บทท 7

การทดสอบสมมตฐาน

7.1 ความหมาย สมมตฐานทางสถต (statistical hypothesis) หมายถง ขอสมมตทางสถตทก าหนดขน ซงอาจจะเปนจรงหรอไมจรงกได ในการตรวจสอบวาสมมตฐานทตงไวจะเปนจรงหรอไมนน นอกจากการศกษาโดยตรวจสอบจากประชากรทงหมดซงเปนไปไดยากยงในทางปฏบตแลว เราจะตองใชตวอยางทสมมาจากประชากร และใชเปนตวแทนของประชากร จากนนจงน าขอมลจากตวอยางมาพจารณาวาขอความสมมตฐานนน ๆ เปนจรงหรอไมโดยใชกระบวนการทเรยกวา “การทดสอบสมมตฐาน” (hypothesis testing) โดยมวธการทดสอบ ดงจะไดศกษาตอไป

การก าหนดสมมตฐานทางสถตจะมการก าหนดอย 2 ลกษณะ คอ 1) สมมตฐานหลก (null hypothesis : H0) เปนสมมตฐานหรอขอสมมตทสงสยวาจะเปนจรง

หรอไม จงตองท าการทดสอบขอสงสยนน มการก าหนดคาพารามเตอรทแนนอน โดยการใชเครองหมายแสดงความเทากน 2) สมมตฐานทางเลอก (alternative hypothesis : H1) หรอสมมตฐานรอง เปนสมมตฐาน

ทตงขนมาควบคกบสมมตฐานหลก H0 เพอเปนขอแยงกบ H0 หรอเปนทางเลอก ในกรณทตองปฏเสธ H0

หรอพสจนไดวา H0 ไมจรง โดยในขอความสมมตฐานทางเลอกจะใชพารามเตอรเดยวกนกบ H0 แตใช

เครองหมายแสดงความไมเทากน ( หรอ > หรอ <) การก าหนดสมมตฐานใด ๆ อาจก าหนดในลกษณะใดลกษณะหนงใน 3 ลกษณะตอไปน คอ

1.) H0 : = o

H1 : o

2) H0 : > o

H1 : < o

3) H0 : < o

H1 : > o

การตดสนใจวาสมมตฐานทตงไวจะถกตองหรอไม ในกระบวนการทเรยกวา การทดสอบสมมตฐาน

(hypothesis testing) ซงผลจากการทดสอบจะน าไปสการตดสนใจทจะยอมรบ (accept) วาสมมตฐานนนถกตอง หรอจะปฏเสธ (reject) วาสมมตฐานนนผดพลาด ทงนโดยอาศยขอมลทไดจากตวอยางทค านวณได ถาคาสถตทค านวณไดน าไปสการตดสนใจวาจะปฏเสธสมมตฐานหลกหรอไมยอมรบสมมตฐานหลก กหมาย ความวาสมมตฐานทตงไวนนผด หรอไมเปนจรง ในทางกลบกนถาคาสถตทค านวณไดน าไปสการตดสนใจวา

2

จะยอมรบสมมตฐานหลก กมไดหมายความวาขอความในสมมตฐานนนถกตองหรอเปนจรงเสมอไป เพราะตวอยางสมเลอกมาจากประชากรเดยวกนมไดหลายชด แตเราเลอกมาเพยงชดเดยว และขอมลจากตวอยางทสมเลอกมานนอาจไมเพยงพอทจะท าใหสรปไดวาสมมตฐานนนผดหรอไม ดงนนในการตงสมมตฐานเพอการทดสอบแตละครงจงเปนการตงขนเพอทจะปฏเสธ หรอสงสยวาจะไมจรง เพอจะไดยอมรบสมมตฐานทางเลอกตอไป

7.2 ความผดพลาดในการทดสอบสมมตฐาน

ในการทดสอบสมมตฐานใด ๆ ตองท าการตดสนใจจากผลการทดสอบ วาจะยอมรบสมมตฐานหลก หรอปฏเสธสมมตฐานหลก ซงไมวาการตดสนใจจะเปนอยางไร ผลของการตดสนใจนน ยอมเปนไปไดทจะเปนการตดสนใจทถกตอง หรอการตดสนใจทผดพลาด พจารณาสมมตฐานทก าหนดขนกบผลการตดสนใจทเปนไปไดใน 4 กรณ คอ

1. กรณท H0 เปนจรง และตดสนใจยอมรบ H0 แสดงวา ตดสนใจถกตอง

2. กรณท H0 เปนจรง และตดสนใจปฏเสธ H0 แสดงวา ตดสนใจผดพลาด

3. กรณท H0 ไมเปนจรง และตดสนใจยอมรบ H0 แสดงวา ตดสนใจผดพลาด

4. กรณท H0 ไมเปนจรง และตดสนใจปฏเสธ H0 แสดงวา ตดสนใจถกตอง

สรปไดดงตาราง

การตดสนใจ สถานการณจรง

H0 เปนจรง H0 ไมจรง

ยอมรบ H0 ตดสนใจถก ตดสนใจผด (เกดความผดพลาดชนดท )

ปฏเสธ H0 ตดสนใจผด

(เกดความผดพลาดชนดท ) ตดสนใจถก

จากตาราง การสรปผลการทดสอบสมมตฐาน มโอกาสทจะเกดความผดพลาดได ซงความผดพลาดท

เกดขนม 2 ชนด คอ 1. ถาสมมตฐานหลก (H0) เปนจรง แตขอมลจากตวอยางสมน าไปสการตดสนใจปฎเสธ H0

เรยกวาเกดความผดพลาดชนดท (Type error ) ใชสญลกษณแทนดวย (อลฟา) 2. ถาสมมตฐานหลก (H0) ไมจรง แตขอมลจากตวอยางสมน าไปสการตดสนใจยอมรบ H0 เรยกวา

เกดความผดพลาดชนดท (Type error) ใชสญลกษณ แทนดวย (เบตา)

3

ในการทดสอบสมมตฐานใด ๆ เรามกจะตองการใหความผดพลาดทง 2 แบบมคานอยทสดเพอท าใหสมมตฐานเชอถอได อยางไรกตาม คา และ จะไมสามารถมคาเปนศนยพรอม ๆ กนได ทงนเนองจาก ถา มคามาก กจะท าให มคานอย และถา มคานอย กจะท าให มคามาก ในทางปฏบตจงนยมใชวธการก าหนดคา ใหมคานอย ๆ และหาทางควบคมคา มใหมคามากเกนไป ดวยการเพมขนาดตวอยาง หรอใชวธการเลอกตวอยางทเหมาะสมตอไป

ถาก าหนดสมมตฐานหลก (H0) เปน = 0 เมอ 0 คอคาสถตเดมทเคยมขอสรปไว ซงเรา

ก าลงสนใจทจะศกษาเปรยบเทยบวาในปจจบนคานยงคงถกตองอยหรอไม โดยการสมตวอยางขนาด n และค านวณคาสถตจากกลมตวอยาง โดยอาศยรปแบบการแจกแจงของตวสถตทศกษา ถาคาสถตทค านวณไดมคา ใกลเคยงกบคา 0 กอาจกลาวไดวา H0 เปนจรงหรอยอมรบ H0 แตถาคาสถตทค านวณไดมคาตางไปจาก 0 มากเกนกวาจะยอมรบความแตกตางนนได กจะปฏเสธ H0 นนหมายความวาขอมลเดมทเคยเชอวาเปน 0นนไมถกตอง .

ในการก าหนดวาขนาดความแตกตางเทาใดทยอมรบได หรอขนาดความแตกตางเทาใดทมากเกนจะยอมรบได พจารณาตามรป

ถา 0 เปนจรง คาสถตทค านวณไดจากตวอยางจะมคาใกลเคยงกบ 0 โดยคาทไดจะตกอยใน

บรเวณทเรยกวา อาณาเขตยอมรบสมมตฐาน (acceptance Region) แตถาคาสถตทค านวณไดแตกตางไปจาก 0 มากเกนไป จนตกอยในพนทแรเงาทเรยกวาอาณาเขตวกฤต (critical region) จะน าไปสการปฏเสธ H0 และเรยกคาทแบงระหวางอาณาเขตยอมรบและอาณาเขตปฏเสธสมมตฐานวา คาวกฤต (critical Value) ของการทดสอบ

7.3 5.3 วธการทดสอบสมมตฐาน การทดสอบสมมตฐานโดยทว ๆ ไป แบงไดเปน 6 ขนตอน คอ

ขนตอนท 1 ก าหนดสมมตฐาน เปนการก าหนดขอความสมมตฐานทตองการทดสอบ ทงสมมตฐานหลกและสมมตฐานทางเลอก

ขนตอนท 2 ก าหนดระดบนยส าคญ เปนการก าหนดชวงความเชอมนของการทดสอบเพอน าไปสการตดสนใจวาจะยอมรบหรอปฏเสธสมมตฐานตอไป

ขนตอนท 3 เลอกสถตทเหมาะสม โดยพจารณาจากสมมตฐานทก าหนด และคาพารามเตอรทตองการทดสอบ

ขนตอนท 4 ค านวณคาสถตทดสอบ ใชขอมลจากตวอยางสมในการค านวณตามสถตทดสอบทเลอกในขนตอนท 3

คาวกฤต o คาวกฤต

อาณาเขตวกฤต อาณาเขตวกฤต อาณาเขตยอมรบ H0

4

ขนตอนท 5 ตดสนใจ การเปรยบเทยบคาสถตทดสอบ (จากขนตอนท 4 ) กบคาวกฤตทก าหนด และน าไปสการตดสนใจวาจะยอมรบ Ho หรอ ปฏเสธ Ho

ขนตอนท 6 แปลความหมาย อธบายผลการทดสอบสมมตฐานตามทไดตดสนใจในขนตอนท 5

การก าหนดสมมตฐานอาจก าหนดได 2 วธ คอ วธท 1 การทดสอบแบบสองทาง (two-sided test) เปนการทดสอบเมอก าหนดสมมตฐานเปน

H0 : = 0

H1 ; 0

จากรป พจารณาไดวาถาสมตวอยางขนาด n และคาสถตทค านวณไดแตกตางไปจากคาพารามเตอร 0 มาก ๆ จนกระทงคาสถตทค านวณไดตกอยในอาณาเขตวกฤต เราจะปฏเสธ H0 ซงในกรณน ระดบนยส าคญทก าหนด () จะถกแบงเปน 2 ดานเทา ๆ กน ดานละ

2

วธท 2 การทดสอบแบบทางเดยว (one-sided test) เปนกรณทดสอบเมอก าหนดสมมตฐานเปน

ก) Ho : < 0 หรอ ข) Ho : > 0

H1 : > 0 H1 : < 0

พจารณารป

จากรป พจารณาไดวาถาคาสถตทค านวณไดมคามากกวาคาพารามเตอร o มากเกนไป ส าหรบการทดสอบสมมตฐาน H1 : > 0 (ในรป ก.) จนกระทงคา ทค านวณไดตกอยในบรเวณเขตวกฤต กจะปฏเสธ H0 และในกรณทคาสถตทค านวณไดมคานอยเกนไปส าหรบการทดสอบสมมตฐาน H1 : < 0 (ในรป ข.) กจะปฏเสธสมมตฐาน H0 เชนกน

ส าหรบวธการก าหนดสมมตฐานเพอการทดสอบนน มหลกงายๆ วา ทฤษฎหรอความเชอหรอขอความทสงสยและตองการตรวจสอบวาเปนจรงหรอไม จะถกก าหนดใหเปนสมมตฐานหลก เสมอ ทงนเพราะถาขอมลจากตวอยางสนบสนนสมมตฐานทางเลอกจะท าใหทราบถงความนาจะเปนของการเกดความผดพลาดชนดท () ไดทนท แตในทางกลบกน ถาเลอกก าหนดสมมตฐานเพอการทดสอบ เปนสงทตองการตรวจสอบ (ความเชอใหม) จะตองหาคาความนาจะเปนของการเกดความผดพลาดชนดท () ในคาของสมมตฐานทางเลอก ซงเปนเรองทยงยากมากกวา

o

รป (ก) รป (ข) o

2

2

o

5

ในการทจะยอมรบหรอปฏเสธสมมตฐาน ขนอยกบขอมลจากตวอยางทสมมาจากประชากร คาสถตทไดจะถกแปลงเปนคามาตรฐาน ทเรยกวาเปนตวสถตส าหรบการทดสอบ ซงจะมการแจกแจงแบบตาง ๆ เชน เปนการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน (Z) การแจกแจงแบบ t การแจกแจงแบบ F หรอการแจกแจงแบบไค

ก าลงสอง (2) โดยตวสถตจะถกน าไปเปรยบเทยบกบคาวกฤตของการแจกแจงทว ๆ ไปทสามารถเปดตารางเพอเปรยบเทยบได แลวจงพจารณาวาจะตดสนใจยอมรบหรอปฏเสธสมมตฐานหลกตอไป

ส าหรบการสรปผลการทดสอบสมมตฐานเชงสถต จะกลาววาการทดสอบนมนยส าคญทางสถต (significant) ถาขอมลทไดมาสามารถน าไปสการตดสนใจปฏเสธ H0 ได และจะกลาววาการทดสอบนไมม

นยส าคญทางสถต (nonsignificant) ถาขอมลเทาทมอยไมสามารถปฏเสธ H0 ได

7.4 การทดสอบสมมตฐานเกยวกบคาเฉลยประชากร 1 กลม

การทดสอบสมมตฐานเกยวกบคาเฉลยของประชากรเดยว () เปนการทดสอบเพอตองการทราบวา คาเฉลยของประชากรเทากบคาทคาดคะเนไวหรอไม โดยการศกษาจากกลมตวอยาง เชน ตองการทราบวาปรมาณผงซกฟอกบรรจกลองยหอหนงมปรมาณเทากบ 1,000 กรม ตามทระบขางกลองหรอไม จงท าการตรวจสอบโดยการสมตวอยางผงซกฟอกยหอนนมา 10 กลอง ค านวณหาน าหนกเฉลยของปรมาณผงซกฟอก แตละกลอง แลวจงน าคาเฉลยทค านวณไดจาก ตวอยาง10 กลองนไปเปรยบเทยบวาแตกตางกบคาเฉลยทคาดไวคอ 1,000 กรม หรอไม

ขอตกลงเบองตนส าหรบการทดสอบนคอ 1. กลมตวอยางมาจากการสมอยางเปนอสระกน 2. ประชากรมการแจกแจงปกต 3. ขอมลมระดบการวดอยางนอยในระดบอนตรภาคชน

การเลอกใชตวสถตจะขนอยกบขนาดตวอยางและพารามเตอรของประชากร ซงแยกพจารณาเปน 3 กรณคอ

กรณท 1 เมอทราบคาความแปรปรวนของประชากร (2 known)

ดวยระดบนยส าคญ สถตทเหมาะสมส าหรบการทดสอบ คอ

Z =

n

x

เมอ x คอ คาเฉลยของกลมตวอยาง

คอ คาเฉลยประชากร คอ คาเบยงเบนมาตรฐานของประชากร n คอ จ านวนตวอยางหรอขนาดตวอยาง

6

ตวอยาง 1 เครองจกรเครองหนงสามารถผลตสนคาไดวนละ 65 กโลกรม โดยมคาสวนเบยงเบนมาตรฐานของการผลตเปน 5 กโลกรม ผควบคมงานตองการตรวจสอบการท างานของเครองจกรจงสมตรวจปรมาณการผลตในเวลา 36 วน พบวาไดสนคาในปรมาณเฉลยวนละ 62 กโลกรม จงทดสอบทระดบนยส าคญ 0.01 วาจ านวนสนคาทเครองจกรผลตไดในแตละวนแตกตางจากเดมหรอไม วธท า จากโจทย

= 65 = 5 n = 36 x = 62

1. สมมตฐาน H0 : = 65

H1 : 65

2. ระดบนยส าคญ ก าหนด = 0.01 และการทดสอบเปนแบบสองทาง

3. สตร

Z =

n

x

4. ค านวณ

Z =

36

5

6562

= -3.60

5. ตดสนใจ ทระดบนยส าคญ 0.01 อาณาเขตวกฤตคอ |Z| > 2.575 ตดสนใจปฏเสธ H0

6. แปลความหมาย จ านวนสนคาทเครองจกรผลตไดในแตละวนแตกตางไปจากเดม

กรณท 2 เมอไมทราบคาความแปรปรวนของประชากรและตวอยางมขนาดใหญ

(2 unknown , n > 30)

เมอตวอยางมขนาดใหญและไมทราบคาความแปรปรวนของประชากร สามารถใชคา s2 ประมาณคา 2 ได ดวยระดบนยส าคญ สถตทเหมาะสมส าหรบการทดสอบ คอ

7

Z =

n

s

x

ตวอยาง 2 ถาองคการอาหารและยาก าหนดปรมาณนโคตนในบหรแตละมวนไวไมเกน 20 มลลกรม สมตรวจ สอบบหรยหอหนง จ านวน 40 มวน พบวามปรมาณนโคตนเฉลย 21.5 มลลกรม และมคาความแปรปรวน 15 มลลกรม จงทดสอบวาบหรชนดนมปรมาณนโคตนเกนก าหนดหรอไม ทดสอบทระดบความมนยส าคญ 0.05

กรณท 3 เมอไมทราบคาความแปรปรวนของประชากรและตวอยางมขนาดเลก

(2 unknown และ n < 30)

เมอสมตวอยางขนาดเลกจากประชากรทมการแจกแจงใกลเคยงกบการแจกแจงปกต และใชคา s2 ในการประมาณคา 2 แลว ตวสถตทใชทดสอบ คอสถตทดสอบ t โดยท

t =

n

s

x

ทองศาเสร (degree of freedom) = n-1 ตวอยาง 3 น าหนกของผลตภณฑชนดหนงก าหนดมาตรฐานใหมน าหนกเฉลย 1.2 กโลกรม จากการตรวจ สอบโดยสมตวอยางผลตภณฑนจ านวน 13 ชน พบวามน าหนกเฉลย 1.1 กโลกรม ดวยคาเบยงเบนมาตรฐาน 0.18 กโลกรม จงทดสอบวาผลตภณฑมน าหนกต ากวามาตรฐานทก าหนดหรอไม ทระดบนยส าคญ 0.05

7.5 การทดสอบสมมตฐานเกยวกบผลตางของคาเฉลยประชากร 2 กลม การทดสอบสมมตฐานเกยวกบผลตางของคาเฉลยประชากร 2 กลม เปนการศกษาโดยใชขอมลจาก

ตวอยางทสมมาจากประชากรทงสองกลมทเปนอสระกน เพอเปรยบเทยบคาเฉลยของทงสองกลมวาแตกตางกนหรอไม หรอกลมใดมคาเฉลยมากกวา หรอกลมใดนอยกวา เชน การเปรยบเทยบยอดขายประกนชวตของพนกงานชาย และ พนกงานหญงในบรษทแหงหนงวามความแตกตางกนหรอไม หรอเปรยบเทยบวารายไดเฉลยของประชากรในกรงเทพมากกวาประชากรในจงหวดเชยงใหม

วธท 1 การทดสอบสองทาง (two - sided test) เปนการทดสอบเมอก าหนดสมมตฐาน

H0 : 1 - 2 = d

H1 : 1 - 2 d

วธท 2 การทดสอบทางเดยว (one - sided test) เปนการทดสอบเมอก าหนดสมมตฐานในลกษณะใดลกษณะหนงคอ

8

H0 : 1 - 2 = d H1 : 1 - 2 > d หรอ H0 : 1 - 2 = d

H1 : 1 - 2 < d

เมอ d เปนคาคงทใด ๆ

วธการทจะทดสอบสมมตฐานจะขนอยกบการแจกแจงของประชากรและเงอนไขตาง ๆ ทเกยวของซงแยกพจารณาได 4 กรณ คอ

กรณท 1 เมอทราบคาความแปรปรวนของประชากร ( 22

21 , known)

สมตวอยางขนาด 21 n,n จากประชากร 2 กลมทเปนอสระกน ค านวณหาคาเฉลยของ

กลมตวอยางไดเปน 21 x,x โดยมคาความแปรปรวนของประชากร เปน 22

21 , ตามล าดบ สถต

ทดสอบเพอเปรยบเทยบความแตกตางของประชากร คอ

Z =

2

22

1

21

2121

nn

)()xx(

ตวอยาง 4 ในโรงงานผลตของเลนแหงหนง ถาความสามารถในการประกอบสนคาของพนกงานชายและพนกงานหญงมการแจกแจงปกต โดยมสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน 0.80 และ 0.55 ชนตามล าดบ สมตวอยางพนกงานชายจ านวน 36 คน พบวาสามารถประกอบสนคาใน 1 ชวโมงได โดยเฉลย 3.01 ชน และสมตวอยางพนกงานหญง 49 คน พบวาสามารถประกอบสนคาใน 1 ชวโมงไดโดยเฉลย 2.85 ชน ทระดบนยส าคญ 0.01 จงทดสอบวาจ านวนสนคาทผลตไดโดยเฉลยของพนกงานชายและพนกงานหญงแตกตางกนหรอไม

กรณท 2 เมอไมทราบ 22

21 , และตวอยางมขนาดใหญ

( 22

21 , unknown และ n1 , n2 > 30)

สมตวอยางขนาด 21 n,n จากประชากร 2 กลมทเปนอสระกน ค านวณหาคาเฉลยของกลมตวอยางไดเปน 21 x,x เมอไมทราบคาความแปรปรวนของประชากรทงสองกลม แตตวอยางมขนาดใหญพอ

(n1 , n2 > 30) จะประมาณคา 22

21 , ดวยคาสถต

22

21 s,s และตวสถตทใชในการทดสอบ คอ

Z =

2

22

1

21

2121

n

s

n

s

)()xx(

9

ตวอยาง 5 จากการสอบถามรายไดเฉลยตอเดอนของพนกงานขายประกนของบรษทสองแหง โดยสมถามพนกงานจ านวน 83 คนจากบรษท ก. พบวา มรายไดเฉลยตอเดอน 8,100 บาท ดวยสวนเบยงเบนมาตรฐาน 1,300 บาท สมถามพนกงานจ านวน 95 คนจากบรษท ข. พบวา มรายไดเฉลยตอเดอน 7,900 บาท ดวยสวนเบยงเบนมาตรฐาน 1,100 บาท ทระดบนยส าคญ 0.05 จงทดสอบวารายไดเฉลยตอเดอนของพนกงานบรษท ก. สงกวาบรษท ข. หรอไม

กรณท 3 เมอไมทราบความแปรปรวนประชากร และตวอยางมขนาดเลก แตทราบวามความแปรปรวนเทากน

( 22

21 , unknown และ n1 , n2 < 30 แตทราบวา 2

221 )

ถาสมตวอยางขนาด n1 , n2 (โดยท n1, n2 < 30 ) จากประชากร 2 กลมทไมทราบคา

ความแปรปรวน แตทราบวาความแปรปรวนของประชากรทง 2 กลมมคาเทากน จงประมาณคาความแปรปรวนทเทากนของทงสองกลมได และเรยกคานวา ความแปรปรวนรวม (Pool Variance) ใชสญลกษณ

แทนดวย 2ps โดยท

2ps =

2nn

s)1n(s)1n(

21

222

211

และในกรณน ตวสถตทเหมาะสมในการทดสอบคอ

t =

21

2p

2121

n1

n1

s

)()xx(

ทองศาเสร d.f. = n1 + n2 – 2

ตวอยาง 6 จากการเกบรวบรวมขอมลปรมาณน าฝนในเดอนเมษายนของภาคตะวนออกเฉยงเหนอ เปนระยะเวลา 10 ป พบวามปรมาณน าฝนโดยเฉลย 1.54 นว ดวยสวนเบยงเบนมาตรฐาน 0.26 นว และจากการเกบรวบรวมขอมลเดยวกนในภาคเหนอ เปนระยะเวลา 15 ป พบวามปรมาณน าฝนโดยเฉลย 1.94 นว ดวยสวนเบยงเบนมาตรฐาน 0.45 นว ทระดบนยส าคญ 0.05 จงทดสอบวาปรมาณน าฝนในเดอนเมษายนโดยเฉลยในภาคตะวนออกเฉยงเหนอจะนอยกวาในภาคเหนอ ถาทราบวาความแปรปรวนของปรมาณน าฝนเทากน

10

กรณท 4 เมอไมทราบความแปรปรวนประชากร ตวอยางมขนาดเลก และมความแปรปรวนไมเทากน

( 22

21 , unknown และ n1 , n2 < 30 แตทราบวา 2

221 )

เมอสมตวอยางขนาดเลกจากประชากรทไมทราบความแปรปรวน และทราบวาความแปรปรวน ของทงสองประชากรไมเทากน สถตทใชในการทดสอบสมมตฐานคอสถตทดสอบ t ทก าหนดองศาเสรไดจาก

d.f. =

1n

n

s

1n

n

s

n

s

n

s

2

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

โดยสถตทดสอบคอ

t =

2

22

1

21

2121

n

s

n

s

)()xx(

ตวอยาง 7 ในการทดสอบความสามารถในการขายของพนกงานชายและพนกงานหญง โดยการสมตวอยางพนกงานชายและพนกงานหญงอยางละ 12 คน พบวา ในชวงระยะเวลา 1 เดอน พนกงานชายขายสนคาไดโดยเฉลย คนละ 1,530 ชน ดวยสวนเบยงเบนมาตรฐาน 50 ชน ในขณะทพนกงานหญงขายสนคาไดโดยเฉลยคนละ 1,480 ชน ดวยสวนเบยงเบนมาตรฐาน 40 ชน ทระดบนยส าคญ 0.01 จงสรปผลการทดสอบน 7.6 การทดสอบสมมตฐานเกยวกบสดสวนประชากร 1 กลม

การทดสอบสดสวนของประชากรเดยว เปนการทดสอบเมอตองการทราบวา สดสวนของประชากรเทากบคาสดสวนทคาดคะเนไวหรอไม โดยการศกษาขอมลจากสดสวนกลมตวอยาง ท าการสมตวอยางขนาด n จากประชากรทสนใจศกษา โดยมจ านวนคาสงเกตในเหตการณทสนใจเทากบ x จะไดวาสดสวนของการเกดเหตการณทสนใจจากกลมตวอยางคอ

p = n

x

การก าหนดสมมตฐานเพอการทดสอบ จะก าหนดในลกษณะใดลกษณะหนง ไดดงตอไปน

1) H0 : p = po

H1 : p po

หรอ 2) H0 : p < po

H1 : p > po

11

หรอ 3) H0 : p > po

H1 : p < po

ในการทดสอบสมมตฐานเกยวกบสดสวนประชากร มกจะท าการเกบขอมลจากตวอยางขนาดใหญ ดงนนสถตทใชในการทดสอบ จงใชตวสถต Z โดย

Z = p p

pq

n

เมอ q = 1 - p

ตวอยาง 8 จากการสงเกตวาพนกงานชายของบรษททสบบหร มสดสวนประมาณ 30% หลงจากทางบรษทไดท าการรณรงคใหมการเลกสบบหรไปแลวระยะหนง จงสมสอบถามพนกงานชายจ านวน 120 คน พบวายงมจ านวนพนกงานชายทสบบหรอย 30 คน จงทดสอบวาจ านวนพนกงานชายทสบบหรลดลงหรอไม ทระดบนยส าคญ 0.05 7.7 การทดสอบสมมตฐานเกยวกบผลตางของสดสวนประชากร 2 กลม การทดสอบสดสวนระหวางประชากร 2 กลม เปนการศกษาเปรยบเทยบถงสดสวนของคณลกษณะทสนใจจากประชากรวาเหมอนกน หรอ แตกตางกนตามทคาดหวงไวหรอไม อยางไร เชนตองการศกษาเพอเปรยบเทยบถงสดสวนของแพทย 1 คน ตอจ านวนประชากรในเมอง และในชนบท เปนตน สมมตฐานการทดสอบอาจก าหนดในลกษณะใด ลกษณะหนงดงตอไปน

1. H0 : p1 - p2 = c

H1 : p1 - p2 c

หรอ 2. H0 : p1 - p2 < c

H1 : p1 - p2 > c

หรอ 3. H0 : p1 - p2 > c

H1 : p1 - p2 < c

เมอ c เปนคาคงทใด ๆ

การแจกแจงผลตางของสดสวนของตวอยางมการแจกแจงใกลเคยงกบการแจกแจงปกต ดงนน สถตทใชในการทดสอบจะขนอยกบสมมตฐาน คอ

ถาก าหนดสมมตฐาน เพอทดสอบวา P1 = P2 (c = 0) สถตทดสอบคอ

12

Z =

21

21

n

1

n

1pq

)pp(

ประมาณพารามเตอรทไมทราบคาคอ p

โดยท p = 21

21

nn

xx

และ q = 1 - p

และถาก าหนดสมมตฐานส าหรบทดสอบกรณท p1 , p2 เปนคาใด ๆ ทไมเทากน (c 0) และม

ความแตกตางเทากบคาคงทคาใดคาหนง จงใช 1p และ 2p ในการประมาณคาดงกลาวแทน ดงนนสถตทดสอบทเหมาะสม คอ

Z =

2

22

1

11

21

n

qp

n

qp

)c()pp(

ตวอยาง 9 ในการทดสอบประสทธภาพของยา 2 ชนด โดยยาชนดแรกทดลองใชกบคนไข 91 คน ปรากฏวาหายจากอาการปวย 63 คน ยาชนดทสองทดลองใชกบคนไข 79 คน ปรากฏวาหายจากอาการปวย 42 คน จงทดสอบสมมตฐานวาประสทธภาพของยาทง 2 ชนด แตกตางกนหรอไม ทระดบนยส าคญ 0.05

13

แบบฝกหดบทท 6 1. จงทดสอบเกยวกบคาเฉลยประชากรเมอทราบขอมลจากตวอยางดงตอไปน

1.1. คาเฉลยประชากรมากกวา 16 ถาก าหนด n = 14 , x =18 , s = 4 , = 0.01 1.2. คาเฉลยประชากรเทากบ 30 ถาก าหนด n = 36 , x =28 , s = 5 , = 0.05

2. จากการสมสอบถามพนกงานของบรษทแหงหนงจ านวน 36 คน ถงเวลาทใชในการเดนทางจากบานมาทท างาน พบวา เวลาเดนทางโดยเฉลยเปน 70 นาท ดวยสวนเบยงเบนมาตรฐาน 25 นาท ทระดบนยส าคญ 0.05 จงทดสอบวาเวลาเดนทางของพนกงานโดยเฉลยสงกวา 60 นาท หรอไม

3. อายของคนงานในโรงงานแหงหนงมการแจกแจงปกต สมตวอยางคนงาน 16 คน พบวา มอายเฉลย 32 ปดวยสวนเบยงเบนมาตรฐาน 5 ป จงทดสอบวา อายของคนงานโดยเฉลยสงกวา 30 ปหรอไม ก าหนดระดบนยส าคญ 0.05

4. น าหนกของเดกวยรนมการแจกแจงปกตดวยสวนเบยงเบนมาตรฐาน 12 กโลกรม สมตวอยางวยรนจ านวน 40 คน พบวา มน าหนกเฉลย 32 กโลกรม ทระดบนยส าคญ 0.01 จงทดสอบวาน าหนกของเดกวยรนสงกวา 30 กโลกรมหรอไม

5. โรงงานแหงหนงตองการทดสอบความแตกตางของน าหนกสนคาทผลตโดยเครองจกร 2 เครอง ซงมสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากน โดยการสมตวอยางสนคาทผลตจากเครองจกร A จ านวน 12 ชน พบวามน าหนกเฉลย 1.20 กรม ดวยสวนเบยงเบนมาตรฐาน 0.05 และจากการสม ตวอยางสนคาทผลตจากเครองจกร B จ านวน 9 ชน พบวามน าหนกเฉลย 1.09 กรม ดวยสวนเบยงเบนมาตรฐาน 0.08 ทระดบนยส าคญ 0.05 จงทดสอบวาน าหนกเฉลยของสนคาทผลตจากเครองจกร A และ B แตกตางกนหรอไม

6. ในการส ารวจยอดขายสนคาของบรษทในภาคเหนอ และภาคใต พบวา จากการสมตวอยาง 35 รานในภาคเหนอ ยอดขายโดยเฉลยเปน 20,000 บาท ดวยสวนเบยงเบนมาตรฐาน 3,000 บาท และจากการสมตวอยาง 40 รานในภาคใต พบวายอดขายโดยเฉลย เปน 18,000 บาทดวยสวนเบยงเบนมาตรฐาน 2,000 บาท ทระดบนยส าคญ 0.10 จะสรปไดหรอไมวายอดขายสนคาโดยเฉลยในภาคเหนอสงกวาในภาคใต

7. จากการส ารวจวนลาของพนกงานบรษทแหงหนงในรอบปทผานมา โดยเปรยบเทยบระหวางฝายการตลาด และฝายบญช ถาทราบวาความแปรปรวนของวนลาของพนกงานทงสองฝายเปน 12 วน และ 14 วน ตามล าดบ ทางบรษทสมตวอยางพนกงานฝายตลาดจ านวน 40 คน พบวามวนลาโดยเฉลยเปน 45 วน และจากการสมตวอยางพนกงานฝายบญช จ านวน 32 คน พบวามวนลาโดยเฉลยเปน 42 วน ทระดบนยส าคญ 0.05 จะสรปไดหรอไมวา จ านวนวนลาของพนกงานฝายตลาดสงกวาฝายบญช

8. จากการสมตวอยางนกศกษาคณะวทยาการจดการจ านวน 10 คน พบวาเกรดเฉลยวชาสถตธรกจเปน 2.65 ดวยสวนเบยงเบนมาตรฐาน 0.72 และจากการสมตวอยางนกศกษาคณะวทยาศาสตร จ านวน 15 คน พบวา เกรดเฉลยวชาสถตธรกจเปน 2.95 ดวยสวนเบยงเบนมาตรฐาน 0.51 ทระดบนยส าคญ

14

0.01 จะสรปไดหรอไมวาเกรดเฉลยวชาสถตธรกจของนกศกษาคณะวทยาการจดการนอยกวานกศกษาคณะวทยาศาสตร

9. เปนททราบกนดวา ไมต ากวา 70 % ของนกศกษาทจบจากสถาบนราชภฎจะมงานท า ถาสมบณฑตทมารายงานตวจ านวน 120 คน พบวามงานท า 90 คน จงทดสอบวาสมมตฐานนเปนจรงหรอไม ทระดบนยส าคญ 0.05

10. ในการตรวจสอบเครองจกรทใชในการผลตสนคาหนง สมตวอยางสนคาทผลตมาจ านวน 400 ชน พบสนคาช ารด 12 ชน ถาฝายตรวจสอบคณภาพการผลต ก าหนดวาในการผลตแตละครง จ านวนสนคาช ารดตองไมเกน 2% จงทดสอบวาเครองจกรนไดมาตรฐานตามเกณฑก าหนดหรอไม ทระดบนยส าคญ 0.05

11. ในการทดสอบประสทธภาพของยาฆาแมลงชนดหนง ซงคาดวาจะฆาแมลงไดมากกวา 50% โดยทดลองกบแมลง 200 ตว พบวามแมลงตายจ านวน 120 ตว จงสรปผลการทดลองดงกลาวท ระดบนยส าคญ 0.01

12. ในการส ารวจตลาดของสนคาชนดหนง โดยส ารวจ 2 ปตดตอกน โดยใชตวอยางขนาด 400 เทากน พบวามผนยมใชสนคาน 33% และ 17% ตามล าดบ ทระดบนยส าคญ 0.01 จะสรปไดหรอไมวามผนยมใชสนคายหอนนอยลง

13. จากการสอบถามผชมโทรทศนในรายการสารคดชดหนง พบวา ผชาย 60 คนจาก 200 คน ชอบชมรายการน และผหญง 70 คนจาก 300 คน ชมรายการน ทระดบนยส าคญ 0.05 จะสรปไดหรอไมวาผชายชอบรายการนมากกวาผหญงอยางนอย 5 %

14. ในการทดสอบอตราการงอกของเมลดพชชนดหนง ในดน 2 ประเภท ปรากฏวาในดนประเภทแรกมการงอก 32 เมลดใน 50 เมลด ประเภทท 2 มการงอก 58 เมลดใน 80 เมลด จะสรปไดหรอไมวาอตราการงอกในดนประเภทท 2 ดกวาดนประเภทแรก ทระดบนยส าคญ 0.05

15. บรษททผลตยางรถยนตแหงหนงรบประกนวา ยางทบรษทผลตขนจะสกเมอใชงานไปแลวอยางนอย 33,000 กโลเมตร ดงนน ฝายตรวจสอบจงทดสอบค ากลาวนโดยใชยางรถยนต 100 เสน พบวาระยะทางเฉลยเปน 33,800 กโลเมตร ดวยสวนเบยงเบนมาตรฐาน 3,000 กโลเมตร จงทดสอบวา ค ากลาวของบรษทถกตองหรอไม ทระดบนยส าคญ 0.10

16. ในการส ารวจภาวะโภชนาการของเดกชนบท จ านวน 200 คน พบวา คาเฉลยของปรมาณสารอาหารทไดรบตอวนเปน 1,985 แคลอร ดวยสวนเบยงเบนมาตรฐาน 210 แคลอร จากขอมลทไดจงทดสอบวา

ปรมาณของสารอาหารทเดกไดรบจะต ากวา 2,000 แคลอรตอวน หรอไม (ก าหนด = 0.05) 17. ถาระยะเวลาทใชในการซอมเครองมออเลคโทรนคสมการแจกแจงปกต (หนวย/ชงโมง) บนทก ขอมล

ระยะเวลาทใชซอมเครองมอดงกลาว จากคนงาน 16 คน เปน 1.59 2.24 2.22 1.49 2.80 3.79 3.62 2.66 1.01 1.79 1.68 4.85 2.12 2.64 2.50 1.70 จงทดสอบวาระยะเวลาการซอมเครองมอของคนงานโดยเฉลยจะสงกวา 2.5 ชวโมงหรอไม ทระดบนยส าคญ 0.05

15

18. ในการทดสอบกระบวนการผลตกาซโซลนจากน ามนดบ 2 วธ สมมตวา ถาผลผลตทไดมการแจกแจงปกต ทมความแปรปรวนเทากน วดปรมาณผลผลตทไดจากกระบวนการทงสองในเวลา 6 วน ไดขอมลดงน วธท 1 24.2 26.6 25.7 24.8 25.9 26.5 วธท 2 21.0 22.1 21.8 20.9 22.4 22.6

จะสรปไดหรอไมวา กระบวนการผลตวธท 1 ใหผลผลตมากกวาวธท 2 อยางมนยส าคญ (ก าหนด = 0.01 )

19 ในการเปรยบเทยบกระบวนการผลตสนคาอตสาหกรรม 2 วธ สมตวอยางคนงาน 40 คน ในวธท 1 พบวา คนงานใชเวลาในการผลตสนคาแตละชน เฉลย 54 นาท ทสวนเบยงเบนมาตรฐาน 6 นาท และสมตวอยางคนงาน 50 คน ในวธท 2 พบวา คนงานใชเวลาเฉลย 57 นาท ทสวนเบยงเบนมาตรฐาน 8 นาท จงทดสอบทระดบนยส าคญ 0.05 วาระยะเวลาทใชในการผลตสนคาในกระบวนการทง 2 วธ แตกตางกนหรอไม

20 บรษทผผลตแบตเตอรรถยนต กลาวรบรองวาอายการใชงานของแบตเตอรทผลตจากโรงงานของบรษทจะมอายการใชงานไมต ากวา 5 ป สมตวอยางแบตเตอร 5 ลก ทดลองใชงานไปจนหมดสภาพ ไดอายการใชงาน (ป) ของแบตเตอรแตละลกเปน 3.9 4.4 5.0 5.5 และ 6.0 ป ตามล าดบ ทระดบนยส าคญ 0.05 จงทดสอบวาค ารบรองของบรษทเปนจรงหรอไม