第四章 随机变量的数字特征

数学期望

方差

* 协方差与相关系数

大数定律与中心极限定理

数学期望的引例Mathematical Expectation

例如：某 7 人的高数成绩为 90 ， 85 ， 85 ， 80 ， 80 ，

75 ， 60 ，则他们的平均成绩为90 85 2 80 2 75 60

7

1 2 2 1 190 85 80 75 60

7 7 7 7 7

79.3以频率为权重的加权平均

数学期望 E(X)

1 1 2 2( ) k k k kk

E X p x p x p x p x

( ) 1, 2,k kP X x p k

Mathematical Expectation

定义 设离散型随机变量的概率分布为

离散型随机变量

k kk

p x 若级数 绝对收敛， 则称此级数为

随机变量 X的数学期望，记作 E（ X），即

X

P

4

1/4

5

1/2

6

1/4

数学期望的计算已知随机变量 X 的分布律：

1 1 2 2 3 3 ) (E X p x p x p x

例

求数学期望 E（ X）

解 1 1 1( ) 4 5 6 5

4 2 4E X

连续型随机变量的数学期望 E(X)

( ) ( )E X x f x dx

连续型随机变量

定义设连续型随机变量 X 的概率密度为 f (x), 则

( ) ,若广义积分 绝对收敛 则称此积分为

的数学期望

xf x dx

X

即

数学期望的计算

已知随机变量 X 的密度函数为例

2

11

( ) 10 1

xf x x

x

( ) ( )E X xf x dx

求数学期望。

解

1 1

21 1

10 0

10

x dx x dx x dxx

数学期望的意义

试验次数较大时， X 的观测值的算术平均值

在 E(X) 附近摆动x

( )x E X

数学期望又可以称为期望值 (Expected Value) ，

均值 (Mean)

E(X) 反映了随机变量 X 取值的“概率平均” , 是 X 的

可能值以其相应概率的加权平均。

二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望

(X,Y) 为二维离散型随机变量

( , ) ( ( ), ( ))E X Y E X E Y

.( ) { }i i i i i iji i i j

E X x P X x x p x p

.( ) { }j j j j j ijj j j i

E Y y P Y y y p y p

( ) ( ) ( , ) ,XE X x f x dx x f x y dxdy

( ) ( ) ( , ) .YE Y y f y dy y f x y dxdy

(X,Y) 为二维连续型随机变量

设 (X,Y) 的联合密度为例

[0,1], [1,3]( , )

0

kxy x yf x y

其它

(1) 求 k

(2) 求 X 和 Y 的边缘密度

(3) 求 E(X), E(Y).

14 2 1

2k k

1

2k

( ) ( , )Xf x f x y dy

3

1

12

2xydy x

2 [0,1]( )

0X

x xf x

其它

( , ) 1f x y dxdy

(1) 由解

3 1

1 0k ydy xdx

所以

所以

得

113

[0,1]x 时时(2)

( ) ( , )Yf y f x y dx

1

0

1 1

2 4xydx y

[1,3]( ) 4

0 其它y

yy

f y

( ) ( )XE X xf x dx

（３）

( ) ( )YE Y yf y dy

1

0

22

3x xdx

3

1

13

4 6

yy dy

[1,3]y 时时

113

113

( ) ( , )E X xf x y dxdy

（３）另解

1

0

22

3x xdx

3

1

13

4 6

yy dy

1 3

0 1

1

2dx x xydy

( ) ( , )E Y yf x y dxdy

3 1

1 0

1

2dy y xydx

无需求

边缘分布密度函数

随机变量的函数的数学期望定理 1 ：一维情形

( )Y g X设设 是随机变量 X 的函数 ,

1

( ) [ ( )] ( )k kk

E Y E g X g x p

{ } , 1, 2,k kP X x p k 离散型离散型

连续型连续型

( ) [ ( )] ( ) ( )E Y E g X g x f x dx

( )f x概率密度为

X 服从 2,0

sinY X

已知 上的均匀分布，求

的数学期望。

( ) sin sin E Y E X x f x dx

1

, 0 220,

xf x

；

其它。

2

0

1sin sin 0

2E X xdx

因为

所以

例

解

随机变量的函数的数学期望

[ ( , )] ( , )i j iji j

E g X Y g x y p

定理 2 ：二维情形

1 2{ , } , , , ,i j ijP X x Y y p i j

[ ( , )] ( , ) ( , )E g X Y g x y f x y dxdy

( , )f x y联合概率密度为

( , )Z g X Y设设 是随机变量 X ， Y 的函数 ,

连续型连续型

离散型

1

5

[ )] ( , )E XY xyf x y dxdy

例 设相互独立的随机变量 X ， Y 的密度函数分别为

1

2 , (0 1)( )

0,

x xf x

其它

( 5)

2

, ( 5)( )

0,

ye yf y

其它求 E （ XY ）

解

1 2( ) ( )xyf x f y dxdy

1 ( 5)

0 52 ydx xy x e dy

1 2 ( 5)

0 52 yx dx ye dy

4

数学期望的性质

,X Y相互独立时 当随机变量

( ) ( ) ( )E XY E X E Y

( )E C C . C 为常数

( ) ( )E CX CE X .

( ) ( ) ( )E X Y E X E Y .

设（ X,Y ）在由 4 个点（ 0 ， 0 ）（ 3 ， 0 ），（ 3 ， 2),

(0,2) 决定的矩形域内服从均匀分布，求 E(X+Y),E(X2)

E(Y2),E(XY).

30

2

6面积

答案：

25( ) ; ( ) 3;

2E X Y E X

2 4 3( ) ; ( )

3 2E Y E XY

0-1 分布的数学期望

X 服从 0-1 分布，其概率分布为

P(X=1)=p

P(X=0)=1- p

X

P

0 1

1-p p

若 X 服从参数为 p 的 0-1 分布， 则 E(X) = p

( ) 0 (1 ) 1E X p p p

分布律

数学期望

If X~B( n, p ), then E(X)= np

{ } (1 )k k n knP X k C p p

二项分布的数学期望分布律 X 服从二项分布，其概率分布为

数学期望n二项分布可表示为 个０－１分布的和

1

n

ii

X X

0,

1i

A iX

A i

在第次试验中不发生， 在第次试验中发生

1 1

( ) ( ) ( )n n

i ii i

E X E X E X np

其中

则

泊松分布的数学期望

If , then ~ ( )X P ( )E X

( )!

k

P X k ek

分布律

数学期望1

0 1

( )! ( 1)!

k k

k k

E X k e ek k

( 1 )k t

0 !

t

t

e e et

1( )

0

a x bf x b a

其它

均匀分布的期望

分布密度

数学期望

( )

2( )

b

a

xxf x dx dxE X

b

b

a

a

X~ N (μ ， σ2 ）

正态分布的期望分布密度

2

2

2

)(

2

1)(

x

exf

数学期望2

2

( )

2( )1

2

x

x e dxE X

2

21

( )2

t

t e dt

xt

0( )

0 0

xe xf x

x

指数分布的期望

分布密度

数学期望

0( () ) xxf x dE x x e dxX

0 0 0

1| |x x xxe e dx e

1

数学期望在医学上的一个应用An application of Expected Value in Medicine

考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每 10 个人一组，把这 10 个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则 10 个人只需化验 1 次；若结果为阳性，则需对 10 个人在逐个化验，总计化验 11 次。假定人群中这种病的患病率是 10% ，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？分析：设随机抽取的 10 人组所需的化验次数为 X

我们需要计算 X 的数学期望，然后与10 比较

化验次数 X 的可能取值为 1 ， 11

先求出化验次数 X 的分布律。

(X=1)=“10 人都是阴性”

（ X=11)=“ 至少 1 人阳性”

结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数

注意求 X期望值的步骤！

10 10{ 1} (1 0.1) 0.9P X

10{ 11} 1 0.9P X 10 10( ) 0.9 1 (1 0.9 ) 11 7.513 10E X

1 、概率 p 对是否分组的影响问题的进一步讨论

若 p=0.2 ，则

当 p>0.2057 时， E(X)>10

( ) 0.9 1 (1 0.9 ) 11 10n nE X

10 10( ) 0.8 1 (1 0.8 ) 11 9.9262E X

2 、概率 p 对每组人数 n 的影响

21.86n 当 p=0.2 时，可得出 n<10.32 ，才能保证

EX<10.

当 p=0.1 时，为使

例 独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别为 p1 和 p2. 证明：产生故障的仪器数目的数学期望为 p1 + p2

设产生故障的仪器数目为X则 X 的所有可能取值为 0 ， 1

解

1 2( 0) (1- )(1- )P X p p

1 2 1 2( 1) (1- ) (1- ) P X p p p p

1 2( 2) P X p p

1 2 1 2 1 2( ) [ (1- ) (1- ) ] 2 E X p p p p p p

1 2 p p

所以