บทที่ 3 ความน่าจะเป็นjanya/88520159/...เหต การณ...

บทท 3ความนาจะเปน

88520159

PROBABIL ITY AND STATIST ICS FOR COMPUTING

1/66

ความนาจะเปน (Probability)

• การคาดคะเนผลทอาจเกดขนของเหตการณตาง ๆ

• ชวยในการตดสนใจ ตดสนใจปญหา

• การคาดคะเนนนอาจจะถกหรอผดกได

• มการก าหนดคาเปนตวเลขเพอบอกคาของการคาดคะเนวามโอกาสจะเกดขนตามทคาดไวมากนอยเพยงใด

2/66

การทดลองความนาจะเปน

• การทดลองความนาจะเปน (Probability experiment)

• กระบวนการในการทจะกอใหเกดชดของขอมล หรอ ผลลพธ (outcome)

• ไมสามารถคาดคะเนผลการทดลองลวงหนาไดวาผลจะเปนอยางไร

• การศกษาโอกาส (Chance) หรอความนาจะเปนของการทจะเกดผลแบบใดแบบหนงวาเปนเทาใด

3/66

ปรภมตวอยาง (Sample space)

• เซตของผลลพธทงหมดของการทดลองความนาจะเปนใด ๆ

• เขยนแทนดวยสญลกษณ S

• ผลแตละตวทเกดขนของปรภมตวอยาง เรยกวา จดตวอยาง (sample point) หรอ สมาชก (element)

4/66


ตวอยาง จงหาผลลพธทเปนไปไดทงหมด (sample space) ตอไปน

1. โยนเหรยญ 1 เหรยญ 1 ครง

S = {H, T} โดยท H หมายถง หวและ T หมายถง กอย

2. การโยนเหรยญ 2 อน 1 ครง

S = {HT, HH, TH, TT}

3. การโยนเหรยญ 3 อน 1 ครง เมอสนใจจ านวนเหรยญทขนหว

S = {0, 1, 2, 3}

5/66


ตวอยาง จงหาผลลพธทเปนไปไดทงหมด (sample space) ตอไปน

4. การทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง เมอสนใจแตมทได

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

5. การทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง เมอสนใจแตมทไดวาเปนเลขคหรอเลขค

S = {แตมค, แตมค}

6. โยนเหรยญ 1 เหรยญ และทอดลกเตา 1 ลก

S = {H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6}

6/66


ตวอยาง จงหาผลลพธทเปนไปไดทงหมด (sample space) ของการทดลอง โยนเหรยญ 1 เหรยญ หากขนหวจะโยนเหรยญอก 1 เหรยญ แตถาขนกอยจะโยนลกเตา 1 ลก

สามารถเขยนแผนภาพตนไมไดดงน

7/66

เหตการณ (Event)

• ไมไดสนใจผลลพธทเปนไปไดทงหมดทอาจะเกดขน

• แตสนใจผลลพธบางสวนทเกดขน

• เซตยอย (subset) ของปรภมตวอยาง เขยนแทนดวย E, A, B

ตวยาง ในการโยนเหรยญ 1 เหรยญ 2 ครง ผลลพธทงหมดทเปนไปไดคอ

S = {HH, HT, TH, TT}

ถา E1 เปนเหตการณทไดหว 2 ครง E1 = {HH}

ถา E2 เปนเหตการณทไดหวอยางนอย 1 ครง E2 = {HH, HT, TH}

ถา E3 เปนเหตการณทไมไดหวเลย E3 = {TT}


8/66


ตวอยาง จงหาเหตการณตอไปน

1. ในการตรวจสอบคณภาพของหลอดไฟ 2 หลอด จงเขยนเหตการณทผลการตรวจสอบไดหลอดไฟดอยางนอย 1 หลอด

S = {ดด, ดเสย, เสยด, เสยเสย}E = {ดด, ดเสย, เสยด}

2. การทดลองโยนเหรยญ 3 อน 1 ครง จงเขยนเหตการณตอไปนA = เหตการณทไดหว 2 เหรยญ, B = เหตการณทไดกอยอยางนอย 1 เหรยญ

S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}A = {HHT, HTH, THH}B = {HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

9/66

1. เทคนคการนบ (Counting Techniques)

• จ านวนผลลพธทเกดขนในการทดลองบางอยางมมากมาย

• ตองอาศยเทคนคการนบเขามาชวย

1.1 หลกการคณ (Multiplication Rule)

1.2 การเรยงสบเปลยน (Permutation)

1.3 การจดหม (Combination)

10/66


การทดลองหนงประกอบดวย r ขนตอน โดยขนตอนแรกเลอกท าได n1 วธ และ ขนตอนทสองเลอกท าได n2 วธ และ ขนตอนทสามเลอกท าได n3 วธ .. ขนตอนท k ท าได nr วธ จ านวนวธทงหมดจะเทากบ

n1 x n2 x n3 x … x nr วธ

11/66


1. หญงคนหนงมสรอย 5 เสน และตางห 6 ค จะเลอกเครองประดบไดกวธ (30 วธ)

วธคด ขนตอนท 1 เลอกสรอย ท าได 5 วธ

ขนตอนท 2 เลอกตางห ท าได 6 วธ

ดงนน จ านวนวธในการเลอกเครองประดบ เทากบ 5 x 6 = 30 วธ

2. จงหาจ านวนผลลพธในการโยนเหรยญ 1 เหรยญ พรอมกบทอดลกเตา 1 ลก (12 วธ)

12/66


3. การเดนทางจากเมอง A ไปยงเมอง B ตองผานทางบก ทางทะเล และทางอากาศ โดยทางบกม 2 เสนทาง ทางทะเลม 3 เสนทาง และทางอากาศม 2 เสนทาง จงหาจ านวนวธทจะเดนทางจาก A ไป B

(12 วธ)

4. สถานนรถไฟแหงหนงมชานชาลาจอดรถไฟทงหมด 7 ชานชาลา ถามรถไฟเขาจอด 4 ขบวน จะมวธจดรถไฟใหเขาจอดในชานชาลาไดกวธ (840 วธ)

13/66


5. มตวเลขอย 6 ตว คอ 1-6 ตองการสรางเลข 3 หลก โดยใชเลขซ าไดจะสรางไดทงหมดกจ านวน และถาหามใชเลขซ าจะสรางไดทงหมดกจ านวน

วธคด – กรณทเลขซ ากนหลกรอย สามารถเลอกใชตวเลขได วธหลกสบ สามารถเลอกใชตวเลขได วธหลกหนวย สามารถเลอกใชตวเลขได วธ

ดงนน จ านวนวธในการสรางเลข 3 หลก โดยทเลขซ ากนได 216 วธ- กรณทเลขไมซ ากน

หลกรอย สามารถเลอกใชตวเลขได วธหลกสบ สามารถเลอกใชตวเลขได วธหลกหนวย สามารถเลอกใชตวเลขได วธ

ดงนน จ านวนวธในการสรางเลข 3 หลก โดยทเลขไมซ ากนได 120 วธ14/66


6. มตวเลขอย 10 ตว คอ 0-9 ตองการสรางจ านวนเตมบวก 3 หลก มกจ านวนทหารดวย 5 ลงตว โดยแตละหลกมตวเลขไมซ ากน

วธคด กรณทหลกหนวยเปน 0หลกรอย สามารถเลอกใชตวเลขได วธหลกสบ สามารถเลอกใชตวเลขได วธหลกหนวย สามารถเลอกใชตวเลขได วธ (เลข 0)

กรณทหลกหนวยเปน 5หลกรอย สามารถเลอกใชตวเลขได วธหลกสบ สามารถเลอกใชตวเลขได วธหลกหนวย สามารถเลอกใชตวเลขได วธ (เลข 5)

ดงนน จ านวนวธทงหมดคอ 72 + 64 = 136 วธ

15/66


การน าสงของซงมอยทงหมด หรอบางสวนมาจด โดยถอวาล าดบมความส าคญ

ตวอยาง มตวอกษร 3 ตว คอ a, b, c ตองการน าตวอกษร 3 ตวนมาเรยงตอกนเปนขอความ จะท าไดกวธ

จะเหนวาเมอน าตวอกษร 3 ตวนมาเรยงตอกนเปนขอความ จะได{abc, acb, bac, bca, cab, cba}

ดงนน สามารถสรางขอความได 3! = 3 x 2 x 1 = 6 วธ

จ านวนวธจดล าดบของ n สงทแตกตางกนเปนแนวตรง จะสามารถจดไดn! = n x (n-1) x (n-2) x … x 1 วธ

เมอ 0! = 1

1

16/66


ตวอยาง มตวอกษร 3 ตว คอ a, b, c ตองการน าตวอกษร 2 ตว มาเรยงตอกนเปนขอความ จะท าไดกวธ

จะเหนวาเมอน าตวอกษร 2 ตว จากทงหมด 3 ตว มาเรยงตอกนเปนขอความ จะได

{ab, ac, ba, bc, ca, cb}ดงนน สามารถสรางขอความได P3,2 =

3!

3−2 != 3 x 2 = 6 วธ

จ านวนวธจดเรยงของ n สงทแตกตางกน โดยน ามาจดครงละ r สง เมอ r < n จะมวธจดได

Pn,r =𝑛!

𝑛−𝑟 !

2

17/66


ตวอยาง มตวอกษร 3 ตว คอ a, b, c ตองการน าตวอกษร 2 ตวนมาเรยงตอกนเปนขอความ โดยใหตวอกษรซ ากนได จะท าไดกวธ

จะเหนวาเมอน าตวอกษร 2 ตว จากทงหมด 3 ตว มาเรยงตอกนเปนขอความ โดยตวอกษรซ ากนได จะได

{aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc}

ดงนน มจ านวนวธเรยงสบเปลยนตวอกษรไดทงหมด 32 = 9 วธ

จ านวนวธในการจดล าดบของครงละ r สง จากของทงหมด n สง (r ≤ n) โดยอนญาตใหของซ ากนได จะมวธจดเรยงทงหมด nr วธ

3

18/66


1. ในการจดล าดบภาพยนตรทชนชอบทงหมด 4 เรอง สามารถจดล าดบแตกตางกนไดกวธ (24 วธ)

2. การออกรางวลเลขทาย 3 ตวโดยใหประกอบไปดวยเลข 2, 5, 7 จะออกรางวลไดทงหมดกวธ (6 วธ)

3. มวธเรยงสบเปลยนตวอกษร 6 ตว จากค าวา SUNDAY โดยไมใหใชตวอกษรซ ากนจะไดทงหมดกวธ (720 วธ)

19/66


4. มขอสอบอย 5 ขอ แจกใหนสต 3 คน คนละ 1 ขอ จะมวธแจกกวธ เพอให

4.1 นสตแตละคนไดขอสอบซ ากนได (125 วธ)

4.2 นสตแตละคนไดขอสอบซ ากนไมได (60 วธ)

5. จากค าวา BYTES จงหาจ านวนวธทจะจดเรยงตวอกษร 3 ตว โดยก าหนดวาจะตองขนตนดวยตวอกษร B (12 วธ)

20/66


6. ในการประชมของสมาคมศษยเกา ตองเลอกคณะกรรมการ ประกอบไปดวย ประธาน เหรญญก และเลขานการ หากมสมาชก 7 คน อยากทราบวาจะมคณะกรรมการทเปนไปไดจ านวนกชด (210 ชด)

7. การออกแบบวงจรไฟฟาโดยเลอกตวตานทาน 4 ชด จากตวตานทานทมความแตกตางกนทงหมด 8 ชด มาตออนกรมกน จงหาวามวงจรไฟฟาทเปนไปไดทงหมดกแบบ (1680 แบบ)

21/66


การจดหม คอ การจดของบางสวนหรอทงหมด โดยไมค านงถงล าดบ

ตวอยาง มตวอกษร 3 ตว คอ a,b,c ตองการจดกลมตวอกษร กลมละ 2 ตวไดกวธ

จะเหนวาจดได 3 วธคอ {a,b} , {a,c} , {b,c}

ขอสงเกต เมอไมค านงถงล าดบ {a,b} กบ {b,a} ถอเปนกลมเดยวกน นบเปนแค 1 วธ

ดงนน จดกลมตวอกษร ได 3C2=3!

2! 3−2 != 3 วธ

จ านวนวธจดหมของ n สงทแตกตางกน โดยน ามาจดทละ r สง คอnCr =

𝑛𝑟

=𝑛!

𝑟! 𝑛−𝑟 !

*การจดสงของลกษณะนจะเรยกวาเปนการจดสงของแบบสมไมใสคน

4

22/66


1. มลกบอลอย 5 สคอ สม ฟา แดง เขยว ด า ตองการเลอกมา 2 สจะเลอกไดทงหมดกวธ (10 วธ)

2. ในการเลอกกรรมการสมาคม 5 คน จากผสมครทงหมด 9 คน จะท าไดกวธ(126 วธ)

23/66


3. ในการเลอกกรรมการตดสนรองเพลงทงหมด 5 คน ตองการกรรมการผชาย 2 คน หญง 3 คน จากผสมครทเปนผชาย 5 คน ผหญง 7 คน จะสามารถเลอกกรรมการไดทงหมดกวธ (350)

24/66


4. ถามนกคณตศาสตร 5 คน นกฟสกส 7 คน และตองเลอกตวแทน 3 คน โดยท

4.1 ตวแทนทง 3 จะเปนใครกได

วธคด จะสามารถเลอกตวแทนได 12C3=12!

3! 12−3 != 220 วธ

4.2 มตวแทน 1 คนมาจากฟสกส

วธคด จะสามารถเลอกตวแทน 1 คนมาจากฟสกสได 7C1=7!

1! 7−1 != 7 วธ

และสามารถเลอกตวแทน 2 คนมาจากคณตศาสตรได 5C2=5!

2! 5−2 != 10 วธ

ดงนนสามารถเลอกตวแทน 3 คน โดยมตวแทนจากฟสกส 1 คน ได 7 x 10 = 70 วธ

25/66


4.3 มตวแทนอยางนอย 1 คนมาจากคณตศาสตร

วธคด - กรณท มตวแทน 3 คนมาจากฟสกสสามารถเลอกตวแทน 3 คนมาจากฟสกสได 7C3=

7!

3! 7−3 != 35 วธ

ดงนน จ านวนวธเลอกตวแทนอยางนอย 1 คนมาจากคณตศาสตร คดไดจาก จ านวนวธทงหมด - จ านวนวธเลอกตวแทน 3 คนมาจากฟสกส220 – 35 = 185 วธ

26/66


5. รานขายของเกาแหงหนงมแจกนโบราณอย 7 ใบ เปนแจกนมต าหนอย 3 ใบ ถาลกคามาซอแจกน 4 ใบ อยากทราบวาจะเปนไปไดกวธทลกคาจะไดแจกนมต าหนอยางนอย 2 ใบ (22 วธ)

วธคด - กรณทไดแจกนต าหน 2 ใบมแจกนต าหน 3 ใบ เลอกได 2 ใบ ไดC(3,2) = 3! / (2!(3-2)!) = 3 วธมแจกนปกต 4 ใบ เลอก 2 ใบ ได C(4,2) = 4! / (2!(4-2)!) = 6 วธจ านวนวธทไดแจกนต าหน 2 ใบ คอ 3*6 = 18 วธ

- กรณทไดแจกนต าหน 3 ใบมแจกนต าหน 3 ใบ เลอกได 3 ใบ ได C(3,3) = 3! / (3!(3-3)!) = 1 วธมแจกนต าหน 4 ใบ เลอกได 1 ใบ ได C(4,1) = 4! / (1!(4-1)!) = 4 วธจ านวนวธทไดแจกนต าหน 3 ใบ คอ 1*4 = 4 วธดงนน วธทลกคาจะไดแจกนมต าหนอยางนอย 2 ใบ คอ 18 + 4 = 22 วธ

27/66

2. ความนาจะเปนของเหตการณ (Probability of an event)

• ความนาจะเปน หมายถง ตวเลขทแสดงถงโอกาสของการเกดสงทเราสนใจ วามโอกาสเกดขนมากนอยเพยงใด

2.1 ความนาจะเปนแบบดงเดม (Classical probability)

2.2 ความนาจะเปนจากการทดลอง (Empirical probability)

28/66

ความนาจะเปนแบบดงเดม (Classical probability)

ก าหนดให A แทนเหตการณใด ๆ ของปรภมตวอยาง S และ n(A) แทนจ านวนเหตการณ A ทสนใจ และ n(S) แทนจ านวนเหตการณทงหมดในปรภมตวอยาง ดงนนความนาจะเปนของเหตการณ A เขยนแทน ดวย P(A) มคาดงน

𝑃 𝐴 =𝑛 𝐴

𝑛 𝑆

2.1 ความนาจะเปนแบบดงเดม

29/66


ตวอยาง ในการทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง จงหาความนาจะเปนของเหตการณตอไปน

1. ลกเตาขนแตม 3 (1

6)

2. ลกเตาขนแตมไมต ากวา 4 (1

𝟐)

30/66


ตวอยาง กลองใบหนงมหลอดไฟด 7 ดวง และหลอดไฟเสย 3 ดวง ปนกน สมหยบหลอดไฟมา 5 ดวง จงหาความนาจะเปนทไดหลอดไฟดทงหมด

วธคด 𝑛 𝑠 = 𝐶 10,5 =10!

5! 10−5 !วธ

𝑛 𝐸 = 𝐶 7,5 =7!

5! 7−5 !วธ

𝑃 𝐸 =𝑛 𝐸

𝑛 𝑆=

7! 5!

2! 10!=

1

12

ดงนน ความนาจะเปนทไดหลอดไฟดทงหมด คอ 1

12

31/66


ตวอยาง ในการจดนกบาสเกตบอล 7 คน ลงแขงในแตละต าแหนงทแตกตางกน 5ต าแหนง จงหาความนาจะเปนทจะจดใหนาย ก และนาย ข ลงในต าแหนงท 1 และ ท 2 ตามล าดบ

วธคด 𝑛 𝑠 = 𝑃 7,5 =7!

7−5 !วธ

𝑛 𝐸 = 𝑃 5,3 =5!

5−3 !วธ


𝑛 𝑆=

5!

7!=

1

42

ดงนน ความนาจะเปนทจะจดใหนาย ก และนาย ข ลงในต าแหนงท 1 และ ท 2 คอ 1

42

32/66


ตวอยาง ในส านกงานแหงหนง มเลขาอย 3 คน นกบญช 4 คน และพนกงานตอนรบ 2 คน หากตองการพนกงาน 3 คน มาเปนตวแทนของพนกงานในส านกงาน ใหหาความนาจะเปนท จะไดพนกงานในแตละต าแหนงๆละคน

วธคด 𝑛 𝑠 = 𝐶 9,3 =9!

3! 9−3 !วธ

𝑛 𝐸 = 3 𝑥 4 𝑥 2 = 24 วธ


𝑛 𝑆=

3!6!4!

9!=

2

7

ดงนนความนาจะเปนท จะไดพนกงานในแตละต าแหนงๆละคน คอ 2

7

33/66

2.2 ความนาจะเปนจากการทดลอง

ความนาจะเปนจากการทดลอง (Empirical probability)

ในการทดลองหนงมผลลพธทเปนไปไดทงหมด n ทาง และมผลลพธของเหตการณทเราสนใจ (เหตการณ A) อย m ทาง ดงนนความนาจะเปนของเหตการณ A เขยนแทน ดวย P(A) มคาดงน

𝑃 𝐴 =𝑚

𝑛

34/66


ตวอยาง จากการสอบถามนสตคณะวทยาศาสตรจ านวน 100 คน เกยวกบการถอนรายวชาตาง ๆ ทก าลงศกษาอย ไดขอมลแยกตามเพศ ดงน

ถาสมนสตมา 1 คน จงหา

1. ความนาจะเปนทนสตจะถอนรายวชาฟสกส (38

100)

2. ความนาจะเปนทนสตเปนผหญงและถอนรายวชาแคลคลส (12

100)

เพศรายวชาทถอน

รวมแคลคลส ฟสกส สถต

ชาย 25 18 19 62หญง 12 20 6 38รวม 37 38 25 100

35/66


ตวอยาง ในบนทกของโรงพยาบาลแสดงจ านวนวนทคนไขพกรกษาตวในโรงพยาบาล

จงหาความนาจะเปนท

1. คนไขอยโรงพยาบาล 5 วน (56

127)

2. คนไขอยโรงพยาบาลนอยกวา 6 วน (103

127)

3. คนไขอยโรงพยาบาลอยางมาก 4 วน (47

127)

จ านวนวนทพก จ านวนคนไข3 154 325 566 197 5

รวม 127

36/66

3. กฎของความนาจะเปน

คณสมบตของความนาจะเปน

ก าหนดให A เปนเหตการณใด ๆ ในปรภมตวอยาง S และ ∅คอเซตวาง คณสมบตของความนาจะเปนของเหตการณ A มดงน

1. 0 ≤ 𝑃 𝐴 ≤ 1

2. 𝑃 ∅ = 0 และ 𝑃 𝑆 = 1

3. σ𝑖=1𝑛 𝑃 𝐴𝑖 = 1

37/66

3.1 กฎการบวก (Addition Rules)

เหตการณทแยกจากกนโดยเดดขาด

A B

U

𝐴 ∩ 𝐵 = ∅

ถา A และ B เปนเหตการณทไมสามารถเกดขนพรอมกนได ความนาจะเปนทเหตการณ A หรอ B จะเกดขน คอ

𝑃 𝐴 หรอ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵

1

38/66


ตวอยาง ทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง จงพจารณาเหตการณตอไปนวาเปนเหตการณทเกดขนพรอมกนไดหรอไม

1. ไดแตมคและแตมค ไมสามารถเกดขนพรอมกนได

2. ไดแตม 3 และแตมค สามารถเกดขนพรอมกนได

3. ไดแตมคและแตมนอยกวา 4 สามารถเกดขนพรอมกนได

4. ไดแตมมากกวา 4 และนอยกวา 4 ไมสามารถเกดขนพรอมกนได

39/66


ตวอยาง ถาหยบไพ 1 ใบจากส ารบ ใหหาความนาจะเปนทจะมแตม 4 หรอ A

วธท า ให A คอเหตการณทไดแตม 4

B คอเหตการณทไดแตม A

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵

=4

52+

4

52=

8

52= 0.15

ดงนน ความนาจะเปนทนาจะเปนทจะมแตม 4 หรอ A เทากบ 0.15

40/66


ตวอยาง จตรกรคนหนงมหมวกสแดง 3 ใบ หมวกสด า 2 ใบ และหมวกสน าตาล 4 ใบ ถาจตรกรเลอกหมวกมาใสโดยการสม จงหาความนาจะเปนทจะเลอกไดหมวกสด าหรอน าตาล

วธท า ให A คอเหตการณทไดหมวกสด า

B คอเหตการณทไดหมวกสน าตาล𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵

=2

9+

4

9=

2

3= 0.66

ดงนน ความนาจะเปนทจะเลอกไดหมวกสด าหรอน าตาล เทากบ 0.66

41/66


ตวอยาง คณะวทยาการสารสนเทศมนสตจบการศกษาทงสนจ านวน 126 คน เปนสาขา SE จ านวน 50 คน สาขา CS จ านวน 23 คน สาขา IT จ านวน 38 คน และสาขา IF จ านวน 15 คน หากสมเลอกนสตมา 1 คน จงหาความนาจะเปนทจะไดนสตทจบจากสาขา SE หรอ IT หรอ IF

วธท า ให A คอเหตการณทนสตทจบจากสาขา SE

B คอเหตการณทนสตทจบจากสาขา IT

C คอเหตการณทนสตทจบจากสาขา IF

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 + 𝑃 𝐶

=50

126+

38

126+

15

126=

103

126= 0.82

ดงนน ความนาจะเปน เทากบ 0.82

42/66


เหตการณทไมแยกจากกนโดยเดดขาด

A B

U

𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅

ถา A และ B เปนเหตการณทเกดขนรวมกนหรอพรอมกนได ความนาจะเปนทเหตการณ A หรอ B จะเกดขน คอ

𝑃 𝐴 หรอ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

2

43/66


ตวอยาง ในการหยบไพ 1 ใบจากส ารบ จงหาความนาจะเปนทไดไพคงหรอไพสแดง

วธท า ให A คอเหตการณทไดไพคง

B คอเหตการณทไดไพสแดง

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

=𝟒

𝟓𝟐+

𝟐𝟔

𝟓𝟐−

𝟐

𝟓𝟐=

𝟐𝟖

𝟓𝟐= 0.54

ดงนน ความนาจะเปนทไดไพคงหรอไพสแดง เทากบ 0.54

44/66


ตวอยาง ในการทอดลกเตา 1 ลก ใหหาความนาจะเปนทจะไดแตมนอยกวา 3 หรอเปนเลขค

วธท า ให A คอเหตการณทแตมนอยกวา 3

B คอเหตการณทไดเลขค

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

=2

6+

3

6−

1

6=

4

6= 0.66

ดงนน ความนาจะเปนทจะไดแตมนอยกวา 3 หรอเปนเลขค เทากบ 0.66

45/66


ตวอยาง ในการสอบถามความคดเหนจ านวน 180 คน เกยวกบการโฆษณาเครองดมทผสมแอลกอฮอลในชวงทเวลากอน 22.00 น. ไดผลสรปดงน

ถาสมคนมา 1 คน

จงหาความนาจะเปนท

1. ตอบวาเหนดวย ( 37180

)

2. เปนผหญงและไมเหนดวย ( 65180

)

3. เปนผชายหรอเหนดวย ( 95180

)

4. เหนดวยหรอไมมความคดเหน ( 67180)

ความคดเหนเพศ

ชาย หญงเหนดวย 22 15

ไมเหนดวย 48 65ไมมความคดเหน 10 20

46/66

3.2 คอมพลเมนตของเหตการณ (Complement event)

ในการทดลองเชงสมใดๆ ถา A เปนเหตการณทเกดขน คอมพลเมนตของ A เขยนแทนดวย A’ ซงมคณสมบตดงน

1. 𝐴 ∪ 𝐴′ = 𝑆2. 𝐴 ∩ 𝐴′ = ∅

ถา 𝐴′ เปน Complementary event ของ 𝐴 แลว𝑃 𝐴′ = 1 – 𝑃 𝐴

47/66


ตวอยาง ทอดลกเตา 2 ลกพรอมกนหนงครง จงหาความนาจะเปนท

1. ลกเตาไมขนแตมหนงเลยแมแตลกเดยว

วธท า ให E คอเหตการณทลกเตาไมขนแตมหนงเลยแมแตลกเดยว

𝑃 𝐸 =25

36= 0.69

ดงนน ลกเตาไมขนแตมหนงเลย เทากบ 0.69

2. ลกเตาขนแตมหนงอยางนอย 1 ลก

วธท า ให E คอเหตการณทลกเตาไมขนแตมหนงเลยแมแตลกเดยว

E’ คอเหตการณทลกเตาขนแตมหนงอยางนอย 1 ลก

𝑃 𝐸′ = 1 – 𝑃 𝐴 = 1 −25

36= 0.31

ดงนน ลกเตาขนแตมหนงอยางนอย 1 ลกเทากบ 0.31

48/66


ตวอยาง ในการแจกรางวลครงหนง มผไดรบรางวล 3 คน และมรางวลให 8 อยาง ถาใหแตละคนเลอกรบรางวลคนละ 1 อยาง จาก 8 อยางน โดยจะเลอกรางวลซ ากนกได จงหาความนาจะเปนททง 3 คน จะเลอกรางวลซ ากนอยางนอย 1 ค

วธท า ให E คอเหตการณททง 3 คน จะเลอกรางวลซ ากนอยางนอย 1 ค

E’ คอเหตการณททง 3 คน จะเลอกรางวลไมซ ากนเลย

𝑛 𝑠 = 8 𝑥 8 𝑥 8 วธ

𝑛 𝐸′ = 8 𝑥 7 𝑥 6 วธ

𝑃 𝐸 = 1 –𝑃 𝐸′ = 1 −336

512= 0.66

ดงนน ความนาจะเปนทเลอกรางวลซ ากนอยางนอย 1 ค เทากบ 0.66

49/66


ตวอยาง ความนาจะเปนทนสตคนหนงจะสอบผาน Programming เทากบ 2/3 และความนาจะเปนทเขาสอบผาน Discrete เทากบ 4/9 ถาความนาจะเปนทเขาสอบผานทง 2 วชาเทากบ 1/5

ให A คอเหตการณทสอบผาน ProgrammingB คอเหตการณทสอบผาน Discrete

จงหาความนาจะเปนทนสตคนนจะ1. สอบผานอยางนอย 1 วชา

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 =2

3+

4

9−

1

5=

41

45= 0.91

2. สอบไมผานทง 2 วชา

𝑃 (𝐴 ∪ 𝐵)′ = 1 –𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 1 −41

45= 0.09

50/66

3.3 กฎการคณ (อสระ)

• กฎการคณ สามารถน ามาใชในการหาความนาจะเปนของเหตการณสองเหตการณหรอมากกวาทเกดขนตามล าดบ

• กฎการคณ กฎท 1 เหตการณเปนอสระกน โดยการเกดเหตการณแรกไมสงผลกระทบตอโอกาสทจะเกดเหตการณทสอง

• หาความนาจะเปนแตละเหตการณกอน และคณความนาจะเปนเขาดวยกน

ถา A และ B เปนเหตการณทเปนอสระกน ความนาจะเปนทเหตการณทงสองจะเกดขน เทากบ

𝑃 𝐴 และ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵

1

51/66


ตวอยาง ในการโยนเหรยญหนงเหรยญและทอดลกเตาหนงลก ใหหาความนาจะเปนทจะไดหวในการโยนเหรยญ และได 4 ในการทอดลกเตา

วธท า ให A คอเหตการณทโยนเหรยญแลวไดหว B คอเหตการณทการทอดลกเตาแลวได 4

ดงนนไดหวในการโยนเหรยญ และได 4 ในการทอดลกเตา คอ

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵

=1

2∙1

6

=1

12

= 0.083

52/66


ตวอยาง กลองใบหนงบรรจลกบอลสแดง 3 ลก สน าเงน 2 ลก และสขาว 5 ลก สมหยบมา 2 ครง โดยหยบทละลกแลวใสคนกอนหยบครงตอไป จงหาความนาจะเปนท ไดสน าเงนทง 2 ครง

วธท า ให A คอเหตการณทครงท 1 หยบลกบอลไดสน าเงน B คอเหตการณทครงท 2 หยบลกบอลไดสน าเงน

ดงนน ความนาจะเปนทหยบไดลกบอลสน าเงน 2 ลก คอ

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵

=2

10∙

2

10

=4

100

= 0.04

53/66


ตวอยาง กลองใบหนงบรรจลกบอลสแดง 3 ลก สน าเงน 2 ลก และสขาว 5 ลก สมหยบมา 2 ครง โดยหยบทละลกแลวใสคนกอนหยบครงตอไป จงหาความนาจะเปนท ไดสน าเงนและสขาวตามล าดบ

วธท า ให A คอเหตการณทครงท 1 หยบลกบอลไดสน าเงน B คอเหตการณทครงท 2 หยบลกบอลไดสขาว

ดงนน ความนาจะเปนทหยบไดลกบอลสน าเงนและสขาวตามล าดบ

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵

=2

10∙

𝟓

10

=10

100

= 0.1

54/66


ตวอยาง ในการหยบไพ 3 ใบแบบใสคน จงหาความนาจะเปนทไดไพควน คง และเอซ ตามล าดบ

วธท า ให A คอเหตการณทครงท 1 หยบไพไดควน

B คอเหตการณทครงท 2 หยบไพไดคง

C คอเหตการณทครงท 3 หยบไพไดเอซ

ดงนน ความนาจะเปนทหยบไดไพควน คง และเอซ ตามล าดบ

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝑃 𝐴 ∙ P B ∙ P 𝐶

=4

52∙4

52∙4

52=

64

140608

55/66

ความนาจะเปนแบบมเงอนไข (Conditional probability)

• ความนาจะเปนของเหตการณ B ภายใตเงอนไขวาเหตการณ A เกดขนแลว (Conditional probability of B given A) • เขยนแทนดวยสญลกษณ P(B|A) อานวา Probability of B given A

ตวอยาง โยนลกเตา 2 ลกพรอมกน

𝑆 =

1,1 1,2 1,32,1 2,2 2,33,1 3,2 3,3

1,4 1,5 1,62,4 2,5 2,63,4 3,5 3,6

4,1 4,2 4,35,1 5,2 5,36,1 6,2 6,3

4,4 4,5 4,65,4 5,5 5,66,4 6,5 6,6

ถาให A คอเหตการณทลกเตาลกแรกขนแตม 1B คอเหตการณทผลบวกของแตมของลกเตาทงสองนอยกวา 4

ความนาจะเปนของเหตการณ B ภายใตเงอนไขของเหตการณ A เกดขนแลว คอ 𝑃 𝐵 𝐴 =

2

6

56/66

3.3 กฎการคณ (ไมอสระ)

• เหตการณแรกมผลกระทบตอการเกดเหตการณทสอง จะกลาวไดวาทงสองเหตการณนน ไมเปนอสระตอกน (dependent)

• กฎการคณ กฎท 2 เมอเหตการณไมเปนอสระตอกน โดยการเกดเหตการณแรกจะสงผลกระทบตอโอกาสทจะเกดเหตการณทสอง

ถา A และ B เปนเหตการณทไมเปนอสระกน ความนาจะเปนทเหตการณทงสองจะเกดขน เทากบ

𝑃 𝐴 และ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵 𝐴

2

57/66

3.3 กฎการคณ (ไมอสระ)ตวอยาง คน ๆ หนงมแผน CD เพลงอย 30 แผน โดยเปนเพลงลกทง 5 แผน หากสมหยบ CD มา 2 แผน ทละแผนแบบไมใสคน ใหหาความนาจะเปนท CD ทงสองแผนจะเปนเพลงลกทง

วธท า ให A คอเหตการณทครงท 1 หยบไดเพลงลกทงB คอเหตการณทครงท 2 หยบไดเพลงลกทง

ความนาจะเปนทจะไดเพลงลกทงทงสองแผน คอ 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

𝑃 𝐴 =5

30

𝑃 𝐵 𝐴 =4

29

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵 𝐴 =5

30∙4

29=

20

870=

2

87

ดงนน ความนาจะเปนท CD ทงสองแผนจะเปนเพลงลกทง เทากบ 2

87

58/66

3.3 กฎการคณ (ไมอสระ)

ตวอยาง ในการหยบไพ 3 ใบ จากส ารบแบบไมใสคน ใหหาความนาจะเปนท1. ไดโพธด าทงสามใบ

วธท า ให A เปนเหตการณทหยบไพครงท 1 ได โพธด าB เปนเหตการณทหยบไพครงท 2 ได โพธด าC เปนเหตการณทหยบไพครงท 3 ได โพธด า

ความนาจะเปนทจะไดไพโพธด าทงสามใบ คอ 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶

𝑃 𝐴 =13

52

𝑃 𝐵 𝐴 =12

51

𝑃 𝐶 𝐵 =11

50

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵 𝐴 ∙ 𝑃 𝐶 𝐵

=13

52∙12

51∙11

50=

1716

132600=

11

850

ดงนน ความนาจะเปนทไดโพธด าทงสามใบ เทากบ 11850

59/66

กฎการคณ (ไมอสระ)

2. ไดไพเอซ, คง, และควน ตามล าดบ

วธท า ให A เปนเหตการณทหยบไพครงท 1 ได เอซ

B เปนเหตการณทหยบไพครงท 2 ได คง

C เปนเหตการณทหยบไพครงท 3 ได ควน

ความนาจะเปนทจะไดไพเอซ, คง, และควน ตามล าดบคอ 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶

𝑃 𝐴 =4

52

𝑃 𝐵 𝐴 =4

51

𝑃 𝐶 𝐵 =4

50

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵 𝐴 ∙ 𝑃 𝐶 𝐵

=4

52∙4

51∙4

50=

64

132600=

8

16575

ดงนน ความนาจะเปนทไดไพเอซ, คง, และควน ตามล าดบ เทากบ 8

16575

60/66


•ความนาจะเปนของเหตการณ B ภายใตเงอนไขวาเหตการณ A เกดขนแลว (Conditional probability of B given A)

• เขยนแทนดวยสญลกษณ P(B|A) อานวา Probability of B given A

ความนาจะเปนทเหตการณ B เกดขน หลงจากเหตการณ A เกดขนแลว หาไดจากสตร

𝑃 𝐵 𝐴 =𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

𝑃 𝐴

ความนาจะเปนทเหตการณ A เกดขน หลงจากเหตการณ B เกดขนแลว หาไดจากสตร

𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

𝑃 𝐵

หรอ

61/66


ตวอยาง ในหมบานแหงหนงมผมอายตงแต 20 ถง 60 ปอย 500 คน เมอแบงตามเพศและสภาพการมงานท าแลว ไดตวเลขดงน ถาเลอกคนในหมบานมา 1 คนเพอเปนตวแทนของหมบาน

1. หาความนาจะเปนทผไดรบเลอกเปนผชาย โดยก าหนดวาจะตองเปนผมงานท า

2. ถาก าหนดวาตองเปนผหญง จงหาความนาจะเปนทคนนนจะไมมงานท า

เพศการมงานท า

รวมมท า ไมมท า

ชาย 230 10 240หญง 70 190 260รวม 300 200 500

62/66


1. หาความนาจะเปนทผไดรบเลอกเปนผชาย โดยก าหนดวาจะตองเปนผมงานท า

วธท า ให A คอเหตการณทผมงานท า

B คอเหตการณทเปนเพศชาย

𝑃 𝐵 𝐴 =𝑃 𝐴∩𝐵

𝑃 𝐴=

230

500300

500

=230

500∙

500

300=

23

30

ดงนน ความนาจะเปนทผไดรบเลอกเปนผชาย โดยก าหนดวาจะตองเปนผมงานท า เทากบ

23

30

63/66


2. ถาก าหนดวาตองเปนผหญง จงหาความนาจะเปนทคนนนจะไมมงานท า

วธท า ให A คอเหตการณทเปนเพศหญง

B คอเหตการณทเปนไมมงานท า

𝑃 𝐵 𝐴 =𝑃 𝐴∩𝐵

𝑃 𝐴=

190

500260

500

=190

500∙

500

260=

19

26

ดงนน ความนาจะเปนทคนนนจะไมมงานท า ถาก าหนดวาตองเปนผหญง เทากบ

19

26

64/66


ตวอยาง กลองใบหนงบรรจเหรยญสด าและสขาว หากเราหยบเหรยญมาสองเหรยญโดยไมใสคน และทราบวาความนาจะเปนทหยบเหรยญหนงไดสด าและเหรยญหนงไดสขาวเทากบ 15/56 และความนาจะเปนทหยบเหรยญแรกเปนสด าคอ 3/8 ใหหาความนาเปนทจะหยบเหรยญทสองเปนสขาว เมอหยบเหรยญแรกไดสด า

วธท า ให A คอเหตการณทหยบเหรยญแรกเปนสด า

B คอเหตการณทหยบเหรยญทสองเปนสขาว

𝑃 𝐵 𝐴 =𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

𝑃 𝐴=

155638

=15

56∙8

3=5

7= 0.71

ดงนน ความนาเปนทจะหยบเหรยญทสองเปนสขาว เมอหยบเหรยญแรกไดสด า คอ 0.71

65/66


ตวอยาง ขอมลนเปนการส ารวจ IQ และการมยนเฉพาะชนดใดชนดหนงในเดกจ านวน 102 คน

ใหหาความนาจะเปนท

1. เดกคนหนงไมมยนเฉพาะชนดนอย (𝟑𝟎

𝟏𝟎𝟐)

2. เดกคนหนงจะม IQ สง โดยทมยนเฉพาะชนดนอยดวย (𝟑𝟑

𝟕𝟐)

3. เดกคนหนงไมมยนชนดนอย โดยทม IQ ต า (𝟏𝟏

50)

IQยน

รวมมยน ไมยน

สง 33 19 52ต า 39 11 50รวม 72 30 102

66/66

บทที่ 3 ความน่าจะเป็นjanya/88520159/...เหต การณ...

Documents