第四章 随机变量的数字特征

第四章 随机变量的数字特征 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量 X 的概率分布，那么 X 的全部概率特性也就知道了 .

然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的 . 而且在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了 .

例如

考察某型号电视机的质量： 平均寿命 18000 小时±200 小时 .

考察一射手的水平 : 既要看他的平均环数是否高 , 还要看他弹着点的范围是否小 , 即数据的波动是否小 .

由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征 , 这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义 .

r.v. 的平均取值 —— 数学期望 r.v. 取值平均偏离均值的情况 —— 方差 描述两 r.v. 间的某种关系的数 —— 协方差与相关系数

本章内容

随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写

§4.1 随机变量的数学期望

X 8 9 10

次数 10 30 60

Y 8 9 10

次数 20 50 30

例.,

100

：乙击中的环数：甲击中的环数下：次，他们的射击结果如甲、乙两人各射击

YX

平较高？试问哪一个人的射击水

为甲、乙的平均环数可写

5.96.0103.091.08100

6010309108

1.93.0105.092.08100

3010509208

的好．，甲的射击水平要比乙因此，从平均环数上看

5.96.0103.091.08 EX

1.93.0105.092.08 EY

X 8 9 10

P 0.1 0.3 0.6

Y 8 9 10

P 0.2 0.5 0.3

用分布列表示

设 X 为离散 r.v. 其分布列为

,2,1,)( kpxXP kk

若无穷级数

1kkk px

其和为 X 的数学期望，记作 E( X ), 即

1

)(k

kk pxXE

1. 数学期望的定义

绝对收敛 , 则称

定义 1

设连续 r.v. X 的 d.f. 为 )(xf

若广义积分

dxxxf )(

绝对收敛 , 则称此积分为 X 的数学期望记作 E( X ), 即

dxxxfXE )()(

定义 2

5.96.0103.091.08 EX

1.93.0105.092.08 EY

X 8 9 10

P 0.1 0.3 0.6

Y 8 9 10

P 0.2 0.5 0.3

前例

例 X ~ B ( n , p ), 求 E( X ) .

解

n

k

knkkn ppkCXE

0

)1()(

n

k

knk ppknk

nnp

1

)1()1(1 )1()!()!1(

)!1(

1

0

)1(1 )1(

n

k

knkkn ppCnp np

特例 若 X ~ B ( 1 , p ), 则 E(X) p

例 X ~ P (λ), 求 E( X ) .

)(~ PX

,0,,2,1,0,!

)( kek

kXPk

00 !

)(k

k

kk e

kkkpXE

1

1

)!1(k

k

ke

0 !k

k

ke

ee

, 0( )

0, 0

xe xf x

x

0)( dxexXE x

例 X ~ E (λ) , 求 E( X ) .

]|[00 dxexe xx

1

|1

0 xe

例 X ~ N ( , 2 ), 求 E ( X ) .

解 dxexXEx

2

2

2

)(

21

)(

dueuuu

x

2

2

2

1

）（令

常见分布的数学期望分布 期望概率分布

0-1 分布pXP

pXP

1)0(

)1(p

B(n,p)nk

ppCkXP knkkn

,,2,1,0

)1()(

np

P()

,2,1,0!

)(

kke

kXPk

分布 期望概率密度

区间 (a,b) 上的均匀分布

其它,0

,,1

)( bxaabxf

2ba

E()

其它,0

,0,)(

xexf

x1

N(, 2) 2

2

2

)(

21

)(

x

exf

注意 不是所有的 r.v. 都有数学期望

例如：柯西 (Cauchy) 分布的密度函数为

xx

xf ,)1(

1)(

2

dx

xx

dxxfx)1(

||)(||

2但 发散

它的数学期望不存在 !

为普查某种疾病 , n 个人需验血 . 验血方案有如下两种：(1) 分别化验每个人的血 , 共需化验 n 次；(2) 分组化验 , k 个人的血混在一起化验 , 若结果为阴性 , 则只需化验一次 ; 若为阳性 , 则对 k 个人的血逐个化验 , 找出有病者 , 此时 k 个人的血需化验 k + 1 次 . 设每人血液化验呈阳性的概率为 p, 且每人化验结果是相互独立的 . 试说明选择哪一方案较经济 .

验血方案的选择应用

解 只须计算方案 (2) 所需化验次数的期望 .

设每人需化验的次数为 X ，则

]11[1

11

)( kk pk

kp

kXE

kp1 kp 11

X

P

k

1

k

k 1

例如 :

4 11000 ( ) 1000 1 0.9 594 1000.

4E X

,4,1.0,1000 kpn

当 时 , 选择方案 (2) 较经济 .

kp k /1)1(

.1)(, XEp很小时当

2. 随机变量函数的数学期望

设已知随机变量 X 的分布，我们需要计算的不是 X 的期望，而是 X 的某个函数的期望，比如说 g(X) 的期望 . 那么应该如何计算呢？

如何计算随机变量函数的数学期望 ?

一种方法是 : 因为 g(X) 也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由 X 的分布求出来 . 一旦我们知道了 g(X) 的分布，就可以按照期望的定义把 E[g(X)] 计算出来 .

使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X) 的分布，一般是比较复杂的 .

是否可以不求 g(X) 的分布而只根据 X 的分布求得 E[g(X)] 呢？

下面的基本公式指出，答案是肯定的 .

公式的重要性在于 : 当我们求 E[g(X)]时 , 不必知道 g(X) 的分布，而只需知道 X的分布就可以了 . 这给求随机变量函数的期望带来很大方便 .

设离散 r.v. X 的概率分布为

,2,1,)( ipxXP ii

若无穷级数

1

)(i

ii pxg 绝对收敛，则

1

)()(i

ii pxgYE

(1) Y = g(X ) 的数学期望

设连续 r.v. X 的 d.f. 为 f (x)

dxxfxg )()( 绝对收敛 , 则

dxxfxgYE )()()(

若广义积分

设离散 r.v. (X ,Y ) 的概率分布为,2,1,,),( jipyYxXP ijji

1,

),(ji

ijji pyxg 绝对收敛 , 则

1,

),()(ji

ijji pyxgZE

若级数

(2) Z = g(X ,Y ) 的数学期望

设连续 r.v. (X ,Y ) 的联合 d.f. 为f (x ,y)

dxdyyxfyxg ),(),(

绝对收敛 , 则

dxdyyxfyxgZE ),(),()(

若广义积分

4.13

X -2 0 2

P 0.4 0. 3 0.3

例 设随机变量 X 的分布律为

)53( 2 XE求

3.0]523[3.0]503[4.0]5)2(3[

)53(222

2

XE

0,0

0,)(

x

xexf

x

0

22 )()( exeedxxfeYE xxx

31

031 3

xe

例 设随机变量 X 的概率密度为

求 Y = e － 2X 的数学期望 .

Y

X 1 2

1 0.25 0.32

2 0.08 0.35

例 设随机变量 ( X, Y ) 的分布律为

)( 2 YXE 求)( 2 YXE

96.3

35.0)22(08.0)12(

32.0)21(25.0)11(22

22

EX=

0

1

0

1 3

12),(

x

dyxdxdxdyyxxf

E(-3X+2Y)=3

1)23(2

0

1

0

1

x

dyyxdx

EXY=

0

1

0

1 12

12),(

x

ydyxdxdxdyyxxyf

其它；,0

),(,2),(

Ayxyxf解 0 x

y

01 yx

例 设 (X, Y) 在区域 A 上服从均匀分布，其中A 为 x 轴， y 轴和直线 x+y+1=0 所围成的区域 .求 EX ， E(-3X+2Y) ， EXY.

市场上对某种产品每年需求量为 X 台， X ~ U [200,400], 每出售一台可赚300 元 , 售不出去，则每台需保管费 100元，问应该组织多少货源 , 才能使平均利润最大？ 解

其它,0

,400200,200

1

)(x

xf X

设组织 n 台货源 , 利润为 Y

显然， 200 < n < 400

应用

xnnx

xnnxg

,4

,,3)(

XnXnX

XnnXgY

),(3

,,3)(

dxxfxgYE X )()()(

400

200

1[ (4 ) 3 ]

200

n

nx n dx ndx

)10814002(200

1 42 nn

)14004(200

1)( n

dn

YdE

0令

故 n=350 时 , E(Y ) 最大

n=350

3. 数学期望的性质

(1) 设 C 是常数，则 E(C)=C;

(4) 设 X 、 Y 独立，则 E(XY)=E(X)E(Y).

(2) 若 C 是常数，则 E(CX)=CE(X);

(3) E(X+Y) = E(X)+E(Y);

注意 : 由 E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出 X,Y 独立

n

ii

n

ii XEXE

11

)(][:推广

n

ii

n

ii XEXE

11

)(][:推广

（诸 Xi 独立时）

._____23

2

EZXZ

X

的数学期望则随机变量的泊松分布，服从参数为已知随机变量例

423)23(

,2

2

.

EXXEEZ

EX

X

所以则

的泊松分布，服从参数为由于变量线性函数的期望数学期望的性质求随机的有关特征，并会利用本题要求熟悉泊松分布

例 求二项分布的数学期望

若 X 表示 n 重贝努里试验中的“成功” 次数 X~B(n, p) ，

设

则 X= X1+X2+…+Xn

次试验失败如第次试验成功如第

i

iX i 0

1i=1,2 ，…， n

可见服从参数为 n 和 p 的二项分布的随机变量 X 的数学期望是 np.

= np

因为 P(Xi =1)= p, P(Xi =0)= 1-p

n

iiXE

1

)(所以 E(X)=

E(Xi)= )1(01 pp = p

例 设二维 r.v. (X ,Y ) 的 d.f. 为

其它,0

,10,20),31(41

),(2 yxyxyxf

求 E(X), E(Y), E( X + Y ), E(X Y).

解

dxdyyxxfXE ),()(

2

0

1

0

2 )31(41

dyyxdxx34

2447

85

34 )()()( YEXEYXE

)(XYE65

85

34

由数学期望性质

X ,Y 独立)()( YEXE

dxdyyxyfYE ),()(

2

0

1

0

2 )31(41

dyyyxdx85

一民航送客载有 20位旅客自机场开出，旅客有 10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客 下车就不停车。以 X表示停车的次数。 求 EX（设每个旅客在各个车站下车是等可能的， 并设各旅客是否下车相互独立）。

解：设 站有人下车第站没人下车第

i

iXi

,1

,0， 10,,2,1 i ，

例

易见 101 XXX ，

10

1iiEXEX ，

20)10/9(}0{ iXP ， 20)10/9(1}1{ iXP ，10,,1i ，20)10/9(1iEX ， 10,,1i ，

)(784.8])10/9(1[10 20 次EX 。