คู มือการสอน หลักสูตรเพิ่มพูน...

คมอการสอน หลกสตรเพมพนประสบการณ

สาหรบนกเรยนทมความสามารถพเศษ ดานคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนปลาย

สานกงานเลขาธการสภาการศกษา กระทรวงศกษาธการ พฤษภาคม 2547

371.95 สานกงานเลขาธการสภาการศกษา ส 691 ค คมอการสอนหลกสตรเพมพนประสบการณสาหรบนกเรยนทม

ความสามารถพเศษ ดานคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนปลาย/ ศกดา บญโต. กรงเทพฯ : สกศ., 2547 195 หนา ISBN 974-559-689-2 1. การศกษาสาหรบผมความสามารถพเศษ – คมอ 2. ศกดา บญโต 3. ชอเรอง

คมอการสอนหลกสตรเพมพนประสบการณสาหรบนกเรยนทมความสามารถพเศษ ดานคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนปลาย สงพมพ สกศ. อนดบท 82/2547 พมพครงท 1 มถนายน 2547 จานวน 1,000 เลม จดพมพเผยแพร สานกงานเลขาธการสภาการศกษา 99/20 ถนนสโขทย เขตดสต กรงเทพฯ 10300 โทรศพท 0 2668 7123 ตอ 2528 โทรสาร 0 2668 7329 Web site : http://www.once.go.th สานกพมพ บรษท พมพด จากด 21/232 – 4 ซอยคลองหนองใหญ ถนนวงแหวน เขตบางแค กรงเทพฯ 10160 โทรศพท 0 2803 2694 – 7 โทรสาร 0 2803 4401

คานา

หลกสตรเพมพนประสบการณ (Enrichment Program) เปนหลกสตรทจดขนสาหรบนกเรยนทมความสามารถพเศษดานคณตศาสตร โดยมวตถประสงคเพอ

: พฒนาผเรยนใหมความสามารถดานคณตศาสตรในระดบทกวาง ยาก และลกซงกวา หลกสตรปกต โดยเนนกระบวนการเรยนร กระบวนการคดทหลากหลาย และทกษะทเปนรากเหงาของความสามารถดานคณตศาสตรมากกวาทจะเนนเนอหาทปรากฏในสอการเรยน

: ฝกการคดวเคราะห สบสวนหาความร และฝกทกษะอนๆ ทอยนอกเหนอจากจดมงหมายในการเรยนของหลกสตรปกต โดยเฉพาะทกษะทตองใชความคดรเรมและความคดสรางสรรค

: ฝกใหศกษาเรองใดเรองหนงอยางชดแจง ฝกการทาโครงสรางการเรยนร การวางแผน และการจดการตามความถนด และศกยภาพ

: ฝกการใชความคดสรางสรรค สามารถบรณาการกบวชาอนๆ ทเกยวของได : เขาใจธรรมชาต ความงาม ความกระชบ และความชดเจนของคณตศาสตร เอกสารเลมนเปน คมอการสอนหลกสตรเพมพนประสบการณสาหรบนกเรยนทมความ

สามารถพเศษ ดานคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนปลาย ทไดจากการวจยนารองการพฒนารปแบบและหลกสตรการจดการศกษาสาหรบผมความสามารถพเศษ ดานคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนปลาย ซงเนอหาทปรากฏอยในเอกสารเลมนเปนเพยงตวอยาง ทนาเสนอไวใหครผสอนนกเรยนทมความสามารถพเศษไดดเปนตวอยางและนาไปใชสอน โดยครผสอนสามารถจะขยายเนอหาทนาเสนอไว หรอเลอกเนอหาอนๆ ทนาสนใจหรอเหมาะสมกบสภาพการณของครและนกเรยน เพอนามาสอนในหลกสตรน โดยเนอหานนควรสามารถทาใหบรรลวตถประสงคทไดกลาวมาแลวขางตน

สานกงานเลขาธการสภาการศกษา ขอขอบคณรองศาสตราจารยศกดา บญโต และคณะ ตลอดจนผเกยวของทกทานทใหความรวมมอและชวยเหลอ จนทาใหการดาเนนงานสาเรจลลวงไปไดดวยด และหวงเปนอยางยงวาองคความรทไดจากการวจยครงน จะเปนประโยชนตอวงการศกษาดานคณตศาสตรของไทยอยางกวางขวางตอไป

ศาสตราจารย รอยตารวจเอก (วรเดช จนทรศร)

เลขาธการสภาการศกษา

สารบญ หนา

คานา สารบญ หนวยท 1 ทกษะการคานวณ (การบวก - ลบ) 1

การบวกจานวนหลายจานวน 2 จานวนในระบบเครองหมายคละ 10

การบวก - ลบ คละกนหลายจานวน 24 หนวยท 2 ทกษะการคานวณ 2 (การคณ) 50

การคณโดยใชคาเบยงฐาน 51 การคณโดยการจดตาแหนงผลคณ 61 การคณโดยใชตาราง 68

การคณแนวตง และการคณไขว 71 หนวยท 3 ทกษะการคานวณ 3 (การหาร) 79

การหารสงเคราะห 80 ทศนยม 97

หนวยท 4 การแกปญหาทางคณตศาสตร 101 กระบวนการแกปญหา 103 การสรางสรรคปญหา 110

หนวยท 5 ระเบยบวธพสจน 115 การพสจนประโยค ถา… แลว… 117

การพสจนประโยคทมตวเชอมผสม 126 การพสจนประโยคทมตวบงปรมาณ 128

หนวยท 6 อปนยเชงคณตศาสตร (Mathematical Induction) 130 อปนยเชงคณตศาสตร 131 หนวยท 7 อสมการ 142

อสมการทเกยวกบพชคณต 143 อสมการเกยวกบคาสมบรณ 146

สารบญ (ตอ) หนา

หนวยท 8 ปญหาทาทายปญญา 151 ปญหาทาทายปญญา 152

ผลเฉลย 162 หนวยท 9 ลาดบของจานวนเชงรปเรขาคณต 177 ลาดบของจานวนเชง รปสามเหลยม และจานวนเชงรปสเหลยมจตรส 178

ลาดบของจานวนเชงพรามด ฐานรปสามเหลยมดานเทา และ 182 ฐานรปสเหลยมจตรส

ความสมพนธระหวางจานวนเชงรปเรขาคณต 188 หนวยท 10 คณตศาสตร กบ ICT 192 ลาดบฟโบนกช (Fibonacci Sequences) 193 เรขาคณตสาทสรป (Fractal Geometry) 193 นกคณตศาสตร (Mathematicians) 194 บรรณานกรม 195

หลกสตรเสรมประสบการณ

หนวยท 1 ทกษะการคานวณ (การบวก - ลบ)

ตอนท 1.1 การบวกจานวนหลายจานวน ตอนท 1.2 จานวนในระบบเครองหมายคละ ตอนท 1.3 การบวก - ลบ จานวนคละกนหลายจานวน แนวคด 1. การบวก ถานาจดมาแทนการทดจะทาใหการคดคานวณแมนยาและรวดเรวขน 2. การแปลงจานวนในระบบฐานสบเปนระบบเครองหมายคละ แลวนามาใชในการคดคานวณ

ในการบวก - ลบจะทาใหมกระบวนการคดคานวณทรวดเรว และหลากหลายวธ วตถประสงค เมอศกษาหนวยท 1 จบแลวนกเรยนสามารถ 1. บวกจานวนหลายจานวนไดอยางแมนยาและรวดเรว 2. แปลงจานวนในระบบฐานสบเปนจานวนในระบบเครองหมายคละได และแปลงจานวน

ในระบบเครองหมายคละเปนจานวนในระบบฐานสบได 3. บวก และลบจานวนคละกนไดหลายวธแตกตางกน 4. ออกแบบวธการบวก-ลบจานวนตามแนวคดสรางสรรคของตนเอง กจกรรมระหวางเรยน 1. อาจารยอธบายเนอหา กระบวนการวธคดคานวณ การบวก ระบบเครองหมายคละ

การบวก - ลบคละกนดวยวธ 2. นกเรยนทากจกรรมตามตวอยาง และแบบฝกหด 3. นกเรยนประเมนพฒนาการของตนเอง สอการสอน 1. เอกสารการสอน 2. แบบฝกปฏบต 3. เครองฉายขามศรษะ ประเมนผล ประเมนผลจากแบบฝกหด และการทดสอบ

2

จดแทนการทด จดแทนการทด 9

ตอนท 1.1 การบวกจานวนหลายจานวน

เรองท 1.1.1 การบวกจานวนหลายจานวนตามแนวตง

ในการบวกจานวนหลายๆ จานวน โดยการตงบวกกนนนปญหาททาใหผดพลาดไดงาย กคอ การ

ทดและการบวกเลขในใจทมตวเลขมากกวา 1 หลก สาหรบวธการบวกทจะแนะนาน เปนวธการบวกใน

เวทคณต ซงงายกวาวธการบวกทวๆ ไป เพราะจะคดในใจเฉพาะการบวกเลขโดดเทานน (เลขโดด ไดแก

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) และจะเขยนผลลพธเฉพาะเลขโดด ถาผลลพธเกน 9 จะใช • แทนตวทด

ดงตวอยาง ตอไปน

ตวอยาง การบวกเลขโดด

1 + 4 = 5 2 + 3 = 5 8 + 2 = •0 (

•0 คอ 10) 4 + 9 =

•3 (

•3 คอ 13)

3 + 5 = 8 8 + 1 = 9 5 + 7 = •2 (

•2 คอ 12) 7 + 8 =

•5 (

•5 คอ 15)

6 + 3 = 9 0 + 7 = 7 9 + 8 = •7 (

•7 คอ 17) 9 + 9 =

•8 (

•8 คอ 18)

ในการบวกเลขเปนแถวหลายๆ แถว จะนาหลกการบวกเลขโดดขางตนมาใชโดยจะบวกทละหลก

เรมตนจากหลกหนวย หลกสบ หลกรอย ไปเรอยๆ จนหมดหลก การบวกจะบวกเลขเฉพาะเลขโดดจาก

แถวบนลงแถวลาง ถามการทดจะเขยน • แทนการทดทตวบวก หลงจากนนจะนาเลขโดดของผลบวกกบ

เลขโดดในหลกหนวยของแถวทอยถดไปขางลาง ทาเชนนจนหมดแถว เสรจแลวจงบวกเลขโดดในหลก

สบ แตกอนทาการบวกเลขโดดในหลกสบจะตองตรวจสอบกอนวาม • ในหลกหนวยอยเทาใด เมอนบ •

ในหลกหนวยไดแลววามจานวนเทาใดกใหถอวาจานวน • ทนบไดเปนตวทดไปยงหลกสบ แตถาไมม •

ในหลกหนวยเลย ถอวาไมมตวทดไปยงหลกสบ ในกรณทมตวทดใหนาตวทดไปบวกกบตวเลขในหลก

สบของแถวแรกแลวทาการบวกลงมาเชนเดยวกบการบวกในหลกหนวย สาหรบการบวกในหลกอนๆ ก

กระทาเชนเดยวกน

ตวอยางท 1.1.1

การบวกแบบธรรมดา การบวกแบบเขยน • แทนการทด

1 ทด

2 6 2 6

8 •8 ทศทางการบวก

3 4 3 4

+ +

3

+ 6 + 8 = 4 จงใส • ไวท 8 ซงเปนตวบวก

การบวกแบบธรรมดาในหลกหนวย 6 + 8 = 14 จงเขยน 4 เปน ผลลพธในหลกหนวยและทด 1

ไวเหนอ 2 ซงเปนเลขในหลกสบของตวตง รวมตวตงกบตวทดได 1 + 2 = 3 จงเขยนผลลพธ 3 ทหลกสบ

ของผลลพธ จงได 26 + 8 = 34

การบวกแบบเขยน • แทนการทด จะเขยน • กากบไวเหนอตวบวก เมอการบวกนนไดผลลพธ

ตงแต 10 ขนไป

พจารณาการบวกในหลกหนวย

6

8 ทศทางการบวก จากบนลงลาง) ใส 4 ทไดจาก 4 14 ไวในผลลพธ

สาหรบ • ในหลกหนวย นน คอ 1 ในหลกสบทเปนตวทดนนเอง

หลงจากนนนา • ทแทน 1 ในหลกสบไปบวกกบ 2 ในหลกสบของตวตงไดเปน 3 ผลลพธ คอ 34

ตวอยางท 1.1.2 จงหาผลบวกตอไปน

8 3 5

4 8 9 +

6 9 2

ก

แนวคด การบวกในหลกหนวย

หลกหนวย

8 3 5 5 + 9 = •4 นา • ไปใสไวท 9 ซงเปนตวบวก นาผลลพธ

4 •8

•9 + 4 ไปบวกกบ 2 ในบรรทดท 3 ไดผลลพธเปน 6 ใส 6 ตรงกบ

6 •9 2 หลกหนวยในบรรทดท 4 ทเปนบรรทดผลลพธ

6

• •

4

การบวกในหลกสบ

หลกสบ

8 3 5 หนง • ในหลกหนวยทดเปน 1 ในหลกสบ จงนา 1 ไปบวก

4 •8

•9 + กบ 3 ในหลกสบของแถวแรกไดเปน 4 นา 4 ไปบวกกบ 8

6 •9 2 จะได 4 + 8 =

•2

1 6 จงเขยน • ไวท 8 ซงเปนตวบวกแลวนา 2 ไปบวกกบ 9 ไดผลลพธ

เปน •1 จงเขยน • ไวท 9 ซงเปนตวบวก เขยนผลลพธ 1 ตรงกบ

หลกสบในบรรทดท 4 ทเปนบรรทด ผลลพธ

การบวกในหลกรอย

หลกรอย

•8 3 5 สอง • ในหลกสบทดเปน 2 ในหลกรอย จงนา 2 ไปบวกกบ 8 ใน

4 •8

•9 + หลกรอยของแถวแรก 2 + 8 =

•0 จงใส • ท 8 ซงเปนตวบวก นา 0

•6

•9 2 ไปบวกกบ 4 ได 4 นา 4 ไปบวกกบ 6 ในบรรทดท 3 4 + 6 =

•0 จง

0 1 6 ใส • ท 6 ทเปนตวบวก และเขยน0 ลงในหลกรอยของบรรทดผลลพธ

คาทดไปหลกพน

•8 3 5 เนองจากในหลกรอยมสอง • ทดเปน 2 ไปหลกพน แตหลกพนไมม

4 •8 9 + การบวกจงใส2 ไวในหลกพนของบรรทดผลลพธ

•6

•9 2

2 0 1 6

จงไดผลบวก คอ 2 0 1 6

5

ตวอยางท 1.1.3 ตวอยางตอไปนจะแสดงขนตอนการบวกทละหลก การบวกเรมตงแตหลกหนวย เปน

ขนท 1 การบวกหลกสบเปนขนท 2 ไปเรอยๆ

7 •8

•9 2 4

•2 7 2

•7 2

•9

•9

•9 9

•9

7 2 6 •7 2

7 8 8 6 7

แนวคด

ขนท 1 4 + 2 = 6 → 6 + 9 = 15 (ใส • เหนอ 9) → 5 + 2 = 7 ใส 7 เปนผลลพธในหลกหนวย

และมตวทดเปน 1

ขนท 2 นา 1 (ตวทด) มาบวกในหลกสบ 1 + 2 = 3 → 3 + 7 = 10 (ใส • เหนอ 7)

→ 0 + 9 = 9 → 9 + 7 = 16 (ใส • เหนอ 7) ใส 6 เปนผลลพธในหลกสบ และมตวทดเปน 2

ขนท 3 นา 2 (ตวทด) มาบวกในหลกรอย 2 + 9 = 11 (ใส • เหนอ 9) → 1 + 2 = 3 → 3 + 9 = 12

(ใส • เหนอ 9) → 2 + 6 = 8 ใส 8 เปนผลลพธในหลกรอย และมตวทดเปน 2

ขนท 4 นา 2 (ตวทด) มาบวกในหลกพน 2 + 8 = 10 (ใส • เหนอ 8) → 0 + 7 = 7 → 7 + 9 = 16

(ใส • เหนอ 9) → 6 + 2 = 8 ใส 8 เปนผลลพธในหลกพน และมตวทดเปน 2

ขนท 5 นา 2 (ตวทด) มาบวกในหลกหมน2 + 7 = 9 → 9 + 2 = 11 (ใส • เหนอ 2) 1 + 9 = 10

(ใส • เหนอ 9) → 0 + 7 = 7 ใส 7 เปนผลลพธ ในหลกหมน และมตวทดเปน 2 หมด การบวก จงเขยนตว

ทด 2 เปน 2 ในหลกแสน การบวกเปนดงน

7 •8

•9 2 4

•2 7 2

•7 2 +

•9

•9

•9 9

•9

7 2 6 •7 2

2 7 8 8 6 7

+

6

ตวอยางท 1.1.4 จงหาผลบวกตอไปน

2 9 7 9 6

6 5 7 2 8 +

2 3 9 9 9

5 4 3 2 1

6

แนวคด

ขนท 1 6 + •8 = 14 → 4 +

•9 = 13 → 3 + 1 = (4) ( 2 จด ทด 2 ไปขนท 2)

ขนท 2 2 + •9 = 11 → 1 + 2 = 3 → 3 +

•9 = 12 → 2 + 2 = (4) ( 2 จด ทด 2 ไปขนท 3)

ขนท 3 2 + 7 = 9 → 9 + •7 = 16 → 6 +

•9 = 15 → 5 + 3 = (8) ( 2 จด ทด 2 ไปขนท 4)

ขนท 4 2 + •9 = 11 → 1 + 5 = 6 ---> 6 + 3 = 9 → 9 +

•4 = 13(3) ( 2 จด ทด 2 ไปขนท 5)

ขนท 5 2 + 2 = 4 → 4 + •6 = 10 ---> 0 + 2 = 2→2 + 5 = (7) ( 1 จด ทด1ไปขนหลกแสน) จะได

2 •9 7

•9 6

•6 5

•7 2

•8 +

2 3 •9

•9

•9

5 •4 3 2 1

1 7 3 8 4 4

7

ตวอยางท 1.1.5 จงหาผลบวกของ

4 1 7 5 แนวคด 4 1 7 5

3 8 2 6 + 3 •8

•2

•6 +

4 7 5 3 •4 7 5 3

2 1 0 4 2 1 0 4

ฏ 1 4 8 5 8

เพอเปนการฝกหดการบวกเลขโดด ตารางตอไปนแสดงตารางการบวกเลขโดด ซงสามารถ

เขาใจไดโดยงาย

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 หมายเหต

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 •0 = 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 •0

•1 = 11

2 2 3 4 5 6 7 8 9 •0

•1

•2 = 12

3 3 4 5 6 7 8 9 •0

•1

•2

•3 = 13

4 4 5 6 7 8 9 •0

•1

•2

•3

•4 = 14

5 5 6 7 8 9 •0

•1

•2

•3

•4

•5 = 15

6 6 7 8 9 •0

•1

•2

•3

•4

•5

•6 = 16

7 7 8 9 •0

•1

•2

•3

•4

•5

•6

•7 = 17

8 8 9 •0

•1

•2

•3

•4

•5

•6

•7

•8 = 18

9 9 •0

•1

•2

•3

•4

•5

•6

•7

•8

•9 = 19

8

แบบฝกหดท 1.1

1. จงหาผลบวกตอไปน (1) 8 1 3 (2) 6 6 6 (3) 1 4 8 2 5 6 + 9 4 5 + 9 8 7 + 7 4 9 1 3 2 4 5 6 ก ก ห (4) 3 1 3 8 (5) 2 1 2 9 (6) 8 1 4 2 4 5 7 5 + 9 7 5 4 + 6 7 5 4 + 3 6 4 9 3 6 8 1 9 9 9 9 7 3 2 2 2 1 3 4 3 3 3 3 ก ห (7) 5 9 4 1 5 (8) 6 7 5 4 1 (9) 1 4 1 5 1 7 2 4 8 8 3 6 8 7 8 7 8 4 8 9 + 4 7 9 5 + 2 6 4 9 + 8 2 1 1 6 3 8 5 8 3 3 5 5 5 3 8 4 1 4 8 7 6 5 4 7 8 2 1 4 ก ห (10) 4 8 5 9 5 (11) 4 1 2 8 1 4 7 2 8 5 2 3 9 3 1 6 9 3 5 2 7 8 4 2 7 3 8 0 9 2 5 2 9 8 3 4 2 1 6 1 2 5 + 5 5 7 6 6 + 6 6 6 6 3 3 3 8 1 2 3 4 5 1 4 8 5 3 7 6 2 1 2 3 1 1 7 ก

9

2. จงหาผลบวกของ

31465 + 47474 + 38641 + 27264 + 38886 = ก

48753 + 99486 + 10238 + 47655 + 95384 = ก

สนกกบตวเลข (1)

คเหมอน สามตวเหมอน สตวเหมอน

11 × 1 = 11 37 × 3 = 111 101 × 11 = 1111

11 × 2 = 22 37 × 6 = 222 101 × 22 = 2222

11 × 3 = 33 37 × 9 = 333 101 × 33 = 3333

11 × 4 = 44 37 × 12 = 444 101 × 44 = 4444

11 × 5 = 55 37 × 15 = 555 101 × 55 = 5555

11 × 6 = 66 37 × 18 = 666 101 × 66 = 6666

11 × 7 = 77 37 × 21 = 777 101 × 77 = 7777

11 × 8 = 88 37 × 24 = 888 101 × 88 = 8888

11 × 9 = 99 37 × 27 = 999 101 × 99 = 9999

10

ตอนท 1.2 จานวนในระบบเครองหมายคละ

เรองท 1.2.1 จานวนในระบบฐานสบกบจานวนในระบบเครองหมายคละ

ในระบบตวเลขฐานสบซงตวเลขทใชไดแก ตวเลข 0 ไปจนถง 9 สาหรบในระบบเครองหมาย

คละ นยมเปลยนรปตวเลขทมากกวา 5 ใหเปนตวเลขทนอยกวา 5 แลวเขยนสญลกษณ - (ขดบน) บน

ตวเลขเหลานน อน จะทาใหการคานวณงายขน เพราะการคานวณใชคาตวเลขเพยง 0 ถง 5 ยอมงายและเรว

กวาใชคาตวเลขตงแต 0 ถง 9 การเขยนสญลกษณแทนตวเลขทมากกวา 5 แสดงดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 1.2.1 พจารณา 9 จะเหนวา 9 = 10 - 1 = 10 + (-1) ถาเขยน -1 เปน _1

จะได 10 + (-1) = 10 + _1 ซงจะเขยนเปน 1

_1 ดงนน 9 = 1

_1 อธบายไดดงน

ในระบบตวเลขฐานสบ ถาเขยน ab จะหมายถง a × (10) + b ทานองเดยวกน 1_1 จะหมายถง

1 × (10) + _1 = 10 +

_1

นนคอ 1_1 = 1 × (10) +

_1 = 10+

_1 = 10 - 1 = 9

ตวอยางท 1.2.2 29 = 30 – 1 = 30 + (-1) = 3 × (10) + (-1)

= 30 + _1 = 3

_1

นนคอ 29 = 3_1

สาหรบจานวนเตม m ใด ๆ กาหนด m = – m

จากการกาหนด m = – m สาหรบจานวนเตม m ใดๆ จะไดคณสมบตตอไปน

สาหรบจานวนเตม m, n ใด ๆ

1. nm ____+ = m + n

2. m = m

3. nm ____+ = m n

____+ = m + n = n + m

แสดงไดดงน

1. nm ____+ = – (m + n) = (– m) + (– n) = m + n

2. m = – m = – (– m) = m

3. nm ____+ = – (m + n ) = (– m) – n = (– m) – (–n)

= (– m) + n = m + n

11

m n ____+ = – ( n + m) = (– n ) + (– m) = – (– n) + (– m)

= n + (– m) = n + m

นอกจากน สาหรบในระบบตวเลขฐานสบ จะมคณสมบตดงตอไปน

สาหรบเลขโดด an , an - 1 , an - 2 ,..., a2 , a1 , a0

4. ___________________

0122 n1 nn a a a ... aa a −− = __

na ____

1na − ____

2na − ...__

2a __

1a __

0a

คณสมบตขอ 4. จะแสดงประกอบดวยตวอยาง ดงน

__23 =

_2

_3

(เนองจาก 23 = 20 + 3 ดงนน __23 =

_____3 20 + =

__20 +

_3

โดยการเขยนแบบมคาประจาตาแหนง จะได __20 +

_3 =

_2

_3

การเขยนจานวนในระบบเครองหมายคละนน จะพบจานวนทเขยนดงตวอยางตอไปน

1 ,_2 ,

_3 , 0 ,

_4 , 2 , 1 ,

_5 , 6 , 1 ,

_0 , 2 ,

_1 ฯลฯ ซงหลกใดมขดบนอยเหนอจานวนหลกนนๆ จะมคาเปน

จานวนลบทมขนาดเทากบขนาดของคาตวเลขในหลกนน

ตวอยางตอไปนเปนตวอยางการเขยนตวเลขในระบบฐานสบ เปนตวเลขในระบบเครองหมาย

คละโดยมขดบน –

ตวอยางท 1.2.3 79 = 80 + (–1) = 80 + _1

เขยน 80 + _1 ในรปคาประจาตาแหนงจะได 8

_1

ดงนน 79 = 8 _1

นอกจากน 80 = 100 – 20 = 100 + __02 = 100 +

__02 = 1

__02

ดงนน 79 = 80 + _1 = 1

__02 +

_1 = 1

_2

_1

(เพราะ _0 +

_1 =

_1 )

นนคอ 79 = 1 _2

_1

หมายเหต การเขยนสญลกษณแทน 79 อาจทาไดดงน

79 = 100 – 21 = 100 + _2

_1 = 100 +

__02 +

_1 = 1

_2

_1

12

ในการเขยนจานวนในระบบตวเลขฐานสบใหเปนตวเลขทใชในระบบเครองหมายคละ โดยใช

เลขโดดไมเกน 5 สามารถทาไดโดยใชจานวนทบสบ และจานวนทบเกา ซงในการอธบายความหมายของ

จานวนทบเกา หรอจานวนทบสบของเลขโดดใดๆ อธบายไดดงน

จานวนทบเกา สาหรบเลขโดด a ใดๆ จานวนทบเกาของ a

คอเลขโดด b ซง a + b = 9

เนองจากสาหรบเลขโดด a, b ใดๆ a + b = b + a ดงนน ถา a + b = 9 จะได b + a = 9

จงกลาวไดวา b เปนจานวนทบเกาของ a และ a เปนจานวนทบเกาของ b หรอกลาววา a และ b

เปนจานวนทบเกาซงกนและกน

คจานวนทบเกาของเลขโดด 0 ถง 9 มดงน

0 และ 9 เปนจานวนทบเกาซงกนและกนเพราะ 0 + 9 = 9 + 0 = 9





จานวนทบสบ สาหรบเลขโดด a ใดๆ จานวนทบสบของ a

คอเลขโดด b ซง a + b = 10

ทานองเดยวกนกบจานวนทบเกา สาหรบเลขโดด a และ b ซง a + b = 10 กลาววา a และ b เปน

จานวนทบสบซงกนและกน

คจานวนทบสบของเลขโดด 0 ถง 9 มดงน

1 และ 9 เปนจานวนทบสบซงกนและกนเพราะ 1 + 9 = 9 + 1 = 10




5 เปนจานวนทบสบของตวเองเพราะ 5 + 5 = 10

13

ตวอยางท 1.2.4 จงเขยน 2789 โดยใชตวเลขไมเกน 5

แนวคด 2 7 8 9 = 3 0 0 0 – 2 1 1

= 3 0 0 0 + ___112

= 3 ___112

= 3 ___112

นอกจากวธคดตามแนวคดขางตนแลว อาจใชวธคดลดไดดงน

พจารณา 789 ตวเลขทตองเปลยนแปลงคอ 9 ในหลกหนวย 8 ในหลกสบ และ 7 ในหลกรอย

ตวเลข ขวาสด (หลกหนวย) คอ 9 มจานวนทบสบ คอ 1 ใสขดบนไดเปน _1

ตวเลข หลกสบ คอ 8 มจานวนทบเกา คอ 1 ใสขดบนไดเปน _1

ตวเลข ซายสด (หลกรอย) คอ 7 มจานวนทบเกา คอ 2 ใสขดบนไดเปน _2

ในการเขยน 2789 โดยเขยนเฉพาะตวเลขทนอยกวา 5 และใช ขดบนทาไดดงน ใหเขยนตวเลข

จากขวาไปซายโดยเขยนจานวนทบสบของ 9 พรอมขดบนถดมาเปนจานวนทบเกาของ 8 พรอมขดบน

และจานวนทบเกาของ 7 พรอมขดบน และตวเลขซายสดเขยนคาของ 2 ทเพมขน 1 นนคอเขยน 3 ซายสด

จะได 3 ___112

เขยนเปนผงไดดงน (เรมจาก ขวาไปซาย)

2 7 8 9

เพมคาขน 1 จานวนทบ

เกา

ของ 7

จานวนทบ

เกา

ของ 8

จานวนทบ

สบ

ของ 9

2 1 1

ใสขดบน ใสขดบน ใสขดบน

3 _2

_1

_1

นนคอ 2789 เปลยนเปน 3 ___112

14

ขอสงเกต สาหรบจานวนเตม m ใดๆ ถามชดของเลขโดดตดกนหลายตว โดยทเลขโดดแตละตวทตดกน

นนมคาเกน 5 ในการแปลงเลขโดดเหลานนทาไดโดยตวเลขขวาสดของชดแปลงเปนจานวนทบสบของเลข

โดดนน แลวเขยนขดบนไวทจานวนทบสบนน สาหรบเลขโดดถดๆ มาทางซายในชดนน แปลงเปนจานวน

ทบเกาแลวเขยนขดบนไวทจานวนทบเกาเหลานน และเลขโดดทถดไปทางซายทมคานอยกวา 5 ใหเพมคา

ขน 1 กจะเปนการเขยนจานวนเตม m ทมเลขโดดมคาไมเกน 5

ตวอยางท 1.2.5 จงเขยน 928716 โดยใชตวเลขไมเกน 5 (นขลมสตร)

แนวคด 0 9 2 8 7 1 6

1 _1 3

_1

_3 2

_4

4 เปน จานวนทบสบของ 6 จงเขยน _4

เพมคา 1 ขนอก 1 เปน 2

3 เปนจานวนทบสบของ 7 จงเขยน _3

1 เปนจานวนทบเกาของ 8 จงเขยน _1

เพมคา 2 ขนอก 1 เปน 3

1 เปนจานวนทบสบของ 9 จงเขยน _1

เนองจากในหลกของ 9 จะตองแปลงคา 9

เปน _1 ดงนน

จงจาเปนตองเขยน 0 หนา 9 เพอจะตองเพมคาขน 1 จงเขยน 1 เพมขนมาไวหนาสดของตวเลขท

แปลงแลว

นนคอ 928716 = 1 _1 3

_1

_3 2

_4

15

เรมชด เรมชดใหม

ตวอยางท 1.2.6 จงแปลง 257182 เปนตวเลขนขลมสตร

แนวคด 2 5 7 1 8 2

แนวคด 2 6 _3 2

_2 2

ไมมการเปลยนแปลง

จานวนทบสบ

1 + 1


5 + 1


ดงนน 2 5 7 1 8 2 = 2 6 _3 2

_2 2

หลงจากการแปลงครงแรกแลวยงมเลขโดด 6 ทมคาเกน 5 จงแปลงตอไป

2 6 _3 2

_2 2

3 _4

_3 2

_2 2



2 + 1

ดงนน 2 6 _3 2

_2 2 = 3

_4

_3 2

_2 2

นนคอ 2 5 7 1 8 2 = 3 _4

_3 2

_2 2

ตวอยางท 1.2.7 จงแปลง 353782 เปนตวเลขนขลมสตร

แนวคด 3 5 3 7 8 2

3 5 4 _2

_2 2

16

เรมตนใหม



ดงนน 3 5 3 7 8 2 = 3 5 4 _2

_2 2

ในการแปลงตวเลขในนขลมสตรใหเปนตวเลขในระบบฐานสบ สามารถทาไดโดยใชกระบวนการ

ยอนกลบ จากการแปลงตวเลขในระบบฐานสบเปนตวเลขในนขลมสตร

พจารณาการแปลงตวเลขระบบฐานสบเปนตวเลขในนขลมสตร

3 7 1 6 9

4 _3 2

_3

_1

จานวนทบสบของ 9 คอ 1 แลวใสขดบนเปน _1

จานวนทบเกาของ 6 คอ 3 แลวใสขดบนเปน _3

จาก 1 เพมคาขนอก 1 เปน 2


จาก 3 เพมคาขนอก 1 เปน 4

การแปลงตวเลขในนขลมสตร เปนตวเลขระบบฐานสบใชกระบวนการยอนกลบ ดงน

4 _3 2

_3

_1

3 7 1 6 9

เอาขดบนออกจาก _1 ได 1 หาจานวนทบสบ

ของ 1 ไดเปน 9

เอาขดบนออกจาก _3 ได 3 หาจานวนทบเกา


2 มคาลดลง 1 ไดเปน 1

เอาขดบนออกจาก _3 ได 3 หาจานวนทบสบ


4 มคาลดลง 1 เปน 3

นนคอ 4 _3 2

_3

_1 = 3 7 1 6 9

17

เรมตนใหม เรมตน

ตวอยางท 1.2.8 จงแปลง 3 _3 4

_4 เปนตวเลขในระบบฐาน 10

แนวคด 3 _3 4

_4

2 7 3 6

เอา ออกจาก _4 ไดเปน 4 ซงจานวนทบสบ

ของ 4 คอ 6

ลดคา 4 ลง 1 เปน 3

เอา ออกจาก _3 ไดเปน 3 ซงจานวนทบสบของ

3 คอ 7

ลดคา 3 ลง 1 เปน 2

นนคอ 3 _3 4

_4 = 2 7 3 6

ตวอยางท 1.2.9 จงแปลง 3 _3

_4

_2 เปนตวเลขในระบบฐานสบ

แนวคด 3 _3

_4

_2

2 6 5 8

ทบสบ

ทบเกา

ลดคาลง 1

ดงนน 3 _3

_4

_2 = 2658

18

ตวอยางท 1.2.10 จงแปลง 3 _6 2

_2


แนวคด 3 _6 2

_2

_7

2 4 1 7 3

ทบสบ

ทบเกา


ทบสบ


ดงนน 3 _6 2

_2

_7 = 24173

เรมตน

19

เรองท 1.2.2 จานวนตรงขาม

ตอไปจะกลาวถงจานวนตรงขามในระบบเครองหมายคละ เชน –3_6 2

_1 มคาเปนเทาใด ในการ

พจารณาคาจานวนตรงขาม จะตองใชคณสมบต – an an-1 ...a2 a1 a0 = __

na____

1na −

____2na − ...

__2a

__1a

__0a และใน

กรณของนขลมสตรจะตองแปลงตวเลขทมคามากกวา 5 ใหเปนตวเลขทนอยกวา 5 และมขดบนเสยกอน จง

จะทาการหาจานวนตรงขามดงจะแสดงโดยตวอยางตอไปน

ตวอยางท 1.2.11 –27489 = _2

_7

_4

_8

_9

ในนขลมสตรจะไมเขยนตวเลขทเกน 5 จงจะตองแปลง 27489 เปน ตวเลขในนขลมสตรกอน

ดงน

27489 = 3 _3 5

_1

_1

จะได – (27489) = – (3 _3 5

_1

_1 )

= _3 3

_5 1 1

= _3 3

_5 1 1

นนคอ –27489 = _3 3

_5 1 1

ตวอยางท 1.2.12 – 80379 = – (80379)

= – (1 _2 0 4

_2

_1 )

= _1 2

_0

_4 2 1

= _1 2 0

_4 2 1

นนคอ – 80379 = _1 2 0

_4 2 1

ในตวอยางท 1.2.11 และ 1.2.12 เปนการแปลงจานวนลบในฐานะฐานสบใหเปนจานวนใน

ระบบเครองหมายคละ ในทางกลบกนจานวนในระบบเครองหมายคละ เมอแปลงแลวอาจจะเปนจานวน

ลบในระบบฐานสบไดดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 1.2.13 จงแปลง _3 7 8

_2 1 เปนจานวนในระบบฐานสบ

แนวคด วธท 1 ใช M = – (– M) และ – N = N แลวใชจานวนทบสบและทบเกา

20

_3 7 8

_2 1 = – (– (

_3 7 8

_2 1))

= – (3 _7

_8 2

_1 )

= – (2 2 2 1 9)

= – 2 2 2 1 9

ดงนน _3 7 8

_2 1 = – 2 2 2 1 9

วธท 2 ใชจานวนทบสบและทบเกาโดยตรงโดยใหตวเลขทกตวมขดบน _3 7 8

_2 1

_2

_2

_2

_1

_9


_2 เพมคาขน 1 เปน

_1


จานวนทบเกาของ 7 คอ 2 แลวใสขดบนเปน _2

_3 เพมคาขน 1 เปน

_2

ดงนน _3 7 8

_2 1 =

_2

_2

_2

_1

_9

= – 22219

วธท 3 เปลยนตวเลขทมขดบนเปนตวเลขทมคาเปนบวก

0 _3 7 8

_2 1

_1 7 7 7 8 1

1 มคาคงเดม

เอาขดบนออกจาก _2 ได 2 มจานวนทบสบเปน 8

ลดคา 8 ลง 1

7 มคาคงเดม


เอาขดบนออกจาก _3 ได 3 มจานวนทบสบเปน 7

ลดคา 0 ลง 1 เปน _1

21

นา _1 7 7 7 8 1 มาแปลงอกครงหนงเพราะ

_1 ยงไมใชตวเลขทมคา เปนบวก

_1 7 7 7 8 1 = – 100000 + 77781

= – 22219

นนคอ _3 7 8

_2 1 = – 22219

หมายเหต – 100000 + 77781 หาคาไดจาก

เขยนจานวนทบเกาของ 7778 แตละตวตามลาดบ และเขยนจานวนทบสบของ 1 แลวใส

เครองหมายลบ – ขางหนา จะไดผลลพธตามตองการ

7 7 7 8 1

2 2 2 1 9 ← จานวนทบเกาและทบสบ

ใส – ขางหนา → – 222197

ขอสงเกต

1. สาหรบเลข an an+1 ...a2 a1 a0 ถาเขยนขดบนลงบน an เปน __

na และถงแมวา ai ตวอน ๆ

( i = n – 1, ..., 0) จะมขดบนหรอไม จะมคาเปนจานวนลบเมอ an ≠ 0 เชน _3 7 8

_2 1 = – 22219

2. ในระบบตวเลขฐานสบคาประจาหลกนบตงแตหลกสบขนไปจะมคาเปน 10, 100, 1000,

10000, ..., 10n ,... เมอ n เปนจานวนเตมทมากกวาหรอเทากบ 1 ถา m เปนจานวนเตม และ m < 10n

สาหรบบาง n จะมจานวนเตม p ซง m + p = 10n จะเรยก p วาจานวนทบ 10n ของ m หาไดโดยหา

จานวนทบสบของเลขโดดขวาสดของ m แลวหาจานวนทบเกาของเลขโดดของ m ทถดไปทางซาย

ดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 1.2.14 จงหาจานวนทบ 10n ของ 728 เมอ 10n มคาดงน

ก. 1000

ข. 10000

ค. 100000

22

ก. เนองจาก 1000 เปนเลขทม 0 อย 3 ตว และ 728 เปนจานวนทม 3 หลก จงเขยนจานวนทบสบ

และทบเกาตามขอสงเกตดงน

7 2 8

2 7 2

ดงนน จานวนทบ 1000 ของ 728 คอ 272

ข. เนองจาก 10000 เปนเลขทม 0 อย 4 ตว และ 728 เปนจานวนทม 3 หลก จงเพม 0 ขางหนา

เพอใหเปนจานวนทม 4 หลก ดงน 0728 หลงจากนเขยนทบสบและทบเกา ดงน

0 7 2 8

9 2 7 2

ดงนนจานวนทบ 10000 ของ 728 คอ 9272

ค. ทานองเดยวกนจานวนทบ 100000 ของ 728 คอ 99272

บทสรป การแปลงเลขโดดทมคาเกน 5 ใหเปนตวเลขระบบเครองหมายคละ ซงใชตวเลขไมเกน 5 จะทา

ใหการคดคานวณงายขน

23


1. จงเขยนจานวนตอไปนแบบเครองหมายคละ

(1.1) 2 9 8 (1.2) 6 3

(1.3) 9 7 1 (1.4) 1 6 1 8

(1.5) 2 9 8 7 0 5 (1.6) 1 9 1 8 1 6

(1.7) 4 8 9 9 0 2 9 1 (1.8) 9 0 8 3 5 2 8 1

(1.9) 9 9 9 8 0 8 9 2 (1.10) 9 0 9 1 2 5 4 6 8 3 2

(1.11) 9 2 3 4 6 7 1 (1.12) 9 8 3 • 0 1 2

(1.13) 2 • 1 0 3 5 (1.14) – 3 • 5 2 4 1

2. จงเขยนจานวนตอไปนในตวเลขระบบฐาน 10

(2.1) 2 _4 1 (2.2)

_3

_1

_2 8

(2.3) 3 _4

_1

_3 (2.4) 1

_2

_3 1

_1

_1 1

(2.5) 2 _3

_2

_1 4

_5 3 (2.6) 3

_3

_4

_6 0

_1

_3 4

(2.7) 5 _1

_3

_2 3

_3

_2 1 (2.8) 5

_1

_2 0

_1

_2 0 2

(2.9) 5 _4 0

_3 2

_2 1

_1 0 (2.10) 5

_1 3

_2 3

_3 5

_4 3

(2.11) 5 0 0 _3

_4 2 0

_4 (2.12) 3 0 1 •

_2

_3

_4

_5

(2.13) _3 0 1 •

_4 7

_3 2 (2.14) 1

_1 1 •

_1 1

_1 1

24

ตอนท 1.3 การบวก - ลบคละกนหลายจานวน

เรองท 1.3.1 การลบทมการขอยม

ในการลบจานวนสองจานวน ถาเลขโดดในแตละหลกของตวตงมคามากกวาหรอเทากบคาของ

เลขโดดของตวลบในหลกนนๆ แลวจะทาการลบไดงายโดยไมตองขอยม แตถาในหลกใดทตวลบมคา

มากกวาตวตงจะตองมการขอยมคาในหลกถดขนไปของตวตงซงจะทาใหการลบซบซอนขน เราอาจ

หลกเลยงการขอยมและใชวธการทบเกาหรอทบสบเขาชวย นอกจากนแทนทจะทาการลบกนในหลกทตว

ลบมคามากกวาตวตงแลวจะทาการบวกตวตงดวยจานวนทเกดจากการทบเกาหรอทบสบอกดวย

พจารณาการลบตอไปน 3 – 8 = –5 เหนไดชดวา ตวตงคอ 3 ตวลบ คอ 8 ซงตวลบมคามากกวาตว

ตง วธหาผลลบอาจทาไดโดยเปลยนเอาตวลบเปนตวตง และเปลยนตวตงเปนตวลบไดผลลพธเปนเทาใด

ใหใสเครองหมายลบ (–) หนาผลลพธนน กจะไดผลลบของ 3 – 8 ตามตองการ

สาหรบการลบ 13 – 8 ถงแมวาตวตงจะมคามากกวาตวลบแตเลขโดดในหลกหนวยของตวตงคอ

3 มคานอยกวาเลขโดดซงเปนตวลบคอ 8 กรณนจะหาผลตางเฉพาะเลขโดดกบเลขโดดไมไดจะตองใชเลข

โดดในตวตงทงหลกสบและหลกหนวย โดยทวๆ ไป อาจหาผลลพธของ 13 – 8 ไดดงน

ให 13 – 8 = ซงสอดคลองกบ 13 = 8 + นนคอ จะตองหาคา วา มคาเปนเทาใด ซงเมอ

นามาบวกกบ 8 แลวเทากบ 13 จะเหนไดวา มคาเทากบ 5 เพราะ 8 + 5 = 13

นนคอ 13 – 8 = 5

อยางไรกตาม 8 + 5 เปนการบวกเลขโดดซงผลบวกมคาเกน 10

นอกจากนถาจะหาผลลพธของ 23 – 8 อาจทาไดโดย ให 23 – 8 =

ซงสอดคลองกบ 23 = 8 + ซง มคาเทากบ 15 เพราะ 8 + 15 = 23

นนคอ 23 – 8 = 15 จะเหนไดวายากขนกวาการหาผลลพธของ 13 – 8

แนวคดและขนตอนการใชจานวนทบเกา และทบสบชวยในการลบ สาหรบกรณทตองขอยมจะ

อธบายดวยตวอยางตอไปน

25

′

′

′

′ –

–

– ขอยม

′

–

–

ตวอยางท 1.3.1 จงหาผลลบของ 43 – 18

แนวคด เขยนการลบในแนวตงใหหลกของตวตง และหลกของตวลบตรงกน

4 3

1 8 ขนท 1 ในหลกหนวย ตวตงคอ 3 ตวลบคอ 8 เหนไดชดวา ตวลบมคามากกวาตวตง จะใชจานวนทบสบของ 8 นาไปบวกกบ 3 ซงเปนตวตง แลวใส ′ เหนอตวลบในหลกถดไปทางซาย จานวนทบสบของ 8 คอ 2 นา 2 ไปบวกกบ 3 ได 5 ใส 5 เปนผลลพธในหลกหนวย แลวใส ′ เหนอ 1 ซงเปนตวลบในหลกถดไป 4 3 2+ -

1 8

5 ขนท 2 ทาการลบในหลกสบ กรณน 1 คอ 2 ซง 4 – 1 คอ 4 – 2 = 2 จงใส 2 เปน ผลลพธในหลกสบ จะไดผลลพธในการลบคอ 25 4 3 2 +

1 8

2 5

ดงนน 43 – 18 = 25

ตวอยางท 1.3.2 จงหาผลลพธของ 432 – 257

แนวคด เขยนตวตงและตวลบใหหลกตรงกน

4 3 2

2 5 7 ขนท 1 ในหลกหนวยตวตงคอ 2 นอยกวาตวลบคอ 7 จานวนทบสบของ 7 คอ 3 นา 3 บวกกบ 2 ไดเปน 5 ในชองผลลพธ เขยน ′ เหนอ 5 ซงเปนตวลบในหลกสบ 4 3 2

3+

2 5 7

5

26

′

′ ′ - –

ขอยม

′

′

′ ′ - –

′

–

′

ขนท 2 ในหลกสบตวตงคอ 3 นอยกวาตวลบคอ 5 ซงคอ 6 จานวนทบสบของ 6 คอ 4 นา 4 บวก

กบ 3 ไดเปน 7 เขยน 7 ในชองผลลพธ เขยน ′ เหนอ 2 ซงเปนตวลบในหลกรอย

4 3 2 4+ 3+

2 5 7

7 5

ขนท 3 ในหลกรอย ตวตงคอ 4 ตวลบ คอ 2′ หรอ 3 จะได 4 – 3 = 1 ใส 1 ในชองผลลพธ

4 3 2 4+ 3+

2 5 7

1 7 5

ดงนน 432 – 257 = 175

หมายเหต ในขนท 2 จานวนทบสบของ 5 คอ จานวนทบสบของ 6 ซงจานวนทบสบของ 5 คอ 4

อาจจะกลาววา จานวนทบเกาของ 5 คอ 4 กได

สาหรบการลบทมการขอยมหลายหลกตดกน หลกทมการขอยมหลกขวาสดใชจานวนทบสบของ

ตวลบ สวนหลกทมการขอยมหลกอนๆ ถดไปทางซายใชจานวนทบเกาของตวลบไปบวกกบตวตงทตรง

หลกเดยวกนกบตวลบ หลงจากนนใส ′ เหนอตวเลขหลกถดไปทางซายทไมมการขอยมแลวทาการลบ

ตามปกต

จากตวอยางท 1.3.2

4 3 2

2 5 7

ตวลบคอ 257 และมการขอยมในหลกหนวยและหลกสบตดกน

สวนหลกรอยไมมการขอยม ในหลกหนวยจานวนทบสบของ 7 คอ 3 ใน หลกสบจานวนทบเกาของ 5 คอ

4 สาหรบหลกรอยไมมการขอยมเตม ′ บน 2 ในหลกรอย ซง 2′ คอ 3 แลวทาการลบปกต ในหลกทไมม

การขอยมคอ หลกรอย สวนหลกหนวยและหลกสบบวกดวยจานวนทบสบและจานวนทบเกาของตวลบ

ตามลาดบ

27

′ –

ขอยม ขอยม

–

′


ไดจาก 4 (จานวนทบเกาของ 5) บวกกบ 3 ซงเปนตวตง

–

อธบายการแปลงตวลบ 257 ดงน

– 257 = (–2) × 102 + ((–5) × 10) + (–7)

= ((–2) × 102) + (–10 + 5) × 10 + (–10 + 3)

= ((–2) × 102) + ((–10) × 10) + (5 × 10) + ((–1) × 10) + 3

= ((–2) × 102) + ((–1) × 102) + ((5 – 1) × 10) + 3

= ((–3) × 102) + (4 × 10) + 3

ทบสบของ 7

ทบเกาของ 5

พจารณาตวอยางท 1.3.2

4 3 2 4+ 3+

2 5 7

7 5 ไดจาก 3 (จานวนทบสบของ 7)

บวกกบ 2 ซงเปนตวตง

อยางไรกตาม ′ บน 2 ในหลกรอย จาเปนตองมเนองจากในหลกรอยไมใชกรณทตวตงคามนอย

กวาตวลบ

ตวอยางท 1.3.3 จงหาผลลบของ

8 2 5

4 8 7

ก

แนวคด

8 2 5 1+ 3+

4 8 7

3 8

28

′

′

′


–

–

– –

การลบนมการขอยมสองหลกตดกน คอ หลกหนวยและหลกสบ ในหลกหนวยตวลบคอ 7 จานวนทบสบของ 7 คอ 3 นา 3 ไปบวกกบ 5 ซงเปนตวตง ไดผลลพธเปน 8 ในหลกสบ ตวลบคอ 8 จานวนทบเกาของ 8 คอ 1 นา 1 ไปบวกกบ 2 ซงเปนตวตง ไดผลลพธเปน 3

8 2 5 1+ 3+

4 8 7

3 3 8

หลกรอยไมมการขอยมใส ′ เหนอ 4 ซงเปนตวลบในหลกรอย ซง 4 คอ 5 การลบไมมการ ขอยมจงนา 5 ไปลบกบ 8 ได 3 ดงนนผลลพธคอ 3 3 8 ตวอยางท 1.3.4 จงหาผลลบ

8 4 6 8

3 6 9 2

ก

แนวคด การลบมการขอยมในหลกสบซงตวลบคอ 9 และหลกรอยซงตวลบคอ 6 จงใชจานวนทบสบของ

9 คอ 1 และจานวนทบเกาของ 6 คอ 3 ไปบวกขณะท 2 ในหลกหนวยทาการลบตามปกต สวนหลกพน

เปลยน 3 เปน 3′ ทเทากบ 4 แลวทาการลบปกต ในหลกพน ดงน

8 4 6 8 3+ 1+

3 6 9 2

4 7 7 6


8 2 4 5 4 7

5 1 8 6 1 9

แนวคด ขนท 1 ในหลกหนวย ตวตงคอ 7 นอยกวาตวลบคอ 9 นา 1 จานวนทบสบของ 9 บวกกบ 7 ได

8 จงใส 8 ทชองผลลพธ นอกจากนในหลกสบ ตวตงคอ 4 มากกวาตวลบคอ 1 ไมเกดการขอยมจงใส ′ ไว

เหนอ 1ซงเปนตวลบในหลกสบ จะได 4 –1′ = 4 – 2 = 2 ใส 2 ในชองผลลพธของหลกสบ

29

′ ′

ขอยม

′

′ ′ ′


′ ′ ′ ทบสบ คอ 1 และ 4 ตามลาดบจาก

ทบเกาคอ 1

′ ′ ′

– –

– –

- -

–

–

–

–

8 2 4 5 4 7 1+

5 1′ 8 6 1 9

2 8

ขนท 2 ในหลกรอย และหลกพน ตวตงนอยกวาตวลบตดกนสองหลก ดงนนในหลกรอยใชการบวกดวยจานวนทบสบของตวลบ และในหลกพนใชการบวกดวยจานวนทบเกาของตวลบ นอกจากน ดถดไปในหลกหมน ตวตงมคามากกวาตวลบ จงใส ′ เหนอ 1 ซงเปนตวลบ แลวทาการคดคานวณไดผลลพธดงน

8 2 4 5 4 7 1+ 4+ 1+

5 1′ 8 6 1 9

0 5 9 2 8

ขนท 3 ในหลกแสนทาการลบธรรมดา เพราะในหลกหมนไมมการขอยมจานวนในหลกแสน จะ

ได 8 – 5 = 3 ใส 3 ในชองผลลพธ

8 2 4 5 4 7 1+ 4+ 1+

5 1 8 6 1 9

ก

3 0 5 9 2 8

นนคอ 824547 – 518619 = 305928

ตวอยางท 1.3.6 จงหาคาของ 1438 - 3165

แนวคด กรณนตวตงคอ 1438 นอยกวาตวลบคอ 3165 จงจะหาคาของ 3165 – 1438 ไดผลลพธเปน

เทาใด จะใสเครองหมาย – หนาผลลพธ กจะไดผลลบตามตองการ

3 1 6 5 6+ 2+

1′ 4 3′ 8

1 7 2 7

ดงนน 1438 – 3165 = –1727

30

– 3 1

–

′ – – –

บทสรป ในการลบธรรมดาทมการขอยม กบการลบโดยวธทบสบ และใส ′ บนตวลบในหลกถดไปนน

สอดคลองกนดงจะอธบายโดยตวอยาง การลบตอไปน

การลบแบบขอยม

4 3 4 3

2 8 2 8

1 5

อธบายไดดงน 43 = 30 + 13

ดงนน 43 – 28 = (30 + 13) – 28

= (30 + 13) – (20 + 8)

= (30 – 20) + (13 – 8)

= 10 + 5

= 15

การลบแบบทบสบและใส ′

4 3 4 3 2+

2 8 2′ 8

1 5

อธบายไดดงน 28 = 30 – 2 –28 = – (30 – 2) = –30 + 2 ดงนน 43 – 28 = 43 – 30 + 2 = (40 + 3) – 30 + 2 = (40 – 30) + (3 + 2) .......(*) = 10 + 5 = 15

′

31

′

′ –

′

′ – –

ในบรรทด (*) คอ

4 3 2+

2 8 จานวนทบสบของ 8 คอ 2นาไป

บวกกบ 3 ได 5

คอ 40 – 20 = 40 – 30

บทสรป 1. ในกรณทการลบมการขอยม ถาใชบวกดวยจานวนทบสบและใส ′ เหนอตวลบในหลกถดไป

จะสะดวกกวาการลบแบบขอยมธรรมดา

2. สาหรบผทถนดการลบแบบขอยมอาจจะทาการลบโดยไมตองใชการบวกดวยจานวนทบสบก

ได แตแทนทจะลดคาตวตงในหลกถดไปลงหนง เปลยนเปนคงตวตง ในหลกถดไปไว แลวใส ′ เหนอตว

ลบในหลกถดไปจะสะดวกกวา เชน

4 3 4 3

2 8 2 8 1 5

เรองท 1.3.2 การลบทไมตองคานงถงการขอยม

นอกจากการลบทตองคานงถงถงการขอยมแลวอาจจะ ทาการลบทไมตองคานงถงการขอยมกได

มหลกการคดดงน

เมอนาตวลบมาพจารณา มขนตอนการเปลยนตวลบดงน

ขนท 1 ตวลบในหลกหนวยเปลยนเปนจานวนทบสบของตวลบในหลกหนวยนน

ขนท 2 ตวลบทเหลอเปลยนเปนจานวนทบเกา ของตวลบหลกนนๆ

ขนท 3 เมอหมดตวลบแลวเพมตวเลขถดไปทางซายอกหนงหลก โดยใส _1 เปนตวบวก

(_1 หมายถง –1 ในหลกทเพมขนใหมนน)

เมอเปลยนแปลงตวลบเสรจเรยบรอยแลวนาไปบวกกบตวตงกจะไดผลลพธตามตองการ สาหรบ

หลกซายสดนนการบวกดวย _1 กคอ การลบดวย 1 ในหลกซายสดนนเอง

การแปลงตวลบโดยวธการนอธบายไดดงน

สมมตตวลบ คอ 4 7 8 6 แปลงไดดงน

32

–

– +

+

–

4 7 8 6

_1 5 2 1 4

_1 คอ –1 จานวนทบเกา จานวนทบสบในหลกหมน

จะเหนวา 4 7 8 6 แปลงเปน _1 5 2 1 4

พจารณาตวลบ 4 7 8 6 คอ

–4 7 8 6 = –10000 + 5214

= (–1) × 104 + 5214

= _1 5214


8 4 1 6 3

4 7 2 3 8

ก

แนวคด 8 4 1 6 3 เปลยนเปน 8 4 1 6 3

4 7 2 3 8 _1 5 2 7 6 2

ก ก

ทาการบวก 8 4 1 6 3

ตามปกตโดย _1

•5 2 7 6 2

_1 หมายถง –1 0 3 6 9 2 5

ในหลกแสน

หมายเหต • เหนอ 5 ในหลกหมน หนง • กคอการทด 1 ไปหลกแสนซงหกลางกบ _1 ในหลกแสน

พอด ผลลพธในหลกแสนจงเปน 0 จะไดผลลพธเปน 3 6 9 2 5 นนคอ ไดการลบดงน

8 4 1 6 3

4 7 2 3 8

3 6 9 2 5

33

– +

+ +

–

+


8 6 7 3 5 เปลยนเปน 8 6 7 3 5

4 8 2 1 _1 5 1 7 9

1 4 7 8 6 _1 8 5 2 1 4

ก ก

ทาการบวกปกตยกเวน _1 คอ –1 ในหลกนน

8 6 7 3 5

_1

•5 1

•7

•9

_1

•8 5

•2 1 4

6 7 1 2 8

ผลลพธ คอ 6 7 1 2 8

• ในหลกพนคอ การทด 1 ไปหลกหมนหกลางกบ _1 ในหลกหมน นอกจากน • ในหลกหมนคอ

การทด 1 ไปหลกแสน หกลางกบ _1 ในหลกแสน

ในกรณทผลลพธมคาตดลบหลกซายสดของผลลพธจะอยในรป _a เมอ a เปนเลขโดดท

มากกวา 0 เชน _1 ,

_2 เปนตน ในการแปลงกลบเปนจานวนลบกทาไดโดยผลลพธหลกหนวยเปลยนเปน

จานวนทบสบ หลกถดมาทางซายเปลยนเปนจานวนทบเกาเมอเปลยนมาถง _1 ใหเอา

_1 ออกแลวใส

เครองหมาย – แทน ซงเครองหมาย – จะอยหนาจานวนทบเกาและทบสบทเปลยนมากอนแลวผลทได

พรอมเครองหมาย – กคอ จานวนลบทเปนผลลพธนนเอง

เชน ผลลพธคอ _1 8 2 1 เปลยนเปนผลลพธทไมม

_1 ดงน

_1 8 2 1

– 1 7 9

ทบเกา ทบสบ

(เพราะ _1 8 2 1 คอ –1000 + 821 = –179)

ถาผลลพธคอ _2 8 3 7 ใหทาคลายกบการแปลง

_1 8 2 1

แตกตางเฉพาะ _2 เปลยนเปน –1 ดงน

34

–

– +

_2 8 3 7 = – 2000 + 837

= – 1000 + (–1000 + 837)

= – 1000 + (–163)

= – 1163

_2 8 3 7

–1 1 6 3


และถาผลลพธเปน _3 7 6 4 กแปลงคลายตวอยาง ขางตนแต

_2 เปลยนเปน –2

ตวอยางท 1.3.9 จงหาคาของ

3 1 4 5

3 8 1 9

ก

วธคด

3 1 4 5 เปลยนเปน 3 1 4 5

3 8 1 9 _1 6 1

•8 1

ก _1 9 3 2 6

พจารณา _1 9 3 2 6 = – 0674 = – 674

ดงนนผลลพธคอ – 674

หมายเหต _1 9 3 2 6 = – 0 6 7 4 แสดงดงแผนผงตอไปน

_1 9 3 2 6

เปลยน _1 เปน – 0 6 7 4


35

–

+ + +

+ – –

– –

– –

–

+ + +

ตวอยางท 1.3.10 จงหาคาของ 8 9 6 9 4 3 9 2 7 6 8 1 ก แนวคด

8 9 6 เปลยนเปน •8

•9 6

9 4 3 _1 0 5

•7

9 2 7 _1 0

•7 3

6 8 1 _1 3 1

•9

ก _2 3 4 5

พจารณาการแปลง _2 3 4 5

จะได _2 3 4 5

–1 6 5 5

ดงนนผลลพธคอ –1655 ตวอยางท 1.3.11 จงหาคาของ 8 1 4 1 3 2 1 3 1 2 9 2 1 4 6 2 3 4 3 2 ก

แนวคด จากโจทยเปลยนรปเปน

8 1 4 1 3

•2 1 3 1 2

_1 0

•7

•8 5 4

_1 7 6

•5

•6

•8

_1 8 7 1 4 7 = –12853

36

เรองท 1.3.3 การหาผลลบแบบรวบยอด

พนฐานการหาผลลบแบบรวบยอดนน เปนพนฐานของสมการดงน คอ สาหรบจานวนเตมบวก

a, b และ c ใดๆ จะพบวา a – b = c กตอเมอ a = b + c เชน 8 – 5 = 3 กตอเมอ 8 = 5 + 3

ถาไมทราบคา c อาจเขยน แทน c ดงน

a – b = กตอเมอ a = b +

จากรปสมการลกษณะน จงควรฝกการหาคาจานวนทแทน เสยกอน นอกจากนอาจมกรณท

ผลบวกจานวนทางซายและขวาของสมการไมเทากน กจะทาใหกลายเปนอสมการ ถงแมวามตวเลขใน

หลกหนวยของผลบวกเทากนกตาม จงควรฝกหาจานวนทแทน ในอสมการ หรอสมการกอนดงน

ตวอยางท 1.3.12 จงหาจานวนเตมบวกทนอยทสดหรอ 0 ทเตมลงในกรอบ แลวทาใหผลบวก

ทางซายและผลบวกขวามคาหลกหนวยเทากน และเขยน < , > หรอ = ถาผลบวกของจานวนทางซาย

นอยกวา, มากกวา หรอเทากบ ผลบวกของจานวนทางขวา ตามลาดบ ลงในชองวาง ทางดานขวา ซงตรง

หวตารางเขยน < , > , = ไว และเขยน • แสดงการมากกวาอยเทาไร ทางดานทมากกวา (• มากกวาอย 10,

•• มากกวาอย 20)

ซาย ขวา < , > , =

1 + 2 + 3 3 + 4 + 9 •<

3 + 4 + 8 5 + 9 + 1 =

9 + 6 + 3 + 9 3 + 1 + 3 >••

3 + 7 + 8 4 + 5 + 9 =

8 + 8 + 9 + 9 3 + 8 + 4 + 9 >•

3 + 7 + 1 9 + 9 + 8 + 5 ••<

3 + 4 + 5 + 6 1 + 3 + 6 + 8 =

3 + 7 + 8 + 2 9 + 9 + 2 + 0 =

37

–

–

–

–


4 6

3 2

d

แนวคด a : 4 6 ให a = 46

b : 3 2 b = 32

c : 1 4d c = a – b

จะได a = b + c

เนองจาก 46 = 32 + 14

ดงนน c = 14


3 1 8

2 4 7

ก

แนวคด a : 3 1 8 ให a = 318

b : 2 4 7 b = 247

C : 7 1ก c = a – b

จะได a = b + c

หลกหนวยของ a คอ 8 หลกหนวยของ b คอ 7 จะไดหลกหนวยของ c คอ 1 หลกสบของ a คอ 1

หลกสบของ b คอ 4 ตองหาหลกสบของ c ททาใหผลบวกของตวเลขในหลกสบของ b + c ลงทาย ดวย 1

ซง 1 เปนตวเลขในหลกสบของ a จะเหนไดวาหลกสบของ c ตองเปน 7 แต 4 + 7 = 11 ซงมากกวา 1 อย

10 จงมการทดผลบวกในหลกสบของ b + c ไปยงหลกรอย ในทนจะเขยน • เหนอ 7

หลกรอยของ a คอ 3 หลกรอยของ b คอ 2 จากผลบวกหลกสบของ b + c มการทด 1 ไปหลกรอย

จะได 2 + 1 = 3 ซงเปนตวเลขในหลกรอย ของ a พอด จงไมตองเขยนตวเลขในหลกรอยของ c จงได c

เทากบ 71 เปนคาตอบ

•

38

–

–

-

–

–


4 8 1 5

2 9 3 1

d

แนวคด กa : 4 8 1 5

b : 2 9 3 1

c : 1 •8

•8 4

ในกรณท a, b และ c เปนจานวนเตมบวก ถา a < b จะได a – b เปนจานวนเตมลบอาจเขยนแทน

ผลลบของ a – b ดวย – c นนคอ a – b = – c จะพบวา a + c = b จงกลาวไดวา a – b = – c

กตอเมอ a + c = b

ดงนนการหาคา – c ทาไดโดยหาคา c ทนามาบวกกบ a แลวไดผลบวกเทากบ b หลงจากนนใส

เครองหมาย – หนา c กจะได – c เปนคาตอบ


2 9 3 1

4 8 1 5

d

แนวคดก a : 2 9 3 1

b : 4 8 1 5

c : 1 •8

•8 4

คาตอบ คอ –1884

เรองท 1.3.4 การหาผลบวก – ลบคละกนแบบรวบยอด

สาหรบจานวนเตมบวก a, b, c และ d จะพบวา

a + b – c = d กตอเมอ a + b = c + d

39

+ –

+ –

+ –

a – b + c = d กตอเมอ a + c = b + d

เนองจาก d เปนผลลพธของการบวก – ลบ คละกน และ d เปนจานวนบวก จงนา d ไปบวกรวมกบตวลบทงหมด แยกไวพวกหนง แลวทาการหาคา d ซงเปนผลลพธตามตองการในทางปฏบต จะหาผลบวกของ ตวตงและตวบวกกอน แลวจงหาคา d ททาใหผลบวกของ d กบตวลบทงหมดมคาเทากบคาของผลบวกของพวกแรก ดงตวอยาง ตอไปน ตวอยางท 1.3.17 จงหาคาของ

4 8 7

5 2 1

7 9 9

กก

แนวคด

เขยนใหมเปน a : 4 8 7

b : 5 2 1

c : 7 9 9

d : 2 0 •9

หาคา d ททาให c + d = a + b เนองจากผลบวกหลกหนวย ของ a + b = 8 จงตองทาใหผลบวกหลกหนวยของ c + d ลงทายดวย 8 บงคบ ใหหลกหนวยของ d เปน 9 แตหลกหนวยของ c กคอ 9 ซง 9 + 9 มากกวา 7 + 1 อย 10 จงเขยนจดบน 9 ทหลกหนวยของ d จดนนจะทดไปในหลกสบของ c + d พจารณาหลกสบของ a + b จะได 8 + 2 = 10 จงตองทาใหหลกสบของ c + d เทากบ 10 แตหลกสบของ c คอ 9 และมการทดของ c + d จากหลกหนวยมา 1 จด ได 9 + 1 = 10 ดงนน หลกสบของ d จงเปน 0 พจารณาหลกรอยของ a + b จะได 4 + 5 = 9 เนองจากหลกรอยของ c คอ 7 จงทาใหหลกรอยของ d เปน 2 จะทาให 4 + 5 = 7 + 2 คาตอบจงเปน 209 ตวอยางท 1.3.18 จงหาคาของ

3 8 5 9

2 9 8 7

1 2 3 5

ก

40

+

–

– –

+

+

– –

แนวคด

เขยนใหมเปน a : 3 8 5 9

b : 2 9 8 7

c : 1 2 3 5

d : 2 1 0 7

หมายเหต หลกหนวยของ d ไมตองเตมจดเพราะผลบวกหลกหนวยของ a + c คอ 9 + 5 = 14 และ

ผลบวกหลกหนวยของ b + d คอ 7 + 7 = 14 ซง 9 + 5 = 7 + 7 จงไมมการทดคาท

ตางกนไปหลกสบ


9 8 5 7 5 7 9 7 4 2 1 2 3 4 5 5 6 7 8 9 ด

แนวคด

เขยนใหมเปน a : 9 8 5 7 5

b : •7 9 7 4 2

c : 1 2 3 4 5

d : 5 6 7 8 9

e : 1 0 9 1 •8

•3

ในการคานวณคา ตงแตหลกหนวยถงหลกพน คลายกบตวอยางท 1.3.18 กลาวคอ ถามการใสจด

จะใสจดทชดทผลบวกทมากกวา กรณหลกหมนพบวาหลกหมนของ a + b = 16 ขณะทหลกหมนของ

c + d + e คอ 1 + 5 + 0 = 6 จะเหนวา 9 + 7 มากกวา 1 + 5 + 0 อย 10 จงเขยนจดท 7 ซงเปนตวบวก

ของ 9 + 7 แลวจงทดจดลงมาเปน 1 ในหลกแสนของผลลพธ

ในกรณท การบวก – ลบ คละกน มผลลพธเปนจานวนลบ จะตองแยกตวลบทงหมดมารวมเปน

พวกเดยวกน และนาตวตง ตวบวกและคาสมบรณของผลลพธ มาบวกกนใหมคาเทากบผลรวมของตวเลข

(ไมคดเครองหมายหนาผลลพธ) ดงตวอยาง ตอไปน

จากโจทยนตองหาคา d ททาให a + c = b + d

41

–

+

+

–

+ –

–

+ –


3 8 4 7

6 7 5 3

1 3 5 9

ก

แนวคดกรณน ผลลพธเปนจานวนลบ ถาให a = 3847, b = 6753, c = 1359 และ d เปน

จานวนเตมบวกซง

a – b + c = – d จะได a + c + d = b

แนวคด

เขยนใหมเปน a : 3 8 4 7

b : 6 7 5 3

c : 1 3 5 9

d : ก

ในการคานวณคา a – b + c พบวา a – b + c < 0 ดงนนคาตอบเปนจานวนเตมลบใหเปน – d จง

นา d ไปรวมกบ a และ c ไวเปนพวกหนง แยก b ไวอกพวกหนงคานวณคา d ททาให a + c + d = b

ดงนน a : 3 8 4 7 b : 6 7 5 3 c : 1 3 5 9

d : 1 •5

•4

••7 ก

คาตอบ คอ – d = – 1 5 4 7 ตวอยางท 1.3.21 จงหาคาของ 3 2 5 1 4 8 2 9 5 6 7 8 7 8 9 0 ก

42

+ –

–

แนวคด เขยนใหมเปน a : 3 2 5 1 b : 4 8 2 9 c : 5 6 7 8

d : 7 8 9 0 e : 3 7

•9 0

คาตอบคอ – e = – 3 7 9 0


หาตวเหมอน หกตวเหมอน

271 × 41 = 11111 3367 × 33 = 111111

271 × 82 = 22222 3367 × 66 = 222222

271 × 123 = 33333 3367 × 99 = 333333

271 × 164 = 44444 3367 × 132 = 444444

271 × 205 = 55555 3367 × 165 = 555555

271 × 246 = 66666 3367 × 198 = 666666

271 × 287 = 77777 3367 × 231 = 777777

271 × 328 = 88888 3367 × 264 = 888888

271 × 369 = 99999 3367 × 297 = 999999

43

–

–

เรองท 1.3.5 การลบทผลลบเปนจานวนเครองหมายคละ

ในการลบอาจจะเขยน – (ขดบน) เหนอตวเลขในหลกทเปนจานวนลบกได ซงผลลบทจะได

เปนจานวนเครองหมายคละ หลงจากนนแปลงเปนจานวนในระบบฐานสบกจะไดคาตอบตามตองการ

ดงตวอยาง ตอไปน

ตวอยางท 1.3.22 จงหาคาของ 4328316 – 2876439

แนวคด ขนท 1 เขยนการลบเปนสองแถวโดยใหแถวแรกเปนตวตง และแถวท 2 เปนตวลบ และสารวจด

วาแตละหลกทลบกนถาตวตงมากกวาตวลบ กทาการลบกนแบบธรรมดา ถาตวลบมากกวาตวตง ใสคาท

ตวลบมากกวาในชองผลลพธแลวเขยนขดบน – ดงน

4 3 2 8 3 1 6

2 8 7 6 4 3 9

2 _5

_5 2

_1

_2

_3

ขนท 2 แปลงตวเลขในนขลมสตรใหเปนตวเลขระบบฐานสบ จะได

2 _5

_5 2

_1

_2

_3

1 4 5 1 8 7 7

ซง 1 4 5 1 8 7 7 เปนผลลพธ

นนคอ 4328316 – 2876439 = 1451877


แนวคด

6 7 3 4 2 5

3 8 7 6 1 9

3 _1

_4

_2 1

_4

2 8 5 8 0 6

ดงนน 673425 – 387619 = 285806

44

–

–


แนวคด

วธท 1 3 4 1 6 5 9

4 5 9 2 8 3

_1

_1

_8 4

_3 6

_1

_1

_7

_6

_2

_4

–1 1 7 6 2 4

ดงนน 341659 – 45983 = – 117624

วธท 2 3 4 1 6 5 9

4 5 9 2 8 3 _1

_1

_8 4

_3 6

– (1 1 8

_4 3

_6 )

–1 1 7 6 2 4

ดงนน 341609 – 45983 = –117624

ทศนยม ทศนยมในเวทคณตกบทศนยมในระบบตวเลขฐานสบคลายกน กลาวคอ ตวเลขหลงจดทศนยมม

จานวนเทากน และตาแหนงของจดทศนยมอยทเดยวกน เมอเปลยนจานวนทมจดทศนยมจากระบบตวเลข

ฐาน 10 เปนตวเลขในเวทคณต

ตวอยางท 1.3.25 จงแปลง 120 . 981 เปนตวเลขในนขลมสตร

แนวคด 1 2 0 • 9 8 1

1 2 1 •

_0

_2 1

ดงนน 120 • 981 = 1 2 1 • _0

_2 1

45

–

– +

– +

–

ตวอยางท 1.3.26 จงแปลง 1 • 7 _3 2


แนวคด 1 • 7 _3 2

_8

1 • 6 7 1 2

ดงนน 1 • 7 _3 2

_8 = 1 • 6712

ตวอยางท 1.3.27 จงแปลง _3 • 2

_1 4


แนวคด _3 • 2

_1 4

_6 = – (– (

_3 • 2

_1 4

_6 ))

= – (3 • _2 1

_4 6)

= –2 • 8 0 6 6

ดงนน _3 • 2

_1 4

_6 = – 2 • 8 0 6 6


4 8 3 1 0

3 7 4 6 1

5 2 1 4 8

1 2 3 4 5

ก

แนวคด คดบวก – ลบ คละกนในแตละหลกผลลพธทไดจะเปน จานวนเครองหมายคละ แลวแปลงเปนจานวนในระบบฐานสบดงน

4 8 3 1 0

3 7 4 6 1

5 2 1 4 8

1 2 3 4 5

5 1

_3

_5 2ก

5 0 6 5 2

ดงนน ผลลบ คอ 5 0 6 5 2

46

–

+

–

–

+

–


3 7 4 6 1

8 8 3 9 9

1 2 3 4 5

5 1 3 4 6

ก

แนวคด

3 7 4 6 1

8 8 3 9 9

1 2 3 4 5

5 1 3 4 6

_1

_2 1

_3

_7

_1

_1

_9

_

3 _7

–1 1 9 3 7

ดงนน ผลลบคอ –1 1 9 3 7

47

- -

- -

- -

- -

- - -

-

-

-

- -

- -

-


1. จงหาผลลบตอไปน

(1) 100 – 36 = ______________ (2) 100 – 47 = ______________

(3) 100 – 89 = ______________ (4) 1000 – 327 = ____________

(5) 1000 – 638 = ____________ (6) 1000 – 95 = _____________

(7) 10000 – 6759 = __________ (8) 10000 – 328 = ___________

(9) 10000 – 2149 = __________ (10) 100000 – 12345 = _______

(11) 100000 – 39393 = _______ (12) 100000 – 567 = _________

2. จงหาผลลบตอไปน โดยใชเฉพาะจานวนทบเกา ทบสบ ′ และการบวก

(1) 3 6

2 8

ก

(2) 3 2 4

1 1 8

ก

(3) 4 3 7

2 6 9

เ

(4) 5 0 6

1 0 7

ก

(5) 7 2 8

8 9

กก

(6) 8 7 4 2

3 7 9 6

ก

(7) 4 9 0 6 2

8 6 4 8

ก

(8) 8 7 2 1 1

3 0 8 8

ก

(9) 9 8 3 5 8

7 9 4 6 7

เ

(10) 8 6 4 2 3 7

2 7 0 0 3 8

d

48

- - - - +

+

- -

- -

- - -

- +

- -+

-

--

-

-+

+

+ -

- -

+ - - --

--

+

3. จงหาคาตอไปน โดยวธทแตกตางกน 3 วธ

(1) 4 7 9

2 9 8

3 4 5

เ

(2) 6 6 6

1 2 3

5 4 8

ก

(3) 9 9 9

6 7 4

1 8 8

ก

(4) 4 5 1 8

1 2 3 8

9 4 2 ก

3 1 2 6

d

(5) 3 2 1

4 7 2 9

6 5 8 7 ก

1 2 3 4

d

(6) 1 4 8 7

2 3 6 7

8 2 6 9 ก

7 2 8 4

d

(7) 4 1 4

5 8 2

6 7 9

6 1 6

ก

(8) 7 6 8

1 7 9

5 4 6

5 2 8

ก

(9) 4 4 8

6 2 3

8 1 2

1 7 4

ก

(10) 2 7 4

5 8 5

4 1 6

7 3 1

ก

49

--- -

+

+ --

-

-

(11) 4 7 1 8 4

6 5 3 2 5

7 8 6 2 9

3 2 4 4 4

1 1 1 2 1

ก

(12) 5 9 4 8 9

6 6 6 6 6

9 8 7 6 5

3 4 5 6 7

5 4 3 2 5

ก

4. จงหาคาของ 31456 – 47474 + 38641 – 27264 + 38886 = ______________

50

หนวยท 2 ทกษะการคานวณ 2 (การคณ)

ตอนท 2.1 การคณโดยใชคาเบยงฐาน ตอนท 2.2 การคณโดยการจดตาแหนงผลคณ ตอนท 2.3 การคณโดยใชตาราง ตอนท 2.4 การคณแนวตง และการคณไขว แนวคด 1. ฐานในระบบทศนยม หมายถง จานวนในรป 10n เมอ n เปนจานวนเตมบวก และเรยก จานวนเหลานนวาฐาน 10n 2. จานวนทอยใกล 10n

ระยะหางระหวางจานวนกบฐาน 10n ทคดทศทาง เรยกวา คาเบยงฐาน ของจานวนนน 3. ในการหาผลคณของจานวนทอยใกลฐานเดยวกน เมอทาการคณโดยใชคาเบยงฐานจะ สะดวกกวา 4. วธการคณจานวนมไดหลากหลายวธทงการคณโดยการจดตาแหนงผลคณ การคณโดยใช ตาราง หรอการคณแนวตงและการคณไขว ซงแตละวธจะมกระบวนการทแตกตางกน วตถประสงค เมอศกษาหนวยท 2 จบแลวนกเรยนสามารถ 1. มกระบวนการคณไดหลากหลายวธ 2. ออกแบบการคณจานวนตามแนวคดสรางสรรคของตนเอง กจกรรมระหวางเรยน 1. อาจารยอธบายเนอหา กระบวนการวธคดคานวณการคณโดยใชคาเบยงฐานการคณโดย การจดตาแหนงผลคณ การคณโดยใชตารางการคณแนวตงและการคณไขว 2. นกเรยนทากจกรรมตามตวอยางและแบบฝกหด 3. นกเรยนประเมนพฒนาการของตนเอง สอการสอน 1. เอกสารการสอน 2. แบบฝกปฏบต 3. เครองฉายขามศรษะ ประเมนผล ประเมนผลจากแบบฝกหดและการทดสอบ

51

ตอนท 2.1 การคณโดยใชคาเบยงฐาน

เรองท 2.1.1 คาเบยงฐาน

ตวเลขในเวทคณต เชนเดยวกบตวเลขระบบฐานสบ กลาวคอองฐานของระบบฐานสบ และ

ขณะเดยวกนจะระบคาเบยงฐานควบคไปดวยในกรณตองการคณหรอหาร โดยตวเลขในเวทคณตจะยด

ฐาน 10, 100, 1000, ..., 10n และระบคาเบยงฐานของจานวนเหลานน ซงคาเบยงฐานมทงคาบวก คาลบ

และศนย จะอธบาย คาเบยงฐานโดยใชตวอยางประกอบดงน

ตวอยางท 2.1.1 103 มคามากกวา 100 อย 3 กลาววา 103 มคาเบยงฐาน จาก 100 เปน + 03

94 มคานอยกวา 100 อย 6 กลาววา 94 มคาเบยงฐาน จาก 100 เปน – 06

28 มคามากกวา 10 อย 18 กลาววา 28 มคาเบยงฐาน จาก 10 เปน + 18

22 มคานอยกวา 100 อย 78 กลาววา 22 มคาเบยงฐาน จาก 100 เปน –78

ในการเขยนตวเลขพรอมระบบฐานในเวทคณตนน จานวนตวเลขโดดของคาเบยงฐานจะตอง

เทากบจานวน 0 ทปรากฏในฐานนน ๆ ดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 2.1.2

103 เขยนในระบบฐาน 100 พรอมคาเบยงฐานเปน 103 + 03

94 เขยนในระบบฐาน 100 พรอมคาเบยงฐานเปน 94 – 06

115 เขยนในระบบฐาน 100 พรอมคาเบยงฐานเปน 115 + 15

1012เขยนในระบบฐาน1000 พรอมคาเบยงฐานเปน1012 + 012

971 เขยนในระบบฐาน 1000 พรอมคาเบยงฐานเปน 971 – 029

หมายเหต ในการกาหนดฐานเพอหาคาเบยงฐานสาหรบจานวนใด ๆ นนจะไมเลอกฐานททาใหขนาด

ของคาเบยงฐานมจานวนมากเกนไป เชน 12 จะเลอกฐานเปน 10 มคาเบยงฐานเปน +2 จะไมเลอกฐาน

100 เพราะมคาเบยงฐานเปน –88 ซงมขนาดเปน 88 ซงมากเกนไป นอกจากนสาหรบบางจานวนเชน 41

ถาเลอกฐาน 10 จะไดคาเบยงฐานเปน +31 ในขณะทเลอกฐาน 100 จะไดคาเบยงฐานเปน –59 ซงทง

+31 และ -59 มขนาดเปน 31 และ 59 ซงมากเกนไป ในทางปฏบตอาจจะเลอกฐานยอยสาหรบชวยใน

การคานวณ ซงฐานยอยไดแกพหคณของฐาน 10, 100, 1000, ...เชน 20, 30, ..., 200, 300,... สาหรบฐาน

ยอยจะกลาวถงในบทท 6

52

แบบฝกหดท 2.1.1

1. จงระบฐานของจานวนตอไปน พรอมทงบอกคาเบยงฐาน (1.1) 102 (1.2) 12 (1.3) 97 (1.4) 19 (1.5) 112 (1.6) 975 (1.7) 10008 (1.8) 89 (1.9) 75 (1.10) 29 2. จงตรวจสอบวาการระบฐานและการเขยนจานวนพรอมคาเบยงฐานของจานวนตอไปนถกตอง

หรอไม สาหรบการระบทไมถกตองจงแกไข

จานวน ฐาน จานวนพรอมคาเบยงฐาน แกไข

111 100 111 + 11

6 10 6 – 4

97 100 100 – 3

107 100 100 + 3

992 1000 992 + 8

9972 1000 1000 – 22

10025 10000 10025 – 25

3. จากฐานและคาเบยงฐานทกาหนดมาให จงหาจานวนเหลานนและ เขยนจานวนพรอมคาเบยงฐาน

ฐาน คาเบยงฐาน จานวน จานวนพรอมคาเบยงฐาน

(3.1) 10 + 3 13 13 + 3

(3.2) 100 – 03

(3.3) 100 – 07

(3.4) 1000 + 014

(3.5) 1000 – 019

(3.6) 10000 – 0031

(3.7) 1000 + 374

53

×


ผลคณทไดตวเลขเรยงจากนอยไปมาก

1 × 1

22 × 3

3 × 41

2 × 617

3 × 5 × 823

26 × 3 × 643

127 × 9721

2 × 32 × 47 × 14953

32 × 13717421

2 × 32 × 5 × 13717421

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

1

12

123

1234

12345

123456

1234567

12345678

123456789

1234567890

เรองท 2.1.2 การคณโดยใชคาเบยงฐาน

วธการคณทว ๆ ไปนนใชไดกบทกกรณของการคณซงไมยงยากซบซอนจนเกนไป อยางไรก

ตาม วธเฉพาะในเวทคณตนนสะดวกและงายกวา กลาวคอ จะใชการคณเฉพาะหลกทางดานขวาของ

สองจานวนทคณกน สวนหลกทางซายถดมาจะใชวธการบวก นอกจากนการคณหลกทางขวานนจะอง

นขลมสตร วธการคณจะจาแนกตามชนดดงตวอยางตอไปน

ชนดท 1 ผลคณคาเบยงฐานมจานวนเลขโดดไมเกนจานวนตวเลข 0 ของฐาน

ตวอยางท 2.1.3 จงหาผลคณของ 13 × 11

แนวคด ขนท 1 เขยน 13 และ 11 แบบจานวนพรอมคาเบยงฐาน 10 และตงคณ

13 + 3

11 + 1

หมายเหต สาหรบฐาน 10 ม 0 เพยงตวเดยว ดงนนคาเบยงฐานจงเขยนเลขโดดตวเดยว

54

×

ขนท 2 แบงผลคณทจะไดออกเปนสองสวน โดยใช / เปนตวแบง ซงจะแยกผลคณจาก คาเบยงฐานไวตางหากดงน

13 + 3

11 + 1

/ ขนท 3 หาผลคณของคาเบยงฐานแลวใสผลลพธไวทางขวาของ / ทจะไดเปน 3 เพราะ 3 × 1 = 3

13 + 3

11 + 1

/ 3 ขนท 4 ทางดานซายของ / หาผลลพธโดยหาผลบวกของตวตงกบคาเบยงฐานของตวคณ จะได 13 + 1 = 14 (หรอหาผลบวกของตวคณกบคาเบยงฐานของตวตง จะได 11 + 3 = 14 ซงจะเทากบ 13 + 1) การหาผลบวกแบบนเรยกวา การหาผลบวกทแยง เพราะ 13 + 1 หรอ 11 + 3 เปนการบวก แนวทแยง

นนคอ 13 + 3

11 + 1

14 / 3

ขนท 5 เอาขด / ออกจะได 143 เปนผลลพธ

นนคอ 13 × 11 = 143 ตวอยางท 2.1.4 ตวอยางตอไปนเปนผลลพธจากวธคดตามตวอยางท 5.1

14 + 4 11 + 1 19 + 9

12 + 2 15 + 5 11 + 1

16 / 8 16 / 5 20 / 9

จะได 14 × 12 = 168, 11 × 15 = 165, 19 × 11 = 209

17 + 7 12 + 2 13 + 3

11 + 1 13 + 3 13 + 3

18 / 7 15 / 6 16 / 9

จะได 17 × 11 = 187, 12 × 13 = 156 และ 13 × 13 = 169

×

× × ×

× × ×

55

×

×

ตอไปจะกลาวถงกรณทผลคณคาเบยงฐานเปนเลขสองหลก

ตวอยางตอไปจะเปนการคณตวเลขทฐานเปน 100

ตวอยางท 2.15 จงหาคาของ 106 × 105

แนวคด 106 + 06

105 + 05

111 / 30 ไดจาก 06 × 05


(1) 111 × 112

(2) 113 × 114

(3) 117 × 118

แนวคด (1) 111 + 11

112 + 12

123 / 132 = 123 + 1/32 = 12432

(เนองจาก 11 × 12 = 132 แตคาเบยงฐานเปนเลขสองหลกจงเขยน 132 เปน 132 เพอแสดงวา 1 เปน

ตวทด

นนคอ 111 × 112 = 12432

หมายเหต ในการหาคา 11 × 12 ทาไดโดย

11 + 1

12 + 2

13 / 2 = 132

ไดจาก 106 + 05 หรอ 105 + 06 จะได 106 × 105 = 11130

56

×

×

×

ในการหา 111 × 112 อาจเขยนตอเนองเปนดงน

ฐาน 100 ฐาน 10

111 + 11 + 1

112 + 12 + 2

123 / 13 / 2 = 123/132 = 123 + 1/32

= 12432

(2) ฐาน 100 ฐาน 10

113 + 13 + 3

114 + 14 + 4

127 / 17 / 12 = 127/17 + 1/2

= 127/18/2

= 127 + 1/82

= 12882

(3) 117 + 17 + 7

118 + 18 + 8

135 / 25 / 56 = 135 + 2/5 + 5/6

= 137/10/6

= 137 + 1/0/6

= 13806

หมายเหต ในการหาผลคณแบบตอเนอง ดงตวอยางท 5.4 ตวเลข ทางดานขวาของ/นบตงแตขด/แรก

จากขวาจะเปนตวเลขโดด ถาไดผลลพธเปน เลขโดดมากกวาหนงตวจะคงตวเลขทางขวามอไว สวน

ตวเลขทางซายจะเปน ตวทด นอกจากนในการคานวณหาผลคณจากโจทยผลลพธในชองขวาสดเทานน

จะไดจากผลคณ สวนผลลพธในชองถดไปทางซายจะไดจากผลบวกตามวธทไดกลาวมาแลว

57

×

×

ชนดท 3 กรณทตวตงและตวคณมจานวนหลกตางกน การเลอกฐานจะเลอกฐานของตวเลขทมจานวน

หลกนอยกวา

ตวอยางท 2.1.7 จงหาคาของ 103 × 2312

แนวคด ใชฐาน 100

จะได 103 + 03

2312 + 2212

2315 / 6636 = 2315 + 66/36

= 238136

นนคอ 103 × 2312 = 238136

หมายเหต สาหรบฐาน 100 จะเหนวา 2312 มคาเบยงฐานเปน +2212 จงเขยน 2312 + 2212 ในสวนท

เปนตวคณ

ในผลคณทางขวาของ / เนองจาก 3 × 2212 = 6636 แตฐานเปน 100 จงตองการเลขโดดใน

สวนนเพยง 2 ตวคอ 36 สวน 66 นนเปนตวทดในหลก 100 และหลก 1000

สาหรบผลบวกทแยง คอ 103 + 2212 หรอ 2312 + 3


แนวคด ใชฐาน 10

จะได 103 + 93

13 + 3

106 / 279 = 106 + 27/9

= 1339

นนคอ 103 × 13 = 1339

ชนดท 4 จากตวอยางการคณทง 3 ชนดนนจะมอยางนอยหนงจานวน ซงอาจจะเปนตวตง หรอตวคณท

คาเบยงฐานมคาเปนบวกเลกนอยไมเกนคาของฐาน การคณชนดท 4 จะเปนการคณซงตวตงและตวคณ

มคาเบยงฐานมคาเปนลบ

58

×

×

x x x


(1) 9 × 6 (2) 6 × 5

แนวคด (1) 9 – 1

6 – 4

5 / 4

ไดจาก (–1) × (–4) = 4

ไดจาก 9 + (–4) = 9 – 4 = 5

หรอ 6 + (–1) = 6 – 1 = 5

ดงนน 9 × 6 = 54

(2) 6 – 4

5 – 5

1 / 20 = 1 + 2/0 = 30

ไดจาก (– 4) × (–5) = 20

และตองทด 2

ไดจาก 6 – 5 = 1 (หรอ 5 – 4)

ดงนน 6 × 5 = 30

ตวอยางท 2.1.10 ตอไปนเปนการหาผลคณของจานวนสองจานวนทมคาเบยงเบนฐานเปนลบ

8 × 6 91 × 93 89 × 97

8 – 2 91 – 09 89 – 11

6 – 4 93 – 07 97 – 03

4 / 8 84 / 63 86 / 33

ดงนน 8 × 6 = 48 ดงนน 91 × 94 = 8463 ดงนน 89 × 97 = 8633

59

x x x

x x

×

64 × 98 79 × 97 988 × 998

64 – 36 79 – 21 988 – 012

98 – 02 97 – 03 988 – 002

62 / 72 76 / 63 986 / 024

ดงนน 64 × 96 = 6272 ดงนน 79 × 97 = 7663 ดงนน 988 × 988 = 986024

998 × 995 99976 × 99998

998 – 002 99976 – 00024

995 – 005 99998 – 00002

993 / 010 99974 / 00048

ดงนน 998 × 995 = 993010 ดงนน 99976 × 99998 = 9997400048

ชนดท 5 กรณสองจานวนทคณกนจานวนหนงมคาเบยงฐานเปนบวก และอกจานวนหนงม

คาเบยงฐานเปนลบ


แนวคด 13 + 3

9 – 1

12 / _3 = 12

_3 = 117

ไดจาก 3 × (–1) = –3 = _3

ไดจาก 13 – 1 = 12 (หรอ 9 + 3)

ดงนน 13 × 9 = 117

60

แบบฝกหดท 2.1.2

1. จงหาผลคณตอไปน

(1.1) 12 × 12 (1.2) 14 × 13 (1.3) 17 × 17

(1.4) 108 × 103 (1.5) 102 × 103 (1.6) 112 × 108

(1.7) 113 × 109 (1.8) 112 × 111 (1.9) 1002 × 1007

(1.10) 1007 × 1012 (1.11) 1110 × 1004 (1.12) 1003 × 1002

2. จงหาผลคณตอไปน

(2.1) 89 × 99 (2.2) 87 × 88 (2.3) 91 × 93

(2.4) 989 × 995 (2.5) 999 × 988 (2.6) 998 × 992

(2.7) 9998 × 9995 (2.8) 9989 × 9980 (2.9) 9988 × 9996

(2.10) 98 × 102 (2.11) 108 × 98 (2.12) 1004 × 995

(2.13) 1007 × 988 (2.14) 1110 × 989 (2.15) 1003 × 998


ผลคณทไดตวเลขเรยงกลบ

1 × 1 = 1

3 × 7 = 21

3 × 107 = 321

29 × 149 = 4321

3 × 19×953 = 54321

3 × 218107 = 654321

19 × 402859 = 7654321

32 × 9739369 = 87654321

32 × 109739369 = 987654321

61

×

สองชอง คอ ตาแหนงทใชเขยนผลคณของ a × (b × 10) ซงจะอยในตาแหนงหลกสบ และตาแหนงหลกรอย

×

ตอนท 2.2 การคณโดยการจดตาแหนงผลคณ

เรองท 2.2.1 การคณทตวตงและตวคณประกอบดวยเลขโดดสองตว

การคณโดยการจดตาแหนงผลคณ สาหรบ a และ b ซงเปนเลขโดดสองตวจะมคาเปนจานวนเตม ตงแต 0 ถง 9 ผลคณ a × b จะมคาเทากบ c × 10 + d สาหรบบางเลขโดด c และ d ถาเขยน c × 10 + d เปนตวเลขทมคาประจาตาแหนง จะได c × 10 + d = cd นนคอ a × b = cd จงเหนไดวา ผลคณของเลขโดด a และ b มคาเปนจานวนทประกอบดวยตวเลขทไมเกนสองหลก เชน 9 × 9 = 81 (คามากทสดของผลคณเลขโดดสองตว) 6 × 5 = 30 1 × 7 = 7 หรอ 07 เปนตน ดงนน ถา a และ b เปนเลขโดดในหลกหนวย จะมผงการคณ ดงน

สบ หนวย

a

b

ถา a เปนเลขโดดในหลกหนวย และ b เปนเลขโดดในหลกสบ และเขยน a และ b ในรป คาประจาตาแหนง จะได a มคาเทากบ a และ b มคาเทากบ b × 10 ดงนน ผลคณของจานวนทงสองจะอยในรป a × (b × 10) = cd × 10 (a × b = cd) = cdo ( cdo เขยนในรปคาประจาตาแหนง) แสดงวา ถา a เปนเลขโดดในหลกหนวย และ b เปนเลขโดดใน หลกสบ จะมผงการคณ ดงน

รอย สบ หนวย

b

a

สองชอง คอ ตาแหนงทใชเขยนผลคณของ a × b ซงจะอยในตาแหนงหลกหนวย และตาแหนงหลกสบ (กรณผลคณทไดเปน

เลขโดดตวเดยว ในหลกสบ หมายถง 0)

62

×

สองชอง คอ ตาแหนงทใชเขยนผลคณของ (a × 10) × (b × 10) ซงจะอยในตาแหนงหลกรอย และหลกพน

×

×

ทานองเดยวกน ถา a เปนเลขโดดในหลกสบ และ b เปนเลขโดดในหลกหนวยจะมผงการคณ

ดงน

รอย สบ หนวย

a

b

และถา a และ b ตางกเปนเลขโดดในหลกสบ จะมผงการคณ ดงน

พน รอย สบ หนวย

a

b

ถา a, b, c, d ตางเปนเลขโดด และ ab กบ cd เปนตวเลขทเขยนในรปทมคาประจาตาแหนง

ab × cd จะมผงการคณ ดงน


a

c

b

d

(1) (2) (3) (4)

63

×

×

บรรทด (1) ชอง สองชอง แสดงตาแหนงของผลคณ b × d

บรรทด (2) ชอง สองชอง แสดงตาแหนงของผลคณ (a × 10) × d

บรรทด (3) ชอง สองชอง แสดงตาแหนงของผลคณ c × (b × 10)

บรรทด (4) ชอง สองชอง แสดงตาแหนงของผลคณ (a × 10) × (c × 10)

ถายายตาแหนงของชอง สองชองในบรรทด (4) ไปยงบรรทด (1) ใหอยในหลกพนและ

หลกรอย จะไดผงการคณ ดงน


a

c

b

d

ผลลพธทไดจากการบวกจานวนในบรรทด (1), (2) และ (3) ทมหลกตรงกนตามปกต


วธคด 4 8

6 9

(24 ไดจาก 4 × 6) 2 4 7 2 ( 72 ไดจาก 8 × 9)

3 6 ( 36 ไดจาก 4 × 9)

4 8 (48 ไดจาก 8 × 6)

3 3 1 2

ดงนน 48 × 69 = 3312

(1) (2) (3)

64

×

(1) (2) e เปนตวคณ (3) (4) (5) d เปนตวคณ (6)


วธคด 4 1

6 9

(24 ไดจาก 4 × 6) 2 4 0 9 ( 09 ไดจาก 1 × 9)

3 6 ( 36 ไดจาก 4 × 9)

0 6 (06 ไดจาก 1 × 6)

2 8 2 9

ดงนน 41 × 69 = 2829

เรองท 2.2.2 การคณทตวตงประกอบดวยเลขโดดสามตว และตวคณประกอบดวยเลขโดดสองตว

ถา a, b, c, d และ e เปนเลขโดด

ในการหาผลคณของ abc × de ทเปนผลคณทตวตงประกอบดวยเลขโดดสามตว และตวคณ

ประกอบดวยเลขโดดสองตว ใชแนวคดทานองเดยวกนกบรปแบบท 1 แตเพมหลกรอยทตวตงขนอก

หนงหลก ผงการคณเปนดงน

หมน พน รอย สบ หนวย

a

b d

c e

บรรทด (1) ชอง แสดงตาแหนงของผลคณ c × e

บรรทด (2) ชอง แสดงตาแหนงของผลคณ (b × 10) × e

บรรทด (3) ชอง แสดงตาแหนงของผลคณ (a × 100) × e

65

×

×

บรรทด (4) ชอง แสดงตาแหนงของผลคณ c × (d × 10)

บรรทด (5) ชอง แสดงตาแหนงของผลคณ (b × 10) × (d × 10)

บรรทด (6) ชอง แสดงตาแหนงของผลคณ (a × 100) × (d × 10)

นอกจากน ถานา ในบรรทด (3) ไปไวทบรรทด (1) ในหลกทตรงกนและนา

ในบรรทด (6) ไปไวทบรรทด (4) ในหลกทตรงกน จะไดทศทางการวางตาแหนงทม e และ d เปนตว

คณ ดงน หมน พน รอย สบ หนวย

a b d

c e

(3) (1) (2)

(6) (4)

(5)

ผงการคณ เปนดงน

หมน พน รอย สบ หนวย a b c d e

(1), (2) และ (3) แสดงทศทาง

การวางตาแหนง ของการคณ c, b และ a ดวย e

ตามลาดบ (4), (5) และ (6) แสดงทศทาง

การวางตาแหนง ของการคณ c, b และ a ดวย d

ตามลาดบ ชองผลลพธ

66

ตวอยางท 2.2.3 จงหาผลคณของ 987 × 36 วธคด 9 8 7 3 6 (54 ไดจาก 9 × 6) 5 4 4 2 (42 ไดจาก 7 × 6) 4 8 (48 ไดจาก 8 × 6) (27 ไดจาก 9 × 3) 2 7 2 1 (21 ไดจาก 7 × 3) (24 ไดจาก 8 × 3) 2 4 3 5 5 3 2

ดงนน 987 × 36 = 35532

ถาเปนผลคณของเลขสามหลกกบเลขสามหลกกทาไดทานองเดยวกนโดยเพมแถวของผลลพธ

การคณดวยตวเลขในหลกรอยของตวคณตออกสองแถว แลวจงหาผลบวกของผลคณทงหมด

ดงตวอยางตอไปน


วธคด 9 8 7

4 3 6

5 4 4 2

4 8

2 7 2 1

2 4

3 6 2 8

3 2 ก

4 3 0 3 3 2

ดงนน 987 × 436 = 430332

×

67


จงหาคาของ

1. 47 × 68

2. 63 × 327

3. 472 × 384

4. 615 × 738

5. 1234 × 389


หนงคณกบหนงได หนง สอง สาม

11 × 111 = 1221 111 × 111 = 12321

1111 × 111 = 123321 11111 × 111 = 1233321

111111 × 111 = 12333321 1111111 × 111 = 123333321

11111111 × 111 = 1233333321

68

1

1

1

1

1

2

1

1 3

ตอนท 2.3 การคณโดยใชตาราง

เรองท 2.3.1 การคณแบบธรรมดา

การคณโดยใชตารางตามวธทจะกลาวตอไปนมความสะดวก โดยขณะทคณไมตองนาตวทดไปบวกในหลกถดไป เมอจบคคณเลขโดดทงหมดแลวหาผลบวกรวมยอดเปนผลคณดงตวอยางตอไปน ตวอยางท 2.3.1 จงหาคาของ 109 × 12 แนวคด ขนท 1 เขยนตวตงไวดานบนของตาราง และเขยนตวคณไวดานขวาของตาราง โดยตารางทาเปนชองดงน 1 0 9

1 2

ขนท 2 ใสผลคณลงในชอง โดยใสชองลางกอน ( )

สาหรบตวทดถามใสในชองบน ( )

แถวบนในตารางจะเปนผลคณของ 109 × 1 และแถวลางในตาราง

จะเปนผลคณของ 109 × 2 ดงน

1 0 9

แถวบน 1 0 9 1 แถวลาง 2 0 8 2

ขนท 3 หาผลบวกตามแนวทแยง // ผลบวกทไดจะเปนผลคณตามตองการ

1 0 9

1 0 9 1 1 2 0 8 2

2 0 8 = 12108 = 1308 นนคอ 109 × 12 = 1308 ตวอยางท 2.3.2 จงหาคาของ 387 × 24 แนวคด 3 8 7

6 6 4 2 8 2 2 8 4

2 8 8 = 81288 = 9288 นนคอ 387 × 24 = 9288

69

7 7 8

7 8

6 7

6 7


แนวคด 8 9

2 1 9

2 1 9

4 2 8

4 2 8

13 2

นนคอ 89 × 9988 = 888932

เรองท 2.3.2 การคณโดยจดเปนจานวนเครองหมายคละ

ในกรณทตวตงหรอตวคณมเลขโดดทเกน 5 อยหลายตว อาจแปลงเปนตวเลขในนขลมสตร

กอนแลวคณโดยใชตารางกจะทาใหใชการคณ ตวเลขทไมเกน 5 ดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 2.3.4 จงแปลง 89 × 9988 เปนตวเลขในนขลมสตรแลวหาผลคณโดยใชตาราง

แนวคด 89 × 9988 = __111 ×

__2110

1 _1

_1

1 1 1

0 0 0

0 0 0

1 1 1

2 2 2

_1 3 2 = 1

_1

_1

_1

_1 3 2

= 8 8 8 9 3 2 นนคอ 89 × 9988 = 888932

1

= 7171718132 = 888932 18

17

17

_1

_1

_1

0

1 0

_2

_1

70

9

9

9

9

9

9

7 7 8 8 6 4 1 1 1 1

= 1 0 0 1 1 0 0 3 6

= 1 0 0 0 8 9 9 6 4

1

1

1

1


แนวคด วธท 1

1 0 0 1 2

วธท 2 10012 × 9997 = 10012 × 10003

1 0 0 1 2

1 0 0 1 2

3 0 0 3 6

1 0 0 3 6

นนคอ 10012 × 9997 = 100089964

ขอสรป การคณโดยใชตารางนเปนการคณเลขโดดกบเลขโดดไดผลลพธเปนเทาใด เขยนผลลพธ

เหลานนลงในชองตารางโดยไมตองทด หลงจากนนจงบวกทแยง จะไดผลลพธของการคณ ซงทาให

ไดผลคณรวดเรวและผดพลาดนอย นอกจากนกรณทเลขโดดในตวตงหรอตวคณมคาเกน 5 สามารถใช

นขลมสตรแปลงใหใชตวเลขทไมเกน 5 แลวทาการคณแบบตารางกจะสะดวกและรวดเรวขน

9 0 0 9 8

9 0 0 9 8

9 0 0 9 8

7 0 0 7 4

= 100089964

นนคอ 10012 × 9997 = 100089964

1

0

0

0

3

1

0

0

1

9

71


จงหาคาของผลคณตอไปน 1. 287 × 315 2. 38644 × 9998 3. 27413 × 5615 4. 374 × 89 × 463 5. 27135 × 246 × 4138 6. 99998 × 819 × 19210

ตอนท 2.4 การคณแนวตงและการคณไขว

เรองท 2.4.1 การคณธรรมดา

การหาผลคณโดยใชการคณแนวตงและการคณไขวนเปนวธการคณวธหนง ซงรปแบบการคณ

จะเปนรปแบบทสมมาตร ดงตวอยางการคณตอไปน

ตวอยางท 2.4.1 42 × 31 มผงการคณแนวตงและการคณไขวดงน

4 2

3 1

เมอ • แทนตาแหนงของเลขโดดของตวตงและตวคณจะมผงการคณเปนรปสมมาตร และม 3

ขนตอนการคณจากขวาไปซายดงน

4 4 2 2

• • • •

• • • •

3 3 1 1

ขนท 3 ขนท 2 ขนท 1

4 × 3 = 12 (4 × 1) + (3 × 2) = 10 2 × 1 = 2

ผลลพธทไดจากการคณในแตละขนจะไดตาแหนงของเลขโดดในผลลพธ คอ ตาแหนง

72

x

หลกหนวย หลกสบ หลกรอย ตามลาดบจากขนท 1, 2 และ 3 สาหรบในขนใดทผลคณเปนเลขโดดสองตว เลขโดดตวหนาจะทดไปในหลกทสงขนหนงหลก ดงน

4 2

3 1

12 10 2 = 1302


แนวคด เนองจากตวตงและตวคณเปนเลขสองหลก จงมผงการคณดงน

• •

• • ขนท 3 ขนท 2 ขนท 1


แนวคด ผงการคณแบงเปน 5 ขนตอน ดงน

• • • • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • • • •

ขนท 5 ขนท 4 ขนท 3 ขนท 2 ขนท 1

(คณ 1 ค) (คณ 2 ค) (คณ 3 ค) (คณ 2 ค) (คณ 1 ค)

การคานวณ 8 6 2 3

16 36 18 = 1978

×

ขนตอนการคณ 1) 6 × 3 = 18 2) (8 × 3) + (2 × 6) = 36 3) 8 × 2 = 16

การคานวณ 3 0 2 5 1 4

15 3 22 2 8 = 155228

×

ขนตอนการคณ

1) 2 × 4 = 8

2) (0 × 4) + (1 × 2) = 2

3) (3 × 4) + (0 × 1) + (5 × 2) = 22

4) (3 × 1) + (5 × 0) = 3

5) 3 × 5 = 15

73

×


แนวคด เนองจากจานวนหลกของตวตงมากกวาตวคณ จงใสเลข 0 หนาตวคณใหจานวนเลขโดดของ

ตวตงและตวคณเทากนเสยกอน แลวทาการคานวณ

3 2 1

0 4 3

12 17 10 3 = 13803

ตวอยางท 2.4.5 จงหาผลคณ 3251 × 7604

แนวคด ผงการคณแบงเปน 7 ขนตอนดงน

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

ขนท 7 ขนท 6 ขนท 5 ขนท 4 ขนท 3 ขนท 2 ขนท 1

การคานวณ

3 2 5 1

7 6 0 4

21 32 47 49 14 20 4 = 24720604


1) 1 × 4 = 4 2) (5 × 4) + (0 × 1) = 20 3) (2 × 4) + (5 × 0) + (6 × 1) = 14 4) (3 × 4) + (2 × 0) + (6 × 5) + (7 × 1) = 49 5) (3 × 0) + (2 × 6) + (7 × 5) = 47 6) (3 × 6) + (7 × 2) = 32 7) 3 × 7 = 21

74

×

ขอสงเกต ในการคณแนวตงและการคณไขวมลกษณะดงน

1. จานวนเลขโดดของตวตงและตวคณตองเทากน ในกรณไมเทา ใหเตม 0 หนาตวตงหรอ

ตวคณทนอยกวาใหมตวเลขโดดเทากบตวตง หรอตวคณทมจานวนเลขโดดมากกวา

2. ผลจาก 1. จะทาใหจานวนเลขโดดในการคณเทากบ 2n เมอ n = 1,2,3... จะมขนตอนการคณ

เทากบ 2n - 1 ขนตอน

3. ตงแตขนท 1 ถงขนท n จานวนการจบคเพอคณกนทงแนวตงและคณไขวจะเทากบตวเลข

แสดงอนดบทของขนนน ๆ สาหรบขนท n + 1 จนถงขนท 2n - 1 จานวนการจบคคณกนในแตละขนท

เพมขนจะลดลงทละ 1 ตามลาดบ


แนวคด เนองจากทงตวตงและตวคณตางกเปนตวเลข 5 หลก ดงนน ขนตอนการคณมทงหมด

2(5) - 1 = 9 ขนตอน ดงน


1 2 1 3 1

2 0 4 1 2

2 4 6 15 10 17 9 7 2 = 247617972


1) 1 × 2 = 2

2) (3 × 2) + (1 × 1) = 7

3) (1 × 2) = (3 × 1) + (4 × 1) = 9

4) (2 × 2) + (1 × 1) + (4 × 3) + (0 × 1) = 17

5) (1 × 2) + (2 × 1) + (1 × 4) + (0 × 3) + (2 × 1) = 10

6) (1 × 1) + (2 × 4) + (0 × 1) + (2 × 3) = 15

7) (1 × 4) + (2 × 0) + (2 × 1) = 6

8) (1 × 0) + (2 × 2) = 4

9) 1 × 2 = 2

75

ในกรณทตวตงและตวคณมเลขโดดทมากกวาเลข 5 เราสามารถแปลงเปนเลขโดดทมคานอย

กวาเลข 5 ไดโดยใชนขลมสตรจะทาใหการคณงายขนดงตวอยางตอไปน

เรองท 2.4.7 การคณโดยจดเปนจานวนเครองหมายคละ

ตวอยางท 2.4 จงหาผลคณของ 39 × 49

แนวคด 39 = 4 _1 และ 49 = 5

_1

4 _1

5 _1

2 0 _9 1 = 1911


แนวคด 291 = 3 _1 1 และ 388 = 4

_1

_2


3 _1 1

4 _1

_2

1 2 _7

_1 1

_2 = 112908


แนวคด 8 1 8 = 1 _2 2

_2 และ 3 9 = 4

_1


1 _2 2

_2

0 0 4 _1

4 _9 10 10 2 = 4

_8

_1 0 2 = 3 1 9 0 2


1) 1 × _2 =

_2

2) (_1 ×

_2 ) + (

_1 × 1) = 1

3) (3 ×_2 ) + (

_1 ×

_1 ) + (4 × 1) =

_1

4) (3 ×_1 ) + (4 ×

_1 ) =

_7

5) 3 × 4 = 12

×

x

x

76


แนวคด 37898 = 4 _2

_1 0

_2 และ 19989 = 200

_1

_1


4 _2

_1 0

_2

2 0 0 _1

_1

8 _4

_2

_4

_6 3 1 2 2 = 757543122


1) _2 ×

_1 = 2

2) (0 ×_1 ) + (

_1 ×

_2 ) = 2

3) (_1 ×

_1 ) + (0 ×

_1 ) + (0 ×

_2 ) = 1

4) (_2 ×

_1 ) + (

_1 ×

_1 ) + (0 × 0) + (0 ×

_2 ) = 3

5) (4 ×_1 ) + (

_2 ×

_1 ) + (

_1 × 0) + (0 × 0) + (2 ×

_2 ) =

_6

6) (4 ×_1 ) + (

_2 × 0) + (

_1 × 0) + (2 × 0) =

_4

7) (4 × 0) + (_2 × 0) + (2 ×

_1 ) =

_2

8) (4 × 0) + (2 ×_2 ) =

_4

9) 4 × 2 = 8

ในการคณจานวนทมจดทศนยมสามารถทาการคณไดโดยปรกต โดยตาแหนงของจดทศนยม

ผลคณเทากบผลบวกของตาแหนงทศนยมของจานวนทงสองทคณกน

ตวอยางท 2.4.11 จงหาผลคณของ 34.1 × 4.54

แนวคด เนองจากตวตงมทศนยม 1 ตาแหนง และตวคณมทศนยม 2 ตาแหนง ดงนนผลลพธมทศนยม

3 ตาแหนง การคณเปนดงน

3 4 . 1

4 . 5 4

12 31 3 . 6 21 4 = 154.814

×

×

77

×

ตวอยางท 2.4.12 จงหาผลคณของ 8.18 × 3.9

แนวคด เนองจากตวตงมทศนยม 2 ตาแหนงตวคณมทศนยม 1 ตาแหนง ดงนนผลพทธมทศนยม 3

ตาแหนง นอกจากน

8 . 1 8 = 1 _2 . 2

_2 และ 3 . 9 = 4 .

_1 การคณเปนดงน

1 _2 . 2

_2

0 0 4 . _1

4 _9 . 10 01 2 = 4

_8 .

_1 0 2 = 3 1 . 9 0 2

ขอสรป

การคณโดยใชผงการคณนผงการคณเปนผงทเปนรปสมมาตร ในกรณทตวตง และตวคณม

จานวนหลกไมเทากนตองเตมศนยหนาจานวนทมหลกนอยกวาโดยใช 0 แทนหลกทขาดไป แลวจงทา

การคณเลขโดดทละ 1,2,...n,...,2, 1 คตามผงการคณ

78


จงหาผลคณตอไปน

1. 45 × 58

2. 314 × 67

3. 8121 × 374

4. 31.28 × 4.35

5. 3561 × 62.5


การคณทมเจดกบเกาไดของแถมเปนหนงกบสอง

779 ×

7779 ×

77779 ×

777779 ×

7777779 ×

77777779 ×

777777779 ×

99

999

9999

99999

999999

9999999

99999999

=

=

=

=

=

=

=

77121

7771221

777712221

77777122221

7777771222221

777777712222221

77777777122222221

79

หนวยท 3 ทกษะการคานวณ 3 (การหาร)

ตอนท 3.1 การหารสงเคราะห ตอนท 3.2 ทศนยม แนวคด 1. การหารทตวหารนอยกวา 10 หรอ 100 หรอ 1000 เลกนอยนน ใชวธการหารสงเคราะหจะ

สะดวกกวา 2. ในการหาผลหารเปนทศนยม จะตองเตม 0 ตอทายตวตงเทากบจานวนตาแหนงของทศนยม ทตองการ วตถประสงค เมอศกษาหนวยท 3 จบแลว นกเรยนสามารถ 1. หาผลหารโดยวธการหารสงเคราะหได 2. หาผลหารทเปนทศนยมโดยวธการหารสงเคราะหได กจกรรมระหวางเรยน 1. อาจารยอธบายแนวคดและแสดงตวอยางการหารทตวหารนอยกวา 10 หรอ 100 หรอ 1000

เลกนอย โดยใชวธการหารสงเคราะห 2. นกเรยนทากจกรรมตามตวอยางและแบบฝกหด 3. นกเรยนประเมนพฒนาการของตนเอง สอการสอน 1. เอกสารการสอน 2. แบบฝกปฏบต 3. เครองฉายขามศรษะ ประเมนผล ประเมนผลจากแบบฝกหดและการทดสอบ

80

ตอนท 3.1 การหารสงเคราะห

เรองท 3.1.1 การหารทตวหารเปนเลขโดดทมากกวา 5

ในการคณโดยเฉพาะเลขโดดทนามาคณกนนนมคามากกวา 5 ถาใชจานวนเครองหมายคละ

ทาใหคณงายขนในทานองเดยวกนสาหรบการหาร ถาตวหารมเลขโดดทมคามากกวา 5 เมอใชจานวน

เครองหมายคละผสมกบการหารสงเคราะหกจะทาใหการหารนนงายขน ดงตวอยางตอไปนโดยจะ

แสดงวธคดเปนขนตอน

ชนดท 1 ตวหารเปนเลขโดดทมากกวา 5

ตวอยางท 3.1.1 จงหาร 34 ดวย 9

แนวคด

ขนท 1 หาจานวนทบสบของตวหารคอจานวนสบของ 9 ซงคอ 1 เขยน 1 ไวใต 9 แลวเขยน

การตงหารดงน

9 ) 3 4

1

ขนท 2 ใช 1 ซงเปนจานวนทบสบของตวหาร ทาการหารแทนตวหารเดม แลวเขยนขด |

แบงตวตง โดยเขยน | หลงเลขโดด ในตาแหนงทเทากบจานวนเลขโดดของตวหาร ในทนตวหารเปน

เลขโดด 1 ตว ดงนน จากตวตงคอ 34 นบเลขโดดจากทางขวาไปทางซาย 1 ตวแลวเขยนขด | คน จะ

ได 3 | 4 ใหยาวพอสมควรดงน

9 ) 3 4

1

หมายเหต จะใช MD แทนตวหารทปรบปรงใหม ซงในทนคอจานวนทบสบของตวหารเดม และจะใช

D แทนตวตง

ขนท 3 ขดเสนใตบรรทดท 2 แลวชกเลขโดดทางซายสดของ D (ในทนคอ 3 และอยทางซาย

ของ | ในตวตง) ลงมาตรงๆ และเขยนไวในบรรทดท 3

9 ) 3 4

MD 1

3

81

ขนท 4 คณเลขโดดทชกลงมาในบรรทดท 3 ดวยเลขโดดตวซายสดของ MD (ในทน MD ม

เลขโดดตวเดยวคอ 1) จะได 3 × 1 = 3 แลวเขยนผลคณไวบรรทดท 2 ใตตวตงในหลกถดไปทางขวา

(ในทนคอหลกหนวย)

9 ) 3 4

1 3

3

ขนท 5 บวกเลขในหลกหนวยของแถวท 1 และ 2 จะได 4+3 = 7 เขยน 7 ไวบรรทดท 3 ใหตรง

กบตวเลขทบวกกนจะเหนวา | อยหนา 7

9 ) 3 4

1 3

3 7

ผลลพธคอ 3

เศษคอ 7

ดงนน 34 ÷ 9 = 3 เศษ 7


แนวคด

ขนท 1-2 เนองจากตวหารคอ 9 ดงนน MD = 1 เขยนภาพตงหารไดดงน

9 ) 6 0

1

ขนท 3 ชก 6 ซงเปนเลขโดดซายสดของตวตงลงมาบรรทดท 3

9 ) 6 0

1

6

ขนท 4 คณ 6 ทชกลงมาดวย MD คอ 1 จะได 6 × 1 = 6 แลวเขยนไวบรรทดท 2 ในหลกถดไป

ทางขวา

82

9 ) 6 0

1 6

6

ขนท 5 บวกเลขในหลกหนวยของบรรทดท 1 และ 2 ได 0 + 6 = 6 แลวเขยนไวบรรทดท 3 จะ

เหนวา | อยหนา 6 ทเปนผลบวก

9 ) 6 0

1 6

6 6


เศษคอ 6

ดงนน 60 ÷ 9 = 6 เศษ 6


แนวคด

ขนท 1-2 9 ) 2 1 3

1

ขนท 3 ชก 2 ทเปนเลขโดดซายสดของตวตงลงมาบรรทดท 3

9 ) 2 1 3

1

2

ขนท 4 คณ 2 ทชกลงมาดวย 1 ทเปนเลขโดดเพยงตวเดยวใน MD จะได 2 × 1 = 2 เขยน 2 ไว

บรรทดท 2 ในหลกถดไปทางขวา (ในทนคอหลกสบ) แลวหาผลบวกเลขโดดในหลกสบของบรรทดท

1 และ 2 จะได 1 + 2 = 3 เขยนไวบรรทดท 3 ใหตรงกบเลขโดดทบวกกน

9 ) 2 1 3

1 2

2 3

83

ขนท 4 (ก) นา 1 ใน MD ไปคณ 3 ในบรรทดท 3 ทเปนผลบวกในหลกสบจะได 3 × 1 = 3

เขยน 3 ไวบนหลกหนวยในบรรทดท 2

9 ) 2 1 3

1 2 3

2 3

ขนท 5 หาผลบวกของเลขโดด ในหลกหนวยของบรรทดท 1 และ 2 จะได 3 + 3 = 6 เขยน 6

ลงในบรรทดท 3 ใหตรงกบเลขโดดทบวกกน

9 ) 2 1 3

1 2 3

2 3 6


เศษคอ 6

ดงนน 213 ÷ 9 = 23 เศษ 6


แนวคด 9 ) 3 2 3

1 3 5

3 5 8


เศษคอ 8

ดงนน 323 ÷ 9 = 35 เศษ 8


แนวคด 9 ) 1 2 1 2 1

1 1 3 4 6

1 3 4 6 7

84


เศษคอ 7

ดงนน 12121 ÷ 9 = 1346 เศษ 7

ในกรณททาการหารแลวไดเศษเกนกวาตวหารดงเดม จะตองทาการหารเศษตอไปแลวนา

ผลลพธทไดไปบวกกบผลลพธเดม จะไดผลลพธใหมเปนคาตอบ และเศษทไดใหมทไมเกนตวหาร

ดงเดมกจะเปนเศษของการหารโดยแทจรงดงตวอยางตอไปน


แนวคด 9 ) 6 7

6

6 13

จะเหนวา ผลลพธคอ 6 เศษ 13 แตเศษคอ 13 มากกวาตวหารดงเดมคอ 9 ดงนนจะตองหาร 13

ดวย 9 อกดงน

9 ) 1 3

1 1

1 4

นา 1 ไปบวกกบผลลพธเดม จะได 6 + 1 = 7 เปนผลลพธใหมและเศษทไดใหมคอ 4 เปนเศษท

แทจรง

จะไดผลลพธคอ 6 + 1 = 7

เศษคอ 4

ดงนน 67 ÷ 9 = 7 เศษ 4

85

ถาเขยนการหาร 2 ครงอยางตอเนองจะเขยนไดดงน

9 ) 6 7

1 6

6 1 3

1

1 4

6 1 4 = 61 | 4 = 7 | 4


เศษคอ 4

ดงนน 67 ÷ 9 = 7 เศษ 4


แนวคด

9 ) 1 6 7

1 1 7

1 7 1 4

1

17 1 5 = 171 | 5 = 18 | 5


เศษคอ 5

ดงนน 167 ÷ 9 = 18 เศษ 5

86


แนวคด 9 ) 1 0 1 1 6 3 8

1 1 1 2 3 9 12

1 1 2 3 9 12 20

1 1 2 4 0 2 2 0

2

2 2

1 1 2 4 0 2 2 2 = 1124022 | 2

= 112404 | 2


เศษคอ 2

ดงนน 1011638 ÷ 9 = 112404 เศษ 2


แนวคด จานวนทบสบของ 8 คอ 2 จงทาการหารดงน

8 ) 1 0 1 2

2 2 4 10

1 2 5 1 2

2

1 4

1 2 5 1 4 = 1251 | 4 = 126 | 4


เศษคอ 4

ดงนน 1012 ÷ 8 = 126 เศษ 4

87


แนวคด 7 ) 3 1 2 4

3 9 30 96

3 10 32 100

4 3 2 10 0

3 9

13 9

4 3 2 13 9 = 432 + 13 | 9 = 445 | 9

แตเศษ 9 มากกวา 7 และ 9 ÷ 7 = 1 เศษ 2

ดงนน 445 | 9 = 445 | 1 | 2 = 445 + 1 | 2 = 446 | 2


เศษคอ 2

ดงนน 3124 ÷ 7 = 446 เศษ 2

เรองท 3.1.2 การหารทตวหารมตวเลขมากกวาหนงตว

ชนดท 2 ตวหารมเลขโดดมากกวา 1 ตว ในกรณนจะใชจานวนทบรอย ทบพน ฯลฯ ของตวหารเขา

ชวยในการหาร


แนวคด ขนท 1-2 หาจานวนทบรอยของ 89 ซงคอ 11 จะได MD = 11 เนองจาก MD มเลขโดด 2 ตว จง

แบงตวตง 216 ดวย | โดยนบเลขโดดจากทางขวาของตวตงไปทางซาย 2 ตวแลวเขยน | ขางหนา

หลงจากนนเขยนการตงหารจะได

8 9 ) 2 1 6

1 1

ขนท 3 ขดเสนใตบรรทดท 2 แลวชกเลขโดดซายสดของ D

(ในทนคอ 2) ลงมาตรง ๆ และเขยนไวบรรทดท 3

88

8 9 ) 2 1 6

1 1

2

ขนท 4 นา 11 ซงเปน MD ไปคณกบ 2 ทชกลงมา จะได 2 × 11 = 22 เขยน 22 ไวบรรทดท 2

ในสองหลกถดไปทางขวา

8 9 ) 2 1 6

1 1 2 2

2

ขนท 5 บวก 16 กบ 22 จะได 16 + 22 = 38 เขยนไวบรรทดท 3 ใหตรงกบตวเลขทบวกกนจะ

เหนวาม | หนา 38 ซง 38 คอเศษ สวน 2 ทชกลงมาตงแตตนคอผลลพธ

8 9 ) 2 1 6

1 1 2 2

2 3 8


เศษคอ 38

ดงนน 216 ÷ 89 = 2 เศษ 38


แนวคด 8 7 ) 1 1 2

1 3 1 3

1 2 5


เศษคอ 25

ดงนน 112 ÷ 87 = 1 เศษ 25

89


แนวคด ขนท 1-2 8 9 ) 3 4 5 6 7

1 1

ขนท 3 เนองจากจะตองใชหลายบรรทดในการคานวณ จงขดเสนใตไวบรรทดทหางจาก

บรรทดท 1 พอสมควร แลวชก 3 ซงเปนเลขโดดซายสดของตวตงลงมา

8 9 ) 3 4 5 6 7

1 1

3

ขนท 4 นา MD = 11 คณ 3 ทชกลงมา จะได 3 × 11 = 33 เขยนไวบรรทดท 3 ในสองหลก

ถดไปทางขวา

8 9 ) 3 4 5 6 7

1 1 3 3

3

ขนท 4 (ก) บวก 4 กบ 3 ซงเปนเลขโดดในบรรทดท 1 และ 2 อยในหลกพนเหมอนกนจะได

4 + 3 = 7 เขยน 7 ลงมาตรงๆ ในบรรทดลางสด

8 9 ) 3 4 5 6 7

1 1 3 3

3 7

ขนท 4 (ข) นา MD = 11 คณ 7 ในบรรทดสดทาย จะได

7 × 11 = 77 เขยน 77 ไวในบรรทดท 3 ในหลกถดไปทางขวา

8 9 ) 3 4 5 6 7

1 1 3 3

7 7

3 7

90

ขนท 4 (ค) บวก 5 กบ 3 กบ 7 ซงเปนเลขโดดในบรรทดท 1, 2 และ 3 อยในหลกรอย

เหมอนกน จะได 5 + 3 + 7 = 15 เขยน 15 ลงมาตรงๆ ในบรรทดลางสด (ทเขยน 15 เพระ 15 เปนเลข 2

หลก จงเขยน 15 เพอเตรยมทด 1 ไปหลกทางซาย)

8 9 ) 3 4 5 6 7

1 1 3 3

7 7

3 7 15

ขนท 4 (ง) นา MD = 11 คณ 15 ในบรรทดสดทาย จะได 15 × 11 = 15 15 ไวบรรทดท 4 ใน

สองหลกถดไปทางขวา

8 9 ) 3 4 5 6 7

1 1 3 3

7 7

15 15

3 7 15

ขนท 5 หาผลบวกของ 6 กบ 7 กบ 15 และ 7 กบ 15 จะได

6 + 7 + 15 = 28 และ 7 + 15 = 22 แลวเขยนผลลพธลงมาบรรทดสดทาย ใหตรงกบเลขทบวกกนจะเหน

วาม | หนา 28

8 9 ) 3 4 5 6 7

1 1 3 3

7 7

15 15

3 7 15 28 22

ขนท 6 เศษทไดคอ 28 22 = 302 ซงมคาเกน 89 จงทาการหารเศษตอไป ดงน

8 9 ) 3 0 2

1 1 3 3

3 3 5

91

จะไดผลลพธคอ 3

เศษคอ 35

ขนท 7 นาผลลพธ 3 ไปบวกกบผลลพธเดม คอ 3715 จะได 3715 + 3 = 385 + 3 = 388 คอ

ผลลพธสดทายและเศษสดทายคอ 35 ซงไดจากขนท 6

จะไดผลลพธคอ 388

เศษคอ 35

ดงนน 34567 ÷ 89 = 388 เศษ 35

หมายเหต เขยนเปนวธทาแบบตอเนองไดดงน

8 9 ) 3 4 5 6 7

1 1 3 3

7 7

15 15

3 7 15 28 22

3 7 15 3 0 2

3 3

3 3 5

3 7 15 3 3 5 = 385 + 3 | 35

= 388 | 35


เศษคอ 35

ดงนน 34567 ÷ 89 = 388 เศษ 35

92


แนวคด MD ของ 987 คอ 013 (ตองเขยนเปนเลข 3 หลกเหมอนตวหาร จงเตม 0 หนา 13)

9 8 7 ) 1 0 1 1 6 3 8

0 1 3 0 1 3

0 0 0

0 2 6

0 5 2

1 0 2 4 81 41 0 = 1024 | 950


เศษคอ 950

ดงนน 1011638 ÷ 987 = 1024 เศษ 950


แนวคด 9 8 8 8 ) 3 0 0 0 0 0

0 1 1 2 0 3 3 6

0 0 0 0

3 0 3 3 6 0


เศษคอ 3360

ดงนน 300000 ÷ 9888 = 30 เศษ 3360

ในกรณทตวตงมเลขโดดทมคามากกวา 5 อยหลายตว เราอาจจะแปลงเลขโดดเหลานนโดยใช

ขดบน เพอคดคานวณโดยใชเลขโดดทนอยกวา 5 จะสะดวกกวาดงน

93


แนวคด 98564318 = 1 0 _1

_4

_4 4 3 2

_2

9 8 8 6 ) 9 8 5 6 4 3 1 8

0 1 1 4 ) 1 0 _1

_4

_4 4 3 2

_2

0 1 1 4

0 0 0 0

0 0 0 0

0 _3

__2 31

0 0 0 0

1 0 0 _3 0 1 0 01

_2 = 1 0 0

_3 0 | 1

_2 0

_2

= 9970 | 0898


เศษคอ 898

ดงนน 98564318 ÷ 9886 = 9970 เศษ 898

สนกกบตวเลข (9) เกาคณกบเกาได เกา แปด ศนย หนง

9 × 9 9 9 × 9 9

9 9 9 × 9 9 9 9 9 9 9 × 9 9 9 9

9 9 9 9 9 × 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 × 9 9 9 9 9 9

9 9 9 9 9 9 9 × 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 × 9 9 9 9 9 9 9 9

9 9 9 9 9 9 9 9 9 × 9 9 9 9 9 9 9 9 9

=========

8 1 9 8 0 1

9 9 8 0 0 1 9 9 9 8 0 0 0 1

9 9 9 9 8 0 0 0 0 1 9 9 9 9 9 8 0 0 0 0 0 1

9 9 9 9 9 9 8 0 0 0 0 0 0 1 9 9 9 9 9 9 9 8 0 0 0 0 0 0 0 1

9 9 9 9 9 9 9 9 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1

94


แนวคด 9876534201 = 1 0 _1

_2

_4 5 3 4 2 0 1

8 8 7 6 ) 9 8 7 6 5 3 4 2 0 1 1 1 2 4 ) 1 0

_1

_2

_4 5 3 4 2 0 1

1 1 2 4 1 1 2 4 1 1 2 4 2 2 4 8 5 5 10 20 18 18 3 6 72 34 34 68 136 1 1 1 2 5 18 34 74 92 140 137 1 1 1 2 6 11 4 83 2 153 7 1 1 1 2 7 1 4 84 7 3 7 8 4 7 3 7 8 8 16 32 8 12 15 19 39 1 1 1 2 7 2 2 13 7 2 9 1 3 7 2 9 1 1 2 4 1 4 8 4 13 1 1 1 2 7 2 3 4 8 5 3


เศษคอ 4853

ดงนน 9876534201 ÷ 8876 = 1112723 เศษ 4853

95


แนวคด 157689 = 2 _4

_2

_3

_1

_1

8 8 7 ) 1 5 7 6 8 9

1 1 3 ) 2 _4

_2

_3

_1

_1

2 2 6

_2

_2

_6

_2

_2

_6

2 _2

_2

_1

_9

_7

1 7 8 _1 0 3

1 7 8 _1 8 0 3

_1

_1

_3

_1 7

_1 0

1 7 8 _1 6 9 0

1 7 7 6 9 0


เศษคอ 690

ดงนน 157689 ÷ 887 = เศษ 690

สนกกบตวเลข (10) ศนย ระหวางหนง กบ แปด

1 2 × 9 1 1 2 × 9 9

1 1 1 2 × 9 9 9 1 1 1 1 2 × 9 9 9 9

1 1 1 1 1 2 × 9 9 9 9 9 1 1 1 1 1 1 2 × 9 9 9 9 9 9

1 1 1 1 1 1 1 2 × 9 9 9 9 9 9 9 1 1 1 1 1 1 1 1 2 × 9 9 9 9 9 9 9 9

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 × 9 9 9 9 9 9 9 9 9

=========

1 0 8 1 1 0 8 8

1 1 1 0 8 8 8 1 1 1 1 0 8 8 8 8

1 1 1 1 1 0 8 8 8 8 8 1 1 1 1 1 1 0 8 8 8 8 8 8

1 1 1 1 1 1 1 0 8 8 8 8 8 8 8 1 1 1 1 1 1 1 1 0 8 8 8 8 8 8 8 8

8

96


จงหาผลหารตอไปน (ตอบในรปผลลพธ และเศษ)

1. 68 ÷ 9

2. 221 ÷ 9

3. 3128 ÷ 8

4. 6153 ÷ 89

5. 212132 ÷ 989

สนกกบตวเลข (11) ซาแลวซาอก

1/ 89 = ••

912345670.0 1/ 891 = 55667789 112233440.0

•

1/ 8991 =

••

98555666777843443 0011122230.0 1/ 89991=

••

977888555566667743444323300011112220.0 1/ 899991 =

••

977778888555566666744534443222233300001111120.0

1/ 27 = ••

730.0 1/ 297 =

••

703360.0 1/ 2997 =

••

700333660.0 1/ 29997 =

••

700033336660.0 1/ 299997 =

••

7666 00003333360.0

97

ตอนท 3.2 ทศนยม เรองท 3.2.1 ทศนยม การหารสงเคราะหสามารถหาผลลพธในระบบทศนยมไดโดยใสจดหลงตวตงและเตม 0 เทากบจานวนตาแหนงของทศนยมทตองการดงน ตวอยางท 3.1.19 จงหาคาของ 345675 ÷ 9 ตองการทศนยม 10 ตาแหนง 1 แนวคด 9) 3 4 5 6 7 5 1 3 7 12 18 25 3 7 12 18 25 3 8 4 0 5 3 0 3 3 8 4 0 5 3 3

3 8 4 0 5 + 3 3 3 8 4 0 8 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (หาร 3 ทเปนเศษ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 โดยเตม 0 หลง 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ทเปนเศษ 10 ตว 3 8 4 0 8. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 แลวเขยน | หนา 0 ตวขาวสด) ดงนน 345675 ÷ 9 = 38408.3333333333

สนกกบตวเลข (12) ศนย ระหวางแปด กบ หนง

8 9 × 9 8 8 9 × 9 9

8 8 8 9 × 9 9 9 8 8 8 8 9 × 9 9 9 9

8 8 8 8 8 9 × 9 9 9 9 9 8 8 8 8 8 8 9 × 9 9 9 9 9 9

8 8 8 8 8 8 8 9 × 9 9 9 9 9 9 9 8 8 8 8 8 8 8 8 9 × 9 9 9 9 9 9 9 9

========

8 0 1 8 8 0 1 1

8 8 8 0 1 1 1 8 8 8 8 0 1 1 1 1

8 8 8 8 8 0 1 1 1 1 1 8 8 8 8 8 8 0 1 1 1 1 1 1

8 8 8 8 8 8 8 0 1 1 1 1 1 1 1 8 8 8 8 8 8 8 8 0 1 1 1 1 1 1 1 1

98

ตวอยางท 3.1.20 จงหาคาของ 2341 ÷ 89 ตองการทศนยม 3 ตาแหนง

แนวคด 8 9 ) 2 3 4 1

1 1 2 2

5 5

2 5 11 6

2 5 1 1 6

1 1

1 2 7

2 5 + 1 2 7

2 6 2 7 0 0 0 (หารเศษ 27 เมอตองการทศนยม 3 ตาแหนง

2 2 เตม 0 จานวน 3 ตวหลง 27 แลวทาการหาร)

9 9

11 11

2 9 112011

3 0 3 1 1

2 6 3 0 3

2 6 . 3 0 3

ดงนน 2341 ÷ 89 = 26.303

สนกกบตวเลข (13) ทาอยางไรกหนไมพนแปด

( ( ( ( ( ( ( ( ( (

0 × 9 ) + 8 9 × 9 ) + 7

9 8 × 9 ) + 6 9 8 7 × 9 ) + 5

9 8 7 6 × 9 ) + 4 9 8 7 6 5 × 9 ) + 3

9 8 7 6 5 4 × 9 ) + 2 9 8 7 6 5 4 3 × 9 ) + 1

9 8 7 6 5 4 3 2 × 9 ) + 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 × 9 ) + -1

==========

8 8 8

8 8 8 8 8 8 8

8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

99

ตวอยางท 14.20 จงหาคาของ 2467 ÷ 8 ตองการทศนยม 2 ตาแหนง

แนวคด 8 ) 2 4 6 7

2 4 16 44

2 8 22 51

3 0 2 5 1

10

5 1 1

3 0 7 11

3 0 7 1 1

2

1 3

3 0 8 3 0 0

6 12

3 6 12

3 7 2

3 0 8 3 7 2

3 0 8 . 3 7

ดงนน 2467 ÷ 8 = 308.37

ตวอยางท 14.21 จงหาคาของ 64532 ÷ 98 ตองการทศนยม 3 ตาแหนง

สนกกบตวเลข (14) การบวกแบบพาลนโดรมและกาลงสอง

1 1+2+1

1+2+3+2+1 1+2+3+4+3+2+1

1+2+3+4+5+4+3+2+1 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1

1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1 1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1

1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1

= = = = = = = = =

1 4 9 16 25 36 49 64 81

= = = = = = = = =

12

22

32

42

52

62

72

82 92

100

แนวคด 9 8 ) 6 4 5 3 2

0 2 0 12

0 8

0 34

6 4 17 11 36

6 5 7 14 6

6 5 7 1 4 6

0 2

1 4 8

6 5 8 4 8 0 0

0 8

0 16

4 8 8 16

4 8 9 6

6 5 8 4 8 9 6

6 5 8 . 4 8 9 ดงนน 64532 ÷ 98 = 658.489 ขอสรป การหารโดยวธนเหมาะสาหรบตวหารทมคามาก ในขณะทจานวนทบสบหรอทบรอยทบพน ฯลฯ ของตวหารเหลานนมตวเลขโดดแตละตวมคานอย นอกจากนการหารสงเคราะหจะเปนการปฏบตการกลบกบหารธรรมดา กลาวคอ ใชการคณ และการบวก ในขณะทการหารธรรมดาตองใชการหาร และการลบ การหารโดยวธนจงรวดเรวกวา

แบบฝกหดท 3.2 จงหาผลหารตอไปน (ตอบในรปทศนยมหาตาแหนง) 1. 68 ÷ 9 2. 221 ÷ 9 3. 3128 ÷ 8 4. 6153 ÷ 89 5. 212132 ÷ 989

101

หนวยท 4

การแกปญหาทางคณตศาสตร

ตอนท 4.1 กระบวนการแกปญหา

ตอนท 4.2 การสรางสรรคปญหา

แนวคด 1. การแกปญหาทางคณตศาสตรมกระบวนการแกปญหาตามขนตอนดงน

(1) ทาความเขาใจปญหา

(2) วางแผนแกปญหา

(3) ดาเนนการตามแผนทวางไว

(4) ตรวจสอบผลเฉลยหรอคาตอบ

(5) สรางสรรคปญหาขนใหมจากปญหาทมอยเดม

2. การออกแบบแกปญหาจะทาใหผออกแบบทราบวาจะตองใชความรเรองใดบาง และ

สามารถสรางสรรคการแกปญหาไดหลากหลายวธ

วตถประสงค

เมอศกษาหนวยท 4 จบแลวนกเรยนสามารถ

1. ทาความเขาใจโจทยปญหาได

2. วางแผนและออกแบบการแกปญหาได

3. แกปญหาไดอยางชดเจน รดกม ถกตอง

4. สรางสรรคการแกโจทยปญหา และดดแปลงโจทยปญหาเดมเปนโจทยปญหาใหมได

102

กจกรรมระหวางเรยน

1. อาจารยยกตวอยางโจทยใหนกเรยนอภปรายแนวคดของวธการแกปญหาทางคณตศาสตรวา

มกระบวนการแกปญหาอยางไร

2. อาจารยสรปกระบวนการแกปญหาทางคณตศาสตร แลวแสดงตวอยางการแกปญหาเปน

ขนตอนตามกระบวนการแกปญหาทสรปไว

3. แบงนกเรยนเปนกลมใหออกแบบการแกปญหา โดยมการนาเสนอวธการแกปญหาของ

แตละกลมหนาชนเรยน

4. นกเรยนนากจกรรมตามตวอยางและแบบฝกหด

5. นกเรยนประเมนผลพฒนาการของตนเอง

สอการสอน

1. เอกสารการสอน

2. แบบฝกปฏบต

3. เครองฉายขามศรษะ

ประเมนผล

ประเมนผลจากแบบฝกหดและการทดสอบ

103

ตอนท 4.1 กระบวนการแกปญหา

เรองท 4.1.1 การแกปญหาทางคณตศาสตร

ในการแกปญหาทางคณตศาสตรนน ขนแรกจะตองอานโจทยปญหาใหเขาใจกอน ซงใน

ปญหาอาจจะมคาศพท หรอบทนยามทกาหนดให จาเปนทจะตองทาความเขาใจกอน แลวดขอกาหนด

ทใหมา และโจทยถามอะไร เมอเขาใจครบแลวอยาเพงแกปญหาทนท ควรวางแผนกอนวาตองใช

ความรเรองใดบาง แลวดาเนนการตามแผนสดทายตรวจสอบผลเฉลย หรอคาตอบทไดวาไมมขอขดแยง

กบทกาหนดให กนาจะเปนผลเฉลยหรอคาตอบทถกตอง สวนใหญเรามกจะหยดกนแคน แตถารจก

ดดแปลงปญหาทมอยเดมแลวตงคาถามใหม เราจะไดปญหาทชวนคดมากขนและไดความรมากมาย ดง

ตวอยางตอไปน

ปญหาท 1

จงเรยงอนดบของจานวนตอไปนใหถกตอง จากนอยไปมาก 2514, 4258, 8171, 16128 และ 32103

วธแกปญหา

ขนทาความเขาใจ

เมอศกษาโจทยแลวพบวา มจานวนหาจานวน เขยนอยในรปเลขยกกาลง และจะตองเรยง

อนดบจานวนทงหานจากซายไปขวา และเรยงจาก นอยไปมาก

ขนวางแผน

จากจานวนทงหาพบวาเปลยนแปลง เปนเลขยกกาลงทมฐาน เปน 2 ไดทงหมด จงจะใชความร

เรองอสมการในเลขยกกาลง ดงน

“ถา a เปนจานวนจรงทมากกวา 1 b และ c เปนจานวนจรงบวก โดยท b < c แลว

จะได ab < ac ” และ “ ถา a, bและ c เปนจานวนจรงบวกแลว (ab)c = abc ”

ขนดาเนนการแกปญหา

พจารณาเลขยกกาลง แลวเปลยนแปลงใหมฐานเปน 2 จะได

2514

4258 = 22(258) = 2516

8171 = 23(171) = 2513 16128 = 24(128) = 2512

104

32103 = 25(103) = 2515

เนองจาก 512 < 513 < 514 < 515 < 516 จงได

2512 < 2513< 2514< 2515 < 2516

นนคอ 16128 < 8171< 2514< 32103< 4528 จงเรยงอนดบจานวนทงหาจากนอยไปมากไดดงน

16128 , 8171, 2514, 32103, 4528

ปญหาท 2

เซต A = { } 10q110p,1 Nq, p qp ≤≤∧≤≤∈ มสมาชกทงหมดกตว



เซตของปญหาคอ A สงทโจทยตองการ คอ จานวนสมาชกของเซต A นอกจากนพบวาสมาชก

ของเซต A เปนจานวนทเขยนแทนไดดวยเศษสวน โดยทตวเศษและตวสวนตางกเปนจานวนเตมทมคา

ได ตงแต 1 ถง 10


1. แจกแจงเศษสวนทงหมด สมมตม a เศษสวน

2. หาเศษสวนทมคาเทากน ในแตละคาไวเปนกลมเดยวกน

3. นบจานวนกลมทไดทงหมดสมมตเปน b

4. นบเศษสวนทงหมดทมคาซากน สมมตเปน c

5. หาคาของ (a+b-c) จะไดคาตอบทตองการ

ขนดาเนนการ

1. เศษสวนทงหมดม 10 ×10 = 100

2. จดกลมเศษสวนทมคาเทากนไวดวยกน

กลมท 1 11 = 2

2 = 33 = 4

4 = 55 = 6

6 = 77 = 8

8 = 99 = 10

10

กลมท 2 21 = 4

2 = 63 = 8

4 = 105

กลมท 3 12 = 2

4 = 36 = 4

8 = 510

กลมท 4 31 = 6

2 = 93

กลมท 5 13 = 2

6 = 39

105

กลมท 6 41 = 8

2

กลมท 7 14 = 2

8

กลมท 8 51 = 10

2

กลมท 9 15 = 2

10

กลมท 10 32 = 6

4 = 96

กลมท 11 23 = 4

6 = 69

กลมท 12 52 = 10

4

กลมท 13 25 = 4

10

กลมท 14 43 = 8

6

กลมท 15 34 = 6

8

กลมท 16 53 = 10

6

กลมท 17 35 = 6

10

กลมท 18 54 = 10

8

กลมท 19 45 = 8

10

พบวาม 19 กลม ทมเศษสวนซา และเศษสวนทซามทงหมด 56 ตว ดงนนเศษสวนทมคา

แตกตางกนมทงหมด 100+19-56 = 63 จานวนนนคอ เซต A มสมาชก 63 ตว

ปญหาท 3

สาหรบจานวนเตมบวกใดๆ n! = n(n-1) (n-2) 3 2 1 ตวอยาง 4! = 4 3 2 1 ถา หาร

2545! ดวย 2546 และ r เปนเศษทไดจากการหารน r มคาเปนเทาใด



โจทยบอกความหมายของ n! เมอ n เปนจานวนเตมบวกมาให พรอมทงแสดงตวอยาง จงทา

ใหเขาใจความหมายของ n! ไดงาย สงทโจทยตองการคอ หาคาเศษทไดจากการหาร 2545! ดวย 2546

ขนวางแผน พจารณา 2545! พบวา

2545! = 2545 × 2544 × 2543 × .... × 3 × 2 × 1

ดงนนถา 2546 แยกตวประกอบทมากกวา 1 ไดจะทาใหตวประกอบของ 2546 ทกตวมคา

. . . . . . .

.

106

นอยกวา 2545 ดงนนตวประกอบทกตวของ 2546 ทไมใช 2546 จะเปนจานวนในผลคณทประกอบกน

เปน 2545! ยอมสงผลให 2546 หาร 2545! ลงตวจงทาใหเศษ r มคาเทากบ 0


พจารณา 2546 = 2 x 1273

ซง 2 และ 1273 ตางกเปนตวประกอบทตางกนของ 2545!

ดงนน 2 × 1273 หาร 2545! ไดลงตว

นนคอ 2545! หารดวย 2546 ลงตวจงไมมเศษ

ดงนน r = 0

ปญหาท 4

กาหนดให a และ b เปนจานวนเตม ซง

a ∗ b = ab คา ( )( ) 22)22(

)22(22∗∗∗

∗∗∗ เทากบเทาใด



โจทยกาหนดการดาเนนการทวภาค ∗ บนเซตของจานวนเตมมาใหคอ a ∗ b = ab

เชน 2 ∗ 3 = 23 = 8 โจทยตองการหาคาของ ( )( ) 22)22(

)22(22 ∗∗∗

∗∗∗


จากเศษสวนหาคาตวเศษ โดยทาวงเลบในกอนออกมาทละขน ตอไปหาคาตวสวนในทานอง

เดยวกน แลวหาผลหารของตวเศษ และตวสวนจะไดคาทตองการ

นอกจากนเนองจาก มวงเลบซอนกน จะพบวา

(a ∗ b) ∗ c = (ab)c = abc

และ a ∗ (b ∗ c) = ( ) cb

a จงตองนาสมบตทงสองนไปใชดวย


จาก 2 ∗ (2 ∗ 2) = ( )2

22 = 24 = 16

จะ ( ))22(22 ∗∗∗ = ( ))22(22 ∗∗ = 216

จาก (2 ∗ 2) ∗ 2 = ( )222 = 42 = 16

107

จะได ( ) 22)22( ∗∗∗ = 162 = ( )242 = 28

ดงนน ( )( ) 22)22(

)22(22 ∗∗∗

∗∗∗ = 8

16

22 = 28 = 256

ปญหาท 5

กาหนดให x เปนจานวนจรงซง –1 < 2x + 3 < 1 และ y เปนจานวนจรงซง –1 < y + 6 < 7

จงหาชวงทเปนเซตคาตอบของ x + y, x – y, y – x, yx และ x

y



โจทยบอกคาของ x และ y ในรปอสมการเชงเสน แลวใหหาชวงทเปนเซตคาตอบของผลบวก

ผลลบ ผลคณ และผลหาร ระหวาง x กบ y


1. หาคา x และ y ในรปอสมการ

2. ใชเงอนไข สาหรบจานวนจรง a, b, c, d, x, y, z และ w

(1) ถา a < x < b แลว – b < – x < – a

(2) ถา a < x < b และ c < y < d แลว a + c < x + y < b + d

(3) ถา 0 < a < x < b และ 0 < c < y < d แลว 0 < ac < xy < bd

(4) ถา a < x < b < 0 และ c < y < d < 0 แลว 0 < bd < xy < ac

(5) ถา 0 < a < x < b และ c < y < d < 0 แลว bc < xy < ad < 0

(6) ถา 0 < a < b แลว 0 < b1 < a

1

(7) ถา a < b < 0 แลว b1 < a

1 < 0 เปนตน

ขนดาเนนการแกปญหา

จาก –1 < 2x + 3 < 1

จะได –1 – 3 < 2x + 3 – 3 <1 – 3

ดงนน –4 < 2x < –2

นนคอ –2 < x < –1 ..............

จาก –1 < y + 6 < 7

จะได –1 – 6 < y + 6 – 6 < 7 – 6

108

จะได –7 < y <1 ..............

หาคาของ x + y

จาก และ และเงอนไข 2(2)

จงได (–2) + (–7) < x + y < (–1) + 1

นนคอ –9 < x + y < 0

ดงนนเซตคาตอบของ x + y คอ (–9, 0)

หาคาของ x – y

จาก และ จะได –1 < –y < 7 ..............

+ ; (–2) + (–1) < x – y < (–1) + 7

จะได –3 < x – y < –6

ดงนนเซตคาตอบของ x – y คอ (–3, 6)

หาคาของ y – x

จาก –3 < x – y < –6

จงได –6 < y – x < 3

ดงนนเซตคาตอบของ y – x คอ (–6, 3)

หาคาของ xy

พจารณา –7 < y < 1 จะได –7 < y < 0 หรอ y = 0 หรอ 0 < y < 1

และจาก –2 < x < –1 < 0 จะมกรณทพจารณาไดดงน

กรณท 1 –7 < y < 0 และ –2 < x < –1

จะได (0) (1) < xy < (–7)( –2) (โดยเงอนไข 2(4))

ดงนน 0 < xy < 14

กรณท 2 y = 0 และ –2 < x < –1

จะได xy = 0

กรณท 3 0 < y < 1 และ –2 < x < –1

จะได (1) (–2) < xy < (0) (–1) โดยเงอนไข 2 (5)

ดงนน –2 < xy < 0

109

จากทงสามกรณจะไดเซตคาตอบของ xy คอ (0, 14) ∪ {0} ∪ (–2, 0) หรอ (–2, 14)

หาคาของ yx

ในการหาคาของ yx นนจะตองตดกรณท y = 0 ออกไปจงพจารณา กรณท –7 < y < 0

และกรณท 0 < y < 1 เทานน

กรณท 1 –7 < y < 0 จะได y1 < – 7

1

จาก –2 < x < –1 จะได 71 < y

x โดยเงอนไข 2(4)

กรณท 2 0 < y < 1 จะได 1 < y1

จาก –2 < x < –1 จะได yx < –1 โดยเงอนไข 2(5)

จากทงสองกรณจะไดเซตคาตอบของ yx คอ

( )∞,71 ∪ (–∞ , –1) หรอ (–∞ , –1) ∪ ( )∞,7

1

หาคาของ xy

พจารณา –2 < x < –1 จะได –1 < x1 < – 2

1

เนองจาก x ≠ 0 การหาคาของ xy จงพจารณากรณของ y ทงสามกรณเชนเดยวกบการหาคา

ของ xy ดงน

กรณท 1 –7 < y < 0 และ –1 < x1 < – 2

1

จะได (0) ( )21− < x

y < (–7) (–1) (โดยเงอนไข 2(4))

นนคอ 0 < xy < 7

กรณท 2 0 < y < 1 และ –1 < x1 < – 2

1

จะได (1) (–1) < xy < 0( )2

1−

นนคอ –1 < xy < 0

กรณท 3 y = 0 จะได xy = 0

จากทงสามกรณ จะไดเซตคาตอบของ xy คอ

(–1, 0) ∪ {0} ∪ (0, 7) หรอ (–1, 7)

110

ตอนท 4.2 การสรางสรรคปญหา

เรองท 4.2.1 การดดแปลงปญหาคณตศาสตร

จากปญหาทงหาปญหาทกลาวมาแลว ถาเปลยนแปลงคาถาม หรอดดแปลงโจทยจะทาใหม

ปญหาทชวนคดหลายหลายขนมาทนท

จากปญหาท 1

จงเรยงอนดบของจานวนตอไปนใหถกตองจากนอยไปมาก 2514 , 4258, 8171, 16128 และ 32103

ดดแปลงเปน

จากปญหาจะเหนวา เงอนไขความรเปลยนไป คอ ตองใชเงอนไข “สาหรบจานวนจรงบวก

a, b และ c ถา a < b แลว ac < bc”

พจารณา 2584 = ( )2 2)258( = (66564)2

1718 = ( )2 4)171( = (2221461)2

(128)16 = ( )2 8)128( = n2 โดยท n = 1288 มากกวา 2221461

(103)32 = ( )2 16)103( = m2 โดยท m = 10316มากกวา 1288

ดงนน 5142 < 2584 <1718 < 12816 < 10332 อนดบของจานวนจากนอยไปมากคอ 5142 , 2584,

1718, 12816 และ 10332


เซต A = ( )10q110p1,Nq, p qp ≤≤∧≤≤∈ มสมาชกทงหมดกตว ดดแปลงเปน

จงเรยงอนดบของจานวนตอไปนใหถกตองจากนอยไปมาก

5142 , 2584, 1718, 12816 และ 10332

กาหนด A = ( )10q110p1,Nq, p qp ≤≤∧≤≤∈ จงหา

ความนาจะเปนในการเลอกสมาชกสองตวทแตกตางกนของ

A ทมผลบวกเทากบ 1

111

จากปญหาจะเหนวา นาปญหาเดมมาคดเพมเตม ดวยการเลอกสมาชกใน A ซงเปนเศษสวนสอง

จานวนทแตกตางกนมาบวกกน ใหมคาเทากบ 1 เมอเลอกไดแลวจงหาความนาจะเปนในการเลอกนน ซง

ตองใชจานวนสมาชกของ A ทงหมดจากปญหาท 2 กอนหนาน ซงตองใชจานวนสมาชก 63 ตว หลงจาก

นนใชวธจดหมเลอกสมาชก 2 ตว ของเซต A จากสมาชกทงหมด เพอเปนปรภมตวอยางไดเทากบ

( )632 = 2

6263× = 63 × 31

หลงจากนนแจกแจงคสมาชกของ A ทแตกตางกนแตมผลบวกเทากบ 1 ซงแจกแจงไดดงน

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

32,

31 , { }4

5,41 ,{ }54,5

1 ,{ }65,61 ,{ }76,7

1 ,{ }87,81

{ }98,91 , { }10

9,101 ,{ }53,5

2 ,{ }75,72 ,{ }97,9

2 ,{ }74,7

3

{ }85,53 , { }10

7,103 ,{ }95,9

4

ซงมทงหมด 15 ค สมาชกจะเหนวาการแจกแจงน ไมคดอนดบเพราะเปนเหตการณของวธจดหม

ดงนนความนาจะเปนในการเลอกสมาชกสองตวทแตกตางกนของ A ทมผลบวกเทากบ 1 คอ

316315× = 1953

15


สาหรบจานวนเตมบวกใดๆ n! = n(n – 1) (n – 2) 3 2 1

ตวอยาง 4! = 4 3 2 1

ถาหาร 2545! ดวย 2546 และ r เปนเศษสวนทไดจากการหารน r มคาเปนเทาใด


จากปญหาท 3 เดมพบวา 2546 หาร 2545! ไดลงตว และ 2546 เปนจานวนประกอบ เหนได

ชดวาจานวนเฉพาะตวถดไปทมคามากกวา 2546 จะหาร 2545! ไมลงตว ทงนเพราะจานวนเฉพาะตว

นน จะไมใชตวประกอบของ 2545!

จานวนเฉพาะตวถดไปทมากกวา 2546 คอ 2549 เปนจานวนเฉพาะ ตวทเลกทสดทหาร 2545!

ไมลงตว

หมายเหต เซตของจานวนเฉพาะในชวง 2500 – 2599 คอ

{2503, 2521, 2531, 2539, 2543, 2549, 2551, 2557, 2591, 2593}

จานวนเฉพาะทเลกทสดหาร 2545! ไมลงตวคอจานวนใด

. .

. . . .

.

.

112

จากปญหาท 4 กาหนดให a และ b เปนจานวนเตม ซง

a ∗ b = ab คาของ ( )( )( )( ) 2222

2222∗∗∗

∗∗∗ เทากบเทาใด


จาก a ∗ b = ab ทก a, b ∈ N

(1) จะเหนไดวา a ∗ 1 = a1 = a ดเหมอนวา 1 นาจะเปนเอกลกษณสาหรบ ∗ บน N แตนยามของ

เอกลกษณ สาหรบการดาเนนการ บนเซต A ใดๆ คอ สาหรบ i ∈A จะได a ∗ i = i ∗ a = a จาก ∗ บน

N พบวา

a ∗ 1 = a1 = a

แต 1 ∗ a = 1a = 1 ≠ a

ดงนน 1 ไมใชเอกลกษณสาหรบ ∗ บน N

สมมตวาม n ∈ N ซง n เปนเอกลกษณสาหรบ ∗ บน A

ดงนน a ∗ n = n ∗ a = a ทก a ∈ N

จะได an = na ทก a ∈ N แตขอความนไมเปนจรง

จงสรปไดวา ไมม n ตวใดใน N ทเปนเอกลกษณสาหรบ ∗ บน N

(2) เนองจาก ab ≠ ba เมอ a ≠ b ทก a, b ∈ y

จงสรปไดวา ∗ ไมมสมบตการสลบทบน N


กาหนดให x เปนจานวนจรงซง –1 < 2x + 3 < 1 และ y เปนจานวนจรงซง –1 < y + 6 < 7

จงหาชวงทเปนเซตคาตอบของ x + y, x – y, y – x, xy, yx และ x

y


กาหนดให ∗ เปนการดาเนนการบนเซตของจานวนเตมบวก N นยามโดย a ∗ b = ab

(1) มเอกลกษณสาหรบ ∗ บน N หรอไม (2) ∗ มสมบตการสลบทบน N หรอไม

กาหนดให x เปนจานวนจรง ซง –1 < 2 x + 3 < 1 และ y เปนจานวนจรงซง –1 < y + 6 < 7

จงหาคามากทสด และคานอยทสดของ x + y, x – y, y – x, xy, yx และ x

y ถาม

113

จากปญหาท 5 เดม เมอเปลยนเงอนไขจาก " < " เปน " < "

ดงนนคาของ x และ y เดมจาก –2 < x < –1 และ –7 < y < 1

จงเปลยนเปน –2 < x < –1 และ –7 < y < 1

สงผลใหจากเดม – 9 < x + y < 0

เปลยนเปน – 9 < x + y < 0

ทาใหคาตาสดของ x + y คอ – 9

และคาสงสดของ x + y คอ 0

จากเดม -3 < x - y < 6

เปลยนเปน –3 < x – y < 6

ทาใหตาสดของ x – y คอ –3

และคาสงสดของ x – y คอ 6

จากเดม –6 < y – x < 3

เปลยนเปน –6 < y – x < 3

ทาใหคาตาสดของ y – x คอ –6

และคาสงสดของ y – x คอ 3

จากเดม –2 < xy < 14

เปลยนเปน –2 < xy < 14

ทาใหตาสดของ xy คอ –2

และคาสงสดของ xy คอ 14

จากเดม – ∞ < yx < –1 หรอ 7

1 < x < ∞

เปลยนเปน – ∞ < yx < –1 หรอ 7

1 < x < ∞

จะเหนไดวา yx ไมมคาตาสด และไมมคาสงสด

จากเดม –1 < yx < 7

เปลยนเปน –1 < xy < 7

ทาใหคาตาสดของ xy คอ –1

และคาสงสดของ xy คอ 7

114

จากปญหาทง 5 ขอ ดงทแนะนามานจะเหนไดวา เราสามารถดดแปลงปญหาเดมเปนปญหา

ใหมได โดยทปญหาทดดแปลงใหม อาจใชพนฐานความรเดม จากปญหาเดม มาแกปญหาทดดแปลง

แลว และนอกจากน ตองใหความรพนฐานอนเพมเตมกได อนเปนการทาใหกระบวนการแกปญหา ม

การสรางสรรคมากขน

แบบฝกหดท 4

1. จงออกแบบการแกปญหา และแกปญหาตอไปน

กาหนดให U = {1, 2, 3, ..., 100}

A = {X ∈ U | 2 หารลงตว}

B = {X ∈ U | 3 หารลงตว}

| n(A – B) – n (B – A) | เทากบเทาใด

2. จงดดแปลงปญหาในขอ 1 เปนปญหาใหม แลวออกแบบการแกปญหา และแกปญหาทดดแปลงน

115

หนวยท 5

ระเบยบวธพสจน

ตอนท 5.1 การพสจนประโยค ถา...แลว...

ตอนท 5.2 การพสจนประโยคทมตวเชอมผสม

ตอนท 5.3 การพสจนประโยคทมตวบงปรมาณ

แนวคด

1. ประโยค “ถา...แลว...” จะมกาหนดใหเปนเหตใหไดผลเปนขอสรป ซงอาจจะมกาหนดให

มากกวาหนงอยาง และขอสรปอาจจะมมากกวาหนงอยาง

2. การพสจนประโยค “ถา...แลว...” วาเปนจรง จาเปนตองใชความสมเหตสมผล บทนยาม

สจพจน ทฤษฎบทเสรม หรอทฤษฎบททมมากอน

3. การพสจน อาจจาเปนตองใชการแจงกรณ ขอขดแยง ขอความแยงสลบท ชวยในการ

พสจน

4. การพสจนประโยค “ถา...แลว...” อาจใชการคดแบบยอนกลบมาชวยการพสจนได

5. ประโยคทมตวบงปรมาณจะประกอบดวย ตวบงปรมาณสาหรบสมาชกทกตว สมาชกบางตว

ในการพสจนประโยคทมตวบงปรมาณ สาหรบสมาชกทกตววาเปนจรงนน เซตคาตอบของ

ประโยคเปดตองเทากบเอกภพสมพทธ

ในการพสจนประโยคทมตวบงปรมาณสาหรบสมาชกบางตววาเปนจรงนนเซตคาตอบตอง

ไมเทากบเซตวาง

นอกจากนสาหรบตวบงปรมาณเฉพาะคอ “มเพยงหนงเดยวเทานน” เซตคาตอบจะม

สมาชกเพยงตวเดยว


เมอศกษาหนวยท 5 จบแลว นกเรยนสามารถ

1. ออกแบบการพสจนและพสจนประโยค ถา...แลว... ไดในเนอหาความรตามระดบชนทเรยน

2. ออกแบบการพสจนและพสจนประโยคทมตวเชอมผสมไดในเนอหาตามระดบชนทเรยน

3. ออกแบบการพสจนและพสจนประโยคทมตวบงปรมาณในเนอหาตามระดบชนทเรยน

116


1. อาจารยอธบายแนวคดและขนตอนวธการพสจน

2. อาจารยใหตวอยางการพสจนประโยค ถา... แลว ...การพสจนประโยคทมตวเชอมผสม

การพสจนประโยคทมตวบงปรมาณ

3. แบงนกเรยนเปนกลม ใหนกเรยนบางกลมออกแบบการพสจนและพสจนประโยค ถา...

แลว... บางกลมออกแบบการพสจนและพสจนประโยคทมตวเชอมผสม บางกลมออกแบบ

การพสจน และพสจนประโยค ทมตวบงปรมาณ โดยใชเนอหาตามระดบชนทเรยน

4. นกเรยนนาเสนอผลงานของกลมหนาชนเรยน

5. นกเรยนทากจกรรมตามตวอยางและแบบฝกหด

6. นกเรยนประเมนพฒนาการของตนเอง

สอการสอน

1. เอกสารการสอน

2. แบบฝกหด

3. เครองฉายขามศรษะ



117

ตอนท 5.1 การพสจนประโยค ถา...แลว...

เรองท 5.1.1 ขนตอนวธการพสจน

ในการพสจนประโยคทางคณตศาสตรนน มขนตอนการพสจนดงน

ขนท 1 ทาความเขาใจประโยคทจะตองพสจน โดยศกษาสงทกาหนดให สงทจะตองพสจน

บทนยามทเกยวของและความหมายทสมมลกบประโยคทจะทาการพสจน

ขนท 2 วเคราะหขอมลทใช ศกษาความรของเนอหาพนฐานทเกยวของ จาลองโครงสรางทาง

ตรรกวทยาของรปประโยคการพสจน การมองยอนกลบ

ขนท 3 ใชเทคนคการอางเหตผลแบบตาง ๆ

ขนท 4 ออกแบบการพสจนแลวดาเนนการพสจน

ขนท 5 ตรวจสอบความสมเหตสมผลทกขนตอนการพสจน ถาไมสมเหตสมผล ยอนไปศกษา

ขนท 1,2,3 หรอ 4 ใหม แลวแกไขใหถกตอง

สงทเปนประโยชนและชวยในการพสจน มดงน

1. ขอความแยงสลบทของทง บทนยาม ทฤษฎบท สจพจน และขอความทจะพสจน

2. นเสธของทง บทนยาม ทฤษฎบท สจพจน และขอความทจะพสจน

ตวอยางท 5.1.1 จงเขยนขนตอนวธการพสจนขนท 1-3 ของขอความ

“ถา a เปนจานวนเตมแลว a2 + a เปนจานวนค”

วธทา

ขนท 1 ทาความเขาใจ

สงทกาหนดใหคอ “a เปนจานวนเตมใดๆ” ในทนเอกภพสมพทธคอ เซตของจานวนเตม สงท

จะตองพสจนคอ “a2 + a เปนจานวนค” บทนยามทเกยวของคอ จานวนค จานวนค ความหมายทสมมล

กบประโยคทจะทาการพสจน คอ “ถา a เปนจานวนค หรอจานวนคแลว a2 + a เปนจานวนค”

ขนท 2 วเคราะหขอมลทใช

ความรเนอหาพนฐานทใช คอ

(1) a เปนจานวนคกตอเมอ a = 2n + 1 สาหรบบางจานวนเตม n

(2) a เปนจานวนคกตอเมอ a = 2n สาหรบบางจานวนเตม n

118

(3) สมบตปดของการบวกและการคณจานวนเตม

(4) กาลงสองของนพจน

รปประโยคและโครงสรางการพสจน

(1) P → (R1∨ R2)

(2) (R1 → Q) ∧ (R2 → Q)

เมอ P คอ “a เปนจานวนเตม”

R1 คอ “a เปนจานวนค”

R2 คอ “a เปนจานวนค”

Q คอ “a2 + a เปนจานวนค’

ขนท 3 ใชเทคนคการอางเหตผล

(1) ให a เปนจานวนเตมใด ๆ จะได a เปนจานวนค หรอ a เปนจานวนค

(2) 2.1 กรณท a เปนจานวนค ใชบทนยามจานวนคแลว ดาเนนการทางพชคณต จนได a =

2m สาหรบบางจานวนเตม m

2.2 กรณท a เปนจานวนค ใชบทนยามจานวนคแลว ดาเนนการทางพชคณต จนได a =

2m สาหรบบางจานวนเตม m

(3) จาก (1) และ (2) สรปไดตามตองการ

ตวอยางท 5.1.2 จงเขยนขนตอนวธการพสจน ขนท 1 – 3 ของขอความ

“ถา A และ B เปนเซตใดๆ ซง A ⊆ B แลว A ∩ B' = ∅”

วธทา

ขนท 1 ทาความเขาใจ

สงทกาหนดใหคอ “A และ B เปนเซตใด ๆ ซง A ⊆ B”

สงทจะตองพสจน คอ “A ∩ B' = ∅”

บทนยามทเกยวของ คอ สบเซต คลอมพลเมนต อนเตอรเซกชน และเซตวาง

ความหมายทสมมลกบขอความทพสจน คอ “ถา A ∩ B' ≠ ∅ แลว A ⊆ B”

119

ขนท 2 วเคราะหขอมลทใช

ความรพนฐานทใช คอ

(1) A ⊆ B กตอเมอ ถา x ∈ A แลว x ∈ B

(2) X = ∅ กตอเมอ ทก x ∈ U จะได x ∉ X

(3) X ∩ Y' = {x ∈ U ⏐x ∈ X และ x ∉Y}


(1) P → Q

(2) ~Q → ~P ซงสมมลกบ (1)

เมอ P คอ “A ⊆ B”

Q คอ “A ∩ B' = ∅”

~Q คอ “A ∩ B' ≠ ∅”

~P คอ “A⊆ B”

ขนท 3 ใชเทคนคการอางเหตผล

เนองจากจะตองสรปวา “A ∩ B' = ∅” จงไมสามารถนา x มาเปนสมาชกของ A ∩ B' ได

เพราะ A ∩ B' = ∅ ซงไมมสมาชก จงจะพสจนขอความ “~Q → ~P” แทน ซงเปนขอความแยงสลบท

ของขอความ “P → Q”

นนคอ จะพสจน “ถา A ∩ B' ≠ ∅ แลว A ⊆ B”

ความรพนฐานทใชคอ

(1) X ≠ ∅ กตอเมอม x ซง x ∈ X

(2) A ⊆ B กตอเมอม x ซง x ∈ A แต x ∉ B

การพสจนดาเนนการดงน

ให A ∩ B' ≠ ∅

แลวสรปใหไดวา A ⊆ B จะเปนการจบการพสจน

120

เรองท 5.1.2 การพสจนประโยค ถา...แลว...

จากเรองท 5.1.1 กลาวถงขนตอนการพสจน ในเรองนจะเปนแบบรปการพสจนประโยค

ถา P แลว Q ซงเขยนเปนสญลกษณในรป P → Q

การพสจนประโยค P → Q

อยในรป กาหนดให P

•

•

•

ขอสรป Q

ความสมเหตสมผล อาจใช

- การแจงกรณ R1 ∨R2 ∨...∨Rn อยในรป

P → ((R1∨R2∨...∨Rn) → Q)

นนคอตองแสดง P → (R1∨R2∨...∨Rn)

และ (R1 → Q) ∧ (R2 → Q) ∧... ∧(Rn → Q)

- ขอขดแยง สมมต ~Q แลวได S∧~S เกดการขดแยงสมมต จงผด

นนคอ สรปได Q

- ขอความแยงสลบท กลาวคอ พสจน ~Q → ~P แทนการพสจน P → Q

ตวอยางท 5.1.3 จงพสจนวา “ถา a เปนจานวนเตมแลว a2 + a เปนจานวนค”

รปประโยคโครงสรางการพสจน

(1) P → (R1 ∨ R2)

(2) (R1 → Q) ∧ (R2 → Q)

พสจน ให a เปนจานวนเตม

จะได a เปนจานวนคหรอจานวนค

กรณท 1 ถา a เปนจานวนค

ใชความสมเหตสมผล บทนยาม, สจพจน

ทฤษฎทมมากอน ทฤษฎบทเสรม (การพสจนยอย) Comment [p1]:

121

จะได a = 2n + 1สาหรบบางจานวนเตม n

ดงนน a2 + a = (2n + 1)2 + (2n + 1)

= 4n2 + 4n + 1 + 2n + 1

= 4n2 + 6n + 2

= 2 (2n2 + 3n + 1)

จงได a2 + a เปนจานวนค

กรณท 2 ถา a เปนจานวนค

จะได a = 2n สาหรบบางจานวนเตม n

ดงนน a2 + a = (2n)2 + 2n

= 4n2 + 2n

= 2(2n2 + n)

จงได a2 + a เปนจานวนค

จากทงสองกรณจะได ถา a เปนจานวนเตมแลว

a2 + a เปนจานวนค

ความรทใช 1. บทนยามจานวนคจานวนค

2. กาลงสองของนพจน

ตวอยางท 5.1.4 จงพสจนวา “ถา a เปนจานวนจรงบวกแลว a + a1 ≥ 2”

การคดยอนเพอหาแนวทางการพสจน

ถาได a + a1 ≥ 2

จะตองได a2 + 1 ≥ 2a

a2 - 2a + 1 ≥ 0

(a - 1)2 ≥ 0

อสมการคงเดม เพราะ a > 0

122


(1) (P ∧ P1) → Q เมอ P1 เปนความจรงทพสจนแลว

กรณน P1 เปนตวชวย

พสจน ให a เปนจานวนจรงบวก (P)

เนองจาก (a - 1)2 ≥ 0 (P1)

จะได a2 - 2a + 1 ≥ 0

ดงนน a2 + 1 ≥ 2a

จงได a1a2

+ ≥ aa2

a + a1 ≥ 2 (Q)

ความรทใช (1) สาหรบจานวนจรง b ใด ๆ จะได b2 ≥ 0

(2) สาหรบจานวนจรง b, c และ d ซง d > 0

ถา b > c แลว bd > cd

ตวอยางท 5.1.5 จงพสจน “สาหรบเซต A และ B ใด ๆ ถา A ⊆ B แลว A ∩ B' = ∅”


แบบท (1) จะพสจน P → Q

โดยพสจนขอความแยงสลบท ~Q → ~P

พสจน ให A และ B เปนเซตใด ๆ ซง A ∩ B' ≠ ∅

ดงนนม x ซง x ∈ A ∩ B'

จะได x ∈ A และ x ∈ B' (บทนยาม ∩)

แสดงวา x ∈ A และ x ∉ B (บทนยาม ')

นนคอ A⊆ B (นเสธของ ⊆)

จงได “ถา A ∩ B' ≠ ∅ แลว A⊆ B”

โดยขอความแยงสลบทจะได “ถา A ⊆ B แลว A ∩ B' = ∅”

123


แบบท (2) จะพสจน P → Q

โดยให P และสมมต ~Q แลวไดขอขดแยง R∧~R

สมมตจงผด นนคอ ไดขอสรป Q

ให A ⊆ B

สมมต A ∩ B' ≠ φ

จงม x ซง x ∈ A และ x ∈B'

แสดงวา x ∈ B และ x ∈ B' (เพราะ A ⊆ B)

ดงนน x ∈ B และ x ∉ B ไดขอขดแยง

สมมต A ∩ B' ≠ φ จงผด นนคอ A ∩ B' = ∅

จงได “ถา A ⊆ B แลว A ∩ B' = ∅”

การพสจนประโยคทเหตเปนเทจ

ตวอยางท 5.1.6 จงพสจนวา “ ∅ ⊆ A สาหรบทกเซต A”

วเคราะหการพสจน ตองใชบทนยามการเปนสบเซต

A ⊆ B กตอเมอสาหรบทก x ถา x ∈ A แลว x ∈ B มกรณเหตเปนเทจ กลาวคอ x ∈ ∅

พสจน สาหรบเซต A ใด ๆ

ให a ∈ ∅ จะได “a ∈ ∅” เปนเทจ สาหรบทก a

ดงนน “a ∈ ∅ → a ∈ A” เปนจรงสาหรบทก a

นนคอ ∅ ⊆ A

วธท 2 พสจน P โดยสมมต ~P แลวเกดขอขดแยง

R∧~R จงสรปไดวา P

พสจน สมมต ∅ ∉ A

ดงนน ม x ซง x ∈ ∅ และ x ∉ A (นเสธของ ⊆)

แต x ∈ ∅ ขดแยงกบ x ∉∅ (สมบตของ ∅)

ดงนน ∅ ⊆ A จงผด

นนคอ ∅ ⊆ A

124

ตวอยางท 5.1.7 จงพสจนวา "ถา f เปนฟงกชนเพมแลว f-1 เปนฟงกชนเพม

วเคราะหเพอการพสจน

ถา f เปนฟงกชนเพม ตองรบทนยามของฟงกชนเพม

บทนยาม 1 f เปนฟงกชนเพมกตอเมอสาหรบ x 1, x 2 ∈ Df

ถา x 1 < x 2 แลว f(x 1) < f(x 2)

ในการสรปวา f--1 เปนฟงกชนเพม ตองแสดงกอนวา

f--1 เปนฟงกชน ซงกอนหนาน f ตองเปนฟงกชน 1-1 ตองรบทนยามฟงกชน 1-1

บทนยาม 2 ฟงกชน f เปนฟงกชน 1-1 กตอเมอ

สาหรบ x 1, x 2 ∈ Df ถา f(x 1) = f(x 2) แลว x 1 = x 2 หรอสาหรบทก x 1, x 2 ∈ Df ถา x 1 ≠ x 2

แลว f(x 1) ≠ f(x 2)

จากกาหนดให f เปนเพยงฟงกชนเพม ตองการ f เปนฟงกชน 1-1 ขอความนจงนาจะเปนจรง

กลาวคอ "ถา f เปนฟงกชนเพมแลว f เปนฟงกชน 1-1"

จงตองพสจนทฤษฎบทเสรม

"ถา f เปนฟงกชนเพมแลว f เปนฟงกชน 1-1"

สงผลให f--1 เปนฟงกชน

เมอ f และ f-1 เปนฟงกชนสงททราบคอ

(1) Df = Rf-1 และ Rf = Df

-1

(2) y = f(x) กตอเมอ x = f-1(y)

สดทายตองแสดงวา สาหรบทก y1, y2 ∈ Df -1 ถา y1 < y2 แลว f-1(y1) < f-1 (y2)

พสจน รปประโยคและโครงสรางการพสจน

(1) P → P1 (P1 (ทฤษฎบทเสรม) ถา f เปนฟงกชนเพมแลว f เปนฟงกชน 1-1)

(2) P1 → Q1 (ถา f เปนฟงกชน 1-1 แลว f-1 เปนฟงกชน)

(3) แสดง Q2 (f-1 เปนฟงกชนเพม)

พสจน ให f เปนฟงกชนเพม

จะพสจนวา f เปนฟงกชน 1-1

ให x 1, x 2 ∈ Df และ x 1 ≠ x 2

125

ดงนน x 1 < x 2 เปนการเพยงพอ กรณ x 2 < x 1 แสดงไดทานองเดยวกน

(เพราะ x 1, x 2 เปนสมาชกใด ๆใน Df)

ถา x1 < x 2 จะได f(x 1) < f(x2) (f เปนฟงกชนเพม)

จงได f(x 1) ≠ f(x 2)

จาก x 1 ≠ x 2 แลวได f(x 1) ≠ f(x 2)

แสดงวา f เปนฟงกชน 1-1

จากทฤษฎบททมมากอนกลาววา

"ถา f เปนฟงกชน 1-1 แลว f-1 เปนฟงกชน"

จงได f-1 เปนฟงกชน นอกจากนจะได Df = Rf-1 และ Rf = Df

-1

จะแสดง f-1 เปนฟงกชนเพม

ให y1, y2 ∈ 1 f

D − และ y1 < y2

จะตองแสดงวา f-1(y1) < f-1(y2)

เนองจาก y1, y2 ∈ Rf จงม x 1 และ x 2 ซง

y1 = f(x 1) และ y2 = f(x 2)

จงได f(x 1) < f(x 2) ...( )

นอกจากนจาก y1 = f(x 1) จะได f-1(y1) = x 1

และจาก y2 = f(x 2) จะได f-1(y2) = x 2

จะแสดง x1 < x2 สมมต x 1< x 2

จะได x 1 ≥ x 2 ถา x 1 = x 2 จะได f(x 1) = f(x 2) (f เปนฟงกชน) ขดแยงกบกบ ( ) ถา x 1 > x 2 จะได f(x 1) > f(x 2) (f เปนฟงกชนเพม) ขดแยงกบ ( ) ดงนน สมมตผด นนคอ x 1 < x 2 จงได f-1(y1) < f-1(y2) จากถา y1 < y2 แลวได f

-1(y1) < f-1(y2) ดงนน f-1 เปนฟงกชนเพม

จะพสจน P โดยสมมต ~P เกดขอขดแยง

R∧~R สมมตจงผด นนคอ ได P

*

*

*

126

ตอนท 5.2 การพสจนประโยคทมตวเชอมผสม

เรองท 5.2.1 การพสจนประโยคในรป P → (Q V R)

วธพสจน ให P

(1) ถาได Q จบการพสจน

และ (2) ถาได ~ Q ตองใช P รวมกบ ~ Q แลวสรปใหได R จงจะจบการพสจน

(หรอสลบระหวาง Q กบ R ใน (1) และ (2) กได)

ตวอยางท 5.2.1 จงพสจนวา สาหรบจานวนเตม a และ b ใด ๆ

ถา ab = 0 แลว a = 0 หรอ b = 0

พสจน ให a และ b เปนจานวนเตมใด ๆ ซง ab = 0

ถา a = 0 จบการพสจน

ถา a ≠ 0 จะตองแสดงวา b = 0

จาก ab = 0 และ a ≠ 0

ดงนน aab = a

0

จะได b = 0

เรองท 5.2.2 การพสจนประโยคในรป (P V Q) → R

วธพสจน ตองแสดง

(1) P → R

และ (2) Q → R

จาก (1) และ (2) จงได (P V Q) → R

ตวอยางท 5.2.2 จงพสจนวา สาหรบจานวนจรง a และ b ใด ๆ

ถา a = 0 หรอ b = 0 แลว ab = 0

พสจน ให a และ b เปนจานวนจรงใด ๆ

กรณท 1 ถา a = 0 จะได ab = 0

กรณท 2 ถา b = 0 จะได ab = 0

ดงนน จากทง 2 กรณ ถา a = 0 หรอ b = 0 แลว ab = 0

127

เรองท 5.2.3 การพสจนประโยคในรป P ↔ Q

วธพสจน ตองแสดง

(1) P → Q

และ (2) Q → P

จาก (1) และ (2) จงได P ↔ Q

ตวอยางท 5.2.3 จงพสจนวา สาหรบจานวนจรง a ใด ๆ a > 0 กตอเมอ a1 > 0

พสจน (1) ให a > 0 จะแสดง a1 > 0

จะพสจนโดยใชขอขดแยง

สมมต a1 ≤ 0

ถา a1 = 0 จะได a a

1 = 0 ขดแยงกบ a a1 = 1

ถา a1 < 0 จะได a a

1 < 0 ขดแยงกบ a a1 = 1

สมมต a1 ≤ 0 จงผด

ดงนน a1 > 0

(2) ให a1 > 0 จะแสดง a > 0

สมมต a ≤ 0

ถา a = 0 จะได a a1 = 0 ขดแยงกบ a a

1 = 1

ถา a < 0 จะได a a1 < 0 ขดแยงกบ a a

1 = 1

สมมตจงผด

ดงนน a > 0

จาก (1) และ (2) จงได a > 0 กตอเมอ a1 > 0

. .

. .

.

.

.

.

128

ตอนท 5.3 การพสจนประโยคทมตวบงปรมาณ

เรองท 5.3.1 ประโยคในรป ∀ x [P(x)]

วธพสจน แสดง P(a) เปนจรงทก a ในเอกภพสมพทธ U

(เซตคาตอบของ P(x) เทากบเอกภพสมพทธ U)

ตวอยางท 5.3.1 จงพสจนวา x 2 ≥ 0 ทกจานวนจรง x

พสจน ให x เปนจานวนจรงใด ๆ

จะได x = 0 หรอ x > 0 หรอ x < 0

กรณท 1 ถา x = 0 จะได x 2 = 0

กรณท 2 ถา x > 0 จะได x 2 > 0

กรณท 3 ถา x < 0 จะได x 2 > 0

จากทง 3 กรณ จะให x2 ≥ 0 ทกจานวนจรง x

เรองท 5.3.2 ประโยคในรป ∃!x [P(x)]

หมายถง มสมาชก x เพยง 1 ตวเทานนท P(x) เปนจรง

วธพสจน

(1) พสจน ∃x [P(x)] เปนจรง

และ (2) พสจน สาหรบ x 1 และ x 2 ถา

P(x 1) เปนจรงและ P(x 2) เปนจรงแลว x 1 = x 2

ตวอยางท 5.3.2 จงพสจนวา สาหรบจานวนจรง a ใด ๆ

จะมจานวนจรง b เพยงจานวนเดยวเทานนททาให

a b = a

พสจน ให a เปนจานวนจรงใด ๆ

เนองจากมจานวนจรง 1 ซง a 1 = a

จงแสดงแตเพยงวา ถามจานวนจรง e ซง a e = a แลว e = 1

.

.

.

129

สมมตม e ซง a e = a

จะได a e – a = 0

a(e – 1) = 0

แต a เปนจานวนจรงใด ๆ จงมกรณท a ≠ 0

ดงนน (e – 1) = 0

จะได e = 1

ดงนน จานวนจรง b ในขอความทใหพสจน คอ

1 เพยงจานวนเดยวเทานน

แบบฝกหด 5.3

จงพสจนขอความตอไปน

1. สาหรบจานวนเตม a ใด ๆ a3 + a2 + a + 1 เปนจานวนคกตอเมอ a เปนจานวนค

2. สาหรบเซต A และ B ใด ๆ A ⊂ B กตอเมอ B' ⊂ A'

3. สาหรบจานวนจรง x ใด ๆ ทไมเทากบ 0 จะมจานวนจรง y เพยงจานวนเดยวเทานน

ซง xy = 1

.

.

130

หนวยท 6 อปนยเชงคณตศาสตร

(Mathematical Induction)

ตอนท 6.1 อปนยเชงคณตศาสตร แนวคด 1. ปญหาทางคณตศาสตรบางปญหาทเกยวของกบแบบรปของจานวนเตม อาจใชการพสจน โดยอปนยเชงคณตศาสตรได 2. อปนยเชงคณตศาสตรเปนการพสจนเกยวกบขอความ ∀ nP(n) เปนจรง สาหรบจานวน เตม no และ n ซง n ≥ no โดยเรมตนพสจน P(no) เปนจรง ตอจากนนสมมตให P(k)เปน จรง เมอ k ≥ no แลวพสจนวา P(k + 1) เปนจรงจะสรปไดวา P(n) เปนจรงทก n ≥ no 3. ขอความ∀ nP(n) เปนเทจกตอเมอมจานวนเตม k ≥ no ททาให P(k) เปนเทจ วตถประสงค เมอศกษาหนวยท 6 จบแลว นกเรยนสามารถ 1. เขยนขอความในรป P(n) ได 2. พสจนขอความ ∀ nP(n) เปนจรงได 3. หาจานวนเตม k ซง P(k) เปนเทจ สาหรบขอความ ∀ nP(n) ทเปนเทจได กจกรรมระหวางเรยน 1. อาจารยอธบายแบบรปของจานวนเตม 2. อาจารยอธบายและใหตวอยางการใชการพสจนโดยอปนยเชงคณตศาสตร 3. นกเรยนทากจกรรมตามตวอยางและแบบฝกหด 4. นกเรยนประเมนพฒนาการของตนเอง สอการสอน 1. เอกสารการสอน 2. แบบฝกปฏบต 3. เครองฉายขามศรษะ ประเมนผล ประเมนผลจากแบบฝกหดและการทดสอบ

131

ตอนท 6.1 อปนยเชงคณตศาสตร

เรองท 6.1.1 ขอความ ∀ nP(n)

ในการศกษาคณตศาสตรระดบชนมธยมศกษานน บางครงจะพบแบบรปทเกยวของกบ

จานวนเตม เชน จากการสงเกตผลบวกของจานวนค

1 = 1 = 12

1 + 3 = 4 = 22

1 + 3 + 5 = 9 = 32 . . . . . . . . .

แลวทานายแบบรปทวไปวา

1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n2

การทานายนอาจจะผดกได

เครองมอทใชพสจนการทานายลกษณะนในทางคณตศาสตร คออปนยเชงคณตศาสตร เปนการ

พสจนวาขอความ ∀ n P(n) เปนจรง เมอ n ∈ I และ n ≥ n0 โดย n0 เปนจานวนเตมเจาะจงจานวนหนง

การพสจนวาขอความ ∀ n P(n) เปนจรงสาหรบทกจานวนเตม n ซง n ≥ n0 มขนตอนดงน

ขนท 1 จะตองแสดงวา P(n0) เปนจรง

ขนท 2 จะตองแสดงวา ถา P(k) เปนจรงสาหรบทกจานวนเตม k ≥ n0 แลว P(k+1) เปนจรง

จากทง 2 ขนตอน จะสรปไดวา ∀ n P(n) เปนจรง สาหรบทก n ≥ n0

หมายเหต

ขอความ ∀ n P(n) สาหรบทก n ≥ n0 เปนเทจ กตอเมอ

(1) P(n0) เปนเทจ

หรอ (2) ม K ≥ n0 ททาใหขอความ P(k) เปนเทจ

กอนทจะพสจนวา ประโยค ∀ n P(n) เปนจรงหรอเปนเทจ จาเปนตองฝกเขยนประโยค P(i)

เมอ i ∈ {no,...,k,k+1} กอน

132

ตวอยางท 6.1.1 กาหนด P(n) แทน 1 + 3 + 5 +...+ (2n-1) = n2

จงเขยน P(1), P(2), P(k) และ P(k+1)

วธทา เนองจากประโยค P(n) นเขยนในรปสมการ ซงนพจนทางซายของสมการเปนอนกรม ทางขวา

เปนสตร จงเขยนไดดงน

P(1) คอ 1 = 12

P(2) คอ 1 + 3 = 22

P(k) คอ 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = k2

P(k+1) คอ 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) + (2(k+1)-1) = (k+1)2

หรอ 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)2

ตวอยางท 6.1.2 กาหนด P(n) แทน 3⏐(22n-1) จงเขยน P(1), P(2), P(k) และ P(k+1)

วธทา ขอความ P(n) อยในรปสญลกษณเกยวของเฉพาะจานวนเตมบวก n จงแทน n ดวย 1, 2, k และ

k+1 ลงใน P(n)

จะได P(1) คอ 3⏐(22 1-1)

P(2) คอ 3⏐(22 2-1)

P(k) คอ 3⏐(22 k-1)

P(k+1) คอ 3⏐(22 (k+1)-1)

ตวอยางท 6.1.3 จงเขยนขอความ P(n), P(1), P(2), P(k) และ P(k+1) ใหสอดคลองกบขอความตอไปน

1. 21 + 22 + 23 +...+ 2n = 2n+1 - 2 ทกจานวนเตมบวก n

2. 2n+1 ≥ n2 ทกจานวนเตมบวก n

3. n3 + 2n หารดวย 3 ลงตว ทกจานวนเตมบวก n

วธทา 1. ให P(n) แทน 21 + 22 + 23 +...+ 2n = 2n+1 - 2

จะได P(1) คอ 21 = 21+1 - 2

P(2) คอ 21 + 22 = 22+1 - 2

P(k) คอ 21 + 22 +... 2k = 2k+1 - 2

.

.

.

.

133

P(k+1) คอ 21 + 22 +...+ 2k + 2k+1 = 2k+2 - 2

2. ให P(n) แทน 2n+1 ≥ n2

จะได P(1) คอ 21+1 ≥ 12

P(2) คอ 22+1 ≥ 22

P(k) คอ 2k+1 ≥ k2

P(k+1) คอ 2k+2 ≥ (k+1)2

3. ให P(n) แทน n3 + 2n หารดวย 3 ลงตว

จะได P(1) คอ 13 + 2 1 หารดวย 3 ลงตว

P(2) คอ 23 + 2 2 หารดวย 3 ลงตว

P(k) คอ k3 + 2 k หารดวย 3 ลงตว

P(k+1) คอ (k+1)3 + 2 (k+1) หารดวย 3 ลงตว

ตวอยางท 6.1.4 จงเขยนขอความ P(n), P(n0), P(n1),..., P(k) และ P(k+1) โดยท n0 < n1 ≤ k

ทกจานวนเตมทกาหนดในขอความตอไปน

1. n(n2-1) หารดวย 24 ลงตว ทก n ทเปนจานวนคบวก

2. n2 < n! ทก n < 4

3. 1.0! + 1.1! + 2.2! + 3.3! +...+n.n! = (n+1)!

วธทา 1. ให P(n) แทน n(n2-1) หารดวย 24 ลงตว ทก n ทเปนจานวนคบวก

เนองจาก P(n0) คอ P(1) จงได P(1) คอ 1(12-1) หารดวย 24 ลงตว

P(n1) คอ P(3) จงได P(3) คอ 3(32-1) หารดวย 24 ลงตว

P(k) คอ k(K2-1) หารดวย 24 ลงตว

P(k+1) คอ (k+1)((k+1)2-1) หารดวย 24 ลงตว

2. ให P(n) แทน n2< n! ทก n < 4

เนองจาก P(n0) คอ P(4) จงได P(4) คอ 42 < 4!

P(n1) คอ P(5) จงได P(5) คอ 52 < 5!

P(k) คอ k2 < k!

.

.

.

.

134

P(k+1) คอ (k+1)2 < (k+1)!

3. ให P(n) แทน 1 0!+1 1!+2 2!+3 3!+...+n n! = (n+1)!

เนองจาก P(n0) คอ P(0) จงได P(0) คอ 1 0! = (0+1)!

P(n1) คอ P(1) จงได P(1) คอ 1 0!+1 1! = (1+1)!

P(k) คอ 1 0!+1 1!+2 2!+3 3!+...+k k! = (k+1)!

P(k+1)คอ1 0!+1 1!+2 2!+3 3!+...+k k!+(k+1)(k+1)!= (k+2)!

แบบฝกหด 6.1.1

จงเขยน P(n0), P(n1),...,P(k) และ P(k+1) สอดคลองกบขอความอปนยเชงคณตศาสตรตอไปน

1. 3n > 3n ทก n ≥ 2

2. 11n+2+122n+1 หารดวย 133 ลงตว ทก n ≥ 1

3. 1.2+2.3+3.4+...+n(n+1) = 32) 1)(n n(n ++ ทก n ∈N

4. (1+x)n = 1+x+x2+...+x3 เมอ x ≠ 1 ทก n ∈ N

เรองท 6.1.2 การพสจนคาความจรงของขอความในรป ∀nP(n)

เนองจากขอความในรป ∀nP(n) อาจจะมคาความจรงเปนจรงหรอเปนเทจดงทกลาวมาแลว

ในเรองนจงเปนกระบวนการหาคาความจรงของขอความ ∀nP(n)

ตวอยางท 6.1.5 จงพสจนวา 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n2 เปนจรงสาหรบทก n ∈ N (n ≥ 1)

ขอพสจน ให P(n) แทน 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n2

ขนท 1

จะแสดงวา P(1) เปนจรง

เนองจาก 1 = 12 เปนจรง

และ P(1) แทน 1 = 12

ดงนน P(1) เปนจรง

. . . . .

.

. .

. . . . .

. . . . .

135

ขนท 2

จะแสดงวา ถา P(k) เปนจรงสาหรบ k ≥ 1 แลว P(k+1) เปนจรง

ให P(k) เปนจรง

ดงนน 1 + 3 + 5 +...+ (2k-1) = k2 เปนจรง

จะได 1+3+5+...+ (2k-1)+(2(k+1)-1) = k2 + (2(k+1)-1) เปนจรง

แสดงวา 1 + 3 + 5 +...+ (2k-1)+(2k+1) = k2+2k+1 เปนจรง

1 + 3 + 5 +...+ (2k-1)+(2k+1) = (k+1)2- เปนจรง

เนองจาก P(k+1) แทน 1 + 3 + 5 +...+ (2k-1)+(2k+1) = (k+1)2

ดงนน P(k+1) เปนจรง

จากขนท 1 และขนท 2 สรปไดวา

1 + 3 + 5 +...+ (2n-1) = n2 เปนจรงทกจานวนเตมบวก n

ตวอยางท 6.1.6 จงพสจนวา

2 11⋅ + 3 2

1⋅ + 4 3

1⋅ +…+ 1) n(n

1+

= 1 n n+

เปนจรงสาหรบทก n ∈ N

ขอพสจน ให P(n) แทน

2 11⋅ + 3 2

1⋅ + 4 3

1⋅ +…+ 1) n(n

1+

= 1 n n+

ขนท 1

จะแสดงวา P(1) เปนจรง

เนองจาก 2 11⋅ = 1 1

1+

เปนจรง

และ P(1) แทน 2 11⋅ = 1 1

1+


ขนท 2

จะแสดงวา ถา P(k) เปนจรงสาหรบ k ≥ 1 แลว P(k+1) เปนจรง


ดงนน 2 11⋅ + 3 2

1⋅ + 4 3

1⋅ +…+ 1) k(k

1+

= 1 k k+

เปนจรง

จะได 2 11⋅ + 3 2

1⋅ + 4 3

1⋅ +…+ 1) k(k

1+

+ 2) 1)(k (k 1

++= 1 k

k+

+ 2) 1)(k (k 1

++ เปนจรง

136

แสดงวา 2 11⋅ + 3 2

1⋅ + 4 3

1⋅ +…+ 1) k(k

1+

+ 2) 1)(k (k 1

++= 2) 1)(k (k

1 2) k(k ++++ เปนจรง

= 2) 1)(k (k 1) (k 2

+++ เปนจรง

= 2 k 1 k

++ เปนจรง

เนองจาก P(k+1) แทน 2 11⋅ + 3 2

1⋅ + 4 3

1⋅ +…+ 2) 1)(k (k

1++

= 2 k 1 k

++

ดงนน P(k+1) เปนจรง

จากขนท 1 และขนท 2 สรปไดวา 2 11⋅ + 3 2

1⋅ + 4 3

1⋅ +…+ 1) n(n

1+

= 1 n n+

เปนจรงทก

จานวนเตมบวก n

ตวอยางท 6.1.7 จงพสจนวา 2n ≥ 2 ทก n ≥ 1

ขอพสจน ให P(n) แทน 2n ≥ 2

ขนท 1

จะแสดง P(1) เปนจรง

เนองจาก 21 ≥ 2 เปนจรง


ขนท 2

จะแสดง ถา P(k) เปนจรงสาหรบ k ≥ 1 แลว P(k+1) เปนจรง


ดงนน 2k ≥ 2 เปนจรง

จะได 2 ⋅ 2k ≥ 2 เปนจรง

นนคอ 2k+1 ≥ 2 เปนจรง

แสดงวา P(k+1) เปนจรง

จากขนท 1 และขนท 2 สรปไดวา 2n ≥ 2 ทก n ≥ 1

137

ตวอยางท 6.1.8 จงพสจนวา 2n ≤ 2n ทก n ≥ 1

ขอพสจน ให P(n) แทน 2n ≤ 2n

ขนท 1

จะแสดง P(1) เปนจรง

เนองจาก 2 ⋅ 1 ≤ 21 เปนจรง


ขนท 2

จะแสดง ถา P(k) เปนจรงสาหรบ k ≥ 1 แลว P(k+1) เปนจรง

ให P(k) เปนจรง สาหรบ k ≥ 1

ดงนน 2k ≤ 2k เปนจรง

เนองจาก 2 ≤ 2k เปนจรง จากตวอยางท 6.1.7

จะได 2k + 2 ≤ 2k + 2k เปนจรง

2(k+1) ≤ 2 ⋅ 2k เปนจรง

2(k+1) ≤ 2k+1 เปนจรง

จะได P(k+1) เปนจรง

จากขนท 1 และขนท 2 สรปไดวา 2n ≤ 2n ทก n ≥ 1

ตวอยางท 6.1.9 จงพสจนวา 2n3 + 3n2 + n + 6 ≥ 0 สาหรบทก n ≥ –2

ขอพสจน ให P(n) แทน 2n3 + 3n2 + n + 6 ≥ 0

ขนท 1

จะแสดง P(–2) เปนจรง

เนองจาก 2(–2)3 + 3(–2)2 + (–2) + 6 ≥ 0 เปนจรง

และ P(–2) คอ 2(–2)3 + 3(–2)2 + (–2) + 6 ≥ 0

ดงนน P(–2) เปนจรง

ขนท 2

จะแสดง ถา P(k) เปนจรงสาหรบ k ≥ –2 แลว P(k+1) เปนจรง


138

ดงนน 2k3 + 3k2 + k + 6 ≥ 0

พจารณา 2(k+1)3 + 3(k+1)2 + (k+1) + 6

= (2k3 + 3k2 +k+6)+(6k2+ 12k+6) เปนจรง

= (2k3 + 3k2 +k+6)+6 (k+1)2 เปนจรง

เนองจาก 2k3 + 3k2 + k + 6 ≥ 0 และ 6(k+1)2 ≥ 0 เปนจรง

ดงนน (2k3 + 3k2 + k+6)+6(k+1)2 ≥ 0 เปนจรง

นนคอ 2(k+1)3 + 3(k+1)2 + (k+1) + 6 ≥ 0 เปนจรง

จะได P(k+1) เปนจรง

จากขนท 1 และขนท 2 สรปไดวา 2n3 + 3n2 + n + 6 ≥ 0 สาหรบทก n ≥ –2

ตวอยางท 6.1.10 จงแสดงวาขอความ n2 < 2n ไมจรงสาหรบ –1 ≤ n

แนวคด

ให P(n) แทนขอความ n2 < 2n สาหรบ –1 ≤ n

จะเหนวา P(–1) คอ (–1)2 < 2-1

จะได 1 < 2 1 เปนเทจ

ดงนน P(–1) เปนเทจ

แสดงวา n2 < 2n ไมจรงสาหรบ –1 ≤ n

ตวอยางท 6.1.11 จงแสดงวา ขอความ 2n ≤ n2 ไมจรงสาหรบ 2 ≤ n

แนวคด

ให P(n) แทนขอความ 2n ≤ n2 สาหรบ 2 ≤ n

พจารณา n = 5

จะเหนวา P(5) คอ 25 ≤ 52

จะได 32 ≤ 25 เปนเทจ

ดงนน P(5) เปนเทจ

แสดงวา 2n ≤ n2 ไมจรงสาหรบ 2 ≤ n

139

แบบฝกหด 6.1.2

1. จงใชอปนยเชงคณตศาสตร พสจนขอความตอไปนวาเปนจรงสาหรบทกจานวนธรรมชาต n

1.1 1 + 2 + 3 +...+ n = 2 1) n(n +

1.2 12 + 22 + 32+...+ n2 = 6 1 n(n+1)(2n+1)

1.3 13 + 23 + 33+...+ n3 = 4 1 [n(n+1)]2

1.4 1 2 + 2 3 + 3 4 +...+ n(n+1) = 3 2)1)(n n(n 1 ++

1.5 2 + 22 + 23+...+ 2n = 2n+1 – 2

1.6 n3 + 2n หารดวย 3 ลงตว

1.7 n(n2–1) หารดวย 24 ลงตว ถา n เปนจานวนคบวก

1.8 11n+2 + 122n+1 หารดวย 133 ลงตว

1.9 sinα + sin 2α +...+ sin nα = 22

21 n

sinsin

sin ∞∞∞+

1.10 1 1! + 2 2! + 3 3! +...+ n n! = (n+1)! - 1

2. จงพสจนขอความตอไปน โดยใชอปนยเชงคณตศาสตร

2.1 2n > 2n + 1 ทก n > 2

2.2 1 n 1+ + 2 n

1+ +…+ 2n

1 > 24 13 ทก n > 1

2.3 2n+1 ≥ n2 ทก n ∈ N

2.4 3n > 3n ทก n ≥ 2

2.5 n2 < n! ทก n ≥ 4

3. ขอความตอไปนถกหรอผด จงใหเหตผล

3.1 1 - 1 +nx = 1 + x + x2+...+ xn เมอ x ≠ 1 ทก n ∈ N

3.2 (1+x)n > 1 + nx เมอ x > -1, x ≠ 0 และ n ≥ 1

3.3 2n < 2(n+10) ทก n ∈ N

4. กาหนดเมทรกซ A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1011

จงหา An พรอมทงพสจนโดยใชอปนยเชงคณตศาสตร

5. กาหนด f(x) = x - 1 1 เมอ x ≠ 1 จงหา f(n)(x) พรอมทงพสจนโดยใชอปนยเชงคณตศาสตร

. . .

. . . .

1 - x

140

ภาคผนวก

ทฤษฎบทท 1 ให s ⊂ N และ s มคณสมบตตอไปน

1. 1 ∈ s

2. ∀k [k ∈ s →k+1 ∈ s]

สรปไดวา s = N

ขอพสจน สมมตวา s ≠ N ดงนนจะตองมจานวนเตมบวกอยางนอย

หนงจานวน ซงไมอยในเซต s

ให M = {x ∈ N| x ∉s} = N – s

ดงนน M ≠ ∅

และ M ∩ s = ∅

จากหลกการเปนอนดบดแลว ถา M ⊂ N และ M ≠ ∅ แลว M จะมจานวนทนอยทสด

กลาวคอ ∃m∀X [m∈M ∧ X∈M→m ≤ X] M จะมจานวนทนอยทสด หนงจานวน สมมตวาเปนm

นนคอ ถา x ∈ M แลว x ≥ m

m ≠ 1 เพราะวา 1 ∈ s, m ∈ M และ M ∩ s = ∅

ดงนน m > 1 ไดวา m – 1 > 0

แต m – 1 < m ดงนน m – 1 ∉ M เพราะ m เปนจานวนทนอยทสดใน M

แสดงวา m – 1 ∈ s

โดยคณสมบตขอ 2 ไดวา (m – 1) + 1 ∈ s

นนคอ m ∈ s ซงขดแยงกบทวา m ∈ M จะทาให m ∉ s เพราะ M ∩ s = ∅

ดงนน ทเราสมมตไววา s ≠ N จงไมจรง

แสดงวา s = N

141

ทฤษฎบทท 2 (ทฤษฎเบองตนของอปนยวธทางคณตศาสตร)

สาหรบจานวนเตมบวก n ใด ๆ ให P(n) แทนขอความ (อาจเปนจรง หรอไมเปนจรง) ท

เกยวของกบ n ถา

1. P(1) เปนจรง

2. สาหรบจานวนเตมบวก k ใด ๆ ถา P(k) เปนจรงแลวได P(k+1) เปนจรงดวย

สรปไดวา P(n) เปนจรงสาหรบทก ๆ จานวนเตมบวก n

ขอพสจน ให s = {n∈N| P(n) เปนจรง,}

s ≠ ∅ เพราะวา 1 ∈ s โดยคณสมบต ขอ 1.

จากคณสมบตขอ 2 ถา k ∈ s แลว k + 1 ∈ s ดวย

โดยทฤษฎบทท 1 จะได s = N

นนคอ P(n) เปนจรงสาหรบทกจานวนเตมบวก n

142

หนวยท 7 อสมการ

ตอนท 7.1 อสมการทเกยวกบพชคณต ตอนท 7.2 อสมการเกยวกบคาสมบรณ แนวคด 1. สมการและอสมการ เปนสงสาคญในระบบคณตศาสตร สาหรบอสมการนนสามารถนยาม

ไดจาก สมการ 2. ในระบบจานวนจรงสมบตของอสมการนาไปประยกตใชอยางมากมายทงในวชาคณตศาสตร และวชาอนๆ

3. โดยทวๆไปผลเฉลยของอสมการนยมเขยนในรปเซตคาตอบ 4. อสมการทเกยวกบคาสมบรณเปนพนฐานสาคญทนาไปใชในวชา แคลคลส และการวเคราะห

วตถประสงค เมอศกษาหนวยท 7 จบแลว นกเรยนสามารถ 1. นยามอสมการได 2. ระบสมบตพนฐานของอสมการของจานวนจรงได 3. หาเซตคาตอบของอสมการทมหลายตวประกอบได 4. พสจน ขอความเกยวกบอสมการเชงพชคณตได 5. พสจน ขอความเกยวกบอสมการของคาสมบรณได กจกรรมระหวางเรยน

1. อาจารยอธบายความหมายและสมบตของอสมการ แสดงตวอยางวธการแกโจทยปญหาอสมการทเกยวกบพชคณต และอสมการเกยวกบคาสมบรณ

2. นกเรยนทากจกรรมระหวางเรยน และแบบฝกหด 3. นกเรยนประเมนพฒนาการของตนเอง สอการสอน 1. เอกสารการสอน 2. แบบฝกปฏบต 3. เครองฉายขามศรษะ ประเมนผล ประเมนผลจากแบบฝกหดและการทดสอบ

143

เรองท 7.1.1 ความหมายและ สมบตของอสมการ 1. ความหมายของอสมการ ความหมายพนฐานของอสมการ นยามไดดงบทนยามตอไปน

บทนยาม 1 สาหรบจานวนจรง a และ b ใดๆ a มากกวา b กตอเมอ มจานวนจรงบวก c ททาให a = b + c

a มากกวา b เขยนแทนดวย a > b

บทนยาม 2 สาหรบจานวนจรง a และ b ใดๆ b นอยกวา a กตอเมอ a มากกวา b

b นอยกวา a เขยนแทนดวย b < a

บทนยาม 3 สาหรบจานวนจรง a และ b ใดๆ a มากกวาหรอเทากบ b กตอเมอ a มากกวา b หรอ a เทากบ b

a มากกวาหรอเทากบ b เขยนแทนดวย a ≥ b

บทนยาม 4 สาหรบจานวนจรง a และ b ใดๆ b นอยกวาหรอเทากบ a กตอเมอ b นอยกวา a หรอ b เทากบ a

b นอยกวาหรอเทากบ a เขยนแทนดวย b ≤ a

บทนยาม 2, 3 และ 4 อาจเขยนใหมไดดงน

บทนยาม 2′ b < a กตอเมอ ม c ∈R+ ททาให b + c = a

บทนยาม 3′ a ≥ b กตอเมอ ม c ∈R+ Υ {0} ททาให a = b + c

บทนยาม 4′ b ≤ a กตอเมอ ม c ∈R+ Υ {0} ททาให b + c = a

2 สมบตของอสมการ กาหนดให a, b, c, x และ y เปนจานวนจรง 1. ถา a > b และ b > c แลว a > c 2. ถา a > b แลว a + c > b + c 3. ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc 4. ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc 5. ถา a > b > 0 และ c > 0 แลว ac > bc > 0 6. ถา a > 1 และ x > y > 0 แลว ax > ay > 0 7. ถา 0 < a < 1 และ x > y > 0 แลว 0 < ax < ay

8. ถา a > 1 และ x > y > 0 แลว loga x > loga y

ตอนท 7.1 อสมการทเกยวกบพชคณต

144

9. ถา 0 < a < 1 และ x > y > 0 แลว loga x < loga y 10. a2n ≥ 0 ทกจานวนเตมบวก n

11. a > 0 กตอเมอ a 1 > 0

12. a < 0 กตอเมอ a 1 < 0

13. สาหรบจานวนจรง a และ b ซง a < b ( x – a )( x – b ) < 0 กตอเมอ a < x < b 14. สาหรบจานวนจรง a และ b ซง a < b ( x – a )( x – b ) > 0 กตอเมอ x < a หรอ x > b เรองท 7.1.2 ตวอยางวธการแกปญหาโจทยอสมการ

ขอตกลง กาหนดใหเอกภพสมพนธ คอ เซตของจานวนจรง สาหรบจานวนทเขยนโดยไมเจาะจง จานวนเหลานนคอจานวนจรง

ตวอยางท 7.1 จงพสจนวา a2n+1 > 0 กตอเมอ a > 0 ทกจานวนเตมบวก n พสจน (1) จะแสดงวา ถา a2n+1 > 0 แลว a > 0

กาหนดให a2n+1 > 0 จะได a2n a > 0 สมมต a ≤ 0 จะมกรณดงน คอ a < 0 หรอ a = 0

ถา a < 0 จะได a 1 < 0

ดงนน aa a2 ⋅n

< 0 a2n < 0 ขดแยงกบ a 2n ≥ 0 a < 0 จงเปนไปไมได ถา a = 0 จะได a2n+1 = 0 ขดแยงกบทกาหนดให a 2n+1 > 0 a = 0 จงเปนไปไมได นนคอ a > 0 (2) จะแสดงวา ถา a > 0 แลว a2n+1 > 0 กาหนดให a > 0 จะได a 2n > 0 ดงนน a 2n a > 0 จงได a 2n+1 > 0

จาก (1) และ (2) จงสรปไดวา a 2n+1 > 0 กตอเมอ a > 0 ทกจานวนเตมบวก n

.

.

145

หมายเหต สาหรบขอความ a 2n+1 < 0 กตอเมอ a < 0 ทกจานวนเตมบวก n

ใหทาเปนแบบฝกหด ตวอยางท 7.2 จงพสจนวา ( x – a )2n ( x – b )2m + 1 > 0 กตอเมอ x ≠ a และ x – b > 0 ทกจานวนเตมบวก

m และ n พสจน (1) จะแสดงวา ถา ( x – a )2n ( x – b )2m + 1> 0 แลว x – a ≠ 0 และ x – b > 0 กาหนดให ( x – a )2n ( x – b )2m + 1 > 0 พจารณา x – a ถา x – a = 0 จะทาให ( x – a )2n ( x – b )2m + 1 = 0 ซงขดแยงกบทกาหนดให ( x – a )2n ( x – b )2m + 1 > 0 ดงนน x – a ≠ 0 …

จะได ( x – a )2n > 0

ดงนน a)(x

b)(xa)(x2n

12m2n

−

−− +

> 0

แสดงวา ( x – b )2m + 1 > 0 โดยตวอยางท 7.1 พสจนมาแลว จะได x – b > 0 … จาก และ จงได x – a ≠ 0 และ x – b > 0 (2) จะแสดงวา ถา x – a ≠ 0 และ x – b > 0 แลว ( x – a )2n

( x – b )2m + 1 > 0

เนองจาก x – a ≠ 0 และ x – b > 0 จะได ( x – a )2n > 0 และ ( x – b )2m + 1 > 0

ดงนน ( x – a )2n ( x – b )2m + 1 > 0 จาก (1) และ (2) จงสรปไดวา ( x – a )2n ( x – b )2m + 1 > 0 กตอเมอ x – a ≠ 0 และ x – b > 0 หมายเหต สาหรบขอความ ( x – a )2n ( x – b )2m + 1 < 0 กตอเมอ x ≠ a และ x – b < 0

ทกจานวนเตมบวก m และ n ใหทาเปนแบบฝกหด

146

ตวอยางท 7.3 จงหาเซตคาตอบของ 32

4101

4)(x7)(x3)(x

++− ≤ 0

วธทา 32

4101

4)(x7)(x3)(x

++− ≤ 0 กตอเมอ (x – 3)101 (x + 7)4 ≤ 0 และ x + 4 ≠ 0

กตอเมอ (x – 3 ≤ 0 หรอ x +7 = 0) และ x ≠ –4 กตอเมอ (x ≤ 3 หรอ x = –7 ) และ x ≠ –4 กตอเมอ x < –4 หรอ –4 < x ≤ 3

ดงนนเซตคาตอบคอ { x ∈ R | x < –4 หรอ –4 < x ≤ 3 }


1. จงพสจนวา a2n+1 < 0 กตอเมอ a < 0 ทกจานวนเตมบวก n 2. จงพสจนวา ( x – a )2n ( x – b )2m + 1 < 0 กตอเมอ x ≠ a และ x – b < 0

ทกจานวนเตมบวก m และ n 3. จงหาเซตคาตอบของ อสมการตอไปน (1) (x – 3)20 (x + 4)33 < 0 (2) (x – 4)21 (x + 2)11 > 0

(3) 218

45

4)(X5)(X1)(X+−

− ≥ 0

(4) 18

1627

4)(X3)(X2)(X

−+− ≤ 0

เรองท 7.2.1 อสมการพนฐานของคาสมบรณของจานวนจรง

บทนยาม 5 สาหรบจานวนจรง x ใดๆ คาสมบรณของ x เขยนแทนดวย | x | กาหนดโดย

| x | = ⎪⎩

⎪⎨⎧

<

≥

0 x เมอx -

0 x เมอx

จากบทนยามขางตน สามารถนามาสรปเปนสมบตเกยวกบคาสมบรณ ของจานวนจรง และพสจนไดดงน กาหนดให x และ y เปนจานวนจรงใดๆ a เปนจานวนจรงบวก

ตอนท 7.2 อสมการเกยวกบคาสมบรณ

147

จงพสจนขอความตอไปน (1) x ≤ | x | (2) ถา | x | ≤ a แลว – a ≤ x ≤ a (3) ถา | x | ≥ a แลว x ≤ – a หรอ x ≥ a (4) x + y ≤ | x | + | y | (5) x + y ≤ | x + y | (6) | x + y | ≤ | x | + | y | (7) | x | – | y | ≤ | x – y | (8) | | x | – | y | | ≤ | x – y | พสจน (1) x ≤ | x | พสจน กรณท 1 x ≥ 0 จะได x = | x | กรณท 2 x < 0 จะได 0 < –x และ –x = | x | แต x < –x ดงนน x < | x | จากกรณทงสอง จงสรปไดวา x ≤ | x | (2) ถา | x | ≤ a แลว –a ≤ x ≤ a พสจน ให | x | ≤ a กรณท 1 x ≥ 0 จะได x = | x | ≤ a ดงนน 0 ≤ x ≤ a กรณท 2 x < 0 จะได 0 < –x และ –x = | x | แต | x | ≤ a ดงนน 0 < –x ≤ a แสดงวา –a ≤ x < 0 จากกรณทงสอง จงสรปไดวา –a ≤ x ≤ a (3) ถา | x | ≥ a แลว x ≤ –a หรอ x ≥ a การพสจนทาเปนแบบฝกหด (4) ถา x + y ≤ | x | + | y | การพสจนทาเปนแบบฝกหด (5) x + y ≤ | x + y | การพสจนทาเปนแบบฝกหด

148

(6) | x + y | ≤ | x | + | y | พสจน กรณท 1 x + y ≥ 0 จะได x + y = | x + y | จากขอ(4) จะได x + y ≤ | x | + | y | ดงนน | x + y | ≤ | x | + | y | กรณท 2 x + y < 0 จะได –( x + y ) = | x + y | ดงนน ( –x ) + ( –y ) = | x + y | จากขอ (4) จะได ( –x ) + ( –y ) ≤ | – x | + |– y | แต | –x | = | x | และ | –y | = | y | ดงนน ( –x ) + ( –y ) ≤ | x | + | y | นนคอ | x + y | ≤ | x | + | y | จากกรณทงสอง จงสรปไดวา | x + y | ≤ | x | + | y | (7) | x | – | y | ≤ | x – y | พสจน เนองจาก | x | = | (x – y ) + y | จากขอ (6) จะได | (x – y ) + y | ≤ | x – y | + | y | ดงนน | x | ≤ | x – y | + | y | นนคอ | x | – | y | ≤ | x – y | (8) || x | – | y || ≤ | x – y | พสจน จากขอ (7) จะได | x | – | y | ≤ | x – y | ... และ | y | – | x | ≤ | y – x | ดงนน –( | x | – | y | ) ≤ | y – x | แต | x – y | = | y – x | จงได –( | x | – | y | ) ≤ | x – y | แสดงวา –| x – y | ≤ | x | – | y | … จาก และ จะได –| x – y | ≤ | x | – | y | ≤ | x – y | โดย ขอ (2) จงได || x | – | y || ≤ | x – y |

149

แบบฝกหด 7.2 1. กาหนดให x และ y เปนจานวนจรง และ a เปนจานวนจรงบวก จงพสจนวา (1) ถา | x | ≥ a แลว x ≤ – a หรอ x ≥ a (2) x + y ≤ | x | + | y | (3) x + y ≤ | x + y | 2. จงหาเซต คาตอบของ อสมการ | x3 – 1 | > 1 – x เรองท 7.2.2 อสมการคาสมบรณทมเงอนไข ในการเรยนระดบสง โดยเฉพาะการพสจน ลมตของฟงกชน จาเปนตองใชอสมการคาสมบรณทมเงอนไข ดงตวอยางตอไปน ตวอยางท 7.4 กาหนดให x เปนจานวนจรงใดๆ จงพสจนวา ถา | x – 4 | < 2 แลว | x2 + x – 20 | < 22 พสจน ให x เปนจานวนจรง และ | x – 4 | < 2 จะได –2 < x – 4 < 2 2 < x < 6 7 < x + 5 < 11 ดงนน | x + 5 | < 11 จะได | x – 4 || x + 5 | < 2 × 11 | ( x – 4 )( x + 5 ) | < 22 นนคอ | x2 + x – 20 | < 22 ตวอยางท 7.5 กาหนดให x เปนจานวนจรงใดๆ

จงพสจนวา ถา | x – 5 | < 21 แลว 4 -x

3 -x | – 2 | < 1

พสจน ให x เปนจานวนจรง และ | x – 5 | < 21

จะได – 21 < x – 5 < 2

1 2

1 < x – 4 < 23

ดงนน 21 < | x – 4 | < 2

3

จะได 32 <

|4x|1−

< 2

150

พจารณา 24x3x −

−− =

4x 8x2 3x

−+−−

= 4x

5x−+−

= 4x

5x

−+−

= 4x

5x

−−

จาก | x – 5 | < 21 และ

|4x|1−

< 2

ดงนน 4x

5x

−−

< 1

นนคอ 24x 3x −

−− < 1


กาหนดให x เปนจานวนจรงใดๆ จงพสจนวา 1. ถา | x – 3 | < 1 แลว | x2 – x – 6 | < 6 2. ถา | x + 4 | < 1 แลว | x3 + x2 – x | < 90

3. ถา | x – 4 | < 41 แลว 13x

72x −−− <

31

151

หนวยท 8 ปญหาทาทายปญญา

ตอนท 8.1 ปญหาทาทายปญญา ตอนท 8.2 ผลเฉลย

แนวคด 1. ปญหาทาทายปญญา เปนปญหานอกเหนอจากเนอหาในบทเรยน มผลเฉลยไดหลายรปแบบ ชวยใหผแกปญหามมมมองและวธแกปญหาทหลากหลาย และสรางสรรค

2. ลาดบของจานวนทเกดจากการดาเนนการทางคณตศาสตร สามารถนามาเปนปญหาใหคดได นอกจากนผลเฉลยของผตงปญหา กบผแกปญหาอาจจะแตกตางกนได ทงนขนอยกบการใหเหตผลของแตละคน

3. ลาดบของตวอกษร สามารถมาทาเปนรหสใหแกปญหาได วตถประสงค

เมอศกษาหนวยท 8 จบแลว นกเรยนสามารถ 1. วเคราะหปญหาไดอยางมเหตผล 2. แกปญหาอยางม มตสมพนธ 3. มมมมองปญหาไดหลากหลายแงมม 4. หาผลเฉลยของบางปญหาได มากกวาหนงผลเฉลย กจกรรมระหวางเรยน

1. อาจารยแจกเอกสารปญหาทาทายปญญา ใหเวลานกเรยนหาผลเฉลย นกเรยนสามารถหาผลเฉลยไดมากกวาหนงผลเฉลย โดยตองสามารถบอกเหตผลในการหาผลเฉลย แตละผลเฉลยได

2. อาจารยเลอกนกเรยนทหาผลเฉลยไดแตกตางกนในปญหาขอเดยวกน ไปแสดงเหตผลการวเคราะหปญหา เพอหาผลเฉลยของตนเองทหนาชนเรยน

3. นกเรยนอภปรายวธวเคราะหปญหาอยางมเหตผล จากมมมองทแตกตางกน สอการสอน 1. เอกสารปญหาทาทายปญญา 2. เครองฉายขามศรษะ ประเมนผล ประเมนผลจากผลเฉลย และการแสดงเหตผลการวเคราะหปญหาเพอหาผลเฉลย

152

ปรศนา 1 จานวนใดหายไปจากวงลอ

เหตผล .................... ปรศนา 2 ตวอกษรใดทาใหลาดบสมบรณ

เหตผล .................... ปรศนา 3 จานวนใดหายไป

เหตผล ....................

153

ปรศนา 4 ปรศนานตองการตวอกษรใดจงจะสมบรณ

เหตผล .................... ปรศนา 5 จานวนอะไรทหายไปทมมลางขวาของรปสามเหลยมดานลาง

เหตผล .................... ปรศนา 6 ตวอกษรใดทอยบนดวงดาวสดทาย

เหตผล ....................

154

ปรศนา 7 จานวนใดททาใหตารางนสมบรณ

เหตผล .................... ปรศนา 8 จงเตมตวเลขขางลางนใหสมบรณ

เหตผล ....................

155

ปรศนา 9 กากบาทชดใดทแทนกากบาทสดา

เหตผล .................... ปรศนา 10 นาฬกาเรอนใดทเปนนาฬกาทอยในชองวาง

เหตผล ....................

156

ปรศนา 11 แบบรปขางลางแบบใดทแทนแบบรปทมเครองหมายคาถาม

A B C D E เหตผล .................... ปรศนา 12 จงทาลาดบเชงตรรกศาสตรนใหสมบรณ

เหตผล ....................

157

ปรศนา 13 จานวนใดหายไป

เหตผล .................... ปรศนา 14 จงไขปรศนาน

เหตผล ....................

158

ปรศนา 15 จานวนใดทแทนเครองหมายคาถาม ?

เหตผล .................... ปรศนา 16 จานวนใดทหายไปจากดวงดาวดวงสดทาย

เหตผล ....................

159

ปรศนา 17 ตวอกษรใดหายไป


เหตผล .................... ปรศนา 19 จานวนใดหายไปในรปสดทาย

เหตผล ....................

160

ปรศนา 20 จงทาลาดบเชงตรรกศาสตรนใหสมบรณ

เหตผล .................... ปรศนา 21 จงยายกานไมขด 4 กาน ทาใหพนทเปนครงหนงของพนทเดม


161

เหตผล .................... ปรศนา 23 จงเตมตวอกษรเพอใหวงลอนสมบรณ

เหตผล .................... ปรศนา 24 จงเตมเลขโดด 1 ถง 9 ลงในปรศนา เพอใหผลบวกตามแนวนอน แนวตง และแนวทแยงมคาเทากน

เหตผล ....................

162

ตอนท 8.2 ผลเฉลย ในปญหาทาทายปญญาน เนองจากเปนลาดบจากดของจานวนหรอตวอกษรจงอาจมผลเฉลย

ไดแตกตางกนหลายแบบ ทงนขนอยกบเหตผลถาสมเหตสมผลแลวผลเฉลยนนกถอวาถกถงแมวาจะแตกตางกนในรปทวไปกตาม ดงตวอยางตอไปน

พจารณาลาดบตอไปน 1 , 2 , 3 , ? ? มคาเทาใด เฉลย 1 ? คอ 4

เหตผล เนองจาก 1 , 2 , 3 เปนลาดบทมคาเพมขนทละ 1 ในพจนทเพมขน ดงนน ? เพมขน 1 จาก 3 จงได ? คอ 4 เฉลย 2 ? คอ 5

เหตผล เนองจาก 1 , 2 , 3 มสองพจนแรก คอ 1 กบ 2 พจนทสามไดจากสองพจนแรกบวกกนคอ 1 + 2 = 3 ดงนน พจนทส ยอมไดจากสองพจนขางหนาบวกกนคอ 2 + 3 = 5 จงได ? คอ 5 เฉลย 3 ? คอ 6

เหตผล เนองจาก 1 , 2 , 3 ม สองพจนแรกคอ 1 กบ 2 พจนตอ ๆ ไป จะไดจากพจน ขางหนาบวกกนทงหมด

เชน พจนทสามไดจาก 1 + 2 = 3 ดงนนพจนท 3 คอ 3 พจนทสไดจาก 1 + 2 + 3 = 6 จงได ? คอ 6

เฉลย 4 ? คอ 7 เหตผล เนองจาก 1 , 2 , 3 มสองพจนแรกคอ 1 กบ 2 พจนตอไปจะไดจากผลคณของสองพจนแรก แลวบวกกบ 1

เชน พจนทสามไดจาก (1 × 2) + 1 = 3 ดงนน พจนทสามคอ 3 พจนทสไดจาก (2 × 3) + 1 = 7 จงได ? คอ 7

เฉลย5 ? คอ 8 เหตผล เนองจาก ลาดบ 1 , 2 , 3 มพจนท n คอ

an = n + 32 (n – 1)(n – 2)(n – 3) เมอ an คอพจนท n

จะเหนวา a1 = 1 + 32 (1 – 1)(1 – 2)(1 – 3) = 1 + 0 = 1

a2 = 2 + 32 (2 – 1)(2 – 2)(2 – 3) = 2 + 0 = 2

a3 = 3 + 32 (3 – 1)(3 – 2)(3 – 3) = 3 + 0 = 3

จะได a4 = 4 + 32 (4 – 1)(4 – 2)(4 – 3) = 4 + 4 = 8

163

นอกจากผลเฉลยทแตกตางกนแลว อาจจะมผลเฉลยเทากนแตสานวนตางกน เชน ในเฉลย 5

อาจมพจนท n คอ an = 2n – 1 + 24) -2)(n -1)(n -(n

จะได a1 = 21 – 1 + 24) - 2)(1 - 1)(1 - (1 = 20 + 0 = 1

a2 = 22 – 1 + 24) - 2)(2 - 1)(2 - (2 = 21 + 0 = 2

a3 = 23 – 1 + 24) - 2)(3 - 1)(3 - (3 = 22 – 1 = 3

a4 = 24 – 1 + 24) -2)(4 -1)(4 -(4 = 23 + 0 = 8

ตอไปนเปนตวอยางผลเฉลยของปรศนาทง 24 ปรศนา ปรศนา 1 เฉลย 1 ? คอ 7 เหตผล ในสวนของวงกลม 6 สวนจะมจานวนคและจานวนคปรากฏอยสลบกน ถาพจารณาการเรยงของจานวนแบบทวนเขมนาฬกา

ชดของจานวนคจะเพมขนทละ 4 เปน 6 , 10 , 14 ชดของจานวนคจะเพมขนทละ 2 เปน 3 , 5 , ? ดงนน ? คอ 7

เฉลย 2 ? คอ 10 เหตผล ในสวนของวงกลม 6 สวน ถาจบคจากสวนลางขนสวนกลาง และสวนบน ทละค ผลบวกจะเพมขนทละ 1 ดงน 5 + 10 = 15 6 + ? = 16 3 + 14 = 17 ดงนน ? คอ 10 เฉลย 3 ? คอ 11 เหตผล ในสวนของวงกลม 6 สวน ถาจบคสวนทอยตรงขามกนแลวดผลบวก จะไดผลบวกเปนจานวนเฉพาะทเรยงกนดงน 3 + 10 = 13 6 + ? = 17 5 + 14 = 19 ดงนน ? คอ 11

164

ปรศนา 2 เฉลย 1 ? คอ V เหตผล เนองจากสระในภาษาองกฤษม 5 ตวคอ A , E , I , O , U จะเหนวาลาดบ B , F , J , P , ? เปนลาดบตวอกษรในภาษาองกฤษทถดจากตวอกษรทเปนสระไปหนงตว

ตวอกษรถดจาก A คอ B ถดจาก E คอ F ถดจาก I คอ J ถดจาก O คอ P และถดจาก U คอ V ดงนน ? คอ V เฉลย 2 ? คอ P เหตผล ถาให A แทน 1 , B แทน 2 , C แทน 3 ,…, Z แทน 26 จะพบวา ลาดบ B , F , J , P , ? คอ ลาดบ 2 , 6 , 10 , 16 , ? ถาพจนกลางคอ 10 เปนคาเฉลยของผลบวกทกพจนจะได ผลบวก 2 + 6 + 10 + 16 + ? = 10 × 5 = 50 จะได ? = 16 แต 16 แทนดวย P ดงนน ? คอ P ปรศนา 3 เฉลย 1 ? คอ 2 เหตผล ผลคณของจานวนในวงกลมทอยรมสองขางของแตละแนวนอนจะเทากบจานวนทอยในวงกลมกลางบวกดวย 5 ของแถวนนดงน 4 × 6 = 24 = 19 + 5 5 × 7 = 35 = 30 + 5 4 × ? = 8 = 3 + 5 ดงนน ? คอ 2 เฉลย 2 ? คอ 16 เหตผล ผลบวกของจานวนในวงกลมทเรยงตวเปนเครองหมายบวกตามแนวนอนและแนวตงจะมคาเพมขน 10 ดงน แนวนอน 5 + 30 + 7 = 42

แนวตง 3 + 30 + 19 = 52 ดงนน ผลบวกของจานวนในวงกลมทเรยงตวเปนเครองหมายคณ ตามแนวทแยงลางซายไป

บนขวา และลางขวาไปบนซาย จะตองมคาเพมขน10 ดงนน แนวทแยงลางซายไปบนขวา 4 + 30 + 6 = 40 แนวทแยงลางขวาไปบนซาย ? + 30 + 4 = 50 ดงนน ? คอ 16

165

ปรศนา 4 เฉลย 1 ? คอ U เหตผล 1 ถาให A แทน 1 , B แทน 2 , C แทน 3 , … , Z แทน 26 แลวขนตนใหมเปน A แทน 27 , B แทน 28 , C แทน 29 , … , Z แทน 52

จะไดแถวทง 3 คอ 3 5 8 12 17 23 30 38 ?

จะพบวา ถาเขยนเรยงจากแถวท 1 ตอดวยแถวท 2 และแถวท 3 จะได 3 5 8 12 17 23 30 38 ? = 47

การเพม 2 3 4 5 6 7 8 9 จากการเพม จะพบวา 38 + 9 = 47 ซงในการแทนคาตวอกษร ชดท 2 จาก A = 27 B = 28 พบวา U = 47 ดงนน ? คอ U

เฉลย 2 ? คอ Z เหตผล 2 ถาให A แทน 1 , B แทน 2 , C แทน 3 , … , Z แทน 26

จะไดแถวทง 3 คอ 3 5 8 12 17 23

4 12 ? จะพบวา ถาหาผลบวกตามแนวทแยงหลกท 1 และ 2 ทละสองแถวคาจะเพมขน 3 และผลบวกตามแนวทแยงหลกท 2 และ 3 ทละสองแถวกจะมคาเพมขน 3

จะได ? = 26 ซง Z แทน 26

ดงนน ? คอ Z

166

ปรศนา 5 เฉลย 1 ? คอ 17 เหตผล จากรปสามเหลยมดานบนสองรป ผลตางของจานวนในตาแหนงเดยวกนของรปสามเหลยมทงสองคอ จานวนในตาแหนงเดยวกนนนของรปสามเหลยมรปทสามดานลาง

ตาแหนง รปท 1 รปท 2 ผลตาง รปท 3 มมยอด ภายใน

มมลางซาย มมลางขวา

9 2 7 2

2 7 11 19

| 9 – 2 | = 7

| 2 – 7 | = 5

| 7 – 11 | = 4

| 2 – 19 | = 16

7 5 4

? = 17

ดงนน ? คอ 17 เฉลย 2 ? คอ 4 เหตผล ผลบวกของจานวนในตาแหนงเดยวกนของรปสามเหลยมทงสามจะเพมขนทละ 4 โดย เรมตนจากตาแหนงภายใน ไปมมยอดมมลางซาย และ มมลางขวา ดงน

ตาแหนง รปท 1 รปท 2 รปท 3 ผลบวก เพมขน ภายใน มมยอด

มมลางซาย มมลางขวา

2 9 7 3

7 2 11 19

5 7 4 ?

14 18 22 26

จาก 3 + 19 + ? = 26 ดงนน ? คอ 4 ปรศนา 6 เฉลย 1 ? คอ C เหตผล ตวอกษรทมมยอดของรปดาวจะเปนตวกาหนดการเพมขน ของตวอกษรในลาดบของแตละรปดาว ซงทศทางของลาดบจะเรมตนทไหลดานขวาของรปดาวแลววนแบบตามเขมนาฬกา ดงน

รปท ตวกาหนดการ

เพมขนของลาดบ ลาดบ

1 B = 2 H J L N

8 10 12 14

2 D = 4 C G K O 3 7 11 15

3 ? = H K N Q 8 11 14 17

167

จะเหนวาลาดบในรปท 3 คอ 8 , 11 , 14 , 17 เพมขนทละ 3 ซง C = 3 ดงนน ? คอ C เฉลย 2 ? คอ N เหตผล ผลบวกของจานวนทมมยอดของรปดาวสองรปรมในตาแหนงทตรงกน ลบดวยจานวนทมมยอด ของรปดาวตรงกลางมคาเพมขนตาแหนงละ 1 โดยเรมตนจากมมบนแบบตามเขมนาฬกา

รป ลาดบ ซาย ขวา กลาง

B = 2 ?

D = 4

H = 8 H = 8 C = 3

J = 10 K = 11 G = 7

L =12 N = 14 K = 11

N = 14 Q = 17 O = 15

ผลลพธ 2 + ? - 4

= 12 8 + 8 - 3

= 13 10 + 11 - 7

= 14 12 + 14 - 11

= 15 14 + 17 - 15

= 16

จะเหนวา 2 + ? – 4 = 12 จงได ? คอ 14 ซง N = 14 ดงนน ? คอ N ปรศนา 7 เฉลย 1 ? คอ 5 เหตผล สานวนท 1 จานวนในแถวท 3 ของตารางไดจากผลบวกของจานวนในแถวท 1 กบแถวท 2 ของตาราง ขณะเดยวกนจานวนในแถวท 6 ของตารางไดจากผลบวกของจานวนในแถวท 4 กบแถวท 5 ของตาราง จะเหนไดวา 4 + 1 = ? = 5 ดงนน ? คอ 5 สานวนท 2 ผลบวกเลขโดดในแตละแถวนบจากแถวบนลงแถวลาง เชน แถวท 1 0 + 6 + 0 + 3 + 1 + 0 = 10 → 1 + 0 = 1 แถวท 2 1 + 3 + 0 + 8 + 0 + 7 = 19 → 1 + 9 = 10 → 1 + 0 = 1 แถวท 3 ไดผลเปน 2 แถวท 4 ไดผลเปน 3 แถวท 5 ไดผลเปน 5 พจารณาจากผลทไดของเลขโดดจากแถวท 1 ถงแถวท 5 เขยนเปนลาดบไดดงน 1 , 1 , 2 , 3 , 5 พบวาพจนทสาม, ส, และหา ไดจากผลบวกของสองพจนทอยขางหนา ดงนน พจนทหกคอ 3 + 5 = 8

นนคอ 8 + 3 + 4 + 9 + 6 + ? = 30 + ? → 3 + 0 + ? = 8 ดงนน ? คอ 5

168

ปรศนา 8 เฉลย 1 ? คอ 35 เหตผล จากแผนภาพ 5 7 11 19 ? 2 4 8 16 ผลตางของลาดบ มคาเพมขนเปน 21, 22, 23, 24 จะได ? = 19 + 24 = 19 + 16 = 35 ดงนน ? คอ 35 เฉลย 2 ? คอ 29 เหตผล จากแผนภาพ

5 7 11 19 ? \ + / \ + / \ + / \ + / 12 18 30 48

6 12 18 จะได 19 + ? = 48 ดงนน ? คอ 29 ปรศนา 9 เฉลย 1 ? คอ ชด 1 หรอ ชด 3 หรอ ชด 5 เหตผล จานวนทเหมอนกนใน ตองอยในตาแหนงทสมมาตรกบจดกงกลางของรป เฉลย 2 ? คอ ชด 5

เหตผล ถาแบงรปใหญเปน 4 สวนเทากนแตละสวนเปนตารางขนาด 5 × 5 จะพบวาสวนท

แหวงเมอนาจานวนในกากบาทชด 5 มาเตมแลว จะทาใหจานวนในแตละ ตารางขนาด 5 × 5 นน หมน 90° แบบตามเขมนาฬกา และเคลอนทวนแบบทวนเขมนาฬกา ปรศนา 10 เฉลย 1 นาฬกา C เหตผล เมอพจารณาเวลาในนาฬกาแตละเรอน จะพบวา ผลบวกเลขโดดเทากบ 15

ดงนน 9:24 → 9 + 2 + 4 = 15

169

5:55 → 5 + 5 + 5 = 15 6:45 → 6 + 4 + 5 = 15 8:16 → 8 + 1 + 6 = 15 นาฬกา C เวลา 3:39 → 3 + 3 + 9 = 15 เฉลย 2 นาฬกา A , C และ D เหตผล เมอนาเวลาในนาฬกาแตละเรอนมาเขยนเปนจานวนจะได 924 , 555 , 645 , 816 ซง แตละจานวนจะหารดวย 3 ลงตว จากนาฬกา A , C , D จะไดจานวนทง 3 คอ 714 , 339 และ 459 ซงหารดวย 3 ลงตว ปรศนา 11 เฉลย 1 ? คอ รป C เหตผล • เคลอนทแบบทวนเขมนาฬกาทละ 1 ชอง × เคลอนทแบบตามเขมนาฬกาทละ 1 ชอง สวนทแรเงาตง เคลอนทแบบตามเขมนาฬกาทละ 2 ชอง สวนทแรเงานอน เคลอนทแบบทวนเขมนาฬกาทละ 3 ชอง เฉลย 2 ? คอ รป D หรอ E เหตผล รปจากโจทย • และ × จะอยในชองทหางกน ตรงขามกน และชองเดยวกน ยงขาดในชองทอยตดกน ซงคอรป D และ E ปรศนา 12 เฉลย 1 ? คอ R เหตผล สานวนท 1 ลาดบ C D F J ? คา 3 4 6 10 ซง 3 , 4 , 6 , 10 มพจนทวไปเปน a1 = 3 และ an = 2an - 1 – 2 เมอ n ≥ 2 จะได a1 = 3 a2 = 2a1 – 2 = 6 – 2 = 4 a3 = 2a2 – 2 = 8 – 2 = 6 a4 = 2a3 – 2 = 12 – 2 = 10 a5 = 2a4 – 2 = 20 – 2 = 18 ซง R แทน 18 ดงนน ? คอ R

170

สานวนท 2 เหตผล จากแผนภาพตอไปน

C D F J ? กบตาแหนงตวอกษร 3 4 6 10

1 2 4 8 20 21 22 23

จะเหนวา ? = 10 + 8 = 18 ดงนน ? คอ R เฉลย 2 ? คอ V

เหตผล จากแผนภาพตอไปน C D F J ?

กบตาแหนงตวอกษร 3 4 6 10 ลาดบ 3 , 4 , 6 , 10 ม a1 = 3

an = an - 1 + 2n - 2 + (n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4) เมอ n ≥ 2

จะได a1 = 3 a2 = a1 + 22 - 2 + 0 = 3 + 1 + 0 = 4 a3 = a2 + 23 - 2 + 0 = 4 + 2 + 0 = 6 a4 = a3 + 24 - 2 + 0 = 6 + 4 + 0 = 10 a5 = a4 + 25 - 2 + (4 × 3 × 2 × 1) = 10 + 8 + 4 = 22 ซง V แทน 22 ดงนน ? คอ V ปรศนา 13 เฉลย 1 ? คอ 6 เหตผล รปแปดเหลยมน มผลบวกของจานวนทอยตรงกนขามรวมสจานวน เทากบ 30 เชน 11 + 6 + 4 + 9 = 30 5 + 1 + 10 + 14 = 30 8 + 13 + 7 + 2 = 30 จะได 12 + 9 + 3 + ? = 30

ดงนน ? คอ 6

171

เฉลย 2 ? คอ 0 หรอ 6 เหตผล ผลตางของจานวนทอยในรปสเหลยมคางหมใหญ และรปสเหลยมคางหมเลกทอย

ตดกน มคาเทากบคทอยตรงขาม

เชน | 11 – 6 | = | 9 – 4 | = 5

| 5 – 1 | = | 10 – 14 | = 4

| 8 – 13 | = | 7 – 2 | = 5

| 12 – 9 | = | 3 – ? | = 3 ดงนน ? คอ 0 หรอ 6 ปรศนา 14 เฉลย ? คอ 29 เหตผล สานวนท 1 ในรปสามเหลยมแตละรป ผลคณของจานวนทฐานของรปสามเหลยม ลบดวยจานวนทมม

ยอด จะเทากบจานวนภายในรปสามเหลยม สานวนท 2 ในรปสามเหลยมแตละรป ผลบวกของจานวนทมมยอดกบจานวนทอยภายในรป

สามเหลยมจะเทากบผลคณของจานวนทฐาน ปรศนา 15 เฉลย 1 ? คอ 3 เหตผล สานวนท 1 ในแตละแถว ผลบวกของจานวนทางซายของตวอกษร จะตางจาก ผลบวกของจานวน

ทางขวาของตวอกษร เทากบคาของตาแหนงของตวอกษรนนๆ เชน (9 + 3 + 2 + 4) – (4 + 5 + 2 + 1) = 6 ซง F อยในตาแหนงท 6 (4 + 9 + 8 + 4) – (6 + 1 + 0 + 5) = 13 ซง M อยในตาแหนงท 13 จะได (2 + 6 + 4 + 8) – (3 + 1 + 2 + 4) = 10 ซง J อยในตาแหนงท 10 ดงนน ? คอ J สานวนท 2 ในแตละแถว ผลบวกของจานวนทางซายของตวอกษรลบดวยคาประจาตาแหนงของ ตวอกษรนน จะเทากบผลบวกจานวนทางขวาของตวอกษร เชน แถว F คาประจาตาแหนงของ F คอ 6

จะได (9 + 3 + 2 + 4) – 6 = (4 + 5 + 2 + 1) แถว M คาประจาตาแหนงของ M คอ 13 จะได (4 + 9 + 8 + 4) – 13 = (6 + 1 + 0 + 5)

172

พจารณาแถว ? (2 + 6 + 4 + 8) – ? = (3 + 1 + 2 + 4) = 10 จะได ? อยในตาแหนงท 10 ดงนน ? คอ J ปรศนา 16 เฉลย ? คอ 6 เหตผล สานวนท 1 ในแตละรปดาว ผลบวกของจานวนสามจานวนทหวและแขนของ ดาวจะมคาเทากบ

จานวนทมตวเลขอยในตาแหนงทขาทงสองของดาว เชน 7 + 10 + 11 = 28 9 + 15 + 2 = 26 จะได 20 + 4 + 22 = 46 = 4 ? ดงนน ? คอ 6 สานวนท 2 ในแตละรปดาว ถานาสามจานวนขางบนมาเขยนเรยงกนแลวหาผลบวกจนเปนเลขโดด จะ

เทากบเลขโดด ทไดจากผลบวกของสองจานวนขางลาง

เชน 10711 → 1 + 0 + 7 + 1 + 1 = 10 → 1 + 0 = 1

และ 2 + 8 = 10 → 1 + 0 = 1

1592 → 1 + 5 + 9 + 2 = 17 → 1 + 7 = 8 และ 2 + 6 = 8

จะได 42022 → 4 + 2 + 0 + 2 + 2 = 10 → 1 + 0 = 1

และ 4 + ? → 1

จาก 4 + ? → 1 พบวา 4 + 6 = 10 → 1 + 0 = 1 ดงนน ? คอ 6

ปรศนา 17 เฉลย 1 ? คอ N เหตผล คาของตวอกษรทมมยอดของรปสามเหลยม จะเทากบผลตางของคาของตวอกษรทฐานทงสองของรปสามเหลยม ดงน

173

ตาแหนง รปท 1 รปท 2 รปท 3 มมยอด ฐาน(1) ฐาน(2)

E = 5 O = 15 J = 10

I = 9 U = 21 O = 12

G = 7 U = 21 ? = 14 = N

เฉลย 2 ? คอ Z เหตผล ผลรวมคาของตวอกษรในรปสามเหลยมท 1 หารดวย 6 ไดผลลพธเปน 5 ผลรวมคาของตวอกษรในรปสามเหลยมท 2 หารดวย 6 ไดผลลพธเปน 7 ผลรวมคาของตวอกษรในรปสามเหลยมท 3 หารดวย 6 ไดผลลพธเปน 9

รปท 1 รปท 2 รปท 3 E + O + J = 5 + 15 + 10 = 30

ซง 630 = 5

I + U + O = 9 + 21 + 12 = 42

ซง 642 = 7

G + U + ? = 17 + 21 + ? = 28 + ?

ซง 6? 28+ = 9

จงได ? = 26 ดงนน ? คอ Z

ปรศนา 18 เฉลย 1 ? คอ 9 เหตผล ผลบวกของจานวนทอยในสวนของวงกลมทมตาแหนงตรงกน ของวงกลมรมทงสองจะเทากบจานวนทอยในสวนของวงกลม วงกลางทมตาแหนงตรงกนกบจานวนทบวกกน

ซงจะได 2 + 8 = 10 , 9 + 4 = 13 , 3 + ? = 12 ดงนน ? คอ 9 เฉลย 2 ? คอ 2 หรอ 9 เหตผล ผลบวกของจานวนในแตละวงกลมจะหารดวย 7 ลงตว สาหรบวงกลมรมทงสองนน จานวนในแตละสวนของวงกลมตองเปนเลขโดด ดงน 2 + 9 + 3 = 14 หารดวย 7 ลงตว 10 + 13 + 12 = 35 หารดวย 7 ลงตว 8 + 4 + ? หารดวย 7 ลงตว ดงนน 8 + 4 + ? = 14 จะได ? คอ 2 ซงเปนเลขโดด หรอ 8 + 4 + ? = 21 จะได ? คอ 9 ซงเปนเลขโดด

174

ปรศนา 19 เฉลย 1 ? คอ 0 เหตผล ในกากบาทแตละรป จานวนทเปนเลขสองหลกดานบนของกากบาท บวกกบจานวนตรงกลางจะได จานวนทอยดานลางของกากบาทนนๆ

นนคอ 24 + 6 = 30 28 + 4 = 32 33 + 7 = 4 ? = 40 ดงนน ? คอ 0

เฉลย 2 ? คอ 6 เหตผล ผลบวกของจานวนทเปนเลขโดด ในกากบาทแตละรปจะหารดวย 4 แลวเหลอเศษ 3 และผลบวกเหลานนตองตางกนดวย นนคอ 2 + 4 + 6 + 3 + 0 = 15 ซง 15 หารดวย 4 เหลอเศษ 3 2 + 8 + 4 + 3 + 2 = 19 ซง 19 หารดวย 4 เหลอเศษ 3 3 + 3 + 4 + 7 + ? = 17 + ? ซง 17 + ? หารดวย 4 เหลอเศษ 3 นนคอ 17 + 6 = 23 ซง 23 หารดวย 4 เหลอเศษ 3

ดงนน ? คอ 6 หมายเหต กรณน ? คอ 2 ไมได เพราะจะทาให 17 + 2 = 19 มคาเทากบผลบวกของจานวนใน

กากบาทท 2

ปรศนา 20 เฉลย 1 ? คอ 4 เหตผล ในแตละหลก ผลบวกของจานวนคเทากบผลบวกของจานวนค ดงน

หลกท 1 หลกท 2 หลกท 3 หลกท 4 6 + 6 = 5 + 7 4 + 8 = 9 + 3 6 + 10 = 11 + 5 10 + ? = 7 + 7

ดงนน ? คอ 4 เฉลย 2 ? คอ 8 เหตผล ผลบวกของจานวนในหลกท 1 กบหลกท 2 มคาเทากน และผลบวกของจานวนใน

หลกท 3 กบหลกท 4 มคาเทากน ดงน หลกท 1 = หลกท 2 หลกท 3 = หลกท 4

5 + 6 + 6 + 7 = 9 + 4 + 3 + 8 6 + 11 + 10 + 5 =7 + 10 + 7 + ? ดงนน ? คอ 8

175

ปรศนา 21 เฉลย และเหตผล

รปเดมมพนท 24 3× = 6 ตารางหนวย

รปใหมมพนท 6 – 3 = 3 ตารางหนวย ปรศนา 22 เฉลย ? คอ 12 เหตผล สานวนท 1 ในแตละรป เมอเรมตนจากจานวนในรปสเหลยมมมบนซายเคลอนทแบบตามเขมนาฬกา

คาของจานวนจะเพมขนเปน 3 และ 4 ทกรป ดงน รปท ลาดบ

1 2 3 4

3 → 6 → 10 เพมขน 3 และ 4

2 → 5 → 9 เพมขน 3 และ 4

7 → 10 → 14 เพมขน 3 และ 4

5 → 8 → ? เพมขน 3 และ 4 ดงนน ? คอ 12

สานวนท 2 ในแตละรป สองเทาของจานวนในรปสเหลยม มมบนขวานอยกวาผลบวกของจานวนในรปสเหลยมทเหลออย 1 ดงน

รปท สมการ 1 (2 × 6) + 1 = 10 + 3 2 (2 × 5) + 1 = 9 + 2 3 (2 × 10) + 1 = 14 + 7 4 (2 × 8) + 1 = ? + 5

ดงนน ? คอ 12

176

ปรศนา 23 เฉลย ? คอ R เหตผล สานวนท 1 คาของตวอกษรทอยในวงกลม ชองเวนชอง สองชด

ชดแรกมคาเพมขน 6 ชดทสองมคาเพมขน 5 ดงน

ชดท 1 I → O → U → A 9 15 21 27

(A มคาเปน 1 รอบตอไปคอ 27)

ชดท 2 H → M → ? → W 8 13 18 23

จะได ? = 18

ดงนน ? คอ R สานวนท 2 คาตวอกษรจะเพมขนทละค โดยเพมจาก 1 เปน 2 เปน 3 และเปน 4 ดงน

H → I M → O ? → U W → A 8 9 13 15 18 21 23 27

1 2 3 4 จงได ? = 18 ดงนน ? คอ R ปรศนา 24 เฉลย และเหตผล

จตรสกลนมผลบวก ในแตละแนวเทากบ 15 คากลางของเลขโดด 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 คอ 5 กาหนดไวในวงกลมกลาง วงกลมทแรเงาและมตวเลขระบไวเปนตวเลขทกาหนดสวนทเหลอในแตละแนวจงเตมตวเลขใหครบ 15 จะได ผลตามตองการ

177

หนวยท 9 ลาดบของจานวนเชงรปเรขาคณต

ตอนท 9.1 ลาดบของจานวนเชง รปสามเหลยม และจานวนเชงรปสเหลยมจตรส ตอนท 9.2 ลาดบของจานวนเชงรปพรามด ฐานรปสามเหลยมดานเทา และฐานรป

สเหลยมจตรส ตอนท 9.3 ความสมพนธระหวางจานวนเชงรปเรขาคณต แนวคด 1. แบบรปทางคณตศาสตร เปนรปธรรมทสอใหเกดกระบวนการทางความคดไดอยาง

สรางสรรค และมเสรภาพนาไปสปฏบตการทางคณตศาสตรเพอสรางองคความรใหม พฒนาความรใหกวางและลกซงขน ทาใหมการพฒนาการในกระบวนการแกปญหาทด

2. ลาดบของจานวนเชงรปเรขาคณตเปนแบบรปหนงทางคณตศาสตรประกอบดวย ลาดบของจานวนเชงรปสามเหลยม รปสเหลยม และพรามด เปนตน

3. จานวนเชงรปเรขาคณตสามารถเขยนเปน ผลบวกของจานวนและรปทวไปได นอกจากน จานวนเหลานยงมความสมพนธกนได หลากหลายรปแบบ


เมอศกษาหนวยท 9 จบแลว นกเรยนสามารถ 1. สรางรปเรขาคณตทเกยวของกบ จานวนเชงรปเรขาคณตได 2. หาคาของจานวนเชงรปเรขาคณตได 3. หาความสมพนธหระหวางจานวนเชงรปเรขาคณตได 4. ใชสญลกษณ ∑ ทเกยวของกบจานวนเชงรปเรขาคณตได


1. อาจารยอธบายความหมายของรปแบบทางคณตศาสตร ลาดบของจานวนเชงรปเรขาคณต พรอมทงใหตวอยางลาดบของจานวนเชงรปสามเหลยม จานวนเชงรปสเหลยมจตรส จานวนเชงรปพรามดฐานรปสามเหลยมดานเทา และฐานรปสเหลยมจตรส

2. นกเรยนอภปรายความสมพนธระหวางจานวนเชงรปเรขาคณต ทงความสมพนธจากผลบวก และความสมพนธจากรปทวไป

3. นกเรยนทากจกรรมตามตวอยาง และแบบฝกหดเพอหาผลบวกของจานวน และรปทวไปของจานวนเชงรปเรขาคณต

178

สอการสอน 1. เอกสารการสอน 2. แบบฝกปฏบต 3. เครองฉายขามศรษะ



เรองท 9.1.1 ลาดบของจานวนเชงรปสามเหลยม 1. ลาดบของจานวนเชงรปสามเหลยม เมอเขยนจด • ใหเรยงตวกนเปนรปสามเหลยมจะได จานวนจดทแทนจานวนเรยงตวเปนลาดบดงน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . จานวน 1 3 6 10 5 ลาดบท 1 2 3 4 5 ... n ไดลาดบของจานวนเชงรปสามเหลยม คอ 1, 3, 6, 10, 15,…, 2

1 n ( n + 1 ) ทาไมจานวนเชงรปสามเหลยมลาดบท n มรปทวไป คอ 2

1 n ( n + 1 ) รปทวไปนอาจแสดงเหตผลประกอบไดดงน ถาเขยนจดเรยงกนเปนรปสเหลยมผนผาขนาด 4 × 5 จด แลวแบงเปนจานวนเชงรปสามเหลยมลาดบท 4 จะไดสองรปดงน

จะพบวาจานวนเชงรปสามเหลยม ลาดบท 4 คอ 10 และ 10 = 2

5x 4

ทานองเดยวกน ถาเขยนจดเรยงกนเปนรปสเหลยมผนผาขนาด n × (n+1) จด จะแบงจานวนเชงรปสามเหลยมลาดบท n ได สองรป

ตอนท 9.1 ลาดบของจานวนเชงรปสามเหลยม และจานวนเชงรปสเหลยมจตรส

179

จงได จานวนเชงรปสามเหลยมลาดบท n คอ 21 n(n+1)

ถาแทนจานวนเชงรปสามเหลยมลาดบท n ดวย ∆ nจะได ∆1 = 1 ∆2 = 3 ∆3 = 6 ∆4 = 10 ∆5 = 15 ∆n = 2

1 n(n+1)

2. ผลบวกจานวนนบ n จานวนแรก 1 + 2 + 3 + ... + n (เขยนแทนดวย ∑=

n

1ii อานวา ซกมาไอ

เมอไอมคาตงแตหนงถงเอน)

จานวน 1

1+2 = 3

1+2+3 = 6

1+2+3+4 = 10

1+2+3+4+5 = 15

ผลบวก ∑=

=1

1i1i

∑=

=2

1i3 i

∑=

=3

1i6 i ∑

==

4

1i10i ∑

==

5

1i15i

∆n ∆1 ∆2 ∆3 ∆4 ∆5


1. จงหาคาของ ∆n และคาของจานวนทกาหนดดงตอไปน (1) ∆10 , ∆11 , ∆99 , ∆100 และ ∆101

(2) ∆9+10 , ∆10+11 , ∆98+99 , ∆99+100 และ ∆100+101 (3) ∆1+∆2 , ∆2 +∆3 , ∆3 +∆4 , ∆99+ ∆100

2. จงหาความสมพนธระหวาง ∆n-1 , ∆n , n และ n2 เมอ n เปนจานวนเตมบวกทมากกวา 1

180

เรองท 9.1.2 ลาดบของจานวนเชงรปสเหลยมจตรส 1. ลาดบของจานวนเชงรปสเหลยมจตรส เมอเขยนจดใหเรยงตวกนเปนรปสเหลยมจตรสจะไดจานวนจดทแทนจานวนจะเรยงตวเปนลาดบดงน

จานวน 1 4 9 16 25 ลาดบท 1 2 3 4 5 ... n ไดลาดบของจานวนเชงรปสเหลยมจตรส คอ 1, 4, 9, 16, 25, …, n2 ไดลาดบของจานวนเตมบวกทยกกาลงสองหรอลาดบของ n2 คอ 12, 22, 32, 42, 52,…, n2 ถาแทนจานวนเชงรปสเหลยมจตรสท n ดวย n จะได

1 = 12 2 = 22 3 = 32 4 = 42 5 = 52 และ n = n2

2. ผลบวกของจานวนคบวก n จานวนแรก 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) จากจานวนเชงรปสเหลยมจตรสเมอพจารณาแนวหกเปนมมฉาก( )จะพบการเรยงตวของจดเพมขนเปนลาดบของจานวนค ดงรป

1 1+3 = 4 1+3+5=9 1+3+5+7=16 1+3+5+7+9=25 1=12 1+3 = 22 1+3+5=32 1+3+5+7=42 1+3+5+7+9=52 สอดคลองกนกบรปทวไปทวาผลบวกของจานวนบวกค n จานวนแรกเทากบ n2 นนคอ 1+3+5+...+(2n-1)= n2

ซง 1+3+5+...+(2n-1) เขยนในรปซกมาไดเปน ∑=

−n

1i1)(2i อานวา ซกมาของสองไอลบหนงเมอ

ไอมคาตงแตหนงถงเอน

จงได n = n2 = ∑=

−n

1i1)(2i

181


1. จงเขยน n ในรปผลบวกของจานวนคบวก n จานวนแรกจาก n ตอไปน 3 , 5 , 7 , 10 , 21 และ 25 2. จงศกษาแบบรปของ n2 และ n3 ดงน

1 = 12 1 = 13

1 + 3 = 22 3 + 5 = 23 1 + 3 + 5 = 32 7 + 9 + 11 = 33 1 + 3 + 5 + 7 = 42 13 + 15 + 17 + 19 = 43 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 53 พบวา 13 = 12 = 1 13 + 23 = 1 + 3 + 5 = 3 13 + 23 + 33 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 62 = 6

จงเขยน 10 ในรปของผลบวกกาลงสามของจานวนนบทเรยงกน เรมจาก 13 3. จงหาความสมพนธระหวาง n-1, n , n และ n2 เมอ n เปนจานวนเตมบวกทมากกวา 1 4. พจารณาแบบรปลาดบของการบวกตอไปน 1 = 1 = 12

1 + 2 + 1 = 4 = 22 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9 = 32

1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16 = 42 1 + 2 + 3 + 4 +5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25 = 52

• • •

• • •

• • •

จะพบวา 1 +2+3+…+ ( n –1 ) + n + ( n –1 ) + … +3 + 2 +1 = n2 ถาเรยกการบวกลกษณะนวา “การบวกแบบขนบนได” และเรยกผลบวกทไดวาจานวนขนเชงบนได เขยนแทนดวย n จะพบวา n = n จงหาความสมพนธระหวาง n-1 , n , n และ n2 เมอ n เปน จานวนเตมบวกทมากกวา 1

182

เรองท 9.2.1 ลาดบของจานวนเชงพรามดฐานรปสามเหลยมดานเทา

1. ลาดบของจานวนเชงพรามดฐานรปสามเหลยมดานเทา ถาวางลกกลมใหเปนพรามดฐานรปสามเหลยมดานเทา จะไดจานวนลกกลมแทนจานวนทเรยงตว

กนเปนลาดบดงน

จานวน 1 4 10 20 35 ลาดบท 1 2 3 4 5 ... n ไดลาดบของจานวนเชงพรามดฐานรปสามเหลยมดานเทา คอ 1, 4, 10, 20, 35, …, 6

1 n ( n+ 1 )( n +2 ) ทาไมจานวนเชงพรามดฐานรปสามเหลยมดานเทา ลาดบท n มรปทวไปคอ 6

1 n ( n+ 1 )( n +2 ) ในการสรางจานวนเชงพรามดฐานรปสามเหลยมดานเทาลาดบท n จะพบวา เรมแรกการสรางฐาน

จะสรางเปนรป ∆n กอน แลวสรางชนตอไปเปนรป ∆n-1 ชนสงขนเปน ∆n-2 จนชนสดทายคอ ∆1 =1 รปทวไปอาจแสดงเหตผลประกอบไดดงน ถาแทนจานวนเชงพรามดฐานรปสามเหลยมดานเทา ลาดบท n ดวย ∆n จะได

1 = ∆1 = 1 2 = ∆1 + ∆2 = 1 + 3 = 4 3 = ∆1 + ∆2 + ∆3 = 1 + 3 + 6 = 10 4 = ∆1 + ∆2 + ∆3 + ∆4 = 1 + 3 + 6 + 10 = 20 5 = ∆1 + ∆2 + ∆3 + ∆4 + ∆5 = 1 + 3 + 6 +10 + 15 = 35

พจารณา 4 = 1 + 3 + 6 + 10 จะได 4 = 1 + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) หรอ 4 = 1 + (2+1) + (3+2+1) + (4+3+2+1) หรอ 4 = 4 + (3+3) + (2+2+2) + (1+1+1+1) เมอบวกตามแนวตงจะได 3 4 = (1+1+4) + (1+2+3) + (2+1+3) + (1+3+2) + (2+2+2) + (3+1+2)

+ (1+4+1) + (2+3+1) + (3+2+1) + (4+1+1) = 6 +6 +6 +6 +6 +6 +6 +6 +6 +6

ตอนท 9.2 ลาดบของจานวนเชงพรามดฐานรปสามเหลยมดานเทา และ ฐานรปสเหลยมจตรส

183

= 10 × 6 = (1+2+3+4 ) × (4+2) 3 4 = ∆4 ( 4+2 ) ถาเขยน 4 ในแบบรปการบวกจะเขยนดงน

4 =

และ

=

× 6 = (1+2+3+4) × (4+2)

ทานองเดยวกนจะได 3 5 = ∆5 (5 + 2) 3 n = ∆n (n + 2) ดงนน n = 3

1 ∆n (n + 2) = 6

1 n (n + 1)(n + 2)

2. ผลบวกของจานวนเชงรปสามเหลยม (เขยนแทนดวย ∑=

n

1 ii∆ อานวา ซกมารปสามเหลยมไอ

เมอไอมคาตงแตหนงถงเอน) จากจานวนเชงพรามดฐานรปสามเหลยมดานเทา จะพบวาการเรยงตวลกกลมจากฐานท

เปนรปสามเหลยมดานเทาจะซอนกนเปนรปสามเหลยมดานเทาขนมาเปนชนๆ โดยรปสามเหลยมดานเทาชนบนจะมความยาวดานนอยกวา ความยาวดานของรปสามเหลยมดานเทาชนลางทตดกนอย 1 หนวย

จะเหนไดวา 3 4 =

+

+

=

184

ถาพรามดสง 5 ชนจะพบวา ชนท 1 ถงชนท5 จะมลกกลมอยเปนจานวน 26 5⋅ , 2

54 ⋅ , 24 3⋅ , 2

3 2 ⋅ และ

22 1⋅ เมอเขยนเรยงใหม จะได 2

2 1⋅ , 23 2 ⋅ , 2

4 3⋅ , 254 ⋅ และ 2

6 5⋅

ถานามาบวกกนจะได 22 1⋅ + 2

3 2 ⋅ + 24 3⋅ + 2

54 ⋅ + 26 5⋅ = ∆1 + ∆2 + ∆3 + ∆4 + ∆5

นนคอ ∑=

5

1 i∆i = ∆1 + ∆2 + ∆3 + ∆4 + ∆5

จะได ∑=

n

1 i∆i = ∆1 + ∆2 + ∆3 + ... + ∆n …(1)

เนองจาก ∆i = 1+ 2 + 3 + ... + i …(2)

= ∑=

i

1 jj

จาก (1) และ (2) จงได

∑=

n

1 i ∆i = ∑

=

n

1 i ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑=

i

1 j j

แต n = ∑=

n

1 i ∆i

ดงนน n = ∑=

n

1 i ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑=

i

1jj

185

ตารางตอไปนเปนการเปรยบเทยบการหาคา ∑=

n

1 i ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑=

i

1 j j กบ ∑

=

n

1 i ∆i

ผลบวกในรปซกมาของซกมา ผลบวกในรปซกมาของ ∆i

1 = ∑=

1

1 i ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑=

i

1 jj

= ∑=

1

1 j

= 1

1 = ∑=

1

1 i∆i

= ∆1 = 1

2 = ∑=

2

1i ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=∑

i

1 j j

= ∑=

1

1 jj + ∑

=

2

1 jj

= 1 + (1+2) = 4

2 = ∑=

2

1 i∆i

= ∆1+ ∆2 = 1 + (1+2) = 4

3 = ∑=

3

1 i ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑=

i

1 jj

= ∑=

1

1 jj + ∑

=

2

1 j j + ∑

=

3

1 jj

= 1 + (1+2) + (1+2+3) = 10

3 = ∑=

3

1 i∆i

= ∆1+ ∆2+ ∆3 = 1 + (1+2) + (1+2+3) = 10

นอกจากน เนองจาก n = 6

1 n (n + 1)(n + 2)

และ n = ∑n

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑

i

j = ∑n ( 2

1 i(i +1)) = ∑n ( 2

1 (i2 + i))

จงได ∑n

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑

i

j = 61

n (n + 1)(n + 2)

และ ∑n ( 2

1 (i2 + i)) = 61

n (n + 1)(n + 2)

J = 1

J = 1

i = 1 i = 1

i = 1

i = 1

i = 1

186


1. จงหาคาของ n ดงตอไปน 6 , 7 , 10 , 50 และ 100 2. จงเขยน n ในรป n-1 และ n เมอ n เปนจานวนเตมบวกมากกวา 1

3. จงเขยน 4 และ 5 และ 6 ในรปซกมาของ ∆i และซกมาของซกมา เรองท 9.2.2 ลาดบของจานวนเชงพรามดฐานรปสเหลยมจตรส 1.ลาดบของจานวนเชงพรามดฐานรปสเหลยมจตรส

ถาวางลกกลมใหเปนพรามดฐานรปสเหลยมจตรสจะไดจานวนลกกลมแทนจานวนท เรยงตวกนเปนลาดบดงน

จานวน 1 5 14 30 55 ลาดบท 1 2 3 4 5 ไดลาดบของจานวนเชงพรามดฐานรปสเหลยมจตรสคอ 1, 5, 14, 30, 55, .., 6

1 n (n + 1)(n + 2)

ทาไมจานวนเชงพรามดฐานรปสเหลยมจตรส ลาดบท n มรปทวไปคอ 61

n (n + 1)(n + 2) ในการสรางจานวนเชงพรามดฐานรปสเหลยมจตรส ลาดบท n จะพบวาเรมแรกเปนรป n= n2

จนถงชนสดทาย คอ 1 = 1 การสรางฐานจะสรางเปนรป n กอนแลวสรางชนตอไปในรป n-1 ชนสงขน ถาแทนจานวนเชงพรามดฐานรปสเหลยมจตรสดวย n จะได

1 = 1 , 2 = 1 + 2 , n = 1 + 2 + 3 + ... + n รปทวไปน อาจแสดงโดยแบบรปของจานวนทบวกกนดงน

187

1 12 1 2 1 22 1 2 3 2 1 32 1 2 3 4 3 2 1 42 1 2 3 4 4 3 2 1 2 3 4 4 3 2 1 3 4 4 3 12 2 4 4 22 3 32 4 42 จากรปจะพบวา 3 ( 12 + 22 + 32 + 42 ) = 9 ( 1+2+3+4 ) 3 4 = 9 ∆4

= (( 2 × 4 ) + 1 ) ∆4 ทานองเดยวกนสาหรบ 5 จะได

3 5 = (( 2 × 5 ) + 1 ) ∆5 และ 3 n = ( 2n + 1) ∆n = ( 2n + 1) 2

1 n(n+1) n = 6

1 n (n + 1)(2n + 1)

2. ผลบวกของกาลงสองของจานวนนบ n จานวนแรก (เขยนแทนดวย ∑=

n

1i2i อานวา ซกมาไอกาลง

สองเมอไอมคาตงแตหนงถงเอน) จากจานวนเชงพรามดฐานรปสเหลยมจตรสจะพบวาการเรยงตวลกกลมจากฐานทเปนรป สเหลยมจตรส จะซอนกนเปนรปสเหลยมจตรสขนมาเปนชนๆ โดยรปสเหลยมจตรสชนบนจะมความยาวดานนอยกวาความยาวดานของรปสเหลยมจตรสชนลางทตดกนอย 1 หนวย ถาพรามดสง 5 ชนจะพบวา ชนท 1 ถงชนท 5 จะมลกกลมเปนจานวน52 , 42 , 32 , 22 และ 12 เมอเขยนเรยงใหมจะได 12 , 22 , 32 , 42 , 52 ถานามาบวกกนจะได 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55 จานวนเชงพรามดฐานรปสเหลยมจตรสคดตามความยาวดานฐานไดดงน ฐาน 1 หนวย เทากบ 1 ฐาน 2 หนวย เทากบ 12 + 22 = 5 ฐาน 3 หนวย เทากบ 12 + 22 + 32 = 14

12

22 32 42

12

22 32 42

188

ฐาน 4 หนวย เทากบ 12 + 22 + 32 + 42 = 30 ฐาน 5 หนวย เทากบ 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55

จะได 1 = ∑=

1

1i2i = 12 = 1

2 = ∑=

2

1i2i = 12 + 22 = 5

3 = ∑=

3

1i2i = 12 + 22 + 32 = 14

4 = ∑=

4

1i2i = 12 + 22 + 32 + 42 = 30

5 = ∑=

5

1i2i = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55

และ n = ∑=

n

1i2i = 6

1 n (n + 1)(2n + 1)

แบบฝกหด 9.4 1. จงหาคา n ดงตอไปน 6 , 7 , 10 , 50 และ 100 2. จงเขยน n ในรป n-1 และ n เมอ n เปนจานวนเตมบวกมากกวา 1 เรองท 9.3.1 ความสมพนธ ระหวางจานวนเชงรปสามเหลยม จานวนเชงรป สเหลยมจตรสและ จานวนเชงขนบนได 1. ความสมพนธจากผลบวก ถาให ∆n เปนจานวนเชงรปสามเหลยมลาดบท n (กาหนด ∆0 = 0 ) n เปนจานวนเชงรปสเหลยมจตรสลาดบท n (กาหนด 0 = 0 )

n เปนจานวนเชงขนบนได (กาหนด 0 = 0) จะได ∆n = 1+2+3+ … + n

ตอนท 9.3 ความสมพนธ ระหวางจานวนเชงรปเรขาคณต

189

n = n2 = 1+3+5+ … + (2n – 1) n= n2 = 1+2+3+ … + (n – 1) + n + (n – 1) + … + 3+ 2 + 1 = (1+2+3+ … + (n – 1) + n) + (1+2+3+ … + (n – 1)) = ∆n + ∆n – 1 ดงนน n = n = ∆n + ∆n-1 2. ความสมพนธจากรปทวไป จากรปทวไปของ ∆n = 2

1 n(n+1) และ ∆n-1 = 2

1 (n – 1) n จะได ∆n + ∆n-1 = 2

1 n(n+1) + 21 (n – 1) n

= 21 (n(n+1) + (n – 1) n)

= 21 (n2 + n + n2 – n)

= n2 = n = n ดงนน n = n = ∆n + ∆n-1 เรองท 9.3.2 ความสมพนธระหวางจานวนพรามดฐานรปสามเหลยมดานเทา และจานวนพรามดฐานรปสเหลยมจตรส 1. ความสมพนธจากผลบวก ถาให n เปน จานวนเชงพรามดฐานรปสามเหลยมดานเทา ลาดบท n (กาหนด 0 = 0 ) n เปน จานวนเชงพรามดฐานรปสเหลยมจตรส ลาดบท n (กาหนด 0 = 0 ) จะได n = ∆1 + ∆2 + ∆3 + ... + ∆ n

n = 1 + 2 + 3 + ... + n พจารณา n = 1 + 2 + 3 + ... + n

= (∆0 + ∆1) + (∆1 + ∆2) + (∆2 + ∆3) + … + (∆n-2 + ∆ n-1) + (∆n-1 + ∆n) = (∆0 + ∆1 + ∆2 + … + ∆n-1 ) + (∆1 + ∆2 + ∆3 + … + ∆n) = n-1 + n

ดงนน n = n-1 + n นอกจากน n = n-1 + ∆n และ n-1 = n – ∆n จะได n = n-1 + n-1 + ∆n

= 2 n-1 + ∆n

190

จาก n = 2 n-1 + ∆n และ n-1 = n – ∆n จะได n = 2 n – 2∆n + ∆n = 2 n – ∆n 2. ความสมพนธจากรปทวไป จากรปทวไป ของ n = 6

1 n (n + 1)(n + 2)

และ n-1 = 61 (n – 1) n(n + 1)

จะได n + n-1 = 61

n (n + 1)(n + 2) + 61 (n – 1) n(n + 1)

= 61

n (n + 1) ((n + 2) + (n – 1)) = 6

1 n (n + 1) (2n + 1)

= n

191


ให n แทนจานวนเชงลกบาศกลาดบท n กาหนดโดย n = n3

และ ∑=

n

1 ii = 1 + 2 + 3 + … + n

= 13 + 23 + 33 + … + n3

= ∑=

n

1i3i

พจารณา แบบรปตอไปน 1 = 13 3 + 5 = 23 7 + 9 + 11 = 33 13 + 15 + 17 + 19 = 43 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 53 จะเหนวา 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 1 + 3 + 5 +…+ 29

ผลบวกจานวนคบวก 15 จานวนแรก ซงผลบวกจานวนคบวก n จานวนแรกเทากบ n2

ดงนน 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 152

และ 15 = ∆5 จงได 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (∆5)2

ในทานองเดยวกนจะได 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 = (∆6)2 นอกจากน 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (∆n)2

1. จงแสดงวา ∑=

n

1i3i = ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∑=

n

1ii 2 = 4

1 n4 + 2

1 n3 + 4

1 n2

2. จงแสดงวา n = n (∆n-1 + ∆n) 3. จงเขยน n – n ใหมผลลพธในรปทม n , ∆n-1 และ ∆n ปรากฏ 4. จงเขยน n – n ใหมผลลพธในรปทม n และ ∆i ปรากฏเมอ i = 1, 2,…, n

192

หนวยท 10 คณตศาสตร กบ ICT

ตอนท 10.1 ลาดบฟโบนกช (Fibonacci Sequences) ตอนท 10.2 เรขาคณตสาทสรป (Fractal Geometry) ตอนท 10.3 นกคณตศาสตร (Mathematicians)

แนวคด การศกษาคณตศาสตรใหลกซงขนจากเอกสารตาราทมอยได วธหนง คอการศกษาจาก internet โดยสบคนจาก Web sites ตางๆ สาหรบเรองลาดบฟโบนกช เรขาคณตสาทสรป และนกคณตศาสตรไมมการเรยนการสอนในหลกสตรมธยมปลายของประเทศไทย วธการศกษาดวยตนเองทดทสดวธหนง คอการศกษาจาก internet

วตถประสงค เมอศกษาหนวยท 10 แลวนกเรยนสามารถ 1. สบคนขอมลจาก internet ได 2. บอกประวตทมาและบทนยามของ ลาดบฟโบนกชได 3. บอกประวตทมาและ สรางรปเรขาคณตสาทสรปอยางงายได

4. บอกประวตเนอหาวชาคณตศาสตร และนกคณตศาสตรพรอมผลงานทสนใจได 5. ซาบซงคณตศาสตรทปรากฏในธรรมชาต 6. นาลาดบฟโบนกช และเรขาคณตสาทสรปไปบรณาการได

กจกรรม ใหนกเรยนสบคนขอมลทกาหนดจาก Web sites ทาบนทกยอบนแผนโปสเตอร พรอมทงรายงานสมบรณ 1 เลม

สอการสอน 1. คอมพวเตอร ทม internet 2. เครองพมพขอมลจาก internet

3. แผนโปสเตอร ประเมนผล ประเมนผลจากขอมลทสบคนมาได

193

การสบคน " ลาดบฟโบนกช " สบคนขอมลไดจากหลาย Web sites เชน

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fbonacci/fibBio.html http://faculty.evansville.edu/ck6/bstud/fibo.html http://www.andrews.edu/~colkins/math/biograph/199899/biofibo.htm http://www.geocities.com/cyd_conner/nature.html เมอสบคนแลวศกษาเรองตอไปน 1. ความเปนมา และบทนยามของลาดบฟโบนกช 2. ประวตของนกคณตศาสตรทเกยวของกบลาดบฟโบนกช 3. ลาดบฟโบนกชในธรรมชาต 4. การประยกตของลาดบฟโบนกช 5. Web sites และเรองอนๆ ทนาสนใจเกยวกบลาดบฟโบนกชเขยนหวขอทง 5 เปนรายงาน การสบคน" เรขาคณตสาทสรป " สบคนขอมลไดจาก Web sites เชน http://www.crystalinks.com/fractal.html http://math.bu.edu/DYSYS/FRACGEOM2/FRACGEOM2.htm http://classes.yale.edu/99-00/math190a/ http://members.aol.com/dcrolf/maths/fractals.htm เมอสบคนแลวศกษาเรองตอไปน 1. เรขาคณตสาทสรปคออะไร 2. การสรางรปสามเหลยม Sierpinski 3. การสรางเกรดหมะ Koch 4. รป Mandelbrot set และรป Julia set 5. ออกแบบเรขาคณตสาทสรปของตนเอง 6. Web site และเรองอนๆ ทนาสนใจเกยวกบเรขาคณตสาทสรป เขยนหวขอทง 6 เปนรายงาน

ตอนท 10.2 เรขาคณตสาทสรป (Fractal Geometry)

ตอนท 10.1 ลาดบฟโบนกช (Fibonacci Sequences)

194

การสบคนประวต และผลงานของนกคณตศาสตร สบคนไดจา ก Web sites เชน http://www.yahoo.com/Science/Mathematics/History/Mathematics http://www-groups.des.st-andrew.ac.uk/~history/ http://forum.swarthmore.edu/~steve/steve/mathhistory.html http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Day-files/Year.html http://dimacs.rutgers.edu/~judyann/calendar/Calendar.html เมอสบคนแลวศกษาเรองตอไปน 1. นกคณตศาสตรทมชอเสยง 6 คน ชาย 3 คน หญง 3 คน 2. นกคณตศาสตรทนกเรยนชอบนอกเหนอจาก 6 คนแรก อก 4 คน 3. ผลงานทนาสนใจของนกคณตศาสตร 4. ประวตผลงาน และแผนทบานเกดของนกคณตศาสตรทมวนเกดตรงกบวนเกดของนกเรยน เขยนหวขอทง 4 เปนรายงาน

ตอนท 10.3 นกคณตศาสตร

195

บรรณานกรม John H. Conway, Richard K. Guy. The Book of Numbers Springer-Verlag. New York, 1996. Edward B Burger, Michael Starbird. The Heart of Mathematics Key College Pullishing. CA,

USA, 1999. http : // www.mathforum.org/workshop/usi/pascal/mo.pascal.html ดารงค ทพยโยธา. รวมปญหาอปนยเชงคณตศาสตรและสารพนปญหาคณตศาสตร. กรงเทพมหานคร

: โรงพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2543. ศกดา บญโต. เวทคณต. ลาปาง : ศลปการพมพ, 2543. _______. อสมการ. กรงเทพมหานคร : โรงพมพการศาสนา, 2539. _______. คณตศาสตรชวนคด. วารสารคณตศาสตร หนา 38-49 ปรมา 46 ฉบบท 530-532

พฤศจกายน-ธนวาคม 2545 – มกราคม 2546.

_______. วธทวไปสาหรบตรวจสอบการหารลงตว. วารสารคณตศาสตร หนา 27-34 ปรมา 46 ฉบบท 527-529 สงหาคม-ตลาคม 2545. กรงเทพมหานคร: พทกษการพมพ

_______. อปนยวธทางคณตศาสตร. พมพโรเนยว 24 หนา, กรงเทพมหานคร, 2525. _______. หลกคณตศาสตร. พมพโรเนยว 147 หนา, กรงเทพมหานคร, 2522.

ผดาเนนการ ทปรกษา : ศาสตราจารย ดร. ร.ต.อ. วรเดช จนทรศร เลขาธการสภาการศกษา ดร. รงเรอง สขาภรมย ผอานวยการสานกอานวยการ คณะนกวจย : รองศาสตราจารย ศกดา บญโต หวหนาคณะวจย นายทรงวทย สวรรณธาดา นางกนกวล อษณกรกล คณะอาจารยผสอนคณตศาสตร โรงเรยนทเขารวมโครงการทง 9 โรง ผรบผดชอบโครงการ : นางสาวบญเทยม ศรปญญา หวหนาโครงการ นางกนกพร ถนอมกลน ประจาโครงการ นางสาวศศรศม สรกขกานนท ประจาโครงการ บรรณาธการและประสานงาน : นางสาวบญเทยม ศรปญญา นางกนกพร ถนอมกลน

เพอเปนการใชทรพยากรของชาตใหคมคา

หากทานไมใชหนงสอเลมนแลว โปรดมอบใหผอนนามาใชประโยชนตอไป

กลมงานโครงการพเศษ (โครงการเดกทมความสามารถพเศษ)

สานกงานเลขาธการสภาการศกษา (สกศ.) 99/20 ถนนสโขทย เขตดสต กรงเทพฯ 10300

โทรศพท 0 2668 7123 ตอ 2528 โทรสาร 0 2668 7329 Website : http://www.onec.go.th

รายชอโรงเรยนทเขารวมโครงการวจยเชงปฏบตการเรอง การพฒนารปแบบและหลกสตรการจดการศกษาเพอพฒนาผมความสามารถพเศษ

ดานคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนปลาย

*******************

1. โรงเรยนเตรยมอดมศกษา กรงเทพมหานคร 2. โรงเรยนบดนทรเดชา (สงห สงหเสน) กรงเทพมหานคร 3. โรงเรยนกรงเทพครสเตยนวทยาลย กรงเทพมหานคร 4. โรงเรยนสวนกหลาบวทยาลย กรงเทพมหานคร 5. โรงเรยนสตรวดมหาพฤฒารามในพระบรมราชนปถมภ กรงเทพมหานคร 6. โรงเรยนสตรวทยา กรงเทพมหานคร 7. โรงเรยนนวมนทราชนทศบดนทรเดชา กรงเทพมหานคร 8. โรงเรยนเบญจมเทพอทศจงหวดเพชรบร จงหวดเพชรบร 9. โรงเรยนสามคควทยาคม จงหวดเชยงราย

คู มือการสอน หลักสูตรเพิ่มพูน...

Documents