钱 莺 制作

期中前涉及的计算单元一共有 3 个：

第一单元：乘法 （竖式计算）

第四单元：混合运算 （运算顺序）

第七单元：运算律（乘法分配律）（简便运算）

各单元各有侧重点。

本单元的重点是竖式计算，最容易出现错误的是中间有“ 0” 和末尾有“ 0” 的计算。

3 0 9

× 2 6

1 8 5 4

6 1 8

8 0 3 4

3 0 2

× 3 4

1 2 8

9 6

1 0 8 8

中间有“ 0” 的乘法计算，如果涉及进位的，一般孩子是不会错的，不进位的计算，有些孩子会忽略“ 0” 的存在，直接计算前面的，造成错误。

没有乘“ 0”

正确

末尾有“ 0” 的乘法，在竖式计算时，应该撇零计算。

8 5 0

× 1 5

4 2 5

8 5

1 2 7 5 0

计算时，先计算 85×15的积，算出 1275 后，才把末尾的“ 0” 搬下来。

8 5 0

× 2 0

1 7 0 0 0

其次，计算后还要关注末尾“ 0” 的个数，应在理解的基础上写“ 0” 。

850×20

= （ 85×10 ） × （ 2×10 ）= （ 85×2 ） × （ 10×10 ）

100所以积的末尾有 2 个“ 0” ，无法对齐的“ 0”应向后写。

在计算单元中，孩子错误次数最多的口诀是：

四九（ ）七九（ ）

四七（ ）四八（ ）

二六（ ）三六（ ）

207×40

270×40

23×802

23×820

60×305

60×350

练 习

混合运算

不含括号

含有括号

同级运算 从左往右依次计算

不同级运算 先算二级运算， 再算一级运算。

先算小括号里的，再算中括号里的。

容易混淆的类型：

1 、容易混淆的不同级运算：

80÷2+76÷4 40＋ 60÷20－ 10

两端是二级运算，中间是一级运算，可同时计算。

两端是一级运算，中间是二级运算，不能同时计算。（有孩子会先同时计算两端的加减法，应先算二级运算。）

2 、容易混淆的同级运算：

67 ＋ 12 － 67 ＋ 12 25×4÷25×4

同级运算应该从左往右依次计算，但孩子们在两端计算完全相同的情况下，往往会同时计算两端，再算中间。120÷6×5 167 － 53 ＋ 47

对于乘除混合或者加减混合，尤其是后面 2 个数能凑成整十数或者整百数的，在计算时，往往有孩子错误地认为先乘再除，先加再减。同级运算，应从左往右依次计算。

在本单元中，将 3 个一步算式合并成一个综合算式，孩子们经常出错。（补充习题 P.33/1 ）

28 × 5 = 140

200 ＋ 140 = 340

340 ÷ 20 = 17

30 ＋ 75 = 105

105 ÷ 15 = 7

7 × 400 = 2800

200 ＋ 28 × 5

（ 200 ＋ 28 × 5 ） ÷ 20

①

②

并

③

并

（ 30 ＋ 75 ） ÷ 15

（ 30 ＋ 75 ） ÷ 15 × 400

①

②

并

③

并

合并算式时要注意 2 点：1 、不能改变算式中各数原有的位置及计算顺序；2 、必要时应加上括号。

5×11=55

440÷4=110

55 ＋ 110=165

5×11 ＋ 440÷4

②

③

并

49 ＋ 26 = 75

175 － 75=100

100×23=2300

175 －（ 49 ＋ 26 ）

【 175 －（ 49 ＋ 26 ）】 × 23

②

并

③

并

① ①

1 、加法交换律：两个加数交换位置，和不变。这叫做加法交换律。

用字母表示： a+b=b+a

2 、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。这叫做加法结合律。

用字母表示：（ a+b ） +c= a +( b+c)

3 、乘法交换律：两个乘数交换位置，积不变。这叫做乘法交换律。

用字母表示： a×b=b×a4 、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。这叫做乘法结合律。

用字母表示：（ a×b）×c= a ×( b×c)5 、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。这叫做乘法分配律。

用字母表示：（ a+b ）×c= a×c+b×c

拓展 :（ a-b ）×c= a×c-b×c

6 、减法的性质：一个数连续减去两个数，可以减去这两个减数的和。

用字母表示： a-b-c= a -( b+c) a -( b+c) = a-b-c

7 、减数交换：一个数连续减去两个数，可以先减去第二个减数，再减去第一个减数。

用字母表示： a-b-c= a- c – b

8 、除法的性质：一个数连续除以两个数，可以除以这两个除数的积。

用字母表示： a÷b÷c= a ÷( b×c) a ÷( b×c) = a÷b÷c

9 、除数交换：一个数连续除以两个数，可以先除以第二个除数，再除以第一个除数。

用字母表示： a÷b÷c= a÷ c ÷ b

a+b=b+a

（ a+b ） +c= a +( b+c)

a×b=b×a

（ a×b ） ×c= a ×( b×c)

（ a+b ） ×c= a×c+b×c           

（ a-b ） ×c= a×c-b×c  a-b-c= a -( b+c) a-b-c= a- c – b

a÷b÷c= a ÷( b×c)

a÷b÷c= a÷ c ÷ b

针对同级运算的简

算 针对不同级运算的简

算

从上面的分类中可以看出，只有不同级运算才会用到乘法分配律，再辅以乘法的意义帮助孩子理解并正确使用乘法分配律。

由于同一个乘法算式有不同的含义，如 2×3 可以理解成 2 个 3 ，也可以理解成 3 个 2 ，造成了个别学生在使用乘法分配律时的困难，所以，这里介绍一个小诀窍。

23 × 134 － 34 × 23

可以让有困难的孩子将算式两端的二级运算中相同的数圈起来，说明这题计算的是 134 个 23 减去 34 个 23 ，还剩 100 个 23 ，因此简算时应写成（ 134 － 34 ） ×23 。

99 × 62 ＋ 62

这题计算的是 99 个 62 加上 1 个 62 ，得 100 个 62 ，因此简算时应写成（ 99 ＋ 1 ） ×62 。

48 ×101 － 48

99 × 62 ＋ 62 其实就是 99 × 62 ＋ 62 × 1

这题计算的是 101 个 48 减去 1 个 48 ，还剩 100 个48 ，因此简算时应写成（ 101 － 1 ） ×48 。

48 ×101 － 48 其实就是 48 ×101 － 48 × 1

102 × 45

102 和 45 这两个数中， 102 更接近整十整百数，因此将 102 拆成（ 100 ＋ 2 ）， 102 个 45 拆成100 个 45 加上 2 个 45 计算比较简便。计算如下：

102 × 45

= （ 100 ＋ 2 ） ×45

=100×45 ＋ 2×45

=4500 ＋ 90

=4590

这一步拆的过程应写下来。

98 × 32

98 和 32 这两个数中， 98 接近 100 ，可以拆成（ 100 － 2 ）； 32 接近 30 ，可以拆成（ 30 ＋2 ），因此，此题有 2 种计算方法。

98 × 32

= （ 100 － 2 ） × 32

= 100 × 32 － 2 × 32

98 × 32

= 98 × （ 30 ＋ 2 ） = 98 × 30 ＋ 98 × 2

容易计算 计算相对难一些因此应该选择第一种计算方法。100 个 32 减去 2 个 32 ，得 98 个32 。

在使用乘法分配律计算时，切忌死记硬套，孩子一旦成为记忆的容器，会造成知识之间的混乱，越学越累，因此，借助低年级学习的乘法的意义来帮助理解比较适合。

最容易和乘法分配律混淆的是乘法结合律。

（ a×b ） ×c= a ×( b×c) （ a ＋ b ） ×c= a×c ＋ b×c           （ a － b ） ×c= a×c － b×c  

乘法结合律是同级运算 乘法分配律是不同级运算

25 × 44

看到 25 应想到 4 ， 25×4=100 ，在这里， 44 有两种拆法：（ 4×11 ）或者（ 40 ＋ 4 ）。

25 × 44

= 25 × （ 4×11 ）= （ 25×4 ） ×11

=100×11

=1100

25 × 44

= 25 × （ 40 ＋ 4 ）=25×40 ＋ 25×4

=1000 ＋ 100

=1100使用的乘法结合律 使用的乘法分配律

125×25×32

=125×25×(4×8)

=(125×8)×(25×4)

=1000×100

=100000注意，在使用乘法结合律两两结合时，一定要给两组算式都加上括号，既起到强调的作用，也为了同时计算。

425 ＋ 36 ＋ 164 ＋ 75

=(425+75)+(36+164)

=500+200

=700

使用加法结合律两两结合时，也一定要给两组算式都加上括号，只有这样，才可以前后同时计算。

期中前涉及的图形一共有 3 个：

第三单元：三角形 （图形特征）

第五单元：平行四边形和梯形 （图形特征）

第八单元：对称、平移和旋转（图形的位置变化）

各单元各有侧重点。

三角形最基本的特征有 3条：

1 、三角形任意两边之和大于第三边。（书 P.23)

（在判断三条边是否能围成三角形时，我们一般是把最短的两条边相加，看是否大于最长的边。短边之和大于第三边，那长边之和一定大于短边。）

2 、三角形的内角和是 180° （书 P.28)

3 、三角形具有稳定性。（书 P.25)

4 、三角形有三条高。（不论是哪种形状的）

10 ＋ 6＞ 5

10 ＋ 5＞ 6

5 ＋ 6＞ 10 √ 因此只要列举此式，就能

判断出这三根小棒一定能围成三角形。

10厘米

6厘米5厘米

这个图形可以拆成 2 个三角形，利用三角形特征：三角形两边之和大于第三边，左图可以看出电影院那条路比中间的路长，右图中可以看出邮局那条路也比中间的路长，由此可见，中间那条路最近。

点到直线之间，我们可以画出无数条线段，而垂线最短。因此，三角形的高一定比小棒短。

不论是什么三角形，至少有 2 个角是锐角，只可能有一个直角或一个钝角。

三角形的分类有 2 种：

按边分

按角分

锐角三角形

直角三角形

钝角三角形

一般三角形 （三边都不相等）

等腰三角形 （两条边相等）

等边三角形 （三条边都相等）

等边三角形是特殊的等腰三角形，三条边都相等，三个角都是 60°

2 个直角三角形

1 个锐角三角形和一个钝角三角形

1 个直角三角形和一个钝角三角形

不可能分成 2 个锐角三角形。也不可能分成 1 个直角三角形和一个锐角三角形。

不可能分成 2 个锐角三角形。也不可能分成 1 个直角三角形和一个锐角三角形。用其他三角形来分分看，是不是有例外呢？

题目要求摆成一个等边三角形和两个等腰三角形，从“和”字可以看出，三种图形应同时存在。因此，这题应从等边三角形入手思考。

3 、 3 、 3     

5 、 5 、 8      

8 、 8 、 5        

5 、 5 、 5     

3 、 3 、 8      

8 、 8 、 3        

8 、 8 、 8     

3 、 3 、 5      

5 、 5 、 3        

√  

√  

× 

三角形中两边之和必须大于第三边。

计算多边形的内角和，可以将任意多边形分割成若干个三角形，有几个三角形，就用 180 乘几。注意，分割时，图形中间不能出现交叉。

六边形180× （ 6 － 2 ）

七边形180× （ 7 － 2 ）

八边形180× （ 8 － 2 ）

N边形180× （ N － 2 ）

……    

原因在于每个图形中都有 2 个点无法连线分割。

平行四边形和梯形最大的区别是：

1 、平行四边形有两组对边平行且相等。

梯形只有一组对边平行且不相等。

2 、平行四边形对角相等，梯形对角不相等。

平行四边形和梯形的相同点是：

1 、都有 4 个顶点、 4条边、 4 个角，

2 、都有无数条高。

3 、都容易变形。

三角形、平行四边形和梯形单元，孩子困难最大、错误最多就是画高。

不论是哪种图形，画高前首先要找准底，然后再画，底和高互相垂直。

底

高

顶点

底

高

底高

顶点

底 高

顶点

A

B C

三角形 ABC 锐角三角形锐角三角形

高高高

底

高 底

高

底高

直角三角形直角三角形

A A A

B B BC C C

底

高底

底

高高

钝角三角形钝角三角形

CB

A

底 高

高

底

从平行四边形的一个顶点向对边可以作（ ）种不同的高。

A A 点既可以看成是红色边的终点，因此向右可以画出一条高；也可以看成是绿边的起点，可以向下画一条高。所以，从平行四边形的一个顶点可以向对边做 2条不同的高。

注意：上底到下底之间的垂直线段才是梯形的高，因此，画高前首先要找准上底和下底。

也可以利用直尺上的刻度用底重合的方法来画高。

你能画出这些图形的高吗？

误区：1 、将 2 个完全相同的三角形拼成一个大三角形，这个三角形的内角和是（ ）。孩子们对三角形的内角和是 180°很清晰，但总觉得 2 个拼成了一个，

内角和就该乘 2 ，这种想法是错误的，三角形的内角和永远是 180 °

蓝色圈出的 2 个角不再是大三角形的内角，所以用该从 360° 减去这里的由 2 个直角拼成的 180° ，因此大三角形的内角和仍然是180 °

误区：2 、将 1 个大三角形剪成 2 个三角形，这 2 个小三角形的内角和分别是（ ）。个别孩子们认为一个三角形剪成了 2 个，内角和就成了 90°.

将大三角形分割成 2 个小三角形后，出现了新的内角，因此，每个小三角形的内角和仍然是 180 °.

所以，不管是把大三角形分割成 2 个甚至更多个小三角形，还是 2 个小三角形拼成 1 个大三角形，三角形内角和永远是 180°.

注意区分已学图形的对称轴

等腰三角形只有一条对称轴

等边三角形有 3条对称轴

一般的平行四边形没有对称轴

特殊的平行四边形有对称轴

长方形有 2条对称轴 正方形有 4条对称轴 菱形有 2条对称轴

不是轴对称图形

等腰梯形只有 1条对称轴

其他梯形没有对称轴

正方形

（正四边形）

正五边形 正六边形

三条 四条 五条 六条

正多边形有几条边就有几条对称轴 !

等边三角形

（正三角形） 正七边形

七条

……

……

平行四边形先向右平移 5格，再向上平移 4格。

平移时，关注的是对应点，先移点，再连线。

在平移时，起点应数成“

0”

旋转时要关注对应边。

A

将长方形逆时针旋转 90° 。

每一组对应边之间应该成 90° ，如果觉得旋转有困难，也可以用画对应边垂线的方法来完成。

观察下面三组图形，它们有什么共同的特点？你能旋转每组中的一个图形，使每组图形都变成一个长方形吗？

这个单元应掌握以下几点：⑴ 计量液体的多少，通常用升做单位。⑵ 容量单位：升（ L ） 毫升（ mL ）（ ml ）

⑶ 1升 =1000毫升 ⑷ 1升水大约重 1千克。 1毫升水大约重 1克。

以下容器的容量是 1升：

借助参照物及生活经验，判断容器的容量单位。

参照物 :

1升 10升

拿在手里感觉很轻，容量少于量杯，用毫升作单位。超过量杯容量的，应该用升来作单位。孩子们最容易错的是浴缸的容量 400 （ ），如果填“毫升”，说明比量杯还小（量杯容量是 1000毫升），这是不可能的，难不成人在比量杯还小的容器里洗澡吗？

会制作 1升的容器，并能标出 升、 升 、 升。 。2

1

4

1

4

3

先确定 1升。

2

1升

升4

1

1升升431升

画出指定容量时，应先画出 1升所在的位置，然后平均分，再用阴影标出指定的容量，写上数据。

生活常识 :

一个健康的成年人血液总量约为 4000~5000毫

升，也就是 4~5升。义务献血者每次献血量一

般为 200毫升。

这单元最容易混淆的就是排列和组合问题，简单来说，能互换位置的是排列问题，不能互换的是组合问题。

打电话， A打给 B 了， B 就不用再打给 A ，所以属于组合问题。 寄贺卡， A寄给 B ， B 也应该寄给 A ，所以是排列问题。 解答时，先让孩子有序列举，然后列式写答。 打电话： 寄贺卡： AB BC

AC 2 ＋ 1 = 3（次）

AB BA CAAC BC CB 2 × 3 = 6 （次）

用 1 、 4 、 5 、 9 这四个数字，可以组成多少个四位数？试着把这些四位数列举出来。列举时一定要做到有序，才能做到不重复、不遗漏。

14591495

15491594

19451954

41594195

45194591

49154951

51495194

54195491

59145941

91459154

94159451

95149541

每组有 6 个数，在列举时，把最高位上数字相同的写成一列，有这样的 4列，因此用 6×4=24 （个）来计算。

用 0 、 2 、 7 、 8 这四个数字，可以组成多少个四位数？试着把这些四位数列举出来。由于最高位上不能是 0 ，所以会少掉一组， 6×3=18 （个）

请家长督促您的孩子认真复习，如果我在制作过程中存在着疏漏，或者您还有其他不懂的地方，可以飞信或电话联系。 好孩子的养成，离不开你们的配合，感谢你们一直以来的支持，谢谢！

2014.4.19