一．椭圆定义
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椭圆. 一．椭圆定义. 第一定义 : 平面内与两个定点 F 1 、 F 2 的距离的和等于常数（大于∣ F 1 F 2 ∣ ）的点的轨迹叫椭圆 . 这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距. 注意 :|PF 1 |+|PF 2 |=2a>2c. 第二定义 : 到定点的距离和到定直线的距离之比是常数 :e=c/a(0TRANSCRIPT
椭圆
一．椭圆定义
注意 :|PF1|+|PF2|=2a>2c
第一定义 :
平面内与两个定点 F1、 F2 的距离的和等于常数（大于∣ F1F2∣）的点的轨迹叫椭圆 . 这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距 .
第二定义第二定义 :: 到定点的距离和到定直线到定点的距离和到定直线的距离之比是常数的距离之比是常数 :e=c/a(0<e<1):e=c/a(0<e<1)的点的轨迹的点的轨迹 ..
ePQ
PF＝2
二 . 椭圆的标准方程
)0(12
2
2
2
bab
y
a
x＝
)0(12
2
2
2
bab
x
a
y＝
(1). 焦点在 x 轴
(2). 焦点在 y 轴
看分母大小
三三 .. 椭圆的几何性质椭圆的几何性质
标准方程
焦点坐标
范 围
图 形
对称性
顶 点
离心率
)0(12
2
2
2
bab
y
a
x)0(1
2
2
2
2
bab
x
a
y
x
y
OA1
A2
B1
B2
x
y
O
A1
A2
B1 B2
(-c,0)和(c,0)
(0,-c)和(0,c),axa byb ,aya bxb
坐标轴是对称轴 ; 原点是对称中心 , 叫椭圆的中心 .
(±a,0)和 (0,±b) (±b,0)和 (0,±a)A1A2 叫长轴 , B1B2 叫短轴 ,
且 |A1A2|=2a, |B1B2|=2b
e=c/a （ 0 ＜ e ＜ 1 ，且 e 越小，椭圆越接近圆）
三三 .. 椭圆的几何性质椭圆的几何性质标准方程
图 形
)0(12
2
2
2
bab
y
a
x)0(12
2
2
2
baa
y
b
x
x
y
OA1
A2
B1
B2
x
y
O
A1
A2
B1 B2
F2
F2
准线c
ax
2
c
ay
2
焦三角 如图 : PF△ 1F2 称作焦三角形
x
y
OA1
A2
B1
B2
F1 F2
P
1by
ax
2
2
2
2
1bx
ay
2
2
2
2
(a＞ b ＞ 0,且c2=a2-b2)
焦点在 x 轴上( )焦点在 y 轴上( )
1.若 |MF1|+ |MF2|=2a（ 2a 是常数）
2. 标准方程求椭圆标准方程的方法：---------- 待定系数法 .
当 2a>|F1F2| 时，点 M 的轨迹是 ________ ；当 2a=|F1F2| 时，点 M 的轨迹是 ________ ；当 2a<|F1F2| 时，点 M 的轨迹是 ________.
椭圆线段 F1F2
不存在
求椭圆标准方程的步骤：(1) 确定焦点位置，设椭圆的标准方程(2)求 a,b （常建立方程 组） (3) 下结论
1. 判断下列方程是否表示椭圆 , 若是 , 求出 a, b, c.
122
)1(22
yx
124
)2(22
yx
124
)3(22
yx
(4) 4y2+9x2 =36
( 不是 )
(是 , a=2,b=c= )2
( 不是 )
(是 , a=3,b=2,c= )
5
(5) 若 表示椭圆 ,
则 k 的取值范围是____________.
11624
22
k
y
k
x
(-16,4)∪(4,24)
注 : 方程 Ax2+By2 =1在A,B>0 且 A≠B 时表示椭圆 .
焦点在 x 轴上的椭圆
(-16,4)
2. 若动点 M到 F1(-1,0),F2(1,0) 的距离之和为 2,则M 的轨迹是 __
A. 椭圆 B. 直线 F1F2 C. 线段 F1F2 D. 直线 F1F2 的中垂线
复习检测
____焦距_____;焦点__;c__;a则1,36x
100y
1.已知椭圆22
__|PF|则6,距离为P F它上点 到1,36y
100x
2.已知椭圆 21
22
10 8(0,8),(0,-8)
16
a=10,2a=20,20-6=1414
___m则1 2,的焦距4y
mx
3.椭圆22
5或 3
4. 求适合下列条件的椭圆的标准方程 :
);2,0(,159
)1(22
Myx
且过点共焦点与椭圆
).2,3(),1,6()2( 21 PP经过点注： 1. 当焦点位置不确定时，应分类讨论； 2. 椭圆的一般方程为 mx2+ny2=1(m,n>0,m≠n)
1. 若椭圆的两焦点将长轴三等分，那么两准线间距离是焦距的 ( )A． 18 倍 B 12 倍 C 9 倍 D 4 倍
基础练习：
C
2. 若椭圆的焦点在 x 轴上，焦点到短轴顶点的距离为 2 ，到相应准线的距离为3 ，则椭圆的标准方程为 .
x2/4+y2/3=1
3. 求适合下列条件的椭圆的离心率 (1) 椭圆的两焦点把椭圆的对称轴上夹在两准线间的线段三等分。
（ 2 ）椭圆短轴的一个端点看长轴两个端点的视角为 1200
3/3
3
6
4. 已 知 椭 圆 经 过 原 点 ， 并 且 焦 点 为F1(1,0),F2(3,0), 则其离心率为 _______1/2
)0,.(),0.(
)0,.(),0.(A
)0(
0.5 22
mnDmnC
nmBnm
nm
mnnymx
）的焦点坐标是（椭圆
10.12.16.20.
)0,(
)0,(F145
.6
2
12
12
2
2
2
DCBA
ABF
FABcF
cyx
）的周长是（△则的弦，是椭圆的焦点，
、的焦点为椭圆
C
A
8
15.
2
9.
6
25.8.
5.2
1925
.722
DCBA
P
Pyx
到右焦点的距离是（），那么距离等于
，到左准线的上有点椭圆
___________
153
.822
条件是
表示椭圆的充要方程
K
y
K
x
A
)5,4()4,3(
题型 1. 椭圆的定义与方程
例 1. 已知动圆 P 过定点 A(-3,0), 并且在圆 B:(x-3)2+y2=64 的内部与其相内切 , 求动圆圆心 P 的轨迹方程 .
1716
22
yx
A B
P
O
y
x
题型 2. 椭圆的几何性质 ( 焦三角形中的问题 )
___
,2
1tan,0
)0(1
.1
2121
2
2
2
2
21
则此椭圆的离心率为
若
上的一点椭圆
为焦点的是以已知点例
FPFPFPF
，bab
y
a
x
F，FP
练习 : 考例 2 的变式 ;
3
5
例 2 ．已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠ F1PF2＝ 600
(1) 求椭圆离心率的范围 .(2) 求证△ F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关 .
题型 2. 椭圆的几何性质 ( 焦三角形中的问题 )
_________;,60
,,,14
.4
2121
212
2
的面积是则且
为其上一点点的焦点为椭圆
PFFPFF
PFFyx
例 . 在椭圆 上求一点 P ，
使它到直线 L:3x+4y-50=0 的距离最大或最小，并求出这个最大最小值。
19y
16x 22
变式 . (1)求 3x+2y 的最大值；(2)求 x2+y2 的最大值 .
小结 :1). 三角法 2). 转为二次函数 ( 注意变量范围 ) 3). 数形结合
题型 3. 椭圆中的最值
小结：1 . 三角代换，转化为三角函数求最值；2 . 转化为二次函数求最值 ( 注意自变量的范围 );3. 数形结合求最值：利用第一或第二定义、利用三角形不等式、利用边界点或线、利用光线路径最短（对称） 4. 利用隐含的不等关系，如均值不等式，点在椭圆内，判别式△等
题型六、最值问题（范围问题）
134
22
yx
1. 已知椭圆 内有一点 P(1,-1) ，
F 是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点 M ，使 |MP|+2|MF| 的值最小，求 M 的坐标．变式：⑴若 变式：⑴若 |MP|+|MF||MP|+|MF| 的最小值？的最小值？2
1
⑵ ⑵ |MP|-|MF| 的值最小小
(3) (3) |MP|+|MF| 的值最小小
(4)|MF| 的最小值
(5)MA| 的最小值 , 其中 A(0.5,0)
题型 3. 椭圆中的最值
的最小值。求
是一定点，是此椭圆上的动点，的右焦点，是椭圆已知
||2
3||
)1,1(
4595.1 22
PFPA
AP
yxF
2.P193. 考例 4 变式
3 、设 p(x,y) 是椭圆
上的一点， F1 为左焦点 , 求 的最大值和最小值 .
12864
22
yx
1PF
题型 3. 椭圆中的最值