บทที่ 6 ฟังก์ชัน (function · 2018-11-01 · และ ,xz f แลว yz...

88 หลักการคณิตศาสตร์ (Mathematics Principle) MAP1401 สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา

บทที่ 6 ฟังก์ชัน

บทท่ี 6 ฟังก์ชัน (Function)

6.1 ฟังก์ชัน ฟังก์ชันเป็นความสัมพันธ์ชนิดหนึ่ง โดยที่คู่อันดับที่เป็นสมาชิกของความสัมพันธ์นี้ ต้องมีสมาชิกตัวหน้าไม่ซ้้ากัน กล่าวคือ ถ้า 1 1,x y เป็นสมาชิกของความสัมพันธ์ที่เป็นฟังก์ชัน จะต้องไม่มี 1 2,x y โดยที่

1 2y y เป็นสมาชิกของความสัมพันธ์นี้ด้วย บทนิยาม 6.1 ก้าหนดให้ f เป็นความสัมพันธ์ใดๆ จะเรียก f ว่าเป็นฟังก์ชัน

ถ้า ,x y f และ ,x z f แล้ว y z จากบทนิยาม 6.1 จะได้ว่า

1) ความสัมพันธ์ f เป็นฟังก์ชันก็ต่อเมื่อ , , , ,x y z x y f x z f y z

2) ความสัมพันธ์ f ไม่เป็นฟังก์ชันก็ต่อเมื่อ , , , ,x y z x y f x z f y z

ตัวอย่างที่ 6.1 จงพิจารณาว่าความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันหรือไม่

1) 1 (1,2),(3,1),(4,4)r 2) 2 (1,2),(1,1),(4,4)r 3) 3 ( , ) 2 1 r x y R R y x

4) 2

4 ( , ) r x y R R y x

5) 2

5 ( , ) r x y R R y x

6) 6 ( , ) 2 3 r x y R R y x



บทนิยาม 6.2 ก้าหนดให้ f เป็นฟังก์ชันใดๆ จะเรียก , x x y f ว่า

โดเมนของ f (Domain of f )เขียนแทนด้วย fD

และเรียก , y x y f ว่า เรนจ์ของ f (Range of f )

เขียนแทนด้วย fR บทนิยาม 6.3 ก้าหนดให้ f เป็นฟังก์ชันใดๆ ส้าหรับแต่ละ , x y f ซ่ึง f เป็นฟังก์ชัน จะเรียก y ว่า ภาพ (Image) ของ x หรือ เรียก x ว่าอินเวอร์สอิมเมจ(Inverse Image) หรือบุพภาพ (Pre-image)ของ y ภายใต้ฟังก์ชัน f และแทนสัญลักษณ์ , x y f ด้วย ( )y f x บทนิยาม 6.4 ก้าหนดให้ f เป็นฟังก์ชันใดๆ จะเรียก f ว่าเป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นความสัมพันธ์ซึ่งส้าหรับทุกๆ x A จะมี y B เพียงตัวเดียว เท่านั้น ซึ่ง ,x y f จะเขียน : f A B แทน f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B จากบทนิยาม 5.1.4 จะได้ว่า : f A B ก็ต่อเมื่อ

1) f เป็นฟังก์ชัน 2) , x A y B x y f

หรือ 1) f เป็นฟังก์ชัน 2) fD A

6.2 ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทัว่ถึง (Bijective Function) บทนิยาม 6.5 ก้าหนดให้ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B จะเรียก f ว่าเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (Injective Function) ก็ต่อเมื่อ ถ้า 1 2x , x A และ 1 2f (x ) f x

แล้ว 1 2x x

จะเขียนสัญลักษณ์ f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปยัง B ด้วย1 1

:

f A B

จากบทนิยาม 6.5 จะได้ว่า 1 1

:

f A B ก็ต่อเมื่อ 1) : f A B 2) 1 2 1 2 1 2x , x A f (x ) f (x ) x x

3) 1 2 1 2 1 2x , x A x x f (x ) f (x ) 4) f ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ 1 2 1 2 1 2x , x A f (x ) f (x ) x x



บทนิยาม 6.6 ก้าหนดให้ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B จะเรียก f ว่าเป็น ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง (Onto Function) B ก็ต่อเมื่อส้าหรับทุกๆ y B จะมี x A ซ่ึง y f (x)

จะเขียนสัญลักษณ์ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ด้วย : onto

f A B

จากบทนิยาม 6.6 จะได้ว่า : onto

f A B ก็ต่อเมื่อ 1) : f A B 2) y B x A f (x) y 3) f ไม่เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ก็ต่อเมื่อ y B x A f (x) y บทนิยาม 6.7 ก้าหนดให้ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B จะเรียก f ว่าเป็น ฟังก์ชันหลายตัวต่อหนึ่ง (Many-to-one Function) ก็ต่อเมื่อ f มีสมาชิก 1 2x , y , x , y f โดยที่ 1 2x x

บทนิยาม 6.8 ก้าหนดให้ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B จะเรียก f ว่าเป็น ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (Bijective Function) ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชัน ทั้งแบบหนึ่งต่อหนึ่งและแบบทั่วถึง

จะเขียนสัญลักษณ์ f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B ด้วย1 1

:

onto

f A B

หมายเหตุ ต้าราบางเล่มเรียกฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงว่า ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่อหนึ่ง (One-to-one Correspondence) ตัวอย่าง 6.2 ก้าหนดให้ 1,2,3,4,5A และ , , ,B a b c d 1) จงสร้างฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จาก A ไปยัง B 2) จงหาฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ตัวอย่างที่ 6.3 จงพิจารณาว่าความสัมพันธ์ที่ก้าหนดให้ต่อไปนี้ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่ 1) 1 ( , ) 1 r x y R R xy

2) 2 ( , ) 1 r x y R R x y

3) 3 ( , ) 2 1 r x y R R y x

4) 2 2

4 ( , ) 25 r x y R R x y

5) 2

5 ( , ) 25 r x y R R y x



6) 6 ( , ) 2 r x y R R y x

7) 2

7 ( , ) 4 r x y R R x

8) 2 2

8 ( , ) 4 r x y R R x y

9) 2 2

9 ( , ) 4 9 0 r x y R R x y

10) 3

10 ( , ) r x y R R y x

11) 2

11 ( , ) 6 10 r x y R R x y y

ตัวอย่างที่ 6.4 จงยกตัวอย่างฟังก์ชันที่เป็นหนึ่งต่อหนึ่งแต่ไม่เป็นฟังก์ชันทั่วถึง ตัวอย่างที่ 6.5 จงยกตัวอย่างชันทั่วถึงแต่ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

ตัวอย่างที่ 6.6 ก้าหนดให้ 2( ) 1 f x x จงหา A และ B ซ่ึง 1 1

:

onto

f A B

ตัวอย่างที่ 6.7 ก้าหนดให้ 1 , 1

( ) 1, 1

x x

f xx

x

จงหา A และ B ซ่ึง 1 1

:

onto

f A B



6.3 ฟังก์ชันผกผัน (Inverse Function) บทนิยาม 6.9 ก้าหนดให้ f เป็นฟังก์ชันใดๆ ถ้า 1 , , f y x x y f เป็นฟังก์ชัน

เรียก 1f ว่า ฟังก์ชันผกผันของ f (Inverse Function of f ) บทนิยาม 6.10 ก้าหนดให้ f เป็นฟังก์ชันใดๆ จะได้ว่า 1f เป็นฟังก์ชันก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ตัวอย่างที่ 6.8 ก้าหนด 3( , ) ( 2) f x y R R y x

1) จงหา 1f 2) 1f เป็นฟังก์ชันหรือไม่ ตัวอย่างที่ 6.9 ก้าหนด 2( , ) 6 10 f x y R R y x x

1) จงหา 1f 2) 1f เป็นฟังก์ชันหรือไม่ ตัวอย่างที่ 6.10 ก้าหนด ( , ) 5 4 f x y R R y x เมื่อ 0,10x จงหา 1( )f x

ตัวอย่างที่ 6.11 ก้าหนด (3 4) 4 3 f x x จงหา 1( )f x

ตัวอย่างที่ 6.12 ก้าหนด 1( )

3

xf x

จงหา 1) 1(3)f 2) 1(4)f

ตัวอย่างที่ 6.13 ก้าหนด 2

2 2 , 0( )

1 , 0

x xf x

x x

จงหา 1) 1( )f x 2) 1(1)f 3) 1(2)f 4) 1( 5) f



6.4 ฟังก์ชันประกอบ (Composite Function) บทนิยาม 6.11 ก้าหนดให้ :f A B และ :g B C แล้ว

, , , , ( ), ( ) ( ( ))h x z x y f y z g y f x z g y g f x จะ

เรียก h ว่า ฟังก์ชันประกอบของ f และ g เขียนแทนฟังก์ชันประกอบของ f และ g ด้วย g f (อ่านว่า จีโอเอฟ)

ดังนั้น , , ( ), ( ) ( ( ))g f x z x A z C y B y f x z g y g f x

หรือ , , ( ) ( ) ( ( ))x z g f y B y f x z g y g f x ดังนั้น ( ) ( ( ))z g f x g f x บทนิยาม 6.12 ก้าหนดให้ :f A B และ :g B C แล้ว :g f A C ในการสร้างฟังก์ชัน g f เรนจ์ของ f จะต้องเป็นเซตย่อยของโดเมน g โดเมนของ g f คือ เซตย่อยของโดเมนของ f และเรนจ์ของ g f จะเป็นเซตย่อย ของเรนจ์ของ g ตัวอย่าง 6.14 ก้าหนดให้ (1,2), (2,4), (3,6), (4,8)f และ

(1,2), (2,3), (3,4), (4,5)g จงหา g f และ f g

ตัวอย่าง 6.15 ก้าหนดให้ (1, ),(2, ),(3, ),(4, ),(5, )f a a b c d และ

( ,2),( ,4),( ,6),( ,8g a b c e ) จงหา g f และ f g

f g

A B C



ตัวอย่าง 6.16 ก้าหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน โดยที่ 2f ( x ) x และ 1

1g( x )

x

จงหา 1) ( )g f x และ g fD 2) ( )f g x และ f gD

ตัวอย่าง 6.17 ก้าหนดให้ :f R R และ :g R R

โดยที่ 2 3f ( x ) x และ 2 5g( x ) x จงหา 1) ( 1)g f x

2) ( 1)f g x 3) (2 )f f x 4) 2( )g g x

ตัวอย่าง 6.18 ก้าหนดให้ :f R R , :g R R และ :h R R

โดยที่ 3f ( x ) x และ 2 1g( x ) x และ 2 2 0

2 3 0

x , xh( x )

x , x

จงหา 1) (2)f g h 2) (0)g f h 3) ( 1)g h f 4) (1)f g f h

ตัวอย่าง 6.19 ก้าหนดให้ 3 1f ( x ) x และ 2 1g( x ) x จงหา 1) 1 ( )g f x

2) 1 ( )f g x



ตัวอย่าง 6.20 ก้าหนดให้ 3 4 5f ( x ) x และ 3 2 3g( x ) x จงหา 1) 1 ( 1)g f

2) 1 (5)f g

3) 1 1 ( 4)f g

4) 1 1 (3)g f

6.5 พีชคณิตของฟังก์ชัน (Algebra of Function) บทนิยาม 6.13 ก้าหนดให้ , ,A R B R A B

และ :f A R , :g B R

นิยามฟังก์ชัน f g, f g, f g และ f

g ดังนี้

1) f g : A B R ซึ่งนิยามว่า f g x f ( x ) g( x ) ส้าหรับทุก x A B



4) f

: A B C Rg

ซึ่งนิยามว่า

f f ( x )

xg g( x )

ส้าหรับทุก x A B C เมื่อ 0C x B g( x )

หมายเหตุ 1) f g f g f g f gD D D A B D D 2) 0f f g

g

D D D x g( x )

จากบทนิยามเราจะเขียนฟังก์ชัน f g, f g, f g และ f

g ในรูปของเซตแบบบอกเง่ือนไข

ได้ดังนี้ f gf g x, y R R y f g ( x ) f ( x ) g( x ),x D D

f gf g x, y R R y f g ( x ) f ( x ) g( x ),x D D

f gf g x, y R R y f g ( x ) f ( x ) g( x ),x D D

0f g

f f f ( x )x, y R R y ( x ) ,x D D g( x )

g g g( x )



ตัวอย่างที่ 6.21 ก้าหนดฟังก์ชัน (0,0),(1,1),(2, 1),(3,2),(4, 2),(5,3),(6, 3)f (0,1),(2,3),(4,5),(6,6),(8,9),(10,10)g

จงหา ff g , f g, f g,

g และ g

f

ตัวอย่างที่ 6.22 ก้าหนดฟังก์ชัน 2 1 2 2f x, y R R y x x ,

2 2 1 3g x, y R R y x x ,

จงหา f g พร้อมทั้งหาโดเมนและเรนจ์ของ f g และเขียนกราฟของ ,f g และ f g บนระนาบเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 6.23 ก้าหนดฟังก์ชัน ( ) 4f x x เมื่อ x R 2( ) 1g x x เมื่อ x R

1 , 0

( )1 , 0

x xh x

x x

จงหา 1) 1 1 2f g h

2) 1 2gof h



6.6 ฟังก์ชันที่ควรทราบ 1. ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด (Increasing Function and Decreasing Function) 2. ฟังก์ชันเชิงเส้น (Linear Function) 3. ฟังก์ชันก้าลังสอง (Quadratic Function) 4. ฟังก์ชันพหุนาม (Polynomial Function) 5. ฟังก์ชันตรรกยะ (Rational Function) 6. ฟังก์ชันขั้นบันได (Step Function) 7. ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ (Absolute Value Function) 8. ฟังก์ชันที่เป็นคาบ (Periodic Function) 9. ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Trigonometric Function) 10. ฟังก์ชันเอกซโปเนนเชียล (Exponential Function) 11. ฟังก์ชันลอการิทึม (Logarithm Function) 6.6.1 ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด (Increasing Function and Decreasing Function) บทนิยาม 6.14 ให้ f เป็นฟังก์ชันจาก fD R ไป R และ fA D 1) f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม (Increasing Function) ใน A ก็ต่อเมื่อ ถ้า 1 2,x A x A และ 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x 2) f เป็นฟังก์ชันลด (Decreasing Function) ใน A ก็ต่อเมื่อ ถ้า 1 2,x A x A และ 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x

3) เรียก f ว่าเป็นฟังก์ชันไม่ลด (Nondecreasing Function) ใน A ก็ต่อเมื่อ ถ้า 1 2,x A x A และ 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x 4) เรียก f ว่าเป็นฟังก์ชันไม่เพ่ิม (Nonicreasing Function) ใน A ก็ต่อเมื่อ ถ้า 1 2,x A x A และ 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x ตัวอย่าง 6.24 ก้าหนดฟังก์ชัน f ซึ่งมีกราฟดังรูปต่อไปนี้ จงหาว่าฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันเพ่ิม

และฟังก์ชันลดในช่วงใดบ้าง

x

y

-2 0 2



ตัวอย่างที่ 6.25 ก้าหนดฟังก์ชัน ( ) 5 2f x x เมื่อ x R จงพิสูจน์ว่า f เป็นฟังก์ชันเพิ่มใน R (ให้นักศึกษาท้าเอง) ตัวอย่างที่ 6.26 ก้าหนดฟังก์ชัน

3( ) 2 1f x x เมื่อ x R จงพิสูจน์ว่า f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม

หรือฟังก์ชันลดใน R (ให้นักศึกษาท้าเอง)

ตัวอย่างที่ 6.27 ก้าหนดฟังก์ชัน ( ) 2 3f x x 1) f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม หรือฟังก์ชันลดใน 1,2A 2) f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม หรือฟังก์ชันลดใน 2,1B (ให้นักศึกษาท้าเอง)

------------------------------------------------------------------------------------------------------

แบบฝึกหัด 6.1

จงตรวจสอบดูว่า ฟังก์ชันที่ก้าหนดให้ต่อไปนี้ ฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันเพ่ิม ฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันลดในเซต A ที่ก้าหนดให้

1) 3( )

2

xf x

; A R

2) 5 3( )

4

xf x

; A R

3) 2( ) 6 9f x x x ; ( , 4]A 4) 2( ) 5 4f x x x ; [2, )A 5) 2( ) 9f x x ; [ 1,1]A 6) 2( ) 4f x x ; [ 1,1]A 7) ( ) 4f x x ; A R 8) 3 2( ) 3 3 3f x x x x ; A R 9) ( ) 1f x x ; A R 10) ( ) 2f x x ; A R

----------------------------------------------



6.6.2 ฟังก์ชันก าลังสอง (Quadratic Function) ฟังก์ชันก้าลังสอง หมายถึง ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป 2( )f x ax bx c เมื่อ , ,a b c R

และ 0a กราฟของฟังก์ชันก้าลังสอง จะเป็นรูปพาราโบลา ซึ่งเป็นพาราโบลาหงาย หรือพาราโบลาคว่้าเท่านั้น ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับจ้านวนจริง a ว่าเป็นจ้านวนบวกหรือจ้านวนลบ 1) เมื่อ 0a จะได้พาราโบลาหงาย 2) เมื่อ 0a จะได้พาราโบลาคว่้า

จุดยอดของพาราโบลาอยู่ที่ จุดที่ 2

bx

a ,

24

4

ac by

a

ตัวอย่าง 6.28 สี่เหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีความยาวของเส้นรอบรูปเท่ากับ 40 เซนติเมตร 1) จงสร้างฟังก์ชัน f ซึ่งแทนพ้ืนที่ของรูปสี่เหลี่ยมรูปนี้ 2) จงหาขนาดของรูปสี่เหลี่ยมที่ท้าให้มีพ้ืนที่มากที่สุด วิธีท า 1) สมมติให้ x แทนความยาวของด้านๆ หนึ่งของรูปสี่เหลี่ยม ดังนั้น ความยาวอีกด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยม เท่ากับ 20 x เซนติเมตร ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันที่แทนพ้ืนที่ของรูปสี่เหลี่ยม ดังนั้น ( ) (20 )f x x x 2( ) 20f x x x เมื่อ 0 20x 2) จะพบว่า ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันก้าลังสองท่ีมีโดเมนเท่ากับ (0,20) กราฟของ f เป็นส่วนหนึ่งของพาราโบลาคว่้า ซึ่งมีจุดสูงสุดอยู่ที่

2010

2( 1)x

2(10) 20(10) (10) 200 100 100y f

X

20-X

ดังนั้น สี่เหลี่ยมรูปนี้จะมีพ้ืนที่มากที่สุด เมื่อ x =10 พ้ืนที่มากท่ีสุดเท่ากับ 100 ตารางเซนติเมตร



6.6.3 ฟังก์ชันพหุนาม (Polynomial Function) ฟังก์ชันพหุนาม หมายถึงฟังก์ชันที่อยู่ในรูป

1 2 2

1 2 2 1 0( ) ...n n n

n n nf x a x a x a x a x a x a

เมื่อ 0 1 2, , ,..., na a a a เป็นค่าคงตัว และ n เป็นจ้านวนเต็มบวกหรือศูนย์ ถ้า 0na แล้วจะเรียกฟังก์ชันพหุนามดังกล่าวว่าเป็นฟังก์ชันพหุนามท่ีมีระดับ (degree) เท่ากับ n (เท่ากับเลขชี้ก้าลังของ x ที่มากท่ีสุดที่มีสัมประสิทธิ์ไม่เท่ากับ 0) ตัวอย่างเช่น

ฟังก์ชันพหุนาม ระดับ(degree) ( ) 2 5f x x 1

2( ) 3 1f x x x 2 3 2( ) 4 5 2f x x x 3

4( ) 2f x x 4 ( ) 10f x 0

5( ) 3 2f x x x 5 ตัวอย่าง 6.29 จงวาดกราฟของฟังก์ชัน 3( ) 4f x x x วิธีท า แยกตัวประกอบ จะได้ ( ) ( )( 2)( 2)f x x x x หาระยะตัดแกน y ถ้า x=0 แล้ว y=0 หาระยะตัดแกน x ถ้า y=0 แล้ว x=-2, 0, 2 ระยะตัดแกน x จะแบ่งแกน x ออกเป็น 4 ส่วน ให้พิจารณาเครื่องหมาย f(x) ในแต่ละส่วน ดังนี้ เครื่องหมายของ f(x) - + - + เครื่องหมายของ x+2 - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + เครื่องหมายของ x-2 - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + เครื่องหมายของ x - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + -2 0 2 X



6.6.4 ฟังก์ชันตรรกยะ (Rational Function)

ฟังก์ชันตรรกยะ หมายถึง ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป ( )( )

( )

p xf x

q x เมื่อ ( )p x และ ( )q x เป็น

ฟังก์ชันพหุนาม และ ( ) 0q x ตัวอย่างของฟังก์ชันตรรกยะ ได้แก่

1( )

1

xf x

x

, 2

( )4

f xx

2( )

2

xf x

x

,

2

5( )

1

xf x

x x

ตัวอย่าง 6.30 จงวาดกราฟของฟังก์ชัน 22 3 2

( )2

x xf x

x

วิธีท า 2fD x R x

เขียนฟังก์ชัน f ใหม่ ได้ดังนี้

2 1 2( )

2

x xf x

x

เนื่องจาก 2 0x ดังนั้น

( ) 2 1f x x เมื่อ 2x R ดังนั้นกราฟของ f จะเป็นรูปเส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ 2 และระยะตัดแกน y เท่ากับ 1 ยกเว้นจุด (2,5) ดังรูป

แบบฝึกหัดที่ 6.2 จงวาดกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้

1) 3 2 2 2

( )1

x x xf x

x

2) 1( )

1f x

x

3) 2

3( )

5 6

xf x

x x

(2,5)



ตัวอย่าง ฟังก์ชันขั้นบันได 5 , 4

3 , 4 2

( ) 2 , 2 1

2 , 1 3

4 , 3

x

x

f x x

x

x

วาดกราฟได้ดังนี้

ตัวอย่าง ฟังก์ชันที่เป็นค่าสัมบูรณ์ 2( ) 4f x x

ตัวอย่าง ฟังก์ชันที่เป็นคาบ ( ) sinf x x

บทที่ 6 ฟังก์ชัน (function · 2018-11-01 · และ ,xz f แลว yz...

Documents