第二章 离散型随机变量• 一维离散型随机变量及分布列• 二维随机变量、联合分布列和边际分布列• 随机变量函数的分布列• 随机变量的数学期望• 随机变量的方差• 条件分布及条件数学期望

§2.1 一维离散随机变量

一、定义：设 S={e} 是试验的样本空间，如果量 X 是定义在 S 上的一个单值实值函数即对于每一个 e S ，有一实数 X=X(e) 与之对应，则称 X 为随机变量。

随机变量常用 X、 Y、 Z 或 、、等表示。

：引入适当的随机变量描述下列事件：① 将 3 个球随机地放入三个格子中，

事件 A={ 有 1 个空格 }， B={ 有 2 个空格 } ，C={ 全有球 } 。 ② 进行 5 次试验，事件 D={ 试验成功一次 }， F={ 试验至少成功一次 }，G={ 至多成功 3 次 }

例 1

奇异型（混合型）

连续型非离散型

离散型随机变量随机变量

随机变量的分类

二、一维离散型随机变量 1 、定义 2.1 若随机变量 X 取值 x1, x2, …, xn, … 且取这些值的概率依次为 p1, p2, …, pn, …, 则称X 为离散型随机变量，而称

P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )

为 X 的分布律或概率分布。可表为

X ～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) ，

或~X

X x1 x2 … xK …

Pk p1 p2 … pk …

(1) pk 0, k ＝ 1, 2, … ;

(2) 1

.1k

kp＝

例 1 设袋中有 5 只球，其中有 2 只白 3只黑。现从中任取 3 只球 ( 不放回 ) ，求抽得的白球数 X 的分布列。

2. 分布律的性质

bxa

kbxa

k

kk

xXPxXPbXaP )()}{()()3(

充要性质

某射手对目标独立射击 5 次，每次命中目标的概率为 p ，以 X 表示命中目标的次数，求 X 的分布律。

例 2:

3 、几个常用的离散型分布

（ 1 ） (0-1) 分布 (p63)

若以 X 表示进行一次试验事件 A 发生的次数，则称 X 服从 (0 － 1) 分布 ( 两点分布 ) X ～ P{X ＝ k} ＝ pk(1 － p)1 － k, (0<p<1) k ＝0 ， 1

或X

kp

1 0

p p1

（ 2 ）二项分布 (p63)

若以 X 表示 n 重贝努里试验事件 A 发生的次数，则称 X 服从参数为 n,p 的二项分布， 记作 X ～ B（ n,p) 。其分布律为：

),...,1,0(,)1(}{ nkppkXP knkk

nC

. 从某大学到火车站途中有 6 个交通岗 , 假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立 , 并且遇到红灯的概率都是 1/3.(1)设 X 为汽车行驶途中遇到的红灯数 ,求 X 的分布律 .(2) 求汽车行驶途中至少遇到 5 次红灯的概率 .

例 3

例 4. 某人射击的命中率为 0.02 ，他独立射击 400 次，试求其命中次数不少于 2 的概率。

普哇松定理 (p65)： 设随机变量 Xn～ B(n,

p), (n＝ 0, 1, 2,…), 且 n 很大， p 很小，记=np ，则 ,...2,1,0,

!}{ ke

kkXP

k

上题用普哇松定理 取 =np＝ (400)(0.02)＝ 8, 故近似地有

P{X2}＝ 1 － P{X＝ 0}－ P {X＝ 1}

＝ 1－ (1＋ 8)e － 8＝ 0.996981.

（ 3 ）普哇松 (Poisson) 分布 P()(p64)

X ～ P{X ＝ k} ＝ , k ＝0, 1, 2, … (0)

e

!k

k

普哇松定理表明，普哇松分布是二项分布的极限分布，当 n 很大， p 很小时，二项分布就可近似地看成是参数 =np 的普哇松分布

. 设某国每对夫妇的子女数 X 服从参数为的泊松分布 , 且知一对夫妇有不超过 1 个孩子的概率为 3e-2. 求任选一对夫妇 , 至少有 3 个孩子的概率。

例 5

§2.2 二维离散型随机变量 一、 多维随机变量

定义 2.2 ：将 n 个随机变量X1， X2， ...,Xn 构成一个 n 维向量 (X1,X2,...,Xn) 称为 n 维随机变量。

1 、若二维随机变量 (X, Y) 只能取至多可列个值(xi, yj),(i, j＝ 1, 2, … ) ，则称 (X, Y) 为二维离散型随机变量。 2 、若二维离散型随机变量 (X, Y) 取 (xi, yj) 的概率为 pij, 则称 P{X＝ xi, Y ＝ yj,} ＝ pij ， (i, j＝ 1, 2, … )

为二维离散型随机变量 (X, Y) 的分布律，或随机变量 X 与 Y 的联合分布律。可记为 (X, Y) ～ P{X＝ xi,Y ＝ yj} ＝ pij (i,j=1,2,

… )，

二、二维离散型随机变量及其联合分布律

X Y y

1 y

2 … y

j …

p11 p12 ... P1j ...

p21 p22 ... P2j ...

pi1 pi2 ... Pij ...

......

...

...

...

...

... ...

3 、联合分布律的性质 (1) pij 0 , i, j＝ 1, 2, … ； (2) 1p

1i 1jij＝

x1

x2

xi

二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下 :

：袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次， 令

第二次摸到白球第二次摸到红球

第一次摸到白球第一次摸到红球

0

1

0

1

Y

X求 (X,Y) 的分布律。

XY

1 0

1 0

10

1

10

3

10

3

10

3

25

22}1,1{P

PYXP

25

32}0,1{

PYXP

25

23}1,0{

PYXP

25

23}0,0{P

PYXP

例 1

4 、边际分布律 若随机变量 X 与 Y 的联合分布律为 (X, Y)～ P{X＝ xi, Y ＝ yj,} ＝ pij ， i,j＝ 1, 2, … ，则称 P{X＝ xi}＝ pi. ＝ ， i＝ 1, 2, …

为 (X, Y) 关于 X 的边际分布律；

1j

ijp

1i

ijp P{Y ＝ yj}＝ p·j ＝ ， j＝ 1, 2,

…。

为 (X, Y) 关于 Y 的边际分布律。 边际分布律自然也满足分布律的性质。

. 已知 (X,Y) 的分布律为x\y 1 0 1 1/10 3/10

0 3/10 3/10求 X、 Y 的边际分布律。

例2

问题：联合分布列与边际分布列有什么关系？ 例 3 ：袋中有 5 张外型相同的卡片，其中 3 张写上数

字 0 ，另两张写着数字 1 现从袋中任取两张，分别以X、 Y 表第一张与第二张上的数字，对有放回与不放回两种方式，分别求（ X， Y ）的联合分布列。

三、随机变量的相互独立性

定义 2.3 ：设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，其分布律为 P{X=xi,Y=yj}=Pij,i,j=1,2,… 。若对任意 i,j ，有Pij=PiPj 。则 X 与 Y 相互独立。

}{}{},{

,

jiji yYPxXPyYxXP

jiYX

有相互独立与即

例 4 ：判断例 3 中的 X 与 Y 是否相互独立。

例 5 ：已知随机变量 (X,Y) 的分布律为

且知 X 与 Y 独立，求 a、 b 的值。

XY 1 2

0 1 0.15 0.15

a b

一、一维离散型随机变量函数的分布律

§2.3 离散型随机变量函数的分布

1 、 设 X 一个随机变量，分布律为 X ～ P{X ＝ xk} ＝ pk, k ＝ 1, 2, …

若 y ＝ g(x) 是一元单值实函数，则 Y ＝ g(X) 也是一个随机变量。求 Y 的分布律 .

例 : 已知 X

Pk

-1 0 1

31

31

31

求： Y=X2 的分布律

Y

Pk

1 0

31

32

或

Y ＝ g(X) ～ P{Y ＝ g(xk)} ＝ pk ， k ＝ 1, 2, …

（其中 g(xk) 有相同的，其对应概率合并。）

一般地X

Pk

Y=g(X)

kxxx 21

kppp 21

)()()( 21 kxgxgxg

例 2 ． 1 ：设 X 服从参数为 的普哇松分布的随机变量，又

试求的 Y=f(X) 分布列。

为偶数

为奇数

x

x

x

xf

,1

0,0

,1

)(

二、二维离散型随机变量函数的分布律

设二维离散型随机变量（ X， Y），

(X, Y)～ P(X＝ xi, Y＝ yj)＝ pij ， i, j＝1, 2, …

则 Z＝ g(X, Y)～ P{Z＝ zk} ＝ ＝ pk ,

k＝ 1, 2, …

kji zyxgjiijp

),(:,

(X,Y) (x1,y1) (x1,y2) … (xi,yj) …

pij p11 p12 pij

Z=g(X,Y) g(x1,y1) g(x1,y2) g(xi,yj)

或

例：设随机变量 X 与 Y 独立，且均服从 0-1 分布，其分布律均为

X 0 1

Pi q p

(1) 求W＝ X＋ Y 的分布律 ;(2) 求 V＝max(X, Y) 的分布律；(3) 求U＝min(X, Y) 的分布律。(4)求w 与 V的联合分布律。

例 2 ． 12 ：设 X、 Y 是两个独立的随机变量，它们分别服从参数为 的普蛙松分布，求Z=X+Y 的分布列。

21 ,

说明：（ 1 ）普蛙松分布具有可加性； （ 2 ）习题 2.27 可证明二项分布也具有 可加性。

§2.4 数学期望的定义与性质

数学期望——描述随机变量取值数学期望——描述随机变量取值的平均特征的平均特征

1. 若 X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…n, 则称

1

||k

kk px

n

kkk pxXE

1

)(

定义 2. 若 X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…, 且

为 r.v.X 的数学期望，简称期望或均值。

，则称 .)(1

k

kk pxXE

为 r.v.X 的数学期望

定义

一 . 数学期望的定义

掷一颗均匀的骰子，以 X 表示掷得的点数，求 X 的数学期望。

例 2:

1.0-1 分布的数学期望

ppPX

101

EX=p

2. 二项分布 B(n, p)

npppknk

nkXE

n

k

knk

1

)1()!(!

!)(

nkppCkXP knkkn ,...1.0)1(}{

二 . 几个重要 r.v. 的期望

...,2,1,0,!

}{~ kek

kXPXk

0 1

1

;)!1(!

)(k k

kk

kee

kkXE

3. 普哇松分布

例 1：设随机变量 X 的分布律为

求随机变量 Y=X2 的数学期望。

X

Pk

-1 0 1

31

31

31

三 . 随机变量函数的期望

2.2 ： 若 X ～ P{X=xk}=pk, k=1,2,

…, 且

则 Y=g(X) 的期望 E(g(X)) 为 .)()]([)(1

kk

k pxgXgEYE

定理 2.3: 若 (X, Y)～ P{X=xi ,Y=yj,}=

pij,i,j=1,2, … , 且

则 Z= g(X， Y) 的期望.),()],([)(

11ij

iji

j

pyxgYXgEZE

定理

.)(1

绝对收敛kk

k pxg

.),(11

绝对收敛iji

jij

pyxg

设随机变量 (X,Y)的分布列如下，求 E(XY)。例 4：

XY 1 2

0 1

0.15 0.15

0.45 0.25

1. E(c)=c,c 为常数 ;

2. E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y),a,b 为常数 ;

3. 若 X 与 Y 独立，则E(XY)=E(X)E(Y).

四 . 数学期望的性质

解 : 设

0

1iX

第 i 次试验事件 A 发生第 i 次试验事件 A 不发生

则

n

iiXX

1

pXE i )(

n

iiXEXE

1

)()( nppn

i

1

例 3 ：若 X~B(n,p),求 E(X)。

一 . 方差的定义

方差是衡量随机变量取值波动 程度的一个数字特征。

如何定义？

§2.5 方差的定义及性质

： 若 E(X),E(X2) 存在，则称

E[X-E(X)]2

为 r.v. X 的方差，记为 D(X),或Var(X).

}{][)(1

2k

kk xXPEXxXD

)()( XDX 称 为 r.v.X 的标准差

易见：

1. 定义

推论： D(X)=E(X2)-[E(X)]2.

(1) D(c)=0

反之，若 D （ X ） =0 ，则存在常数 C ，使 P{X=C}=1, 且 C=E(X);

(2) D(aX)=a2D(X), a 为常数；

二、 方差的性质

(3) 若 X ， Y 独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y);

1. 二项分布 B(n, p) ：

nkppCkXP knkkn ,...1.0)1(}{

npXE )(

nppnnppknk

nkXE

n

k

knk

)1()1()!(!

!)( 2

1

22

三、几个重要 r.v. 的方差

)1()( pnpXD

...,2,1,0,!

}{~ kek

kXPXk

0 1

22

)!1(!)(

k k

kk

k

eke

kkXE

)(XE

)1()!1(1

k

k

k

ek

22 )()( EXEXXD

2. 普哇松分布p() ：

例 2 ：设随机变量X1、 X2、 X3、 X4 相互独立，且有EXi=i， DXi=5-i， i=1,2,3,4设 Y=2X1-X2+3X3-0.5X4 ，求：E(Y)， D(Y)

设随机变量 X与 Y 的联合分布列为 (X, Y) ～ P{X＝ xi, Y ＝ yj,} ＝ pij ， (i, j＝ 1, 2, … )，X和 Y 的边际分布列分别为

,...2,1}{1

ippxXPj

ijii

§2.6 条件分布与条件数学期望一 . 条件分布列

,...2,1}{1

jppyYPi

ijjj

为 Y ＝ yj 的条件下， X 的条件分布列 ;

,...2,1,}|{|

ip

pyYxXPp

j

ijjiji ＝

若对固定的 j, p.j>0, 则称

同理，对固定的 i, pi. >0, 称

,...2,1,}|{|

jp

pxXyYPP

i

ijijij ＝

为 X ＝ xi 的条件下， Y 的条件分布列。

jijiji ppppYX ，独立时，有与显然，当

二、条件数学期望

定义 2.7 ：若随机变量 X在 Y=yj 条件下的条件分

布列为

则称为 X在 Y=yj 条件下的数学期望，简称条件期望，记为

，

又

1

,

ijii

ji

px

p

1ijii px

}{ jyYXE

例 2.19 ：某射手进行射击，每次射击击中目标的概率为 p(0<p<1) ，射击进行到击中目标两次停止。令 X 表示第一次击中目标时的射击次数， Y 表示第二次击中目标时的射击次数，试求联合分布列 pij ，条件分布列 pi/j及 pj/i 条件期望E{X/Y=n}.

三、条件数学期望的性质

2 、若 a,b 是两个常数，又

CyYCE j }{

},{ 1 jyYXE }{ 2 jyYXE

存在，则 }{ 21 jyYbXaXE 存在，且

}{ 21 jyYbXaXE }{ 1 jyYXaE }.{ 2 jyYXbE

以上两条性质是在固定“ Y=yi”的条件下考察条件期望的性质。

1 、

3 、随机变量 X对 Y 求条件期望后再求期望，等于对这个随机变量直接求期 望。