáció
hoz t<Sbb mint egy óra szükséges/
ltindenek előtt azt mutatjuk meg, hogy a (2) érték kiszámitá
sa jóval kevesebb müveletet igényelo
Vezessük be a
/] 2'ir ) p (n1k) = oos,nk 100
jel<Slést, ahol n = 0,1, ••• ,99 és k = 01 l,ooo 199o
Megmutatjuk1 hogy
p (n,k) • p(n, 100-k) /•
ahol n • o,l,2,oooa99 és k • 1,2, •••• 50.
Ugyanis
2ft p (n, lOO-k) = oos (n l}oo-kJ 100 ) •
l 2rn" ) l. 2'ir J = oos ,n • 21T- nk 100 = cos\nk 100 = p(n,k)
Ennek alapj án a l 2} a k<Svetkezóképpen a zámi tha tós
{4) A(p.) • l 100 t
25
ahol
~(n) • f{O) • p (n.o) + f(50) o p (n1 50)
fllk) = f(k) + f (100 - k) •
Ez az összefüggés a (3) alapján az loábráb6l k<Szvetleni.tl be
látható, de a (2) -ből formális úton is levezethető z·
A(n) = 1~0 (tto) • p (n,o) + f(50)o p(n,50J +
49 99
+ 2 f(k) , p (n,k) + ) f[k} , p(n,k)) •
k=l k=5l
= l~O (f(O) o P(.ntO) + !(50) , p(n,50) +
49 49
+ L f[k) , p(n,k) + 2 t(lClO-k) , p [n,lClO-k~· k=l . k=l
= 1~ \f(O) p(n,OJ + f(50) p (n,50) +
49
+ >- (f(k) + f(lOO-k),)P (n,k)J •
k•l
l = lOO
26
49
( "J.[n) + L t 1(k)
k=l
Világos, hogy a (4) egyenletet összehasonli tva a t 2) -vel, as
előbbi j6val kevesebb müveletet igényel.-'
2.1.2. Gyorsitás páratlan sorindexek esetán
~eki~tsUk egyenlőre osak azt az esetet, amikor n a O éa 99 közöt-
ti páratlan szám, és tekintsUk ezek után a {4) egyenletben szerep-
ló
p (n,O) , p(n,l) ,eo., p(n,50)
értékeket o
Hasonlitsuk össze a
és a
p(n,50-k)
értékeket.
2 \r P( n, 5<1-k) = cos tn [.?o-k J 1~0 ) •
= cos (Jiil- nk
Tehát páratlan n értékek esetén
Ebből egyrészt következik,-hogy p(n,25) = o, másrészt páratlan n
indexek esetán a (4) egyenletet átirhatjuk az alábbi módona
;}Az eredményt részeredménynek tekintjük, ezért időbecsléssel itt nem foglalkozunleo Időbecslésekkel majd C9ak a végeredméDJD8k tekintett formuláknál foglalkozunk.
28
l 6) l A\n) l {a2 = t 100
' \ • \ i ..._ ___
ahol
{7)
-----------
és
24
+ \ / / ·-k=l
.L ik; .::.·
\
p '.r ... k; l'
(8) lf2(k) = f{k) - f~50-k) - f~50+k) + f(lOO-k)
Ezeket rendre a következőképpen láthat~uk be,
A (7) a {4) alapján nyilvánvaló. A :6.' közvetlenül leolvasható
a 21 ábrából, vagy formálisan a következő levezetéssal kaphat-
juk; figyelembe véve, hogy p(n1 25) = Oo
k=l k=l
49 24 .- 2 flck\ + \ fl lk' Pln1 k) = p (n,k) + ' , __ k=26 kal
24
+) f 1{50-k) p ( n,5ü-k) = ,. -k=l
kal k=l
29
24
= > (t1lk) - t1 (50·k~ p (n,k)
kal
24
~ / ·-k=l
A (8) állitást pedig a következőképpen kaphatjuka
f2(k\ = fllk) - fl(50-k) =
= [r(k) + f(lOo-k)J-l f(5o-k; + r{loo-[50-~l] =
= f(k) - f\5D-k~ - f(50+k) + f(lOO-k)o
Páratlan n indexekre a (6) ,(7) ,(8) képleteket véglegesnek tekint
jük.fl/
2olo3. Gyorsitás páros sorindexek esetán
Legyen n páros szám.
Ekkor
(9) p(n,k) = p(n,50-k) l ugyanis kihasznál va, hogy n páros z
p ln, 50-k) = cos(~ [5o-k J 21 100 ) =
;
•/Elvileg további felezés is lehetséges, de ez már nem fogalmazható ilyen zárt alakba és a programozást jelentősen megnehezitené.
Ezt felhasználva a (4) egyenlet a következő alakbairható áta
ahol z
Ezt a következőképpen láthatjuk beo Vagy a 2o ábráb61, vagy az
alábbi levezetéssel a következőt kapjuk&
49
k=l -k;&25
24 49 + 2.__f1(k" p·n,k\ +2__ f 1tk) p ln,k) •
k=l k=26
24
" =L f 1lk) p tn,k)
k=l
24
24
+) fl(5Q-k) --k=l
24 -
pln,50-k) •
= --, f 1(k\ Pln,k) + L-
2_ f 1 \50-k) p {_n,k) •
k•l
24 24
= Lt1(k) + t 1(50-k))P (n,k) =2:. t 3(k) p (n,k),
k=l k=l
Innen látszik, hogy egyrészt
a3(n) = f(O) p(n,o) + f 1 l25) p{n,25) + f~50) Pln1 50) =
= f(O) + f(50) + [f(25) + f(75~ cos n l , tovább'
= f{k) + f(lOO·k) + !(50-kJ -+ ftlOo- (50-k)) a
= f(k) + f(5o-k) + f(50+k) + flloo-k) •
Ezt az eredményt részeredménynek tekintjUko
2.1.4. Gyorsitás nég&yel osztható sorindexek esetén
Legyen ezek után n néggyel osztható szám.
Megmutatjuk, hogy
Ugyanis, mivel n néggyel osztható&
p ln, 25-k) = oos \n [25-k] i& ) • = cos (nJf-- nk
2~0 ) =cos lnk iJ&) =P (n,k)
Ezt felhasználva a tlO) egyenlet a következő alakba irható át:
33
f 12) \. . l
A{nj' • -lOO
ll3) l. a4 a f(O) + f(25) + f{50) + f(75)
f4tk) = f{k) + f(25-k) + f(25+k) + f 50-k + (14)
+ f(50 + k) + f(75-k) + f(75+k) + f llOo-k) ,
Ezt vagy a 3, ábrából, vagy az alábbi levezetésból láthatjuk
be,
k=l 24
+ .\ f3
tkJ p(n1 k) = k=l3
k=l
12
~ f 3(k) p tn1k) +
k•l
12 12 - ·-+ ~ f 3(25-k) p (n1 25-k) • ~ f3[k) p (n,k) +
k=l k=l
12
+ > f3l25-k) ~
k=l
12
12
p ln1 k) = ) (f3lk) + f 3l25-k)) p (n,k) •
le= l
= L_ f 4(k) p(n0 k)e
k=l
Innen
= f~k) + f(50-k) + f'.50+k) + f(lOo-k) +
+ f(25-k) + f·~5o-t25-ku + fGo+t25-kil +
= f(k) + fl5o-k) + f(50+k) + f~lOO.k) +
+ f(25-k) + f(25+k) + f\75-k) + fl75+k) t
továbbá az a4 kiszámitása a (ll) -ból közvetlenUl történt. Est
az eredményt véglegesnek tekintjük.
2olo5o Gyorsitás négsyel nem osztható páros sorindexet esetép
Legyen n néggyel nem osztható, páros sorindex1 ~ = 21 61 101 •••)•
~,tegmutatjuk 1 hogy
Ugyanis, kihasználva, hogy n • 21 61 10, ••• :
:·- - ~-= ( ..IL. nk ~\ l· 2 ll \ l. ) cos 1 ~ 2 - 100 ./ = - cos\ nk 100 ) • - p n,k •
Ekkor a (10) egyenlet a következő alakba irható át:
36
ll6)
ahol
ll7) [ a5
= f(O)• f(25)+ f(50)• f\75)
f 5tk) = f(k)- f(25-k) - tt25+k) + ft5o-k) + l ll8)
+ f{50+k)· f(75-k)- f(75+k) + f\lOo-k)
A (17) a {ll)-ből közvetlenül nyerhető.
A 10 -b~n szerepló összeget, hasonlóan mint korábban, két rész-
re osztjuk, és felhasználjuk a {15)-öto Végül:
= f(k) + fl50-k) + ft50+k) + t(loo-k) -
- [_f(25-k) + f[so -t25-kj] + f[5o +(25-k)J +
+ f ~00 -(25-k)1·
= f(k) - f(25-k) - f(25+k) + f{50-k) + f~50+k) -
- f(75-k) - f(75+k) + f(?.Oo-k).
Ezen eredményeket is véglegesnek tekintjük.
3 '7
w OJ
2 .1.6. Összefot;lalts.
24
A"n = ioo (a2 +L f2lk) P (n,k))
k•l
a2 = f(O) • f(50)
f2(k)• ftk)- f{5o-k)- !(50+k)+ f{loo-kJ
P(n,k) • coa(nk ~Jt" )
12
A( n)= fo:> {a 4 + L.f 4 {Ic) p (n,k)'
\ k-l l
a4 • flO)+ f(25)+ f(50j+ fl75)
f4(k)· f{k)+ f(25-k)
+ f(25+k)+ f(50-k)+
+ f(50+k)+ f(75-lr:J+
+ fl75+k)+ f(loo-k)
12
A(n)• 1~0 (a5+) f 5(k)p(n,t))
k-l
a5• flO)- f(25)+ f(50)- f(75)
f 5lk)· flk)- f(25-k) -
- f(25+k)+ f~50-kJ+
+ f(50+k)- f{7~k)
- f(75+k}+ f(loo-lc}
•
2ol.7. Az A(n) együtthaték alapvető szimmetriatulajdonsága
Megmutatjuk, hogy
Ugyanis
- ...lJLj-P(,lOO..n,k) = cos l llOO..n) k 100 ·· =
r .- 2Tr . = cos Lk.2" - nk 100
Ebből pedig kapjuk, hogy
Ugyanis
l A llOO-n) = 'iöö
99 -'> /'
k=O
99
l 21L ) ' ) cos \nk 100 = p (n,k o
l = 1.00 ~- f(k) p(n,k' = A(n) •
.L_
k=O
Ez lehetévé teszi, hogy csak az
együtthatókkal foglalkozzunko
.39
2olo8o Speciális A(n)-ek
Néhány A(n) érték közvetlenül, könnyen szam1thatóa
99
Ato) = ioo )- f{k)
k-O
49
. l ' k Al25) • 'iö'O L t-l) f(2k) k-0
99
A(50) = ~ > (-l)k f(k) k•O
Ezek után tehát osak az
All) , Al2), ••• , A(24)
Al26) , A <.27) , o • • , A(49)
értékeket kell kiszámolnnnk.ll/
WI/ A speoiális indexli A(n) együtthatókat kUlön előre, a fenti képletek alapján fogjuk kiszámitani.
40
2olo9o A páratlan n indexü A(n) együtthatók'további felbontása
TekintsUk a páratlan indexü A(n)-ek előállitásában szereplő ösz-
szeg
24
(.19) ) f(k) o Pln,k) • A1tn) + A2(n)
k•l
felbontását, ahol
(20)
(21)
2.3
~tn) = 2 f 2 lk) p(n,k)
k=J. k páratlan
24 v = / f 2(k) Pln,k)
k-2
k páros
Mivel ~áratlan k esetén l
p~50-n,k) a oos [l50-n) ~J k lOO =
= oos(k'tl- nk 2 ~0 ) = - cos (nk 1gg ) =
• - p(n,k) ,
ezért
tn • 1,.3, ... ,49)
(n = 1,3, ••• , 49)
(n = 1,.3, ••• ,49)
41
23 23
{22) ~(50-n) • L k-l
f(k) Pl50-k) • • L f(k} p(.D1k) •
k-l k páratlan k_páratlan
Páros k indexekre viszonta ·
-L 2jt, p (50-n,k) = cos (50.n) k 100 j •
,, - 2íf) . _g)() = cos,k'll- nk 100 • cos \f•k· 100 • ptn,k) ,
ahorma.n 24
(23) A2(50-n) • > flk) p (50-n,k) •
k=2
k páros
24 -= + ~ f(k) p (5<>-n,k) • ~tn) •
k-2
k= páros
Összefoglalvas
viszont az ~tn) és A2tn) -re bizonyitott szimmetria-tuJ.aJdon
ság mia tt e legendó csak az
~(l), ~\3), •••• ~(23)
mennyiségeket kiszámitani.
42
~ \...)
összefoglalás.
Összefoglalva a kiszámitandó n. sorin;e:--1 · · eket• ==---- Dáros 4
1 menny~seg • ~ -e nem osztható páratlan ~-====-=---===--- n.
B. 4-el. • , A. 1 •
12 ; 12
•n\ l {f- l \ ~ = Iöö\f-- f 2 lk)p(n,k)J
k-l páratlan
a2 = r(o)- f(50)
f2(k)= f(k)-f(50-k) -
-f(50+k)+f(l00-k)
n= 1,3,5,7,9,11,13,
17,19,21,23
24
A~(n) = k(a2+ L:.~{k) p(n0 k):
ugyanaz
ugyanaz
k=2 páros
l
•{•)· ioo(•4+ L<4i<)p(n,k~ l A(n)· ioo (•,• L t 5(<)p(•,•\) k=l k=l
a4=fl0)+ f(25)+f(50)+fl75) a 5= f{O)- f(25)+ f{50)- fl75)
f4(k)= f(k)+ f(25-k) + f5(k)= flk)- f(.25-k) -
+ f(25+k)+ f(50-k} + - f(25+k) + f(5o-k) +
+fl50+k) + f (75-k) +f l75+k)+ +f (50+k)- f (75-k) -
+ f(lOO-k) - f(75+k)+ f(lOO-k)
n = 4,8 012,16 0 20,24,28, n = 2,G,lO,l4 0 18,22 0 26,30,
32,36,40,44,48 34,38,42,46 ! l
2.1.10. Az .. A" eset realizá~
.,A" eset
A l(N) = F 2(N)• r(n,N)
A l(N) • A 1(11) + F 2 (K) • S
A llK) = A l (K) + F 2 lNJ• S
44-
~ V1
p {l, l)
p (.3,1)
p (5,lJ
p l7 ,l)
Pt9,l)
p(ll,l)
Pt13,l)
p (15,1)
p(l7,l)
p (19,1)
p (21,1)
p (2.3,1)
p tl,3)
! p(.3,.3)
p(5,.3)
p (7 ,3)
p (9,.3)
p lll, 3)
p ~13,.3)
p(l5,3)
p(l7 ,.3)
p (19,3)
p(21,3)
p l2.3,.3)
p !;1.,5) p{l,7) P(l,9)
P(.3,5) p (3, 7) p (3,9)
Ip (5,5) p(5, 7) P(5,9)
p (7 ,5) l p (7 t 7) p(7,9)
p{9,5) p(9,7) IP l 9,9)
p (J. l, 5) p {ll, 7) Plll,9)
p {13,5) p(l3, 7) p (1.3,9)
p(l5,5) p(l5,7) P(l5,9)
Ptl7,5) p(l7,7) p{l7,9)
P(l9,5) p(l9,7) p (19 ,9)
P(21,5) p (21, 7) p(21,9)
p(2.3,5) p(2.3,7) p (23,9)
p (l,ll) P(l,l3) p t_l,l5J p (1,17) p(l,l9) p(l,2l) p (1,2.3'}
Pl3,ll) p {.3,1.3) p {3,15) p (3,17) PlJ,l9} p (3,21) p (3,2.3)
p (?,ll) p(5,13) p (5,15) P(5,17) p l5,19) p (5,21) p ~5,23)
p (7 ,ll) p(7,13) P{7,15) P(7,17) p(7,19.) p t7 ,21) P(7,23)
p(9,ll) P(9,1.3) p (9,15) p(9 ,17) p (9 t 19) p(9,2l) Pl9,2.3)
Ip (n, ll) p~ll,13) p(ll,l5) p (11,17) p lll,l9) p (11,21) p (ll,2.3)
p(l3,ll) Ip (13,13) P(l3,15) p (13,17) p ( 13,19) p (13,21) p (13,2.3)
pll5,ll) p(l5,13)_ l p ll5,15} plJ.5,17) p(l5,19) p (15,21) p(l5,2.3) .
p(l7,ll) Ptl7,13) p(l7,15) l p (17 ,17) Pll7,19) p(l7,2l) p(l7,23) 1
p(_l9,ll) p(l9 ,13) p(l9,15) p(l9 ,17) l p(l9,19) p(l9,2l) p(l9,23) l
p (2l,ll} p(2l,l3) p (21,15) p(21,17) p(2l,l9) lp(21,2l) p (21,23) i
p (2.3 ,ll) p(23,l3) P(2.3,15) p (2.3,17) p (2.3,19) p ( 2.3,21) l P\23 0 2.3)'
-~-.
4-. ábra
2.l.llo A ":S" eset realizáoió~a
..B·
N = l
A •lN) = A 2.
N = l
K =2
.A 2(N) = A 2(N) + F 2 (K) 11 S
K=K+2
2.l.l2o A páros indexü, 50 alatti !(nl együtthaták kiszá
mitása (A nC" és 11D" eset együttes realizáoiója)
A kiszámitásnál a következő tényekból indalunk ki
.. c" 4,8,12, •••• 40,44,48
12
.l.ln)• ~00 ~4+ > r4(k)p{n,kJ)
k=l
a4 = f{O) +f(25)+fl50)+ f(75)
f 4 (k)= f(k) + f (.25-k) +
+ f(25+k)+ f(5C>-k}+
+ f(50+k)+ f(75-k)+
+ f (75+k)+ f(lOC>-k)
D" " 2,6,10, ••• , 38,42,46
12 -.l.(n)~ ~O (a5+ Lr5tk) p(n,k))
k=l
a5 = f(OJ- f(25)+ f(50}- !(75)
f5(k)= f{k)- f(25-k) -
- f (25-lc) + f(5C>-k) +
+ f(5C>-k) - f (75-k) -
- f (. 75+k) + f (_J.OC>-k)
továbbá az alábbi értékek összehasonlitásábóla ._
. . il p (n,k) = oos (n•k• ~)
p (.50-n,k) = oos (k'ir- nok 2Jo) Ez újra osak módot nyújt a számitások felezésére, ugyanis hasonlóan
a korábbiakhoz
- páos k es etén p (n,k) = p (?o-n,k)
- páratlan k esetén p(n,k) = - p (50-n,k)o
Az összetartozó müveleteket az 5o ábrán tüntetjük fel. Igen lénye-
'
ges, hogy a párhuzamos müveleteket váltott 11C" és 11D" eljárással kell
s&ámolni, mert ha n 4-el osztható, akkor 5o-n már nem osztható 4-elo
/lsd. 5. ábra/
47
-ll indulás
c 2 4
c 6 8
10
D T indulás -
~
D ~
D c 12
14 ~
D c 16
18 ~
D c 20 l"-
22 c 24 c 26 D 28
D ~
~
30 D 32
34 D 36
38 D 40
42 D 44
46 D 48
c ~
c ~
c -c -c -
..... c
5 ábrd
48
I. indulás
AtN) • Al5)
A(N + 2) • A 4
S l " P~N 1 K)
S 2 = P(1'1 1 K+l)
A(N)• A(N)+ F 5(K) aS l + F 5(K+l) aS 2
A(50-N)• A(5Q-tl) - F 4LK) a S l + F 4 tK+l)K S2
K • K+2
N • 1'1+2
49
N • 4
K • l
S l = P(N,K)
Al_N)= A(N)+ F 4(K) BS l + F 4 lK+l) • S 2
A(50-N) = A(50-N) - F 5(KJ BS l+ F 5 (K+l} S 2
K = K+2
N • N+4
50
2.2. A transzformáció képzetes része
A transzformáció képzetes részét az
99
ll) 5 fi"' sin l nk 21'f00l ) B(n) • ~00 "-" X:
k-0
egyenlet definiálja, ahol n = 0,1,2, ••• , 99o
A szokásos mátrixmUveletekkel kifejezvea
..,. ..., B(O) i sin(O.Oooi.) sin (o.l.~) ••• sin(0.99.~)
i ' sin (l.o.~ l sin tJ..l.~) B(l) l • o o sin (l o 99 .o(.) '
B(2) l sin{2o0o~) sin (2.1.~) sin(2o99o')l..) í ••• t
B{.3) j. sinl.3o0o~) sin (.3olool) • •• sin (.3o 99o()(..)
• ' • o o
• o o
~
sin (99 .o .ct) sin [99 .l.o(.) • • • sin (99 o 99 • "-)J ahol CÁ.• 2
100 •
összevont alakban
B .\A. t - -
f(O)
f{l)
f(2)
l:()J L l l •
! i l .
lfl99) : L ~
Hasonlóan a valós részhez, a gyorsitás lehetóságeit elsósorban a
j3 mátrixban mutatkozó redundanciában kell keresnie
Legyen
51
Ekkor
~ = (q n,k) lOO:z:l.OOo
A továbbiakban a~ mátri% szimmetria tulaj donaágai t fogjuk meg
vizsgálni.
2o2ol A g,yorsitás kérdése egy B(n) kiszáraitása esetép
Először azt mutatjuk meg, hogy
(2) l q (n,k) = - q (n, lDO-k) l
Ugyanis
2'ir 2í! = sin Ql• 2''{i - nk lOO ) = • sin( nk lOO ) •
Ezt felhasználva az {l) egyenlet a következő alakba irbat6 át&
49
t3) B(n) • ioo L~ (k) q (n,k) k=l
(4) f~tk) = f{k)- f(lOÓ•k)
/Kihasználtuk, hogy q(n,o) = q(n,50) = o./
52
..
2.2.2. gyorsitás páros sorindexek esetén
Tekintsük a (3) egyenletet, amikor n • 214, ••• ,98 1 és tekint
sUk a
értékeket. Megmutatjuk 1 hogy
l6) r q(n,5o-k) • - q(n,k)
ahol n • 2141 ooo,98 és k • 1, ••• ,25
Ugyanis páros n eáetén
{;t J .. 100.
l· f:"J 2 ·ji (' 2 7I" ) = sin \n l t - nk 100 • sin -nk I'öO" =
2'"" = - sin (nk ~~) = - q (n,k) •
Ezt felhasználva a (3) egyenletet a következő alakba irhatjuk
át l figyelembe véve, hogy q tn1 25) ... o.
24
{7) l B{n)=roo .. > ~(k} q (n1k)
k-l
ahol n • 21 4, ••• , 98 és
f~lk) = f~(k) - ~(5o-k) azaz
53
(8) f~(k) = f(k) - f(5o-k) + tl50tk) - f{lOO.k)
2.2.3.. Gyorsitás kérdése páratlan sorinde:x:ek esetén
TekintsUk a (3) egyenletet az n == l,J,uo 199 esetekre.
Megmutatjuk, hogy
(9) ! q (n,50-k) • q(n,kJ ]
Ugyanis
q(!l,5ű-kJ = sin (n (50-k) ioo ) =
r- zii) 1. 2i1) = sin~ 11 -nk 100 = sin \.nk 100 =
= q(n,k)•
Ezt felhasználva a (3) egyenletet irjuk át a következőképpena
24
{10) B(n) = 1~ (~(25) ain (n1[) + ) t) lk) q (n,kJ)
k=l
(ll) f;(k) = f(k) + f{50-k) - f(50+k) - f(lOo-k)
Ezeket az egyenleteket még tovább bontjuk a későbbiek folYamán.
54
2.2.4. Gyorsitás kérdése 4-el oszthat6 sorindexek esetán
Legyen n = 4,8,12•••• • Megmutatjukt hogy
ll2) l q (111 25-k) = - q (.n1k) J
Ugyanis
r 21t] q tn,25-k) = sin Ln (25-k) 100 =
....IL- 2_.) . 211'") = sin (n • 2 - nk 1~0 = - sin \nk lOo =
...
= - q ln,k)
Ezt felhasználva irjuk át a (7) egyenletet a következő m6dona
12 ·-(13) B{n) = ioo L f: lk) q tn,k)
k-l . -ahol
azaz
(14) ~(k}= f\k) - f (25-k) + f\25+k) - f(5o-k) +
+ f(50+k) - fL75-k} + f (75+k) - f(.lOO-k)
55
2o2.5. Gyorsitás páros, de néggyel nem osztható soripd!l!k
eset én
Legyen n = 2 1 61101 uo ·~ !legmutatjuk1 hogy
Ugyanis
q (n125-k) = sin [n (25-k) iJo J =
r:t' 2'-) 2~ = sd.n ~ T - nk -Poó = sin l nk l8o ) =
= qln1k) o
Ezt felhasználva a l7) egyenletet a következő alakba irhatjuk áta
12
ll6) B(n) = 1~0 2 :r;lk) q (n1k)
k=l
ahol
azaz
tl7) f;lk) • f(k) + f(25-k) - f(25+k) - f(5o-k) +
+ f(50+k) + f(75-k) - fl75+k) - f(lOO.k)
56
"' ~
2.2.6. Összefoglalás I.
n sorindex
24
B (n)= 1~0 (a;~}+ l f;(k' q (n,k))
\ k=l
a~ln>=G(.25)- f l75)] sin (n-}-)
~lk\= flk)+ f(5o-k)- f{50+k)-fLlOO+k)
. l B ln)= !öö
12
2 f:(k') q (n,k)
k=l
~lk) = f(k)- f (25-k) +
+f (25+k)- f (50-leJ+
+f(50+k)- fl75-k)+
+f(75+k)- f(lOO+k)
l B(n)= loö
12
~ f;(k) q(n,k)
k=l
f;lk) = flk) + f(25-k) ~
- f(25 +k) - f(50-k} +
+ f(50+k) + f(75-k) -
- ft75+k) - f (1.00-k)
2.2.7. Alapvető szimmetriatulajdonságok a B(n) egyq~~ó§
Megmutatjukt hogy
( lB ) q (}.00-ntk) • - q (ntk)
Ugyanis
[ 2'jj 1 q {lOo-n,k) = sin (l.oo-n) • k 100 •
Ebből következik, hogy
(19)
Mivel
l B(lOO-n) a - B (n)
B{lOO-n) l = loö
99 .-l__ flk) q (loo-ntk) ..
k-0
99 .--= - ioo L_ flk) q (ntk) = -B(n) •
k=O
Elegendő tehát csak a
l 20) B(O) t B Q.) t •••t Bl50)
együtthatókkal foglalkoznunk.
58
2o2o8o Speoiális B(n) együtthat6k
49
(22) B(25) = l~ >- ~l)k f(2k+l)
k•O
2J l Bl50} • O l
2o2o9o Páratlan n indexü B(n) eg,yUtthat6k felbontása
Tekintsük a {10) egyenletet és irjuk át a következő alakba:
'
ahol
23 -(25) B1 tn} = L f;(k) q (n1 k)
k=l k páratlan
59
24 ,_ (26) B2{n) =~-~L f; (k) q (n,k)
k=2 k páros
Tehát a (24) -et visszavezettük a (25) és {26) kiszámitására.
Legyen k páratlan, ekkor
Ugyanis
Ít 2ji" 1 ql5<>-n,k) = sin~5<>-n) k 100 =
2l ' = sin lk \i' -nk 100 ) = sin l nk
Ebből pedig az követltezik, hogy elegendő osak a
(28) l ~ll) , B1l3) , ••• , ~(23)
együtthatókat kiszúmitani, mert
Mivel-páros k értékekre
60
O' N
2o2ol0. Összefoglalás Ilo
A
r n sori.ndex páratl.Em
J;/7_, s B -
23
Biln) = f~ (25) sin (n ·~) + ~ k=l
f;(k) q(n,k)
k p4ratlan
tiC25)= f(25)- fl75)
t;tk) = f(k) + f(50-k) - f(50+k) -
- f(lOo-k)
n • l, 3, 5, ••• , 23
24 -B2(n) = L_ t;(k) qtn1kJ
k-2 k páros
ugyanaz
UQ8D&Z
(J'. l...)
"
l
i n sorindex páros l -tA D 1 ~, ---=~--12----------~,
' B(n) = -& / t; tk) q ( n 1k) "-
c
12
D(n) = 1~0 L f:lk) q ~n1k) k•1 k•l
f lk'- f (25-k) + f(k\ + f;__25-k'-
!ll + f(25+k)- f (?0-k)+ f \k)= 4 " + f(50+kJ- fl75-k)+
-f{25+k) - f(50-k) + r;(k) •
+ f{50+k)+ fl75-k:) - l + fL75+k)- :f(l.OO..k' - ff75+k)- f/10~k) l ' . . l .
n = 4, a, 12, 16, 20, 24, 28, 32, n = 2, 6, 10, 14, 18 1 22, 26, 30, l 36, 40, 44, 48 34, 38 11 42 1 46
B l(H) = F(25) - F (75) + l .3 CS (.N) K QlN,N)
N = N+4
B l{N) = B llN) + P 3 CS (K) • S
B l (.K) = B l (K) + P 3 CS \N) • S
K = K+2
N .. N+2
2o2,l3. A páros sorindexü 50 alatti Bln) együtthaiéi
kiszámi tásao l A "C" i!! 11 D11 e set realizációja l
Hasonlóan a valós részhez, ezek kiszámitásához szükséges mUve-
letek mennyisége /durván számitva/ megfelezhet6.
Hasonlitsuk össze az alábbi kót mennyiségeta
2 u q \n,k) = sin (nk 100 )
q (.50-n,k) = sin ( k'ir- nk 2~ tJ ) 100
Ebből azonnal látszik, hogy
- páros k-ra q(5o-n,k) = - q (n,k)
- páratlanokra q (50-n,k) = q(n,k) ·
Az összehasonlitás az 5o ábrán újra áttekinthetőo
Hasonlóan a valós részhez, itt is lényeges, hogy a párhuzamos
müveleteket váltott nC" és 11D11 eljárással kell ssámolnio
66
N • 4
K =l
S l = Q(N,K)
S 2 = Q(N,K+l)
B(N) = BtN)+ ! 4 CS(K)H S l + F 4 CS(K+l) H S2
B(5o-N) = B (50-N)+ F5 CS{K) • S l- F5 CS(K+l)• 82
K = K+2
N • N+4
A végén valamennyi B(n) értéket l-l) •el kell szoroznil
68
A inverz Fourier t~anszformáci6
Az
{l) f{O) , f(l) , ... , f{N-l)
alappontokban adott /valós vagy komplex/ függvény diszkrét
Fourier transzformáltján a
(2) Z(O) t Z(l) ••••• Z{N-l)
sorozatot értettük, ahol
N-1 l~
Z(n) =u-- .:.:.__ f(k) ink 2r
- N e
k•O
és n • O,l,ooo, N-l.
Ismert, hogy a transzformáció megforditható, azaz létezik az
inverze.
A transzformáció inverzét a
f(k)= Z(n) e i
n=O J ~---------------
69
egyenlet szolgáltatja {k = o,l,ooo, ll-l) t
A továbbiakban mi részletesebben osak azzal az esettel foglaL
kozunk, amikor az (l) sorozat elemei valós számoko
3.1. Az inverz transzformáció valós esetben
Láttuk, hogy a diszkrét Fourier transzformáció az {l) valós so
rozatot egy olyan t2) komplex sorozatba vitte át, melyre
l 3) Z {n) = Z (N-n)
és Z(O) , Z ( ~) valós számok voltak.
Ha a {2) -t felbontjuk a
A(O) , A(l)
B(O) , B(l)
módon, ahol
(5)
•••••
A (N-l}
B {N-l)
akkor ez azt jelentette /kihasználva a már bizonyitott szimmetria
tulajdonságokat/, hogy a (2) sorozatot egyértelmllen meghatározza
az alábbi két, valós t~okból álló soro~ata
A(O) , Atl) , ••• 1 A ( ~ )
B(l) 1 B(2) , ••• t B (~- l) t
mivel B ~O) = B (~) • O.
70
Azaz N tagból álló valós sorozat diszkrét Fourier transzfor
máltja ugyancsak N tagból álló sorozattal jellemezhető.
Megmutatjuk, hogy ez megforditva is igaz. Az inverz transzfor
máció az olyan komplex sorozatot, amely a {3) -nak eleget tesz,
valós sorozatba visz áto
Ugyanis
N-l ink 2T 2_ Z{n) e N = Z(O) + (-l)k Z ( ~ ) +
n= O
N/2-l ink 2'7i"
N-l 21j
+~ +L ink: N Z(n) e N Z (n) e •
N n-l n=~l
. ._ ink~
N/2-l N/2-l
+~ .l
Z(n) e N + ~ i(N-n)k
2:
ZlN-n) e =
n= l
= z (o ) + (-l )le z (: ~ ) +
N/2-l
+) ink 2fi
Z (n) e N +
n= l
k N ) = Z(O) + (-l) Z (~ +
n= l
N/2-l
L Z \n) e
n • l
ll.. ink: N =
71
Il/2,.1 2 r.- N/2·1 2~ - ink-U.. I_ ink~
+2_ Z tn) e N + Z tn) e N :;:
n = l n= l
= Z (O) + (-1 )k Z ( ~ ) +
N/2-l ink 211 ink n] + 2 [Z (n) e N + Z(n) e N •
n= l
N/2-l
)le ·N \ = Z\0) +(-l Z t~, + 2oRe L
ink 2lr Z(n) e N •
n= l
Ebből az állitásunk már leolvasható, figyelembe véve, hogy Z t-1-) valós, és Z(O) is valóso
Ezek szerint az inverztranszformációhoz /valós esetben/ ugyanosak
N számú adat szUkségeso
30 2o __ Az eredeti /mért/ adatok visszaállitása a Fourier lranszfor
máltból
Tekintsük az (l) mért adatokat és azok (2) Fourier transzformált•
j áto
Megmutatjuk1 hogy teljesül az alábbi egyenlőség&
l7) f(k) = Z lO} + (-l)k Z ~ ~ )+
+ 20 Re [ ~ Z(n) eink
2
~ J ' n = l
72
ahol a Z(n) (n = o,l,ooo, N~l) mennyiségeket a (3) egyenlet de-
finiálja és k • O,l, ••• ,N-1.
TekintsUk evégből a (3) -nak az (5) felbontását, ahol
N• l
(8) A{n) • + o L f(~) • p(n,-t)
~-o
N-l
L9) B{n) = + , I. t(-8)• q(n,t) ,
~-o
és n • 0,1, ••• , N-l o
Legyen z-c. n) = z (n) t ha n ... 1,2, OOOJ 1!/2-l és legyen z•( n)•
= Z(n) /2 ha n • O és n • ~ • ..v Irjuk át a (7) egyenletet az alábbi összevont alakbaz
(10)
Ez az egyenlet, figyelembe véve a (8) és (9) egyenleteket, valamint
azt, hogy
(ll) ink i"·
e == p ln,k) + ioq ( n1k)
a következő alakba irh*tóz
N/2
(12) f(k) • 2 • 2 [A•(n) P(n,k) + Íl•(n) q (n,k)J
n-O
;Kl Ezt az irásmódot az egyszerUség /rövidebb irás/ helyett vezettük beo Ezt a továbbiakban úgy kell f~elembe venni, hogy ha n ezerint összegzUnk, akkor n-O és n--r esetben az összeadandó fele értendóo
7 J
Bontsuk fel a (12) egyenletet az alábbi m6don
(13} f(k) = fl{k) + f2 (k)
ahol
N/2 -(.14) fllk) = 2 L A•(n) p(n1k)
n-O
N/2
(15) f2(k) = 2 2 B•ln) q (n1k) o
n• O
HelyettesitsUk be a (8) és (9) egyenleteket a (14) és (15) egyen.
letekbe:
N/2 N-l
(16) t 1(k) ~ i 2 (2 f(tl p(n,B))P (n0k)
n=o -e-o N/2
(17) L N-l
() t(f.J q ln,t))q (n,k)
t-o CseréljUk fel az összegzés sorrendjét a (16) és (17) •ben, vala
mint emeljük ki az t(t)értékeket, akkor a következőket kapjuka
N-l N/2
(18) ~ f{t)) p(n,e) Ptn,kJ 2 =-N
e.o n=O
N-l N/2
(19) t 2tk) = i ~ ttt) ) q(ne). q (n,k) ,
~-o n•O
74
VezessUk be az alábbi jelölésekata
N/2 -l 20) s1(.( ,k) = : 2_ p(n,e) p(n,k)
n-O
N/2 -(21) s2(t,k) • i 2_ q(n,e) q (n,k)
n-O
Ezekkel a jelölésekkel a (lB) és a (19) a következő alakba ir
hatóa
N-l
(22) t 1 (k) • L :f(l)s1 (l ,k)
~=0
N-l
(23) f 2(k) • L t(f,) s 2 (-l,k) ...t .. o
A továbbiakban azt fogjuk megmutatni, hogy
.! ha t lll k 2
(24) sl(e ,k) =
o ba tt~k
.! ha e. k 2
l 25) s2(t,k) •
o ha e" k
Induljunk ki az sl(e,k) vizsgálatábólo
75
N/2
(26) "l( e.k) • i r cos ( n8) 2J ) cos (nt 21 ) n= O
Mivel
(27) 2 COS XoCOS y = COS (x+y) + COS (X•Y) t
ezért a (26) egyenletet átöhatjuk a kéSvetkező m6dona
(28) sl-l ,t) = sll( t ,t) + sl2te ,k)
ahol N/2
l 29} sll(-t,t) l L_ cos [n(l+k) if J =-N
n-O
N/2
(30} s12(l 1k) l > 008 [n(t-k) 2r J =y n= O
Tekintsük ezek után egy rögzitett e és k értékre az
~31} y • cos (ax}
függvényt, aho l
A függvény menetét a 6. ábrán vizsgálhatjuk meg.
A számitásokat nem részletezzük, de a 6. ábrából is Tilágosan ki
derUl, hogy a (29) összegben ugyanannyi érték szerepel /és U8J&n
olyan abszolut értékU/ pozitiv, mint negativ előjellel, igy a
(29) összeg minden e és k értékre eltünik.-'
HJ Ugyanerre az eredményre juthatunk akkor is, ha a (29) CSsasaget integrálközelitó összegnek tekintjUk és a (31)-et ~egrálJuko Sőt, tudva a coszinusz rendszer ortogonalitását ez már a (26) -b6l is kiderül. Nyilván ugyanez érvényes a szinusz-rendszer.re ise
76
Ugyanezt mondhatjuk el a (30) összegról is, kivéve azt az ese
tet, amikor e= ko Ekkor viszont a (.30) összeg éppen ~ -et
ado
Ezek után, figyelembe véve a (22) és (2.3) -at kapjuk, hogy
(.32) l --2 f{k)
ez pedig val6ban a (1.3) egyenlőség teljesUlését jelenti. ·
Ezzel megmutattuk, hogy az inverztranszformáció valóban vissza-
állitja a bemenő adatokat.
77
3o3o Az inverztranszformáció vissza vezetése az előre irá-
pYUló transzformációra
Az inverztranszformációnál tehát a
N/2
(34) f(k) =2 • Re[>
n=O
egyenletból indulunk kio
Legyen tehát adott a (3) tulajdonságnak eleget tevő
(35) R(O) t R (l) t•••t R (N-l)
komplex sorozat.
Feladat a l35) sorozatot inverz-Fourier transzformálnil azaz
megkeresni azt a tg(k}}sorozatot• amelyet az előre irányuló transz
formáció (35) -be visz.
Irjuk át a {34) -et a (35) behelyettesitésével:
Irjuk át a (36) -ot a következő alakba:
ahol N/2
(38) g1~k) = 2 • 2_ CH(n) p (n,k)
n=O 79
N/2 -(39) g2(k) = 2 • }__r!( n) q(n,k)
n• O
és
Válasszuk le a speciális indexeket a (38) és (39) összegekbólf
/vegyük figyelembe, hogy a ppeciális indexeknél nincs 2-es azor
zál/
l4l) g1(k) • l. [ C(O) + (-l)k C ( ~ )J+ N/2•1
+ 2 o L C(n) p(n,k)
n= l
N/2-l -("42) g2(k) = 2 • 2__ D(n) q (n1k) o
n= l
Vezessük be a következő jelölésekata
(43) hlk) = C(k} + D(k) (k = 0,1, ••• , N/2)
h(N-k)= C(k) • D lk) (k = 0,1, ••• , N/2)
Oldjuk meg ezt az egyenletrendszert C(k) és Dlk) -raa
l 45) C(k) = t- (h (k) + h(N•k))
t46) D(.k) = t (h (k) - hlN·k})
80
HelyettesitsUk ezeket először vissza a (41) egyenletbe:
f47 \ ' )
N/2-l
p(n1 k) =
N/2-l
k N '-.... = hlO) + (-1) h fT)+ h(n) p (n,k) +
n = l N/2-l
+ ~ hlN-n) p (n1 k\ = h(O) + (-l)k h\ ~ ) +
n= l
N/2-l -\ N/2-l
+2_ hln) p (n,k) + ~ h(N-n) p (N-n1k) = ,/
n = l n= l
I'l/2-l N-1
+ ~ htn~ L_ ~·
', p ,,n1k) + L h(n) p (?,k) =
n = l n=N/2+1
N-l
= > htn) p (n1 k)
n=O
Hasonló levezetés érvényes akkor is, ha a {42) egyenletból in-
dulunk ki:
B l
N/2·1
(48) q2(k) = 2_ [h(n) - h(N•n)J q (n1kJ =
n = l N/2-1 N/2-1
= L h(n) q (n,k) • L h(N-n) q {n,k).
n = l n= l
N/2-l N/2•1 ~ -
= L h(n) q (n,k) + L h(N-n) q (N-n,k) •
n=l n=l
N/2-1 N-l
= 2__ h tn) q (n1.k) + L htn) q (n,k) =
n = l n=N/2+1
N-l
= ~ hln) q (n1k) •
n= O
összefoglalva:
h(n) = Ctn} + Dln)
~49) hl.N-n) = C (.n) - D (.n)
N-l
g1tk) = ~ h(n) p ln1k)
(51) n=O
N-l -g2\k) = 2_ h(n) q (n1k)
n-O
82
A g(k) értékeket pedig - ami az (51)-ból kitunik - az előre
irányuló Fourier transzformáltból kell kiszámítani.
3o4o Az inverztranszformáció realizálása
Legyen adott az
(52) R(n) = C(n) + i D (n) (n = o,l, ••• , 99)
komplex sorozat. Ennek akarjuk megkeresni az ósétoK/
o
l
50 51
99
REALR
C(O)
C(l)
o
o
..
c {50)
C{51)
• •
"
p ~99)
o
l
50 51
99
DllliA GR
l D\0)
l D~l) l o i l ~
D(50)
D \51)
o
o
•
l ID( 99)
lf./A két tömb lehet 11összefésUlt" iso
D(OJ , D (50) zérus
R(n) = R(lOO-n)
8 J
B 4
Legyen továbbá adott egy olyan előre irányuló Fourier transz-
formáció, amely az alábbi rajz szarint végzi a transzfor.máci-
ó"!i:
o
l
50
51
52
99
;-
F D'iPUT
f(O) ~-·-
f 1 l\ ' l
•
•
<
ft50)
f (51)
f ('52\ . )
•
o
.. l l
f'_,99\ ..____ ____
· f{Oi, f\1) , .... ,
(('-~
-"'-l'
o
l
50
51
52
99
F OUTPUT
A(O) --A(l)
• \'
A(50)
B (l)
B (2)
•
•
"
B: .. 49~-
r,.... [ A(O) 0 A(l)
f(99JJ4 ...• t :3( l) Bt O)
, .... A(99) l i , ... , B(99) j
49
50
51
99
o
l .,. , ,
o .1.1epes:
F INPUT
hl O)
h(49)
b(50)
hl5l)
hl99}
Generáljuk a bln) értékeket
F IN?UT l O) = REALR (O)
N = l
F Dl PUT ~ N) = HEALR ( N ) + llli.1AG :. N \
85
20 Lépés; Behivjuk a Fourier transzformátort és a g1(k) ill.
g2(k) értékeket visszatesszük a REALR és IIIAGR
86
tömbökbe.
CALL FOUR{_F INPUT)
REALR ~O) = F OUTPUT (O)
REALR ( 50) = F OUTPUT l50)
IMMAG (O) = OoO
IMMAG t50) = OoO
N = l
REALR (N) = F OUTPUT (N)
REALR llOű-ll) = F OUTPtJT {N)
N = N+l
88
.3. Léués: Plo az F INPUT helyén generáljuk a kivánt g(n)
értékeket.
N a O
F lllPUT (N) = (REALR {N) + IMMAG t N)) • lOO
it_ --Fourier transzformáció kiszámitása Hornar-elrendezéssal
Az alábbiakban egy olyan egyszerU módszert mutatunk be a disz-
krét Fourier transzformáció kiszámitására, amely a transzfor
máoiót ~ég elfogadható" időn belül végzi el, ugyanakkor rend-
kivUl röviden és egyszerUen programozható.
A számitásaink alapjául a közönséges polinomok helyettesitési
értékének kiszámitásakor használatos Uono Horner-elrendezés SZ•>l-
gál.
4.1. A Homer-elrendezés
Tekintsük a követkazó egyszerU példát&
Ki akarjuk számitani a P(x0
) helyettesitési értéket.
A számitásainkat a "hagyományos" sorrend helyett az alábbi sor
reniben végezzük el:
Ilyen módon l nbelülról kifelé haladva"/ három "lépésben" J:iszámi·t;
batjuk a P(XQ~ értéket, ahol egy nlépés" alatt egy szorzás és egy
összeadás egymásutánját értjük.
89
TekintsUk ezek után a problémát általánosan:
Legyen adott egy
polinom és számitsuk ki egy x0 helyen a helyettesitési értéket,
a prx..,.' -t. \,U'
A számitásokat a következő rekurziv módon végezzüks
bo = a o
b l = bo xo + al
b 2 = b l xo + a 2
b 3 = b2 xo + a 3 o c;
t.
h = b , x0
+a n n-... n
Visszahelyettesitésekkel lrekurziv módon) könnyü arról meggyó-
z5dni, hogy
Ezek szerint a PlXo) -t n egymásutáni lépésben ki tudjuk szá
molni, ami egy 11hagyományos" számitási sorrenddel szemben ;Jóval
kevesebb mUveletet igényelo /KönnyU a két módszer .müveletigényét
összehasonlitani; ebből ~iderül, hogy csak fele annyi szorzás szük-
séges, mig összeadás ugyanannyi. Ez lényeges, hiszen éppen a azor-
zás az, aminek hosszabb a végrehajtási idejeo/
Számitástecluaikai szempontból azonban van a Harner-elrendezésnek
90
•
egy másik, legalább ilyen fontos előnye is.
Ez pedig a lépések uniformizáltsága.
Ez azt jelenti, hogy szemben a "hagyományos" számolási mód-
dal a feladat egyetlen ciklusban szervezhető.
Az alábbi folyamatábra jól mutatja a kiszámitás egyszerüségét1
o
• o
t
B : = A(O)
B : = B K X O + A l I)
.. '
nem ~ I : ". I+ l l
Ezzel a helyettesitési értéket kiszámoltuko
Megjegyezzük még, hogy a Herner-elrendezésnek van egy másik előnye is, ami számi tástechnikai szempontból egyáltalán nem lebecsUlendőo Ez a következő:
Tekintettel arra, hogy általában magas fokszámú polinomokat kell kiszámolni, ezért nagy az együtthaték száma. Ez azt jelenti, hogy viszonylag nagJ' az input ami sok hibalehetőséget rajt magában. Másrészt hardware-hibák is előfordulhatnak.
A Homer-elrendezésset alkalom nyilik arra, hogy a számitási eredményeket ellenőrizzük! ami általában az input és a hardware-hibák ellen nyújt vedelmet.
91
A módszer a következóo
~dnnyen megmutathatjuk /az azonos fokszámú x hatványok együtthatóinak az összehasonlitásával/, hogy
n n-l -t· n-l n.-2 v. a0x +a1x +,,.+an-lx+an•\bOx +b1x +ooo+bn-ll\.x-Xo)+ bn
Vegyük speciálisan az x = l helyettesitést. Akkor azt kaPjuk, hogy
Ez az összefüggés véd a hardware-hibák elleno Ugya: is ugyanabban a ciklusban, amellyel a Homer-elrendezést számoljuk, lehetőség van a fenti képlet jobb és bal oldalának a kiszámitására / 11gyüjtésére"/• A végén ellenőrizzük, hogy teljesül-e az egyenlőség. Ha nem, akkor hardware-hiba volt.
4o2o A diszkrét Fourier-transzformáció és a Homer-elrendezés
A diszkrét Fourier-transzformáeiét az alábbi egyenlőség definiál-
ja:
N-l -At n) = 2_ f (k) wnk
i 211"' JJ/ (n= o,l, ••• ,N•l f W a e- N )
k=O
Irjuk át ezt a következő alakba:
N-l _ k
Atn) • L flk) .~,n J (n = o,l, ••• ,N-1)
k=O
Ebből a felirásból azonnal kiderül, hogy A(n) ~ z a wn fkAiplez/
változónak egy N-l-ad fokÚ polinopQa.
Ez pedig azt jelenti, kogy az A(n) értékek Horner-elrendezéssel
számolhatók ll
R/ Az N-l faktortól egyenlőre eltekintünk,
92
40 30 Alapvető gyorsitási lehetőségek
Az alábbiakban megvizsgáljuk azon wgyszerü gyorsitási lehető-
ségeket, melyek egyszerU szimmetria okokból következnek, de
osak azokat vesszük figyelembe, melyek mallett még az egYszerU
Homer-elrendezéssal számolhatunk,
Az N = 100 esetet tekintjük0
Az input valós természetéból egyszerUen következik, hogy
A(n) = A{lOO•n) (n = 1,2, ••• ,50)
Ez azt jelenti, hogy elegendő osak az
99
A(n) =2_ f(k) vF . k-O
(n = o, l, ••• , 50 )
értékeket kiszámolnunk.
Másrészt tetszőleges n-re
. wnk ha n páros
wD(50+k).
ha n páratlan
Ezt figyelembe véve a következőt kapjuk&
49
A~n) = ~ :rl'(k) wDk (!'tk) = f(,k)- f(50+k) f n = 1,3, ••• ,49) ,
k=O
49 Aln) = ~ f'B(k)vruc
k•O
A speoiális együtthat6kat célszerü külön számolnit mivel
93
AtO} = f{O) + f(l) + ooe + f(99)
' A(50) = fl O) - f(l) + f(2) - f{3) + OOO + f(98} - f(99)
ezért a
49
At50)• > ',:rl'(k)(-l' k
k=O
(n • 214,6, ••• ,48)
49 [ k
A(n) • ) : f'\k) Yl'-J (n. 1,3,5, ••• ,49)
k-0
94
ALAPSPECIFIKÁCIÓ INPUT ~~~ OUTPUT /meg fog egyezni az inputtali
Í\0~ A (o) AA l BA l H tiszta valós
2
3 4 5
5o
l
AB 2
3 4 5
5o
ftl) fi 2) fl3)
fl 4'
f(49)
f(5o)
fl5l)
f (52J fl53) f (54)
ft99)
2
3 4
5
5o
l BB 2
3 4 5
5o
Az e~yes tömbök deklaráoióia
AA l50)
AB (50)
BA (50)
BB (50)
Atl) ['""'' A( 2) lr(J)
At 4)
~
• Q valós részek
l
A(49\ lJ
A(5o> l~ Al ll
• tiszta valóa
Al21 A(3) At 4)
}l képzetes részek
Al49} _)
95
BA
BB
lo J.ÉPÉS, /Az t• és f"1' kiszálnitása és az A{Oj, Al50) kiszámitása./
:fa
f' (49)+ f' {_99) AA
f (48)+ f (98)
ft 47)+ :f(97)
f (46)+ f'(96)
o
o
o
f(.l) + f(?l)
f (O) + f' l50)
ft 49) - f' (.9~) AB
f(48) - f~8)
f (4 7) - f' t97)
f(46) - f(96)
o
o
"
f(l} - f (?l)
flO) • f'l50}
2, LÉPES.
A(O) =i: :tiBI
o
o
o
A(50)=L~
o
o
o
~
\
"
'J
/a második Urea lépésben
tCSltjük ki/
/a második lépésben
Ures tCSltjük ld/
Az 11alapspecifikáció" szarinti végleges állapot létnhozása.
96
A DFT fo1Yamatábrái
,, !fOPR06R.A M
,---- ·--------~~ l II::. -1 l : . .
\Sh o.o l
\Sl-:SHsswj
~
l l l z.. lil pes
.ZOésZ.f= c). P(- i.•ALF.A) ·~
lN-: '-
CA LL *;~to HOR~IöR; f'A1
ROS
CALL* f.IOR~,;R j PLI\U
z.~PCZ$
l HQA.ijf:R j PARATUHI l'l'L- tC
"*
97