二次型
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二次型. 一 . 化二次型为标准形. 化二次型为标准形主要有两种方法： (1) 正交变换法； (2) 配方法. 注：将二次型 f 用正交变换化为标准形的一般步骤为：. 写出二次型 f 的矩阵 A ；. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
二次型一 . 化二次型为标准形
化二次型为标准形主要有两种方法： (1) 正交变换法； (2) 配方法 .
. 4
42),,( 1
32
2122
21321
用的正交变换矩阵化为标准形，并求出所
用正交变换法将二次型例
xx
xxxxxxxf
,
020
212
022
A
二次型的矩阵为解
；的特征值为得
，由
2,4,1
)2)(4)(1(
20
212
022
||
321
A
EA
们单位化，得
两两正交，将它互异，故，因为
其对应的特征向量为
,, ,, )2 ,2 ,1(
,)1 ,2 ,2(,)2 ,1 ,2(
321321
321
T
TT
.3
1,
3
1,
3
1332211
,
212
221
122
3
1
Q阵为于是所求正交变换的矩
.24 23
22
21 yyyQYX ，则二次型化为标准形令
注：将二次型 f 用正交变换化为标准形的一般步骤为：(1) 写出二次型 f 的矩阵 A ；(2) 求出 A 的全部相异特征值 1, 2,…, m ，对每一个 ri 重特征值 i ，求出对应的 ri 个线性无关的特征向量，并利用施密特正交化方法将其正交单位化，将上面求得的 r1+ r2+ …+ rm =n 个两两正交的单位向量作为列向量，排成一个 n 阶方阵 Q ，则 Q 为正交阵且 Q － 1AQ=QTAQ= 为对角阵；(3) 作正交变换 X=QY ，即可将二次型化为只含平方项的标准形：
f=XTAX=YT (QTAQ)Y=YT Y.
.
),,,( 2
434232
4131214321
线性变换的矩阵为标准形，并写出所用
用配方法化二次型例
xxxxxx
xxxxxxxxxxf
则二次型化为
令解
,
,
,
,
44
33
212
211
yx
yx
yyx
yyx
(*) .3
4
3
2
1)(
)(
22
24
23
22
21
24
2
4322
2431
4324
23
22
2431
43413122
21
zzzz
yyyyyyy
yyyyyyyy
yyyyyyyyf
.2
,
,
,
,2
1
,2
1
,
,
44
433
22
4311
44
433
22
4311
zy
zzy
zy
zzzy
yz
yyz
yz
yyyz
或
其中
,
2000
1100
1111
1111
C
所用线性变换的矩阵为
.3 24
23
22
21 zzzzfCZX ，则即令
注：配方法化二次型为标准形一般有两种情形：
情形 1 二次型中含有平方项，如含有 x12 ，此时先集中含有 x1 的
项，对 x1 配成完全平方，再集中含有 x2 的项，对 x2 配成完全平方，如此继续下去，直到化为标准形，如例 2 (*) 式一步 .情形 2 二次型中不含平方项，只含有 xi xj 的项，此时先作可逆线性变换
.,
,
,
,
jik
yx
yyx
yyx
kk
jii
jii
将二次型化为含平方项的二次型，如例 2 ，再按情形 1 中介绍的方法做 .
是什么曲面？型化为标准形；求一可逆变换将该二次
；求参数为
的秩设二次型例
1),,( )3(
)2(
(1)
2.
44),,( 3
321
323123
22
21321
xxxf
c
xxxxcxxxxxxf
.8 2
22
210
201
2 44),,( 323123
22
21321
c
c
A
xxxxcxxxxxxf
，故的秩为二次型的矩阵
知，的秩为由解
,)2()2(
448),,( 22
21
232
231
323123
22
21321
yyxxxx
xxxxxxxxxxf
又
.
,2
,2
,
,2
,2
13
322
311
31
321
311
yx
yyx
yyx
xy
xxy
xxy
或其中
.
100
210
201
C
所用线性变换的矩阵为
.19 1
9,1,0 0|| 23
22
321
，为椭圆柱面化为变换下，可将
，故在正交的特征值为得由
yyf
AEA
注：设 Y=QX， Q 为正交矩阵，则有
||Y||2=YTY=(QX)T(QX)=XTQTQX=XTX=||X||2.
即正交变换保持向量长度不变 . 只有在正交变换下将二次型化为标准形，才能确定它所表示的曲面类型 .
.
22
222),,(
4
23
22
21
32312123
22
21321
Q
kyyyQYX
xxxxxkxxxxxxxf
及正交阵
，求：化为标准形经正交变换
设二次型例
,
111
11
11
k
k
A
二次型的矩阵为解
.1 012 4|| 2,1
,2
2
1
2
2
kkkA
AA
，解得，由此得，故
的特征值为正交相似，即与由题设
.
111
111
111
A
,2
1,
3
1,
6
1
)0,1,1(
,)1,1,1(,)2,1,1(
332211
3
21
，并将它们单位化，得
为的对应的特征向量分别求得T
TTA
.
03
1
6
22
1
3
1
6
12
1
3
1
6
1
Q所求正交阵
二 . 正定二次型及正定矩阵的判定
主要有三种方法 (1) 利用特征值判定； (2) 利用定义判定； (3)利用顺序主子式判定 .
1. 利用特征值判定
.
22),,( 5 3123
22
21321
二次型的正定性，判定该设二次型例 xxxxxxxxf
.)(220
101
020
101
二次型半正定，故该二次型为准正定，，的特征值为易知
，
二次型的矩阵为解
A
A
注：当矩阵的特征值比较容易求时，用特征值来判定二次型或矩阵的正定性是很简便的一种方法 .
为负定阵？取何值时，问
为实常数，，设例
.
1000
0311
0131
0113
6 2
Bk
kkEABA
.4 ,4 ,1 ,1 的特征值为为实对称阵且显然解 AA
.16 ,16 ,1 ,1
2
kkkk
BBkEAB
的特征值为也为实对称阵且，故由于
.16 kB负定的充要条件为因此
.
),,,( 7
4342
324131214321
的正定性判断二次型例
xxxx
xxxxxxxxxxxxf
，
形为知，所给二次型的标准由例解24
23
22
21 3
2
zzzz
.正定二次型二次型不是系数不全为正数，故此因为标准形中平方项的
注：若只是判定二次型的正定性，可采用较简便的方法求出二次型的标准形，并以此判定 .
2 利用定义判定
. , 8 阶正定阵也为阶正定阵，证明：均为设例 nBAnBA
.
0)( 0,0
0 , 1
也为正定阵从而，，故
，都有的阶正定阵，所以对任意都为因为证
BA
BXXAXXXBAXBXXAXX
XnBATTTTT
n
. 9 的正定性，讨论阶方阵，为设例 APPAnP T
.||||)()(
0 2
1
PXPXPXPXPXAXX
XTTTT
n
，我们有对任意的解
.
0|||| 0 0 2
为正定阵，，从而知可逆时，由当 PPAPXPXXP T
. 0|||| 2 为准正定阵，因此不可逆时，显然有当 PPAPXP T
3. 利用顺序主子式判定
是正定的？取何值时，二次型例
42
25),,( 01
3231
2123
22
21321
xxxx
xtxxxxxxxft
，
二次型的矩阵为解
521
21
11
t
t
A
. 05
4 .0
5
4
04511 01,01 23
221
时，二次型是正定的故当得
，，，得
tt
tttt
注：这类题一定用顺序主子式做 .
三 . 证明题
.
0353 11 23
EAA
EAAAnA
明为正定的，并进一步证，证明：阶实对称阵且是设例
，或或，从而
知的任一特征值，由为设证
ii
EAAAA
21 21 1 0353
0353 23
23
.
1 1
是正定的从而，的特征值全部为，即阶实对称阵，所以为因为
A
AnA
,
1
1
1 EAPPP
，使进一步，一定有可逆阵
. 1 EPEPA 故
.1|| 12 AEnA 阶正定阵，证明：是设例
而有的大于零的特征值，从为且
，使阵是正定阵，故存在正交因为证
,,
,
1
11
A
AQQ
QA
n
n
,)( 111 QEQQQQQAE
.1)1(
1
1
||||1
1
n
ii
n
EAE
. )2(
,,2,1,0 )1(
)( 13
22
11
也为正定阵
；
为正定阵，证明：设例
nn
ii
nnij
a
a
a
B
nia
aA
nnnn
n
nnnn
nT
nnij
ppp
ppp
ppp
ppp
PPA
pPA
21
11211
21
12111
)( )I()1( ，使正定，故有可逆阵因为证证
,
1
2
11
11
1
21
n
kkn
n
kkkn
n
kknk
n
kk
ppp
ppp
). ,,2 ,1( 1
2 nipan
kkiii
即
.0
,,2 ,1 0
1
2
n
kkiii
ki
pa
nkpP ，从而，不全为可逆，所以因为
，则，特别地，取
，有正定，故对任意的因为证TT
nnnij
XAXX
XaA
)0,,0,1( 0
0 )( )II( 1
.0
0
0
1
0 0 1 11
21
22212
11211
a
aaa
aaa
aaa
AXX
nnnn
n
n
T
.0,,0
)1,,0,0,0(,,)0,,0,1,0(
22
nn
TT
aa
XX
，可求得类似地，取
.
0 )1( )2(11
正定全为正数，故
个特征值的，从而知，由
B
nBa
a
a
B ii
nn
. 14 2 ABBnA ，使对称阵阶正定阵，证明存在实为设例
.,,2,1,0,
11
niQQA
QA
i
n
，使正定，故存在正交阵因为证
. 211
BABQQB
n
为实对称阵且，则令
.
, 15
BAAB
ABnBA
为为正定阵的充要条件阶正定阵，证明均为设例
. )( .
)(
BAABBAABABAB
ABABABTTT
T
，故又
为对称阵，从而为正定阵，故因为”“证
. )( 为对称阵，即知：由”“ ABABBAABABBAAB TTT
.
1 相似与，即，进一步
，从而，使逆阵为正定阵，所以存在可又
BPPABBPPABPPBPPAB
PPAPATTT
T
.
0)()(0
0 1
是正定的值也全大于零，所以的特征而的特征值全大于零；从为正定阵，因此
，也就是，必有
，为对称阵且对任意的为正定阵，故有由于
AB
ABBPP
BPPPXBPXBPXPXPX
XBPPB
T
TTTT
nT
注：请读者特别注意例 12 、例 13 、例 14 、例 15 中对正定阵的处理，用心体会其方法 .
.0
.,,2,1 , )3(
;,,2,1,,,0)2(
;,,2,1,0 )1(
,,,, 16 21
证明
正交与每一个
阶正定阵且为维列向量，均为设例
nj
njijiA
nj
nAn
j
jTi
j
n
.0 0
.,,2,1,0
2211
2211
nnnn
iTi
AkAkAkAk
kkniA
，得，两端左乘设由题设易知证
(*) .0
2211 nTin
Ti
Ti
Ti
AkAkAk
，得两端左乘
线性表示，由必可线性无关，所以，从而，得正定，，由式为知由题设
,,,
,,, ,,2,1,0
0 0 (*))2(
21
21
n
ni
iTii
Tii
nik
AA Ak
，则不妨设表示式为 nnlll 2211
.0
,0),(),(),(
),(),(||||
2211
22112
故nn
nn
lll
lll
.
.
17
ba
BAbn
BanA
的特征值都大于证明：大于阶实对称阵，特征值都
也是；征值都大于阶实对称阵，所有的特为设例
也是正定阵，均为正定阵，从而与由题设证
)()(
)(
EbaBAbEB
aEAbEBaEA
).( 0)(
)(
baba
EbaBABA
，即的特征值为的任一特征值，则为设
. baBA 的特征值都大于也就是