利用频率估计概率

人教版九年级上册第二十五章

§25.3.1

知识回顾

同一条件下 ,在大量重复试验中 ,如果某随机事件 A发生的频率稳定在某个常数 p附近 ,那么这个常数就叫做事件 A的概率 .

问题 ( 两题中任选一题） :

２ .掷一次骰子，向上的一面数字是６的概率是＿＿＿＿．

P(A)= mn

１ .某射击运动员射击一次，命中靶心的概率是＿＿＿＿．

命中靶心与未命中靶心发生可能性不相等

§25.3.1 利用频率估计概率

试验的结果不是有限个的

１６

各种结果发生的可能性相等试验的结果是有限个的

等可能事件

　　某林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率 ,应采用什么具体做法 ?　　观察在各次试验中得到的幼树成活的频率，谈谈你的看法．

估计移植成活率

移植总数（ n） 成活数（m）10 8

成活的频率0.8

( )n

m

50 47

270 235 0.870

400 369

750 662

1500 1335 0.890

3500 3203 0.915

7000 6335

9000 8073

14000 12628 0.902

0.94

0.923

0.883

0.905

0.897

是实际问题中的一种概率 ,可理解为成活的概率 .

数学史实　　人们在长期的实践中发现 ,在随机试验中 ,由于众多微小的偶然因素的影响 ,每次测得的结果虽不尽相同 ,但大量重复试验所得结果却能反应客观规律 .这称为大数法则 ,亦称大数定律 .

由频率可以估计概率是由瑞士数学家雅各布 · 伯努利（ 1654 － 1705 ）最早阐明的，因而他被公认为是概率论的先驱之一．

频率稳定性定理

估计移植成活率　　由下表可以发现，幼树移植成活的频率在＿＿＿＿左右摆动，并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显 .　　所以估计幼树移植成活的概率为＿＿＿＿＿．

0.9

0.9

移植总数（ n） 成活数（m）10 8

成活的频率0.8

( )n

m

50 47

270 235 0.870

400 369

750 662

1500 1335 0.890

3500 3203 0.915

7000 6335

9000 8073

14000 12628 0.902

0.94

0.923

0.883

0.905

0.897

　　由下表可以发现，幼树移植成活的频率在＿＿＿＿左右摆动，并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显 .　　所以估计幼树移植成活的概率为＿＿＿＿＿．

0.9

0.9

移植总数（ n） 成活数（m）10 8

成活的频率0.8

( )n

m

50 47

270 235 0.870

400 369

750 662

1500 1335 0.890

3500 3203 0.915

7000 6335

9000 8073

14000 12628 0.902

0.94

0.923

0.883

0.905

0.897

1. 林业部门种植了该幼树 1000 棵 ,估计能成活 _______ 棵 .

2. 我们学校需种植这样的树苗 500 棵来绿化校园 ,则至少向林业部门购买约 _______ 棵 .

900

556

估计移植成活率

共同练习

51.54500

44.57450

39.24400

35.32350

30.93300

24.25250

19.42200

15.15150

0.10510.5100

0.1105.5050

柑橘损坏的频率（ ）损坏柑橘质量（m） / 千克柑橘总质量（ n） / 千克 n

m

　　完成下表 ,

0.101

0.097

0.097

0.103

0.101

0.098

0.099

0.103

　　某水果公司以 2元 /千克的成本新进了 10 000 千克柑橘 ,如果公司希望这些柑橘能够获得利润 5 000 元 ,那么在出售柑橘 (已去掉损坏的柑橘 )时 ,每千克大约定价为多少元比较合适 ?

为简单起见，我们能否直接把表中的 500 千克柑橘对应的柑橘损坏的频率看作柑橘损坏的概率？

　　利用你得到的结论解答下列问题 :

　　根据频率稳定性定理，在要求精度不是很高的情况下，不妨用表中的最后一行数据中的频率近似地代替概率 .

共同练习

51.54500

44.57450

39.24400

35.32350

30.93300

24.25250

19.42200

15.15150

0.10510.5100

0.1105.5050

柑橘损坏的频率（ ）损坏柑橘质量（m） / 千克柑橘总质量（ n） / 千克 n

m

0.101

0.097

0.097

0.103

0.101

0.098

0.099

0.103

为简单起见，我们能否直接把表中的 500 千克柑橘对应的柑橘损坏的频率看作柑橘损坏的概率？

　　完成下表 ,　　利用你得到的结论解答下列问题 :

试一试1. 一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共 1 000尾，一渔民通过多次捕获实验后发现：鲤鱼、鲫鱼出现的频率是 31%和 42%，则这个水塘里有鲤鱼 _______尾 ,鲢鱼 _______尾 .

310 270

2. 某厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各种颜色的产量，于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了 5 000名中学生，并在调查到 1 000名、 2 000名、 3 000名、 4 000名、 5 000名时分别计算了各种颜色的频率，绘制折线图如下：

试一试

(1) 随着调查次数的增加，红色的频率如何变化？

(2) 你能估计调查到 10 000名同学时，红色的频率是多少吗？估计调查到 10 000名同学时，红色的频率大约仍是 40%左右 .

随着调查次数的增加，红色的频率基本稳定在 40%左右 . (3)若你是该厂的负责人 ,你将如何安排生产各种颜色的产量？红、黄、蓝、绿及其它颜色的生产比例大约为 4:2:1:1:2 .

知识应用 如图 , 长方形内有一不规则区域 , 现在玩投掷游戏 ,如果随机掷中长方形的 300 次中，有 100 次是落在不规则图形内 .

【拓展】 你能设计一个利用频率估计概率的实验方法估算该不规则图形的面积的方案吗 ?

(1) 你能估计出掷中不规则图形的概率吗？(2)若该长方形的面积为 150, 试估计不规则图形的面积.

升华提高

了解了一种方法 ------- 用多次试验频率去估计概率

体会了一种思想： 用样本去估计总体用频率去估计概率

弄清了一种关系 ------ 频率与概率的关系　　当试验次数很多或试验时样本容量足够大时 ,一件事件发生的频率与相应的概率会非常接近 .此时 ,我们可以用一件事件发生的频率来估计这一事件发生的概率 .

再见