ติวสบายคณิต เล่ม 2 บทที่ 5 ฟังก์ชัน...

ติวสบายคณติ เล่ม 2 http://www.pec9.com บทที่ 5 ฟังก์ชัน

1

เฉลยตะลุยข้อสอบเข้ามหาวิทยาลยั บทที่ 5 ฟังก์ชนั

1. ตอบ 15 แนวคิด จาก A = { 0 , 1 , {0 , 1} , (0 , 1) } จะไดว้า่ n (A) = 4 ดงันั้น n (A x A) = n (A) x n (A) = 4 x 4 = 16 ตวั ต่อไปใหล้องเขียนสมาชิกของ A x A จะพบวา่ สมาชิก A x A จะมีสมาชิกซ ้ ากบั A อยู ่ 1 ตวั คือ (0 , 1) ดงันั้น จ านวนสมาชิกของ (A x A) – A = 16 – 1 = 15 ตวั

2. ตอบข้อ 2. แนวคิด โจทยบ์อก A มีสมาชิก 10 ตวั ดงันั้น n(AxA) = n(A) x n(A) = 10 x 10 = 100 และ n(A x A) x A = n(AxA) x n(A) = 100 x 10 = 1000 สุดท้ายจะได ้ จ านวนความสัมพนัธ์จาก (AxA) ไป A = 2n = 21000

3. ตอบข้อ 4. แนวคิด ขั้นที ่ 1 หา Dr

จาก x2 + y2 = 16 y2 = 16 – x2

เน่ืองจาก y2 0 จึงไดว้า่ 16 – x2 0 (น า –1 คูณตลอด) x2 – 16 0 (x + 4)(x – 4) 0

นัน่คือ Dr = [–4 , 4]

–4 4 + – +

http://www.pec9/


2

ขั้นที ่2 หา Ds จาก xy2 + x + 3y2 + 2 = 0

(xy2 + 3y2) = –x – 2 (x + 3) y2 = –x – 2 y2 = 3) (x

2) x (

จะไดว้า่ 3) (x 2) x (

0 ( น า –1 คูณตลอด)

3) (x 2) (x

0 เม่ือ x –3

นัน่คือ Ds = (–3, –2] สุดท้ายจะได ้ Dr Ds = [–4 , 4] (–3 , –2] = [–4 , 4] ช่วงท่ีไม่เป็นสับเซตของ Dr Ds คือ [3 , 5]

4. ตอบข้อ 2.

แนวคิด ข้อ ก. ถูก จาก y = 1 2x1

ดงันั้น 1 2x1

0

1) 1)(x (x 1

0 ( เม่ือ x –1 , +1 )

จะไดว้า่ Dr = (– , –1) (1 , )

ข้อ ข. ผดิ จาก y = 1 2x1

อินเวอร์สคือ x = 1 2y1

y2 – 1 = x 1

y2 = x 1 + 1

+ – + –1 +1

–3 –2 + – +

http://www.pec9/


3

y2 = x x 1

y = x x 1

5. ตอบข้อ 1. แนวคิด เรนจข์อง r–1 ก็คือโดเมนของ r นัน่เอง ดงันั้นขอ้น้ีจึงตอ้งหา Dr จาก 2x3 + 3xy2 – x2 + y2 = 0 (3xy2 + y2) = x2 – 2x3 (3x + 1) y2 = x2 – 2x3

y2 = 1)(3x 2x)(12x

จะไดว้า่ 1)(3x 2x)(12x

0 ( น า x2 หารตลอด )

1)(3x 2x)(1

0 ( น า –1 คูณตลอด )

1)(3x 1)(2x

0 เม่ือ x – 3

1

นัน่คือ 1rR

= Dr = (– 3

1 , 21 ]

6. ตอบ 32 แนวคิด โจทยบ์อก A = {1 , 3 , 5 , 7 , 9 } , B = {a , b} ดงันั้น จ านวนฟังกช์นัจาก A ไป B = n(B) n(A) = 25 = 32

7. ตอบข้อ 4. แนวคิด โจทยบ์อก A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 } , B = {a , b} ขั้นที ่1 จ านวนฟังกช์ัน่จาก A ไป B = n(B) n(A) = 25 = 32

ขั้นที ่2 ฟังกช์นัจาก A ไม่ทัว่ถึง B จะมี 2 ฟังกช์นัดงัแสดงในรูป

+ – +

– 31 2

1

http://www.pec9/


4

(1) (2)

สุดท้ายจะได ้ ฟังกช์นัจาก A ไปทัว่ถึง B = 32 – 2 = 30 ฟังกช์นั

8. ตอบข้อ 3. แนวคิด โจทยบ์อก A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } , B = {a , b} ขั้นที ่1 จ านวนฟังกช์นัจาก A ไป B = n(B)n(A) = 27 = 128

ขั้นที ่2 ฟังกช์นัจาก A ไม่ทัว่ถึง B จะมี 2 ฟังกช์นั (1) (2)

สุดท้ายจะได ้ ฟังกช์นัจาก A ไปทัว่ถึง B = 128 – 2 = 126 ฟังกช์นั

9. ตอบข้อ 4.

แนวคิด โจทยบ์อก n(A) = 8 , n(B) = 6 , n(AB) = 3 ดงันั้น n(B – A) = 6 – 3 = 3 ตวั n(A – B) = 8 – 3 = 5 ตวั สุดท้ายจะได ้ จ านวนฟังกช์ัน่ 1 – 1 จาก (B – A) ไป (A – B)

= Pn(A – B) , n(B – A) = P5 , 3 = 5 x 4 x 3 = 60

1 2 3 4 5

a b

a b

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6 7

a b

a b

1 2 3 4 5 6 7

http://www.pec9/


5

10. ตอบข้อ 3. แนวคิด โจทยบ์อก A = { 1 , 2 , 3 } และ B = { 3 , 4 } จะได ้ AB = { 1 , 2 , 3 , 4 } มีสมาชิก 4 ตวั A x B = { (1, 3) , (1, 4) , (2, 3) , (2, 4) , (3, 3) , (3, 4) } มีสมาชิก 6 ตวั

สุดท้ายจะได ้

จ านวนฟังกช์ัน่หน่ึงต่อหน่ึงจาก AB ไป AxB = Pn(AxB) , n(AB) = P6 , 4 = 6 x 5 x 4 x 3 = 360

11. ตอบข้อ 1. แนวคิด โจทยบ์อก A = {1 , 2 , 3} และ B = {a , b , c , d} ขั้นที ่1 จ านวนฟังกช์นัจาก A ไป B ทั้งหมด = n(B) n(A) = 43 = 64

ขั้นที ่ 2 จ านวนฟังกช์นัหน่ึงต่อหน่ึงจาก A ไป B = PB,A = P4,3 = 4 x 3 x 2 = 24 สุดท้ายจะได ้ จ านวนวธีิท่ีจะสร้างฟังกช์นัจาก A ไป B ท่ีไม่เป็นฟังกช์นั 1 – 1 = จ านวนฟังกช์นั AB – จ านวนฟังกช์นัหน่ึงต่อหน่ึงจาก AB = 64 – 24 = 40 วธีิ

12. ตอบข้อ 1. แนวคิด โจทยบ์อก f(x) = x2 + x + 1

และ f(a + b) = f(a – b) จะได ้ (a + b)2 + (a + b) + 1 = (a – b)2 + (a – b) + 1 a2 + 2ab + b2 + a + b + 1 = a2 – 2ab + b2 + a – b + 1 2ab + b = –2ab – b 4ab = –2b a = 4b

2b a = –0.5

ดงันั้น a = –0.5 = 0.5 ซ่ึงอยูใ่นช่วง ( 0 , 0.5 ]

http://www.pec9/


6

13. ตอบข้อ 3.

แนวคิด โจทยบ์อก f(x) =

0x , 1)(x0x 1 , 21)(x

1x , 2

จาก f(x) – 4 = 0 จะได ้ f(x) = 4 เน่ืองจาก x 0 เสมอ จึงใชก้รณีท่ี 3 มาคิด

จาก f (x) = x + 1 ดงันั้น f (x) = x + 1 ( แทนค่า f(x) = 4 ) 4 = x + 1 3 = x จะได ้ x = 3 ซ่ึง 3 เป็นสับเซตของช่วง (–5 , 4)

14. ตอบ 1 แนวคิด จาก f [g(x)] = h (x) ( แทนค่า h(x) = 1 – x5 และ g(x) = x5 ) จะได ้ f (x5) = 1 – x5 ดงันั้น f (0) = 1 – 0 f (0) = 1

15. ตอบข้อ 3. แนวคิด สมมติ 2x – 1 = 1 จะได ้ x = 1 จาก f (x + 3) = 2x – 1 x + 3 = f–1(2x – 1) (แทน 2x –1 = 1 และ x = 1) 1 + 3 = f–1(1) 4 = f–1(1)

http://www.pec9/


7

16. ตอบ 0

แนวคิด โจทยบ์อก

0 x เม่ือ

0 x เม่ือ

0 x 2

24x 1 1 f(x)

และ f–1(a) = 0 จะได ้ a = f(0)

เน่ืองจาก x = 0 จึงใชก้รณีท่ี 1 คิดดงัน้ี

f (x) = x 224x 1 1

f(0) = 0 22) 0 (4 1 1

( แทนค่า f (0) = a )

a = 20 1 1

a = 0

สุดท้าย จะไดว้า่ a = 0 = 0

17. ตอบ 0.25

แนวคิด โจทยบ์อก

0 x เม่ือ

0 x เม่ือ

0 x 2

24x 1 1 f(x)

และ f–1(a) = 32

จะได ้ a = f( 32 )

เน่ืองจาก x = 32 จึงใชก้รณีท่ี 1 คิดดงัน้ี

f (x) = x 224x 1 1

f ( 32 ) =

32 2

2) 32 (4 1 1

( แทนค่า f (0) = a )

a = 0.25

http://www.pec9/


8

18. ตอบข้อ 1. แนวคิด ขั้นที ่1 จาก f (x + 1) = 3x + 2 + f (x) ให ้ x = 0 จะได ้ f (0 + 1) = 3(0) + 2 + f (0) ( แทนค่า f (0) = 1 ) f (1) = 0 + 2 + 1 = 3 ให ้ x = 1 จะได ้ f (1 + 1) = 3(1) + 2 + f (1) ( แทนค่า f (0) = 3 ) f (2) = 3 + 2 + 3 = 8 ขั้นที ่2 จะไดว้า่ g–1(f (2)) = g–1(8) โจทยใ์หห้า g–1(f (2)) เราจึงหา g–1(8) แทนได ้ จาก g(3x – 1) = 2x + 8 จะได ้ 3x – 1 = g–1(2x + 8)

ดงันั้น 3(0) – 1 = g–1(8) –1 = g–1(8)

19. ตอบ 0.20 แนวคิด โจทยบ์อก f(x) = 4x และ g(x) = 1x

2

จาก (fog)(x) = (gof)(x) จะได ้ fg(x) = gf (x) f 1 x 2 = g[4x]

4 1 x 2 = 14x 2

4(4x – 1) = x – 1 x = 0.20

20. ตอบข้อ 3. แนวคิด จาก f (x) = x – 1 จะได ้ x = f–1(x) –1 f–1(x) = x + 1 ต่อไปจาก (gof–1)(x) = 4x2 – 1

สมมติ 2x + 8 = 8 จะได ้ x = 0

http://www.pec9/


9

g [f–1(x)] = 4x2 – 1 ( แทนค่า f–1(x) = x–1 )

g(x + 1) = 4x2 – 1 จะไดว้า่ g(A) = 4(A – 1)2 – 1 ดงันั้น g(x) = 4(x – 1)2 – 1 ( แทนค่า g(x) = 0 ) จะได ้ 0 = 4(x – 1)2 – 1 (x – 1)2 = 4

1 x – 1 = 2

1 x = 1 + 2

1 , 1 – 21

x = 23 , 2

1

จะเห็นวา่ x เป็นสับเซตของช่วง [0 , 4]

21. ตอบข้อ 2. แนวคิด โจทยบ์อก f(x) = x + 1 และ g(x) = x จาก F(x) = (fog)(x) F(x) = f [g (x)] F(x) = f [ x ] F(x) = x + 1

ดงันั้น x = (x)1F + 1 ( แทนค่า x = 2 )

2 = (2)1F + 1

1 = (2)1F 1 = F–1(2)

22. ตอบข้อ 1. แนวคิด ขั้นที ่1 คิด f(x) = 3x – 2 จะได ้ x = 3f–1(x) – 2 (แทน x = 2) 2 = 3f–1(2) –2

34 = f–1(2)

สมมุติ x + 1 = A จะได ้ x = A – 1

http://www.pec9/


10

ขั้นที ่2 คิด g(x) = 2x + 7 จะได ้ x = 2g–1(x) + 7 (แทน x =

34 )

34 = 2g–1(

34 ) + 7

6

17 = g–1(34 )

สุดทา้ยจะได ้ (g–1of–1)(2) = g–1[f–1(2)] = g–1(34 ) = 17

6

23. ตอบ 4.5 แนวคิด จาก f(x) = x1 จาก g(x) = 2f(x) = 2( x1 ) จะได ้ f(3) = 3

1 จะได ้ g( 31 ) = 2 )(

31 1 = 6

และ f( 32 ) = )3

2(1 = 2

3 = 1.5 และ g–1(x) = x2

g–1(3) = 32

สุดท้ายจะได ้ gof (3) – fog–1 (3) = g [ f (3) ] – f [g–1 (3) ]

= g ( 31 ) – f ( 3

2 ) = 6 – 1.5 = 4.5

24. ตอบ 10 แนวคิด จาก f(x) = 3x + 5

จะได ้ f [ g(x) ] = 3 [ g(x) ] + 5

ต่อไปจาก fog (x) = 3x2 + 3x – 1 จะได ้ f [g(x)] = 3x2 + 3x – 1 ( แทน f [g(x)] = 3[ g(x) ] + 5 จาก )

3 [ g(x) ] + 5 = 3x2 + 3x – 1 3 [ g(x) ] = 3x2 + 3x – 6 ( น า 3 หารตลอด ) g (x) = x2 + x – 2

สุดท้ายจะได ้ g (3) = (3)2 + 3 – 2 = 10

http://www.pec9/


11

25. ตอบ 0 แนวคิด จาก f(x) = 3x + 5 จะได ้ f [ g(x) ] = 3 [ g(x) ] + 5

ต่อไปจาก fog (x) = h(x) จะได ้ f [g(x)] = 3x2 + 3x – 1 ( แทน f [ g(x) ] = 3[ g(x) ] + 5 จาก )

3 [ g(x) ] + 5 = 3x2 + 3x – 1 3 [g(x)] = 3x2 + 3x – 6 ( น า 3 หารตลอด )

g (x) = x2 + x – 2 สุดท้ายจะได ้ g (1) = (1)2 + (1) – 2 = 0

26. ตอบข้อ 1. แนวคิด ขั้นที ่1 โจทยบ์อก (f o g)(x) = 3x – 14 f [g(x)] = 3x – 14

จาก f ( 31 x + 2) = x – 2

จะได ้ f(A) = 3A – 6 – 2 ดงันั้น f(x) = 3x – 6 – 2 f(x) = 3x – 8 และ f [g(x)] = 3[g(x)] – 8 ( แทน f [g(x)] = 3x – 14 ) 3x – 14 = 3 [g(x)] – 8 g(x) = x – 2 สุดท้ายจะได ้ (g o f)(1) = g[f (1)] = g (3[1] – 8 ) = g (–5) = –5 – 2 = –7

สมมุติให้ 31 x + 2 = A

x = 3A – 6

http://www.pec9/


12

27. ตอบ 10 แนวคิด จาก f(x) = 3 x จาก g(x) = x 1

x

จะได ้ x = 3 (x)1f จะได ้ x = (x)1g 1(x)1g

f–1(x) = x3 s x(1 + g–1(x)) = g–1(x) ดงันั้น f–1 (2) = 23 = 8 x + x g–1(x) = g–1(x) x g–1(x) – g–1(x) = –x (x – 1) g–1(x) = –x g–1 (x) = 1 x

x

ดงันั้น g–1(2) = 1 22 = –2

สุดท้าย จะได ้ (f–1 – g–1) (2) = f–1(2) – g–1(2) = 8 – (–2) = 10

28. ตอบข้อ 3. แนวคิด โจทยบ์อก f(x) = x – 5 และ g(x) = x2

จะได ้ gof(a) = g [ f(a) ] = g [ a–5 ] = [a–5]2 = a2 – 10a + 25 และ fog(a) = f [ g(a) ] = f [ a2] = a2 – 5 จาก gof(a) = fog(a) จะได ้ a2 – 10a + 25 = a2 – 5 –10a = –30 a = 3 สุดท้ายจะได ้ (f + g)(a) = (f + g)(3) = f(3) + g(3) = (3–5) + (32) = (–2) + (9) = 7

29. ตอบข้อ 4. แนวคิด โจทยบ์อก f(x) = x)x)(2(3 จะไดว้า่ (3 + x)(2 – x) 0 ( น า –1 คูณตลอด ) (x + 3)(x – 2) 0 –3 2

+ – +

http://www.pec9/


13

นัน่คือ Df = [–3 , 2] และจาก g(x) = 3x

1

จะไดว้า่ x + 3 > 0 x > –3 นัน่คือ Df = (–3 , +)

สุดท้ายจะได ้ Df – g = Df Dg = [–3 , 2] (–3 , ) = (–3 , 2]

http://www.pec9/

ติวสบายคณิต เล่ม 2 บทที่ 5 ฟังก์ชัน...

Documents