135

บทท 8 ความเคนและความเครยด

8.1 ความน า ชนสวนโครงสรางทกประเภท เมอถกแรงหรอนาหนกมากระทาใหเกดการเคลอนทหรอหยดนง หรอเปลยนแปลงรปรางวสดนนกพยายามทคงรปไว โดยแรงยดเหนยวระหวางมวลเพอรกษารปทรงใหอยในสภาพสมดล แรงทมากระทาจะกระจายเตมพนทหนาตด การพจารณาแรงยดเหนยวภายในถอเปนเรองสาคญทจะตองทราบเพอประกอบการพจารณานาไปประกอบชนสวนโครงสรางอาคารตอไป 8.2 ความหมาย ปจจบนน เราสามารถนาเอาวตถตางๆ มาใชประกอบเปนเครองจกรกลและโครงสรางตางๆ ไดอยางเหมาะสม ทงนขนอยกบ ความแขงแรงของมวลของวตถหรอแรงภายใน นอกจากนนวศวกร และชางเทคนคจาเปนตองเอาใจใส คณสมบตของวสดตอไปน ความหนาแนน (Density) ความยดหยน (Elasticity) ความเคน (Stress) ความเครยด (Strain) ความแขง (Hardness) เนองจากคณสมบตบางอยาง เชน ความหนาแนน ความแขง เราไดศกษามาแลว จากวชากลศาสตร เบองตน จงไมจาเปนตองนามากลาวอก ความยดหยน ( Elasticity) คอคณสมบตของวตถทกลบคนสสภาพเดมเมอมแรง หรอระบบของแรงมากระทา ใหแปรรปนน ๆ หมดไปแลว วสดทนบไดวามความยดหยน โดยสมบรณ กตอเมอไมมการแปรรปจนอยตว เหลออยเลยจนนดเดยว เมอเอาแรงหรอระบบของแรงนนออกไปเสย เชน ยางยด สปรง เปนตน ความเปนพลาสตก (Plasticity) คอคณสมบตของวตถทยอมแปรรปจนอยตว แมแตจะถกแรงภายนอกมากระทานดเดยวเมอเอาแรงภายนอกออกแลวกคงอยในสภาพทแปรรป เชนเดม เชน ดนเหนยว ความเคน (Stresses) เมอมแรงภายนอกมากระทาตอวตถจะมแรงภายในเกดขน ในเนอของวตถตอตานเอาไว แรงภายในอนน คอ แรงยดเหนยวกนระหวางเนอกบวตถ หรอจะกลาวไดวา เมอวตถถกดง หรอถกกด หรอถกเฉอนใหขาดออกจากกนกจะมแรงปฏกรยาโตตอบตอแรงภายนอกทมากระทา สมมตวาเราตดแทงวสดใหตงฉากกบแนวแรงภายนอก ทมากระทา เราจะเหนวาตองมแรงทาใหชนทถกตดออกไปนอยในภาวะสมดล แรงนจะมคาเทากบ P และมทศทางตรงกนขามกบ P ถาเราคดวาแรงนอยใน เนอของวตถเมอวตถยงไมขาดจากกนกคอ อานาจความยดเหนยวระหวางโมเลกลของวตถนนเอง ดงนนพอจะกลาวไดวาแรงนจะตองแบงออกเปนแรงเลก ๆ นบไมถวนกระจายอยเตมเนอท ความเขมของแรงตอพนทภาคตดหรอไมสมาเสมอกได แลวแตลกษณะของแรง เราสามารถจะหาขนาด

136

ของแรงความเคนไดโดยเอาแรงภายนอกทมากระทานนหารดวยพนทหนาตดทแรงนนกระทาตอหนงหนวยพนท ถาให S() = ความเคนของวตถ P = แรงภายนอกทมากระทาตอวตถ A = พนทหนาตดของวตถ

จะได S = A

P

หนวยความเคน ระบบองกฤษ lb.f/in2

ระบบเมตรก kg.f/cm2

ระบบ SI N/m2

8.3 ชนดของความเคน (Kind of Stresses) ความเคนแบงออกตามลกษณะทแรงภายนอกมากระทาได 3 อยาง คอ 8.3.1 ความเคนดง ( Tensile Stress) เมอมแรงภายนอกมากระทาวตถในลกษณะทพยายามดงวตถในขาดจากกน วตถนนจะมแรงภายในตอตานเอาไว แรงภายในทตอตานเอาไว ตอหนงหนวยพนทเราเรยกความเคนดง ดตามรปท 8.1

รปท 8.1 แหงวตถถกแรงดงมากระทา

P

A P

P

P

dP dP

137

รปท 8.1 แรง P กระทาตอวสดผานจดศนยถวง ตามรป ให St = ความเคนดง Pt = แรงทมากระทาใหลกษณะทดงใหวตถขาดจากกน At = พนทหนาตดตงฉากกบแนวแรง

St = t

t

A

p …………………………( 8.1)

8.3.2 ความเคนอด (Compressive Stress) เมอมแรงภายนอกมากระทาตอวตถในลกษณะทอดวตถนนใหแตกหกออกจากกน กจะมแรงดงดดระหวางโมเลกลตอตานเอาไวแรงภายในทตอตานไวนตอหนงหนวยพนทเราเรยกวา ความเคนอด ตามรปท 8.2

รปท 8.2

รปท 8.2 เมอแทงวตถถกแรงอดมากระทา

ให Sc = ความเคนอด Pc = แรงอดภายนอก Ac = พนทหนาตดตงไดฉากกบแนวแรง

138

Sc = cA

Pc ………………………………. (8.2)

8.3.3 ความเคนเฉอน (Shearing Stress) เมอมแรงภายนอกมากระทาตอวตถในลกษณะทเฉอนวตถใหขาดจากกน กมแรงภายในตอตานเอาไว แรงภายในทตอตานไวตอหนงหนวยพนท เราเรยกวาความเคนเฉอน ดรปท 8.3

รปท 8.3

ให Ss = ความเคนเฉอน Ps = แรงภายนอก As = พนทหนาตดทขนานกบแนวแรง

Ss = s

s

A

P ……………………………………….( 8.3)

8.4 ความเครยด (Strain) เมอแทงวตถ ถกแรงภายนอกมากระทา และวตถนนแปรรปหรอเปลยนรปรางกจะมแรงภายในตอตาน แรงภายนอกทมาเปลยนรปรางนน การตอตานการเปลยนรปรางนเรยกวา ความเครยด หาขนาดความเครยดไดโดยเอาสวนทเปลยนไปจากรปรางเดมหารดวยรปรางเดมของวตถ แบงได 3 อยาง คอ 8.4.1 ความเครยดอด (Compression Strain) เราให c = ความเครยดอด L = สวนทหด L = ความยาวเดม c =

139

รปท 8.4 วตถจะหดตวเมอไดรบแรงอด

8.4.2 ความเครยดดง (Tensile strain) ตามรปท 8.5 t = ความเครยดดง L = สวนทยด L = ความยาวเดม

t = L

L ……………………………(8.4)

รปท 8.5

140

8.4.3 ความเครยดเฉอน (s) เมอมแรงกระทาตอวตถใหรปรางเปลยนไปตามรปท 8.6

รปท 8.6

s = ความเครยดเฉอน = มมทเอยงไปของวตถ

Tan = L

L = s ……………………………(8.5)

8.5 กฎของฮก (Hook’ Law)

โรเบอรด ฮก เปนนกวทยาศาสตรชาวองกฤษ ไดทาการทดลองดงทอนวสดหลาย ๆ อยางในหนาตดเทา ๆ กน และสงเกตพบวาการยดตวของทอนวสดเมอถกแรงดงเปนสดสวนโดยตรงกบแรงทใชดงและเขาไดสรปกฎไววา “ ถามแรงมากระทาตอวตถ การยดตวของวตถจะเปนปฏภาคโดยตรงกบแรงทมากระทา” หรอ “ ภายในขอบเขตแหงความเปนพลาสตก (Plastic Limit) ความเครยดทเกดขนจะเปนปฏภาคโดยตรงกบความเคน คาวาภายในขอบเขตแหงพลาสตกนนหมายความวา ถาวสดถกแรงภายนอกมากระทาวตถกจะยดหรอหดหรอเปลยนรปรางและจะเปลยนรปรางไปจนถงขดหนง ถาหากเอาแรงมากระทานนออกวตถกสามารถกลบคนเขาสสภาพเดมได กฎของฮกนเราพอจะเขยนเปนสมการ ไดดงน

ความเคน = มคาคงทเสมอ (ถาการยดหดหรอเปลยนรปรางอยในขอบเขต ความเครยด แหงความยดหยน)

S = ความเคน = ความเครยด

s = คาคงท (คาพกดยดหยนสาหรบวสดชนดหนง)

141

8.6 พกดยดหยน (Modulus of Elasticity)

พกดยดหยนนเราเรยกอกยางวา (Young’s Modulus) เปนคาตวคณคงตวของวตถชนดหนง ๆ เราใชสญลกษณเปนตว E

E =

s = L

L

E =

s = LA

PL

. ……………………(8.6)

8.7 ความสมพนธระหวางความเคนกบความเครยด คาตาง ๆ เกยวกบสมบตบางประการของวสดทนามาใชในการคานวณความแขงแรงของชนสวนเครองกล และโครงสรางไดมาจากการทดลองแรงดงนนจรง ๆ เรานาแทงวสดตามขนาดทกาหนดทดสอบแรงดงหลาย ๆ อน วดขนาดของแรงทกระทาและสวนทยดออกไป ตลอดจนเสนผาศนยกลางทเปลยนไปดวยหลงจากไดตวเลขอยางละเอยดดแลว จงนามาเขยนเปนเสนกราฟเพอใชงานตอไป เราทราบมาแลววา คาทมความสาคญในการคานวณตามกฎของฮก คอ ความเคนและความเครยด ดงนนในการทดลองเราจงพยายามวดคาทงสองนเพอนามาเขยนกราฟ และแสดงความสมพนธระหวางกนและกน โดยใชคาความเคนเปนแกนตง (Ordinate) และคาความเครยดเปนแกนนอน (Abscissa) กจะได Curve ทเรยกวากราฟการทดสอบแรงดง (Tensile Test Diagram) ดงรปท 8.7 ซงเปนแผนภาพทดสอบแรงดงเสนเหลกทใชในงานกอสราง

ความเครยด (cm/cm)

ความเคนด

ง (kg

/cm2 )

E Breaking Strength

D Ultimate Strength

C Yield point

B Elastic limit

A Proportional limit

142

รปท 8.7 เสนกราฟการทดสอบแรงดงของเหลกกอสราง จากรปท 8.7 จะเหนไดวา จาก O ถง A จะเปนกราฟเสนตรง ซงหมายความวา ในระยะน ความสมพนธระหวางความเคนกบความเครยดจะเปนไปตามกฎของ ฮก จด A นเราเรยกวา “ จดแหงขอบเขตของความหยดหยน” หรอจดจากดความยดหยน (Proportinal limit) เลยจด A ไปการยดตวของวสด จะไมเปนสดสวน หรอจะไมเปนตามกฎของฮกทจด B การยดตวของวสดจะเพมขนอยางรวดเรวกวาความเคน ตอนนความยดเหนยวระหวางโมเลกลของวตถเรมคราก(Yield) คอ จดทวตถไมยอมกลบคนสสภาพเดม เมอแรงทมากระทานนหมดไป เราเรยกวา จดคราก (Yield Point) เมอเลยจด B ไปแลว เมอออกแรงดงวตถจะยนตอไป และเมอเพมแรงดงไปถงจด C ดตามกราฟจะเหนวาเสนกราฟขนไปสงสดทจด C และเมอเลยจดนไปแลว วตถจะยดตอไป แมไมไดดเพมแรงเลย เมอดตามเขมของเครองทดลองจะเหนวาแรงทใชดงลดลงไปจากจด C เราเรยกวาจดแรงสงสด (Ultimate Strength) วตถจะยดตวตอไป แมแรงจะลดลงถงจด C และวตถจะขาด เราเรยกจด D วา จดขาด (Breaking Point) วตถบางชนดไมแสดงขอบเขต ความเปนสดสวนโดยแนชดเชน เหลกหลอ ดรปท 8.8

รปท 8.8 เปนกราฟของการดงเหลกหลอ

8.7.1 การยดตวเปนรอยละ (Percentage of Elongation) จากการทดลองการดงวสด วสดยอมมการยดตวตาง ๆ กน เครองทดสอบแรงดงสามารถบนทกการยดตวออกไดอยางละเอยด

ความยาวสดทาย – ความยาวครงแรก x 100 ความยาวครงแรก ในทานองเดยวกนเราสามารถจะหาการลดตวทางพนทหนาตดของวสด เปนรอยละ

เนอทหนาตดเดม – เนอทหนาสดทายทขาด เนอทหนาตดเดม

C Ultimate Point

เนอทตดเปนรอย =

การยดตวเปนรอยละ =

143

ในวสดบางอยางเชน เหลกหลอ ( Cast iron) ตามรปท 8.8 แลว กราฟไมสามารถจะแสดงใหเราทราบถงจดยด Yield Point ไดอยางแนนอน จดยดเปนจดสาคญมากในการออกแบบโครงสรางหรอเครองจกรกล ดตามรปท 8.9

รปท 8.9 แสดงการหาจด Yield Point

โดยทวไปแลวเราสามารถหาจด Yield Strength โดยเขยนเสนตรงใหขนานกบชวง Elastic

Limit โดยจดเรมตนของเสนขนานนหางจากจดกาเนดของกราฟประมาณ 0.2% ของความเครยด เมอเสนขนานนไปตดเสนกราฟทไหน กใหถอวา Yield Strength อยทจดนน 8.7.2 แรงประลย (Ultimate Strength) วตถตาง ๆ เมอถกแรงภายนอกกระทาจะมแรงภายใน(Stress Strain) ตอตานเอาไว แตถาวตถนนถกแรงกระทาเพมขนทกท แรงภายในกจะเพมตามไปดวยแตจะมขดจากดอยขดหนงนนจะมความตานทานเพมขนอกไมได และถาวตถไดรบแรงตอไปเกนขดจากดจะเกดการแตกหรอขาดได ขดทกลาวนคอ แรงสงสดทวสดสามารถจะรบนาหนก หรอแรงประลย (Ultimate Strength) 8.7.3 แรงทก าหนดใหใชงาน (Allowable, Stresses or Working Stress) เปนแรงภายในทกาหนดขนเพอใหวสดสามารถใชงานไดโดยปลอดภย เนองมาจากการทดสอบกาลงของวสดเราสามารถทราบกาลงสงสดของวสดได แตเราไมสามารถจะทราบถงกาลงทปลอดภยเมอวสดนนรบกาลง เราจงกาหนดความแขงแรงทใชงานไดปลอดภย 8.7.4 ตวประกอบปลอดภย (Factor of Safety) จากการทดสอบกาลงของวสดนนทราบกาลงสงสด (Ultimate Strength) ของวสด ในการออกแบบโครงสรางและเครองจกรกลเราตองการความปลอดภย ถาใชคากาลงประลยในการออกแบบ กจะไดผลลพธซงหมนตออนตราย เพราะถาวสดไดรบ

144

แรงมากกวานนนดเดยวกจะตองแตกหกลงดวยเหตผลดงกลาวได มการพจารณาหาตวเลขจานวนหนงไปทอนคา Ultimate Strength ใหนอยลง เรยกจานวนนวา ตวประกอบปลอดภย (Factor of Safety) ในงานชางสาขาตาง ๆ ไดกาหนดตวประกอบปลอดภยไวตาง ๆ กน คาทไดจากการนาเอาตวประกอบปลอดภยไปหารความแขงแรงสงสด (Ultimate Strength) เราเรยกวาความแขงแรงทยอมใหใชนนเอง ถาเขยนใหเปนสตรจะได ดงน Ultimate Strength Factor of Safety ตวอยางท 8.1 แทงเหลกแทงหนง เสนผาศนยกลาง 0.025 ม. ยาว 0.03 ม. มแรง 1000 N ดงตามแกน จาก Tensile Unit Stress ทเกดขนในเหลกแทงน P = 1000 N

At = 4

2d

d = 0.025 m

St = 2025.0

41000

x

= 025.0025.022

471000

xx

xx

= 2036363 N/m2 Tensile Unit Stress = 2.03x106 N/m2 ตอบ ตวอยางท 8.2 เหลกแขงยาว 1.00 ม. มเสนผาศนยกลางภายนอก 0.025 ม. เสนผาศนยกลางภายใน 0.01 ม. มแรง 800 N ดงตามแกน จงหา Tensile Unit Stress ทเกดขนในแปป P = 800 N

At = 2

2

2

144

dd

= 2

2

2

14

dd

= 4

(0.025

2 – 0.019

2 )

= 47

000264.022

x

x

= 0.0002836 ม2

Working Strength =

145

St = tA

P = 0002830.0

800

Tensile Unit Stress = 2.8 x106 N/m2 ตอบ ตวอยางท 8.3 แทงคอนกรตมพนทหนาตด 0.01 ม2 และมแรง 10000 N อดตามแกน จงหา Compressive Unit Stress ทเกดขนในคอนกรต

วธท า SC = CA

P

P = 10,000 N AC = 0.0100 m2

SC = 0100.0

000,10 = 106 N/m2 ตอบ

ตวอยางท 8.4 แปปเหลกมเสนผาศนยกลางภายนอก 0.35 ม. มแรง 39200 N อดตามแกน ทาใหเกด Compressive Unit Stress เทากบ 9.5 x 103N/m2 จงหาเสนผาศนยกลางภายในของแปป

จากสตร Sc = cA

p

P = 39200 N SC = 9.5 x 103 N/m2

AC = 3105.9

408

x= 0.042 ม2

พนทภายนอกของแปป = 4

2d = 4

35.0 2 = 0.962 ม2

พนทภายในของแปป = 0.0962 – 0.042 = 0.0542 ม2

0.0542 = 4

2d

d2 = 22

740542.0 xx

d = 0.262 ม. ตอบ

ตวอยางท 8.5 จงหา Shearing Unit Stress ทเกดขนตามรป 8.10

สตร Ss = sA

P

P = 800 N AS = 0.10x0.125 = .0125 ม2

146

Ss = 0125.

800 = 6.4 x 104 N/m2

Shearing Unit Stress = 6.4 x 104 N/m2

รปท 8.10

ตวอยางท 8.7 ในการทดสอบอดคอนกรตรปทรงกระบอกสง 0.40 m ปรากฏวาคอนกรต เมอ Compressive Unit Strain เทากบ 0.0012 จงหาวากอนทแทงคอนกรตจะแตกนนมนหดเทาไร

สตร Ec = L

L

Ec = 0.0012 L = 0.40 m

0.0012 = 40.0

L

L = 0.00048 m

147

แบบฝกหดท 8

1. ตามรปแรง P ทาใหเกด Tensile Unit Strain ของชวงกลางเทากบ 0.001 ซม. และทาใหวตถนยดออกทงหมดเปนระยะทาง 0.04 ซม. จงหา Tensile Unit Strain ในชวงรม

รปท 8.11

2. แทงทองเหลองมเสนผาศนยกลาง 0.20 ม. ยาว 0.40 ม. มแรงอด 10,000 N จะหดตวเขา 0.015 ม. จงหา Modulus of Elasticity 3. แทงทองเหลองยดออก 0.012 ม. เมอ Unit Stress = 12,000 N/m2 ใหหาวาแทงทองเหลองยดเทาไร 4. ตามรปแทงทองเหลอง AB ม Unit Stress = 12,600 N/m2 จงหาวา AB ยดเทาไร

รปท 8.12 จากโจทยท 4

0.05 m 0.05 m 0.05 m

1.5 m

148

5. ตามรป เปนรอยตอโครงสราง ถา AB ทาดวยเหลกกลา ซงม Ultimate Strength = 6.5 x 104 N/m2

กาหนดใหใช Factor of Safety = 5 จงคานวณหา พนทหนาตดของเหลก A และ B ทจะไดรบโดยปลอดภย

รปท 8.13 จากโจทยท 5

6. เหลกเสนหนงม 0.05 ม. มแรง 60,000 N ดงตามแกน จงหา Shearing Unit ทเกดขนบนพนทหนาตดเอยว 45 องศา และหา Tensile Unit Stress 7. ตามรป AB ทาดวยเหลกขนาน 0.19 ม. BC ทาดวยไมขนาด 0.055x0.075 ม. หา Tensile Unit Stress ทเกดขนในเหลก AB และหา Compressive Unite Stress ในไม BC

20000 N

60000 N

A

รปท 8.14 จากโจทยขอ 7

A

149

8. ตามรป 8.15 ABC เปนโครงสามเหลยมหนาจว AB ทาดวยไมขนาด 0.05x0.10 ม. BC ทาดวยเหลก 0.012 จงหา Compressive Unit Stress ทเกดขนในไม AB และหา Tensile Unit Stress ทเกดขนในเหลก BC

รปท 8.15 จากโจทยขอ 8

9. ตามรปท 8.16 BC ทาดวยเสนลวดขนาด 0.006 m จงหา Tensile Unit Stress ทเกดขนในเสนลวด BC

รปท 8.16 จากโจทยขอ 9

10. จงหา Shearing Unit Stress ทมลกษณะตามรปท 8.17

1.80 m

A

B C 0.015 m

0.05 x 0.10 m

2.40 m

100 N

150

รปท 8.17 จากโจทยขอ 10

11. ตามรป 8.20 แรง 225 N ทาใหเกด Shearing Unit Stress ในไม 2x105N/m2 จงหาขนาดของ B

รปท 8.18 จากโจทยขอ 11

151

12. จงหา Shearing Unit Stress ทเกดขนในตวนอต ตามรปท 8.19

รปท 8.19 จากโจทยท 12

13. จงหา Shearing Unit Stress ทเกดขนในแผนเหลก ตามรปท 8.20

รปท 8.20 จากโจทยขอ 13

600 N

0.125 m

152

14. ตามรปท 8.21 แรง P ทาใหเกด Compressive Stress ในเพลา 4.14x107 N/m2 ถา ของเพลา = 0.10 ม. จงหาแรง P และถา Collar หนา t = 0.0375 ม. จงหา Shearing Stress ทเกดขนระหวาง Collar กบเพลา

รปท 8.21 จากโจทยขอ 14

15. ตามรปแทงทองเหลอง AB ม Stress = 8.69x108 N/m2 ม E ของทองเหลอง 2.01 x 1011 N/m 2 จงหาวา AB ยดเทาไร

รปท 8.22 จากโจทย 15

1.5 m

153

16. จงหาคาของแรง F ทาให Tensile Stress 1200 kg/cm2

รปท 8.23 จากโจทยขอ 16